Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales - R. Fuster

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Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politecnica de Valencia

EDITORIAL REVERTÉ, S.A. Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México

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Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S.A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Edición en español

© EDITORIAL REVERTÉ, S.A., 1995 Impreso en España - Printed in Spain

© R. FUSTER, l. GIMÉNEZ ISBN - 84 - 291 - 5032 - 3 Depósito Legal: B - 10558 - 1995 Impreso por LlBERGRAF, S.L. Constitución 19, interior (Can Batlló) 08014 BARCELONA

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Prólogo Aunque es imposible ofrecer un curso que se adapte totalmente a los planes de estudio de cada una de las carreras técnicas, es evidente que las ecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja, en mayor o menor medida, forman parte fundamental de los contenidos de las asignaturas de matemática aplicada de todas ellas. Pretendemos que este texto sirva de base, apoyo o consulta, tanto al profesor como al estudiante de carreras de ingeniería o ciencias que ya han cubierto al menos un primer curso de cálculo y álgebra lineal. Nuestra intención ha sido la de hacer un libro ameno, completo, pero 10 más conciso posible en cuanto a los contenidos: creemos que la mejor forma de presentar un resultado -al menos en un libro de texto- no es casi nunca la más general. También nos pemos propuesto mantener un razonable equilibrio entre el rigor y la intuición, procurando desterrar el formalismo (rigor no es formalismo) que en muchas circunstancias sólo les sirve a los estudiantes para oscurecer y hacer ininteligible aquello que era claro y perfectamente compren si ble. Por otra parte, hemos intentado dar a nuestro texto una cierta originalidad en la presentación de la materia, aunque somos conscientes de la dificultad de esta empresa en un tema tan bien conocido y sobre el que se han escrito textos de gran calidad científica y pedagógica. Probablemente, la novedad más aparente radica en una cierta violación de la tradición docente: que nosotros sepamos, tanto en las escuelas técnicas como en las facultades de ciencias o de matemáticas, el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias suele preceder al de la variable compleja. Esta tradición está posiblemente justificada desde el punto de vista histórico pero, a nuestro parecer, no 10 está desde una perspectiva didáctica: por una parte, la teoría de ecuaciones diferenciales presenta escollos difíciles de salvar sin el apoyo de la variable compleja (el primero de ellos puede ser el tratamiento de las ecuaciones lineales con coeficientes analíticos); por otra

v

http://carlos2524.jimdo.com/ VI

Prólogo

parte, es imposible fundamentar su estudio sin una cierta base de topología de espacios métricos o de convergencia uniforme, 10 cual supone un grado de abstracción considerablemente superior al que se requiere para una razonable introducción de la variable compleja (básicamente, los prerrequisitos para tal introducción consisten en un buen conocimiento del cálculo infinitesimal de una y dos variables reales). Así pues, hemos alterado el orden clásico en la presentación de la materia, desarrollando en primer lugar el estudio de las funciones de variable compleja. De este modo, el texto constará de dos partes. La primera, la presente, constituye en sí misma un curso de variable compleja. La segunda, en fase de preparación, consistirá en un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias complementado con temas relacionados con ellas y de gran importancia en matemática aplicada, como las ecuaciones en diferencias y las transformadas de Lap1ace.

Por razones de carácter didáctico, este primer volumen se ha organizado en tres bloques y dos apéndices. El primero de estos bloques comienza con un capítulo introductorio sobre las propiedades elementales de los números complejos y contiene las propiedades acerca de sucesiones de números complejos y de funciones complejas de variable compleja que pueden considerarse como la generalización lógica de las correspondientes propiedades en el contexto real. El segundo bloque constituye el cuerpo del texto y contiene los resultados clásicos de la variable compleja. Hemos procurado ofrecer un tratamiento moderno, claro y elemental, evitando entrar en temas que podrían resultar escabrosos para un alumno que toma su primer contacto con la teoría. Así, el lector no encontrará ninguna alusión a funciones multiformes (definimos con precisión las determinaciones del logaritmo como distintas funcionés uniformes) o a la topología de los conjuntos simplemente conexos (a todos los efectos que nos incumben, el concepto de conjunto estrellado, perfectamente claro tanto intuitiva como analíticamente, es suficiente). Finalmente, el tercer bloque se dedica al estudio de la convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones y de integrales paramétricas en el campo complejo, finalizando con la aplicación de los resultados obtenidos al estudio de las funciones r y f3 de Euler. Los dos apéndices finales retoman el problema de la convergencia uniforme, ahora en el caso de la variable real. Su inclusión como tales apéndices se justifica por varias razones. Por una

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Prólogo

VII

parte, es obvio que los estudiantes a los que va dirigido el texto poseen distintos niveles de conocimiento del análisis de una variable real y en concreto no todos ellos han estudiado el problema de la convergencia uniforme (real). Por otra parte, nos parece muy interesante la comparación de los resultados en los dos casos (real y comp1ejo*). Finalmente, el conocimiento de las propiedades básicas de la convergencia uniforme (en variable real y compleja) va a ser imprescindible en la segunda parte de este libro. Un curso elemental de variable compleja podría estar constituido por los dos primeros bloques de este texto. Si se opta por el estudio de la convergencia uniforme, sugerimos la lectura previa al menos del primer apéndice, ya que es aquí donde hemos intentado justificar las ideas intuitivas, dando por sentado en el capítulo 11 que e11ector ya está familiarizado con el concepto de convergencia uniforme. En todo caso, si se ha de proseguir con el tratamiento de las ecuaciones diferenciales es necesario, como ya se ha dicho, estudiar también el tercer bloque y los dos apéndices. La estructura del texto (con la relativa salvedad de los dos apéndices finales) es perfectamente lineal: cada capítulo sucede de forma lógica al anterior y presupone leídos todos los que le preceden. Los capítulos se dividen en secciones y ocasionalmente en subsecciones, con la intención de hacer más aparente la estructura de la materia. Al final de cada uno de ellos el alumno encontrará una colección de ejercicios y problemas, que van desde los ejercicios de cálculo destinados a la consolidación de las técnicas estudiadas en el texto hasta los problemas que permiten a11ector interesado la profundización en la teoría, pasando por otros problemas que se resuelven por aplicación más o menos directa de la teoría o, que anticipan o sugieren el desarrollo posterior de la mismat . Los ejercicios y problemas de cada capítulo se clasifican , aproximadamente, en las mismas secciones que éste. Tal vez la resolución de algún problema puede presentar serias dificultades . En todo caso, no nos interesan los problemas difíciles, SÍ'no aquellos que tienen interés en sí mismos, ya sea por los resultados que se obtienen o por las técnicas que se precisan para resolverlos. 'Evidentemente, los autores pretenden convencer al lector de la excelencia de la variable compleja. tHasta llegar al capítulo 7 nos hemos dedicado a pers eguir a la función exponencial a través de las sucesivas secciones de problemas.

http://carlos2524.jimdo.com/ VIII

Prólogo

Este texto es el resultado de un largo período de trabajo, costoso pero muy satisfactorio, porque nos ha obligado a estudiar en profundidad algunas obras, como las que citamos en la bibliografía, verdaderamente hermosas. Debemos, y lo hacemos con sumo placer, agradecer a nuestros compañeros sus múltiples consejos y sugerencias (de todo tipo: científicas, literarias o estéticas). A editorial Reverté que ha tenido la amabilidad de publicar esta obra. Y muy especialmente a nuestros amigos Antonio Marquina - que nos enseñó variable compleja- y Josep H. Canós, Cristina Corral, Vicent del Olmo, Juan Carlos Ferrando y Josep Mas. Todos ellos han corregido errores, sugerido problemas y mejorado el texto en muchos aspectos.

R.F. e I.G . VALENCIA, MAYO DE

l

1992

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Indice v

Prólogo

Números complejos y funciones complejas 1

Los números complejos

3

1.1. Los números complejos: introducción. 1.2. Los números complejos y el álgebra. . 1.3. Los números complejos y la geometría 1.3.1. La forma polar Ejercicios y problemas

3 5 9 11

16

21

2 Sucesiones y series 2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . 2.2. Sucesiones divergentes y el punto del infinit.o 2.3. Series de números complejos. 2.3.1. Series biláteras Ejercicios y problemas

3 Funciones complejas

21 23

27 31 32

37

3.1. La topología de ([: . . . . . . . . . . . . . · 3.2. Funciones complejas de variable real .. . 3.3. Funciones complejas de variable compleja 3.4. El teorema fundamental del álgebra Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . .

4 Funciones holomorfas

37 38 42 44

47 53

4.1. La definición de derivada . . . . . . 4.2. Las condiciones de Cauchy-Riemann 4.3. Propiedades de las derivadas Ejercicios y problemas . . . . . . .

IX

53

54 57

64

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x

In dice

Funciones analíticas 5 La integral curvilínea 5.1. Caminos . . . . . . 5.2. La integral curvilínea. Primitivas Ejercicios y problemas . . . . . . . . .

6 El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 6.1. El teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . 6.1.1. Conjuntos estrellados y primitivas 6.2. Las funciones logarítmi cas Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . .

7 Series de potencias. Funciones elementales 7.1. Series de potencias complejas . . . . . . . 7.1.1. Derivación de una serie de potencias 7.2. Las fun ciones elementales .. .. . . 7.2.1. La función .exponencial . . . . 7.2.2. Las funciones trigonométricas 7.2.3. Las funcion es hip erbólicas 7.2.4. Potencias complejas 7.3. Series de potencias biláteras Ejercicios y problemas

8 Funciones analíticas 8. 1. Funciones analíticas . . . . . . . . . 8.1. 1. Indice de un camino cerrado. 8.2. Funciones holomorfas en un abierto. 8.2.1. La serie binómica . . . . . . . 8.3. Las consecuencias . . . . . . . . . . . 8.3.1. Desiguald ades de Cauchy. Teorema de Liouville . 8.3.2. Principio de los ceros aislados 8.3.3. Principio del módulo máximo 8.3.4. La regla de I'H6pital Ejercicios y problemas . . . . '. .

9 Series de Laurent. El teorema de los residuos 9.1. Serie de Laurent en un anillo . . . . 9.2. Singularidades aisladas. Clasificación 9.3. El teorema de los residuos Ejercicios y problemas

71 71 78 85

87 87 92 95

101

105 106 108 113 113 116 119 119 121 123

131 132 134 139 141 145 145 147 150 151 152

157 157 165 167 173

http://carlos2524.jimdo.com/ XI

Indice

10 Aplicaciones del teorema de los residuos 10.1. Cálcu lo de integrales reales

175

. . . . . . .

1 1

176

2

10 .1.1. Integrales del tipo

"

R(sent,cost)dt

176

+ 00

10 .1.2. Integrales del tipo 10.1.3 . Integrales del tipo

- 00

¡:oo

F(t)dt . . . . . . . . . . . . . . .

178

F(t) cos atdt ó

182

¡:

F(t) sen atdt

10.1.4. Integrales de funciones con polos en el eje real .

1+

185

00

a

t F(t)dt . . .

189

10.2 . Principio del argumento. Teorema de Rouché Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . ..

192 197

10.1.5. Integrales del tipo

Convergencia uniforme 11 Sucesiones y series de funciones de variable compleja 11.1. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . 11.1.1. El teorema de Morera . . . . . . . . 11.1.2. Convergencia uniforme y derivación 11.2. Series de funciones Ejercicios y problemas . . .

12 Integración paramétrica 12.1. Integrales paramétricas propias . . . . . . . . . 12.2. Integrales paramétricas impropias. . . . . . . . 12.2.1. Integrales impropias de primera especie 12.2.2. Integrales paramétricas impropias de primera especie. 12.2 .3. Integrales paramétricas impropias de segunda especie 12.2.4. Integrales paramétricas impropias: caso general Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Las funciones de Euler 13.1. La función Gamma 13.1.1. La función Gamma de variable real. 13.1.2. Prolongación analítica de Gamma 13.2. La fun ción Beta . . . . . . . . . . . . . 13.3. Relación entre las funciones (3 y r 13.4. Aplicaciones de las funciones de Euler 13.4 .1. La fórmula de Wallis .. 13.4.2 . La distribución normal. Ejercicios y problemas . . . .

