Variables de Estados

 

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño  Asignatura: Simulación Digital Escuela: Sistemas (47)

Variables De Estado

Facilitador:

Bachiller:

Ing. Diógenes Rodríguez Brito

Anthoni Y. Cedeño N. CI.: 25.877.214 Sección: 4-A

Porlamar, Enero Del 2018

 

ndice

Pág.

Introducción………………………………………………………………  

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Variables de Estado……………………………………………………..  

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Características……………………………………………………………  

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Método para transformar Ecuaciones Diferenciales en ecuaciones de Estados………………………………………………….   Construir las Ecuaciones de Estado utilizando los modelos Matemáticos………………………………………………………………..   Representación de los sistemas en ecuaciones de estados ……... 

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Métodos de solución de ecuaciones de Estados …..……………….  Conclusión………………………………………………………………….  

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Referencias Bibliográficas …………………………………………….  

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Introducción Una variable de estado es aquella que muestra el estado actual del sistema en equilibrado. De un sistema termodinámico en equilibrio, se puede tomar cierto número finito de estas variables de estado, en estos valores se puede determinar que no existe error alguno el estado del sistema. Estas variables de estado tienen o deben tenerse en cuenta ciertas características que se indican en la presente investigación, ayudan en cuanto a la resolución de algún problema o ejercicio. En la presente investigación se puede conseguir lo que es el Método para transformar Ecuaciones Diferenciales en ecuaciones de Estados, la cual se puede decir que es un sistema lineal que se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada. También se encuentra en la información como construir las Ecuaciones de Estado utilizando los modelos matemáticos, así como lo establece Ogata, Katsuhiko (1996), que se tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. Y conseguirá lo que es la Representación de los sistemas en ecuaciones de estados que es un modelo matemático de un sistema físico, y también los métodos de solución de ecuaciones de estados lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo.

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Variables de Estado Es aquella forma macroscópica que representa el estado de un sistema bien equilibrado. Un sistema termodinámico equilibrado, puede seleccionarse o tomar un número finito de variables de estado, ya que sus valores determinan sin errores el estado del sistema.

Características Cualquiera que sea la interpretación que se adopte, debe tenerse presente que: • Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.   • Las variables de estado pueden o no ser medibles.  • Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas;

de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Método para transformar Ecuaciones Diferenciales en ecuaciones de Estados. La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida.

 Así, dado d ado el sistema en la figura de la subsunción de transferencia será la siguiente:

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() = [[(()])]| . .   = (())  Construir las Ecuaciones de Estado utilizando los modelos matemáticos  Como lo establece Ogata, Katsuhiko (1996), En el análisis en el espacio de estado se tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. La representación en el espacio de estado para un sistema dado no es única, con la excepción de que el número de variables de estado es el mismo para cualquiera de las distintas representaciones en el espacio de estado del mismo sistema. Para sistemas (linéales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de estado se puede escribir como:

( + 1) = [(), (), ]  Y la ecuación de salida como:

() = [(), (), ]  Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:

((+)1=) =(())(()+) +(())(())  Donde:

() =  (  ) )  () =  (  )  () =  (  )  4

 

() =    (  )  () =      ( (    ) )  () =       ( (   ))  () =     (     ) )  La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k) y D(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece en forma explícita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo, es decir, constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones se pueden simplificar a:

((+)1=) =( ) +()  (()+()  Al igual que en el caso del tiempo discreto, los sistemas de tiempo continuo (lineal o no lineal) se pueden representar mediante la siguiente ecuación de estado y la siguiente ecuación de salida:

(()) = [[(()), (()), ]]    =    ,  , Para sistemas lineales de tiempo continuo variantes en el tiempo, las ecuaciones de estado y de salida están dadas por:

(()) = (())(()) + ()()    =     +()() Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces las dos últimas ecuaciones se simplifican a:

(()) = (()) +()    =   +() 5

 

Representación de los sistemas en ecuaciones de estados. Una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial.

Métodos de solución de ecuaciones de Estados. Método de solución de ecuaciones de estado lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo: En general, las ecuaciones de tiempo discreto son más fáciles de resolver que las ecuaciones diferenciales, porque las primeras pueden resolverse simplemente mediante un procedimiento de recursividad. Éste es bastante sencillo y conveniente para cálculos digitales. Considere las siguientes, ecuación de estado y ecuación de salida:

La solución de la ecuación (5-28) para cualquier entero positivo k se puede obtener directamente por recursión:

Mediante la repetición de este procedimiento, se obtiene:

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Claramente, x(k) está formado de dos partes, una que representa la contribución del estado inicial x(0) y otra. La contribución de la entrada u(j), donde j=0, 1, 2, …, k -1. La salida y(k) está dada por:

Matriz de transición de estado. Observe que es posible escribir la solución de la ecuación de estado homogénea:

En la forma:

Donde

 es una matriz única de n x n que satisface la condición:

Ψ() Es claro que

Ψ() puede estar dada por:

En la ecuación (5-33), se puede ver que la solución (5-32) es simplemente una transformación del estado inicial. Por lo tanto, la matriz 7

 

única se llama matriz de transición de estado. También se conoce como matriz fundamental. La matriz de transición de estado contiene toda la información sobre los movimientos libres del sistema definidos por la ecuación (5-32). (p.302-303.)

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Conclusión Después de finalizar el presente trabajo de investigación se puede concluir que una variable de estado es una muestra de una magnitud física del estado actual de un sistema bien equilibrado. Y si se toman ciertos valores o números finitos de estas variables de estado se podrá ver que no existe error alguno en el equilibrio de dicho sistema. Sabemos que las variables de estado comprenden ciertas características las cuales ayudan a mantener el equilibrio de los sistemas, de estas se puede mencionar que las variables de estado pueden tener o no sentido físico y también pueden o no ser medibles. Cuando se busca el método para transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones de estados, que se puede decir que una función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede definir como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales sean cero. Sabemos cómo construir ecuaciones de estado utilizando los modelos matemáticos, así como nos los indica Ogata, Katsuhiko (1996), que se tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de sistemas dinámicos y estas son: las variables de entrada, las de salida y las de estado. Y la representación en el espacio de estado de un sistema dado no es única, excepto de que el número de variables de estado es el mismo. Y en cuanto a la representación de los sistemas en ecuaciones de estados sabemos que es un modelo matemático de un sistema físico, y los métodos de solución de ecuaciones de estados se basan en las ecuaciones de tiempo discreto que son más fáciles de resolver que las ecuaciones

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diferenciales ya que las primeras partes pueden resolverse simplemente mediante un procedimiento de recursividad.

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Referencias Bibliográficas 

  Variable de estado. Lugar de publicación: Wikipedia. Recuperado de

https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_de_estado  https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_de_estado  

  Héctor Farías (2016). Variables de Estado. Lugar de publicación:

Slideshare.

Recuperado

de

https://es.slideshare.net/hectorfarias9/

presentacin-variables-de-estado-simulacin-digital   presentacin-variables-de-estado-simulacin-digital 

  Jesús Jiménez, (2016). Variables de Estado. Lugar de publicación:

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Recuperado

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https://es.slideshare.net/JesusJimenez144/

simulacion-digital-variables-de-estado-por-jesus-jimenez   simulacion-digital-variables-de-estado-por-jesus-jimenez 

  Solución

de

las

Ecuaciones

de

Estado.

Recuperado

de

http://www.ieec.uned.es/investigacion/Dipseil/PAC/archivos/Ecuaciones%20d e%20Estado.pdf . 

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