Vectores (Tema Completo + Ejercicios)

Suma de vectores por métodos gráficos Método del Polígono Una Persona camina 80mts. Hacia el Norte, luego 40mts. Hacia el Noreste y finalmente 100mts. Al Este. Encuentre el desplazamiento resultante utilizando el método del polígono. Encontrar en forma grafica la resultante y su dirección de: 1. Dos Vectores de 25 km/h y 40 km ambos Verticales y con Sentido hacia Arriba. Solución: 65km/h, vertical, hacia arriba 2. Tres Vectores horizontales con sentidos hacia la izquierda y que miden respectivamente 3, 6 y 7 unidades. Solución: 16 unidades, horizontal a la izquierda 3. Dos vectores verticales, uno con sentido hacia arriba y de 150 u y otro con sentido hacia abajo de 120 unidades. Solución: 30u, arriba 4. Los Vectores A = 100Nt , B = 60Nt 45o y C = 120Nt o Solución: 216.01Nt, α = α = 41 .14´ 5. Del desplazamiento de un móvil que se mueve hacia el Occidente 100 kms, en seguida 50 kms hacia el Norte y luego 40kms. hacia el Sureste. Solución: 74.93Km, α = 16o.51´ NO 6. De 5 vectores A = 7, B = 5, C = 9, D = 4 y E = 6 unidades respectivamente. El ángulo entre cada vector y A es 45°, 150°, 250° y 300° respectivamente. (Tomar A horizontal y positivo). Solución: 4.47, α = 11o.44´ (por la forma en que esta planteado se resuelve de forma analítica) 7. De los vectores: A = 25 unidades horizontal y ala derecha. B = 36 unidades hacia arriba y ala derecha a 42° con la horizontal. C = 70 unidades hacía arriba y a la izquierda a 30° con la horizontal. D = 40 unidades vertical y hacia abajo. Solución: 21.48, 66° 3.29 15u 8. Los vectores de la figura 3.29: Sol. 51.84 u, 0o.58´

30u 36o

9. Del desplazamiento de 7 km. hacia el Norte y 9 km. hacia el Este. Solución: 11.4Km, 52° NE

27u

10. De dos vectores de 20 y 30 Nt que forman entre sí un ángulo de 128°. Solución: 23.69, 42° 11. Del desplazamiento de un auto que recorre al Este una distancia de 80.5 kms, luego al Norte 48.3 kms. y después en una dirección 30° al Este del Norte 40.2 kms. Solución: 134.07Km, 59° NE 12. De un móvil que camina hacia el Norte 120 mts. luego cruza hacia el Este y camina 120 mts. más, cruza después hacia el Sur y recorre nuevamente 120 mts. Finalmente cruza hacia el Oeste y vuelve a desplazarse otros 120 mts. Solución: No se ha desplazado , está de nuevo en el punto de partida 13. De dos fuerzas que actúan sobre un objeto pequeño 90 Nt. horizontalmente y hacia la izquierda y 190 Nt. Hacia la derecha a un ángulo de 30° sobre la horizontal. Solución: 120.75 Nt, α = 52° 14. De los siguientes vectores: (figura) V2= 25Nt V3= 15 Nt

