Variacion de Parametros y Funciones de Green

Ecuaciones lineales de orden superior no-homogéneas: Solución por variación de parámetros y funciones de Green Preparado por M.C. Luis E. Castro-Solís

Considere la ecuación de segundo orden canónica (El coeficiente de y” es 1) y además no-homogénea (forzada) (i)

y” + P(x) y’ + Q(x)y = f(x)

con solución general (de la ecuación homogénea (=0) asociada): (ii)

yc = c1 y1 + c2 y2

Se sabe que siempre será posible escoger (iii)

yp = u1(x) y1 + u2(x) y2

Como solución de la ecuación forzada, quedando por determinarse las expresiones para las funciones u1 y u2 tales que debe satisfacerse la ecuación (i) De (iii) se pueden calcular las derivadas sucesivas (iii’)

y’ p = (u1 y’1 + u2 y’ 2) + (u’ 1 y1 + u’ 2 y 2)

(iii”)

y”p = (u1 y” 1 + u2 y”2 ) + (u’1 y’ 1 + u’2 y’2 )

Por conveniencia anulamos el segundo término, es decir (iv)

u’ 1 y1 + u’2 y2 = 0

Ahora bien, ya que las soluciones en (ii) satisfacen al problema (i) homogéneo, se cumple: (v-1) (v-2)

y1” = - P(x) y’ 1 - Q(x)y1 y2” = - P(x) y’ 2 - Q(x)y2

De donde, de (iii”) se sigue: y”p = u 1(-P(x) y’ 1 - Q(x)y1) + u2 (-P(x) y’2 - Q(x)y2 ) + (u’ 1 y’1 + u’2 y’ 2 ) y”p = (u’ 1 y’1 + u’2 y’ 2 ) - P (u1 y’1 - u2y’2) - Q( u1 y1 + u2 y2 ) Más brevemente (vi)

y”p = (u’ 1 y’1 + u’2 y’ 2 ) - P y’ p – Q yp

O bien, asimilando a (i) (condición 2 ) (vii)

y”p + P y’p + Q yp = u’ 1 y’1 + u’2 y’ 2 = f(x)

Las ecuaciones (iv) y (vii) nos permiten escribir el siguiente sistema lineal en u’1 y u’2 : (iv) (vii)

u’ 1 y1 + u’ 2 y2 = 0 u’ 1 y’1 + u’2 y’2 = f(x)

Resolviendo el sistema

(viii)

 u '1   y1 u '  =  y '  2  1

y2  y ' 2 

−1

 0   f ( x)  

Explícitamente la solución del sistema es

(ix-1)

0 y2 f ( x) y'2 − y 2 f ( x) u '1 = = y1 y2 W ( y1 , y2 ) y'1 y '2

(ix-2)

y1 0 y ' f ( x) y f ( x) u '2 = 1 = 1 y1 y2 W ( y1 , y2 ) y'1 y' 2

Note que el denominador es el Wronskiano de las soluciones (ii)

W ( x) = W ( y1 , y2 ) =

y1 y'1

Integrando las fórmulas (ix) se tiene

(x-1)

u1 = − ∫

(x-2)

u2 = ∫

y 2 f ( x) dx W ( y1 , y2 )

y1 f ( x) dx W ( y1 , y2 )

y2 = y1 y'2 − y2 y'1 y'2

Finalmente la solución al problema no-homogéneo, con (iii), resulta ser la siguiente fórmula general de variación de parámetros :

(xi-1)

 y f ( x)   y f ( x)  y p = − y 1 ∫ 2 dx  + y 2  ∫ 1 dx   W ( y1 , y2 )   W ( y1 , y2 ) 

Si se imponen a (i) las condiciones iniciales nulas, es decir: yp (x0) = y’p(x0) = 0, entonces (xi) viene dada por

(xi-2)

 x y2 f (τ )   x y1 f (τ )  y p ( x) = − y1 ∫ d τ  + y 2 ∫ dτ   xo W ( y 1 , y 2 )   xo W ( y 1 , y 2 ) 

Equivalentemente, podemos generalizar el procedimiento anterior mediante la Función de Green , G(x,τ)