203 203 205 206 208 210

215 215 219 220 221 225 227 228

231 231 234 238 242 246 248 248 250 251

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XII

Apéndices A Sucesiones y series de funciones real~s. Series de potencias A.l. Sucesiones de funciones . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . A.l.l. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . A .1.2. Convergencia uniforme , continuidad e integrabilidad A.1.3. Convergencia uniforme y derivación . .. .. . . . . A.2. Series de funciones .. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 .1. Criterios de convergencia uniforme para series de funciones A.3 . Series de potenci'¡jg . . . . . . . . . . . A.3.1. Serie de Taylor de una función A.3.2. Teorema del límite de Abel

259 259 260 264 266 267 270 275 280 284

B ' Integrales paramétricas reales

287 288 295 298 299 304 306

B.l. Integral paramétrica propia B.l.1. Extremos dependientes del parámetro B.2 . Integral paramétrica impropia. . . . . . . . . B.2.1. Integrales paramétricas impropias de primera especie. B.2.2. Integrales paramétricas impropias de segunda especie B.2.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista de figuras

310

Bibliografía

311

Indice alfabético

315

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259

ones

259 260 264 266 267 270 275 280 284 287

288 295 298 299 304 306 310 311 315

A Guillem i Claudia que han crescut amb aquest llibre I.G.

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.. ,..

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Números complejos y funciones complejas

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Capítulo 1

Los números complejos

Los números reales suelen introducirse, sea definiéndolos en forma axiomática, sea construyéndolos a partir de los números racionales, con el fin de asegurar la existencia de raíces cuadradas para todos los números positivos, lo que resulta conveniente desde el punto de vista geométrico, dado que el cuerpo de los números racionales no es el idóneo para medir longitudes. Ahora bien, los números reales también resultan deficientes, al menos si adoptamos una postura algebrista, ya que, por ejemplo, no nos permiten extraer raíces cuadradas de números negativos. Como consecuencia de ello, sabemos que la ecuación polinómica ax 2 + bx + c = O sólo puede resolverse (en lR) cuando b2 - 4ac 2: o. Para subsanar esta dificultad, entre otras, se introducen los números complejos.

1.1.

Los

NÚMEROS COMPLEJOS: INTRODUCCIÓN

Nuestro objetivo es ampliar el cuerpo lR de los números reales de tal modo que obtengamos un conjunto de números complejos, que representaremos por e, en el cual se puedan realizar las operaciones suma y producto y que éstas tengan las mismas propiedades que en el caso deberá ser un cuerpo conmutativo que contenga a lR. real: esto es, y queremos que en este cuerpo existan las raíces cuadradas de todos los números. El método que vamos a seguir para ello es el de dar por supuesto que dicho cuerpo existe y deducir así su estructura.

e

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4

e

Dado que -1 no tiene raíz cuadrada real, en existirá un número, que representaremos por i, que no es real y posee la propiedad siguiente: i 2 = -1. Como C es un cuerpo, debemos poder multiplicar y sumar i con todos los números reales, de manera que expresiones como a + bi deberán tener sentido en C. En otras palabras, si a y b son dos nó.meros reales, a + bi es un número complejo (más tarde veremos cómo no necesitaremos añadir más números al conjunto C). Consideremos entonces dos números complejos de la forma a + bi y c + di Y veamos qué podemos decir sobre ellos. Es fundamental saber cuándo a + bi = c + di: dado que C es un cuerpo conmutativo, aplicando las propiedades de esta estructura, tenemos que a + bi = c + di es equivalente a a- c=

(d - b)i

(1.1 )

Ahora bien, si tuviéramos b i= d, resultaría: i = ~:::: ~, lo cual es imposible dado que i no es un número real. Así pues, b = d Y entonces, de (1.1) se s~gue que a = c. Hemos , pues , obtenido así el primer resultado importante sobre los números complejos: Sean a, b, c y d números reales. Entonces, a + bi = c + di si y sólo si a = c y b = d. * Volviendo a los dos números a + bi Y e + di, pasemos a calcular su suma y su producto: teniendo en cuenta las propiedades conmutativa y asociativa, obtenemos sin dificultad que (a

+ bi) + (c + di) =

(a

+ c) + (b + d)i

donde podemos observar que se mantiene la estructura inicial de número real + número real xi; para el producto debemos trabajar un poco más:

*Si el lector considera que la anterior propiedad era evidente , le sugerimos que considere los números racionales 1/2 y 3/6.

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Los números complejos y el álgebra

(a

+ bi)(c + di)

5

ac + adi + hci + bdi 2 ac + (ad + bc)i - bd (ac - bd)

+ (ad + bc)i

Llegados a este punto, debemos observar una cuestión importante: la suma y el producto de dos números de la forma a + bi son de la forma a + bi. Este detalle tampoco es una trivialidad, dado que no hemos supuesto todavía que todos los números complejos son de la forma a + bi. Sin duda, este es el momento apropiado, no sólo para hacer tal suposición, sino para convertirla en la definición de C.

1.2.

Los

NÚMEROS COMPLEJOS Y EL ÁLGEBRA

Definición 1.1 Sea i un objeto cualquiera que no sea un número real. Un número complejo es cualquier expresión de la forma a + bi dondé a y b son números reales. El conjunto de todos los números complejos se representa por C, es decir

C={a+bi

a,b E IR}

Se d,ice que dos números complejos a + bi y c + di son iguales cuando a = e y b = d. La suma y el producto de dos números complejos se definen respectivamente por (a

+ bi) + (e + di) (a + bi)(c + di)

(a+c)+(b+d)i (ac - bd) + (ad + bc)i

Se adoptan ' las siguientes convenciones con el fin de simplificar el uso de los números complejos:

*

Los números complejos de la forma a + Oi se representan simplemente por a. Es evidente que forman un subconjunto de O. Buscamos un w = x + yi que verifique (x + yi)2 = a + bi, es decir ,

Si elevamos estas dos expresiones al cuadrado y las sumamos , obtenemos

vz ±vz.

t w y - w se representan conjuntamente como ó Si x es un número real positivo , entonces se representa como Fx la raíz cuadrada positiva de x. Dado que en re no podemos hablar de números positivos o negativos, no existe ninguna razón obj etiva para representar como a una u otra de las dos raíces cuadradas de z.

vz

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8

luego y puesto que X2 - y2 = a

a + Ja 2 + b2 - a +Ja 2 +b 2

2X2 2y2 es decir,

J+ w=± [ a

J a 2

2

+ b2 +

J

-a

+ J2a2 + b2 z.]

(1.2)

y se comprueba fácilmente la primera parte del teorema. (Se deja como ejercicio para el lector la demostración de los casos b < O Y b = O.) b) Dada la ecuación ax 2 + bx + e = O, multiplicando por 4a y sumando y restando convenientemente b2 , podemos escribirla como: (2ax + b)2 + 4ac - b2 = O

de donde, despejando x, obtenemos la fórmula clásica para la ecuación de segundo grado, que ahora sabemos que tiene solución en ce para cualesquiera a, b, e números reales o complejos. O

Ejemplo.- Calculemos las raíces cuadradas de z = 1 fórmula (1.2)

±y'Z ~ ±

+ i.

Según la

[JI +2v'2 + J-I; v'2;]

Como la fórmula (1.2) no parece sencilla de memorizar, podemos repetir el proceso utilizado en la demostración para llegar hasta las raíces pedidas:

(x

+ yi)2 = 1 + i

~

X2 - y2 + 2xyi = 1 + i X2 - y2 = 1, 2xy = 1 x 4 + y4 _ 2x2y2 = 1,4x 2y 2 = 1 x 4 + y4 + 2x2y2 = (X2 + y2)2 = 2

~

X2

~ ~ ~

+ y2

=

V2 (-V2 no

puede s er !)

http://carlos2524.jimdo.com/ Los números

y como x2

-

y2

= 1, entonces,

X=±Jl+2V2 y dado que

2xy

9

complejos y la geometría

= 1,

y=±J-l;V2

x e y tienen

el mismo signo, y se obtiene la misma

solución".

1.3.

Los

NÚMEROS

COMPLEJOS

Y LA GEOMETRÍA

La suma de números complejos y el producto de un número complejo por un número real dan a estructura de espacio vectorial sobre ]R (de hecho, todo cuerpo es siempre espacio vectorial sobre sus subcuerpos, incluido él mismo). Además, es absolutamente trivial que la aplicación

e

(1.2)

e

deja como

= O.)

a

por 4a y como:

]R2

+ bi

(a, b)

es un isomorfismo de espacios vectoriales. eje utiaquiario

ecuación en re para

bi

----e

Según la 1

podemos hasta ·las

-(a + bi)

+

z

bi I a I I I I eje real I

z+w

a

• a -

w

bi

.~

Figura 1.1: Interpretación

2 ser !)

geométrica.

Este isomorfismo nos; permitirá trasladar muchas propiedades del plano euclídeo ]R2 a C. En primer lugar, podemos identificar el número tPosteriormente

veremos métodos más rápidos para calcular raíces.

http://carlos2524.jimdo.com/ Capítulo 1: Los números complej os

10

complejo a + bi con el punto (a, b) en un sistema plano de coordenadas cartesianas rectangulares (véase en este sentido la figura 1.1) . Por este motivo, el conjunto e suele llamarse también plano complejo (obsérvese la analogía con la expresión recta rea0. Llamaremos eje real y eje imaginario a los ejes de coordenadas horizontal y vertical respectivamente. Desde el punto de vista geométrico, la suma se puede identificar con la suma de los vectores libres según la clásica ley del paralelogramo. El opuesto viene también dado por el vector opuesto, es decir el simétrico del punto (a, b) respecto al origen. Por analogía con el plano euclídeo, se define el módulo de un número complejo como sigue:

Definición 1.2 Dado z = a número real positivo va 2

+ bi

+ b2 }

e

E definimos su módulo como el que representaremos por 1 z l.

Geométricamente, 1 z 1 representa la longitud del vector (a, b) , de la cual conoce ya el lector muchas propiedades: 1

z 1 ~ O Vz E

1

z

. 1z

1

=

+w

O

e

si y sólo si z

+

1 :::; 1 z 1

1 az 1 = 1 a 11 z 1

=O

1w 1

Va E R Vz E

1-

z 1= 1 z 1

Vz E

e

1z

- w 1~

z

1 w 11

11

1-

Vz, w E

e (desigualdad triangular)

e

Vz, w E

e

Otras propiedades del inódulo se enuncian en el próximo teorema. Es conveniente introducir previamente la defini ción del conjugado de un número complejo.

Definición 1.3 El conjugado del número complejo z = a + bi se d efin e como

z=

a - bi.

El conjugado de z se representa gráficamente por su simétrico respecto aJ eje real (ver figura 1.1 ). Sus propiedades se resumen a continuación junto con otras del módulo:

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Los números complejos y la geometría

Teorema 1.4 Dados dos números complejos z y w,

a)

1 z 1= 1

b) zz

=

1

z1 2

Z 1

z2

c) si z =1= O entonces z -l

d) z

+w

= Z

+ w,

f)

= zw, z =z

g)

1 Z - l 1 = 1 z 1- \

e) zw

¡;¡

z - w = Z - w,

1 zw 1

= 1z

11

w

-w

- w

1

= z-¡

Z-l

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.3.1.

O

LA FORMA POLAR

Con el fin de dar un significado geométrico al producto de númf'Y'()~ complejos, resulta conveniente introducir las coordenadas polares en d plano complejo (figura 1.2): sea z = a + bi un número complejo 11{) nulo de módulo r y cuyo vector de posición forma un ángulo a con }ji¡ dirección positiva del eje real. Entonces, a = r cos a, b = r sen a y po!: lo tanto, z = r ( cqs a + i sen a) (1.3) La expresión 1.3 se denomina forma polar o trigonométrica de z . Conocidos 1 z 1 y a, a partir de la expresión (1.3) podemos determinar el número z . Recíprocamente, conocidos a y b, las partes real e imaginaria de z, podemos calcular su módulo 1z 1= J a 2 b2 , pero el ángulo a no está unívocamente determinado por el sistema

+

a b

z 1 cos a 1 z 1 sen a 1

ya que dos números reales tienen el mismo seno y el mismo coseno siempre que difieran en un múltiplo entero de 211" (ver la figura 1.2). Este hecho resulta de extraordinaria importancia en el estudio de las funciones de variable compleja, por lo que vamos a tratarlo de forma preCIsa.

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Capítulo 1: Los nlÍmeros complejos

z

z

a

Módulo y argumento de z

+ 271"

Otro argumento de z

Figura 1.2: Fo¡:ma polar de un número complejo. Definición 1.4 Dado el número complejo no nulo z = a + bi, se llama argumento de z al conjunto Arg z = {a E

~

a

cosa =

r;T'

sena =

b

r;T}

Cada elemento a E Arg z se dice que es un argumento de z. Puesto que en cada intervalo semiabierto de longitud 271" ~ x - 71", X + 7I"[) existe un único elemento de Arg z, representaremos a éste por arg x z. Se llam a argumento principal de z al argumento que se encuentra en el intervalo [- 71",71" L es decir al argo, que representaremos sencillamente por arg z .

