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Módulo IV

Introducción a la Probabilidad

Principios de probabilidad

Introducción probabilidad

Relaciones entre eventos

Reglas probabilidad

Tablas de contingencia y tablas de probabilidad

Frecuencia relativa

Eventos mutuamente excluyentes

Multiplicación

Subjetivo

Eventos colectivamente excluyentes

Adición

Clásico

Eventos independientes Eventos complementarios

Probabilidad condicional

Teorema de Bayes

Árboles de probabilidades

Introducción a la probabilidad En la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de negocios. Los seguros y prácticas actuariales se basan firmemente en los principios de la teoría de la probabilidad. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, las cuales a su vez se basan en las probabilidades de muerte en edades específicas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de automóviles se determinan de manera similar. La probabilidad también juega un papel importante en la estimación del número de unidades defectuosas en un proceso de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar y las ventas potenciales de un nuevo producto. Incluso los apostadores profesionales en eventos deportivos deben tener una comprensión sólida de la teoría de la probabilidad. A pesar de la difundida aplicación de los principios de la probabilidad, existen sólo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: (1) el modelo de frecuencia relativa (a posteriori), (2) el modelo subjetivo y (3) el modelo clásico (o a priori). El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se determina mediante

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑃(𝐸 ) =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Ecua. 13.1

Por ejemplo, asumiendo que durante el año anterior hubo 50 nacimientos en un hospital local, de los cuales 32 de los recién nacidos eran niñas. El modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el siguiente nacimiento (o un nacimiento seleccionado aleatoriamente) sea una niña es

𝑃 (𝑛𝑖ñ𝑎) =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 32 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 50

Otro ejemplo. Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tres artículos. Los datos para las últimas 100 cajas indicaron el número de artículos dañados que había en cada caja. Por ejemplo, mostraba que en 40 de las cajas ningún artículo se había dañado mientras que en 12 de las cajas todos los tres artículos se habían roto. Resultado (E.) (número de

Número de

defectos)

cajas

P(E1)

0

40

40/100 = 0.40

1

27

27/100 = 0.27

2

21

21/100 = 0.21

3

12

12/100 = 0.12

100

1.00

Tabla 13.1

En el pasado, 21 de las 100 cajas totales contenían exactamente dos artículos dañados. Entonces el modelo de frecuencia relativa asignaría una probabilidad de que dos artículos en cualquier caja dada estuvieran dañados así P (2) - 21 /100 = 0.21. La probabilidad para cada resultado individual se muestra en la última columna, la cual suma 1. Un problema común con el modelo de frecuencia relativa resulta cuando se hacen estimaciones con un número insuficiente de observaciones. Por ejemplo, se asume que en los dos vuelos de una aerolínea en los que se hicieron registros el año pasado estuvieron retrasados al llegar a sus destinos. Por tanto, se concluye que el vuelo que se abordará el próximo mes de la misma aerolínea, también estará retrasado. Aunque tales inferencias son comunes, no existen suficientes datos como para sacar tal conclusión y se deben evitar las decisiones basadas en tales inferencias.

En muchos casos los datos pasados no se encuentran disponibles. Por tanto, no es posible calcular la probabilidad a partir del desempeño anterior. La única alternativa es estimar la probabilidad con base en nuestro mejor criterio. El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento con base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas una conjetura hecha sobre cierta base. El modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. La probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de los Estados Unidos es un ejemplo. Debido a que no hay datos sobre los cuales confiar, se deben analizar las opiniones y creencias para obtener una estimación subjetiva. De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:

𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐶𝑙á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝑃(𝐸 )

𝑁° 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑁° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

Ecua. 13.2

Aun sin conocer a fondo la probabilidad clásica, se puede estar consciente de que la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una moneda es de la mitad. Esto puede ilustrarse utilizando la fórmula (13.2) así: 𝑃 (𝑐𝑎𝑟𝑎 ) =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 1 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 2

Existe sólo una forma en que puede ocurrir el evento (se obtiene una cara), y existen dos posibles resultados (una cara y un sello). De igual forma, la probabilidad de sacar un 3 con un dado de seis caras es:

𝑃 (3) =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 1 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 6

Existe sólo una forma en que puede ocurrir el evento (se saca un 3), y seis posibles resultados. La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a priori (antes del hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se puede determinar que la probabilidad de sacar un as es: 𝑃 (𝑎𝑠) =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑟 1 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 52

Ejercicios 1. ¿Cuál modelo de probabilidad es apropiado para cada uno de los experimentos enumerados a continuación? Explique el porqué de su respuesta. a. El índice Dow Jones del precio de las acciones hoy cerrará alto. b. Una unidad de producción será defectuosa. c. Sacar un 6 con un dado. d. El sol será nova. 2. Cite tres ejemplos de negocios para cada uno de los tres modelos de probabilidad. 3. La siguiente tabla muestra el número de computadores vendidos diariamente por una tienda minorista.

Número de computadores vendidos

Número de días

0

12

1

43

2

18

3

20

4

25

Determine la probabilidad de que el número de computadores que se vendan hoy sea:

a. 2 b. Menos de 3 c. Más de 1 d. Por lo menos 1 4. Durante los últimos cuatro campeonatos de fútbol norteamericano, el lanzamiento de la moneda cayó cara todas las veces. Su entrenador le dice que pedir sello esta vez aumentará la probabilidad de que usted gane el lanzamiento. ¿Está en lo cierto o está equivocado? Explique su respuesta completamente. 5. ¿Cuál modelo de probabilidad utilizó en el problema anterior? Explique. 6. Durante el año anterior, las ventas semanales en Petunia's Pet Shoppe han sido "bajas" durante 16 semanas, "considerables" durante 27 semanas y "altas" el resto de las semanas. Cuál es la probabilidad de que las ventas de esta semana sean: a. Considerables b. Bajas c. Altas d. Por lo menos considerables

Terminología básica en probabilidad En general, la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167,0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. En la teoría de la probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. Al lanzar una moneda al aire, si cae cruz es un evento, y si cae cara es otro. De manera análoga, si sacamos una carta de un mazo de naipes, el tomar el as de espadas es un evento. Un ejemplo de evento que, quizá, esté más cercano a su quehacer diario es ser elegido de entre cien estudiantes para que responda a una pregunta. Cuando escuchamos las poco gratas predicciones del índice de mortalidad en accidentes de tránsito, esperamos no ser uno de tales eventos. En la teoría de probabilidad, la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. Utilizando un lenguaje formal, podríamos hacer la siguiente pregunta: en un experimento de lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad del evento cara? Y, desde luego, si la moneda no está cargada y tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus dos lados (sin posibilidades de que caiga parada), podríamos responder, "1/2" o "0.5". Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestra! del experimento. En el de lanzar una moneda, el espacio muestral es 5 = {cara, cruz} En el experimento de sacar una carta, el espacio muestral tiene 52 elementos: as de corazones, dos de corazones, etcétera. A la mayoría de las personas les emocionan menos el lanzamiento de monedas o las cartas que las preguntas como, ¿cuáles son las posibilidades de poder tomar ese avión a tiempo?, o ¿cuáles son mis posibilidades de conseguir una segunda entrevista de trabajo? En resumen, estamos preocupados por la probabilidad de que ciertos eventos sucedan. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. Considere de nuevo el ejemplo de la moneda. Tenemos dos

resultados posibles, cara y cruz. En cualquier lanzamiento obtendremos una cara o una cruz, nunca ambas. En consecuencia, se dice que los eventos cara y cruz en un solo lanzamiento son mutuamente excluyentes. De manera parecida, usted puede pasar o reprobar una materia o, antes de que termine el curso, desertar y no obtener calificación. Solamente uno de esos tres resultados es posible, por tanto, se dice que son eventos mutuamente excluyentes. La pregunta fundamental que se debe formular al decidir si ciertos eventos son mutuamente excluyentes es: ¿pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo tiempo? Si la respuesta es afirmativa, los eventos no son mutuamente excluyentes. Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden resultar de un experimento, se dice que la lista es colectivamente exhaustiva. En el ejemplo de la moneda, la lista —cara y cruz—, es colectivamente exhaustiva (a menos, por supuesto, que la moneda caiga parada cuando la lancemos). En una campaña presidencial, la lista de resultados "candidato demócrata y candidato republicano" no es una lista colectivamente exhaustiva, pues puede haber un candidato independiente o de algún otro partido que esté participando en las elecciones. Ejercicios Ejercicios de autoevaluación 13.1

Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultados posibles al lanzar dos dados.

