Vectores

REPASO VECTORES CANTIDADES ESCALARES.-

Son cantidades que para su total determinación sólo es necesario indicar su magnitud. Ejemplos: Temperatura Tiempo Densidad

T= 37 °C t= 3 horas ρ=3.6 g/cm³

Las operaciones entre cantidades escalares obedecen a las leyes ordinarias de las Matemáticas.

REPADO VECTORES CANTIDADES VECTORIALES.- Son cantidades que para su total determinación es necesario indicar su magnitud y su dirección. Ejemplos: La Fuerza F= 100N hacia el Sur. La Velocidad V= 10m/s al Sur-Oeste (SO)

VECTORES.-

Son segmentos dirigidos y se representan por medio de una flecha. magnitud

θ

θ +x

REPASO VECTORES NOMENCLATURA DE UN VECTOR A Vector de magnitud A Vector de magnitud a a Vector de magnitud A A Vector de magnitud a

 a

SELECCIÓN DE ESCALA PARA GRAFICAR VECTORES 1.- Graficar un vector de 50 metros de magnitud dirigido a 90º.

Usar escala 1cm= 10m

90º

VECTORES IGUALES Son aquellos que tienen la misma magnitud y la misma dirección. Todo vector se puede trasladar manteniendo su magnitud y su dirección. y

o

X X x

VECTORES OPUESTOS Son aquellos que tienen la misma magnitud , pero dirección contraria.

y

o

x

OPERACIONES CON VECTORES Los vectores pueden realizar las siguientes operaciones: • Suma • Resta • Multiplicación • NO EXISTE LA DIVISION DE VECTORES.

SUMA DE VECTORES Solo se pueden SUMAR o RESTAR vectores que tengan las mismas dimensiones. Ejemplos: 1.- Vectores Velocidad

→

→

V1 +

V2

→

→

→

+ .......... = V R

2.- Vectores Fuerza F1 +

F2

→

+ .......... = F R

SUMA DE VECTORES METODO GRAFICO DEL POLIGONO

 R

 B

θ A

   R = A+ B  A

 B θ

 R

El orden de los vectores no altera la resultante.

METODO GRAFICO DEL POLIGONO

    R = A+ B +C  B

 C

 A

θ

 R

El método del polígono cerrado consiste en dibujar un vector a continuación de otro. El inicio de cada vector debe coincidir con el final del último vector graficado. El vector resultante o suma es aquel que va desde el origen del primer vector graficado hasta el final del último vector graficado.

SUMA DE VECTORES METODO DEL PARALELOGRAMO Procedimiento: •

Colocar todos los vectores de modo que sus puntos de origen coincidan.

•

Formar un paralelogramo con cada par de vectores (Un paralelogramo es una figura geométrica de 4 lados, dos de los cuales son de la misma longitud y paralelos).

•

La resultante es el vector que va desde el punto de origen de los vectores hasta el vértice opuesto.

SUMA DE DOS VECTORES POR EL METODO DEL PARALELOGRAMO

 B

 R θ 

A

SUMA DE TRES VECTORES POR EL METODO DEL PARALELOGRAMO

 B  C

R1

 R

θ

 A

LEY CONMUTATIVA EN SUMA DE VECTORES c =

a

b +

a b

a

b c = a +b

b

a

a + b=b + a =c

La suma de vectores cumple con la ley conmutativa

LEY ASOCIATIVA EN SUMA DE VECTORES La suma de vectores cumple con la ley asociativa

(A+B) +C=A+(B+C)

(A+

B )+

C= A

B+C

+(B +

C)

C

A+B B

A

RESTA DE VECTORES

B

El vector D = A – B se lo obtiene sumando A y – B . Se muestra el vector C = A + B como comparación.

-B

A-

A

D=

B

A

-B C

=

A

B +

B

COMPONENTES DE UN VECTOR Y

   = + A A A X

Para todo triángulo rectángulo se cumple que

 A

 AY

θ O

Y

 AX

X

De tal forma TODO VECTOR puede expresarse en sus componentes

senθ =

L.O. h L. A. cos θ = h L.O. tan θ = L. A. sen θ =

Ay

⇒ Ay = Asenθ

A A cos θ = x ⇒ Ax = A cos θ A Ay tan θ = Ax

OTRA FORMA DE REPRESENTAR UN VECTOR : VECTORES UNITARIOS

y

 R

 Rj

O

θ

 Ri

x

R = ( Ri )2 +( R j )2 tan θ =

Ry Rx

=

44 .3 = 2.18 20 .3

θ = 65.40

θ = tan −1 2.18

OTRA FORMA DE REPRESENTAR UN VECTOR: VECTORES UNITARIOS

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES

VECTORES UNITARIOS EN DOS Y TRES DIMENSIONES    R = A+B = ( Axi + Ay j ) + ( Bxi + B y j )

= ( Ax + Bx )i + ( Ay + B y ) j = Rx i + R y j

Si todos los vectores no están en el plano xy necesitaremos una tercera componente. Introducimos un tercer factor vector unitario k que apunta en la dirección del eje +z.