Antes de seguir adelante con las propiedades del argumento, recalquemos que Arg z es un conjunto de números reales (de forma que dos cualesquiera de ellos difieren en un múltiplo entero de 271") Y que arg x z, arg z son elementos de aquel conjunto.§ Otra cuestión importante es que para el número O no tiene sentido el concepto de argumento : desde el punto de vista geométrico, el vector §También debemos señalar que esta notación no está adoptada con carácter general, cosa que el estudiante deberá tener en cuenta al consultar otros textos.

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13

de posición se reduce a un punto, que no forma ningún ángulo con el eje real; desde el punto de vista analítico,

o

= 1 O 1 (cos a

+ i sen a)

se verificaría para todo número real a.

Ejemplo.- El número 1 + i, cuyo módulo es polar como

V2,

se escribe en forma

h(cos a + i sen a)'

donde a es cualquier elemento del conjunto Arg(l

+ i)

siendo su argumento principal

=

{¡+

2br

k E Z}

¡.

Como ejemplos simples, podemos ver que el argumento principal de los números reales positivos es O y el de los negativos v-x, el de los imaginarios puros es ~ ó -~, según que la parte imaginaria sea positiva o negativa respectivamente. La forma polar (1.3) de z suele

llama

abreviarse escribiendo simplemente (1.4 ) uesto exzsz. Se en el mente

donde r

re> = r~

',,

o, rea que y que

arácter tos.

~

E Arg z, de forma que

r

=

r'

y a

= (3 + Zkt:

para algún k E Z.

Ahora podemos entender el significado geométrico del producto de números complejos: sean z = re> Y w = rp. Multiplicándolos obtenemos: zw

.. t

entido vector

=1 z 1 y a

+ i sen a) r' (cos (3 + i sen (3) rr'[( coi;a cos (3 - sen asen (3) + i( cos asen rr'[cos(a+(3) + isen(a+(3)] ,

r (cos a

(3 + sen a cos (3)]

rre>+/3

Es decir, para multiplicar dos números complejos, debemos multiplicar sus módulos y aumentar los argumentos de uno de ellos en un

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Capítulo 1: Los números complejos

Los núm

argumento del otro. Geométricamente, realizar en el plano una homotecia de centro el origen de coordenadas y razón I z I y un giro de amplitud un argumento de z. En particular, multiplicar por un número real positivo equivale a una homotecia y multiplicar por un complejo de módulo unidad equivale a un giro. (Figura 1.3.)

zw

Iwlz

f3 z

expresión que se conoce CI más importante es la que

Teorema 1.6 Todo núm. mente n raíces n-ésimas ~ por

k=O,l, Figura 1.3: Producto de dos números complejos. La expresión del producto en forma polar tiene otras consecuencias importantes; por supuesto, permite sospechar las siguientes propiedades del argumento: Teorema 1.5 Sean z y w dos números complejos no nulos. Entonces, Arg(zw) Arg(z-l) Argz

Arg(z/w)

Argz

+

Argw

-

Argw

-Argz

... ,n-l

Demostración.- Si aplicam los Wk obtendremos

Con lo que queda probado de z. Veamos a continuació: Wk = Wj; esto significa que

-Argz Argz

El lector debe encargarse de demostrar este teorema: cuenta que se trata de igualdades entre conjuntos. O

3m E Z / téngase en

Por otro lado, es razonable pensar que la potenciación y la extracción de raíces deben simplificarse en forma polar. Efectivamente, si

de donde o bien k -j

= mn,

es dec

O:Sk,j:Sn-

luego el único múltiplo de

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Los números complejos y la geometría

r(cosa r2(cos 2a

+

+

isena) i sen 2a)

expresión que se conoce como fórmula de De Moivre. Su consecuencia más importante es la que sigue. Teorema 1.6 Todo número complejo no nulo z = rOl tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, Wo, Wl, ... ,Wn-l , que vienen dadas por

k = 0, 1, ... ,n - 1 Demostración.- Si aplicamos la fórmula de De Moivre a la expresión de los Wk obtendremos ( Wk ) n = (l/ r n )nn a±2k". = r 0I + 2k1r =

Z

n

Con lo que queda probado que todos los números Wk son raíces n-ésimas de z . Veamos a continuación que son todos distintos: supongamos que Wk = Wj; esto significa que

::1m

E Z /

a +2br n

a + 2j7r --~ n

+2m7r

de donde

2k7r = 2j7r + 2mn7r o bien k - .j = mn , es decir, k - j es múltiplo de n . Pero

°

~

k,j ~ n - 1

=}

- n

+1 ~ k -

luego el único múltiplo de n posible es k - j =

j ~ n - 1

o.

En definitiva, k = j.

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Capítulo J: Los números complejos

Finalmente, sólo queda por probar que las Wk son las únicas raíces n-ésimas de z: observemos que las raíces n-ésimas de z son las raíces del polinomio wn - z , que por ser de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas. O El símbolo Ejemplo.-

yZ representa las n raíces n-ésimas de z.

donde,

=

arg(-l)

o:'k - --6-.".+2k.". k =

Wl W2 W3

-6""

77r

W4 W5

7.".

-7f --t Wk

=

l Icos c,

1.6 Consideremos el conji

::,:;:::e~~:o::~,~:

+ isenO:k)

O, 1, 2, ... ,5 es decir,

+ i sen -6"" cos ~ + i sen ~ cos 3.". + i sen 3.". 6 6 cos 5.". + i sen 5.". 6 cos + i sen 66 6 cos 9.". + i sen 9.". 6 6

cos

Wo

b) Expresar en la forma a -

Vamos a calcular las raíces sextas de -l.

1-11= 1,

Y3-i

W2

2

y'3+i

W3

Wl

W4

Wo

2

z -Y3+i 2

-z

W5

-y'3-i

EJERCICIOS Y PROBLEMAS NÚMEROS COMPLEJOS

de M de dimensión 2. b) dotado de las operaciones conmutativo isomorfo a C. de este isomorfismo?

1.7 Se llama cuerpo arde: posible definir una relación habitual ::;) compatible con

2

Nótese que las raíces n-ésimas se sitúan en una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1 z 1, formando los vértices de un polígono regular de n lados.

Los

1.5 a) Demostrar la jórm complejos a y b Ypara cual

Y EL ÁLGEBRA

1.1 Determinar las partes real e imaginaria de los siguientes números complejos: i, 1, 1+i, (l+i)(l-i), 2+i, e2, (a + bi)2 1- z 1.2 Hallar las dos raíces cuadradas de 3 + 4i, 4 - 3i Y -i.

a) a ::; b : b)a::;by

R y IQ son ejemplos de CUi ordenado. Indicación: pro táneamente i < O e i > O, Los

NÚMEROS COMPLEJO:

1.8 Determinar el módulc del ejercicio 1.1 y escribir] el argumento principal. 1.9 Probar que, 't:/z E C,

1.10 Describir geométric de números que verifican1

1z - 11::; 1 c) Iz-112:1 e) 1z - 11= 1 a)

1.3 Completar la demostración del teorema 1.3. 1.4 Hallar las raíces de los siguientes polinomios: a)

Z2

+Z+

1

c)z2+(3-i)z-3i

g) 7r < arg z i) re(z) > 5

::;

3;

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17

1.5 a) Demostrar la fórmula del binomio: para cualquier par de números complejos a y b Y para cualquier natural n,

b) Expresar en la forma a + bi el número complejo (1

+ i)n.

1.6 Consideremos el conjunto M de todas las matrices cuadradas de orden

2

y coeficientes

reales. Sea

que tienen la forma

('::b

e

el conjunto formado por las matrices de M

!).

Probar: a)

e

es un subespacio vectorial

de M de dimensión 2. b) Todas las matrices de e son regulares. c) e, dotado de las operaciones matriciales de suma y producto, es un cuerpo conmutativo isomorfo a e. ¿Qué matriz corresponde al número i a través de este isomorfismo?

1.7 Se llama cuerpo ordenado a un cuerpo conmutativo 1( sobre el que es posi ble definir una relación de orden total (que se representa con el símbolo habitual ::;) compatible con las operaciones suma y producto, es decir:

'*

a) a ::; b a + c ::; b + c b) a ::; b y O ::; c ac::; bc

'*

't/a,b,c E J( 't/a,b,c E J(

R. Y Q son ejemplos de cuerpos ordenados. Probar que e no es un cuerpo ordenado. Indicación: probar que si lo fuera, entonces se verificaría simultáneamente i < O e i > o.

Los

NÚMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRÍA

1.8 Determinar el módulo y todos los argumentos de los números complejos del ejercicio 1.1 y escribirlos en forma polar. Indicar, en cada caso, cuál es el argumento principal. 1.9 Probar que, 't/z E

e,

re(z) = ~

y im( z ) =

z;z

1.10 Describir geométricamente, en cada uno de los apartados, el conjunto de números que verifican las relaciones indicadas:

a)

I z-11::;1

c) 1z - 1 12: 1 e) 1z - 11= 1 g) 71" < arg z ::; 3; i) re( z ) > 5

b) 1z - 2 + 4i 1< 3 d) 1 ::;1 z - 2 + 4i 1< 3 1) máx {I z - i 1, 1z - 2 1} < 2 h) máx {I z - i 1, 1z - 2 I} < 1 j) re(z) < im( z )

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18

1.11 Para cada uno de los números complejos z del ejercicio 1.1, hallar su conjugado z y su inverso z -l. 1.12 Expresar analíticamente la función arg(x puesta no es arg( x + iy) = arctan ~.

+ iy).

Indicación: la res-

1.13 ¿Qué condición deben cumplir dos números complejos z y w para que la desigualdad triangular se convierta en igualdad, es decir, para que

1z + w 1=1 z 1+ 1w I? 1.14 Demostrar los teoremas 1.4 y 1.5. 1.15 ¿Qué condición deben cumplir tres puntos del plano para encontrarse sobre una misma recta? Determinar entonces la ecuación de dicha recta. 1.16 Probar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales coincide con la suma de los cuadrados de los lados. 1.17 Demostrar que, V p, ba p bap+l

< ap+l < ap+2

ban-l

< an

De estas n - p desigualdades obtenemos:

< bn-p- lap + l <

...

< ban- l

Luego,

b\/b- pa p <

yra;:

Yn >

yra;:

Yb < a

p

y tomando límites inferiores:

b luego a

~

lím inf yta:;;.

~

lím inf

D

Corolario 2.1 (Criterio del cociente) Sea {zn} una sucesión de números complejos no nulos.

'Z,:ñi ' < 1, la serie L Zn es absolutamente convergente. Si líminf '¡:ñi > 1, la serie L Zn diverge. D '

a) Si límsup b)

Ejemplo.- La serie L :~ converge absolutamente en todo el conjunto e, como se comprueba inmediatamente aplicando el criterio del cociente.

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2.3.1.

31

SERIES BILÁTERAS

Las series numéricas se han introducido con el fin de dar un significado matemático a la idea de suma de infinitos términos,

Al desarrollar la variable compleja veremos cómo también va a ser necesario trabajar con sumas doblemente infinitas del tipo

.. . + L3 + L2 + L l + Zo + Z l + z2 + z3 + ... cuya representación más natural será (2.2) n =- oo

Diremos que la serie (2.2) converge si, y sólo si, las dos series (ordinarias) +00 +00 (2.3) ¿ Zn y

¿Ln

n=O

n=l

convergen. En tal caso, la suma de la serie (2.2) se define como la suma de las series (2.3), es decir,

n =- oo

n=O

n=l

La serie (2.2) converge absolutamente, es decir, ¿~':- oo verge si, y sólo si, las series (2.3) convergen absolutamente.

1

an

1

con-

Ejemplo.- Estudiemos el carácter de la serie bilátera 1

1

+00

Z2

zn

... + 221 + -Z + 1 + Z + ,2. + ... = n=-oo ¿ -1n-1'. Z . Por el criterio del cociente, lím I zn+1

I Zn I

I = lím _1_z_1 = O n

+1

Z

E

e-

{O}

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Capít ulo 2: Sucesiones y series

y

lím I L(n+l)

I Ln I

I=

lím ~ = O n +1

e-

para todo z E {O} -, luego las dos series correspolldientes a (2.3) convergen absolutamente y por tanto, la serie estudiada converge ab solutamente en todo {O} . Para terminar, obsérvese que si la serie (2.2) converge, entonces su suma coincide con el límite

e-

lím( z_n

+ ... + Ll + Zo + Zl + ... + zn)

(2.4)

pero puede ocurrir que la serie (2.2) no converja y que, sin embargo, el límite (2.4) exista y sea un número finito. Considérese por ejemplo la sene:

.. . -1-1-1-1+0+1+1+1+1+ ...