13.2

Dé la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al lanzar dos dados: 1, 2, 5,6, 7,10 y 11.

13.3

¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de 52 barajas? a) Un corazón y una reina. . b) Una espada y una carta roja. c) Un número par y una espada. d) Un as y un número impar.

13.4

¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados?

a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado. b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados. c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos dados. d) Un total de nueve puntos y un dos en uno de los dados. e) Un total de diez puntos y un cuatro en un dado. 13.5

Un bateador deja pasar todos los lanzamientos que ve. Proporcione el espacio muestral de resultados para los siguientes experimentos en términos de bolas y strikes: a) Dos lanzamientos. b) Tres lanzamientos.

13.6

Considere una pila de nueve cartas todas de espadas, numeradas del 2 al 10, y un dado. Proporcione una lista colectivamente exhaustiva de los resultados posibles al lanzar el dado y destapar una carta. ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral?

13.7

Considere la pila de cartas y el dado del ejercicio 13.3 Proporcione la probabilidad de cada uno de los siguientes totales al sumar los valores del dado y de la carta: 2

13.8

3

8

9

12

14

16

En una reciente asamblea de los miembros de un sindicato que apoyan a Joe Royal como su presidente, el líder de los seguidores de Royal afirmó: "Tenemos buenas posibilidades de que Royal derrote al único oponente en la elección." a) ¿Cuáles son los "eventos" que podrían resultar de la elección? b) ¿La lista que hizo es colectivamente exhaustiva? ¿Son los eventos de la lista mutuamente excluyentes? c) Sin tomar en consideración el comentario de sus seguidores y sin tener ninguna información adicional, ¿qué probabilidad asignaría usted a cada evento?

13.9

La compañía telefónica Southern Bell está planeando la distribución de fondos para una campaña con el fin de aumentar las llamadas de larga

distancia en Carolina del Norte. La siguiente tabla es una lista de los mercados que la compañía considera valiosos para enfocar su promoción:

Costo

de

especial Porción de mercado

campaña dirigida

a

cada grupo

Minorías

$350,000

Empresarios

$550,000

Mujeres

$250,000

Profesionistas y trabajadores de oficina

$250,000

Obreros

$250,000

Hay una cantidad de hasta $800,000 disponible para estas campañas. a) ¿Las porciones de mercado que se enumeran en la tabla son colectivamente exhaustivas? ¿Son mutuamente excluyentes? b) Haga una lista colectivamente exhaustiva y mutuamente excluyente de los eventos posibles de la decisión sobre gastos. c) Suponga que la compañía ha decidido gastar los $800,000 en campañas especiales. ¿Esta circunstancia cambia la respuesta que dio en el inciso b)? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es su nueva respuesta?

Reglas de probabilidad La mayoría de los administradores que utiliza la probabilidad se preocupan por dos condiciones: 1. El caso en que un evento u otro se presente. 2. La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo. Demostramos interés en el primer caso cuando preguntamos: "¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario?" Para ilustrar la segunda situación, podríamos preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario /que el 10% de nuestra fuerza de ventas no se presente a trabajar?" En las secciones que siguen ilustraremos algunos métodos para determinar las respuestas a las preguntas planteadas bajo una variedad de condiciones. Algunos símbolos, definiciones y reglas de uso común Símbolo para una probabilidad marginal En la teoría de probabilidad, utilizamos símbolos para simplificar la presentación de ideas. Como lo vimos antes en este mismo capítulo, la probabilidad de un evento A se podría expresar como: Probabilidad de que el evento A suceda Probabilidad de que el evento A suceda

P(A) = la

probabilidad de que el evento A suceda

Una probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede llevarse a cabo. Se le conoce como probabilidad marginal o incondicional. Para ilustrar un poco a lo que nos referimos, supongamos que se hace una rifa entre 50 miembros de un grupo escolar de un viaje gratis al Festival Nacional de Rock. La rifa consiste en sacar el boleto premiado de un total de 50 boletos. Cualquiera de los estudiantes podría calcular su probabilidad de ganar mediante la siguiente formulación:

𝑃 (𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟) =

1 50

= 0.02 En este caso, la posibilidad de que un estudiante gane es de 1 entre 50, debido a que tenemos la certeza de que los eventos posibles son mutuamente excluyentes, es decir, solamente un estudiante puede ganar. Existe una buena forma de ilustrar, por medio de diagramas, este ejemplo y otros conceptos de probabilidad. Usamos una representación gráfica conocida como diagrama de Veringa honor al matemático inglés del siglo XIX, John Venn. En tales diagramas, el espacio muestral completo se representa mediante un rectángulo y los eventos se representan como partes de ese rectángulo. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, las partes correspondientes de éstos en el rectángulo no se traslaparán, como se muestra en el diagrama (a) de la figura 13.1. Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, sus partes correspondientes en el rectángulo sí se traslapan, como se ilustra en el diagrama (b) de la figura 13.1 Debido a que las probabilidades se comportan en mucho como si fueran áreas, tomaremos el área del rectángulo como la unidad (porque la probabilidad de que algo pase con toda certeza es 1). Entonces la probabilidad de que suceda un evento es su área que le corresponde del rectángulo. En el diagrama (c) de la figura 13.1 se ilustra lo que decimos para el caso del ejemplo del Festival Nacional de Rock. En ésta el rectángulo está dividido en 50 partes iguales que no se traslapan. Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes. A menudo, sin embargo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra sucedan. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. Esta regla se expresa simbólicamente de la siguiente manera:

P(A o B) = la probabilidad de que suceda A o B

Y se calcula de la siguiente manera: Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B)

Ecua. 13.3

Esta regla de adición se ilustra en el diagrama de Venn de la figura 13.2, en la que notamos que el área junta de los dos círculos (que representa el evento A o B) es la suma del área del círculo que representa a A y la del círculo que representa a B. Usemos esta fórmula con un ejemplo. Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una entrevista para trabajar en el verano. La compañía solicitante ha anunciado que contratará a sólo uno de los cinco, mediante una elección aleatoria. El grupo está formado por los estudiantes siguientes: Bill, Helen, John, Sally y Walter. Si nuestra pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que John sea elegido?, podemos utilizar la ecuación 13.2 y obtener la respuesta. 𝑃 (𝐽𝑜ℎ𝑛) = = 0.2

FIGURA 13.1

1 5

FIGURA 13.2

Diagrama de Venn para la regla de adición de eventos mutuamente excluyentes

Sin embargo, si preguntamos, ¿cuál es la probabilidad de que John o Sally sean elegidos?, deberíamos utilizar la ecuación 13.3: P (John o Sally) = P (John) + P (Sally) =

1 1 + 5 5

=

2 5

= 0.4 Calculemos una vez más la probabilidad de que sucedan dos o más eventos. La tabla 13.2 contiene los datos sobre el tamaño de las familias de un cierto pueblo. Estamos interesados en la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que una familia de este pueblo, escogida al azar, tenga cuatro o más hijos (es decir cuatro, cinco, seis o más hijos? Haciendo uso de la ecuación 13.3, podemos calcular la respuesta a nuestra pregunta; P (4, 5, 6 o más)

= P (4) + P (5) + P (6 o más) = 0.15 + 0.10 + 0.05 = 0.30

Existe un caso especial importante de la ecuación 13.3. Para cualquier evento A, tenemos que éste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Aplicando la ecuación 13.3 obtenemos el resultado P(A) + P (no A) = 1

o de manera equivalente: P(A) = 1 – P (no A) Por ejemplo, refiriéndonos de nuevo a la tabla 13.2, la probabilidad de que una familia tenga cinco o menos hijos se puede calcular con mayor más facilidad si restamos a 1 la probabilidad de que en la familia haya seis O más hijos, con lo cual tenemos que esta probabilidad es de 0.95. Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de adición. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as aun corazón de un mazo de barajas? Obviamente, los eventos as y corazón pueden presentarse juntos, pues podríamos sacar una as de corazones. En consecuencia, as y corazón no son eventos mutuamente excluyentes. Debemos ajustar la ecuación 13.3 para evitar el conteo doble, es decir, tenemos que reducir la probabilidad de obtener un as o un corazón por la posibilidad de obtener ambos eventos juntos.

