vectores problemas y teoria 2011 ENERO PRE 3,4 Y 5

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ANALISIS VECTORIAL I 

1.- VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial como por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Los vectores pueden presentarse de dos maneras:

(I) GRAFICAMENTE: se le representa mediante un segmento de recta orientado, asi por ejemplo:

Definimos los puntos P  y Q  en función de sus coordenadas: P  (x 1 ; y  Q  (x 2 ; y  1) 2) 

PQ  Q  P  

   



PQ  (x 2 ; y 2 )  (x 1; y 1  )



PQ  (x  2  x1

Restando:

y ; 2  y 1  )

A partir de la ecuación cartesiana podemos hallar las características del vector: 

PQ 

Modulo:

(x 2  x 1 )2

2 +  y 2(  )  y1  

 y 2  y   1  arctg  Dirección (  ) :      x x   2 1 

PROBLEMAS 1 1.- Determinar el modulo, la dirección y el sentido del vector: A  (12 ; 5)  

2.- Determinar el modulo, la dirección y sentido  

  

del vector: 2 A  3B  , sabiendo que:  

  

A  (2 ;5) ; B   (3 ;4)

3.- Determinar el modulo, dirección y sentido del  

Elementos: 

a) Módulo: Es la medida o longitud del vector. b) Dirección: Es el ángulo "   " que se forma. c) Sentido: Representa  la flecha del vector. d) Línea de Acción (L1 ): Es la línea recta donde se encuentra contenido el vector.

vector: vector:

  

A  3 B  sabiendo que el modulo del A  B  es 25 unidades y además:  

 

  

  

 (3 ;8) A  (p    ;1) ; B 

4.- sabiendo que el modulo y la dirección del  

  

vector A  B  son 25 unidades y 53º respectivamente. Hallar el modulo, la dirección y  

  ;6) el sentido del vector A  4 B  , siendo: A  (p   

  

  

). e) Línea Horizontal (L2 ): Es la línea recta que y B  (4 ; q  sirve para dar la dirección (   ) al vector.  

  

 (5 ;7) y 5.- sabiendo que: A  (4;8); B   (2 ; 3) . Determinar el valor de “ K”, a partir representar a través de ecuaciones cartesianas C 

(II) MATEMATICAMENTE: se le puede

  

(en el plano o en el espacio) y/o ecuaciones de la siguiente expresión: matriciales en general. A  B  C  K C  2A  3B    

  

  

  

 

  

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2.- CLASIFICACION DE VECTORES

h) VECTORES COPLANARIOS: Son vectores que se  encuentran en un mismo plano

a) VECTORES PARALELOS: Son los que 

a

poseen la misma dirección.





c

b 



a

a

P 



b

b

i) VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos

cuyas líneas de acción se cortan (concurren) en un PARALELOS                 ANTI-PARALELOS punto común b) VECTORES OPUESTOS: Son dos vectores a opuestos de igual magnitud, de igual dirección y sentido opuesto. b a j) 





2.- OPERACIONES CON VECTORES: Método del Polígono:



b

El método consiste en graficar a los vectores c) VECTORES COLINEALES: Son vectores dados uno a continuación del otro y el vector que están sobre una misma línea de acción resultante se obtiene partiendo del origen y se dirige al extremo del último. L b a 



d) VECTORES EQUI VALENTES: Dos vectores son equivalentes si tienen igual dirección sentido y modulo El orden de dibujar a los vectores A , B y C no a interesa, pues la resultante siempre será la misma. 

 

 





b

Polígono

cerrado:

Es los vectores e) VECTORES IGUALES: Dos vectores que cuando tienen la misma dirección, sentido, magnitud o graficados cierran la figura, los vectores deben modulo y punto de aplicación orientarse en forma horaria a o antihoraria; por lo tanto b su resultante es nula. f) VECTOR NULO: Es aquel vector donde todos Métodos Analíticos: Son aquellos en los cuales sus componentes son cero (0) ó valen cero (0) para determinar la resultante es necesario hacer g) VECTORES UNITARIOS : Es todo vector uso de ecuaciones matemáticas, las cuales cuya magnitud es uno, i ; j ; k son un conjunto contienen funciones trigonométricas. 









de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente y orientados A) Método del Triángulo: Se tienen los vectores A , B y C  hacia los semiejes positivos Sus módulos: A, B y C Z k  Sus ángulos: α, β, γ a 





 

U  a

X i 

Y j

 

 

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Para determinar un módulo o un ángulo se puede aplicar; A

La Ley de Senos:

sen



B sen

R  X 3

C 



sen 

B) Método del Paralelogramo: 



Cuando dos vectores A y B de módulos A y B a forman un ángulo " α".

