VEKTOR Mattek 1

VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

Pengertian Dasar 





Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah Q dinamakan titik terminal S

P

R



Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan v = PQ





Q

Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama) Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

v

P

t x

Penjumlahan Vektor a+b+c

b+c a+ b a b

c

Pengurangan Vektor  Jika

a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a + (-b)

a+b

a-b a -b

b

Skalar dikalikan Vektor Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0 2v v

-1v 0,5v

-1,5 v

Operasi Vektor di R2 y ( v1+w1 , v2+w2 ) (w1,w2)

w

v

+

w

v2

w2 v

v1

(v1,v2)

w1

x

Operasi Vektor di R2 CONTOH : Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka : v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3) v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7) 5v = 5 (3,-2) = (15,-10)

Operasi Vektor di R2 



Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)

y P2 (x2,y2) P1P2

P1 (x1,y1) x

Panjang Vektor 

Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan

a atau a



Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah 2

a = a1 + a 2

2 y (a1,a2) a

x

CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2  Salah

satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik  Terdapat tiga Komponen Daya Listrik   

Daya Kompleks (S) -- VA Daya Aktif (P) -- Watt Daya Reaktif (Q) -- VAr

QL(VAr) S=P+QL

ϕ°

P = (x,0) Q = (0,y) S = P + Q = (x,y)

P(W att)

Qc(VAr)

 Power

Factor Correction

Q L(VAr)

S (VA) last

S new

ϕ °last ϕ °last P(Watt)

Qc(VAr)

Panjang Vektor di R-3 z 2

a

A (a 1,a2,a3)

0

B x

a = (0C ) 2 + (CA) 2

D C

2

a = (0 B) 2 + (0 D) 2 + (CA) 2 y

2

2

2

a = a1 + a2 + a3 2

2

2

a = a1 + a2 + a3

2



Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah : P1 P2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ) d = P1 P2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 z P2 (x2,y2,z2) v P1 (x1,y1,z1) y

x

DOT PRODUCT

ORIENTASI RUANG z 





Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z

k

(0,0,1)

(0,1,0)

j

(1,0,0)

i x

Triple i,j,k disebut vektor basis Setiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k

y

Definisi 

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan θ adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :

u.v = u v cos θ

jika u ≠ 0 dan v ≠ 0

u.v = 0

jika u=0 dan v=0

u

u

θ v

θ v

Contoh

z

Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :

u.v =

(

0 + 0 +1 2

v (0,0,1)

θ

u y

x

u.v = u v cosθ 2

(0,2,2)

2

)(

)

 1  0 +2 +2  =2  2 2

2

2

Jika u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:

 i.i=1  i.j=0

j.j=1 j.k=0

k.k=1 k.i=0

z

k

(0,0,1)

(0,1,0)

j

(1,0,0)

i x

y

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH  Jika

u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan.  u = u.i = 1 x 1 cos α = cos α dengan α x adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x.  u = cos β y u

z

= cos γ

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH 

Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka :

a axi + a y j + az k = a a Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :

ax cos α = a

cos β =

ay a

az cos γ = a

Sudut antar Vektor 2

2

2

PQ = u + v − 2 u v cosθ

z P(u1,u2,u3)

PQ = v − u u v cos θ = 1 ( u + v − v − u ) 2 2 2 2 1 u.v = (u + v − v −u ) 2 u.v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 x 2

u.v cosθ = uv

2

2

u θ

Q (v1,v2,v3) v

y

Contoh Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v. z

(1,1,2)

u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

u = 6

dan

θ y

(2,-1,1) u

v= 6

u.v 3 3 cosθ = = = = 0,5 u v ( 6 )( 6 ) 6

θ = 60o

v

x

Resume sudut Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka : θ

lancip , jika dan hanya jika u.v > 0  θ tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0  θ tegaklurus (π /2), jika dan hanya jika u.v = 0

PROYEKSI ORTHOGONAL w2

u w1 a

 w1

dinamakan proyeksi orthogonal u pada a Dinyatakan dengan : proyau  w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau

Formula Proyeksi cos θ =

w2

u

w1 = u cos θ = u

w1

w1 =

a w1 = proya u =

u•a ua

u.a a

2

a

w2 = u − proya u = u −

u•a u•a = ua a

u•a a u•a = 2 a a a a

(komponen u sepanjang a) u.a a

2

a (komponen u orthogonal a)

   

w1=ka u= w1 + w2 = ka + w2 2 a u.a = (ka+w2).a = k + w2.a Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0

k=

u.a a

2

Panjang Komponen Proyeksi w1 = proya u = w1 = proya u = w1 = proya u =

u.a a

2

a=

u.a a

2

a w2

u.a

u w1

a u a cosθ a

a

= u cosθ

Contoh  Carilah

rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0

 Misal

Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q

y n=(a,b)

ax+by+c=0

QPo = ( xo − x1 , yo − y1 )

Q(x1,y1)

P(x0,y0)

QPo .n = a( xo − x1 ) + b( yo − y1 ) n = a 2 + b2 D=

a ( xo − x1 ) + b( yo − y1 )

a2 + b2 karena titik Q ( x1 , y1 ) terletak pada garis tersebut maka ax1 + by1 + c = 0 sehingga c = −ax1 − by1 Substitusi : D=

axo + byo + c a2 + b2

x

CROSS PRODUCT

DEFINISI CROSS PRODUCT 



Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut θ antara keduanya. Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

u x v = uv sin θ n

Hasil Cross pada Vektor basis z

0 0 1 0 1 0  = (0,0,1) = k i x j =  ,− ,  1 0 0 0 0 1  

xi=jxj=kxk=0 ixj=k jxk=i kxi=j

k

i

jxi=-k

k x j = -i

(0,0,1)

(0,1,0)

j

(1,0,0)

y

i x

i

i x k = -j

k

j

DEFINISI CROSS PRODUCT 

Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k) = u1i x (v1i + v2j + v3k) + u2j x (v1i + v2j + v3k) + u3z x (v1i + v2j + v3k) = ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k



Atau dalam notasi determinan :

 u2 u x v =   v2

u3 v3

i ,−

u1 u2  j, k  v3 v1 v2 

u1 u3 v1

i j  u x v =  u1 u2  v1 v2

k   u3  v3 

 Jika       

u dan v adalah vektor di ruang 3, maka :

u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) uxv = -(vxu) ux(v+w)=(uxv)+(uxw) (u+v)xw =(uxw)+(vxw) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) uxu = 0

Contoh Soal 

Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

i j k  1 2 −2   3 0 1   2 −2 1 −2 1 2  u x v = i ,− j ,k  3 1 3 0  0 1 u x v = (2, −7, −6)

HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL  Pernyataan

( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel.  Tanda kurung sangat mempengaruhi :  

(ixi)xj=0 ix(ixj)=ixk = -j

Latihan C

 Diketahui

γ

segitiga ABC

b

Buktikan 1.a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a b c 2. = = sin α sin β sin γ

A

a β

α c

1 3. Luas Segitiga ABC = ( AB × AC ) 2

B

a • a = ( b + c ) • (b + c)

= ( b • b) + ( b • c) + ( c • b) + ( c • c) = b + c + 2 b c cos ( 180 − α ) 2

2

= b + c − 2 b c cos ( α ) 2

2

( a × a) = a × ( b + c) 0 = ( a × b) + ( a × c) − ( a × b) = ( a × c) a b sin γ = a c sin β b c = sin β sin γ

1 L∆ABC = AB t 2 1 = AB AC sin α 2 1 = AB × AC 2

SOAL Vector 



 

Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga kv = 3dimana v = (1,2,4)

SOAL Dot Product 

Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul atau ortogonal    

u=(7,3,5) u=(1,1,1) u=(6,1,3) u=(4,1,6)

v=(-8,4,2) V=(-1,0,0) v=(4,0,6) v=(-3,0,2)

Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya  carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : 

 

u=(-7,1,3) v=(5,0,1) u=(0,0,1) v=(8,3,4)

SOAL Cross Product 



Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A A terhadap bidang 0BC a

s B b

0 c C