Tabla 13.2 Datos del

Número de hijos

tamaño de

Proporción de familias

familia

que tienen esta cantidad

0

1

2

3

4

5

6 o más

0.05

0.10

0.30

0.25

0.15

0.10

0.05

de hijos

Como resultado de lo anterior, la ecuación correcta para la probabilidad de uno o más eventos que no son mutuamente excluyentes es: Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Probabilidad de que A suceda

Probabilidad de que A y B sucedan juntas

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Probabilidad de que se presenten A o B cuando A y B no son mutuamente excluyentes

Ecua. 13.4

Probabilidad de que B suceda

La figura 13.3 muestra un diagrama de Venn que ilustra a la ecuación 13.4. En ella, el evento A o B está resaltado con una línea más gruesa, y el evento A y B es la porción cuadriculada que se encuentra en el medio. Si sumamos las áreas de los círculos A y B, contaremos doble el área de la intersección, de manera que debemos restarla para asegurarnos de que solamente se cuente una vez. Usando la ecuación 13.4 para determinar la probabilidad de obtener un as o un corazón, podemos calcular: P(as o corazón) = P(as) + P (corazón) — P(as y corazón) =

4 13 1 + − 52 2 52

=

16 4 𝑜 52 13

Trabajemos un segundo ejemplo. Los empleados de una cierta compañía han elegido a cinco de ellos para que los representen en el consejo administrativo y de personal sobre productividad. Los perfiles de los cinco elegidos son: 1. hombre

edad 30

2. hombre

32

3. mujer

45

4. mujer

20

FIGURA 13.3

Diagrama de Venn de la regla de adición parra dos eventos no mutuamente excluyentes.

Este grupo decide elegir un vocero, la elección se efectúa sacando de un sombrero uno de los nombres impresos. Nuestra pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años? Utilizando la ecuación 13.4, podemos establecer la respuesta a nuestra pregunta como: P(mujer o mayor de 35) = P(mujer) + P(mayor de 35) - P(mujer y mayor de 35) =

2 2 1 + − 5 5 5

=

3 5

Podemos verificar nuestro trabajo mediante inspección y ver que de los cinco empleados del grupo, tres cumplirían con el requisito de ser mujer o de tener más de 35 años.

Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento depende o se ve afectada por la presentación de algún otro. Exactamente igual que con los eventos dependientes, los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son: 1. Condicional. 2. Conjunta. 3. Marginal. Probabilidad condicional bajo dependencia estadística Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Analizaremos primero las probabilidades condicionales, debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si utilizamos la probabilidad condicional como base. Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la siguiente manera: • Tres son de color y tienen puntos • Una es de color y tiene franjas • Dos son grises y tienen puntos • Cuatro son grises y tienen franjas La probabilidad de sacar cualquiera de las bolas es de 0.1, ya que existen 10 bolas con igual probabilidad de ser elegidas. El análisis de los ejemplos siguientes se hará más sencillo si nos remitimos a la tabla 13.3 y a la figura 13.4, en las que se muestra el contenido de la caja en forma de diagrama. Ejemplo 1. Suponga que una persona saca de la caja una bola de color, ¿cuál es la probabilidad de que ésta tenga puntos? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas? Solución: Esta pregunta puede expresarse simbólicamente como P(D│Q) o ¿cuál es la probabilidad condicional de que la bola tenga puntos (D), dado que es de color (C)?

Se nos ha dicho que la bola que se sacó es de color. Por tanto, para calcular la probabilidad de que tenga puntos, ignoraremos a todas las bolas grises y nos concentraremos exclusivamente en las de color. Sólo tomaremos en cuenta lo que se muestra, en forma de diagrama, en la figura 13.5. Evento

Tabla 13.3 Color

y

configuración de 10

Probabilidad del evento

1

0.1

2

0.1

3

0.1

4

0.1

5

0.1

6

0.1

7

0.1

8

0.1

9

0.1

10

0.1

de color y con puntos

de color y con franjas

bolas

Figura 13.4

grises y con puntos

grises y con franjas

Figura 13.5

A partir del planteamiento del problema, sabemos que hay cuatro bolas de color, tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas. Para hacerlo dividimos el número de bolas de cada categorías entre el número total de bolas de color. 𝑃 (𝐷|𝐶 ) =

3 = 0.75 4

𝑃 (𝑆|𝐶 ) =

1 = 0.25 4 𝟏. 𝟎𝟎

En otras palabras, tres cuartos de las bolas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. Así pues, la probabilidad de sacar una bola con puntos, dado que ésta es de color, es de 0.75. De forma parecida, la probabilidad de obtener una bola con franjas, dado que ésta es de color, es de 0.25. Ahora podemos ver cómo nuestro razonamiento nos permitirá desarrollar una fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. Primero, podemos asegurarnos a nosotros mismos que tales eventos son estadísticamente dependientes si observamos que el color de las bolas determina la probabilidad de que éstas tengan puntos o franjas. Por ejemplo, es más probable que una bola gris tenga franjas que una bola de color. Como el color afecta la probabilidad de que la bola tenga puntos o f ranjas, estos eventos son dependientes. Para calcular la probabilidad de obtener una bola con puntos dado que es de color, P(D│C), dividimos la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (tres de 10, es decir 0.3) entre la probabilidad de que la bola sea de color (cuatro de 10, es decir, 0.4): 𝑃 (𝐷|𝐶 ) =

𝑃(𝐷𝐶) 𝑃(𝐶)

Expresada como una fórmula general y utilizando las letras A y B para representar los dos eventos, la ecuación queda:

Probabilidad condicional para eventos dependientes estadísticamente

𝑃(𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐵𝐴)

[13.5]

𝑃(𝐴)

Esta es la fórmula para la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. Ejemplo 2. Continuando con nuestro ejemplo de las bolas de color y grises, respondamos a las preguntas, ¿cuál es la probabilidad de P(D│Q) y P(S|G)? Solución 𝑃 (𝐷|𝐺 ) =

𝑃(𝐷𝐺 ) 0.2 1 = = 𝑃(𝐺 ) 0.6 3

𝑃(𝑆 |𝐺 ) =

𝑃(𝑆𝐺) 0.4 2 = = 𝑃(𝐺) 0.6 3 𝟏. 𝟎

El problema se muestra en forma de diagrama en la figura 13.6. La probabilidad total de que la bola sea gris es de 0.6 (seis de 10 bolas). Para determinar la probabilidad de que la bola (que sabemos es gris) tenga puntos, dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga puntos (0.2) entre la probabilidad de que sea gris (0.6), o 0.2/0.6 = 1/3. De manera parecida, para determinar la probabilidad de que la bola tenga franjas, dividimos la probabilidad de que sea gris y tenga franjas (0.4) entre la probabilidad de que sea gris (0.6), es decir, 0.4/0.6 = 2/3. Ejemplo 3 Calcule P(G|D) y P(C|D). Solución En la figura 13.7 se muestra el contenido de la caja clasificado de acuerdo con las marcas de las bolas: puntos o franjas. Debido a que sabemos que la bola que se sacó tiene puntos, podemos ignorar las bolas con franjas y solamente considerar las que tienen puntos. Considere ahora la figura 13.8, en la que se muestra la probabilidad de obtener una bola de color y la de obtener una gris, dado que la bola tiene puntos. Note que las

proporciones relativas de las dos probabilidades son 0.4 y 0.6. Los cálculos que se hicieron para llegar a estas cifras fueron:

𝑃 (𝐺 |𝐷) =

𝑃(𝐺𝐷) 0.2 = = 0.4 𝑃 (𝐷) 0.5

𝑃(𝐶 |𝐷) =

𝑃(𝐶𝐷) 0.3 = = 0.6 𝑃(𝐷) 0.5 𝟏. 𝟎

FIGURA 13.8

FIGURA 13.6 Probabilidad de obtener una bola con puntos o una con franjas dado que la que se sacó es gris.

FIGURA 13.7 Contenido de la caja clasificada por configuración: con puntos y con franjas.