Solución: 20.9 Nt, α = 40o 45o

50o

V1= 20 Nt

o

20

V4= 10 Nt V5= 13Nt

15. De dos vectores horizontales de 30 km/h y 50 km/h y con sentido a la derecha. Solución: 80Km/h, hacia la derecha

Suma de vectores por métodos gráficos 3.13. Una mujer camina 4 km hacia el Este y después camina 8 km hacia el Norte, (a) Aplique el método del polígono para hallar su desplazamiento resultante, (b) Compruebe el resultado con el método del paralelogramo. Resp. 8.94 km, 63.4° N del E 3.14. En la superficie de Marte, un vehículo se desplaza una distancia de 38 m a un ángulo de 180°. Después vira y recorre una distancia de 66 m a un ángulo de 210°. .Cual fue su desplazamiento desde el punto de partida? R = 76.2 m, 240.10 3.15. Un topógrafo inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S, y D = 100 m, E. Cual es el desplazamiento neto desde el punto de partida? Resp. 500 m, 126.9° 3.16. Una fuerza descendente de 200 N actúa en forma simultánea con una fuerza de 500 N dirigida hacia la izquierda. Aplique el método del polígono para encontrar la fuerza resultante. R = 539 N,  = 21.80 S. of E. 3.17. Las tres fuerzas siguientes actúan simultáneamente sobre el mismo objeto: A = 300 N, 30° N del E; B = 600 N, 270°; y C = 100 N hacia el Este. Halle la fuerza resultante mediante el método del polígono. Resp. 576 N,51.4°S del E 3.18. Una embarcación navega una distancia de 200 m hacia el Oeste, después avanza hacia el Norte 400 m y finalmente 100 m a 30° S del E. Cual es su desplazamiento neto? R = 368 N,  = 108.00 3.19. Dos cuerdas A y B están atadas a un gancho de amarre, de manera que se ha formado un ángulo de 60° entre las dos cuerdas. La tensión sobre la cuerda A es de 80 N y la tensión sobre la cuerda B es de 120 N. Utilice el método del paralelogramo para hallar la fuerza resultante sobre el gancho. Resp. 174 N 3.20. Dos fuerzas Ay B actúan sobre el mismo objeto y producen una fuerza resultante de 50 N a 36.9° N del O. La fuerza A = 40 N se dirige hacia el Oeste. Halle la magnitud y la dirección de la fuerza B. R: F = 30 lb, 900 Suma de vectores por métodos Analítico y gráfico (Componentes Rectangulares) 1. En forma gráfica y analítica, encuentre la resultante y su dirección de dos vectores de 60 y 100 Nt, que al actuar forman: a) 90°, b) 125°ye) 56°. Solución: a) 116.62 Nt; α=30°58'. b) 81.95 Nt, α= 36°51'.

c) 142.51 Nt, α= 20°26'. 2. Resolver analíticamente el problema 4 del laboratorio 3.5 Solución: 3. En forma gráfica y analítica encontrar la resultante y su dirección de dos vectores de 120 y 80 unidades que al actuar forman un ángulo de 128°. Solución: 94.76, α= 41°42' 4. Encontrar la resultante su dirección gráfica y analíticamente de dos vectores de 60 y 85 mt/seg que al actuar forman ángulo de 68°. Solución: 121.02mt/seg, α=27°221. 5. Resolver en forma gráfica por el método del paralelogramo el problema 9 del laboratorio 3.5 Resolverlo también en forma analítica. Solución: 6. Los siguientes vectores actúan sobre un mismo punto: Á= 25 unidades horizontal y hacia la derecha. B= 36 unidades hacia arriba y ala derecha a 42° con la horizontal. Ü= 70 unidades hacia arriba y a la izquierda a 30° con la horizontal. C= 40 unidades vertical y hacia abajo. Encontrar su resultante y su dirección en forma gráfica y analítica. Solución: 21.04; α= 65°4' 7. Resolver en forma analítica los problemas 11, 13 y 14 del laboratorio No. 3.5 Solución: 8. Hallar las componentes del vector de 123 Nt inclinado hacia arriba y a la izquierda a 62° con la horizontal. Solución: X= -57.74 Nt, y = +108.6Nt 9. Se tienen 3 vectores V1, V2 y V3 cuyas magnitudes son respectivamente 5, 4 y 3 unidades. Las direcciones de V1 y V2 forman un ángulo de 60° y las de V2 y V3 un ángulo de 80°. Calcular su resultante y dirección en forma analítica. Solución: 7.6; α=49° 10. Resolver el problema anterior en forma gráfica. Solución: 11. Hallar R y su dirección de dos vectores perpendiculares de 200 y 250 km/h en forma gráfica y analítica. Solución: 320.15 Km/h α= 38°40' 12. Un auto camina al Este una distancia de 80.5 kms. Después al Norte 48.3 kms y después en una dirección 30° al este del Norte 40.2 kms. Dibuje el diagrama de vectores y determine el desplazamiento del auto. Hacerlo gráfica y analíticamente. Solución: 134.07 Km, α= 59°19' NE

