Vecteurs Torseurs PDF

 

Compléments mathématiques : Vecteurs et Torseurs 1

Rap Rappel pelss et complém complément entss sur les vec vecteur teurss

1.1 Grandeur Grandeurss physique physiquess et vecteurs vecteurs Les théories de la mécanique utilisent des grandeurs mécaniques mécaniques qui peuvent êtr êtree mathématiquement représentées par des vecteurs (vitesse, position, accélération, force...). Ces vecteurs sont généralement des éléments d’espaces vectoriels euclidiens euclidie ns sur R de dimension 3 noté E , par conséquent munis d’une forme bilinéaire symétrique définie positive appelée  produit scalaire  et d’une application bilinéaire appelée  produit vectoriel notés : – Produit Produit scalaire scalaire :

E × E −−→ →R (u, v ) −→ u.v

Remarque : on définit alors la norme d’un vecteur  u : u  = √ u.u. – Produit Produit vectoriel vectoriel :

E × E −−→ → E  (u, v ) −→ u ∧ v Rema Re marrque que : on pe peut ut mont montrrer que que : u ∧v  =  −v ∧ u et qu quee u ∧ (α.v + β. w ) = α  α..u ∧v + β .u ∧ w  . D’autre part, si  u  et  v  sont normés et orthogonaux orthogonaux (u.v   = 0), alors  ( (u, v, u ∧ v)  forme une base orthonormal directe.

L’association de trois vecteurs non liés forme une base B de E . On utilisera en SI uniquement des bases orthonormales directes  (  (x, y , z ) z ) telles que : x.y  =   =  x.z    = z .y  = 0   (orthogonalité) x  = y  = z  z   = 1   (vecteurs normés)  =  z  x y  =  z    (orientation directe)

        ∧

Ces bases proposent un grand nombre de bonnes propriétés mathématiques.    de E  est Tout vecteur  V   est alors une combinaison linéaire des vecteurs de base :    =  V x .x + V y .y + V z .z  V  V   z  =

V x V y (x, y , z ) z ) V z

   dans la base ( V x , V y  et  V z  sont les composantes de  V   (x, y, z ) z ). On remarque pour une base orthonormale :  .x V x   =  V  .y V y   =  V V z   =  V .z  z 



On peut définir, pour tout couple de vecteurs  (   un angle  θ   = (u, v) orienté  (u, v ) de E × E  un par un vecteur   zz   normal   normal au plan   (u, v). L’orientation  directe  conduit à un angle   θ   ∈   [0;2π [0;2π ] positif dans le sens trigonométrique (figure 1).

 

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z

Sens positif autour de z

v

Sens positif autour de z

v u

θ

θ

u

z

F IGURE 1 – Orientation d’un angle dans

E  1.2 Pr Produ oduit it scalai scalaire re Le produit scalaire est défini par la relation entre les composantes : Soit : u

B

x1 y1 , v z 1

B

x1 y1 z 1

u..v  = (x1 .x + y1 .y + z 1 .z  z ).(x2 .x + y2 .y + z 2.z  z )

u.v  = x  =  x 1 .x2 + y1 .y2 + z 1 .z 2

Le produit scalaire permet de définir l’angle  θ  θ =  = (u, v ) par la relation : u.v   = u . v . cos(u, v )

    



Remarque : cette relation est inutile en SI car on utilisera toujours les relations entre composantes. Notons tout de même :



  Si u//v, u.v  = ε.  =  ε. u.v  Si u ⊥ v, u.v   = 0

où  ε =  ε  = 1 si les vecteurs sont de même sens et  ε =  ε  =  −1 si les vecteurs sont de sens opposés. 1.3 Pr Produ oduit it vector vectoriel iel Le produit vectoriel est défini par la relation : u

∧ v  =

B

x1 y1 z 1

∧

B

x2 y2 = z 2

B

y1 .z 2 z 1 .x2 x1 .y2

− y .z  − z  .x − x .y 2

1

2

1

2

1

Pour éviter de poser les calculs en colonne, on utilisera régulièrement les propriétés : x y   = z , y y z  z  =  =  x, z  z  z  x  =   =  y, x

∧ ∧ ∧

∧ x = −z z  ∧ y =  −x ∧ z z  ==  −y

Ces propriétés se retrouvent vite en observant le sens direct :  x, x, y, y, z , x, x, y, y, z  z  Le produit vectoriel permet de définir l’orientation directe de l’angle   θ   = (u, v)  autour d’un vecteur n normal à u et v par la relation :



u



∧ v  =  u.v. sin(u, v).n

où n est un vecteur unitaire directement perpendiculaire à ( (u, v). Cette définition sera inutile en SI. page 2

 

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1.4 Produit Produit mixte et double double produit produit vectorie vectoriell 1.4.1 1.4 .1 Pro Produi duitt mix mixte te