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SUCESIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS: CONVERGENCIA

2.1 Determinar si las siguientes sucesiones son o no convergentes. En caso afirmativo, calcular sus límites. 2 a) n + 1 _ ~i b) n + 2n - 1 _ _ n_ i 3n n2 - 1 3n 2 n +2 2 . n n . d) n + z c ) -3- - + - - z -n - 1 n +1 n- i 2.2 Demostrar el teorema 2.1. 2.3 Estudiar la convergencia de las sucesiones {zn } y número complejo tal que

a)

I z 1<

b) Izl>l

1

C;zn}

siendo z un

c)lzl=l

2.4 Demostrar que si un~ sucesión de números complejos converge, entonces la sucesión de sus medias aritméticas converge al mismo límite , es decir, , 11m

n~oo

Zn

=Z

===>

l' 1m

n--+ oo

Zl

+ Z2 + ... + Zn = Z n

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Ejercicios y problemas

2.5 a) Probar que, si lím Zn = z, entonces, lím I Zn 1=1 Z l. b) ¿Es cierto que lím Z n = Z ===> lím arg x Zn = arg x z? c) ¿Qué condición deberían cumplir Z y x para que la respuesta al apartado anterior fuese afirmativa? d) ¿Podemos asegurar que , si 11m 1Zn 1= a y lím arg x Zn =

es continua en Zo.

O

Teorema 4.3 (Derivada de la suma) Si f y 9 son holomorfas en Zo, entonces f + 9 es holomorfa en Zo. Además,

(f

+ g)'(zo) = 1'(zo) + g'(zo)

Demostración.-. lím (f + g)( z ) - (f + g)( zo) z --+ zo z - Zo

=

, 1

fe z ) + g(z) - f( zo) - g( zo) Z - Zo

1m~~~~~~~~~

Z -+ Z o

=

}i.~ {f( Z; =~;zo) + g( z; =~~zo)}

=

1'(zo)

+ g'( zo)

O

Teorema 4.4 (Derivada del producto) Si f y 9 son holomorfas en Zo, entonces f 9 es holomorfa en Zo. Además,