13. Encuentra las componentes de las siguientes fuerzas: a) 260 lbs, 60°. b) 320 lbs, 210°. Solución: a) X= 130 Lbf, y = 225.16 Lbf. b) X = -277.13 Lbf; y= -160 Lbf. 14. Representar gráficamente un desplazamiento de 45 kms, 25° al Sureste. Solución: 21.48, 66° Dos personas jalan una caja sobre el piso. Uno está jalando con una fuerza de 50 Lbf en la dirección N32°O y otro está jalando con una fuerza de 100 Lbf en dirección N30°E. ¿En qué dirección se mueve la caja? ¿Cuál es la fuerza resultante? Hacerlo en forma gráfica y analítica. Solución: FR: 131.13 lbf, 19.67o Resolver los siguientes problemas: 5. Dadas las fuerzas que actúan en un mismo punto: F1 = 15kgf a N15°O y F2 = 30 kgf a N35° E. En forma gráfica y analítica calcular: a) 2F1, b) 3 F2, c) -2F1, d) F1.F2, e) -F1, f)F1 + F2, g) -2(F1+F2). Solución: FR: a) 30 kgf, α = N15°O b) 90 kgf, α = N35°E c) 30 kgf, α = S15°E d) 289.25 kgf e) 15 kgf, α = S15°E f) 41.27kgf, α = 16°10' NE g) 82.54 kgf, α = 253°50' 6. Un barco navega 70 kms. en la dirección N35°E y después 90 km al este. ¿Cual es su rumbo y el desplazamiento resultante? Forma gráfica. Solución: 7. La corriente de un río es de 6 km/h. Un nadador sale de una orilla y perpendicular a la corriente en dirección a la otra orilla a 2 km/h. ¿En qué dirección va realmente? Hacerlo en forma analítica. Solución: 71 °34' 8. Si un móvil se desplaza 10 kms. N45°Ey después 10 kms. hacia el Norte, ¿qué tan lejos se está del punto inicial. Cuál es el rumbo? Hacerlo en forma gráfica. Solución: R = 18.4 km, α = N22°30' E 9. Un cable arrastra un carro con una fuerza de 120 Nt en una dirección de 37° sobre la horizontal. Encuentre, en forma analítica las componentes de dicha fuerza. Solución: x = 95.84 Nt, y = 72.22 Nt 10. Resolver el problema 6 en forma analítica. Solución: 11. Resolver el problema 7 en forma gráfica. Solución: 72° 12. Resolver el problema 8 en- forma analítica. Solución: R = 18.47 km, α = 50° NE 13. Resolver el problema 9 en forma gráfica. Solución: x = 95.84 Nt, y = 72.22 Nt 14. Un auto camina al Este una distancia de 80 km, después al Norte, 48 km. y después en una dirección N30°E, 40 km. Dibuje el diagrama de vectores y determine el desplazamiento del auto a partir del punto de partida. Determine su rumbo. Solución: 15. La suma de dos fuerzas perpendiculares entre sí es de 280 Nt. Si una de las fuerzas tiene un valor de 100 Nt. ¿Cuál es el valor de la otra? Solución: 261.53 Nt 16. ¿Cuál es la dirección de la resultante con la fuerza de 100 Nt. del problema 15. Solución: 69°4' 17. Un niño mete una pelota desplazándola a ras del piso dentro en un hoyo dándole tres golpes así:

en el primer golpe mueve la pelota 7 mts. al Norte; en el segundo la mueve 4 mts. al Sureste y al tercero 2 mts al Suroeste. ¿Qué desplazamiento se hubiere necesitado para meter la bola en el primer golpe?. Hacerlo en forma gráfica. Solución: R= 3 mt, α= N27° E 18. Resolver el problema 17 forma analítica. Solución: R= 3 mt, α= N27° E 19. Encuentre las componentes de cada vector, incluyendo las componentes del vector resultante del problema 14. Solución: 80 km: x = 80 km, y = 0.48 km: 130 km: x = 83.56 km, y = 99.58 km 20. Una fuerza de 60 Kgf se aplica a N226°0. Hallarlas componentes de la fuerza en forma gráfica. Solución: -35.26 kgf, y = 48.59 kgf 21. Hacer el problema 17 en forma analítica. Solución: R = 3 mt, α = N27° E 22. Sean A = 3 u y B = 8 u dos vectores de direcciones 30° y 60° respectivamente (los ángulos a partir de la horizontal). Encontrar analítica y gráficamente A + B. Solución: R=10.70, α = 51°57' 23. El vector resultante de la suma de dos vectores fuerza M y N es de 20 Nt. y forma con M un ángulo efe 40°. M mide 12Nt encontrar N, en forma gráfica y analítica. Analíticamente, sugerencia usar el teorema de los cosenos. Solución: N = 13.28Nt 24. La velocidad resultante conque una lancha cruza un río de una orilla a la otra es de 56 km/h. Si la velocidad de la lancha es de 48 km/h, cuál es la 3.51 velocidad de la corriente? Forma gráfica y analítica. Solución: 28.84km/h, α = 59° C= 6Km B = 8 Km 25. En la figura 3.51, calcular la resultante y su dirección en forma analítica.Solución: Nota: E forma un ángütode24° con el eje y, R = 12.92 km, α = N 2.9°0.