(xii)

y1 (τ ) y (τ ) G( x , τ ) = 2 y1 (τ ) y '1 (τ )

y1 ( x) y2 ( x) 1 y1 (τ ) = y 2 (τ ) W (τ ) y2 (τ ) y'2 (τ )

y1 ( x) y 2 ( x)

De esta forma la solución particular del problema (i) viene dada por y p ( x ) = ∫ G ( x ,τ ) f (τ ) dτ x

(xiii)

x0

En el caso en que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes, la función G(x,τ) es equivalente a la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia del sistema, digamos g(t), y (xiii) es la integral de convolución de g(t) y f(t).

x

(xiii-2)

y p ( x) = g (t ) ∗ f (t ) = ∫ g (t − τ ) f (τ )d τ x0

EJEMPLO A.- Considere la ecuación y” + y = tan x, cuya solución complementaria es y c = c1 cos x + c 2 sen x; elabore la solución particular. Solución.- Primero calcularemos la función de Green (xii) y luego usaremos la solución generalizada (xiii) cos(τ ) cos( x ) sen (τ ) sen ( x) cos(τ ) sen( x ) − sen (τ ) cos( x ) G( x ,τ ) = = = cos(τ )sen ( x ) − sen(τ ) cos( x ) cos(τ ) sen(τ ) cos 2 (τ ) + sen 2 (τ ) − sen(τ ) cos(τ ) y p (x ) = ∫ [cos(τ )sen( x) − sen(τ ) cos( x)] tan(τ )dτ x

y p (x ) = sen( x) ∫ cos(τ ) tan(τ )dτ − cos( x)∫ sen(τ ) tan(τ )dτ x

x

y p (x ) = sen( x) ∫ sen(τ ) dτ − cos( x) ∫ x

x

sen 2 (τ ) 1 − cos2 (τ ) dτ = sen( x)∫ sen(τ )dτ − cos( x)∫ dτ x x cos(τ ) cos(τ )

y p (x ) = sen( x) ∫ sen(τ ) dτ − cos( x) ∫ [sec(τ ) − cos(τ )]dτ x

x

y p (x ) = − sen( x) cos( x) − cos( x )[ ln sec( x) + tan( x) − sen (x )] y p (x ) = − cos( x) ln sec(x ) + tan(x)

Usando el enfoque de función de transferencia (respuesta del sistema al impulso unitario d(t), se llega a al mismo resultado mediante la convolución: 1 s +1 g ( x) = sin x

G( s) =

2

x

x

0

0

y p ( x) = sin x ∗ tan x = ∫ tanτ sin( t − τ ) dτ = ∫ tanτ (sin t cos τ − cos t sin τ )d τ y p ( x) = − cos( x) ln sec(x) + tan( x )

EJEMPLO B.- Resuelva x3 y(3) + x2y (2) - 6xy’ + 6y = 30x Solución.1)

El problema homogéneo es de Cauchy-Euler: x3y (3) + x2 y (2) - 6xy’ + 6y = 0

Se postula la solución

y = xr

Con derivadas sucesivas

y’ = rxr-1; y” = r(r-1)xr-2; y’’’=r(r-1)(r-2)xr-3

Sustituyendo en (1) queda:

xr [ r ( r - 1)2 - 6( r – 1) ] = 0

Dividiendo entre xr y factorizando: (r – 1) (r - 3) (r + 2) = 0

De donde:º

r1 = 1, r2 = 3, r3 = -2

La solución complementaria requerida es y c = c1 x + c 2 x3 + c 3 x-2 2) El problema forzado canónico es y(3) + x -1y (2) - 6x-2 y’ + 6x -3 y = 30x -2 A partir de las ecuaciones (iv) y (vii) se tie ne

x x 3  2 1 3 x 0 6 x 

x −2   − 2 x −3  6 x− 4 

u '1   0  u '  =  0   2   u'3  30 x −2 

Resolviendo este sistema lineal con DGO e integrando u’ 1 = -5/x u’ 2 = 3/x3 u’ 3 = 2x2

→ → →

u1 = -5 ln x u2 = -3/2 x-2 u3 = 2/3 x3

La solución particular requerida es: yp = - 5 x ln x - 5/6 x

Apéndice: Solución con Simulink