Probabilidad de obtener una bola de color y de obtener una bola gris, dado que ésta tiene puntos

Ejemplo 4 Calcule P(C | 5) y P(G | 5) Solución 𝑃(𝐶 |𝑆) =

𝑃(𝐶𝑆) 0.1 = = 0.2 𝑃 (𝑆) 0.5

𝑃(𝐶 |𝐷) =

𝑃(𝐺𝑆) 0.4 = = 0.8 𝑃(𝑆) 0.5 𝟏. 𝟎

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística Hemos mostrado que la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística es 𝑃(𝐵 |𝐴) =

𝑃 (𝐵𝐴) 𝑃 (𝐴)

Si de esta ecuación despejamos P(BA) mediante una multiplicación, obtendremos la fórmula para la probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística:

Probabilidad conjunta para eventos dependientes estadísticamente Probabilidad conjunta de que los eventos B y A se presenten al mismo tiempo o en sucesión

Probabilidad de que suceda el evento B dado que ya se presentó el evento A

P(BA) = P(B│A) X P(A)* Probabilidad de que se presente el evento A

Observe que esta fórmula no es P(BA) = P{AB) X P(A), como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística. Aplicando la fórmula general P(BA) = P(B│A) X P(A) a nuestro ejemplo y en términos de bolas de color (C), grises (G), con puntos (D) y con franjas (S), tendremos P(CD) = P(C│D) x P(D) o P(CD) = 0.6 X 0.5 = 0.3. Aquí, 0.6 es la probabilidad de obtener una bola

de color, dado que ésta tiene puntos (calculada en el ejemplo 3 anterior) y 0.5 es la probabilidad de obtener una bola con puntos (también calculada en el ejemplo 3). El resultado, P(CD) = 0.3, puede verificarse en la tabla 13.3, en la que llegamos a la probabilidad por inspección: tres bolas de 10 son de color y con puntos. Las probabilidades conjuntas siguientes están calculadas de la misma manera y se pueden comprobar haciendo referencia a la tabla 13.3. P(CS) = P(C│S) x P(S) = 0.2 x 0.5 = 0.1 P(GD) = P(G│D) x P(D) = 0.4 x 0.5 = 0.2 P(GS) = P(G│S) x P(S) = 0.8 x 0.5 = 0.4 *Para encontrar la probabilidad conjunta de los eventos A y B, se puede utilizar la fórmula P(BA) = P(AB) = p(A|B) x P(B),. Esto es cierto porque BA = AB.

Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. En el ejemplo anterior, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color: P(C) = P(CD) + P(CS) = 0.3 + 0.1 = 0.4 De manera parecida, la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris: P(G) = P(GD) + P(CS) = 0.2 + 0.4 = 0.6 Igualmente, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos: P(D) = P(CD) + P(GD) = 0.3 + 0.2 = 0.5

Y, por último, la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas: P(S) = P(GS) + P(GS) = 0.01 + 0.04 = 0.5 Estas cuatro probabilidades marginales, P(C) = 0.4, P(G) = 0.6, P(D) = 0.5 y P(S) = 0.5, se pueden verificar mediante una inspección de la tabla 13.3. Ahora ya hemos analizado los tres tipos de probabilidad (condicional, conjunta y marginal) que se tienen en condiciones de dependencia estadística. En la tabla 13.4 se presenta un resumen de las fórmulas desarrolladas para las probabilidades bajo ambas condiciones de independencia estadística y de dependencia estadística. Sugerencia: distinga entre probabilidad condicional y probabilidad conjunta mediante el uso cuidadoso de los términos dado que y ambos… y. P(A│B) es la “probabilidad de que A ocurra dado que ocurrió B” y P(AB) es la “probabilidad de que ambos, A y B ocurran”. La probabilidad marginal P(A) es la “probabilidad de que ocurra A, suceda B o no”. Tabla 13.4

Fórmula bajo Tipo

de

independen

probabilid Probabilidades bajo

dependencia

cia Símbolo

estadística

P(A)

P(A)

estadística

condiciones

de independencia y

ad

Fórmula bajo

Marginal

dependencia

Suma de la probabilidad de los eventos conjuntos en los que A

estadística

ocurre Conjunta

Condicional

P(AB)

P(A)xP(B)

o P(BA)

P(B)xP(A)

P(B│A)

P(B)

P(A|B)xP(B) P(B\A)xP(A) 𝑃(𝐵𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴𝐵) 𝑃(𝐵)

o P(A│B)

P(A)

Ejercicios

1)

De acuerdo con una encuesta, la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor que $35,000 es 0.75. De los hogares encuestados, 60% tenía ingresos mayores que $35,000 y 52% tenía dos autos. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35,000 al año?

2)

La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos durante el último mes; pero, debido al aumento en las medidas de seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada ladrón; también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla. Sexo

Primera ofensa

Reincidente

Hombre

60

70

Mujer

44

76

104

146

Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre. b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. c) la probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente. d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente. 3)

Dos eventos son estadísticamente dependientes. Si P(A) = 0.39, P(B) = 0.21 y P(A o B) = 0.47, encuentre la probabilidad de que a) no ocurra ni A ni B. b) ocurran tanto A como B. c) ocurra B dado que A ocurrió.

d) ocurra A dado que B ocurrió. 4)

Dado que P(A) - 3/4, P(B) = 1/6, P(C) = 1/3, P(AC) = 1/7 y P(B|C) = 5/21, encuentre las siguientes probabilidades: P(A|C), P(C|A), P(BC) y P(C|B).

5)

Suponga que para dos eventos A y B, P(A) = 0.65, P(B) = 0.80, P(A|B) = P(A) y P(B|A) = 0.85. ¿Es ésta una asignación de probabilidades consistente? Explique.

6)

En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los datos siguientes. De las personas que acu den al comedor, 59% son hombres, 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor, tomado al azar, sea alcohólico?

7)

Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos, el Consejo de Seguridad Carretera encontró que 60% de los accidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado, dado que sucedió de noche? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que está relacionado con un conductor ebrio?

8)

Si un huracán se forma en la parte oriental del Golfo de México, hay 76% de posibilidades de que éste golpee la costa occidental de Florida. A partir de los datos recabados en los 50 años pasados, se ha determinado que la probabilidad de que se forme un huracán en la parte oriental del golfo en cualquier año dado es de 0.85. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un huracán se forme en la parte oriental del Golfo de México y llegue a la costa occidental de Florida este año? b) Si a un huracán formado en la parte oriental del Golfo de México sé le induce a producir lluvia mediante la irrigación de productos químicos desde aeronaves, la probabilidad de que golpee la costa occidental de Florida se reduce en un cuarto. Si se decide aplicar este tratamiento a todo huracán

que se forme en la parte oriental del golfo, ¿cuál es el nuevo valor de la probabilidad del inciso a)? 9)

Al Cascade, presidente de la empresa Litre Corporation, está estudiando las posibilidades de que su compañía obtenga un importante contrato para instalar un sistema de purificación de agua para las autoridades del Valle de Tennessee. De acuerdo con ello, dos eventos tienen interés para él. Primero, el principal competidor de Litre, la WTR, está efectuando una investigación sobre purificación de agua en la zona, la cual espera concluir antes del tiempo límite para poder concursar por la concesión. Segundo, existen rumores de que las autoridades del Valle de Tennessee van a realizar una auditoría a todos sus contratistas, de los cuales Litre forma parte y WTR no. Si el competidor principal de Litre termina a tiempo su investigación de campo y no se hace la auditoría, entonces la probabilidad de que a Litre le sea otorgada la concesión es de 0.67. Si se efectúa la auditoría pero WTR no termina a tiempo la investigación, la probabilidad es de 0.72. Si ambos eventos se presentan, la probabilidad es de 0.58, y si ninguno de los dos eventos sucede, entonces la probabilidad es de 0.85. El que las autoridades hagan o no la auditoría y el que la WTR termine su investigación son eventos independientes. a) Suponga que Al, sabe que la probabilidad de que la WTR termine la investigación a tiempo es de 0.80. ¿Cuál deberá ser el valor de la probabilidad de que se haga una auditoría para que la probabilidad de Litre de obtener el contrato sea de al menos 0.65? b) Suponga que Al, sabe que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0.70. ¿Qué valor deberá tener la probabilidad de que la WTR termine a tiempo la investigación, de tal modo que la probabilidad de que Litre obtenga la concesión sea de al menos 0.65? c) Suponga que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0.75 y que la probabilidad de que la WTR termine a tiempo su investigación es de 0.85. ¿Cuál es la probabilidad de que Litre obtenga la concesión?

