Vektor Ortogonal.pdf

Ortogonal

Yang dibahas : • Ortogonal • Basis ortogonal • Ortonormal • Matrik ortogonal • Komplemen ortogonal • Proyeksi ortogonal • Faktorisasi QR

Ortogonal • Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut

himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : vi . vj = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k

• Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rn adalah himpunan ortogonal.

Contoh : Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal dalam R3 jika : v1

2 1 , v2

0 1 , v3

1 -1

-1

1

1

Jawab : Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0 v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0 v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0 Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal

Teori 1. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c1, c2, …., ck adalah skalar sehingga : c1v1+ …+ ckvk=0 kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi = 0 . vi = 0 Atau hal yang sama : c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0 Karena {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (vi. vi), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : ci(vi. vi) = 0

Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi ≠ 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier.

Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu : x

W

y :x z

y

2z

0

Jawab : Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : y 2z 1 -2 y y 1 z 0 z 0 1 1

Jadi vektor u =

1 0

-2

dan v =

0

adalah basis W, namun tidak

1

ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut.

x

Anggap w

y

adalah vektor dalam W yang ortogonal

z

dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+2z = 0 x+y =0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :

-z w

z z

-1

Jika diambil w

1 dengan mudah dapat dibuktikan 1

bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W , sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2. Teori 2. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonal dari subruang W dari Rn dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c1,…., ck dapat ditulis : w = c1v1+ …+ ckvk

Menghasilkan : ci

w.vi vi .vi

untuk i = 1, ……, k

Contoh soal : Carilah koordinat w

1 2 yang menjadi basis ortogonal

3 dari B = {v1, v2, v3} dengan

2 1 , v2

0 1 , v3

1 -1

-1

1

1

v1

Jawab : c1

w.v1 v1.v1

2 2 3 4 1 1

1 6

c2

w.v2 v2 .v2

0 2 3 0 1 1

5 2

c3

w.v3 v3 .v3

1 2 3 1 1 1

2 3

Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah : 1 6

w

B

5 2 3 2

Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q1,….., qk} adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan qi 1 Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan dengan kata lain : qi . qi = 1. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika : 0 jika i j qi .q j 1 jika i j

Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan ortonormal dalam R3 jika : 1

1

3

q1

-

1 3 1

1

q1.q1

1

q2 .q2

1

2 18

3 6

1 18

1

3

4

6

1

18

3

1

6

1

dan q2

2 6 1

3

Jawab : q1.q2

6

6

0 ortonormal

1

Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut.

2. Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor : v1

2 1 , v2

0 1 , v3

1 -1

-1

1

1

Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1, v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : 2 q1

q3

1 v1 v1 1 v3 v3

2

1 1 6 -1

6 1 6

-

6

1 v2 v2

1 1 2 1

1

1

1 -1 3 1

1

, q2

3

-

0

1 3 1 3

Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3

0

1 2 1 2

Teori 3. Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormal dari subruang W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w. qk ) qk

Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q-1 = QT

Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya ! A

0 1 0 0 0 1

dan B

1 0 0

cos

sin

sin

cos

Jawab : Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan 0 0 1 A

1

AT

1 0 0 0 1 0

Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : T

B B

cos sin

sin cos

cos 2

sin 2

sin cos

1 0 0 1

cos sin

sin cos cos sin

cos sin

sin 2

1

Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan

B

1

B

T

cos sin

sin cos

cos 2

sin cos

Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : a. Q adalah ortogonal. x untuk setiap x dalam R n b. Qx c. Qx.Qy x. y untuk setiap x dan y dalam R n Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. a. Q-1 adalah ortogonal b. det Q = 1 1 c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka d. Jika Q1 dan Q2 adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q1Q2

Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn. Sebuah vektor v dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: W

W = {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W} v W w

W dan W = l

Teori 9. Ambil W subruang dari Rn. a. W adalah subruang dari Rn. b. ( W ) W c. W  W = {0} d. Jika W = span (w1, ……, wk), maka v berada dalam W jika dan hanya jika v. wi = 0 untuk semua i= 1, …….,k Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null AT (baris ( A))

null ( A) dan ( kolom( A))

null ( A T )

Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :  baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn  kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A)

null (AT)

0

0

TA baris (A) Rn

kolom (A) Rm

Contoh soal : 1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :

A

1 1 3 1 6 2 -1 0 1 -1 -3 2 1 -2 1 4 1 6 1 3

dan buktikan bahwa : (baris ( A))

null ( A) dan ( kolom( A))

null ( AT )

Jawab : Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :

R

1 0 1 0 -1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 4

baris (A) = baris (R)

0 0 0 0 0

Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan : r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4} Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : x 1

x2 x

x3 x4 x5

-s t -2s-3t s -4t t

-1 -2 s 1

1 -3 t 0

0 0

-4 1

su

tv

Null (A) = span (u, v) dengan : -1 -2

1 -3

u = 1 dan v = 0 0 0

-4 1

Untuk menunjukkan (baris ( A)) null ( A) cukup dengan menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r3 = r1 + 2r2 dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4

Dengan demikian r3 dan r5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r1, r2 dan r4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan : a1

1 2 , a2 -3

1 -1 , a4 2

1 1 -2

4

1

1

Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :

AT 0

1 2 -3 4 0 1 -1 2 1 0 3 0 1 6 0

1 0 0 1 0 0 1 0 6 0 0 0 1 3 0

1 1 -2 1 0 6 -1 1 3 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Jika y didalam null(AT) dengan y1 = - y4, y2 = -6 y4 dan y3 = -3y4 , maka dapat diperoleh hasil :

null(AT) =

- y4

1

-6y 4

6

-3y 4

span

y4

3 1

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a1, a2, a3 sehingga terbukti bahwa :

(kolom( A))

null ( AT )

2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :

w1

1 -3 5 , w2 0 5

-1 1 2 , w3

0 -1 4

-2 3

-1 5

Tentukan basis dari W Jawab : subruang W dibangun oleh w1,w2 dan w3 sama dengan ruang kolom dari : 1 -1 0 -3 1 -1 A

5 2 4 0 -2 -1 5 3 5

Teori 10 menyatakan W Sehingga dapat dihitung :

AT 0

(kolom( A))

null ( AT )

1 -3 5 0 5 0 -1 1 2 -2 3 0

1 0 0 3 4 0 0 1 0 1 3 0

0 -1 4 -1 5 0

0 0 1 0 2 0

y didalam W jika dan hanya jika : y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5 Sehingga diperoleh : -3y4 - 4y5

-3

-4

- y4 - 3y5

-1

-3

0

-2

y4

1

0

y5

0

1

W

Ada 2 vektor basis untuk

-2y5

W

span

Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2 .….., uk} merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai : u1.v u1 u1.u1

proyw (v)

.....

uk .v uk .uk

Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : perpw (v) v proyw (v) v v

perpu(v)

u

u2 proyu(v)

p2 p

p1 W u1

uk

Contoh soal : Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0 3

dan v

Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan

-1 2

komponen v yang ortogonal ke W !

Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : y 2z y z

1 y 1

-2 z 0

0

1

Diperoleh vektor basis W : -1

1

u1=

1

dan u2 =

1 1

0

Proyeksi ortogonal v pada W adalah :

proyw (v)

u1.v u1 u1.u1 1

2 1 2 0

u2 .v u2 u2 .u2 -1

2 1 3 1

v

perpw(v)

5 3 1 3

- 23

proyw(v) W

Dan komponen v ortogonal pada W adalah :

3

5 3

4 3

perpw(v) = v – projw(v)= -1

1 3

- 43

2

- 23

8 3

Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal 1 terhadap W. -1 2

Dekomposisi ortogonal Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan w dalam W

dapat dituliskan :

v=w+w

Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka : dim W + dim W = n

Faktorisasi QR Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1,…,an adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q1,…,qn adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai ) = span (q1,…,qi ) Sehingga jika terdapat skalar r1i,r2i…,rii dapat dituliskan : ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqi untuk i= 1, ……, n

Diperoleh hasil : a1 = r11q1 a2 = r12q1 + r22q2

an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

r11 r12 ... r1n A

a1 a2 .... an

q1 q2 .... qn

0 r22 ... r2 n 0

0 ... rnn

QR

Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : A

1 2 2 -1 1 2 -1 0 1 1 1 2

Jawab :

Subruang W dibangun oleh x1,x2 dan x3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x1,x2, x3} adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v1 = x1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x2 yang ortogonal pada W1= span (v1)

v2

perpw1 ( x2 )

x2

v1.x2 v1 v1.v1

2

1

3 2

1

2 -1 4 -1 1

3 2

0 1

1 2 1 2

Untuk menghilangkan pecahan pada v2 dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian 3 v2 dirubah menjadi : v2

2v2

3

1 1

Selanjutnya dihitung komponen x3 ortogonal pada W2 = span (x1 ,x2) = span (v1 ,v2)= span (v1 , v2 ) menggunakan basis ortogonal (v1 , v2 )

v3

perpw2 ( x3 ) x3

v1.x3 v1 v1.v1

v2 .x3 v2 v2 .v2

2 2 1 2

1 1 -1 4 -1 1

3 15 3 20 1 1

- 12 0 1 2

1

Kembali dilakukan penskalaan ulang : v3

2v3

-1 0 1 2

Akhirnya diperoleh basis ortogonal v1 , v2 , v3 untuk W Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor

q1

1 v1

v1

1 2

1

1 2

-1

- 12

-1

- 12

1

1 2

3 5 3 q2

1 v2

v2

1

3

2 5

1

3 5 5

1 5

- 6 -1 q3

1 v3

v3

1 6

0

0

1

6

2

6

10 10

10 10

6

6 3

1

Jadi Q

q1 q2 q3

3 5

2

- 12

3 5

- 12

5

1

5

2

10 10 10 10

-

6

6

0 6 6

6 6

A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QTQ = I. Oleh karena itu : QTA=QTQR = IR=R Diperoleh hasil akhir : 1

R

QT A

2

3 5

-

-

10

6

6

1

3 5

2 10

0

-

1 5

6

2

10 6

1 5

2 10

6

3

1 2 2 -1 1 2 -1 0 1 1 1 2

2 1 0

5

0

0

1

2

3 5 6

2 2

 Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : QTAQ = D Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q-1 = QT diperoleh QTQ = I = QQT sehingga : QDQT = QQTAQQT = IAI = A Tetapi juga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .

Latihan soal : 1. V=R3 dengan perkalian skalar = 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1) 2. V=R3 dengan perkalian skalar = 2a1b1 + a2b2 + a3b3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)} dan v = (1,2,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W