variavel_aleatoria_distribuicao

COORDENADORIA DE MATEMÁTICA

APOSTILA DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Oscar Luiz Teixeira de Rezende

Vitória – ES

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

CAPÍTULO 4 1-VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Uma função que associa cada ponto de um espaço amostral S, relacionado com um experimento E, a um único número real é chamada de variável aleatória. As variáveis aleatórias tomam valores numéricos determinados por fatores de chance, e estas variáveis assumem valores discretos ou contínuos. Exemplo: Consideremos X uma função que representa o número de coroas que aparece no lançamento de uma moeda duas vezes. R

S X

(ca,ca) . (ca,co) . co,ca) . (co,co) .

.

. 0 . 1 .2

2-DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x 1, x 2, x3,..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostra. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade P(Xi) de ocorrência de tais pontos no espaço amostral. Assim temos:

Onde

∑  P ( X 

=

 x i )

X x1  x2  x3 

P(X) P(X=x1) P(X=x2) P(X=x3)

M

M

xn 

P(X=xn)

1

=

Estabelecemos então uma relação unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. Esta correspondência define uma função denominada função probabilidade e é representada por : f(x) = P(X=xi)

2

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

Esta função determina uma distribuição de probabilidade da variável aleatória Tomando o exemplo anterior, que considera o lançamento de uma moeda duas vezes e observar o número de coroas: S

R

R f(x)=P(X=xi)

X

. . 0 . 1 .2

(ca,ca) . .

(ca,co) .

.

.

(co,ca) .

1 4 1 2 1 4

(Co,Co) .

Exemplo: Se lançarmos um dado, definirmos uma variável aleatória X : “ o número de pontos obtidos”, temos: xi 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Assim, a função probabilidade que define a distribuição de probabilidade constante, ou seja: f (x) = P(X = xi) = 1/6; xi

∈

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sua representação gráfica será: P(x)

1 6

1

2

3

4

5

6

2

X

é

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ Esperança matemática

Chama-se valor esperado ou média de uma variável aleatória x o valor numérico:  E ( X )

=

∑ xi  p( xi )

=

µ  X 

Propriedades da esperança matemática

Sejam k, a e b constantes reais e X e Y variáveis aleatórias. 1)  E (k ) k  =

 E (k )

∑ kp ( xi )

=

2)  E (kX )  E (kX )

=

=

k ∑  p ( xi )

=

=

k  1 ⋅

=

k 

kE ( X )

∑ kxi p ( x)

k ∑ x i  p ( x)

=

=

kE ( X )

3)  E ( X  ± Y ) =  E ( X ) ±  E (Y ) 4)  E (∑  X i )  E (∑  X i )

=

=

∑ E ( X i )

 E ( x1

+

 x 2

+

L +  xn ) =  E ( X 1 ) +  E ( X 2 ) + L +  E ( X n ) = ∑ E ( X i )

5)  E (aX  ± b) = aE ( X ) ± b  E (aX  ± b) =  E (aX ) ±  E (b) = aE ( X ) ± b

6)  E ( X   E ( X 

−

−

µ  X  )

µ  X  )

=

=

0

 E ( X )  E ( µ  X  ) −

=

 E ( X )

−

µ  X 

=

0

Exemplo: Uma seguradora paga R$30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$1.000,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra um acidente é de 3%. Quando espera a seguradora ganhar por cada carro segurado? Seja X: “lucro” por carro X

P(X)

XP(X)

1000,00 0,97 970,00 -29.000,00 0,03 -870,00

E(X)= R$100,00, isto é o lucro médio por carro é de R$100,00.