 A = Ax i + Ay j + Az k

 B = B x i + B y j + Bz k  R = ( Ax + Bx )i + ( Ay + B y ) j + ( Az + Bz )k

= R x i + R y j + Rz k

VECTORES UNITARIOS EN DOS Y TRES DIMENSIONES Exprese cada vector con sus respectivos vectores unitarios:

VECTORES UNITARIOS EN DOS Y TRES DIMENSIONES Dibuje los siguientes vectores en el sistema de ejes coordenados:

METODO ANALITICO PARA SUMAR Y RESTAR VECTORES METODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES Procedimiento: • • • •

•

Dibujar un sistema de ejes de coordenados( X y Y). Colocar todos los vectores de modo que sus puntos de origen coincidan en el origen del sistema de ejes coordenados. Descomponer cada vector en sus respectivas componentes rectangulares.  Sumar todas las componentes rectangulares en X ( ∑ X ) y todas las  componentes rectangulares en Y ( ∑ Y ). Respetar el signo de cada componente rectangular de acuerdo al cuadrante donde se encuentre. Grafique el vector resultante a partir de las sumatorias en X y en Y previamente encontradas. Calcule el vector resultante usando el teorema de Pitágoras y encuentre el respectivo ángulo usando funciones trigonométricas.

EJEMPLO № 1 Sobre un bloque se aplican dos fuerzas como se muestra en la figura. Calcule la fuerza resultante.

Ax = 50 cos 30 = 43.3 N

B=30N A=50N 40

30

0

0

∑ Rx = Ax + Bx = 20.3N

By

400 Bx

Ay

Bx = −30 cos 40 = −23.0 N Ay = 50 sen30 = 25.0 N

30 0

Ax

B y = 30sen40 = 19.3N ∑ R y = Ay + B y = 44.3N

 R = (∑ R X ) 2 + (∑ R y ) 2 = 20.32 + 44.32 = 48.7 N

VECTOR RESULTANTE : SUS COMPONENTES Y SU ANGULO

y

 R

 Ry

O

θ

 Rx

x

R = ( ∑R X ) 2 + ( ∑R y ) 2 = 20 .32 + 44 .32 = 48 .7 N tan θ =

Ry Rx

=

44 .3 = 2.18 20 .3

θ = 65.40

θ = tan −1 2.18

Ejercicio № 1 USANDO METODO DE LAS COMPONENTES ENCONTRAR EL VECTOR RESULTANTE DE LOS DOS VECTORES P y Q

Ejercicio № 2 Cuáles deben ser las magnitudes   delos vectores A y B de la figura adjunta, para que A + B + C = 0 y

A 37°

C=16 x B

TAREA № 1 DETERMINE LAS TENSIONES DE LAS CUERDAS T1 Y T2 SI α=450 Y LA FUERZA RESULTANTE ES 25 N HORIZONTAL HACIA LA DERECHA

TAREA № 2 Determine la Fuerza Resultante del siguiente conjunto de vectores.

TAREA № 3 La suma de los 3 vectores de la figura adjunta es igual a cero. ¿Cuáles deben ser las magnitudes de los vectores F yN? y

x F N

37°

W=10

Otro método analítico:

LEY DEL COSENO

DEDUCCION DE FORMULAS

Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el valor de los lados a, b y c. 1.- Escoger el triángulo formado por los puntos: B,M y C. Use el teorema de Pitágoras para obtener:

C φ a

A

c

y

α x

M b

c² = y² + (b-x)² β b-x

B

2.- Escoger el triángulo formado por los puntos: A,M y C. Use el teorema de Pitágoras para obtener:

a² = y² + x² (2) Cos α= x/a entonces x = a senα (3)

c² = y² + b² - 2bx + x² c² = y² + x² + b² - 2bx

(1)

3.- Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene :

c² = a² + b² - 2bx c² = a² + b² - 2(ab)Senα

La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos que NO necesariamente son triángulos rectángulos. Es decir que la Ley del Coseno permite encontrar el valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores de los otros dos lados.

Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:

c² = a² + b² - 2(ab)Cosα a² = b² + c² - 2(bc)Cosβ b² = a² + c² - 2(ac)Cosφ

LEY DEL COSENO

LEY DEL SENO La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera. C

1.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: A, M y C obteniendo: Sen α= y/a

y = a Senα

φ a

A

c

y

α

M

x b

2.- Se escoge el triángulo formado por los puntos:M,B y C obteniendo:

β

B

b-x

y = c Senβ

3.- Igualando las 2 ecuaciones se tiene: a Senα = c Senβ

Sen β= y/c

a sen β

=

c sen α

Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:

a sen β

=

c sen α

=

b sen ϕ

LEY DEL SENO Y COSENO Entonces podemos concluir que La ley del Seno y Coseno expresa: A α

θ R

β

R² = A² + B² - 2AB cosθ A senβ

=

B senα

B

=

R senθ

Ejercicio en clase USANDO LA LEY DEL SENO Y COSENO ENCONTRAR EL VECTOR RESULTANTE DE LOS DOS VECTORES P y Q

MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR αA= C

Donde: α es escalar A es vector C es vector

α mayor que

0

1.- Si 0