Vektor Dan Sistem Koordinat

Elektromagnetika I Bab I: Analisis Vektor (Vektor dan Sistem Koordinat)

Aljabar Vektor Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll

MMR/KRU

Aljabar Vektor Notasi Vektor A ditulis dengan A atau

r r A = A Aˆ

dengan r adalah besar vektor A atau A panjang vektor A adalah unit vektor A atau vektor satuan searah A Vektor satuan atau unit vektor menyatakan arah vektor, besarnya satu

Aˆ

MMR/KRU

Sistem Koordinat ‘Lebih mudah menuangkan konsep

vektor menggunakan sistem koordinat ‘Tiga sistem koordinat : - Koordinat Cartesius - Koordinat Silinder - Koordinat Bola MMR/KRU

Koordinat Cartesius Koordinat Cartesius tersusun atas tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus masing-masing sumbu x, y, dan z z

aˆ x , aˆ y , aˆ z

aˆ z

aˆ y

aˆ x

y

adalah vektor satuan searah sumbu x, sumbu y, dan Sumbu z

x MMR/KRU

Koordinat Cartesius z Az

r A Ay

Ax

x

Dalam koord. Cartesius sembarang vektor A ditulis y

r A = Ax aˆ x + Ay aˆ y + Az aˆ z

Ax, Ay, Az adalah komponen vektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z MMR/KRU

Koordinat Cartesius Besar vektor A ditulis r 2 2 2 A = Ax + Ay + Az Unit vektor A atau vektor satuan searah A ditulis r ˆ ˆ ˆ ˆA = Ar = Ax a x + Ay a y + Az a z A Ax2 + Ay2 + Az2 MMR/KRU

Contoh 1 ‘Vektor A berpangkal di (0,0,0)

dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z. ‘Vektor A dapat ditulis: ‘A = 2 ax + 3 ay + 4 az.

MMR/KRU

Contoh 2 ‘Vektor B berpangkal di (3,0,0)

dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z. ‘Vektor B dapat ditulis: ‘B = ax + -2 ay + 4 az.

MMR/KRU

z

A A

B

4

y

2 3

x MMR/KRU

Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.

MMR/KRU

Soal Titik A terletak dalam koordinat Cartesius (3,4,5), semua koordinat dalam meter. Tentukan : ‰ Gambar vektor posisi A ‰ Penulisan vektor posisi A ‰ Besar vektor A ‰ Unit vektor searah A

MMR/KRU

Koordinat Cartesius Elemen kecil perpindahan (displacement infinitesimal) :

r dl = dxaˆ x + dyaˆ y + dzaˆ z z

P2

Lihat jarak P1 ke P2

dz

P1 dy dx y x MMR/KRU

Koordinat Cartesius Elemen kecil luas ‰ Elemen kecil luas dalam bidang yz r dS x = dydz ax ‰ Elemen kecil rluas dalam bidang xz dS y = dxdz a y ‰ Elemen kecil luas dalam bidang xy r dS z = dxdy a z Elemen kecil volume

dV = dxdydz MMR/KRU

Koordinat Silinder Dalam koord. Silinder sembarang vektor A ditulis

r A = Aρ aˆ ρ + Aϕ aˆϕ + Az aˆ z

aˆ z aˆϕ

z

aˆ ρ ϕ

Aρ, Aϕ, Az adalah komponen vektor A dalam arah sb ρ , sb ϕ , dan sb z

ρ MMR/KRU

Contoh ‘Gambarkan vektor berikut pada

sistem koordinat silinder A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2, 0, 0) B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2, π/2, 0)

MMR/KRU

z

B az

2aφ

az

N

M 2aφ

A

3aρ

x MMR/KRU

3aρ

y

‘ Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. ‘ Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax +2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay + az. MMR/KRU

Koordinat Silinder Elemen kecil perpindahan :

r dl = dρ aˆ ρ + ρdϕ aˆϕ + dz aˆ z

Elemen kecil volume dz

dV = ρdρdϕdz dρ

ρdϕ MMR/KRU

Koordinat Silinder Elemen kecil luas

dS ρ = ρdϕdz aˆ ρ dSϕ = dρdz aˆϕ

dS z = ρdρdϕ aˆ z

MMR/KRU

Koordinat Bola Vektor A ditulis :

z

r A = Ar aˆr + Aθ aˆθ + Aϕ aˆϕ

aˆr aˆϕ

r r θ ϕ

x

aˆθ

Ar, Aϕ, Aθ adalah komponen vektor A dalam arah sb r , sb ϕ , dan sb θ y

MMR/KRU

contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola A= 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di M(2, π/2, 0) B= 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di N(2, π/2, π/2)

MMR/KRU

z

2aϕ 3ar 2aϕ

M

3ar

y

N

B aθ

aθ

x

A MMR/KRU

‘ Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. ‘ Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax +2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay - az. MMR/KRU

Koordinat Bola Elemen vektor perpindahan

r r dl = dr + rdθ + r sin θdϕ

Elemen volume

dV = r sin θdrdθdϕ 2

MMR/KRU

Transformasi Koordinat 1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z)

ρ= x +y 2

2

⎛ y⎞ ϕ = tan ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ z=z −1

Aρ = Ax cos ϕ + Ay sin ϕ Aϕ = − Ax sin ϕ + Ay cos ϕ Az = Az

MMR/KRU

Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy. Tentukan : ‰ Koordinat titik P pada sistem koordinat Silinder ‰ Vektor B dalam koord. Silinder ‰ Besar dan arah B pada titik x=3 dan y=4

MMR/KRU

Transformasi Koordinat 2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ) r = x2 + y2 + z2

Ar = Ax cos ϕ sin θ + Ay sin ϕ sin θ + Az cos θ

⎛ y⎞ ⎝ x⎠

Aθ = Ax cos ϕ cos θ + Ay sin ϕ cos θ − Az sin θ

ϕ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎛ x +y ⎞ ⎟ θ = tan ⎜ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ −1

2

2

Aϕ = − Ax sin ϕ + Ay cos ϕ

MMR/KRU

Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2 Tentukan : ‰ Koordinat titik P pada sistem koordinat Bola ‰ Vektor E dalam koord. Bola

MMR/KRU

Transformasi Koordinat 3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z)

x = ρ ⋅ cos ϕ

Ax = Aρ ⋅ cos ϕ 0 − Aϕ ⋅ sin ϕ 0

y = ρ ⋅ sin ϕ

Ay = Aρ ⋅ sin ϕ 0 + Aϕ ⋅ cos ϕ 0

z=z

Az = Az

MMR/KRU

Contoh ‘Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az berada

pada sistem koordinat silinder dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian

MMR/KRU

Transformasi Koordinat 4. Bola ke Kartesius (x,y,z) x = r ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ z = r ⋅ cosθ Ax = Ar ⋅ sin θ 0 ⋅ cos ϕ 0 − Aϕ ⋅ sin ϕ 0 + Aθ ⋅ cosθ ⋅ cos ϕ A y = Ar ⋅ sin θ 0 ⋅ sin ϕ 0 + Aϕ ⋅ cos ϕ 0 + Aθ ⋅ cos θ 0 ⋅ sin ϕ 0

Az = Ar ⋅ cosθ 0 − Aϕ ⋅ sin θ 0 MMR/KRU

Contoh ‘Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada

pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,π/2,0) ‘Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian

MMR/KRU