100,00 Variância

Definimos variância de uma variável aleatória X, com as seguintes notações VAR(X), V(X), σ   2 ( X ) , como: V ( X )

=

∑ ( xi

−

µ  X  )

2

 p ( x i )

3

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

V ( X )

=

 E ( X  − µ  X  ) 2

V ( X )

=

 E ( X  2 ) + µ  X 

V ( X )

=

2

 E ( X  )

−

= 2

 E ( X  2

−

2 X µ  X 

+

µ  x

2

2

2µ  X  E ( X ) =  E ( X  ) + µ  X 

−

2

2

) =  E ( X  ) +  E ( µ  X  ) −  E ( 2 X µ  X  ) 2

−

2 µ  X 

2

=

 E ( X  2 ) − µ  X 

2

[ E ( X ) ]2 , onde  E ( X  2 ) ∑ xi 2 p( xi ) =

Propriedades da variância

Sejam k, a e b constantes reais e X e Y variáveis aleatórias. 1) V ( k ) V ( k )

=

=

0

 E ( k 2 )

2) V (kX )

=

−

[ E (k ) ]2

=

k 2

−

[k ]2

=

0

k 2V ( X )

[ E (kX )]2 =  Ek 2 ( X  2 ) − [kE ( X )]2 2 k 2 ( E ( X  2 ) [ E ( X )] ) k 2V ( X )

V ( kX ) =  E (kX ) 2 V ( kX )

=

−

−

=

k 2 E ( X  2 ) − k 2 [ E ( X )]

2

=

3) V ( X  ± Y ) = V ( X ) + V (Y ) ± 2 cov( X , Y ) 2 V ( X  ± Y ) =  E ( X  ± Y ) 2 V ( X  ± Y ) =  E ( X )

±

−

[ E ( X  ± Y )]2

=  E ( X 

2

±

2 E ( XY ) +  E (Y  ) − [ E ( X ) ]

2

2

2 XY  + Y  ) − [ E ( X ) ±  E (Y )]

2

2

m

=

2 E ( X ) E (Y ) − [ E (Y )]

2

[ E ( X )]2 +  E (Y 2 ) − [ E (Y )]2 ± 2 E ( XY ) m 2 E ( X ) E (Y ) 2 2 2 2 V ( X  ± Y ) =  E ( X  ) − [ E ( X  ) ] +  E (Y  ) − [ E (Y ) ] ± 2( E ( XY  ) −  E ( X  ) E (Y )) 2 2 V ( X  ± Y ) =  E ( X ) 2 − [ E ( X )] +  E (Y 2 ) − [ E (Y )] ± 2 cov( XY ) V ( X  ± Y ) =  E ( X ) 2

−

V ( X  ± Y ) = V ( X ) + V (Y ) ± 2 cov( XY )

Definição: cov( X , Y )  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) =

−

A covariância mede o grau de dependência entre duas variáveis X e Y. Se X e Y são independentes então cov( X , Y ) 0 =

4) V (∑ X i )

=

∑V ( X i )

2 5) V (aX  ± b) = a V ( X )

OBS: O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância σ   X 

=

V ( X )

4

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 2.1-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Consideremos n  tentativas independentes de um mesmo experimento. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, p+q=1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa. Seja X: número de sucessos em n tentativas. Determinaremos a função de probabilidade da variável X, isto é P ( X 

=

k )

Para um resultado particular (RP): L S FFF L F   logo P ( RP) SSS  424 3 1 424 31

=

P( SSS L SFFF L F )

n − k 

K 

=

 p. p L p.q.q L q

=

1 424 3 123 k  n − k 

 p k  q n− k 

Considerando todas as n-úplas com k sucessos, temos:

 n  k  n −k  P( X  = k ) =   p q A variável X tem distribuição binômia, com parâmetros k       p e

n

e

indicaremos pela notação:

 X  :  B( n, p)

Veja o exemplo a seguir: Consideremos a situação de um casal que tem 3 filhos e a variável aleatória X que representa o número de filhos com olhos azuis. Definindo que a probabilidade de ter filho de olho azul é igual a 2/5 temos: S (NA,NA,NA)

x  0 i

(A,NA,NA);(NA,A,NA);(NA,NA,A)

1

(A,A,NA);(A,NA,A);(NA,A,A)

