Vectores en R3

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MOISES VILLENA

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Definición Enfoque geométrico Igualdad Operaciones Aplicaciones Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • • •

• •

Represente geométricamente un vector de R 3 Determine magnitud y dirección de un vector. Sume vectores, multiplique por un escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores Obtenga el área de un paralelogramo sustentados por dos vectores. Obtenga el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

1

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Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio. 1.1 DEFINICIÓN

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: →

v = ( x, y , z )

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO Geométricamente a un vector de R como un segmento de recta dirigido.

3

se lo representa en el Espacio

Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 →

hacia P2 tenemos una

⎯ ⎯→

representación del vector v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 ) z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) →

v

P1 = ( x1 , y1 , z1 ) y

x

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida. z

P ( x, y , z ) →

v

y

x

2

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1.2.1 Magnitud o norma →

Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v

→

→

denotada como v , se define como: →

v = x2 + y2 + z 2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. →

Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería: →

v =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

1.2.2 Dirección →

La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z z

→

γ

α

v

β y

x

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.

3

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Observe que: Cosα =

x →

=

v y

Cosβ =

→

y →

x2 + y2 + z2

y

=

x + y2 + z2 2

v

Cosγ =

x

y

=

x2 + y2 + z2

v

Ejercicio. Demostrar que cos

2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

1.2.3 Sentido →

El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta. 1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R

3

→

→

Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2 1.4 OPERACIONES 1.4.1 Suma →

→

3 Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que

→

→

v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la →

→

→

→

suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se define como: →

→

v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )

4

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1.4.1.1 Propiedades →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces: →

→

→

→

1.

v1 + v2 = v2 + v1

2.

→ → → → → → v1 + ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 + v2 ⎞⎟ + v3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ →

3.

la suma es conmutativa

→

→

la suma es asociativa →

→

∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v , 3

3

→

Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro → ⎛− → ⎞=→ ⎛ − →v ⎞ ∈ R 3 + v v ∃ ∀v∈R , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 tal que ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

4.

3

⎛ ⎝

→

⎞ ⎠

→

Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v

Geométricamente:

v +

v1

→

v1 = ( x1 , y1 , z1 )

→

2

→

z

→

v2 = (x2 , y 2 , z 2 )

y

x →

→

Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia.

1.4.2 Multiplicación por escalar →

Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3 entonces: →

α v = (αx, αy, αz ) 5

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1.4.2.1 Propiedades → → → → ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ 1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢α ⎜ v1 + v2 ⎟ = α v1 + α v2 ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ → → → → 3⎡ ⎤ 2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥ ⎣ ⎦ → → 3⎡ ⎛ ⎞ = (αβ ) →v ⎤ α , β R , v R α β v ∀ ∈ ∀ ∈ 3. ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠ →

Cualquier vector de

→

3

→

v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en

R3 , →

→

combinación lineal de los vectores i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1) →

→

v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1) →

→

→

→

v = x i + y j+ z k

1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno →

→

Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores →

→

de R 3 . El Producto escalar de v1 con v2 denotado →

→

como v1 • v2 se define como: →

→

v1 • v2 = x1 x2 + y1y2 + z1 z 2 Ejemplo →

→

Si v1 = (3,1,−2) y v 2 = (− 1,4,0) entonces →

→

v1 • v 2 = (3)(− 1) + (1)(4) + (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1

1.4.3.1 Propiedades →

→

Sean v1 y v2 vectores de R 3 . Entonces: →

→

→

→

1. v1 • v2 = v2 • v1

6

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2. v1 • ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = v1 • v2 + v1 • v2 →

→

→

⎝

→

→

→

→

⎠

⎛ α v ⎞ • ⎛ β v→ ⎞ = αβ⎛ v→ • v→ ⎞ 3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ →

→

Si v = ( x, y, z ) entonces: →

→

v • v = ( x, y , z ) • ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .

→

→

→ 2

Por lo tanto v • v = v

→

→

o también v =

→

v• v

1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz →

→

Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores de R 3 . El Producto Vectorial de →

→

→

v1 con v2

→

denotado como v1 × v2 se define como: →

→

v1× v2 = ( y1 z 2 − z 1 y2 ,−( x1 z 2 − x2 z1 ), x1 y2 − y1 x2 ) Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

i

j

k

v1 × v2 = x1

y1

z1

x2

y2

z2

→

→

Ejemplo. →

→

Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces

i v1 × v 2 = 1 →

→

j 2

2 −1

k − 1 = −i − 2 j − 5k 0

7

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1.4.4.1 Propiedades. →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 1. El vector ⎛⎜ v1× v2 ⎞⎟ es tanto perpendicular a ⎝ ⎠ →

→

→

→

v1 como a v 2

2. El sentido del vector ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ se lo puede ⎝ ⎠ obtener empleando la mano derecha. →

