Vedrana Kozulic - Gradjevinska statika I

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić

GRAĐEVINSKA STATIKA 1

Predavanja

Akad. god. 2007/08

Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci

Literatura

V. Simović: Građevna statika I, Građevinski institut, Zagreb, 1988. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd, 1966. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd, 1968. V. Andrejev: Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. W. Wagner, G. Erlhof: Praktična građevinska statika I, 1979. H. Werner: Tehnička mehanika, 1986. M. Đurić: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979. M. Đurić, P. Jovanović: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. J. C. McCormac: Structural Analysis, 1966. S. P. Timoshenko, D. H. Young: Theory of structures, McGraw-Hill, New York, 1988.

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

2

ZADAĆA GRAĐEVINSKE STATIKE Građevinska statika jedan je od kolegija mehanike konstrukcija. Osnovni zadatak - projektiranje stabilnih građevina nosivi sklop - konstrukcija •

Pretpostavka da su vanjske i unutrašnje sile u ravnoteži na nedeformiranom nosaču ⇒ linearnost uvjeta ravnoteže

•

Pretpostavka o malim pomacima ⇒ linearnost veza deformacijskih veličina i pomaka

Postupci proračuna: •

analitički

•

grafički

•

grafo-analitički

Konstrukcija: geometrija + opterećenja -

Proračunski modeli (sheme) konstrukcije

VRSTE KONSTRUKCIJA (1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova: - Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji - Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije - Masivne konstrukcije

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

3

(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti: - Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi: • Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: ∑x = 0 ; ∑ y = 0 ; ∑M = 0

Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe (3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru: •

•

ravninske konstrukcije

prostorne konstrukcije

VRSTE OPTEREĆENJA 1) Po promjenljivosti u vremenu: •

statička opterećenja

•

dinamička opterećenja

2) Po načinu prijenosa na konstrukciju: •

koncentrirano opterećenje

•

kontinuirano opterećenje

3) Statička opterećenja dijele se na: •

Stalno opterećenje – mrtvi teret

•

Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.

•

Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

4

STRUKTURA KONSTRUKCIJE Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom

Unutrašnje veze Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje a) štapna veza – štap

- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela - statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)

I

II

I

II

b) zglobna veza – zglob Jednostruki zglob II

I

- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela - statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile

E

A

B

A

C

materijalni zglob

Vedrana Kozulić

C

B

D

nematerijalni zglob

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

5

Višestruki zglob

Kolikostruki zglob:

i = n − 1 ; n je broj zglobno spojenih elemenata

Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: O s = 2 ( n − 1) = 2 i c) kruta veza – uklještenje I

II

•

kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka

•

statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment V M

M

H H V

Kruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa. Ako je kruta veza višestruka, onda je ekvivalentna vezi s 3 ( n − 1) štapova, n – broj priključenih elemenata

d) kruta pomična veza – pomično uklještenje •

kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja

•

statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

6

Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

7

Vanjske veze Oslonac ili veza

Reakcija

Broj nepoznanica

1

Valjci

Valjkasti oslon sa zglobom

Glatka površina

Sila s poznatim pravcem djelovanja

1 Kratko uže

Kratki štap

Sila s poznatim pravcem djelovanja

ili

2 α Osovina bez trenja ili zglob

Hrapava površina

Sila s nepoznatim pravcem djelovanja

ili

3 α Nepomični oslonac

Vedrana Kozulić

Sila i moment

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

8

Najčešći tipovi ležajnih veza:

Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnja slobode, jedna sila veze

F Fx Fy M

Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode, dvije sile veze Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanj slobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

Fx Fy

Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode (translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

9

KINEMATIČKA STABILNOST Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke

M

M

U ravnini

U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti:

točka se mora vezati sa 2 štapa

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti:

štapovi ne smiju ležati na istom pravcu

C

C A

B

ispravno

A

B

neispravno mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav

Vezivanje tijela

U ravnini

U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti:

tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti:

štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki

Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

10

– mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata

Geometrijski promjenljivi sistemi

Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije elemenata

Slučaj geometrijske promjenljivosti:

Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini

a) trima štapovima;

b) kombinacijom štapa i zgloba;

I

c) krutom vezom

II

I

II

a)

b)

I

II

c)

Treba paziti na raspored veza!

nužan uvjet kinematičke stabilnosti:

tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti:

štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)

- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:

I

I

II

II

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

11

Postupno spajanje diskova

I

II

III

IV

Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom. jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav C

dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

B A

jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav

C

I

dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

II D

E B

A

C

A

D

I

Vedrana Kozulić

II E

F

B

dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

12

Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule: s = 3n d + 2n č − n š − 2 ∑ i n zi − n l s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava n d - broj diskova; n č - broj čvorova; n š - broj štapova; n l - broj ležajnih veza; n zi - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob) n

2 ∑ i n zi = 2 n z1 + 4 n z 2 + 6 n z3 + K i =1

s = 0 : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav s < 0 : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav

s > 0 : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena: s≤0:

ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza

geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)

s = −1

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

13

Primjer 1:

B

A

C E

D

G

F

Analiza 1.

Analiza 2.

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 2 n č = 2 (točke F i G) nš = 5 n z1 = 1 (točka B) nl = 3

Broj stupnjeva slobode:

s = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 5 − 2 ⋅1 − 3 = 0

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj dvostrukih zglobova broj trostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 7 nč = 0 nš = 0 n z1 = 2 (točke D i E) n z 2 = 2 (točke F i G) n z3 = 1 (točka B) nl = 3

Broj stupnjeva slobode:

s = 3 ⋅ 7 − 2 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 − 6 ⋅1 − 3 = 0

Primjer 2: B 2

I 1

3

II 4

A

C III

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 3 nč = 0 nš = 4 n z1 = 3 ( točke A, B, C) nl = 3

Broj stupnjeva slobode:

s = 3 ⋅ 3 − 4 − 2 ⋅ 3 − 3 = −4 (sustav ima četiri suvišne veze)

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

14

Primjer 3:

E 1

F

3

A

5

4

2

C

B I

II

D III

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 3 n č = 2 (točke E i F) nš = 5 n z1 = 2 (točke B i C) nl = 3

Broj stupnjeva slobode:

s = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 − 5 − 2 ⋅ 2 − 3 = 1 (nedostaje jedna veza)

Primjer 4: i

nč = 8 n š = 13 nl = 3 k

s = 2 ⋅ 8 − 13 − 3 = 0

P

s = 0 ⇒ ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti Statički postupak ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti sistema: čvor i

čvor k V

V

V=0

P

V=P

Zaključak: Ako u nekom statičkom sustavu s minimalnim brojem veza nije moguće odrediti vanjske i/ili unutrašnje sile pomoću jednadžbi ravnoteže, sustav je geometrijski promjenljiv.

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

15

KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA Statički određeni sustavi s=0 Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti: • punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi Vrste statički određenih sustava Konzola Konzolni stup Konzolna greda Konzola proizvoljnog oblika

Prosta greda

Greda s prepustom

Greda spojena s podlogom s tri štapa

Greda s dva prepusta

Poluokviri

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

16

Okviri

Trozglobni štapni sistemi

trozglobni luk

trozglobni okvir Indirektno opterećena greda

Gerberov nosač

Ojačana greda

Ojačana greda s prepustima

Okvir sa zategom

Vedrana Kozulić

Luk sa zategom

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

17

Okviri sa zategama

Poduprte grede

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

18

Statički neodređeni sustavi s