10)

Una compañía desea actualizar su sistema de computación y una parte importante de la actualización es un nuevo sistema operativo. La compañía ha pedido a un ingeniero que evalúe el sistema operativo. Suponga que la probabilidad de una evaluación favorable es 0.65. Si la probabilidad de que la compañía actualice su sistema dada una evaluación favorable es 0.85, ¿cuál

es la probabilidad de que la compañía actualice su sistema y reciba una evaluación favorable? 11)

La biblioteca de la universidad ha entrevistado a afiliados elegidos al azar durante el último mes para ver quiénes usan la biblioteca y qué servicios requieren. Los afiliados se clasifican en licenciatura, posgrado y académicos. Los servicios se clasifican como consulta, publicaciones periódicas o libros. La tabla contiene los datos de 350 personas. Suponga que los afiliados usan sólo un servicio por visita. Afiliados

Referencia

Publ. periódicas

Libros

Licenciatura

44

26

72

Posgrado

24

61

20

Académicos

16

69

18

84

156

110

Encuentre la probabilidad de que un afiliado seleccionado al azar a) sea estudiante de licenciatura. b) visite la sección de publicaciones periódicas, dado que es un estudiante de posgrado, c) sea de licenciatura y visite la sección de libros. 12)

El gerente regional del sureste de General Express, un servicio privado de mensajería, está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.65. Más aún, sabe que si los choferes hacen una huelga, existe una posibilidad de 90% de que los pilotos apoyen la huelga. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga? b) Si los pilotos hacen huelga, ¿cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga?

REGLA DE MULTIPLICACIÓN De la definición de probabilidad condicional, obtenemos una fórmula para hallar la probabilidad de la intersección (o producto) de los evento A y B, esto es, de 𝑃[A | B] =

P[A ∩ B] . P[B] > 0 P[B]

𝑃[B | A] =

P[A ∩ B] . P[A] > 0 P[A]

Multiplicando ambos miembros de la expresión (1) por P[B] y por P[A] la expresión (2), obtenemos las ecuaciones P[A ∩ B] =

P[8] P[A | B] =

P[AB]

P[A ∩ B] =

P[A] P[B|A]

P[AB]

=

y ,

este resultado en teoría de probabilidad, se denomina REGLA DE MULTIPLICACIÓN o probabilidad de la intersección, (también probabilidad conjunta); expresa la probabilidad de que ocurra los eventos A y B es igual a la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicional que ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido. Ejemplo 5. Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición (con reposición) dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos resultan blancas? Solución

(a)

Sin reposición.

Primera forma. Sean los eventos: A1: "La primera bola resultó blanca". A2: "La segunda bola resultó blanca". E : "Las dos bolas resultan blancas". Es claro que la probabilidad pedida es la del evento E = A1 ∩ A2 = A1A2 Es decir, E es la intersección de los dos eventos y la ocurrencia de A 1 influye en la de A2. 0 sea P[E] =

P[A1A2] =

P[A1] P[A2 | A1]

En la urna hay 11 bolas de los cuales 5 son blancas, entonces

𝑃[𝐴1 ] =

5 11

Después de la ocurrencia del evento Alf queda 10 bolas de las cuales 4 son blancas, luego 𝑃[𝐴2 |A1 ] =

4 10

Por lo tanto 𝑃[𝐸] = 𝑃[𝐴2 |A1 ] =

5 4 2 𝑥 = 11 10 11

Un esquema que ayuda a visualizar la solución de este problema es

Fig. 13.9

Segunda forma. El problema se puede enfocar de otra manera: Como existe 5 + 6 = 11 11 bolas, el número de formas de seleccionar dos de ellas, está dado por ( ) y cada una de 2 estas formas tienen igual probabilidad de ocurrir. El número de sucesos favorables al evento E, la obtenemos de la siguiente manera: como existen 5 bolas blancas, podemos 5 elegir dos de ellas de ( ) formas diferentes, luego aplicando la definición clásica es, 2 (5) 𝑃[𝐸] = 2 = (11) 2

5! 2! 3! = 2 11! 11 2! 9!

(b) Con reemplazo. En este caso también el evento E se escribe como la intersección de los eventos A1 y A2. O sea E = A1A2. Y la ocurrencia de A1 no afecta a la ocurrencia de A2. En efecto: 𝑃[𝐴1 ] =

5 11

Puesto que después de la ocurrencia de A1 se devuelve la bola a la urna, también: 𝑃[𝐴2 |A1 ] =

5 11

El esquema siguiente ayuda a visualizar la solución del problema.

Fig. 13.10

Ejemplo 6. En el ejemplo 13. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola do cada color? Solución (a) Sin restitución. Primera forma. Sean los siguientes eventos: A1: "La primera bola resultó blanca". A2: "La segunda bola resultó blanca". B1: "La primera bola resultó negra". B2: "La segunda bola resultó negra". E : "Obtener una bola de cada color". En este caso la probabilidad pedida, es, la del evento E formado por la unión de los eventos A1B2 y B1A2, es decir, E = A1B2 U B1A2 y como dichos eventos son mutuamente excluyentes, tenemos P[E]

= P[A1B2] + P[B1A2]

= P[A1] P[B2|A1] + P[B1] P[A2 | B1]

(1)

La ocurrencia del primer evento influye en la ocurrencia del segundo. Pues lo que en la urna hay 11 bolas de las cuales 5 son blancas, se tiene 𝑃[𝐴1 ] =

5 11

Similarmente P[B1] = 6/11 Después de la ocurrencia de A 1, queda 10 bolsas de las cuales 6 son negras, entonces: P[B2 | A1] = 6/10 Similarmente P[A2 | B1] = 5/10. Por lo tanto, reemplazando estos resultados en (1) se obtiene: 𝑃[𝐸] =

5 6 6 5 6 𝑥 + 𝑥 = 11 10 11 10 11

Un diagrama que ayuda a visualizar estos problemas en el llamado “ARBOL DE PROBABILIDAD PARA EXPERIMENTOS SUCESIVOS” y es como indica la figura 13.11

Fig. 13.11

Cada rama completa del diagrama del árbol, se llama una trayectoria y representa un posible resultado del experimento. En cada segmento que une la secuencia de experimentos se pone sus respectivas probabilidades. Segunda forma. El número de formas de extraer dos bolas de 11 es (

11 ) 2

Cada uno de estos son igualmente posibles. 5 Número de sucesos favorables al evento E: Existen ( ) formas de elegir una bola blanca 1 6 y ( ) formas de elegir una bola negra, entonces aplicando el principio de multiplicación, 1 5 6 el número de sucesos favorables a E está dado( ) ( ), y aplicando la definición clásica 1 1 es 6 (5) ( ) 1 = 5𝑥6 = 5 𝑥 6 = 6 1 𝑃[𝐸] = 11! 11 𝑥 5 11 (11) 2! 9! 2 (b) Con restitución. Como en el caso anterior se pide calcular la probabilidad del evento E = A1B2 U B1A2. Es evidente que P[E]

= P[A1B2] + P[B1A2] = P[A1] P[B2|A1] + P[B1] P[A2 | B1] 5

6

6

5

60

= 11 𝑥 11 𝑥 11 𝑥 11 = 121 Ejemplo 7. En un sistema de alarma, la probabilidad que se produzca peligro es 0.10. Si éste se produce la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95. La probabilidad que funcione la alarma sin haber ha' do peligro es 0.03. Determinar la probabilidad que haya un peligro y 1 alarma no funcione. Solución Definimos los siguientes eventos: P : "hay peligro", F : "la alarma funciona". Entonces, F: "la alarma no funciona". Luego, debemos determinar la probabilidad del evento: P𝐹 : "haya peligro y la alarma no funciona" P[P𝐹] = P[P] p[𝐹 |P] P[P] = 0.10. Si ocurre el evento P, P[F | P] = 0.95 pero P[𝐹|P]= 1-P[F|P]= 1- 0.95 = 0.05. Por lo tanto,

P[P𝐹] =

(0.10) (0.05)

=

0.005.

teorema 13.1

Fig. 13.12 Árbol de probabilidades para el problema 7. Teorema 13.1 Si A, B y C son eventos de Ω, tales que P[A] ≠ 0 y P[AB] ≠ 0, entonces 𝑃[𝐶 |𝐴 ∩ 𝐶] = 𝑃[𝐴] 𝑃[𝐶|𝐴 ∩ 𝐵] Demostración. Consideremos dos eventos A  B y C; de la definición condicional 𝑃[𝐶 |𝐴 ∩ 𝐵] =

de probabilidad

𝑃[𝐶 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵] 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] 𝑦 [𝑃[𝐵 |𝐴] = 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵 𝑃[𝐴]

𝑃[𝐴]𝑃[𝐵|𝐴]𝑃[𝐶 |𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴]

𝑃[A ∩ B] P[A ∩ B ∩ C] x P[A] P[A ∩ B]

= 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶] El siguiente teorema es una generalización del teorema anterior. Teorema 13.2 Si A1 , A2, ..., An son eventos de un espacio muestral finito y …∩An] ≠ 0, entonces

P[A 1 ∩ A2∩

P[A1 ∩ A2∩ …∩An] = P[A1] P[A2|A1] P[A3|A1∩A2]…. la demostración queda como ejercicio para el lector interesado.