→

→

Mientras los dedos se dirigen desde v1 →

hacia v2 , el pulgar indica la dirección de → → ⎛⎜ v × v ⎞⎟ . ⎝ 1 2⎠ →

→

v1× v2

→

v2 • •

→

v1

3. v1 × v2 = −⎛⎜ v2 × v1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

→

4. v1 × v1 = 0 →

→

→

→

→

5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0 → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 6. ⎜ α 1 v1 ⎟ × ⎜ α 2 v2 ⎟ = α 1α 2 ⎜ v1 × v2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → → → → 7. v1 × ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ + ⎛⎜ v1 × v3 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 → → → → → → 8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛⎜ v1 • v 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado muy importante:

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→

→ 2

v1 × v 2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1 →

→ 2

v1 × v 2

v2

⎛→ →⎞ − ⎜ v1 • v 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎛ → → ⎞ − ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟ ⎝ ⎠ → 2 → 2

− v1

v2

2

cos 2 θ

[1 − cos θ ] 2

→ 2 → 2

= v1

v 2 sen 2θ

Finalmente: →

→

→

→

v1 × v 2 = v1 v 2 senθ

1.5 APLICACIONES 1.5.1 →

CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES. →

Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura: →

v1

→

v1 h

θ

→ →

v2

v2 →

Tomando como base a v2 , tenemos: Area = base • altura →

= v2 h Observe que senθ =

h →

→

→

entonces Area = v 2 v1 senθ

v1

Y por la propiedad del producto cruz: →

→

Area = v1 × v 2

9

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Ejemplo 1 →

Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y →

v 2 = (2,−1, 0 ) SOLUCIÓN: →

→

El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir: →

→

v1 × v 2 Area Triángulo = →

i

→

j

2

k

Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k 2 −1 0 entonces →

→

v1 × v 2 Area Triángulo =

=

2

(− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2 2

=

30 2

Ejemplo 2 Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y

(− 2,0,1) SOLUCIÖN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P2 (1,1,1) →

v1 P1 (1,−2,0 )

→

P3 (− 2,0,1)

→

v2

→

En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − (−2), 1 − 0 ) = (0,3,1) →

→

v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)

Entonces,

i v1 × v 2 = 0 →

→

j k 3 1 = i − 3 j − 9k

−3 2 1 →

→

v1 × v 2 Area Triángulo =

2

=

(1)2 + (− 3)2 + (9)2 2

=

91 2

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1.5.2 →

CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES →

→

Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.

→

→

v1 × v 2

→

h

v3 →

h

v2

• →

v1 →

→

Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura →

→

→

h del paralelepípedo será la proyección escalar v3 sobre v1 × v2 , entonces:

Volumen = Area base × altura →

→

Donde Area base = v1 × v 2

altura = h = Pr oy →

→

v1 ×v2

⎛→ →⎞ → ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 → v3 = ⎝ → ⎠→ v1 × v 2

Por tanto.

⎛ v→ × v→ ⎞ • v→ 2 ⎟ 3 → → ⎜ 1 ⎝ ⎠ Volumen = v1 × v2 → → v1 × v2 Finalmente, simplificando resulta: → → → Volumen = ⎛⎜ v1 × v 2 ⎞⎟ • v3 ⎝ ⎠

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO →

→

→

ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del →

→

→

paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.

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Ejemplo →

Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) , →

→

v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) . SOLUCIÖN.

Por lo definido anteriormente,

1 −2 1 ⎛→ →⎞ → Volumen = ⎜⎜ v1 × v 2 ⎟⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3 ⎝ ⎠ 1 2 3

Ejercicios propuestos →

→

1. Sean los vectores V1 = 3iˆ − 2 ˆj + 4kˆ y V2 = 3iˆ + 3 ˆj − 2kˆ . →

→

a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 . →

→

b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 . ⎯ ⎯→ →

(

Resp. a) Pr oy → V1 = − 15 ,− 15 , 10 22 22 22 V2

→

)

b)

→

2. Sean los vectores A = Ax iˆ − 5 ˆj + 2kˆ y B = −3iˆ + 2 ˆj − B z kˆ . Calcule los valores de Ax y → →

Bz para los cuales A× B es paralelo a:

a) al eje

Resp. a) Ax =

x Bz =

15 2

b) al eje

y

b) Ax = 15 2

4 5

Bz =

4 5

3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6) Resp. Area =

174 2

4. Dados tres vectores V1 = (5,2,6) , V2 = (−1,8,3) , V3 = (2,−7,4) forman un tetraedro con Resp. h =

vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

77 746

5. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. h = 938 5459

6. Sean u w3 =

1 2 →

y

vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v ,

v

(u + v ) . Hallar

w1 • (w2 × w3 )

Resp. 0 →

7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el →

→

vector W = U −

→ →

U•V →

2

→

→

V es ortogonal a V .

V →

→

→

→

→

→

8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para escalares cualquiera

cyd. →

→

9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y → 1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ C , es ⎜⎜ B − A ⎟⎟ × ⎜⎜ C − A ⎟⎟ 2⎝ ⎠ ⎠ ⎝ → →

→

→

→

→

10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble →

→

→

del volumen del tetraedro de aristas A , B y C . 11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

12