D= 10 Km 20o

36o 20o

E= 3 Km

A= 5 Nt

26. Un nadador va a cruzar un río cuya velocidad de su corriente es de 3 km/h. Si el nadador va a razón de 10 mt/min. ¿Cuál es su velocidad resultante?. Si el ancho del río es de 30 mts. Qué distancia río abajo habrá recorrido el nadador al cruzarlo? Solución: 27. Encontrar las componentes de cada vector de la figura 3.52. Solución: 28. Encontrar en forma gráfica la resultante y su dirección de los vectores del problema 25. Solución: Trigonometría y vectores 3.21. Halle las componentes x y y de (a) un desplazamiento de 200 km a 34°, (b) una velocidad de 40 km/h a 120° y (c) una fuerza de 50 N a 330°. Resp. 166 km, 112 km; —20 km/h, 34.6 km/h; 43.3 N, -2 5 N 3.22. Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N y su dirección forma un ángulo de 40° con respecto a la horizontal. .Cuales son las componentes horizontal y vertical de la fuerza descrita? Fx = 540 cos 400 = 414 N Fy = 540 sin 400 = 347 N 3.23. El martillo de la figura 3.28 aplica una fuerza de 260 N en un ángulo de 15o con respecto a la vertical. .Cual es el componente ascendente de la fuerza ejercida sobre el clavo? Resp. 251 N 3.24. Un niño intenta levantar a su hermana del pavimento. Si la componente vertical de la fuerza que la jala F tiene una magnitud de 110 N y la componente horizontal tiene una magnitud de 214 N, ¿cuales son la magnitud y la dirección de la fuerza F?

R  (2) 2  (6) 2  6.32 mi

tan =

6 ;  = 71.60 N of W 2

3.25. Un rio fluye hacia el Sur a una velocidad de 20 km/h. Una embarcación desarrolla una rapidez máxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el rio descrito, la embarcación avanza a su máxima velocidad hacia el Oeste. .Cuales son la rapidez y la dirección resultantes de la embarcación? Resp. 53.9 km/h, 21.8° S del O 3.26. Una cuerda que forma un ángulo de 30° con la horizontal arrastra una caja sobre el piso. .Cual será la tensión de la cuerda si se requiere una fuerza horizontal de 40 N para arrastrar' la caja? Fx = F cos 300;

F

Fx 40 lb  ; F = 46.2 N 0 cos30 cos300

Dos personas jalan una caja sobre el piso. Uno está jalando con una fuerza de 50 Lbf en la dirección N32°O y otro está jalando con una fuerza de 100 Lbf en dirección N30°E. ¿En qué dirección se mueve la caja? ¿Cuál es la fuerza resultante? Hacerlo en forma gráfica y analítica. Solución: FR: 131.13 lbf, 19.67o Resolver los siguientes problemas: 29. Dadas las fuerzas que actúan en un mismo punto: F1 = 15kgf a N15°O y F2 = 30 kgf a N35° E. En forma gráfica y analítica calcular: a) 2F1, b) 3 F2, c) -2F1, d) F1.F2, e) -F1, f)F1 + F2, g) -2(F1+F2). Solución: FR: a) 30 kgf, α = N15°O b) 90 kgf, α = N35°E c) 30 kgf, α = S15°E d) 289.25 kgf e) 15 kgf, α = S15°E f) 41.27kgf, α = 16°10' NE g) 82.54 kgf, α = 253°50' 30. Un barco navega 70 kms. en la dirección N35°E y después 90 km al este. ¿Cual es su rumbo y el desplazamiento resultante? Forma gráfica. Solución: 31. La corriente de un río es de 6 km/h. Un nadador sale de una orilla y perpendicular a la corriente en dirección a la otra orilla a 2 km/h. ¿En qué dirección va realmente? Hacerlo en forma analítica. Solución: 71 °34' 32. Si un móvil se desplaza 10 kms. N45°Ey después 10 kms. hacia el Norte, ¿qué tan lejos se está del punto inicial. Cuál es el rumbo? Hacerlo en forma gráfica. Solución: R = 18.4 km, α = N22°30' E 33. Un cable arrastra un carro con una fuerza de 120 Nt en una dirección de 37° sobre la horizontal. Encuentre, en forma analítica las componentes de dicha fuerza. Solución: x = 95.84 Nt, y = 72.22 Nt 34. Resolver el problema 6 en forma analítica. Solución: 35. Resolver el problema 7 en forma gráfica. Solución: 72° 36. Resolver el problema 8 en- forma analítica. Solución: R = 18.47 km, α = 50° NE