Ejemplo 8. Dos establos A y B tienen 1,000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado. La proporción de ganados 1

1

5

4

afectados con y

respectivamente (por establo).

Se escoge un ganado al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido viene del rancho y tiene afección a los cascos y la boca?. (b) Si el 70% de los ganados afectados tienen edad menor que un año, ¿cuál es la probabilidad que el ganado escogido venga del rancho B, tiene| afección y es mayor que un año de edad? Solución.

Definimos los siguientes eventos:

A: "el ganado escogido es del rancho A"

B: "el ganado escogido es del rancho B" E: "el ganado tiene afección al casco y la boca" (a) Debemos calcular P[A∩E] = P[A] P[E|A] =

1000 2000

1

1

5

10

𝑥 =

(b) Definimos el evento F: la vaca escogida tenga edad mayor que un año. Entonces, P[B∩E∩E] = P[B] P[E|B] P[F|(B∩E)] 1000

1

75

1

1

3

3

= 2000 𝑥 4 𝑥 250 = 2 𝑥 4 𝑥 10 = 80 ya que en el rancho B hay 250 ganados afectados y de estos el 30% son mayores que un año de edad.

Fig. 13.13 Árbol de probabilidad para el problema 8

Ejemplo 9. Un lote de 100 fusibles contiene 2 fusibles defectuosos. Si se prueban los fusibles uno por uno, ¿cuál es la probabilidad que el último fusible defectuoso sea detectado en la tercera prueba? Solución. Definimos los siguientes eventos. Dij: “el i-ésimo defectuoso se obtuvo en la extracción i = 1,2 ; j = 1,2,3” Bij: “el i-ésimo bueno se obtuvo en la j-ésima extracción j = 1,2, ; j = 1,2,3” E: “el último fusible defectuoso es detectado en la tercera prueba”

En el diagrama del árbol de probabilidades, podemos seguir sólo por las ramas que cumplen las condiciones requeridas por el evento cuya probabilidad se quiere calcular (en

nuestro caso el evento E) y llegar solamente a los resultados favorables a dicho evento. Para el problema en cuestión, siguiendo este proceso se obtiene el árbol de probabilidades de la fig. 1.7.12. De donde el evento E se escribe E = D11 B12 D23 U B11 D12 D23 Luego,

P[E]

= P[D11 B12 D23] + P[D11 B12 D23] = P[D11] P[B12|D11] P[D23 | D11 B12] + P[B11] P[D12|B11] P[D23|B11D12] 2

98

1

98

2

1

= 100 . 99 . 98 . + 100 . 99 . 98

Ejemplo 10. Un lote de 100 lámparas contiene 10 piezas defectuosas. Si se selecciona 3 lámparas aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que sólo una sea defectuosa? Primer método. Definimos Tos siguientes eventos: D : "se selecciona una lámpara defectuosa". N : "se selecciona una lámpara no defectuosa". A : "sólo una sea defectuosa de las tres extraídas" Siguiendo el mismo proceso del ejemplo anterior se obtiene el diagrama del árbol de probabilidades de la fig. 1.7.13. De donde A = NND U NQN U ONN

Eventos Favorables a A

Fig. 13.14

P[A]

= P[NND] + P[NDN] + P[DNN] =

90 89 10 90 10 89 . . . . . 100 99 98 100 99 98

=

89 89 89 267 + + = = 0.2476 10𝑥98 11𝑥98 11𝑥98 1078

+

10 90 89 . . 100 99 98

100 ). Como el Segundo método. El número de elementos del espacio muestral es ( 3 10 90 evento A contiene 1 defectuoso y 2 no defectuoso, entonces A tiene ( ) ( ) 1 2 elementos. Luego, por la definición clásica es

(10) (90) 10𝑥 90! 88! 2! = 3𝑥89 = 267 = 0.2476 2 = 𝑃[𝐴] = 1 100 100! 11𝑥98 1078 ( ) 97! 3! 3

Ejemplo 11. Un grupo que consta de 5 hombres y 10 mujeres se divide al azar en cinco grupos de tres personas cada uno. Calcular la probabilidad que en cada grupo haya un hombre. Solución. Definimos los siguientes eventos: Ai : "en el grupo ¿ haya un hombre (i = 1,2,3,4,5)". A : "en cada grupo de 3 personas haya un hombre". El evento A se escribe así, A = A 1A2A3A4A5 , Luego, P[A] = P[A1] P[A2 | A1] P[A3 | A1A2] P(A4I A1A2A3] P[A5 | A1A2A3A4] (5) (10) (4) (8) (3) (6) (2) (4) 1 = 1 2 . 1 2 . 1 2 . 1 2 . 12 12 6 (15) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 3 5! 10! 4! 8! 3! 6! 4! 𝑥 𝑥 𝑥 2! 𝑥 4! 8! 2! 3! 2! 6! 2! 2! 4! 2! 2! 𝑥1 = 𝑥 𝑥 𝑥 12! 6! 6! 15! 3! 9! 3! 6! 3! 3! 3! 12! =

5! 10! 35 = 0.081 15!

Ejemplo 12. En un cajón hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón el 30% son malos y en un tercer cajón, el 25% son malos. Se sabe que ni número de tubos del tercer cajón es el triple de los que hay en el segundo y en total hay 260 tubos. Se mezclan los tubos de las tres cajas. (a) Al extraer, al azar, un tubo; calcule la probabilidad que sea malo, si se sabe que pertenece al segundo cajón. (b) Al extraer, al azar, 2 tubos; calcule la probabilidad que el primero y el segundo sean malos. Solución. Sea x el número de tubos en el segundo cajón, o sea 100 + x + 3x = 260, de donde x = 40 , y 3x = 120 . Entonces, en la primera caja hay 100 tubos de los cuales 80 son buenos y 20 malos; en el segundo cajón hay 40 tubos de los cuales 28 son buenos y 12 malos; y en el tercer cajón hay 120 tubos de los cuales 90 son buenos y 30 malos. (b) Sea D, el evento: "obtener un tubo defectuoso" y C: "el tubo pertenece al segundo cajón". Luego, 𝑃[𝐷|𝐶] =

𝑃[𝐴𝐶] 12⁄260 12 = = = 0.3 40⁄ 𝑃[𝐶] 40 260

(c) Sea D, el evento: "obtener el primer y el segundo tubo defectuoso. "Entonces, D = D1D2 𝑃[𝐷] = 𝑃[𝐷1 ]𝑃[𝐷2 |𝐷1 ] =

62 61 3782 𝑥 = = 0.056 260 259 57340

Ejemplo 13. Una caja contiene 7 tarjetas marcadas, "sin, premio': y 5 con "premio mayor". En un concurso, dos personas A y B, extraen tarjetas de la caja en forma alternada hasta que una de ellas saca una marcada con el "premio mayor". Si A selecciona la tarjeta en primer lugar, ¿cuál es la probabilidad que extraiga una con "premio mayor"? Solución. Definimos los siguientes eventos: Ai : "el jugador A obtiene la tarjeta con premio mayor en su i-ésima jugada". Bj : "el jugador B obtiene la tarjeta con premio mayor en su j-ésima jugada". Ap : "el jugador A extrae una tarjeta con premio mayor". El evento Ap se escribe, Ap = A1 U A1B1A2 U A1B1A2B2A3 U A1B1A2B2A3B3A4

Luego, P[Ap] = P[A1] P[A1B1A2] + P[A1B1A2B2A3] + P[A1B1A2B2A3B3A4] =

5 7 6 5 7 6 5 4 5 7 6 5 4 3 2 5 + . . + . . . . + . . . . . . 12 12 11 100 12 11 10 9 8 12 11 10 9 8 7 6

=

248 62 = = 0.63 12𝑥11𝑥3 99

El diagrama del árbol de probabilidad para este problema se muestra en la fig. 13.15

Fig. 13.15

Ejemplo 14. Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas con la letra A y 5 bolas marcadas con la letra B, Dos jugadores, A y B juegan de la siguiente forma: comienza el jugador A extrayendo una bola y a continuación B realiza también una extracción, y así alternadamente. Las extracciones se hacen sin reposición. Gana el primer jugador que extraiga una bola con su letra (A una bola A y B una bola B). (a) ¿Cuál es la probabilidad

que gane el jugador A? ¿Cuál de B?