(fg)'( zo) = 1'( zo)g( zo) + f( zo)g'(zo) Demostración. , fe z )g( z) - f( zo)g( zo) 1m 1

~~~--~~~

Z -+ Z Q

Z -

Zo

=

lím f( z )g(z) - f( zo)g( z ) + f(zo)g( z ) - f(zo)g(zo) Z -+ Z Q Z - Zo

=

}i.~ {g( z /( zl =~;zo) + f( zo)g( z; =~~zo)}

=

g( zo)1'( zo) + f( zo)g'( zo)

ya que 9 es continua en Zo. O

http://carlos2524.jimdo.com/ Propiedades de las derivadas

59

Teorema 4.5 (Derivada del cociente) Si f y 9 son holomorfas en Zo y si g( zo) =1= O) entonces f / 9 es holomorfa en Zo. Además)

U / g)'( zo) = 1'(zo)g(zo)(- (z(zo)g'(zo) 9 Zo Demostración .- En virtud del teorema 4.4, basta con probar que 1/ 9 es holomorfa y que

(l/g)'

= -g'( zo) g(ZO)2

Dado que g( zo) =1= O Y que 9 es continua en Zo, para z bastante próximo a Zo, g( z ) =1= O, Y se puede calcular el cociente: 1

9W -

1

~

z - Zo

g( zo) - g( z ) zo)

= g( z )g( zo)( z -

luego lím -'-..(1-'-..:/g~)(~z-') -~ ( 1-'-..:/g~)-'(zo~)

l'

z ~~o ,

{-(g (z) - g( zo)) } l' { 1 } z - Zo z~ g(z)g(zo) )

1

-g (zo g(zo))2

O

Ejemplo .- Sea p( z) una fun ción polinómi ca. Combinando los teoremas 4.3 y 4.4, se obtiene que p( z) es derivable en todo C. Si

p( z) = aO+al z + ... +anz n entonces

p' (z ) =

al

+ 2a2 z + ... + rwnz n- l

Ejemplo.- Sea f(z) = p( z)/ q(z) una fun ción racional (es decir, p y q son fun ciones polinómicas) . De lo demostrado hasta aquí se deduce que f( z) es holomorfa en todo e excepto en las raíces de q( z ). Teorema 4.6 (La regla de la cadena) Si 9 es holomorfa en Zo y si f es holomorfa en 100 = g( zo), entonces f o 9 es holomorfa en Zo. Además) (f o g)'(zo) = 1'(wo)g'(zo)

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60

Capítulo 4: Funciones holomorfas

Demostración. - Elijamos un en Zo, tenemos que 381 > O / O O cualquiera. Por la holomorfía de 9

1< 81 ~

Ig( z) - g(zo) - g'(zo)1 z - Zo

O / 0 Vt E]a, b[ b) u(a) = c, u(b) = d e) 12(u(t)) = 11(t) Vt E [a, b] A la función u se le llama cambio de parámetro.

°

El camino 11 del ejemplo es equivalente a C(zo, R); 12 no lo es.

Definición 5.5 Con las mismas condiciones que en la definición anterior, pero cambiando la condición a) por a') u( t) < Vy E]a, b[, y la condición b) por b') u( a) = d, u( b) = c, se dice que 11 y 12 son dos caminos opuestos o de sentido contrario.

°

Téngase en cuenta que aunque dos caminos recorran el mismo rango, no por e.11o han de ser equivalentes u opuestos. Por ejemplo, el camino

,: [0,47r] t

---+

~

e I(t) = zo+R(cost +isent)

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78

I 11(a)

11 (b) 12 (d)

Figura 5.8: Caminos opuestos.

no es equivalente a ninguno de los anteriores (recorre el rango dos veces). Se propone como ejercicio sencillo probar que la longitud de dos caminos, regulares a trozos , equivalentes u opuestos, es la misma. t

5.2.

LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS

Definición 5.6 Sea I : [a, b] ----t e un camino regular a trozos, r su rango y sea f : r ----t e una función. Se dice que f es integrable a lo largo de I si la función g, compleja de variable real, definida por

g(t) = f(¡(t)),'(t) es integrable-Riemann en [a , b]. En tal caso llamaremos integral curvilínea (o de línea, o simplemente integral) de f a lo largo de I al valor de la integral J: g(t)dt , que representaremos por J, f(z)dz o simplemente J, f· Es decir,

1, f = 1, f(z)dz = ¡b f(¡(t)),'(t)dt t Esta propiedad se suele expresar diciendo que la longitud de una curva es independiente de la parametrización y de la orientación.

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79

Una condición suficiente para garantizar la integrabilidad de f a lo largo de 1 es que f sea continua., porque en tal ca.so 9 es continua a trozos. Ejemplo

1.- Vamos a calcular la integral

1

I(t)

z2dz

10

z2dz,

1,

1

1

10

=

(t2

e + it

Vt E [O, 1J

+ it)2(2t + i)dt

(2t5

+ 5it

4

-

4t3

-

it2)dt

~(i-1) 3 Teorema veces). de dos a.t

5.1 (Propiedades

de la integral

a) Sean f y 9 funciones integrables a lo largo del camino 1 y sean a y /3 números complejos. La función a] + /39 es integrable a lo largo de 1, Y además

1,

a]

s, r su le a lo or

+ /39

=a

1, f + 1, /3

11

l+].

f

12

c) Si 11 Y 12 son dos caminos equivalentes y f es integrable a lo largo de 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y además

j12L= j11f d) Si 11 Y 12 son dos caminos de 11, entonces

es inde-

g

b) Si 1 = 11+ 12 Y f es integrable a lo largo de 11 y de 12, entonces f es integrable a lo largo de 1, Y además

jf=j 1 1curvialar de lemenfe

curvilínea)

opuestos y f es integrable a lo largo f es integrable a lo largo de 12, y además

j12f - -j 11f

http://carlos2524.jimdo.com/ Capítulo 5: La integral curvilínea

80

e) Si f está acotada sobre e! rango de un camino, (es decir) si 3M ~ O / 1 f(¡(t)) 1::; M Vt) ) y es integrable a lo largo de! mismo camino) entonces

1, f 1::; 1(¡)M

1

Demostración.- a) se deduce de que (af

+ (3g)(¡(t))¡'(t)

=

af(¡(t))¡'(t)

+ (3g(¡(t))¡'(t)

y de aplicar la linealidad de las integrales de Riemann. b) Como, =

,1 + ,2,

y se obtiene el resultado deseado. y son equivalentes, existe un cambio de parác) Puesto que

,1 ,2

metro u, que cumple todas las condiciones para realizar un cambio de variable en la integral de Riemann. Por lo tanto, si ponemos u(t) = x,

J: f(¡l(t))¡~(t)dt

J: f(¡2(u(t)))¡~(u(t))u'(t)dt

= Jcd f (¡2 (X ) )¡~ (x ) dx

es decir,

1,1 f - 1,2 f d) Por el mismo razonamiento que en c) se obtiene una fórmula similar pero ahora la integral va de d a e, produciéndose así el cambio de signo.

e) 1

J,f

J: f(¡(t))¡'(t)dt J: f(¡(t))¡'(t) dt J: 1f(¡(t)) 1I,'(t) 1dt M J: 1,' (t) 1dt 1

1

< <

1

1

Ml(¡)

1

O

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g

')'( t) ,),(a)

( a

t

')'(b) ~

81

g(')'(b))

g(')'(a)) 'b Figura 5.9: Composición g o ')'.

Es inmediato comprobar que si ')' : [a, b] ~ e es un camino regular a trozos y g es una función holomorfa con derivada continua sobre el rango de ')', entonces g o ')' es a su vez un camino regular a trozos. Este hecho nos va a permitir enunciar un teorema de cambio de variable para integrales de línea.

Teorema 5.2 (Cambio de variable) Sea g una junción derivable con derivada continua sobre el rango del camino 1, y sea j una junción integrable a lo largo del camino g o ')'. Entonces

r

JW Y

j(z)dz

=j

j(g(w))g'(w)dw

')'

Demostración.- Utilizando simplemente la definición de la integral curvilínea. obtenemos:

1,

j(z)dz

=

lb

j(g o ')'(t))(g o ')')'(t)dt

=

lb

j(gb(t)))g'b(t))')"(t)dt

Por otra parte, j(g(w))g'(w) es integrable a lo largo de ')' si existe la integral:

lb

j(g(')'(t)))g'(')'(t))')"(t)dt

Y en tal ca.so coincide con ésta, luego ya está todo probado.

O

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82

Capítulo 5: La integral curvilínea

Ejemplo.- Una integral de Riemann de una función real de variable real puede considerarse como una integral de línea compleja:

¡b f(t)dt

=

la

¡

f(z)dz

l[a,b]

Consideremos por ejemplo la integral

fo21r (cos3 t + sen 2 t + 1 )dt

(5.1 )

haciendo el cambio de variable

z = cos t

+ i sen t

El segmento [0,211"] se convierte en la circunferencia C(O, 1), cos t - i sen t

Z -1

- sen t

dz

y

+ i cos t

= izdt

z -

= 2i sen t

luego: z

+ Z -1 = 2 cos t

es decir, cost

Z2 + 1 = - -- y

2z

Z -1

sent

Z2 -

1

=- - 2iz

con lo que la integral (5.1) se transforma en

1

C(O,l)

+ [Z2,z 2:- 1] 2 + 1 [Z2+1]3 2z d .

. ZZ

Z

De este modo, una integral racional en senos y cosenos, sobre el intervalo [0,211"] se transforma en una racional en la circunferencia C(O, 1). Como veremos en el capítulo 10, este tipo de integrales se calculan fácilmente haciendo uso del teorema de los residuos. Definición 5.7 Sean f y F dos funciones complejas definidas en un abierto A. Si F es holomorfa en A y F'(z) = f(z) Vz E A, diremos que F es una primitiva de f (en AJ.

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83

e

Teorema 5.3 (Regla de Barrow) Sea,: [a , b] - - - t un camino regular a trozos. Si f es integrable a lo largo de , y si F es una primitiva

de f en un abierto que contiene al rango de " entonces 1, f(z)dz = F(¡(b» - F(¡(a» En particular, si , es cerrado, la integral de f a lo largo de , es nula. Demostración. -

1,

f(z)dz = ¡b f(,(t»),'(t)dt = ¡b F'(¡(t»),'(t)dt

Luego, por la regla de la cadena, tenemos

1,f(z)dz

= ¡b(Fo,)'(t)dt = (Fo,)(b) - (Fo,)(a)

aplicando la regla de Barrow a la última integral de Riemann.

O

El teorema anterior tiene como consecuencia muy importante ló siguiente: supongamos que la función f es continua en el abierto A donde, además , admite una primitiva F; si y son dos caminos regulares a trozos cuyos rangos están contenidos en A y si además sus extremos coinciden (¡l(ad = '2(a2), 'l(b1 ) = 12(b 2», entonces las integrales de f a lo largo de uno y otro camino coinciden. Esta propiedad se expresa diciendo que la integral de f es independiente del

,1 ,2

camino en A. Ahora bien , así como por el teorema fundamental del cálculo se tiene que toda función continua en un abierto de lR admite una primitiva en dicho abierto, en variable compleja esta propiedad no se verifica, como se comprueba en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.- La función fe z ) = (z - at 1 es continua (incluso derivable) en el abierto {a}. Si calculamos la integral de f en la circunferencia a, R):

e-

e(

¡

JC(a,R)

f(z)dz =

¡21r Rf(a+R(cost+isent»(-sent+icost)dt

Jo

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84

Capítulo 5: La integral curvilínea

= Jo¡21r R( cos t R. + 2 sen t ) (- sen t + i cos t)dt = fo21r idt

=

21ri

luego f no tiene primitiva en ningún abierto que contenga a C(a, R) , pues , según el teorema anterior, al ser C(a, R) un camino cerrado , la integral debería ser nula.

Ejemplo.- La integral del ejemplo 1 se podría haber calculado simplemente usando la regla de Barrow: dado que z3 /3 es una primitiva de z2, tenemos 31')'( 1) z311+i (1 + i)3 z2 dz = z3 ')'(0) = 3 o = 3

1,

(Utilizamos la notación F( z) I~ = F(b) - F(a) como en el caso real.)

_ __ __ Corolario 5.1 Si F Y G son dos primitivas de A, entonces F - G es constante en A.

f

en un abierto conexo

Dem.ostración.- Sea Zo E A. Puesto que A es abierto conexo , para cu~lquiet: z E A existirá un camino regular a trozos, "(, que vaya de Zo a z, e:p.tóÍlces

1, f(w)dw = F( z ) - F( zo) = G( z) - G( zo) l~~ego >

;

:.:': . ':.:?: F(z) - G(z) = F(zo) - G(zo) = k :).

Vz

E

A

O

http://carlos2524.jimdo.com/ Ejercicios y problemas

85

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CAMINOS

5.1 Describir geométricamente los caminos: a) 'Y(t) = 1 + t 2 + ti -1 ~ t ~ 1 b) 'Y(t) = acost + ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O c) 'Y(t) = acost - ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O d) 'Y(t) = t(cost + ibsent) O ~ t ~ 411" e) 'Y(t) = cosht + isenht -1 ~ t ~ 1 -a~t~a

f)'Y(t)=c+it

5.2 a) Probar que la longitud del segmento [Zl,Z2] es 1Z2 es la longitud de la poligonal [Zl, Z2, ... , zn]?

Zl

l. b) ¿Cuál

5.3 Probar que dos caminos (regulares a trozos) equivalentes u opuestos tienen la misma longitud.

e

5.4 [Parametrización natural] Sea 'Y : [a, b] ---> trozos y 1(1') su longitud. Considérese la función s:

[a, b]

--->

[O, lb)] s(t)

-+

un camino regular a

= J:

1

'Y'(t) dt 1

Probar que s es un cambio de parámetro. LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS

5.5 Calcular la integral curvilínea

a) b) c) d) e)

fez) = z3 fez) = re(z) fez) =1 t 1 fez) = (z_la)n fez) = z~a

i

1'( t) 'Y(t) 'Y(t) 'Y(t) 'Y(t)

f(z)dz, siendo:

= t 2 + it,

O~ t ~ 1

= 2t + 2it, O ~ t ~ 1 = t - it, -1 ~ t ~ 1

= C(a, R),

n":f 1

= C(a, R)

5.6 Completar los detalles en la demostración del teorema 5.1. 5.7 Sea R

>1 a 1> O.

a) Demostrar la desigualdad

r

dz

<

JC(O .R) z2 - a 2 -

211"R R2-

1

a 12

http://carlos2524.jimdo.com/ Capítulo 5: La integral curvilínea

86 b) Demostrar que

r

lím

dz

R-++oo JC(Q,R) z2 - a 2

=O

5.8 Demostrar que si f(z) = ~~l donde P y Q son funciones polinómicas y el grado de Q supera al de P menos en dos unidades, entonces

lím

R-++oo

1,R

f(z)dz

=O

siendo "IR cualquier arco de la circunferencia C(O, R). 5.9 [Invariancia por traslación] Sea "1 : [a, b] --+ e un camino regular a trozos y f una función integrable a lo largo de l' Dado a E e se define el camino la mediante la fórmula la(t) = I(t) + a. Demostrar que

1,

f(z)dz

1

= ,a f(z -

a)dz

INTEGRAL CURVILÍNEA REAL Y COMPLEJA

En este apartado suponemos al lector familiarizado con la integral curvilínea de dos variables reales. 5.10 Podemos identificar el camino I : [a, b] --+ e con la curva en R? --+ JR2 definida por 'f(t) = (re("((t)), im("((t))). Probar que, si

'f : [a,b] f(x

+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), ~ f(z)d z =

h

Udx - vdy + i

h

vdx

+ udy

5.11 Demostrar que si U e e es un abierto simplemente conexo, I un camino cerrado regular a trozos y f una función holomorfa en U con derivada continua en U, entonces