37. Resolver el problema 9 en forma gráfica. Solución: x = 95.84 Nt, y = 72.22 Nt 38. Un auto camina al Este una distancia de 80 km, después al Norte, 48 km. y después en una dirección N30°E, 40 km. Dibuje el diagrama de vectores y determine el desplazamiento del auto a partir del punto de partida. Determine su rumbo. Solución: 39. La suma de dos fuerzas perpendiculares entre sí es de 280 Nt. Si una de las fuerzas tiene un valor de 100 Nt. ¿Cuál es el valor de la otra? Solución: 261.53 Nt 40. ¿Cuál es la dirección de la resultante con la fuerza de 100 Nt. del problema 15. Solución: 69°4' 41. Un niño mete una pelota desplazándola a ras del piso dentro en un hoyo dándole tres golpes así:

en el primer golpe mueve la pelota 7 mts. al Norte; en el segundo la mueve 4 mts. al Sureste y al tercero 2 mts al Suroeste. ¿Qué desplazamiento se hubiere necesitado para meter la bola en el primer golpe?. Hacerlo en forma gráfica. Solución: R= 3 mt, α= N27° E 42. Resolver el problema 17 forma analítica. Solución: R= 3 mt, α= N27° E 43. Encuentre las componentes de cada vector, incluyendo las componentes del vector resultante del problema 14. Solución: 80 km: x = 80 km, y = 0.48 km: 130 km: x = 83.56 km, y = 99.58 km 44. Una fuerza de 60 Kgf se aplica a N226°0. Hallarlas componentes de la fuerza en forma gráfica. Solución: -35.26 kgf, y = 48.59 kgf 45. Hacer el problema 17 en forma analítica. Solución: R = 3 mt, α = N27° E 46. Sean A = 3 u y B = 8 u dos vectores de direcciones 30° y 60° respectivamente (los ángulos a partir de la horizontal). Encontrar analítica y gráficamente A + B. Solución: R=10.70, α = 51°57' 47. El vector resultante de la suma de dos vectores fuerza M y N es de 20 Nt. y forma con M un ángulo efe 40°. M mide 12Nt encontrar N, en forma gráfica y analítica. Analíticamente, sugerencia usar el teorema de los cosenos. Solución: N = 13.28Nt 48. La velocidad resultante conque una lancha cruza un río de una orilla a la otra es de 56 km/h. Si la velocidad de la lancha es de 48 km/h, cuál es la velocidad de la corriente? Forma gráfica y analítica. Solución: 28.84km/h, α = 59° 49. En la figura 3.51, calcular la resultante y su dirección en forma analítica. Solución: Nota: E forma un ángütode24° con el eje y, R= 3.51 12.92 km, α = N 2.9°0. 50. Un nadador va a cruzar un río cuya velocidad de su C= 6Km B = 8 Km corriente es de 3 km/h. Si el nadador va a razón de 10 D= 10 Km mt/min. ¿Cuál es su velocidad resultante?. Si el ancho del río es de 30 mts. Qué distancia río abajo habrá recorrido el 20o 36o A= 5 Nt nadador al cruzarlo? 20 Solución: o

E= 3 Km

51. Encontrar las componentes de cada vector de la figura Solución:

3.52.

A= 75 Nt 38o 53o

B= 456 kgf

26 o M=15 U

52. Encontrar en forma gráfica la resultante y su dirección de los vectores del problema 25. Solución: 53. Encontrarlas componentes del vector A y el vector B del problema 22.

54. Dados los vectores:

V1 = 30 Nt horizontal y hacia la derecha. V2 = 36 Nt Vertical y hacía arriba. V3 = 50 Nt hacia arriba y ala derecha. V4 = 20 Nt hacia abajo y ala izquierda a 37° con la horizontal.

Encontrar en forma gráfica la resultante y su dirección. 55. Resolver el problema 30 en forma analítica. 56. Encontrar tas componentes de V4 en el problema 30. 57. ¿Cuántos mts3 son 524 pies3? 58. Encontrar los componentes de un vector de 50 Nt a 37° con la horizontal. 59. Un vector de 726.8 kgf, forma un ángulo de 130° con la horizontal. Encuentre sus componentes.

36.

Encontrar la resultante y su dirección en forma analítica del sistema de la figura 3.53.

70 Nt 70 Nt

50 Nt