(b) ¿Cuál es la probabilidad

que no gane ninguno de los dos?

Solución. Definimos los siguientes eventos; GA "gana el jugador A" GB "gana el jugador B" GN "no gana ninguno de los jugadores" AK (K = 1,2,... ): "En la K-ésima extracción se obtiene una bola marcada con A" BK(K = 1,2,... ): "En la K-ésima extracción se obtiene una bola nrar cada con B" Consideremos el diagrama del árbol de probabilidad de la fig. 13.16

Fig. 13.16

(a) De este diagrama obtenemos: 5 5 5 4 5 5 4 4 3 5 5 4 4 3 + 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 1 175 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = 5 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 252

𝑃[𝐺𝐴 ] =

5 4 5 5 4 3 5 5 4 4 3 2 5 5 4 4 𝑐 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 10 9 10 9 8 7 10 9 8 7 6 5 40 9 8 7 3 3 2 1 76 𝑥 𝑥 𝑥 = 6 5 4 3 252

𝑃[𝐺𝐵 ] =

(b) No gana ninguno de los jugadores, cuando A saque todas las bolas marca das con B y B todas las bolas marcadas con A, o sea 𝑃[𝐺𝑁 ] =

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥1= 10 9 8 7 6 5 4 3 2 252

Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes Al inicio de la temporada de béisbol, los seguidores del equipo ganador de la temporada anterior creen que éste tiene buenas posibilidades de ganar nuevamente. Sin embargo, a poco del arranque de temporada, el shortstop tiene que quedarse en la banca debido a una lesión y el principal rival del equipo contrata a un gran bateador, famoso por sus cuadrangulares. El equipo campeón- empieza a perder. Casi al final de la temporada, sus seguidores se dan cuenta que deben cambiar sus anteriores probabilidades de ganar. Una situación similar se presenta en el ámbito de los negocios. Si la administradora de una bou-tique encuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color púrpura y amarillas que pensó se iban a vender muy bien, todavía están colgadas en los exhibidores, entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta. En ambos casos, ciertas probabilidades fueron alteradas después de que los interesados obtuvieron información adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades revisadas o posteriores. Como éstas pueden revisarse en la medida que hay más información, la teoría de probabilidad adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales. El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). La fórmula básica para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia 𝑃(𝐵 |𝐴) =

𝑃 (𝐵𝐴) 𝑃 (𝐴)

Ecua. 13.6

se conoce como teorema de Bayes. El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace in-necesario reunir grandes cantidades de datos en un período grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidades.

Cálculo de probabilidades posteriores Como primer ejemplo de revisión de probabilidades anteriores, suponga que tenemos una cantidad igual de dos tipos de dados anormales (cargados) en un recipiente. En la mitad de éstos, un as (o un punto) se presenta 40% de las veces; por tanto P(as) = 0.4. En la otra mitad, un as se presenta el 70% de las veces P(as) = 0.7. A la primera clase de dados la llamaremos tipo 1, y a la segunda tipo 2. Se saca un dado del recipiente y se le lanza una vez, el resultado es un as. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de dad de que el dado sea del upo 1? Sabiendo que el recipiente contiene el mismo número de dados de cada tipo, podemos contestar incorrectamente que la probabilidad es de un medio; pero podemos hacer una mejor estimación. Para responder a la pregunta de manera correcta, construimos la tabla 13.5. La suma de las probabilidades de los eventos elementales (el sacar un dado del tipo 1 o del tipo 2) es de 1.0, ya que solamente tenemos dos tipos de dados. La probabilidad de cada tipo es de 0.5. Las dos clases de dados constituyen una lista mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva. La suma de P(as | evento elemental) no es igual a 1.0. Las cantidades 0.4 y 0.7 simplemente re-presentan las probabilidades condicionales de obtener un as, dado que se obtuvo un dado del tipo 1 o del tipo 2, respectivamente. La cuarta columna muestra la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 1 (0.4 x 0.5 = 0.20) y la probabilidad conjunta de obtener un as y un dado del tipo 2 (0.7 X 0.5 = 0.35). La suma de estas probabilidades conjuntas (0.55) es ia probabilidad marginal de obtener un as. Note que en cada caso, la probabilidad conjunta fue obtenida mediante la fórmula: 𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵 )𝑥𝑃(𝐵)

[13.7]

Para encontrar la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1, utilizamos la fórmula para la probabilidad condicional bajo condiciones de dependencia estadística 𝑃 (𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐵𝐴) 𝑃(𝐴)

[13.8]

Aplicándola a nuestro problema, tenemos:

𝑃(𝑡𝑖𝑝𝑜 1|𝑎𝑠) =

𝑃(𝑡𝑖𝑝𝑜 1, 𝑎𝑠) 𝑃(𝑎𝑠)

𝑃 (𝑡𝑖𝑝𝑜 1|𝑎𝑠) =

0.20 = 0364 0.55

Por consiguiente, la probabilidad de que hayamos sacado un dado del tipo 1 es de 0.364. Calculemos la probabilidad de que el dado sea del tipo 2: 𝑃(𝑡𝑖𝑝𝑜 2|𝑎𝑠) =

𝑃(𝑡𝑖𝑝𝑜 2, 𝑎𝑠) 0.35 = = 0.636 𝑃(𝑎𝑠) 0.55

Qué hemos logrado con una porción adicional de información que llegó a nuestras manos? ¿Qué inferencias hemos sido capaces de alcanzar a partir de un lanzamiento del dado? Antes de que lancemos este dado, lo mejor que podemos decir es que hay una probabilidad de 0.5 de que el dado sea del tipo 1 y la misma probabilidad de que sea del tipo 2. Sin embargo, después de lanzar el dado hemos sido capaces de alterar o revisar nuestra estimación anterior de probabilidad. Nuestra estimación posterior es que existe una probabilidad más grande (0.636) de que el dado que tenemos en las manos sea del tipo 2 que del tipo 1 (ésta sólo de 0.364).

Tabla 13.5

Búsqueda

de

la

probabilidad marginal de obtener un as

Evento

Probabilidad

P(as│

P(as,

elemental

del

evento

elemental)*

evento

evento

elemental

elemental)

Tipo 1

0.5

0.4

0.4 x 0.5 = 0.20

tipo 2

0.5

0.7

0.7 x 0.5 = 035

1.0

P(as) = 0.55

*Se utiliza la coma para separar los eventos conjuntos. Podemos poner juntas letras individuales para indicar, sin que haya confusión, eventos conjuntos (por ejemplo, AB), pero al poner juntas palabras completas produciríamos eventos de apariencia extraña (aseventoelemental), que podrían ocasionar confusión.

Probabilidades posteriores con más información Podemos tener la sensación de que un lanzamiento del dado no es suficiente para indicar sus características (sí es del tipo 1 o del tipo 2). En este caso, podemos obtener información adicional median-te un nuevo lanzamiento del dado (desde luego que obtener más información en la mayoría de las situaciones de toma de decisiones es más complicado y lleva más tiempo). Suponga que se lanza el mismo dado una segunda vez y de nuevo se obtiene un as. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea del tipo 1? Para determinar la respuesta consultemos la tabla 13.6. En esta tabla tenemos una nueva columna, P (2 ases | evento elemental), la cual da la probabilidad conjunta de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos si el dado es del tipo 1: P (2 ases | tipo 1) = 0.4 X 0.4 = 0.16; y si es del tipo 2: P (2 ases | tipo 2) = 0.7 X 0.7 = 0.49. En la última columna vemos las probabilidades conjuntas de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos y los eventos elementales (tipo 1 y tipo 2). Es decir, P (2 ases, tipo 1) es igual a P (2 ases | tipo 1) por la probabilidad de obtener del tipo 1, o 0.16X0.5 = 0.080 y P (2 ases, tipo 2) es igual a P (2 ases, tipo 2) por la probabilidad de obtener del tipo 2, o 0.49 X 0.5 = 0.245. La suma de estas probabilidades (0.325) es la probabilidad marginal de obtener dos ases en dos lanzamientos consecutivos. Ahora ya estamos listos para calcular la probabilidad de que el dado que sacamos sea del tipo 1, puesto que salió un as en cada uno de los dos lanzamientos consecutivos. Utilizando la misma fórmula general como antes, tenemos que: 𝑃 (𝑡𝑖𝑝𝑜1|2 𝑎𝑠𝑒𝑠) =

