Vector Tangente, Normal y Binormal

Definiciones:

Z N

Sea C una curva en el espacio definida por la C función r  (t); según hemos visto, visto, dr/dt es un vector T en la dirección de la tangente a C. Considerando al B escalar t  como la longitud de arco s  medida a partir  Y 0 de un punto fijo de C de la curva dr/dt  es   es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa X en la figura de la derecha. La variación de T respecto de s  es una medida de la curvatura de C y viene dada dT  dT  por: ds .La dirección de ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal  a  a la curva. El vector unitario B definido por el producto vectorial:  B  T   N  , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal   a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.

DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad  es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.

Cálculo del vector tangente unitario EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por: 2

Se calcula la primera derivada de r (t )  ti  t   j r (t )  i  2tj

cuando t   1

por tanto el vector tangente unitario es: T (t ) 

Cuando t =1, el vector tangente unitario es: T (1)  Ver figura de la siguiente diapositiva

i2j 5

r (t ) r (t )



i  2tj 1  4t 

2

La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:

r (t )  (t   2)i  (t   2)  j 2

T(1) 

sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.

DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

Cálculo del vector normal principal (unitario) EJEMPLO 2: Hallar

N

(t) y N (1) para la curva representada por: r (t )  3ti  2t   j 2

Derivando la función dada vemos que: r (t )  3i  4tj

 y

r (t )



De donde se deduce que el vector tangente unitario es: r (t ) 1 T (t )   (3i  4tj ) Vector tangente unitario r (t ) 9  16t  2

 Ahora derivando T (t) respecto de t , tenemos: 1

T (t ) 

2

9  16t 

(4 j ) 

16t  2

(9  16t  ) 2

T (t )

 12

3

9  16t  2

(9  16t  )

3



2

(3i  4tj ) 

12 2

3

(9  16t  )

12 2

9  16t 

Por lo tanto el vector normal principal es:  N (t ) 

T (t ) T (t )



1 2

9  16t 

(4ti  3 j )

2

(4ti  3 j )

2

9  16t 

Cálculo del vector normal principal (unitario)

continuación

…

Cuando t = 1, el vector normal principal es: 1  N (1)  (4i  3 j ) 5

Tal como se muestra en la figura de la derecha:

DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL El vector unitario B definido por el producto vectorial:  B  T  , N  perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal  a la curva C.

Cálculo del vector binormal Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores

T y N