Variable Separables - Ejemplos PDF

 

Clase

3

Ecuaciones diferenciales de variables separables Aplicando los conocimientos obtenidos  obtenidos  y recordando principios básicos algebraicos, se tiene que una ecuación diferencial de variables separables de primer orden, tiene la forma: , de donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una constante. Por lo tanto se le aplica un método de solución de integración directa, es decir:  

() ±()  = 

∫ () ± ∫ ()  = 

Ejemplo

   −)) =  ⇒  Condiciones iniciales     =   ; (− 9    =  4   9   = 4  9 ∫ y dy = 4 ∫ x dx    y  = 2x  C   2x     y = C  ∗ 2     =   Solución general

1

Reemplazando las condiciones iniciales en la l a solución general, se tiene:  



Ejemplo



 

4(2 2)1) 699(=1)C = C C = 2 5     =   Solución particular (  )=

2

 2   +   = 0   2 ∫   ∫ + d y = 0 

2 ∫   ∫  DP((yy)) d y = 0  Dividiendo la fracción impropia de la integral, se tiene:

PD((yy)) == yy   3  Q(y) = 1  R(y) = 3  Por lo tanto:

    3 3

y3 1 

() = Q(y)  ()  ⇒  Algorítmo de la división () () 2 ∫   ∫ Q(y)  (()) d y = 0   2 ∫   ∫ 1  +  d y = 0   2 ∫   ∫ dy3 ∫ + = 0   

2lnxy3ln( 2lnxy3ln (  (3y) = 3C)=yC  2lnx3ln 2lnx3ln(  3) =lnCylne  ⇒ =1 

 

Ejemplo

3

ln x  ln(y  3) =lnCln    ln x (y  3) =lnCe  (  ) =   Solución general  ′ =  = 6x  xy y   = x(6  y)  y     −dy = x dx ∫ − dy = ∫ x dx 

∙ Dividien Dividiendo do la fracci fracción ón de la integral imp impropia, ropia,se se tien tiene:e:     6    6  6  6 636 36 Por lo tanto:

∫  (()) dy = ∫ x dx  ∫ Q(y)  DR((yy))dy= ∫ x dx 

 dy= x dx  ∫ ∫ y6 −  = x dx   ∫ y dy  6 ∫ dy36 ∫ − ∫     6y36ln(6  y) =   C      6y36ln(6  y) =     ∗ 2    1272(6  ) =      

 1272 1272( (6  ) =           (  ) = 