2

(A,A,A)

3

P(X=x ) i

2 0 3 0 1( ) .( ) 5 5 2 1 3 2 3( ) .( ) 5 5 2 2 3 1 3( ) .( ) 5 5 2 3 3 0 1( ) .( ) 5 5

3 3− 0 ( ) 3 5 1 2 1 3 3 −1 C 3 ( 5 ) ( 5 ) 2 2 2 3 3− 2 C 3 ( 5 ) ( 5 ) 3 2 3 3 3 −3 C 3 ( 5 ) ( 5 ) 0

=

=

=

=

2

C  ( 5 )

O gráfico da distribuição de freqüência relativa a este problema será: P(X) 54/125 36/125 27/125 8/125 0 1 2 3

X

5

0

27 =

125 54

=

125 36 =

125 8 =

125

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

Quando um experimento, como o anterior, apresenta as hipóteses a seguir: Experimento pode ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n). As provas repetidas devem ser independentes, isto é o resultado de uma não deve afetar os resultados sucessivos. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso com probabilidade p e insucesso com probabilidade q =1- p

•

•

•

Determinam uma distribuição que chamamos de distribuição binomial . Portanto é possível estabelecer uma fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer uma determinada variável aleatória. Ao realizarmos a mesma prova n vezes sucessivas independentes, a probabilidade de que um evento se realize k vezes na prova é dado pela fórmula: P ( X 

=

k )

k 

=

k 

C   p q n

n − k 

 Denominada fórmula binomial.

Média e Variância da distribuição normal µ 

σ  

=

2

np

=

npq

Exemplo: Uma moeda é lançada 5 vezes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. n = 5 , k = 3, p = 1/2 e q = 1/2 Pela fórmula binomial temos: P(X  3 ) =

3

=

C 5 (

1 2

)3 (

1 2

)2

5 =

16

2.2 - DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A distribuição de Poisson é útil para descrever as probabilidades de número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). Exemplos: Defeitos por centímetro quadrado, acidentes por dia, clientes por hora, telefones por minuto etc. A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses: • •

•

A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação. A probabilidade de mais de uma ocorr6encia num único ponto é aproximadamente zero. Número de ocorrência em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo.

6

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

Fórmula de Poisson

Se uma variável aleatória é discreta por uma distribuição de Poisson, então a probabilidade de observar qualquer número de ocorrências por unidade de medida é dada pela fórmula: P( X 

=

k )

e − λ t  (λ t ) k  =

k !

Onde x é número de ocorrências; e é a base dos logaritmos naturais; e λ  é a taxa média por unidades. A quantidade λ t  representa o número médio de ocorrências no intervalo t. Assim µ  λ t  , permitindo que a fórmula possa ser escrita: =

P( X 

=

k )

e − µ  (µ ) k  =

k !

Exemplo: Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de 2 navios/hora. Se observarmos o processo durante 0,5 hora, qual a probabilidade de não chegar nenhum navio? Temos P( x

=

0)

então e −1 (1) 0 =

0!

λ 

=

e −1 (1) =

1

=

2

e t 

=

e

0,5

µ 

=

2(0,5)

=

1,  

portanto

0,368

Distribuição de Poisson com aproximação da binomial

Sob certas circunstâncias, a distribuição de Poisson pode ser utilizada para aproximar probabilidades binomiais. A aproximação é mais adequada quando n (número de observações) for muito grande e a probabilidade de sucesso está muito perto de 0 ou de 1. Exemplo: Determinar a probabilidade de haver quatro peças defeituosas numa amostra de 300 peças extraída de um grande lote onde há 2% de peças defeituosas. 4

Utilizando

µ 

=

np =300(0,2)=6, temos  p( x

=

4)

µ  =

6 4 e −6

 µ 

.e −

4!

