Variables Aleatorias Continuas

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1. Un maestro maestro un unive iversi rsitar tario io nunca termina termina su clase clase antes de que suene suene la campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que suena la campana. Sea  X  =   = el tiempo que transcurre entre la campana y el término de clase y suponga que la fdp de  X  es:  es: kx 2  f  ( x) =  0

0 ≤  x ≤ 2 de otra manera

a. Encuentre el valor de k  b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la campana" c. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e entre $% y &% s después de que suene la campana" d. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e por lo menos &% s después de que suene la campana" 2. Suponga que que el error error al 'acer cierta medici(n es una va continua X  con  con fdp 0.09375(4 −  x 2 )  f  ( x) =  0 

− 2 ≤  x ≤ 2 de otra manera

a. )race la grfica de f  *  * x   x +. +.  * X   , %+. b. Calcule P  *  X  , *-1  X     1+ c. Calcule P *-1 d. Calcule P  *  * X   X     - %./ o X  ,  , %./+ 2

3

a. 0*+= 3 x d= * x 45+ ⇾ 6=5 ⇾ =546 1

b. 7*81+= 7*1+=

3

1

 x ¿ 0 =%.12/-%=% 8

1

3 1.5  x ¿ 1 =%.21-%.12/=%.2&$ 8

c. 7*1991./+ =

1

e. 7*81./+=

3

2

 x ¿ 1.5 =1-%.21=./;& 8

5. metro amper>metro es una varia!le aleatoria continua  X  con  con la funci(n de densidad siguiente: 0.075 x + 0.2  f ( x ) =  0 

3≤ x ≤ 5 de lo contrario

a. ?rafique la funci(n de densidad de pro!a!ilidad para verificar que el rea !a@o la curva de densidad es de 'ec'o 'ec'o 1.

2

b. Calcule P * X ≤ +. ¿C(mo se compara esta pro!a!ilidad con P * X   +" c. Calcule la pro!a!ilidad P *5./ ≤ X ≤ ./+ y P *./ , X + . El tiempo  X  *minutos+ para que un asistente de la!oratorio prepare el equipo para un eperimento tiene una distri!uci(n uniforme con  A = 2/ y B = 5/. a. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima. −16 -5 0*+= 52 ʃ *B+ d= ( x + 4 ) 2 = -1$*%-141$+= 1 b. etermine la fda. 16

1 - ( x + 4 )

8%

2

c. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos. 7*298/+= 0*/+ 0*2+= -1$461 B 1$45$= 2%461 = %.2; d. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla" E*+=  ʃ 524*B+  = 52 * 2

 x 2 ( x + 4 )

2

l B F  ʃ 

dx ( x + 4 )

2

E*+= -1$*-14+=  e. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B  x + cuando su tiempo para fallar sea  x  ¿cul es el valor esperado de rescate" 100

 E*'*++=  ʃ 

4

(

x2

+ x ( x + 4 ) 3

)

dx

E*+= 1$.$;

/. 1  x ≤ 1

a. etermine el valor de  para el cual f*+ es una fdp leg>tima. 0*+=4=1-==5

b. M!tenga la funci(n de distri!uci(n acumulada. 0*+=4=14-14=1--5 c. Utilice la fda del inciso *!+ para determinar la pro!a!ilidad de que el avance eceda 2 s y la pro!a!ilidad de que el avance esté entre 2 y 5 s.

4

p**  2+ =4=542*2+= %.12; p*2    5+ = f2-f5=.12;-4=.%5;=.%66 d. M!tenga el valor medio y la desviaci(n estndar del avance. E*+=1/ N= √ ( x −m ) 2 +f*+= %.6$$ e. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el avance esté dentro de una desviaci(n estndar del valor medio" *N42= %.&2/ 6. Eprese con  X   el tiempo para la falla *en aDos+ de cierto componente 'idrulico. Suponga que la fdp de  X  es f * x + = 524* x  B +5 para x  8 %. f. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima. g. etermine la fda. h. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos. i. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla"  j. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B  x + cuando su tiempo para fallar sea  x  ¿cul es el valor esperado de rescate" &. Considere la fdp para el tiempo total de espera Y  de dos auto!uses 0 ≤  y

a ser #til.+ b. M!tenga una epresi(n para el *1%% p+mo percentil. *Sugerencia: considere en forma separada %   p  ./ y ./  p  1. c. Calcule E *Y + y V *Y +. ¿C(mo se comparan con el tiempo esperado y la varianLa de un solo auto!#s cuando el tiempo es uniformemente [ 0,5] distri!uido en " 1

a. 0*+=

 ∫ 0 ydy= 25 10

  0*+=  ∫ 

5

!.

