Variograma Cruzado

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ÍNDICE I.

OBJETIVOS………………………………………………………………………………

II.

…...……………………2 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….

III.

……….……..…..……….2 MARCO TEÓRICO……………………………………………………………………….

IV.

……….….…………..2 CÁLCULOS Y RESULTADOS……………………………………………………………………………

V.

…...6 IV.1 Variograma cruzado Pb-Zn IV.2 Variograma del Pb IV.3 Variograma del Zn IV.4 Variograma cruzado Fe-Si IV.5 Variograma del Fe IV.6 Variograma del Si CONCLUSIONES…………………………………………………………………………

VI.

………………………11 RECOMENDACIONES……………………………………………………………………

VII.

……...…………….11 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………… ……………………...11

1 GEOESTADISTICA I

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I)

OBJETIVOS 

Aprender y comprender el Variograma cruzado.



Analizar el comportamiento de las variables diferenciando el variograma de cada una de ellas con el variograma cruzado.



Descubrir la importancia que tiene el variograma cruzado, respecto al variograma simple o propiamente dicho.



Comprender que las herramientas estadísticas no son suficientes para analizar un conjunto de variables ubicadas en una región determina del espacio.

II)

INTRODUCCIÓN

La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obstante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son específicas para cada una de las diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, la econometría, psicometría o la bioestadística. La gran relevancia que tiene actualmente a nivel mundial el tema ambiental ha hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Como consecuencia de este impulso surgió la geoestadística, teniendo como padre a George Matheron. El presente informe tiene como propósito servir de ayuda para poder observar cómo se realiza un Variograma, cuáles son sus resultados para variables aleatorias de gran numero y como varia su grafica dependiendo como están ordenados estas variables. El principal soporte teórico del presente es la teoría aprendida en clase de geoestadística I, gracias al método constructivo con el cual se dicta el curso.

III)

MARCO TEÓRICO

VARIOGRAMA CRUZADO Comportamiento espacial en conjunto Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como: 2 GEOESTADISTICA I

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1  ZY (h)  E[( Z ( x)  Z ( x  h)) (Y ( x)  Y ( x  h))] 2 Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

 ZY* (h) 

1 2N  h

 ( z( x )  z( x ))( y( x )  y( x )) i

j

i

j

xi  x j  h

Algunas propiedades del variograma cruzado son:

1) 2) 3)

 ZY  0  0  ZY   h    ZY  h   ZY  h    YZ  h 

El variograma cruzado es una función simétrica

4) Relación con la función de covarianza cruzada La función de covarianza cruzada se define como:

CZY  h   E   Z  x   mZ   Y  x  h   mY   La función de covarianza cruzada se relaciona con el variograma cruzado a través de la ecuación

 ZY (h)  CZY  0  

1  CZY  h   CYZ  h   2

Esta expresión se debe al hecho de que la función de covarianza no necesariamente es simétrica. Es decir, en general

C ZY  h   CYZ  h  Sin embargo, una práctica común es asumir que la función de covarianza es simétrica. Esto simplifica enormemente los cálculos asociados a la estimación de la función de covarianza conjunta. En ese caso, 3 GEOESTADISTICA I

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

ZY

(h)  C ZY  0  CZY  h 

5) Desigualdad de

Es importante tener presente que entre el variograma cruzado y los variogramas de cada Hölder una de las variables, existe una relación de dependencia. Por ejemplo, se puede demostrar que:

 ZY  h 

2

  Z  h  Y  h

Consecuencias: El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado

2 S ZY  S Z SY 6) Modelo lineal de coregionalización Anteriormente se aseguraba que la varianza de combinaciones lineales de la variable de interés era positiva utilizando modelos de variograma. Al incluir más variables, es necesario asegurar que la varianza de combinaciones lineales de estas sea positiva. Para lograr esto se utiliza el modelo lineal de coregionalización, que establece que los variogramas individuales y el cruzado son combinaciones lineales de modelos de variogramas. En el caso de 2 variables se tiene que:

 Z  h   u1  1  h   u2  2  h     um  m  h   Y  h   v1  1  h   v2  2  h     vm  m  h   YZ  h   w1  1  h   w2  2  h     wm  m  h  u j  0 vj  0

u j v j  w 2j  0 4

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 j , j  1, , m

Modelos de variogramas

El uso del modelo de coregionalización lineal tiene las siguientes consecuencias: 1) Toda estructura presente en el variograma cruzado deber estar presente en los variogramas individuales. El recíproco no es cierto. Esto hace que en general resulte engorroso ajustar variogramas experimentales de las variables y sus variogramas cruzados, ya que al cambiar los valores del variograma cruzado cambian los valores de los variogramas individuales. La forma de juzgar la bondad del ajuste es establecer un compromiso entre el ajuste de cada uno de los variogramas y su desviación de los valores experimentales. 2) Los variogramas individuales tendrán todos el mismo rango y la forma del variograma será la misma. Sólo se diferenciarán en los valores del sill 3) Los variogramas individuales tendrán todos la misma dirección de anisotropía 4) Envolvente del variograma cruzado Debido a la relación entre los parámetros u, v y w el variograma cruzado se encuentra siempre dentro de dos curvas que conforman su envolvente.