=

24

=

0,135

3- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTINUA

Se uma variável aleatória X  assumir todos os valores num determinado intervalo real, então X é uma variável aleatória continua. Para exemplificar, se X representa o peso dos indivíduos de uma comunidade, X pode assumir qualquer valor real (dependendo do instrumento de medida) dentro de um determinado intervalo. Quando definimos a função de probabilidade para a variável aleatória discreta, associamos cada ponto xi do espaço amostral um valor real P(xi) com: •

0 ≤ P ( xi ) ≤ 1

•

∑ P ( xi )

=

1

7

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

Para as variáveis aleatórias continuas não se pode estabelecer a cada ponto p de um intervalo um valor real, satisfazendo as condições anteriores. Neste caso vamos considerar uma função definida para os valores da variável aleatória com as seguintes características: •

•

 f  ( x) ≥ 0

A área da região compreendida sob o gráfico da função e o eixo 0 X   é igual a 1. f(x)

rea = 1 x

Esta função é denominada função densidade de probabilidade Exemplo: Seja uma variável aleatória x que assume qualquer valor no intervalo [0,8] , podemos definir a função densidade de probabilidade:

[0,8] →  R  x →  f  ( x ) =

1 8

A representação gráfica de f é: f(x)

0

x

8

Note que  f  ( x ) ≥ 0  e que a área do retângulo definido pelo eixo 0 X   e pelo gráfico da função é 1. A probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor no intervalo [3,5]  é definida como a área delimitada pelo gráfico da função e pelo intervalo [3,5]  ou seja:  p(3 ≤ x ≤ 5)

=

2.

1 8

=

0,25

8

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

Observe em particular que  p( x

=

6)

=

0.

1 8

=

0 , ou seja, a probabilidade de uma

variável aleatória continua assumir um valor único é zero. Como conseqüência deste fato  p(3 ≤  x ≤ 5) =  p(3 < x < 5) Para uma situação geral: P(x)

a

b

x

b

 p (a

<

∫ 

 x < b) =  f  ( x) dx a

Valor esperado de uma variável aleatória continua +∞

 E ( x )

∫  xf  ( x)dx

=

−∞

Variância de uma variável aleatória continua +∞

2

σ  

=

∫ [ x

−

µ ( x )

]2  f  ( x)dx

−∞

4-DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE

A distribuição normal é um dos modelos contínuos de probabilidade mais importantes, e apresenta características a seguir. Suponha que uma variável aleatória x com média seguintes características: •

•

•

µ   e

desvio padrão

( x)  com as

σ  

Valores da variável aleatória x mais próximos da média µ  ocorrem com maior freqüência. Valores da variável aleatória x  simétricos em relação à média ocorrem com mesma freqüência. A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo 0 X   tem área unitária.

Uma curva que apresenta estas características é a curva de Gauss e a função matemática que define este tipo de curva é : 9

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 2

 f  ( x)

1 =

2π  

1 ( x − µ  )

e

−

2

σ 

2

Com  x ∈  R

f(x)

µ  − σ  

µ 

µ  + σ  

x

As principais características dessa função são: • •

•

•

O ponto máximo de f(x) é o ponto  X  µ  É simétrica em relação a µ  Os pontos de inflexão da função são:  X  = µ  ± σ   Cada distribuição normal fica completamente especificada por  E ( X ) µ  e V ( X ) σ   2 ; há uma função distinta para cada combinação µ   e σ   2 A área total sob a curva normal é considerada como 1 Como há um número ilimitado de valores no intervalo de − ∞ a + ∞ , a probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente tomar exatamente  determinado valor é zero. Assim, as probabilidades se referem sempre a intervalos de valores. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto. =

=

=

• •

•

•

4.1 Cálculo da probabilidade

f(x)

a

b

10

x

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

A probabilidade de  p(a <  x < b)  é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a, b[ b

 p(a

<

 x < b) =

∫  a

2

1 ( x − µ  )