Le produit mixte est une forme tri-linéaire alternée :

E ×E × E ××EE −−→ →R (u, v , w   ) −→ u u.( .(v ∧  w  ) = (u ∧ v ).w   = det( det(u, v , w   ) Propr Propriét iétéé : le pr produ oduit it mixt mixtee est in invar varia iant nt par par permu permuta tati tion on circ circul ulai aire re des vec vecte teur urss : (u, v, w ) = (v , w  , u) = (w  , u, v ) 1.4.2 1.4. 2

Doub Double le prod produit uit vecto vectoriel riel

Le double produit vectoriel se calcule par une formule à retenir : soient trois vecteurs  A ,   et  C   , B   (B    C   ) =  B   A

 × (A.  C  ) −  C   ×  × (A.  B )

∧  ∧

       ∧  C   ). On remarque que le résultat est dans le plan  (B, C ), perpendiculaire à  (B

1.5 Cha Change ngemen mentt de base base   un vecteur de E . Soient deux bases B  et B  de E  mobiles  mobiles l’une par rapport à l’autre et  V  1

2

x1    dans   y1 les composantes de  V  Soit  V  z 1 1 x2   dans 2 :  V    y2 composantes de  V  z 2 2

B

B

B

 B . Changer  V    de base consiste à détermi déterminer ner les 1

Le mouvement de B  par rapport à B  est caractérisé par trois rotations élémentaires. En SI, on décompose toujours les rotations en rotations élémentaires autour d’un vecteur de la  base. 2

1

    1  θ  autour  z  z   par  enune rotation . Cette Ex : par traduite  telledeque sur rapport la figureà 2,B où l’on définition commenceest partoujours placer  figured’angle de projection

 B

1

2

les repères comme sur la figure, puis l’axe de rotation, l’angle et enfin on complète les bases dans le sens direct. y2

y1

x2 θ

z1 = z2

x1

F IGURE 2 – Figure de projection. Écriture de x  dans la base 1 :  x   = Écriture de y  dans la base 1 :  y  = Écriture de x  dans la base 2 :  x   = 2

2

1

2

2

1

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1.6 Dérivatio Dérivation n d’un d’un vecteur vecteur par rapport rapport au temps La dérivation des vecteurs en fonction du temps nécessite une base de dérivation. Si u(t)   du

un vecteur fonction du temps, sa dérivée par rapport à une base B  s’écrit : (t). En dt /B exprimant les composantes de u dans B  (chacune étant une fonction du temps), on calcule la dérivée de u dans B  en dérivant chacune des composantes par rapport au temps : 0

0

0

0

0 x y0 ((tt)) z 0 (t)

u  =

B

0

du dt /

B

(t) = 0

B

0

0 x y˙˙0 ((tt)) z ˙0 (t)

Ce type de calcul nécessite cependant de projeter u dans la base B  avant de dériver. Cette opération peut être lourde en calculs lorsqu’il y a plusieurs bases. Pour cette raison, on n’utilisera jamais en SI cette méthode pour dériver. Lorsqu’un Lorsqu’ un système présente plusieur plusieurss bases mobiles les unes par rapport aux autres, il est souvent très intéressant de changer la base de dérivation (par exemple pour se déplacer dans une base où le vecteur est fixe). On peut montrer la relation de changement de base dans la dérivation : Soit deux bases B  et B . Pour tout u(t) vecteur de l’espace, 0

0

1

du dt /

  du (t) = dt /

où    ΩB /B 1

2 2.1 2.1

0

B1 /B0

B (t) +   +    Ω  ∧ u(t)  est le vecteur  vitesse de rotation de B  par rapport à B . B

0

1

1

0

Le Less to tors rseu eurs rs Dé Défin finiti ition on..

T 

  et On ap appel pelle le Torseur  et d’un d’un l’ens l’e nsemb emble le d’un d’un cham champ p de vecte vecteur urss anti-symétrique  M    associé.  R   est appelée la  résultante et  M   A le  moment en A. vecteur  R Pour définir complétement un torseur, il suffit de préciser sa résultante et son moment mo ment en un A de l’ point quelcon quelconque que l’es espa ce.. Ces Ces de deux ux ve vect cteu eurs rssuit so sont nt: alor alorss ap appe pelé léss les les éléments de réduction du torseur en A . On note lepace torseur comme

T  T      R    A M 

=

A

=

A

  R1 .e1 + R2 .e2 + R3 .e3 M A, e1 + M A, e2 + M A, e3 A,1 . A,2 . A,3 .



où R est la base de vecteurs R(e , e , e ). Les coordonnées coordonnées R i  et  M A,i A,i  sont les coordonnées pluckériennes du torseur . Le torseur nul est un torseur dont la résultante et le moment sont nuls en au moins un point M de l’espace.