~ f(z)dz = O 5.12 Expresar mediante una integral curvilínea compleja el área encerrada por el rango de un camino cerrad.o simple regular a trozos.

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Capítulo 6

El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Vimos en el capítulo 5 (ejemplo 2) cómo, contrariamente al caso real, una función continua en un abierto puede no tener primitiva. Ello es debido realmente al hecho de que la geometría plana es mucho más rica que la recta. En este capítulo encontraremos una clase muy amplia de subconjuntos de en los que toda función holomorfa admitirá primitiva. Además, del resultado central que obtendremos, se van a derivar la práctica totalidad de las propiedades de las funciones de variable compleja. Terminaremos definiendo una función de variable compleja de gran interés.

e

6.1.

EL

TEOREMA DE CAUCHy-GOURSAT

Naturalmente, un triángulo es un polígono cerrado formado por tres segmentos (los lados del triángulo), es decir, el camino [Zl,Z2,Z3,Zll . En todo el apartado consideraremos el triángulo [Zl' Z2, Z3, zl l Y la región cerrada T formada por éste y sus puntos interiores. El diámetro de Tes:

D(T) =

máx{1

Zl -

Z2

1,1 Z3 -

Zl

1, 1Z2

-

Z3

1}

Si Z 12 , Z 23 Y Z31 son los puntos medios de los lados del triángulo, se observa inmediatamente que el triángulo inicial [ZlZ2, Z3, zl l y los cuatro triángulos en que queda dividido (ver la figura 6.1) son todos ellos

87

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Z1

Z1

Figura 6.1: Triángulos.

semejantes y, además, la longitud de cada uno de los cuatro triángulos es la mitad de la longitud del triángulo inicial, y lo mismo ocurre con los diámetros respectivos.

Teorema 6.1 (Teorema de Cauchy-Goursat para triángulos)

Sea f holomorfa en T. Entonces

r

f(z)dz

J [Z l I Z2,Z3,Zl]

= O.

Demostración.- Si dividimos [Z1' Z 2 , Z3, Z1] en cuatro subtriángulos según se indica en la figura 6.2 y llamamos ..yo al t riángulo inicial y ,(1) , ,(2), ,(3) Y ,(4) a los cuatro subtriángulos respectivamente, es inmediato que 4

¿ k=1

J

(k)

f (z)dz

=

,

ya que los lados j.nteriores de los

, (k)

1'o

f( z) dz

(6.1)

se recorren dos veces , pero en

sentidos opuestos. De (6.1), por la desigualdad triangular, se sigue que

Sea decir ,

,1el triángulo que proporciona la máxima integral en (6.2), es (6.3)

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89

Figura 6.2: Subdivisiones.

Si repetimos el mismo proceso dividiendo ahora 11 en cuatro subtriángulos, obtendremos otro triángulo 12 de modo que

y, por tanto,

Por recurrencia, construimos la sucesión de triángulos {,n}

Vn E N

(6.4)

Por otra parte, de acuerdo con las observaciones previas al teorema, si Tn es la región formada por In Y su interior, (6.5) y

(6.6)

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funcion es logarítmicas

De (6 .5) se deduce que líII1n .... oo D(Tn ) = O. Por lo tanto, {Tn } es una sucesión contractiva de conjuntos compactos no vacíos cuyo diámetro tiende a O: por el teorema de Cantor, la intersección de todos ellos es un punto, 00

Puesto que 38

f

es holomorfa en zo, dado [ > O,

> O / O < z - Zo < 8 1

1

===?

If (z)

- f (zo) z - Zo

f' (zo) I < [

Elijamos p E N de modo que T p esté contenido en el círculo de centro Zo y radio 8. Entonces,

1z -

Zo

1< ó

Por otra parte, dado que

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91

resulta que, por la regla de Barrow,

¡ (f( zo) + J'( zo)( z - zo))dz = In

O

luego

lJ,n f( Z)dz l

=

lJ,n (f(z) - [f( zo)

< l(¡n) máx{lf(z ) z ETn

+ J'(zo)( z - zo)])dz l [j( zo) + J'( zo)( z - zo)JI} \In?. p

es decir,

\In?. p

(6.7)

Relacionando (6.7) Y (6.4) , obtenemos que

luego

r f( z )dz = O

1,0

D

Rebajando un poco las hipótesis , podemos obtener una nueva versión del teorema 6.1 que nos resultará muy útil. Corolario 6.1 S ea Zo E T. Si f es holomorfa en T - i zo} y continua

en T , entonces la integml de f a lo largo del triángulo [Zl ' Z2, Z3, zll es cero. Demostración.- Distinguiremos varios casos según la posición de Zo en T (ver figura 6.4). a) Zo es un vértice de T (por ejemplo Zo = Zl). Podemos elegir dos puntos a y b en los segmentos [Zl ' z2l Y [Z3, zll respectivamente, tan cercanos a Zo como queramos ; Entonces

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Zo

= Zl

Zl

Zl

caso a)

caso c)

caso b)

Figura 6.4: Posibles posiciones de

Zo.

Puesto que a T2 y T3 se les puede aplicar el teorema 6.1, queda

r

f -

J[Zl ,Z2 ,Z3 ,Zl)

r

f

J[zl,a,b,z¡)

Puesto que f es continua, es obvio que el límite (cuando a y b tienden a zo) de esta última integral es 0, y se obtiene el resultado para este caso. b) Zo está en un lado del triángulo (por ejemplo en [Zl' Z2]) ' Dividimos el triángulo en dos, de forma que ahora Zo es vértice de ambos triángulos, por lo que, aplicando el caso a), se vuelve a obtener el resultado esperado. c) Zo es interior a T. Se divide T en tres triángulos a los que se puede aplicar el caso a). O 6.1.1.

CONJUNTOS ESTRELLADOS Y PRIMITIVAS

Definición 6.1 Sea A un subconjunto de C. Diremos que A es estrellado si existe a E A de modo que el rango del segmento [a, zL para cualquier z de A, permanece dentro de A. Es decir, 3a E A / (1 - t)a

+ tz E A

Vt E [0,1] Vz E A

Es evidente que todo conjunto convexo es estrellado. Un ejemplo interesante de conj unto no estrellado es e - {zo} , donde Zo es cualquier

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93

Figura 6.5: Conjuntos estrellados. número complejo. Como vimos en el ejemplo 2 del capítulo anterior, sobre este tipo de conjuntos las funciones holomorfas no siempre admiten primitiva.

Lema 6.1 Sea A un abierto estrellado y f una función continua en A. Si para todo triángulo 'Y que, junto con su interior, está contenido en A se verifica que

entonces

f

admite una primitiva en A.

Demostración.- Sea a E A el punto que verifica que el rango de [a , z] está contenido en A para todo z E A. Podemos entonces definir la función F( z) = f(u )du Vz E A (6.8)

r

J[ a,z]

Probaremos que F es holomorfa en A y que F'(z) = f( z) en A. Dado que A es abierto, fijado z E A, existirá r > O de modo que el círculo de centro z y radio r está contenido en A. Entonces , por ser A estrellado, para cualquier w de dicho círculo, el triángulo [a, z, w, a] está contenido, junto con su interior, en A. Así pues,

r

J[a ,z,w,a]

f(u)du=O

luego

r

J[a,z]

f(u)du

+ J[z,w] r f(u)du + Jr[w,a] f(u)du = O

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94

I

~:: z

(

A

a

!

!

1

Figura 6.6: F( z ) = I¡a ,z] f(u)du. de donde

F(z) - F(w)

=

(

J[w,z]

f(u)du

La integral del segundo miembro de la expresión anterior se puede calcular parametrizando el camino [w, z] como:

u=w+t(z-w) , du=( z -w)dt luego

la la

F(z) - F(w) F( z) - F(w) z- w

1

f(w 1

+ t( z -

w))(z - w)dt

f( w + t(z - w))dt

por lo tanto

1F(Z: =~(w) -

f( z) 1

= Ila

1

f(w

+ te z -

w))dt - f( z) 1

1

=

Ila [J(w + tez - w)) -

f( Z) ]dtl

(6.9)

Dado que f es continua en A, límw-+zf(w + t(z - w)) = f( z ), y para cualquier é > O existirá Ó > O de manera que

0 log(-1)2 = log1 = O => 21og(-1) = O => log(-1) = O

6.16 Probar las siguientes identidades:

= ~(log(i + x) -log(i arccos x = -ilog(x + i~)

arctanx

x))

x E R.

-1 <

x:::; 1

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Capítulo 7

Series de potencias. Funciones elementales

Hemos empleado la integral curvilínea en el capítulo 6 para definir la función logarítmica. Ahora vamos a terminar de definir todas las funciones elementales en el campo complejo (decir "todas" es quizás algo exagerado ya que, en realidad , sólo vamos a necesitar una función elemental, jy ésta ya la conocemos, dado que es la inversa de las funciones logarítmicas!). Para ello, utilizamos la siguiente técnica -análoga· a la empleada en el caso de las funciones logarítmicas- que se basa en que las fun 1, entonces la serie diverge.

1< 1, entonces la serie converge absolu-

Si a(z) = límsup :;JI an(z - zo)n 1=1z - Zo llímsup ~, entonces la serie converge para aquellos z E e tales que a( z ) < 1, es decir, Slempre que

<

1

z - Zo

1

z - Zo 1 >

1

1

límsup~

y diverge si

1

límsup~

No sabemos qué ocurre cuando 1

z - Zo

1

=

1

límsup~

Estas afirmaciones siguen siendo válidas si convenimos que _1_ - O + 00 •

t=

+00 Y

Definición 7.1 El radio de convergencia de la serie (7.1) se define como

r=

1 ------~====

límsup~

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107

Series de pótencias complejas

y el círculo de convergencia de la misma serie como

B( zo, r) = {z E

e:z1

Zo 1< r}

es decir, la bola abierta de centro Zo y radio r. t

A la hora de calcular el radio de convergencia es conveniente recordar la relación entre el límite de la raíz n-ésima y el límite del cociente (lema 2.1). En resumen, la serie (7.1) converge absolutamente dentro de su círculo de convergencia, diverge en el exterior del mismo y puede converger o diverger en la frontera de éste. t

Ejemplo.- La serie geométrica L zn tiene radio de convergencia 1, ya que límsup V'I = 1. Esto, significa que converge para 1z 1< 1 y diverge para 1z 1> 1. Además, según se vio en el primer ejemplo del capítulo 2, esta serie diverge en todos los puntos de la frontera, 1z 1= 1. Ejemplo .- La serie

L znn!

tiene radio de convergencia O, ya que

luego sólo converge para z = O.

Ejemplo.- Las series ya que

L (z ~;t y L ~~ tienen radio de convergencia +00 ,

1 n~/ , V 11m 1/ n:1-1' - 1m /(n/ +I 1)! 1 n.

1

luego convergen en todo

' ( 1- 11m -

n!

n

_ l'1m -1- -_ O n +1

+ 1) I. -

e.

Llegados a este punto conviene comentar que es posible extender a sin ninguna dificultad, la teoría de convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones de variable real§ que el lector posiblemente

e,

tA los efectos de series de potencias convendremos en que B( zo, +=)

B(zo,O)

= {zo} .

tNótese el significado del nombre de serie centrada en zo. §Como haremos (ventajosamente) en el capítulo 11.

=e

y

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108

Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

conoce~. En tal caso podríamos demostrar que la convergencia de las series de potencias complejas es uniforme sobre los compactos interiores al círculo de convergencia y deducir de ello la continuidad y derivabilidad de las mismas. Sin embargo, nos limitaremos a probar, en este momento, que las series de potencias pueden derivarse término a término sin necesidad de aludir a la convergencia uniforme.

7.1.1.

DERIVACIÓN DE UNA SERIE DE POTENCIAS

Teorema 7.1 Supongamos que la serie L: an(z - zo) n tiene radio de convergencia r > O. La función f definida en el círculo de convergencia B(zo, r) por 00

f(z) =

L

an(z - zo)n

n=O

es derivable y su derivada es 00

f'(z)

= L: nan(z -

zo)n-l Vz E B(zo, r)

n=l

Derr¡{y;{ración.En primer lugar se observa que las dos series de poten. , • '1' .~

G,las,. ~ .'..:....:

..

tienen el mismo radio de convergencia, ya que: límsup

11 (n + l)a

n +1

v'ñ+l" 11an +1 I = límsup 11 an+l I = límsup~

I =

límsup

Dado Zl E B(zo, r), entonces, ambas series convergen y deberemos probar que 00

f'(Zl)

= L: nan(zl n=l

ITSi no es así, puede consultar el apéndice A.

- zo) n-l

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109

Series de potencias complejas

es decir, si 00

= ¿: nan(z -

ZO)n-l

, f(Zl) - f(w) 11m

= 9 () zl

g(z)

n=l

en B(zo, r), entonces

w-+Z¡

Zl -

W

Para ello, tomemos primero un rl < r tal que Zl E B(zo, rl)' y tomemos también un r2 < rl de forma que B(Zl,r2) e B(zO,rl)'

Sea entonces w E B(Zl' r2):

=

~ { (zl-zO)n _ (w-zo)n L..- a n n=l Zl - W

-

(

n Zl - Zo

)n-l }_ () -

*

Teniendo en cuenta la fórmula.:

An _ B n

=

(A - B )(A n- 1 + An- 2B n-l (A - B)

¿: An-k B k

k=l

+ ... + AB n- 2 + Bn-l)

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110

obtenemos que

Esta última expresión es la suma de una serie que vamos a dividir en una suma parcial más su resto como sigue:

\a n

{};(ZI- zot -k(w -

Zo)k - n(ZI -

{'f 1ZI 1{'f r~-kr; + nr~-I}

~I an 1

Zo In-kl W - Zo

zot-I}\

I +n 1ZI- Zo In-I} k

k=1

~I an

k=1

< 2n 1 a n

1

r~ -I

puesto que rl < r, ¿ nanr~-I converge absolutamente, luego 1 r~-I converge, y, por el criterio de comparación, (*) es una serie convergente de forma que dado é > O, existe no E N tal que

¿ 2n 1 an

é

< 2: (7.2) (A partir de no el resto está acotado en módulo.) Por otra parte, la suma parcial

es un polinomio (de la variable w) que podemos representar por p( w ) tal que p(zo) = O, luego, por continuidad, lím w --+ zQ p(w) = O, y, dado é > O existe 8 > O (8 < r2 para que p( w) esté definido) de manera que

1w -

Zo

é

1< 8 ~I p(w) 1< ?

(7.3)

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111

Series de potencias complejas

Finalmente, si nemos que

1Z

w

-

--.:...l)_-..:.......:.f(--,-w) - L.J ~ -.::.. . .o.f(Z

l

Zl -

<

lE

+ <

6

n=l

W

1<

8, teniendo en cuenta (7.2) y (7.3), obte-

na n ( Zl

Zo

-

)n-ll

an {E(Zl - zo)n-k(w - zo)k - n(Zl -