1 2π  

e

−

2

σ 

2

dx

A variável X tem distribuição normal com parâmetros

µ 

e

σ  

2

  indicaremos pela

2 notação  X   N ( µ , σ   ) =

4.2-Distribuição normal padronizada

A distribuição normal tem uma fórmula muito complexa para o cálculo da área e na realidade constitui uma “família” de distribuições, uma para cada combinação de média e desvio padrão, o que torna muito trabalhoso o calculo da área sob a curva. No entanto, este trabalho pode ser evitado se considerarmos os valores relativos, ao invés dos valores reais. Isto equivale a tomar a média como ponto de referência (origem) e o desvio padrão, como medida de afastamento a contar daquele ponto (unidade de medida). Esta nova escala é comumente conhecida como escala z . Exemplo: Consideremos uma distribuição normal com média 100,0 e desvio padrão de 10,0, conforme figura abaixo:

100

80

00

-2

110

1

A escala padronizada é então obtida da seguinte forma  Z 

 X 

−

µ 

=

σ  

Mostremos que  E ( Z )

=

0  e V ( Z )

=

1

1 1   X  − µ   1  =  E ( X  − µ ) = ( E ( X ) −  E (µ ) ) = ( E ( X ) − µ ) = 0 σ   σ     σ     σ  

 E ( Z ) =  E 

11

X

Z

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 1 1   X  − µ   1  = 2 V ( X  − µ ) = 2 (V ( X ) + V ( µ ) ) = 2 V ( X ) = 1 σ   σ     σ     σ  

V ( Z ) = V 

número de desvios padrões a contar da média X = valor arbitrário da variável aleatória µ  a média da distribuição normal σ   = o desvio padrão.  z

=

=

Portanto se o problema consiste em calcular a probabilidade de uma variável aleatória x assumir um valor entre 100,0 e 115,0 no problema acima, pode ser calculada da seguinte forma: P(100,0 < x < 115,0) = P(0 < z<

115,0 − 100,0 10,0

) = P( 0 < z < 1,5) = 0,4332 =

43,32% Obs: o valor 0,4332 é obtido segundo a tabela em anexo. Esta tabela representa o cálculo relativo a área entre 0 e 1,5. Área esta determinada pela integração da curva normal no determinado intervalo. 4.3-Distribuição normal com aproximação binomial

Muitas situações da vida real podem ser convenientemente descritas pela distribuição binomial. O problema que quando n se torna grande (alem de 20) os cálculos binômias vão se tornado muito árduos. Em alguns casos a distribuição normal pode ser usada como aproximação bastante satisfatória das probabilidades binomiais. A dificuldade que se faz presente é que enquanto a distribuição normal é continua a distribuição binomial é discreta. A transição do caso discreto para o caso contínuo envolve considerações de valores não inteiros associados às variáveis contínuas mas não as variáveis discretas. Exemplo: Seja n = 20 e p= 0,40. Calcular P(x=3) utilizando a distribuição normal.

µ 

=

 np

=

20(0, 40)

=

8 e

σ  

=

npq

=

20(0,4)(0,6)

=

2,2

valor “exatamente” 3 deve ser interpretado como o intervalo de 2,5 a 3,5 na distribuição normal. P ( x =

=

3) = P (2,5 <  x < 3,5) = P (

2,5 − 8 2,2

<

 z

<

3,5 − 8 2,2

)

=

P (−2,5 < z

2,05)

< −

0,4938 − 0,4798 = 0,0140

5-EXERCÍCIOS 1. Determine os valores da variável aleatória x e a distribuição de probabilidade nas seguintes situações: a) No lançamento de duas moedas, anotar o número de caras obtidas.

b) No lançamento de dois dados, a variável aleatória anota, em módulo, a diferença dos pontos das faces superiores.