T 

1

2

3

2.2 Propriété Propriétéss — Relation Relation de changeme changement nt de de point. point.

2.2.1 2.2. 1

Cham Champ p anti antisymét symétrique rique..

   est Un champ de vecteurs  M    est antisymétrique si, et seulement si, pour une application L antisymétrique de R dans R , et deux points  P   et  Q quelconques de l’espace E (R ), on a : 3

3

3

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 PP    =  M   Q + (QP      ) M  QP )

L

Dans R , cette relation s’écrit à l’aide d’un produit vectoriel car pour toute application anti  tel que L(U   ) =  R   ∧    symétrique de R dans R , il existe un vecteur  R U ) U , d’où : 3

3

3

 PP    =  M   Q +  R   M 

    ∧ QP 

C’est cette propriété des champs antisymétriques qui nous permettra de calculer les coordonnées du torseur en différents points. Cette relation est à connaître absolument. 2.2.2 2.2. 2

Cham Champ p équ équiproje iprojectif. ctif.

  est Un champ de vecteurs  M   est équiprojectif si, et seulement si, pour tous points  P   et Q de E (R ), on a : 3

 PP  .P    Q  =  M   Q .P    Q M 

Le théoréme de Delassus nous dit alors que :  Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.

2.3 Som Somme me de deux deux torseu torseurs rs..

T   T   T     T    

Soient deux torseurs

1 et

1 =

A

Soit

2 tels que :

 R  1  A M  A,,1

  et

2 =

A

 R  2  A, M  A,2

T  

 S  est égale à la somme des S  la somme des deux torseurs. Alors la résultante  R

 A,S  exprimé en A est égal à la somme des moments  M   A,    et le moment  M   R    et  R résultantes  M   A, et  A .  exprimés en A, 1

1

2

2

 S   =  R  1 +  R  2 R  A,S     A,1 +  M   A, M  A,S   = M A, A,2

  Ajoute Ajouterr deux torseurs torseurs dont les éléments de réduction réduction sont exprimés exprimés en des points différent différentss n’a aucun sens ! Attention Atten tion !

2.4 Multiplica Multiplication tion d’un torseur torseur par un scalaire. scalaire. Soit

1 un torseur et α  un réel. Alors :

T  

T   T    2 = α.

 1   α.R 1 =   A,1 A α.M A,



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2.5 Com Comome oment nt de deux deux torseu torseurs. rs. On appelle comoment de deux torseurs

T   ⊗ T  

T   T   1 et

2 , la quantité scalaire :

  .M    A,       A, 2 =  R A,  + R .M A,

1

1

2

2

1

Comme pour Comme pour la som somme me,, les momen moments ts des des to tors rseu eurs rs doive doivent nt être être ex expr prim imées ées au même même poi point nt.. Le résultat ne dépend pas du point  A  choisi. 2.6 Automome Automoment nt d’un torseur torseur..

T  T  ⊗ T 

On appelle automoment A d’un torseur lui même :

A =   12 .

2.7 Axe centra centrall d’un d’un torseu torseurr.

la moitié du comoment de ce torseur par   M    A =  R.

T 

On appelle axe central d’un torseur l’ensemble des points I  pour  pour lesquels le champ   est  . Soit :  M   II    =  α. R   , α ∈ R M   est colinéaire à  R     On remarque que l’axe central est toujours une droite paralléle à R.

2.8 Décompos Décomposition ition d’un tors torseur eur.. 2.8.1 2.8 .1 Gli Glisse sseur ur..

   Un glisseur est un torseur dont l’automoment est nul avec  R =   0. Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l’axe central. 2. 2.8. 8.2 2

Co Coup uple le..

  =   Un couple est un torseur dont la résultante est nulle :  R 0. Le moment est donc constant en tout point de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour ce torseur. 2.8.3 2.8. 3

Déco Décomposi mposition tion d d’un ’un to torseur rseur e en n un gl glisseu isseurr et un co couple uple..

Tout torseur

C 

:

T 

peut se décomposer en la somme d’un glisseur

T  G C =

+

  Soit :

  

A

 R    A M 

=

A

  R    A,Glisseur M  A,Glisseur

G 

et d’un couple

   +

A

    0   C 

Cette décomposition n’est pas unique. Elle l’est l’e st si on impose la condition suppléme supplémentaire ntaire   colinéair  . On appe  colinéairee à  R appelle lle parfois parfois "décomp "décomposit osition ion canoni canonique que"" cett cettee déco décompo mpositi sition on uni unique que.. C  Dans le cas d’une décomposition canonique, l’axe central du torseur est le même que l’axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est bien sûr nul sur l’axe central. Le moment du torseur torseur sur l’axe central, central, colinéaire à la résult résultante, ante, est égal   du au moment  C   du couple issu de la décomposition.

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Table ableau au des liai liaison sons. s.