Vectores en Dos y Tres Dimensiones

Universidad Tecnologica de Tijuana TSU Procesos Alimentarios Ext. San Quintín

Funciones Matemáticas “ Vectores de dos y tres dimensiones”

Eva Isabel Lepe O.

San Quintín B.C. 31 de Marzo de 2021

Funciones de variable compleja Las funciones de variable real más importantes admiten una extensión natural a funciones de variable compleja. El caso más simple es el de los polinomios. Cada polinomio con coeficientes reales define una función sobre C que se extiende a la función que define sobre R. Claramente se trata de una función continua. Más aún, ´ todo polinomio p(z) 2 C[z] define una función continua en C1 si admitimos que p (1) = 1. Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precaución de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en 1 se extienden con el valor del límite, finito o infinito, y el resultado es siempre una función continua).

Por ejemplo, la función

toma el valor 1 en ±i y toma el valor 0 en 1.

Los vectores son elementos que permiten representar magnitudes físicas en las que además de un valor numérico hay una dirección y un sentido, como por ejemplo la posición, la fuerza o la velocidad.

Dimensiones de un vector Cada vector está formado por componentes y la cantidad de componentes determina la dimensión del vector. Por ejemplo (1, 2) es un vector que tiene dos dimensiones, mientras que (1,3,4) es un vector que contiene tres.

Vector de dos dimensiones

Vector de tres dimensiones

Los vectores de dos dimensiones se utilizan para representar magnitudes en el plano mientras que los de tres dimensiones son utilizados para representar magnitudes en el espacio. Normalmente estos vectores se identifican con una flecha. El largo de la flecha indica el módulo, la inclinación corresponde a la dirección y la punta de la flecha indica el sentido. El origen del vector se denomina punto de aplicación. En diferentes ciencias y aplicaciones podemos encontrar vectores con más de tres dimensiones, aunque los mismos no tengan una representación gráfica

Representación gráfica de un vector La representación gráfica de un vector depende de las dimensiones de éste. Un vector se denota con una letra con una flecha sobre ella , o con una letra en negrita. Utilizaremos la primera notación. El módulo del vector lo representaremos así:

Un vector puede tener una, dos o tres dimensiones. En el plano, un vector tiene dos dimensiones. Por tanto, se puede descomponer en sus componentes en el eje de las x y en el eje de las y:

Un vector en el espacio tiene las tres dimensiones:

Magnitud De Un Vector Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:

El punto A se le llama origen y el punto de la flecha (B) se llama extremo del vector. Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física, por lo tanto, tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). La longitud del vector se le denomina magnitud o módulo.

Definición De Magnitud De Un Vector La magnitud o módulo de un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final. En símbolos la magnitud del vector AB se define como |AB|. La magnitud o módulo es la longitud proporcional al valor del vector.

Suma de vectores Si tenemos dos vectores y

y

, entonces la suma de

es

En otras palabras, el vector suma de

y

es el vector que resulta de sumar las

componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de con la primera componente de segunda componente de

, y la segunda componente de

se suma

se suma con la

.

Interpretación gráfica de la suma:

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores

Si

y

:

son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente primero se

elige el representante de cuyo origen es el origen de

cuyo origen es el extremo de

. La suma

uniendo el origen de

. Luego,

y cuyo extremo es el extremo de

Notemos que también se puede elegir un representante de

extremo de

y

es el vector

.

tal que su origen sea el

tendrá el mismo valor, pero ahora la obtendremos

con el extremo de

.

Multiplicación escalar de vectores Para multiplicar un vector por un escalar, multiplique cada componente por el escalar. Si

tiene una magnitud

y una dirección d , entonces

donde n es un número real positivo, la magnitud es su dirección es d . Dese cuenta que si no es negativa, entonces la dirección de n u es el opuesto de d . Propiedades de la multiplicación escalar Digamos que, u y v son vectores, y digamos que c y d son escalares. Entonces las propiedades siguientes son verdaderas. Propiedades de la multiplicación escalar La magnitud del vector escalado es igual al

|| c v || = | c | v

valor absoluto del escalar por la magnitud del vector. Propiedad asociativa Propiedad conmutativa

cu=uc

Propiedad distributiva

Propiedad identidad Propiedad multiplicativa de –1 Propiedad multiplicativa de 0

(–1) c = –c

,y

Definición del producto punto El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto es

Sin embargo, la forma más

común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respectivas coordenadas, es decir, si

y

entonces podemos definir el producto punto como:

Propiedades del producto punto Tenemos las siguientes propiedades importantes del producto punto: 1.

Conmutatividad

2. Asociatividad al multiplicar por un número real

3.

Distributividad con la suma

4.

Si

, entonces se cumple que

El producto vectorial

de dos vectores es otro vector cuya dirección es

perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de

a

. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Propiedades del producto vectorial 1. Anticonmutativa 2. Homogénea 3. Distributiva 4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo

5. El producto vectorial es perpendicular a

ya

Vector unitario Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo. AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:

Referencias: 1. M., M., O., O., S., C., Silva, K. P. F., M., Solís, A. L., Hernández, L., R., & E. (2020, 22 abril).

Producto cruz | Superprof. Material Didáctico Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/productocruz.html 2. M., M., Velasquez, E., & S. (2020, 10 octubre). Producto punto | Superprof. Material Didáctico Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/productopunto.html 3. Multiplicación escalar de vectores. (s. f.). Varsity Tutors. Recuperado 18 de abril de 2021, de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/scalar-multip lication-of-vectors 4. P. (s. f.). Magnitud de un vector. MiProfe.com. Recuperado 18 de abril de 2021, de https://miprofe.com/magnitud-de-un-vector/#:%7E:text=La%20magnitud%20o%20m% C3%B3dulo%20de,proporcional%20al%20valor%20del%20vector