12

Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

c)

No lançamento de um dado , observa-se o número de faces 5 obtidas nesse lançamento.

d)

Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho de 52 cartas, e observa-se o número de damas obtidas nesta retirada.

e)

Duas cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas e observa-se o número de valetes obtidos.

f)

Uma urna A contém três bolas brancas e quatro bolas pretas, e uma urna B contêm duas bolas brancas e uma bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e observa-se o número de bolas brancas obtidas.

g)

Uma urna A contém três bolas brancas e quatro bolas pretas, e uma urna B contêm duas bolas brancas e três vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso da urna A e colocada na urna B. Em seguida retira-se ao acaso uma bola da urna B e observa-se o número bolas brancas obtidas nesta última extração.

h)

Uma urna contém três peças boas e duas peças defeituosas. Uma a uma as peças são retiradas da urna, sem reposição e analisadas. O experimento encerra-se quando a segunda peça defeituosa for encontrada. A variável aleatória anota o número de peças retiradas da urna ao se encerrar o experimento.

2. Uma confeitaria produz cinco bolos em determinado dia. As probabilidades de vender nenhum, um, dois, três, quatro ou cinco bolos valem respectivamente 1%, 5%, 20%, 30%, 29% e 15%. O custo total de cada bolo é de 10 u.m. e o preço de venda é de 20 u.m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão. 3. Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta feira é de 10%, na quinta feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. Seu lucro é de 3000 u.m. se vender na segunda-feira e diminui 40% a cada dia.Calcule: a) o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda. b) a variância. c) o desvio padrão. 4. Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento d marketing de que o projeto seja bem sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado em sua vida útil é de 100.000 u.m. Se isto não acontecer o prejuízo deve chegar a 50.000 u.m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão. 5. O trem do metro para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de controle. Se o defeito for na antena poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado de manutenção acredita que a probabilidade de o defeito ser no painel é de 60%. Qual é a expectativa do tempo de conserto? 6. Um vendedor prepara quatro visitas e espera vender 1000 u.m. em cada uma delas. A expectativa de venda em cada cliente é de 80%, independentemente. Qual é o valor esperado de vendas deste vendedor?

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Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 7. Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois três ou quatro defeitos, com probabilidades 90%, 5%, 3%, 1% e 1% respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10 u.m. e à medida que apresenta defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de venda desta placas? 9. Qual o preço justo a pagar para entrar em um jogo no qual se pode ganhar US$25 com a probabilidade de 0,2 e US$10 com a de 0,4? 10.Se chover um vendedor de guarda-chuvas pode ganhar US$30 por dia. Se houver bom tempo, ele pode perder US$6 por dia. Qual é a sua esperança se a probabilidade de chuva é 0,3? 11. A e B jogam uma partida, na qual lançam uma moeda honesta 3 vezes. O que obtiver cara em primeiro lugar vencerá a partida. Se A é o primeiro a lançar a moeda e se o valor total das apostas é US$20, qual deve ser a contribuição de cada um, para que o jogo possa ser considerado correto? 12.Uma determinada indústria afirma que 20% de suas pastilhas de chocolate são vermelhas. Determine a probabilidade de que em 15 pastilhas escolhidas aleatoriamente, exatamente 20% sejam vermelhas. 13.Um artigo da revista Time relatou que, em Los Angeles, para cada 100 acidentes de carro em que há algum dano, em 99 casos ocorre algum ferimento. Se um estudo levado a efeito por uma seguradora começa com a seleção aleatória de 12 acidentes de carro em Los Angeles em que há algum dano, determine a probabilidade de ao menos 11 deles haver ferimento. 14.Um teste de estatística consiste de 10 questões do tipo múltipla escolha, cada uma com 5 respostas possíveis. Para alguém que responda aleatoriamente ( por palpite) todas as questões, determine a probabilidade de passar, se o percentual mínimo aprovação é 60%. 15.De acordo com o Ministério da Justiça dos EUA, 5% de todos os lares americanos sofrem pelo menos um assalto em uma comunidade de 15 lares, no ultimo ano. Com base neste dados, qual a probabilidade de haver 4 assaltos em uma comunidade de 15 lares. 16.Em uma pesquisa de opinião pública, 3 dentre 4 pessoas entrevistadas são favoráveis a uma certa proposição. Em uma amostra de 10 pessoas entrevistadas, qual a probabilidade que pelo menos três sejam favoráveis. 17.Suponha que a probabilidade de que uma peça produzida por uma máquina seja defeituosa é 0,2. Se 20 peças produzidas por esta máquina são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que uma peça defeituosa seja encontrada? Use a distribuição binomial e a de Poisson e compare os resultados. 18.Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo verdadeiro/falso com 25 questões, e todos eles decidem responder por palpite. Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de respostas corretas para cada estudante.