𝑃 (𝑡𝑖𝑝𝑜 1, 2 𝑎𝑠𝑒𝑠) 0.080 = = 0.246 𝑃 (2 𝑎𝑠𝑒𝑠) 0.325

𝑃 (𝑡𝑖𝑝𝑜2|2 𝑎𝑠𝑒𝑠) =

𝑃(𝑡𝑖𝑝𝑜 2│2 𝑎𝑠𝑒𝑠) 0.245 = = 0.754 𝑃 (2 𝑎𝑠𝑒𝑠) 0.325

Igualmente

¿Qué hemos obtenido con dos lanzamientos? Cuando sacamos el dado, todo lo que sabíamos era que había probabilidades iguales de que éste fuera del tipo 1 o del tipo 2. En otras palabras, existía la posibilidad 50-50 de que fuera del tipo 1 o del 2. Después de lanzar el dado una vez y haber obtenido un as, revisamos estas probabilidades originales y concluimos lo siguiente:

Probabilidad de que sea del upo 1, dado que se obtuvo un as = 0.364 Probabilidad de que sea del tipo 2, dado que se obtuvo un as = 0.636 Después del segundo lanzamiento (obteniendo otro as), revisamos las probabilidades de nuevo: Probabilidad de que sea del tipo 1, dado que se obtuvieron dos ases = 0.246 Probabilidad de que sea del tipo 2, dado que se obtuvieron dos ases = 0.754 Así pues, hemos cambiado las probabilidades originales de 0.5 para cada tipo a 0.246 para el tipo 1 y 0.754 para el 2. Esto significa que ahora podemos asignar una probabilidad de 0.754 a que si obtenemos dos ases en dos lanzamientos consecutivos el dado es del tipo 2. En ambos experimentos, obtuvimos nueva información gratis. Fuimos capaces de lanzar el dado dos veces, observar su comportamiento y hacer inferencias a partir del comportamiento, sin que esto implicara ningún costo. Tabla 13.6

Búsqueda

de

la

probabilidad marginal

de

Evento

Probabilidad

P(as│

P(2 ases

P(as,

elemental

del

evento

evento

elemental)

elemental

elemental)

elemental

Tipo 1

0.5

0.4

0.16

0.16

tipo 2

0.5

0.7

0.49

0.080

evento

1.0

0.49

evento

x

0.5

=

x

0.5

=

obtener dos ases

0.245

en

P(2 ases) = 0.325

dos

lanzamientos consecutivos

Obviamente, existen pocas situaciones en las que lo anterior es cierto, y los administradores no solamente deben entender cómo utilizar la nueva información para revisar sus probabilidades anteriores, sino qué deben también tener la capacidad de determinar cuánto vale esa información. En muchos casos, el valor de la información obtenida puede ser considerablemente menor que su costo.

Un problema relacionado con tres elementos de información Considere el problema del equipo de una liga menor de béisbol que utiliza una máquina de lanzamientos automática para su entrenamiento. Si la máquina se coloca de manera correcta, es decir, ajustada apropiadamente, lanzará strikes 85% de las veces. Si se le coloca incorrectamente, lanzará strikes sólo en 35% de los lanzamientos. La experiencia pasada indica que 75% de las veces que se coloca la máquina se hace de manera correcta. Un día, después de que la máquina ha sido colocada para una práctica de bateo, lanza tres strikes en los primeros tres lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad revisada de que la máquina esté bien colocada? En la tabla 13.7 se ilustra la manera en que podemos responder esta pregunta. Podemos interpretar los encabezados numerados de la tabla 13.7 de la siguiente manera: 1. P (evento) describe las probabilidades individuales de colocar la máquina correcta e incorrectamente. P (correcta) = 0.75, se dice en el problema. Por tanto, podemos calcular: P (incorrecta) = 1.00 – P (correcta) = 1.00 - 0.75 = 0.25 2. P (1 stríke│evento) representa la probabilidad de tener un strike, dado que la colocación es correcta o incorrecta. Estas probabilidades se dan en el problema. 3. P (3 strikes│evento) es la probabilidad de obtener tres strikes en tres lanzamientos consecutivos, dado el evento, es decir, dada una colocación correcta o incorrecta de la máquina. Las probabilidades se calculan de la siguiente manera: P (3 strikes│correcta) = 0.85 X 0.85 x 0.85 = 0.6141 P (3 strikes│incorrecta) = 0.35 X 0.35 X 0.35 - 0.0429 4. P (evento, 3 strikes) es la probabilidad de que se presenten conjuntamente el evento (colocación correcta o incorrecta) y tres strikes. Podemos calcular la probabilidad de la manera siguiente: P (correcta, 3 strikes) = 0.6141 X 0.75 = 0.4606 P (incorrecta, 3 strikes) = 0.0429 X 0.25 = 0.0107

Observe que si A = evento y 5 = strike, entonces las dos últimas probabilidades se ajustan a la fórmula matemática general para probabilidades conjuntas en condiciones de dependencia: P(AS) = P(SA) = P(5|A) x P(4), ecuación 13.7. Evento

Tabla 13.7

P(evento)

P(1 strike│

P(3

P(evento,

Evento)

strikes│

3 strikes) (4)

evento Probabilidades posteriores tres pruebas

con

Correcta

0.75

0.85

0.6141

0.6141

Incorrecta

0.25

0.35

0.0429

0.4606

1.00

0.0429

x

0.75

=

x

0.25

=

0.0107 P(3 strikes) = 0.4713

Después de realizar el cálculo de la tabla 13.7, estamos listos para determinar la probabilidad visada de que la máquina esté correctamente instalada. Utilizamos la fórmula general:

𝑃 (𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴𝐵) 𝑃 (𝐵)

Ecua. 13.9

y la aplicamos a nuestro caso particular:

𝑃 (𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎|3 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑘𝑒𝑠) =

𝑃(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎, 3 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒𝑠) 𝑃(3 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑘𝑒𝑠)

=

0.4606 = 0.9773 0.4713

La probabilidad posterior te que la máquina esté correctamente colocada es de 0.9773 o de 97.73%. Así pues, hemos revisado nuestra probabilidad original de que la máquina esté instalada correctamente y la probabilidad cambió de 75 a 97.73%, basados en la obtención de tres strikes en tres lanzamientos.

Probabilidades posteriores con resultados inconsistentes En todos los problemas analizados hasta aquí, el comportamiento del experimento ha sido consistente: se obtuvo un as con el dado en dos lanzamientos consecutivos y la máquina automática lanzó tres strikes en tres lanzamientos seguidos. En la mayoría de las situaciones, podríamos esperar una distribución menos consistente de resultados. En el caso de la máquina de lanzamientos, por ejemplo, pudimos haber tenido cinco lanzamientos con el siguiente resultado: strike, bola, strike, strike, strike. En esta situación, el cálculo de nuestra probabilidad posterior de que la máquina esté correctamente instalada, en realidad no implica más dificultad que en el caso en que se tienen resultados perfectamente consistentes. Utilizando la notación 5 = strike y B = bola, hemos resuelto esta situación en la tabla 13.8.

Tabla 13.8

Evento

P(evento)

P(S│evento)

P(SBSSS│evento)

P(evento, SBSSS)

Probabilidades

Correcta

0.75

0.85

0.85 x 0.15 x 0.85 x 0.85 x 0.85 =

0.7830

posteriores

Incorrecta

0.25

0.35

0.07830

0.05873

0.35 x 0.62 x 0.35 x 0.35 x 0.35 =

0.00975 x 0.25 =

0.00975

0.00244

con resultados

1.00

inconsistentes

x

0.75

=

P(SBSSS) = 0.06117

𝑃(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎|𝑆𝐵𝑆𝑆𝑆) = =

𝑃(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎, 𝑆𝐵𝑆𝑆𝑆) 𝑃(𝑆𝐵𝑆𝑆𝑆)

0.05873 0.06117

=0.9601

El teorema de Bayes es un procedimiento formal que permite a los tomadores de decisiones combinar la teoría de probabilidad clásica con su mejor sentido intuitivo acerca de lo que es posible que ocurra. Advertencia: el valor real del teorema de Bayes no está en el álgebra sino en la habilidad de los administradores bien informados para hacer buenas predicciones del futuro. Sugerencia: en todas las situaciones en las que se use el teorema de Bayes, primero utilice todos los datos históricos disponibles y después (y sólo entonces) agregue su propio juicio intuitivo al proceso. La intuición usada para hacer predicciones acerca de cosas que ya están bien descritas estadísticamente está mal dirigida.