Vectores de posición velocidad y aceleración

Vectores de posición velocidad y aceleración En cinemática describimos el movimiento de una partícula por medio de vectores que especifican su posición velocidad y aceleración.

Vector de posición: r Una partícula que se desplaza a lo largo de una trayectoria arbitraria en tres dimensiones. En un momento dado t, podemos localizarla por sus coordenadas x, y , z que son las tres componentes del vector r :

r= x i +y j + z k

Vector de desplazamiento Se define como el cambio de posición que se realiza en este intervalo: ∆r = r2

-r

1

La partícula esta situada en la posición r1  en el tiempo t1  y se desplaza a lo largo de su trayectoria hacia la posición r2 en el tiempo t2. El desplazamiento no es lo mismo que la distancia recorrida por la partícula.

Velocidad Velocidad promedio en un intervalo, es el desplazamiento dividido durante el intervalo temporal durante el cual ocurre el desplazamiento, es decir Vpro = ∆r/∆t Donde ∆t = t2 - t1 . El vector Vpro tiene la misma dirección que el vector ∆r. La velocidad promedio depende de la ubicación de las partículas al inicio y al final del intervalo. Velocidad instantánea V , nos da la velocidad en todos los puntos del intervalo. Para calcularla reducimos el intervalo ∆t ; al hacerlo el vector ∆r se aproxima a la trayectoria real y se convierte en la tangente a la trayectoria en el límite ∆t→0. V = lim ∆t→0 ∆r/∆t = dr/dt En este caso la velocidad promedio se acerca a la instantánea. La dirección de v es tangente a la trayectoria de la partícula e indica la dirección en la que se desplaza en ese momento.

La derivada se aplica a cada una de las componentes del vector de posición; dr/dt = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k El vector v puede escribirse en función de sus componentes V = vx i + vy j + vz k. Dos vectores son iguales solo si sus componentes correspondientes también lo son, por lo cual, al igualar los vectores, se obtienen tres ecuaciones: Vx = dx/dt , Vy = dy/dt ,

Vz = dz/dt .

La velocidad tiene dimensiones de longitud dividida entre el tiempo, de modo que en el SI es metros por segundo. [V]= m/s, km/s, millas/h

Aceleración La aceleración es el cambio de la velocidad con el tiempo. En un cierto intervalo de tiempo, podemos definir la aceleración promedio, como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo, esto es

apro

= ∆V/∆t

= (Vfinal –Vinicial)/ ∆t

La aceleración promedio nada nos dice acerca de la variación de V durante el intercalo ∆t . Su dirección apro es la misma que la de ∆V. La aceleración instantánea a se obtiene en el limite de la apro para intervalos temporales cada vez más pequeños

a = lim ∆t→0 ∆v/∆t = dv/dt. Las componentes del vector aceleración instantánea ax = dvx /dt , ay = dvy /dt ,

az = dvz /dt .

Las unidades de la aceleración son [a]= longitud/(tiempo al cuadrado). La dirección de la aceleración no se relaciona con la de v. v y a pueden ser paralelos, antiparalelos, perpendiculares o cualquier otro Angulo relativo.

Cinemática Unidimensional

En la cinemática unidimensional, una partícula puede desplazarse sobre una recta. Puede cambiar su rapidez e incluso invertir su dirección, pero el movimiento siempre se efectúa en línea recta. Podemos considerar los siguientes problemas físicos; la caída de una popo de pájaro, una micro que acelera, un automóvil que frena, etc. Podemos describir el movimiento de una partícula en dos formas, •

•

Ecuaciones matemáticas, exactamente.

nos

resuelve

el

problema

Método grafico, nos permite una comprensión mas física.

Sin movimiento absoluto La partícula ocupa la misma posición en todo momento. Supongamos que se encuentra en el eje x en la coordenada A de modo que en cualquier momento

X(t) = A

Movimiento a velocidad constante Consideremos el movimiento en dirección de x, la velocidad v puede ser positiva si la partícula se mueve en la dirección creciente de x, o negativa si va en dirección contraria. Cuando la velocidad es constante, la grafía de la velocidad en función del tiempo será una recta. En la grafica de x en función de t, la rapidez de cambio es la pendiente de la grafica, cuando mas grande sea la velocidad mayor será la pendiente.

X(t) = A + Bt

Movimiento acelerado El movimiento acelerado es aquel en donde la velocidad cambia. La pendiente de la grafica para X(t) debe cambiar. Estas graficas para este movimiento son curvas y no rectas. He aquí dos ejemplos de movimiento acelerado:

X(t) = A + Bt + ct^2 X(t) = D cos ωt

Aceleración y frenado de un autobús