R  X 2





Es decir:    Datos: A, B, α Incógnita: R  R  A  B  A  B 





R  X 

El módulo de la resultante:

R

A  B  2 AB cos   2

2

 B  sen     arctg    A  B cos  

· Cuando dos vectores tienen igual módulo. la resultante es bisectriz.

CASOS PARTICULARES:

R  2X  cos 

· Cuando a es igual a 0°, los vectores son paralelos y del mismo sentido. Entonces se obtiene la resultante máxima. RMAX  A  B

· Cuando dos vectores tienen módulos con un divisor común “ n”

· Cuando α es igual a 180°, los vectores son paralelos y de sentido contrario. Entonces se obtiene la resultante mínima. El sentido del vector resultante, es el mismo que  el del vector del mayor módulo. R  n A2  B 2  2 AB cos  

RMIN  A  B

· Cuando el ángulo es igual a 90° los vectores · Cuando se requiere calcular el módulo del son perpendiculares vector diferencia D. entonces: R  

A2  B2

D  AB  



A2  B2  2 AB cos  

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MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR:

3.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

Se emplea cuando se requiere determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. 4.- hallar la intensidad del vector resultante del Este método consiste en: siguiente grupo de vectores: •         Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano, haciéndolos concurrir en el origen de coordenadas. 5.- hallar la intensidad del vector resultante del •     Descomponer todos los vectores que van a siguiente grupo de vectores: sumarse, en sus componentes rectangulares. Para ello hay que auxiliarse de las funciones trigonométricas. 6.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

7.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores: •         Sumar                 algebraicamente                   los componentes en cada eje separadamente, considerando positivos los componentes que señalan hacia arriba o derecha, y negativos los que señalan hacia abajo o izquierda. 8.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores: Vx y  Vy se determinará el •     Conociendo módulo de la resultante y su dirección.

9.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

PRACTICA EN CLASE 1.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

10.- hallar el modulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

2.- Hallar la magnitud del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

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PRACTICA DOMICILIARIA

8.- un bote a motor se dirige hacia el este con

una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina 1.- Calcular la magnitud del vector resultante tiene una velocidad de 4m/s. en la dirección N60ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad del siguiente sistema de vectores: resultante del bote?

9.- Si: A  20;   encontrar la resultante.   ,30 B  



2.- determinar la resultante para los vectores dados: 

  a  20; b  12; c  





5;d      7

10.- determinar el modulo de la resultante, si: 





 A  B  8;    C 

4

3.- Dos vectores de la misma magnitud (4u) están formando un ángulo de 60º. Determinar el modulo de la suma de ambos vectores.

4.- determinar la resultante para los vectores dados, siendo: 

  a  10; b  2; c  



11.- Calcular el modulo de la resultante, si  . 4 a  3;    b  





4;d      3

12.- en la figura D= 20 y C= 40. Determinar su resultante.

5.- hallar la resultante de:





 , encontrar 5 B  la resultante. 6.- En la figura D= 12 y C= 5 determinar su 13.- Si: A  3;    resultante:

7.- Calcular el modulo de la resultante de los vectores mostrados:

14.- determinar el modulo de la resultante, si: 





 A  B  4;    C 

8

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PRACTICA EN CLASE > Los vectores x, M y D son coplanares.   (     ) >  En los siguientes ejercicios colocar verdadero Los o vectores x y D no  son coplanares..  (     ) falso (F), según corresponda: > Los vectores M y D son coplanares........ (     ) > Los vectores A, E, , x, y D son coplanares (     ) 1.- Dados los vectores: > Los vectores A, E y c son concurrentes... (     ) > Los vectores x, M , D son concurrentes.... (     ) > Los vectores x y D son paralelos............. (     ) >   Los vectores A, b y D son paralelos (    )> Los vectores A y c son iguales.................. (     ) >   Los vectores A y D son paralelos     (    ) >  Los vectores A y D son opuestos............ (     ) >   Los vectores b y D son paralelos     (    ) >   Los vectores A y D son opuestos     (    ) 5.- Los vectores mostrados son: >   Los vectores b y D son iguales        (    ) > Paralelos           (     ) > Coplanares        (     ) 2.- del siguiente conjunto de vectores: > Iguales              (     ) > Opuestos           (     ) PROBLEMAS DE VECTORE 