5

1 25

2 5

O

y

2

2

=

1

dy - 3

25

y

2

50

5

¿

0

2

ydy =

5

y-

 y

2

50

10

¿

5

5 1

5

c. E*y+ = ∫ 0 y 2

25 5

E* y + = ∫   y 0

2

1

3

5

ydy= 75  y ¿ 0 =1$.$$-%=1.$$ 1 25

1

ydy=

 y 4 ¿50 =$.2/ 100

A*y+ =$.2/ - 2.;/ =5.2/ 1%.El dimetro *en cent>metros+ de unos !alines metlicos para uso industrial es una va  aleatoria continua  X   cuya funci(n de densidad de pro!a!ilidad est dada por: 2cx − cx 2 − 0.99c  f  ( x) =  0 

 para

0.9 <  x < 1.1

en cualquier otro caso

a. M!tenga el valor de la constante c . b. Palle la media la desviaci(n estndar y la mediana. c. i!u@e la grfica de f * x + DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.¿Cul es la pro!a!ilidad de que el dimetro de un r!ol seleccionado al aLar  esté entre / y Sea Z   una va normal estndar calcule las siguientes pro!a!ilidades di!u@ando figuras siempre que sea posi!le. a. P *% 9 Z  9 2.1;+ b. P *% 9 Z  9 1+ c. P *-2./% 9 Z  9 %+ d. P *- 2./% 9 Z  9 2./%+ e. P *Z  9 1.5;+ f. P *- 1.;/ 9 Z + g. P *- 1./% 9 Z  9 2+ h. P *1.5; 9 Z  9 2./%+ i. P *1./% 9 Z +  j. P *|Z | 9 2./%+ a+ 7*%9Q921;+. R*2.1;+  R*%+ = %.&6/&  %./%%%= %.6/% !+ 7*%9Q91+. R*1+  R*%+ = %.615-%./%%% = %.515 c+7*2/%9Q9%+. R*%+  R*-2./%+ = %./%%%  %.%%$2 = %.&56 d+7*2/%9Q92/%+. R*2./%+  R*-2./%+ = %.&&56  %.%%$2 = %.&6;$ e+7*Q915;+. R*1.5;+= %.&1; *directo de la ta!la+ f+7*1;/9Q+. 1  R*-1.;/+ = 1  %.%%1 = %.&/&& g+7*1/%9Q92%%+. R*2+  R*-1./%+ = %.&;;2  %.%$$6 = %.&1% '+ 7*15;9Q92/%+. R*2./%+  R*1.5;+ = %.&&56  %.&1; = %.%;&1 i+ 7*1/%9Q+. 1  R*1./%+ = 1  %.&552 = %.%$$6  @+ 7*TQT92/%+. R*2./%+  R*-2./%+ = %.&&56  %.%%$2 = %.&6;$

6

2.Suponga que la fuerLa que act#a so!re una columna que ayuda a sostener  un edificio est normalmente distri!uida con media de 1/.% ips y desviaci(n estndar 1.2/ ips. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la fuerLa: a. sea a lo sumo 1; ips" b. Se encuentre entre 1% y 12 ips" c. difiera de 1/ ips en a lo sumo 2 E" 17

a. 7*91;+ = 7*L9

−15

1.25 12

!. 7*1%9912+ = 7 *

+ = R*1.$+ = %.&/2

−15

1.25

10

8L8

−15

1.25

+ = R*-2.+ - R*-+ = %.%%62-% =

%.%%62 12

c. 7*1/-2N991/B2N+ = 7*12./991;./+ = 7 *

−15

1.25

10

8L8

−15

1.25

+ = R*2+ -

R*-2+ = %.&;;2-%.%226 = %.&/ 5. El art>culo Vonte Carlo Simulation  )ool for Wetter Understanding of  a que 'a!erse cam!iado la desviaci(n estndar para que &/Y de todos los frascos contengan ms de lo esta!lecido" 6. a. Si una distri!uci(n normal tiene = 2/ y = / ¿cul es el &1no percentil de la distri!uci(n" b. ¿Cul es el seto percentil de la distri!uci(n del inciso *a+" c.  El anc'o de una l>nea gra!ada en un c'ip de circuito integrado est normalmente distri!uido con media de 5.%%% m y desviaci(n estndar  %.1/%. ¿^ué valor separa al 1%Y ms anc'o de todas las l>neas del otro &%Y" 





&. menes seleccionados independientemente tengan una dureLa menor de ;5.6" *Sugerencia: Y   = n#mero entre dieL espec>menes con dureLa menor de ;5.6 es una varia!le !inomial` ¿cul es  p"+ DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXONENCIAL

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1. Eval#e lo siguiente: a. *$+ b. */42+ c. F *`/+ *funci(n gamma incompleta+ d. F */+ e. F  *%+  

Eval#e lo siguiente: f. *$+ *b+=*b-1+=; 



g. */42+ *b+=*b-1+=;42 



h. 0*`/+ *funci(n gamma incompleta+ i. 0*/+ e. 0 *%+ 2. Suponga que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prue!a acelerada de vida #til la duraci(n  X  *en semanas+ tiene una distri!uci(n gamma con media de 2 semanas y desviaci(n estndar de 12 semanas. a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure entre 12 y 2 semanas" b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure a lo sumo 2 semanas" c. ¿Cul es el &&avo percentil de la distri!uci(n de duraci(n" d. Suponga que la prue!a en realidad termina después t  semanas ¿qué valor de t   es tal que solo la mitad del 1Y de todos lo transistores estarn funcionando al terminar la prue!a" 5. culas *o rayos+ β son en realidad electrones ordinarios epulsados de manera ecepcional del n#cleo de algunos tomos de ciertos elementos radiactivos. ic'as part>culas @ams eisten como tales dentro del n#cleo paro a veces llegan a crearse durante las transformaciones nucleares pudiendo escapar a grandes velocidades para ser detectadas en una placa fotogrfica. Si una pequeDa porci(n de un elemento radiactivo epulsa en promedio  part>culas β por segundo calcule la pro!a!ilidad de que transcurran: a. Vs de dos segundos para que se emitan dos part>culas β` b. Venos de tres segundos para que se emitan 1% part>culas β. HSugerencia: suponga que el tiempo de emisi(n de de dic'as part>culas sigue una distri!uci(n gamma. ] a. 7*+=0*242+=%./&