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Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 19.A loja de Departamentos Newtower constatou uma taxa de 3,2% de queixas de clientes e decidiu reduzir essa taxa mediante um programa de treinamento de seus empregados. Ao fim do programa, observaram-se 850 clientes.

a) Admitindo que o programa de treinamento não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio padrão do número de queixas neste número de 850 clientes. b) No grupo de 850 clientes observados, 7 tiveram alguma quixa. Esse resultado é excepcional? O programa de treinamento parece ter sido eficaz? (uma estimativa pode ser considerada razoavelmente boa se: mínimo ≈ média – 2 x desvio padrão e máximo ≈  média + 2 x desvio padrão). 20.O departamento de Saúde do Estado de Nova York relata uma taxa de 10% de incidência do vírus HIV para a população de “risco”. Desenvolve-se em uma região uma campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa de 10%. Posto em prática o programa, faz-se um estudo subseqüente sobre 200 indivíduos do grupo de risco. a) Admitindo que o programa não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio padrão do número de casos de HIV em grupos de risco de 200 pessoas. b) Entre as 200 pessoas submetidas ao teste, 7% tiveram resultado positivo, se o programa não sutil efeito, esta taxa é baixa? 21. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (itens considerados bons), qual o numero mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons? 22. Esta sendo planejado um novo hospital para Newtown, uma comunidade que ainda não tem hospital próprio. Se Newtown tem uma média de 2,25 nascimentos por dia, determine a probabilidade de que, em um dia, o número de nascimento seja:

a) 0

b) 1

c) 4

23. Um estudo cuidadoso de uma fita magnética de dados de computador mostra uma incidência de 2,0 defeitos para cada 500 pés de fita. Determine a probabilidade de mais de um defeito em 400 pés de fita selecionada aleatoriamente. 24.Em uma ano recente, verificaram-se 46 casos de seqüestro de avião em todo mundo (com base nos dados do Departamento de aviação dos EUA. Tomando um dia como intervalo, qual é a probabilidade de acontecer 0 ou 1 seqüestro em qualquer parte do mundo?. 25. Um cassino é flagrado tentando utilizar um par de dados viciados. No  julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos pretos eram escavados, enchidos com chumbo e repintados a fim de parecerem normais. Além das evidências físicas, os dados foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados:

12 12

8 3

9 2

12 12

12 10

9 9

8 12

7 11

12 11

10 12

Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados equilibrados (honestos) a média deve ser 7 e o desvio padrão deve ser 2,4.

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Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________

a) Determine a média e o desvio padrão dos valores amostrais obtidos no  julgamento. b) Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual e a probabilidade de obter um 12? Compare esta probabilidade com a de 1/36 (ou 0,0278) para dados equilibrados. c) Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados é 1/36, determine a probabilidade de obter ao menos 12 em 20 jogadas de dados equilibrados. d) Se o leitor fosse um advogado de defesa, como refutaria os resultados obtidos no tribunal?. 26.A altura das mulheres tem distribuição normal com média de 1.61 m e desvio padrão 6,35 cm (com base no Serviço Nacional de Saúde dos EUA). Selecionada aleatoriamente uma mulher, determine a probabilidade de sua altura estar entre 1,61 m e 1,73 m. 27.Uma mulher para se adaptar a uma espaçonave russa Soyuz, um astronauta deve ter altura entre 1,64 m e 1,83 m.