n=~+1 an {E(Zl -

zot-1}1

zot-k(w - zo)k - n(Zl - zot-

1 }

6

"2+"2=6

O

Corolario 7.1 Si el radio de convergencia de la serie de potencias an(z - zo)n es r > O) entonces la función definida por la suma de esta serie es infinitamente derivable y su derivada de orden k (siempre definida sobre el mismo círculo de convergencia) es

L~=o

00

fk)(z) =

L

n(n - l) ... (n - k + l)a n(z - zot- k o

n=k De aquí se deduce que, puesto que fk)(zo)

= k(k -

l) ... lak

= k!ak,

¡n)(zo) (7.4) , n = 0,1,2, ... n. y de esta última expresión se deducirán importantes resultados en el próximo capítulo; de momento observemos tan sólo que si dos series de potencias centradas en un mismo Zo convergen a la misma función en un entorno de Zo) entonces sus términos son idénticos o, dicho de otra forma, dos series distintas (centradas en zo) no pueden converger a la misma función. an

=

Ejemplo.- Consideremos la serie de potencias

Su radio de convergencia es r =

1

límsup :J1/n converge en la bola 1 z - 1

< 1.

1

1, luego la sene

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112

Capít ulo 7: Series de potencias. Funciones elemen tales

Sea f( z) la función holomorfa definida mediante ella:

1z -

1<

I

I

Su derivada es:

f(

j'( z) =

-I r -In (z - l)n-l

n=l

n

00

~) - l r - 1 (z

=

- l)n-l

n=l 00

L) -lr(z -

=

l)n

n=O 00

E(l - z)n

=

n=O Es decir, una serie geométrica de razón 1 - z, con su suma vale:

j'(z)

= 1-

1

1 - z 1< 1, luego

(~ _ z) = ~

Si recordamos del capítulo anterior que ésta es precisamente la derivada (en su dominio de definición) de cualquier determinación del logaritmo, tendremos que, en particular para la determinación principal, puesto que f( z) y log z tienen la misma derivada, ambas funciones difieren en una constante. Luego

f( z) -log z

= k 1z -

°

1 1< 1

Ahora bien, dado que f(l) = ao = y que log 1 = 0, entonces k = 0, y se concluye que la suma de la serie de potencias inicial es precisamente la determinación principal del logaritmo complejo (en el dominio de la serie); en definitiva:

E( - l r 00

n=l

-1

(z -l )n n

= log z

S1

1z -

1 1< 1

(7 .5)

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Las funciones elementales

7.2.

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

7.2.1.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Como hemos visto en un ejemplo anterior, la serie de potencias +00, es decir, converge en todo C. La función definida por medio de esta serie se conoce con el nombre de función exponencial de variable compleja y se representa por exp z o por eZ , es decir, L:~~ :~ tiene radio de convergencia

exp z = e Z =

+00

zn .

n=O

n.

L,

(7.6)

Vz E C

Vamos a analizar las propiedades de esta función. Según el teorema 7.1, es derivable en todo el plano complejo y su derivada es +00

exp' z =

+00

zn- l

zn

L n-,= L , n. n.

n =l

n=O

es decir , exp' z = expz

(7.7)

Vz E C

De donde además se deduce que todas las derivadas sucesivas de exp z coinciden con exp z. Para encontrar nuevas propiedades de exp z introducimos una función auxiliar: para cada w E C consideramos la función

fw : C Z

---+ -T

C f w(z ) = exp(w - z )exp z

= ew- zez

que es holomorfa en C y cuya derivada es

luego f w(z) es constante. Ahora bien, exp z, para valores reales de z , es la función exponencial real (pues coincide con el desarrollo en serie de Taylor de esta función); en particular, exp O = 1, y como f w (z) era una función constante, f w(z ) = f w(O) , se obtiene que

Vz ,w E C

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114

Poniendo en esta última expresión z' fórmula:

= w-z, obtenemos la deseable

Vz,z' E Tomando ahora z' luego

=

e

(7.8)

- z, resulta que exp( - z) exp z

(eZ)-l =e -z

Vz E

= exp O = 1,

e

(7.9)

de donde, además deducimos que

Vz E

e

(7.10)

Hasta aquí hemos conseguido generalizar satisfactoriamente las propiedades básicas de la función exponencial real. A partir de este momento obtendremos propiedades tal vez un poco sorprendentes. Trataremos de expresar la función exponencial en términos de funciones cono cidas. Para ello, observamos que, si z = x + iy, entonces, de acuerdo con (7 .8),

exp(x

+ iy) =

expxexpiy

donde exp x es la exponencial real y basta con estudiar la función exp iy. Utilizando directamente la definición:

e'Y

=

cos y + i sen y

Vy E IR.

como es conocido de series de potencias reales). Luego exp( x

+ i y) = e X+iy = e X ( cos y + i sen y)

Vx,yEIR.

(7.11)

El resto de propiedades que siguen son consecuencia inmediata de esta expresión.

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Las funciones elementales

115

Teorema 7.2 a) La función expz es periódica, con período 27ri . Más exactamente,

eZ = eW

{=::}

3k E Z / z -

W

= 2k7ri

b) 1 e Z 1= ere(z), im(z) E Arge z . Luego, si 1 z 1= r =1- O ya E Argz, podemos escribir' /' z = re ai = exp(1og r + ai) (expresión de z en forma exponencial) Z E R {=::} im(z) = 2k7r para algún k ,E Z Z d) e es imaginario puro {=::} im(z) = 2k7r + ~ para algún k E Z

c) e

e) exp( %i)

= i,

exp( 7ri)

=-

1, exp( 3; i)

=-

i, exp(27ri)

= eO = 1

O

A partir de la forma exponencial, podemos expresar el prod ueto de números complejos como sigue.

La fórmula de De Moivre quedará como

Y, finalmente, las raíces n -ésimas vienen expresadas por la fórmula z = re

ai

nC

===:;,wk=yreXp

a

+ 2 k7ri , n

k=O,1 , 2, . .. ,n-1

Otra consecuencia importante de las propiedades de la función exponencial es la siguiente. La circunferencia de centro z y radio r, es decir, el conj unto

{z

+ r(cost + isent): t

E [O,27rJ}

puede expresarse como

{z + re it : t E [O,27rJ} y, en particular, los números complejos de módulo 1 son todos los de la forma

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

116

Naturalmente, no podemos terminar este apartado sin estudiar en qué sentido continúan siendo funciones inversas las funciones exp y log. En sentido estricto esto es imposible, dado que exp no es inyectiva. También puede haber problemas con el hecho de que, del logaritmo , tenemos infinitas determinaciones. Teorema 7.3 Sea a E IR Y consideremos la determinación del logaritmo loga. Entonces

a) elogaz = z 'o) loga e = z Z

Vz E

e-

si a -

7r

{O} ~ im(z)

< a + 7r

Demostración.- a) exp(loga z) = exp(ln 1 z 1 +i arg a z) = exp(1n 1z !) exp(i arg a z) =1 z 1exp(i arga(z)) = z . (z .¡:. O para que loga z esté definido.)

b) loga e Z = ln(1 eZ 1) + i arg a eZ = ln(e X ) + iy = x + iy = z, ya que

y por hipótesis y E [a - 7r,a +

7r[,

luego y = arga(z) O

U na última propiedad deseable de e sería la de que Z

Esta se verifica para z complejo y w E N , pero para el caso general no podemos intentar ver si se cumple, ya que aún no sabemos elevar un número complejo a otro.

'7.2.2.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para definir las funciones trigonométricas podríamos, como en el caso de la función exponencial, generalizar la expresión de estas funciones como serie de potencias. Sin embargo, la fórmula (7.11) permite definirlas de una forma más directa: puesto que

eib e -ib

cos b + i sen b cos b - i sen b

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Las funcion es elem entales

117

sumando y restando ambas expresiones , obtenemos: eib e ib

+ e- ib

2 cos b

e-

2i sen b

_

ib

luego eib

cos b =

é b _ e- ib

+ e- ib 2

'

sen b =

2i

Estas últimas expresiones, conocidas como fórmulas de Euler nos sugieren definir las funciones trigonométricas complejas como: cosz =

2

senz= - - - 2i

Vz E

e

(7.12)

A partir de aquí, las restantes funciones trigonométricas se definen como en el caso real: sen z tan z = - - , cos z cos z cotz = - - ,

1 cos z

sec z = - -

SI COS Z

-¡:. O

1

csc z = - si sen z -¡:. O sen z sen z Y, a partir de (7.12), se obtienen inmediatamente

a) Las deri vadas: cos' z = - sen z,

sen' z = cos z

Vz E

e

(7.13 )

b) cos z y sen z son periódicas, con período 211': cos(z

+ 211') = COS z,

sen( z + 211') = sen z

Vz E

e

(7.14)

c) cos z es una función par y sen z una impar, es decir, cos( - z ) = cos z,

sen(- z) = -sen z

Vz E

e

(7.15 )

También es fácil demostrar las fórmulas clásicas de la trigonometría.

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118

Teorema 7.4 Sean z, w E C. Se verifican las siguientes igualdades: a) cos 2 z + sen 2 z = 1 b) cos (z + w) = cos z cos w - sen z sen w c) sen(z + w) = sen ·z cos w + sen w cos z Demostración.- Son fácilmente deducibles de la propia definición; veamos, como ejemplo, la primera: cos 2 z +sen 2 z

= ( éz +2 e-

iZ ) 2

+

(e

iZ

e2iz + e- 2iz + 2e o

-2Z.e -

iZ ) 2

e2iz + e- 2iz

_

2eo

-------------+-------------4 -4 4/4 = 1 O

Vamos ahora a obtener la expresión de las funciones trigonométricas en forma de series de potencias: cos z =

esto es,

z2n

00

cos Z =

L:( -l t -2n()'.

n=O

Análogamente, para sen z, +00

sen z =

z 2n+ l

L: (-1 t (2n + 1),.

n=O

Finalmente observemos que no todas las propiedades de las funciones sen y cos reales se pueden trasladar al campo complejo: las funciones complejas sen y cos no son acotadas. Para probar este hecho basta observar que si x es real, entonces cos xz =

e-X

+ eX 2

= cosh x

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Las funciones elementales

119

y

sen xz

=

e- X _ eX

2i

= i senh x

y, por lo tanto, límx-++ oo cos xi = límx-++ oo sen xi = oo.

7 .2 .3.

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas se definen, como se hace generalmente en el caso real, mediante las fórmulas coshz =

eZ + e- Z 2 '

eZ

e- 'Z

_

senhz = - - -2

Vz E , una colección (probablemente infinita) de ellos . Aquí nos limitaremÜ'" a estudiar cuántos valores distintos toma la potencia ZW y su relació.R con potencias y raíces. En primer lugar, si w = n E N, es de desear que zn coincida con 1" "vieja" fórmula de zn = z z· . . z (n factores). Para ello, escribiendo 2 en forma polar: z = I z I exp( i arg x z ) con x cualquier real, por la fórmu la de De Moivre,

zz ··· z

I z In exp(ni arg x z ) exp( 7L In z ) exp( ni arg x z ) exp( n logx z)

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120

Capítulo 7: Series de potencias . Funciones elementales

según la definición (7.17), luego zn coincide, para cualquier determinación del logaritmo, con el producto de n factores iguales a z. Además, ello significa que zn toma un único valor. También resulta evidente, según (7.17), que si w = 0, el único valor que toma ZW es l. Veamos ahora qué ocurre con exponentes enteros negativos: análogamente al caso anterior, es de esperar que z-n coincida con (l/zt; esta última expresión coincide a su vez, por lo probado arriba, con el producto de n factores iguales a 1I z, es decir,

(~r

=

11

1

zz

z

I ~ In exp (ni argA ~)) exp( -n In z) exp( -ni arg x z) exp( -n logx z) z-n Vx E IR luego, nuevamente, la definición de zW, para z = -n , n E N, toma un único valor y coincide con la clásica. Estudiemos el caso en que w es racional. Si w = pi q con p y q primos entre sÍ, ZW debería dar la q-ésima raíz de zP, que, como sabemos , tiene exactamente q valores distintos, y esto es precisamente lo que ocurre con ZW: Si j3 es un argumento de w, entonces todos los argumentos de w son de la forma O' = j3 + 2br, k E Z, y, por tanto, exp( w[ In I z I +iO' ])

exp( w[ In I z

I +i(j3 + 2br) ]) exp(w[ In I z I +ij3 + 2bri ]) exp(w[ In I z I +ij3 ]) exp(~2ki7r) q

como q no divide a p, exp(E2ki7r), al variar k en Z , toma exactamente q q valores distintos (para k = 0, 1,2 , ... , q - 1, por ejemplo, y los demás se repiten), luego hay exactamente q argumentos de w que dan distintos valores a zW; es decir, zp/q =

{exp(~[ In I z I +i j3])exp ( ~2ki7r): k q

q

= 0, 1,2, ... ,q -1}

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Series de poten cias biláteras

donde (3 es un argumento cualquiera de w . Por otra parte, zp/q

exp(E[ In q

I z I +i(3 ])exp(E2ki7l') q

exp((ln I z I +i(3)E + (2ki7l' E)) q

q

exp((ln I z I + i(3 + 2ki7l') E) q

yIexp( (In I z I +i(3 + 2ki7l') p) V'zP que era lo que habíamos anunciado . Por último, dejamos para el lector la comprobación de que, si w no es racional, ZW toma infinitos valores distintos .

Ejemplo.- Cálculo de ii. ii = eiLogi = e lnl+i(I +2br) =

e -I+2br*

En cuanto a' la derivada de las funciones potenciales , es claro que, fijada una determinación del logaritmo, logx, la función

es derivable en

7.3.

e-

{w: x + 7l' E Arg w} y su derivada es

SERIES DE POTENCIAS BILÁTERAS

Consideremos una serie de la forma (7.18) n=-oo

-De modo que ii es un conjunto iufini to ¡de números reales! Poniendo k obtenemos la curiosa expresión ~ E ii.

=O

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

De acuerdo con el capítulo 2, diremos que es convergente si lo son las dos series +00

+00

E an(z -

zot

y

E a_n(z -

zo)-n

(7.19)

n=l

n=O

Si en la segunda de estas dos series ponemos w convierte en

(z -

ZO)- l ,

se

(7 .20) que es una serie de potencias centrada en O, de forma que, si R es el radio de convergencia de la primera serie de (7.18),