PROBLEMAS >   Los vectores A, b y D son paralelos  (    ) 1.- Si el módulo de la resultante máxima de dos >   Los vectores A y D son paralelos      (    ) vectores es 24u y al mínima es de 8u, hallar el >   Los vectores b y D son paralelos       (    ) modulo de la resultante cuando los vectores formen >   Los vectores A y D son opuestos      (120°.    ) >   Los vectores b y D son iguales          (    ) a) 8 2 b) 8 3 c) 8 5 d) 4 3 e) 4 5

3.- sabiendo que los módulos de los vectores A,

b, D y E son iguales a 2cm. Y que el modulo del 2.- Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura A =  4; B = 5. vector c es 1cm. a) 65 b) 3 5 c) 3 7 > Los vectores A y D son iguales    (     ) d) 3 > Los vectores b y D son opuestos (     ) e) N.A. > Los vectores A y c son iguales     (     ) > Los vectores A y E son opuestos (     ) Hallar el ángulo "  " de manera que la 3.  > Los vectores b y D son opuestos (     ) resultante de los vectores mostrados sea cero.

4.- Se muestran dos planos con vectores.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 







, hallar el 4.- si 3A  2B  30u y 2A  3B  25u  



modulo de 7 A  4B  . a) 70u    b) 50u c) 30u    d) 15u > Los vectores A, E, b y c son coplanares. (     ) e) N.A. Los vectores A, E y b son coplanares…   (     ) >  > Los vectores A, E, b y x son coplanares (     )

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PROBLEMAS UNI

5.- determinar el vector X en función de los 



 

vectores A y B  . 

 

 

 

b) (2 A  3B  )/ 5

 



c) (3 A  2B  )/ 5

 

 

 

 

 





d) A  B  

 

B  C  B  C  a) A  b) A  2 2 B  C  B  C  c) A  d) A  3 4





 

figura es un hexágono regular)



a) ( A  B  )/5 

 

1.- exprese el vector A en términos de B y C (la





e) (3A  2B  )/5

6.- Determinar la medida del ángulo

 

 

PROBLEMA N-1    Sem. CEPRE-UNI

 sabiendo En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4 m

que e! modulo de la resultante de los vectores de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante. mostrados es 103 .(AB= BD= 3 y BC= 1). A) 20 m                        B) 1 a) 30°     b) 37° C) 24 m                        D) 8 c) 45°     d) 53° E) 32 m e) 60° "  para que la resultante cié 7.- Halle el ángulo "    los vectores mostrados sea igual a 7, si además AB= 6 y BC= 10 (M y N son puntos medios). a) 60° b) 57° c) 45° d) 37° e) 30°

PROBLEMA N* 2     Sem. CEPRE-UNI

Dado el   conjunto   de   vectores   que  se mue determinar el vector R en términos del vector E  . Si R  A  B  C  D  E   a) E  b) - E  c) 2 E  d) -2 E  e) 0  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

8.- Hallar la resultante y su módulo de los vectores PROBLEMA N a3   Sem. CEPRE-UNI mostrados en la figura. (B= H= 4; D= G= 6). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

La figura muestra un tetraedro regular de 2 m de lado, halle el módulo de la resultante de todos los vectores mostrados. A) 2 m       B) 4 m      C) cero      D) 1

PROBLEMA N s4     Sem. CEPRE-UNI

En el sistema de vectores mostrados, de termine la , magnitud de: R  A  B  C  D  E  F  G   9.- En la figura determinar el vector suma C y D  en la función de A y B  . si se sabe que :  

 

 



 

 

a) (2 A  B  )/3  

 

b) 2(2A  B  )/3  

 

c) 2(2A  B  )/3  

 

 

 

 

 

 



 

 

 

B  E  G y A  G  10u   A) 10 u             B) 20 u C) 80 u            D) 40 u E) cero

 

d) (2A  B  )/2  

 

 

e) (2 A  B  )/3

PROBLEMA N s6     Sem. CEPRE-UNI 98-1

Hallar el módulo del vector 10.- Hallar el módulo de la resultante de los resultante del sistema de vectores que se muestra en vectores mostrados en el hexágono regular de la figura.  Si:   a =  3u   y lado 2u. e =  2u. a) 8u A) 5u  B) 7u  b) 12u C) 10u  D) 13u  c) 12u d) 20u E) 15u  e) 4u