!. 7*+=1-0*1%42+=%.65

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. Considere la tasa de falla de un componente eléctrico de una veL cada / 'oras. Es importante considerar el tiempo que transcurre para la falla de dos componentes. a. Suponiendo que se aplica una distri!uci(n gamma ¿cul es el tiempo medio que transcurre para la falla de dos componentes" E*G+= *2+*/+=1% b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que transcurran 12 'oras antes de que fallen dos componentes" 0*1242 /+= *$/+= %.;1/ /. En cierta ciudad el consumo de energ>a eléctrica diario en millones de iloatts-'ora es una varia!le aleatoria  X  que tiene una distri!uci(n gamma con media µ = $ y varianLa σ2 = 12. a. Encuentre los valores de α y β. 175

0*1;/`&16%+ = 1-

180

9

¿

=%./5

−¿ ¿

e

b. Encuentre la pro!a!ilidad de que en cualquier d>a dado el consumo de energ>a diario eceda los 12 millones de iloatts-'ora. 175 / 80 ¿ 150 / 80 ¿ −¿ −¿ 0*1/%991;/+=* 9 +* 9 +=%.%165∗175 ∗e¿ ∗150 ∗e¿ 9

9

8

180

8

9

180

9

%.%%&/=%.%%66 c. !. %.%%66O2=.%1;$ $. El art>culo etermination of t'e V07 of 7ositive 7'otoresists Using t'e Vonte Carlo Vet'odK * Ph#t#graphic Sci. an! Engr. 1&65 pp. 2/  2$%+ propone la distri!uci(n eponencial con parmetro = %.&5 como modelo para la distri!uci(n de la longitud * m+ de la trayectoria li!re de un fot(n !a@o ciertas circunstancias. Suponga que el modelo es correcto. a. ¿Cul es la longitud esperada de la trayectoria y cul es la desviaci(n estndar de la longitud de la trayectoria" b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria eceda 5.%" ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria se encuentre entre 1.% y 5.%" 



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c. ¿Cul valor se re!asa por solo 1%Y en todas las longitudes de la trayectoria" ;. Un componente tiene duraci(n  X  eponencialmente distri!uida con parmetro λ. a. Si el costo de operaci(n por unidad de tiempo es c  ¿cul es el costo esperado de operar este componente en su vida #til" b. En lugar de un valor constante de costo c  como en el inciso *a+ suponga que el costo es c   *1- %./eax + con a , % de modo que el costo por unidad de tiempo es menor que c  cuando el componente es nuevo y ms costoso a medida que el componente enve@ece. J'ora calcule el costo esperado de operaci(n durante la vida #til del componente. .E*+ = 14 λ ⇾ c=14 λ E*+ ⇾ =14c*1-%./

e

ax

⇾ =14c +

6. Un mecanismo de aire acondicionado funciona con !ase en cinco componentes independientes y la vida #til de cada uno sigue una λ  =

1 5

distri!uci(n eponencial con parmetro *en aDos+. 7ara que el mecanismo de aire acondicionado funcione se requiere que por lo menos dos de sus cinco componentes a#n sirvan. Calcule la pro!a!ilidad de que el mecanismo de aire acondicionado contin#e funcionando después de 6 aDos. 7*6`%.2+= 1  e -%.2*6+= %.;&61 &. Seg#n un reporte del peri(dico Uno Vs Uno *octu!re de 1&&6+ muc'os funcionarios y servidores p#!licos del go!ierno meicano ocupan la mayor>a de sus 'oras de tra!a@o 'aciendo llamadas telef(nicas personales. Suponga que la duraci(n de las conferencias telef(nicas personales de una funcionaria de la Secretaria de ?o!ernaci(n es una varia!le aleatoria G que sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro λ = %.%12 *en minutos+. Calcule: a. o tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con parmetros α = 2 y β = 5. Calcule lo siguiente: a. E * X + y V * X + b. P * X ≤ $+ c. P */ ≤ X ≤ $+ 2.los autores del art>culo J 7ro!a!ilistic nsulation oK a !a@as temperaturas. Suponga que  X  tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con α = 2% y β = 1%%. a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que  X  sea a lo sumo 1%/ si" b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia se encuentre entre 1%% y 1%/ si" c. ¿Cul es la mediana de la distri!uci(n de resistencia" . En el art>culo Xesponse of SiC f  4Si5\ Composites Under Static and Cyclic