Vario Grama
Short Description
Download Vario Grama...
Description
Contenido
VARIOGRAMA TEÓRICO
•
Definición Propiedades básicas
•
•
Estudio de modelos de variograma
•
VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
•
Definición Cálculo a partir de los datos
•
•
Características básicas
•
Ajuste de modelos de variograma
•
Contenido
VARIOGRAMA TEÓRICO
•
Definición Propiedades básicas
•
•
Estudio de modelos de variograma
•
VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
•
Definición Cálculo a partir de los datos
•
•
Características básicas
•
Ajuste de modelos de variograma
•
Variograma Teórico-Definición
Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada Ejemplo:
Detectar direcciones de anisotropía Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial) Variabilidad con la distancia
Variograma Teórico-Definición Continuidad espacial
B
A
1
5
3
7
8
9
4
2
1
6
2
3
4
5
6
7
8
9
MEDIA = 5 VARIANZA=50/9 HISTOGRAMAS IGUALES
12
12
10
10
a 8 m a r g 6 o i r a V 4
a m a r g o i r a V
8 6 4 2
2
0
0 0
1
2
Distancia
3
4
0
1
2
Distancia
3
4
Variograma Teórico-Definición Continuidad espacia espacial l 1
0,12
0,8
0,1
e l b 0,6 a i r a 0,4 V
a 0,08 m a r g 0,06 o i r 0,04 a V 0,02
0,2 0 0
5
10
15
20
25
0 0
Ubicación
2
4
6
8
10
Distancia
2
1
1,5
0,8
a m a 0,6 r g o 0,4 i r a V
1
e l b a 0,5 i r a V
0 1
3
5
7
9
11
-0,5
13 13
15 15
17 17
19 19
0,2 0 1
-1 Ubicación
2
3
4 Distancia
5
6
7
Variograma Teórico-Definición Continuidad espacia espacial l 0,7 0,6 0,5 e l b 0,4 a i r a 0,3 V
0,2 0,1 0 1
3
5
7
9
1 3 5 7 1 1 1 1
9 1 3 5 1 2 2 2
Ubicación
0,012 0,01 a m 0,008 a r g 0,006 o i r a 0,004 V 0,002 0 1
3
5
7
9
1 1
Distancia
3 1
5 1
7 1
9 1
Variograma Teórico-Definición Curva de propo rció rción n v ertica ertical l
Unidad 1
Unidad-4
Unidad 2
Unidad-5
Variograma Teórico-Definición Curva de propo rción v ertical
Variograma Teórico-Definición
Si Z ( x) es estacionaria o intrínseca
1
(h) Var [ Z ( x) Z ( x h)] 2 x R , h R n
1 2
E [ Z ( x) Z ( x h)]
2
n
Variograma Teórico-Características
1
h E [ Z ( x) Z ( x h)] 2
2
Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por una distancia |h| •
•
•
es independiente de la localización
x
depende del módulo y de la dirección del vector h
Variograma Teórico-Características
1
h E [ Z ( x) Z ( x h)] 2
Z x h 1
2
x h 1
h1 Detección de características que varían según la dirección y la distancia
Z x
x
h Z x h
x h
Variograma Teórico-Características
a m a r g o i r a V
a m a r g o i r a V
Distancia
Distancia
Variograma Experimental-definición
*
h
(h)
1
E [ Z ( x) Z ( x h)]
2
Variograma Teórico
2
1
2 N h
( z( xi ) z ( x j ))
xi x j h
2
Variograma Experimental
Variograma Experimental-definición Coordenadas estratigraficas
La correlación espacial se debe calcular dentro de la misma unidad estratigráfica
Z Z base Z tope Z base
Variograma Experimental-obtención
*
(h)
1
2 N h
( z ( xi ) z( x j ))
2
xi x j h
Se escoge una dirección
•
•
Se escoge una distancia o lag h *
Se calcula para valores de h,2h, 3h,...,nh •
*
Se grafica versus los valores h,2h, 3h,...,nh •
l a t n e m i r e p x e a m a r g o i r a v
6 5 4 3
Variograma experimental
2 1 0 0
4 8 2 6 . . . . 0 0 1 1
2
4 8 2 6 . . . . 2 2 3 3
Distancia
4
Variograma Experimental-obtención
Datos Igualmente espaciados:
*
(h)
1
N ( h )
2 N h i 1
( z ( xi ) z ( xi h))
2
h
x 2
x1 * h
z x z x 2 *5
2h *
3h *
1
2
1
2
1
2
3
1
z x z x 2 *3
2
1
4
x 4
x 5
x 6
z x2 z x3 2 z x3 z x4 2 z x4 z x5 2 z x5 z x6 2
z x z x 2* 4 1
x 3
z x2 z x4 2 z x3 z x5 2 z x4 z x6 2 z x2 z x5 2 z x3 z x6 2
Variograma Experimental-obtención
Datos Igualmente espaciados:
*(h)
1 2 N h
N ( h )
( z ( xi ) z ( xi h)) 2
i 1
h
kh,0, k 0,1,2, 0, kh, k 0,1,2, kh, jh , k , j 0,1,2,
Variograma Experimental-obtención Datos Irregularmente espaciados:
Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h
•
Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección
•
Variograma Experimental-distancia
•
Clases de distancia: Para cada lag h se define una tolerancia
h
y se utilizan
únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual a h h y menor que h h z x3
z x2
z x1
z x5
z x4 h
2h
3h
Variograma Experimental-distancia
•
Clases de distancia:
El valor de
h
se escoge como el 50% del valor del
. De esta forma: lag h
•
Las clases de distancia no se superponen
No hay valores de la variable fuera de una clase de distancia •
Variograma Experimental-distancia
h 1 h 0.5
0
0
h 1 h 1
1.2
1
2.4
2.8
2
3
4.9
4
5
0
1.2
2.4
2.8
4.9
0
1.2
2.4
2.8
4.9
h 1 h 0.1
6
Variograma Experimental-distancia
h 0.5h
h 0.5h
h 0.5h
Variograma Experimental-dirección
•
Clases de dirección :
Para cada dirección se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran entre las direcciones y
Variograma Experimental-dirección
puntos aceptados puntos descartados
Variograma Experimental-dirección
b
puntos aceptados puntos descartados
b = ancho de banda
Variograma Experimental-distancia & dirección
clase de distancia h clase de distancia 2h clase de distancia 3h
Variograma Experimental-obtención
Variograma Experimental-obtención
Número n de lags
n:
Valor del lag h
Cuando se calcula el variograma sobre un dominio D se escoge n de forma tal que:
n*h < | D | / 2
Valor de y h:
Distancia promedio entre los pozos A partir del vari ogr am cloud A partir del vari ograma omnidi r ecci onal
: Se escoge como la dirección de anisotropía
de la variable. Se puede obtener a partir de: Información geológica, petrofísica, etc M apa de var iograma
Variograma Experimental-lag
Lag h muy grande
0
1.2
2.4
2.8
4.9
Lag h pequeño, n muy grande
0
1.2
Lag h adecuado, valor de n ?
2.4
2.8
4.9
Variograma Experimental-lag
Variograma Omnidireccional
Variograma Omnidireccional: Es aquel que no depende de la dirección Se obtiene al escoger la tolerancia angular de forma tal que las direcciones y sean opuestas y perpendiculares a la dirección Se puede pensar como el promedio del variograma experimental en todas las direcciones posibles
Variograma Omnidireccional
Variograma direccional
Variograma omnidireccional
Variogram Cloud
Variogram Cloud:
1
*
(h)
2 N h
( z( xi ) z( x j ))
xi x j h
1
N h
30
( z( xi ) z( x j ))
xi x j h
2
2
2
25 20 15 10
Al graficar el valor de los pares versus la distancia se obtiene el v a r io g r a m c l o u d
5 0 0
1
2
3
4
Distancia
5
6
7
Variogram Cloud
Variogram Cloud:
Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos Permite escoger un inicial del lag
valor
300 250 200 150 100
Permite observar la dispersión * alrededor del valor de
50 0 0
1
2
3
4
Distancia
5
6
7
Variogram Cloud
Mapa de Variograma
Mapa de Variograma : Es una herramienta que permite determinar las direcciones de anisotropía de la variable en estudio
Mapa de Variograma
Definir una malla (2n+1)*(2n+1) Definir el valor del lag h Asignar a cada bloque el valor * de
0
h 0
Mapa de Variograma
Variograma Experimental-tolerancia angular
Tolerancia angular
CARACTERÍSTICAS BÁSICAS
Variograma-Características Básicas
1) RANGO Y SILL 2) COMPORTAMIENTO COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS DISTANCIAS 3) COMPORTAMIENTO COMPORTAMIENTO A GRANDES DIST D ISTANCIAS ANCIAS 4) ANISOTROPÍAS
Variograma-Rango & Sill
Rango: 2,5
Distancia a la cual el variograma se estabiliza
2 a m 1,5 a r g o i r 1 a V
Sill :
0,5 0 0
3
6
9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
Distancia
Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango
Variograma-Rango & Sill
Si para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma es constante 1 2 2 h E [ Z ( x) Z ( x h)] E [ Z ( x) Z ( x h)] 2 2 Rango: Distancia a partir de la cual no hay correlación
Sill:
Varianza de la función aleatoria Z
Variograma-Rango & Sill
Comportamiento
COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS Permite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el variograma presenta las 4 formas siguientes: 1) DISCONTINUO 2) LINEAL 3) CUADRÁTICO 4) HÍBRIDOS
Comportamiento discontinuo
Efecto pepita o nu gg et effect
1