a) Determine a porcentagem de mulheres americanas que satisfazem essa condição (de acordo com os dados do exercício anterior) b) Entre 500 mulheres americanas selecionadas aleatoriamente, quantas satisfazem aquela condição? 28.Os prazos de duração da gravidez têm distribuição normal com média 268 dias e desvio padrão de 15 dias. Definindo como prematura uma criança nascida com menos de três semanas de antecipação, qual a percentagem das crianças nascidas prematuramente? (estas informações são importantes para os administradores de Hospital para ter em mãos os equipamentos necessários para atender aos prematuros). 29.Um elevador tem o seu funcionamento bloqueado se sua carga for superior a 450 kg. Sabendo que o peso de um adulto é uma variável aleatória com distribuição normal, sendo a média igual a 70 kg e desvio padrão igual a 15 kg, calcule a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 6 adultos. 30.Os pesos dos estudantes de uma Faculdade são distribuídos normalmente com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5. a) Determine o percentual de estudantes que pesam menos de 60 kg ou mais que 70 kg b) Estão convocados para um exame médico os 15% estudantes de menor peso. Determine qual deve ser o peso mínimo que um estudante deve ter para não ser convocado para o exame médico? 31.As máquinas “caça-níqueis” são fabricadas de modo que seus proprietários possam ajustar os pesos das moedas que são aceitas. Se forem encontradas muitas moedas falsificadas, faz-se um ajuste para rejeitar mais moedas, com o efeito que a maioria das moedas falsificadas é rejeitada juntamente com muitas moedas legítimas. Suponha que as moedas tenham pesos distribuídos normalmente com média de 5,67 g e desvio padrão de 0,070 g. Se uma máquina “caça-níquel” é ajustada para rejeitar moedas que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g qual é a percentagem de moedas legítimas rejeitadas?

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Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 32. O grau médio de um exame final foi de 72 e o desvio padrão 9. 10% dos melhores alunos receberam classificação A. Qual o grau mínimo que um estudante deve obter para classificar-se em A? 33. Vimos anteriormente que as alturas das mulheres têm distribuição normal com média 1,61 m e desvio padrão 6,35 cm. Determine o valor P 90, isto é, determine a altura que separa os 90% inferiores dos 10% superiores. 34.Determine a probabilidade de, em 200 lances de uma moeda, resultarem:

a) b) c) d)

Entre 80 e 120 caras, inclusive. Menos de 90 caras. Menos de 85 ou mais de 115 caras. Exatamente 100 caras.

35.Uma máquina produz parafusos, dos quais 10% são defeituosos. Determinar a probabilidade de, em uma amostra tomada ao acaso de 400 parafusos produzidos por essa máquina, serem defeituosos:

a) No máximo 30; b) Entre 30 e 50; c) 55 ou mais. 36.Cerca de 4,4% dos acidentes fatais com automóveis são causados por pneus defeituosos (Conselho Nacional de Segurança dos EUA) . Se um estudo de segurança em uma rodovia começa com a escolha aleatória de 750 casos de acidentes fatais com veículos motorizados, estime a probabilidade de exatamente 35 de eles terem sido causados por pneus defeituosos. 37.Há 80% de chance de um empregador verificar o nível de instrução de um candidato a um emprego. Para 100 candidatos selecionados aleatoriamente, estime a probabilidade de exatamente 85 ter seus currículos examinados.

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Distribuição de probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________ 6-TABELA EM ANEXO

7-BIBLIOGRAFIA

TRIOLA, Mario F. Introdução a Estatística. 7 ed – Rio de janeiro: LTC , 1999. STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração . São Paulo: Editora Harbra LTDA, 1988. CRESPO, Antônio Armont. Estatística fácil . São Paulo: Editora Saraiva, 1996. SILVA, Medeiros da Silva, SILVA, Elio Medeiros, GONÇALVES, Valter, MUROLO, Antônio Carlos. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis.  2  ed, Vol 1 e 2. São Paulo: Editora Atlas S.A, 1997. a

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