 ZS

h

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IV) Pb

ANÁLISIS Y RESULTADOS

2.3

4.9 6

8.2

9.5

2

5

8

10

Zn

Se procede a hallar el variograma cruzado.

γ 1=

( 2.3−4.9 )( 2−5 ) + ( 4.9−8.2 ) (5−8 ) +(8.2−9.5)(8−10) =3.38 2x 3

γ 2=

( 2.3−8.2 ) ( 2−8 )+ ( 4.9−9.5 ) (5−10 ) =14.6 2 x2 γ 3=

( 2.3−9.5 )( 2−10 ) =28.8 2 x1

Variograma cruzado Pb-Zn 35 30 25 20 γ(h) 15 10 5 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

h

Variograma del Pb:

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γ 1=

( 2.3−4.9 )2+ ( 4.9−8.2 )2+(8.2−9.5)2 =3.22 2 x3

( 2.3−8.2 )2 + ( 4.9−9.5 )2 γ 2= =13.99 2x 2

γ 3=

( 2.3−9.5 )2 =25.92 2 x1

Variograma del Pb 30 25 20 γ(h) 15 10 5 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

h

Variograma del Zn:

( 2−5 )2 + ( 5−8 )2+(8−10)2 γ 1= =3.67 2x 3

γ 2=

( 2−8 )2 + ( 5−10 )2 =15.25 2x 2

γ 3=

( 2−10 )2 =32 2x 1 7

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Variograma del Zn 35 30 25 20 γ(h) 15 10 5 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

h

Fe

6

5

4

3

2

Si

2

3

4

5

6

Hallamos el variograma cruzado:

γ 1=

( 6−5 )( 2−3 )+ ( 5−4 ) ( 3−4 )+ ( 4−3 ) ( 4−5 ) +(3−2)(5−6) =−0.5 2x 4

γ 2=

γ 3=

( 6−4 )( 2−4 )+ ( 5−3 ) ( 3−5 )+(4−2)( 4−6) =−2 2 x3

( 6−3 )( 2−5 ) + ( 5−2 ) ( 3−6 ) =−4.5 2 x2

γ 4=

( 6−2 ) ( 2−6 ) =−8 2x 1

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Variograma cruzado de Fe-Si 0 0.5 -1 -2 -3 -4 γ(h) -5 -6 -7 -8 -9

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

h

Variograma del Fe:

γ 1=

( 6−5 )2+ ( 5−4 )2+(4−3)2 +(3−2)2 =0.5 2x 4

( 6−4 )2 + ( 5−3 )2 +( 4−2)2 γ 2= =2 2x 3

γ 3=

( 6−3 )2+ (5−2 )2 =4.5 2x 2

( 6−2 )2 γ 4= =8 2x1

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Variograma del Fe 10 8 6 γ(h)

4 2 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

h

Variograma del Si:

γ 1=

( 2−3 )2 + ( 3−4 )2+(4−5)2 +(5−6)2 =0.5 2x 4

γ 2=

( 2−4 )2 + ( 3−5 )2+(4−6)2 =2 2x 3

( 2−5 )2 + ( 3−6 )2 γ 3= =4.5 2x 2

γ 4=

( 2−6 )2 =8 2x1

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Variograma del Si 10 8 6 γ(h)

4 2 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

h

V)

CONCLUSIONES o

Determinamos que el variograma cruzado es más eficiente que el variograma propiamente dicho a la hora de analizar el comportamiento de

o

las variables. Descubrimos que cuando las variables son crecientes, el variograma

o

cruzado es también creciente (positivo y casi lineal). Cuando una de las variables es creciente y la otra decreciente entonces

o

el variograma cruzado es negativo y casi lineal (decreciente). Gracias a este tipo de variograma podemos analizar más de una variable y este comportamiento es el que se presenta con mayor frecuencia en el campo.

VI)

RECOMENDACIONES  Se recomienda utilizar la mayor cantidad de variables para poder ver mucho mejor el comportamiento de estas.  Se sugiere trabajar con numero pequeños para realizar mas fácilmente las operaciones.  Debemos entender en todo momento que estas variables presentan un comportamiento aleatorio.

VII)

BIBLIOGRAFÍA  Clases del PhD. Alfredo Marín Suarez  http://geoestadistica.org/index.html, página del CENTRO GEOESTADÍSTICO PERUANO, Lima 21 de abril del 2013. 11

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 An Introduction to Applied Geostatistics, Edward H. Isaaks y R. Mohan Srivastava.

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