h var [ Z ( x) Z ( x h)] 2 0 0 Puede ocurrir que para distancias cercanas a cero el valor del variograma no se aproxima a cero
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nu gg et effect 1) Variable muy irregular a distancias cortas
h0 Z(x) y Z(x+h) difieren mucho
1 2 h E [ Z ( x) Z ( x h)] 2
no se aproxima a cero
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nu gg et effect 2) Errores de medición en las variables 3,5
Z obs x Z x x
3 2,5
2
Z obs h Z h
a m 2 a r g o 1,5 i r a V 1
2
Valores observados Valores reales
0,5 0
0 5 , 1
3 5 , 4
6 5 , 7
9 5 , 2 5 , 5 5 , 8 0 1 3 1 6 1 1 1 1
Distancia
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nu gg et effect 3) presencia de estructuras o ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras
Comportamiento Lineal
Comportamiento lineal Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal. Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro.
3,5 3 2,5 a m a 2 r g o i r 1,5 a V
1 0,5 0 0
5 1 ,
3
5 4 ,
6
5 7 ,
9
, 5 1 0 Distancia
Comportamiento Lineal 3,5 3
Comportamiento lineal La variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen
2,5 a m 2 a r g o i r 1,5 a V
1 0,5 0
0 1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11
Distancia
A mayor pendiente, mayor variabilidad A menor pendiente, menor variabilidad
3 2,5 a 2 m a r g 1,5 o i r a V 1
0,5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Distancia
Comportamiento Cuadrático
Comportamiento Cuadrático
Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento cuadrático.
3,5 3 2,5
Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro.
a m 2 a r g o i r 1,5 a V
1 0,5 0
1
4
7
0 1
3 1
6 1
9 1
2 2
Distancia
5 2
8 2
1 3
4 3
7 3
Comportamiento Híbrido
Comportamiento Híbrido:
8
Variación más suave a distancias cortas Variación más fuerte a distancias grandes
7 6 a m5 a r g 4 o i r a 3 V 2
Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas
1 0 0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia
Comportamiento-grandes distancias
Comportamiento a grandes distancias : NO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEEN UN RANGO Y UN SILL FINITO INDICA LA PRESENCIA DE UNA DERIVA O DRIFT
a m a r g o i r a V
VARIABLE NO ESTACIONARIA Distancia
Comportamiento-grandes distancias
Drift
E Z x m x 1 1 2 2 h E Z x h Z x m x h m x 2 2 Sesgo Estimación del variograma Variograma Teórico
Comportamiento-grandes distancias
D1=E-O D2=N-S
Anisotropías
Anisotropías : Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia. Anisotropía Geométrica Anisotropía Zonal Anisotropía Híbrida
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango
3
2,5
2 a m a 1,5 r g o i r a V
N-S E-O
1
0,5
0 0,0
0,9
2,0
3,0
4,1
5,1
6,2
7,2
Distancia
8,3
9,3
10,4 11,4
Anisotropía Geométrica
3
2,5
2 a m a r 1,5 g o i r a V
N-S E-O
1
0,5
0 0, 0
0, 9
2, 0
3, 0
4, 1
5, 1
6, 2
7, 2
Distancia
8, 3
9, 3
10, 4 11, 4
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Zonal : 3,5
Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill
3 2,5 a 2 m a r g o 1,5 i r a V
1
Presencia de diferentes estructuras
0,5 0 0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4 Distancia
Anisotropía Zonal
3,5 3 2,5 a 2 m a r g o 1,5 i r a V
1 0,5 0 0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4 Distancia
Anisotropía Híbrida
Anisotropía Híbrida : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill. Presencia de diferentes estructuras
4,5 4 3,5 a 3 m a r 2,5 g o 2 i r a V 1,5
1 0,5
Característico de variogramas horizontales y verticales
0 0
0,6 1,2 1,8 2,4
3
3,6 4,2 4,8 5,4
Distancia
6
6,6 7,2
COMENTARIOS
COVARIANZA VS VARIOGRAMA El variograma se puede utilizar para modelar fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por el desconocimiento de la media. •
Cuando la media es constante pero desconocida no se necesita para el cálculo del variograma, pero si para el de la covarianza. •
Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria) la covarianza no está definida en 0, sin embargo el variograma si y es idénticamente nulo •
Comentarios CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA Fuente información 1
La correlación estadística usual es calculada a distancia cero (dos observaciones en el mismo punto del espacio) y puede no ser representativa •
El variograma toma en cuenta el espaciamiento y por lo tanto permite •
”correlacionar espacialmente”
Fuente información 2
Comentarios
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
Es un estadístico de 2 puntos
•
Utilizar técnicas multipuntos y reconocimiento de patrones •
Comentarios
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Es extremadamente sensible a valores extremos •
7
7
10
10
11 12 13 14 12 13 10 11 9 8
11 12 25 14 12 13 2 11 9 8
60
8
a 50 m40 a r g 30 o i r 20 a V 10
a 6 m a r g 4 o i r a V2
0
0 1
2
3
4
Distancia
5
6
1
2
3
4
Distancia
5
6
*
DEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL AL MODELO DE VARIOGRAMA
Ajustar
l a t n e m i r e p x e a m a r g o i r a v
*
POR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOS DE VARIOGRAMA ?
6 5 4 3
Variograma experimental
2 1 0 0
4 8 2 6 0 . 0 . 1 . 1 .
2
4 8 2 6 2 . 2 . 3 . 3 .
4
Una interpolación entre los puntos del variograma experimental no garantiza la existencia y unicidad de la solución del sistema de kriging
Distancia
6 5 4 Variograma experimental
3
Modelo de variograma
2 1 0 0
4 8 2 6 0 . 0 . 1 . 1 .
2
4 8 2 6 2 . 2 . 3 . 3 .
Distancia
El variograma experimental no se puede evaluar en distancias o direcciones intermedias
4
La interpolación no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer El variograma experimental no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer
Variograma Teórico-propiedades
LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN VARIOGRAMA
1)
0 0
2) h h
El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma calculado en la dirección de -h
-h
h
Variograma Teórico-propiedades
3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional Para cualquier n, cualesquiera x1 , x2 , x3 , , xn puntos en el espacio y cualesquiera n
valores 1 , 2 , 3 , , n tales que
n
0 i
se tiene que
i 1
n
i j xi x j 0 i 1 j 1
Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales de funciones aleatorias
var Z
Variograma Teórico-propiedades
4) Relación con la función de covarianza Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que
a m a r g o i r a V
h C 0 C h
Variograma Covarianza
Distancia
Variograma Teórico-propiedades
4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces
lim h
h 0
h
2
En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que h c h
Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias Criterio para detectar un comportamiento no estacionario
2
Variograma Teórico-propiedades
4) Combinacion lineal de variogramas Si 1 h , 2 h , 3 h , , N h son modelos de variograma y 1 , 2 , 3 , , N son valores positivos entonces
h
n
h i
i 1
i
Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested s tructures ) Permite modelar la anisotropía zonal
Variograma Teórico-propiedades 2.5
2
1.5
1
0.5
4.5 4
0 0
1 .3
3.5
2 .6 3 .9 5. 2 6. 5 7 .8 9 .1 10 .4 11 .7 1 3 1 4. 3 1 5. 6 16 .9
3
+
2.5
=
2 1.5 1
2.5
0.5 0
2
0
1.5
1
0.5
0 0
1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
Variograma Teórico-propiedades
Modelar la anisotropía zonal
3,5
3
2,5 a 2 m a r g o 1,5 i r a V
h
1
0,5
0 0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4 Distancia
1
h , h 1
2
2 h3
MODELOS DE VARIOGRAMA
Modelos de Variograma
Modelos de variograma isotrópicos más comunes: Modelo Efecto Pepita Puro Modelo Esférico Modelo Exponencial Modelo Gaussiano Modelo Cúbico Modelo Seno Cardinal Modelo Potencia
Modelo Efecto Pepita Puro
0 h s
si h 0 si h 0 S
Este modelo representa a un fenómeno completamente aleatorio, en el cual no hay correlación espacial No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados
a m a r g o i r a V
Distancia
Modelo Esférico
3 s 2 h
3
h 1 h si h 3 a 2 a
a
s si
h a
Rango s y sill a
a m a r g o i r a V
Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a 1.5 s / a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables Es uno de los modelos de variograma más utilizados
Distancia
Modelo Exponencial
h s1 exp Sill s
h
a
que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
a m a r g o i r a V
Rango experimental igual a 3a Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a 3 s / a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables
Distancia
Modelo Gaussiano
2 h h s 1 exp 2 a
Sill s
que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a Rango experimental igual a
3a
a m a r g o i r a V
Comportamiento cuadrático en el origen Distancia
Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos)
Modelo Cúbico
2 h s 7 a 2 h
8.75
h a
3
3
3.5
s si
h a
5
5
0.75
7 h
a 7
si h a
h a
Rango a y sill s Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos bastante continuos
a m a r g o i r a V
Distancia
Modelo Seno Cardinal
seno h /a h s1 h a / Sill s
que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a Rango experimental igual a 3a
a m a r g o i r a V
Comportamiento cuadrático en el origen Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades
Distancia
Modelo Potencia
h s h
p
s se denomina factor de escala 0 p2
El comportamiento en el origen depende del valor de p
a m a r g o i r a V
s=2.5, p=0.4 s=0.4, p=1.8 s=1.15, p=1
Representa fenómenos no estacionarios Distancia
DE MODELOS ISOTRÓPICOS A MODELOS ANISOTRÓPICOS
Modelo Anisotrópicos Los ejes d e anisotro pía coin ciden con los ejes de co ordenadas
Y
R y
R x
X
1 h Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1 2 h 2 h y x 2 h s 1 2 R x R y
Variograma anisotrópico de sill s con rango R x en la dirección del eje X y rango R y en la dirección del eje Y
Modelo Anisotrópicos Lo s ejes de an is otr op ía NO coincide n con los ejes d e coo rdenadas
Y Y’
R x R y
X
X’
1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas X’Y’
h' Rh
R= matriz de rotación
2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropía
Th'
T = matriz para transformar las distancias
3) Evaluar el variograma isotrópico en el resultado.
h s 1
TRh
Es un variograma anisotrópico en la dirección con eje mayor igual a R x y eje menor igual a R y
VARIOGRAMA CRUZADO comportamiento espacial en conjunto
ZY
Variograma Cruzado
Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como :
1 ZY (h) E [( Z ( x) Z ( x h)) (Y ( x) Y ( x h))] 2 Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental
* ZY
(h)
1
( z ( x ) z ( x ))( y( x ) y( x )) 2 N h i
xi x j h
j
i
j
Variograma Cruzado-propiedades
1) ZY 0 0 2) ZY h ZY h 3) ZY h YZ h El variograma cruzado es una función simétrica 4) Relación con la función de covarianza cruzada
ZY (h) C ZY 0
1 2
C ZY h C YZ h
C ZY h E Z x m Z Y x h mY
Variograma Cruzado-propiedades
4) Desigualdad de Hölder
ZY h
2
Z h Y h
Consecuencias: El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado 2 S Z S Y S ZY
Variograma Cruzado-propiedades
4) Modelo lineal de coregionalización Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas individuales
Z h u1 1 h u2 2 h um m h Y h v1 1 h v2 2 h vm m h YZ h w1 1 h w2 2 h wm m h u j 0 v j
0 u j v j w2j
j , j 1, , m
0
modelos de variogramas
VARIOGRAMA DE FUNCIONES INDICADORAS Modelando el comportamiento espacial de Facies
F
Funciones Indicadoras
La función indicadora de la facies F se define como
1 si x F x 1 F 0 si no Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no. En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria
F h
1 2
E 1 F x h 1F x
2
Funciones Indicadoras
Propiedades 1) E 1F x P ( x F ) p 0,1 var
1 F x p 1 p
2) F h 0.5 El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5
3) Relación con la función de covarianza
F
h C F 0 C F h
C F h E 1 F x h p 1 F x p
C F 0 var 1F x p 1 p 0.25
Funciones Indicadoras
4) Desigualdad Triangular
F h1 h2 F h1 F h2 En particular F 2h 2 F h
Consecuen cia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma h no puede ser el variograma de una función indicadora
p
p 1
View more...
Comments