R= y

1

límsup~

SI

r=límsup~ entonces l/r es el radio de convergencia de (7.20). Así pues, la condición suficiente para que (7.18) sea convergente es que 1

z - Zo 1< R y

1 1

Z - Zo

1

1



r

< R o la serie no convergerá en ningún punto).

De esta forma, la serie (7.18) converge en la corona circular o anillo

A(zo;r, R)

= {z E e: r 3. Además, R

= +00.

{2i}

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS

7.1 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

+00 n a) L~ n=l n +00 e) L z2n n=3 +00 i) L 2n z n! n=2

+00 n b) L~3 n=l n +00 f) L(3+(-ltt zn n=l +00 j) L(n + Tn)zn n=O

+00 n c) L 2n zn n=O

+00 g) L nn z n n=l

+00 d) L zn!

n=O +00 , h) L ~ zn nn n=l

7.2 Estudiar la convergencia de las siguientes senes de potencias en la frontera de su círculo de convergenciat :

7.3 Hallar el radio de convergencia de la serie L~~ anz n cuyos coeficientes son los números de Fibonacci:

7.4 Utilizar el criterio de Di richlet (problema 2.16) para probar que, si la sucesión {an} es decreciente y converge a O y si el radio de convergencia de L anz n es 1, entonces esta serie converge en todos los puntos de la frontera de su círculo de convergencia excep to quizás en z = 1. DERIVA CIÓ N DE SERIES DE POTENC IAS

7.5 Sumar las series +00

n

a) L ~ n=l n 7.6 Probar que, si la serie de potencias f( z) = L~~ an (z - zo)n tiene radio de convergencia no nulo , entonces existe una primit iva de f que también puede expresarse como la suma de un a serie de potencias.

7.7 Sumar las series t En algún caso , puede ser útil el uso del Cri terio de Dirichlet (ver problema 2. 16).

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125

EjercÍcÍos y problemas

+00

a)

L

+00

b)

nzn-l .

L n(n -

+00

1)zn-2

c)

n=2

n=l

L

n(n + 1)zn

n=l

7.8 Si el radio de convergencia de la serie f(z) = ¿~~ an(z - zo)n es positivo y al i:- O, probar que f es inyectiva en un entorno de Zo .. 7.9 [Multiplicación de series de potencias] Utilizando el teorema de Mertens (problema 2.19) probar que las series de potencias pueden multiplicarse término a término en el interior del mínimo círculo de convergencia, es decir, demostrar que si

+00

f(z)

=L

an(z - zot

1z -

Zo

1< r

bn(z - zo)n

1z -

Zo

1< r

n=O

+00

g(z)

=L

n=O

entonces

Iz-zol O / 1g(w) 1::; M luego

1Rk(Z) 1::;

1

27r 1(')')

(1 z-r al)

z I~ r -

1

r-I

Tomando entonces límites cuando k tiende a (8.4), obtenemos:

8.1. 1.

=

+00 [ 1

L

n=O

-2 ' 7rZ

1 "Y

(

g(w) )

W -

a

n

+1

]

dw (z - a)

n

1

r

M a- z

1

de forma que el segundo término t iende a O cuando k tiende a l < 1. ser Iz-a r

f (z)

z

r,

Vw E

k+

1a -

+00

1z -

a

+00

por

en la expresión

1< r

D

(8.5)

INDICE DE UN CAMINO CERRADO

La integral curvilínea,

1 (z) "Y

-1-1~

= 27ri

"Y

w -

Z

donde z no pertenece al rango de 1, juega un papel muy importante en toda la teoría de funciones de variable compleja. En este apartado vamos a darle una interpretación geométrica, para el caso en que I sea un camino (regular a trozos) cerrado . En tal caso, al menos desde el punto de vista intuitivo, resulta evidente que el conjunto complementario del rango de I es una unión finita de abiertos disjuntos dos a dos (llamados sus componentes conexas), todos los cuales, excepto uno, son acotados. En el caso particular de un camino cerrado y simple, existen únicamente dos componentes conexas: una acotada que corresponde al interior de la curva y la no acotada. * *Este hecho aparentemente trivial constituye el teorema de la curva de lardan.

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135

Figura 8.1: Componentes conexas. Nuestro objetivo inmediato es el de probar que el valor de esta integral, cuando z varía en el complementario del rango de " es constante dentro de cada componente conexa. Para ello, basta con observar que del lema 8.1, aplicado a g(w) = 1, se deduce que la función 1"( es derivable y, si 1z - a 1< d(a, r), entonces su derivada es

1

I () 1 dw 1"( z = 27ri "( (w _ a )2

Pero esta última integral es nula, aplicando la regla de Barrow, porque (w~a)2 es una derivada en e - r. Por lo tanto, 1~ (z) = O Vz E

e- r

e 1"( es constante sobre cada componente conexa de su dominio.

Definición 8.2 Sea, un camino cerrado regular a trozos y sea z un punto situado fuera del rango de ,. Se define el Índice del camino , respecto al punto z como el número:

Lema 8.2 Sea, : [a, b] ----+ e un camino cerrado regular a trozos y sea r su rango. Si z rf- r , entonces 1"(( z) es un número entero.

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136

Capítulo 8: Funciones analíticas

Demostración.- Consideremos la función auxiliar F : [a ,b]

---+

t

C F(t)

=

(t

, '(t) dt

la ,(t) -

z

Deberemos probar que F(b? E íl. 27l'z

Sea G(t) = (¡(t) - z)e-F(t) para t E [a, b] . G(t) es continua en [a, b] y derivable salvo quizás en un conjunto finito de puntos de [a, b], y su derivada es:

G'(t)

-F'(t)(¡(t) - z )e- F(t)

+ , '(t )e-F(t)

- , ' (t) (¡(t) _ z)e- F(t) ,(t) - z

+ , '(t) e-F(t)

O Así pues, G es constante en los subintervalos de [a, b] donde es derivable. Pero de este hecho y de la continuidad de G se deduce que G es constante en todo [a, b]. Por tanto , G(b) = G(a), es decir,

(¡(b) - z)e- F(b) = (¡(a) - z)e-F(a) Como , es un camino cerrado y i- O, luego

z

no está en el rango de " entonces

,(b) - z = ,(a) - z

e- F(b) = e- F(a) y, de aquí,

F(b) - F(a) = 2k7ri para algún k E íl . Finalmente, como F( a) = O (p or la definición de F) obtenemos que F(b) = 2k7l'i. O Teorema 8.1 Sea, un camino regular a trozos y sea f su rango . En-

tonces: C - f.

LA z) =

O si z pertenece a la componente conexa no acotada de

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137

Funciones analíticas

Demostración. - Sea l(¡) la longitud de I y elijamos z en la componente conexa no acotada de forma que d(z, f) sea mayor que 21(¡). Ello significa que 1w - z 1> 21(¡) Vw E f .

z

d(z , f )

~,

'~ f

Por lo tanto, si k

= I-y(z),

1 wdw_ Z 1~ 12bn. 1= 1 "1

es decir, 1 k 1 ~ k = O. O

1",

1 l(¡) 21(¡)

= 21

y como k E Z , esta desigualdad sólo es posible si

Ejemplo.- (Indice de una circunferencia) La circunferencia I = C(zo, r) divide el plano en dos componentes conexas, la acotada y la no acotada. Ya sabemos que sobre la no acotada el Índice es cero. Por otro lado, sobre la no acotada, el Índice es constante y, por lo tanto, coincide con I-y(zo), es decir, si 1Z- Zo 1< r ,

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Capítulo 8: Funciones analíticas

138

o

.zo 1

Figura 8.2: Indice de una circunferencia

Ejemplo.- Consideremos el camino ,: [0,61l"] t

-----t -t

e ,(t)=zo+re- it

El rango de este camino es el mismo que el de la circunferencia del ejemplo anterior, pero ahora se recorre en sentido contrario y, además, ~e dan tres vueltas a la misma circunferencia. O

-3

.zo

Aunque el Índice en la componente no acotada sigue siendo cero, el Índice de esta curva respecto a un punto interior es:

1 la = I,(zo) = -. 21l"Z o

6

I,(z)

11"

-rie- it - 't dt re'

= -3

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Funciones holomorfas en un abierto

139

o

Figura 8.3: El número de vueltas. Los dos ejemplos sugieren la siguiente interpretación geométrica: el Índice LJ z) es el número de vueltas que da el camino ¡ alrededor del punto z. Además, el signo del Índice podría significar el sentido en que se recorre la curva (desde"el "punto de vista" del punto z) . Esta interpretación puede venir avalada por nuestra intuición: aunque ello no es rigurosamente correcto, porque el logaritmo de w - z no está bien definido en ningún camino cerrado que rodee a z, la integral f-y :;'::.z debería de ser la variación del logaritmo de w - z a lo largo de ¡ y cada vez que la curva da una vuelta en sentido positivo alrededor de ¡, el logaritmo varía en 27ri; luego, si ¡ da m vueltas a z, resultará

Corno ejemplo de esta idea obsérvese la Figura 8.3, donde, en cada componente conexa hemos escrito el Índice correspondiente de la curva.

8.2.

FUNCIONES HOLOMORFAS EN UN ABIERTO

Teorema 8.2 (Fórmula de la integral de Cauchy) Dado un conjunto abierto y estrellado U y un camino cerrado regular a trozos ¡

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140

Capítulo 8: Funciones analíticas

cuyo rango,

r , está contenido f( z )Ly(z ) =

~ 27l'Z

en U . Si f es holomorfa en U, entonces

1

f(w) dw

"'( W -

r

Vz E U -

Z

Demostración.- Consideremos la función g : U

----4C f(w)-f( z)

w

-;

g(w)

= { f'(~r

si w

=1=

z

SI W

=

Z

que es una función holomorfa en U - {z } y continua en z. Por lo tanto, según el teorema de Cauchy-Goursat,

i

g(w)dw = O

Es decir,

1f(w)dw-f(z) l~dw =O "'(w - z

"'( w- z

1

f (w)dw- f (z)27l'i J"'((z) =0 O "'(w - z Combinando el lema 8.1 con el teorema 8.2, obtenemos finalment e la equivalencia entre funciones analíticas y holomorfas. Teorema 8.3 Sea f holomorfa en el abierto U . Enton ces : a) f es analítica en U, b) la serie de Taylo r de f centrada en el punto a E U converge a f en la bola {z E C :I z - a 1< R} , siendo R la distancia de a a la frontera de U, c) las derivadas sucesivas de f en un punto cualquiera a E U vienen dadas por

f n) ( a )

--

~. 2n

1

C(a,r)

f (tu )

(w - a) n+l

d tu, O < r < R , n = O, 1,2, .. . (8.6)

(fórmula integral de Cauchy para las derivadas) .

La función f( z) = _ 1_2 es holomorfa para cualquier l+ z ± i. Por lo tanto, analítica en el abierto U = C - {i, -i} según

Ejemplo.-

z

=1=

O

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Funciones holomorfas en un abierto

141

el apartado a) del teorema anterior. Además, la serie de Taylor de f alrededor del punto a = O, apartado b), converge para 1z 1< 1. Dicha serie es fácil de determinar recordando la serie geométrica: se trata de la suma de la serie geométrica de razón - Z2. Por lo tanto,

f(z) = _1_ = 1 + Z2

~(-ltz2n

1z 1<

f:'o

1

Ejemplo.- Vamos a calcular la integral 1=

1

eZ

-dz

C(0,2) z3

Por el apartado c) del teorema 8.3, si f(z) 1"(0) = exp(O) = 1 = 22!

.1 e: dz

?rZ

luego 1 = 8.2.1.

= exp z: C(0 ,2) Z

?rí.

LA SERIE BINÓMICA

Es ésta una serie de potencias que resulta muy útil si se intenta sumar series numéricas o desarrollar en serie de Taylor algunas de las funciones más importantes (logarítmicas, inversas de las trigonométricas, etc.). Para construirla, vamos a tratar de extender la famosa fórmula del binomio de Newton a exponentes no necesariamente naturales: sabemos que z EC, m=0,1,2, ... y pretendemos obtener una expresión análoga para (1

+ z)"',

Para ello , la primera dificultad estriba en la definición de ( tQue ya es pretender, si se tiene en cuenta que (1 siempre , una infinidad de funciones.

+ z)'"

~

a E

c. t

) para

no es una sino , casi

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Capítulo 8: Funciones analíticas

142

un valor complejo de

0:.

. que si (m) El problema' es n

m! (m-n)!n!'

o: ) debería ser ( _ O:!)' " lo que nos obligaría a definir o:! para ( m o: m .m. o: E C. t Ahora bien, dado que

m) ( n

=

m(m - l)(m - 2)··· (m - n + 1) n!

también es natural la siguiente definición:

Definición 8.3 Si o: es un número complejo, entonces

°

si n = si n = 1,2, ... Observemos que, si n, m E N Y m

< n, entonces ( : )

0, de

modo que

(1

.

+ z)m =

E : +00 (

)

zn

Así que vamos a considerar la serie de potencias (8.7) que llamaremos serie binómica. Su radio de convergencia es +00 si o: E N U {O}, ya que en tal caso se trata de una suma finita. En otro caso,

+

1n- -11= l =1 l, m n-++oo

luego la serie (8.7) converge, para t ica.

1z 1<

o: - n

1, a una cierta función analí-

t En realidad , esto lo haremos en el capítulo 13.

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143

Vamos a probar que esa función es precisamente la determinación principal de (1 + z), es decir, la función

g(z) = (1

+ z) =

1z 1< 1

z e log(1+ ),

La función 9 es holomorfa, y su derivada es

--61--------

g'(z) = a(l + zt luego

(1 + z)g'(z ) = ag(z) (8.8) Si escribimos 9 por su serie de Taylor +00

g(z) = ¿anz n , n=O

1z 1<

(8.9)

1

y substituimos en (8.8), resulta: +00

(1

+ z) ¿

nanz n- 1 =

n=l

+00

¿((n + l)an+l n=O

+00

¿

aanz n

n=O

+00

+ nan)zn = ¿

aanz n

n=O

Y, de aquí,

n=O,1,2, ... es decir,

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144

fórmula recurrente que nos va a permitir determinar los coeficientes a n :

g(O)

1 Q:

1

",(", -1) 2

",(", -1)(",-2) 3·2

Con lo cual, hemos logrado probar que, si (1 minación principal de la potencia,

+ z)'"

representa la deter-

(8.10)

Ejemplo.-

La serie geométrica puede reencontrarse como un caso particular de la serie binomial: puesto que la función f(z) puede escribirse como

=l!Z

. f( z)

= (1

- Z) -l

teniendo en cuenta (8.10), tenemos que:

Si calculamos los números combinatorios

-1) (-1)(-1-1)···(-1-n+1) n = = (-1) ( n n! para

n = 1,2, ... y por lo tanto

f(z) = 1 +

+00

L

+00

zn =

n=l

L

zn

n=O

Ejemplo.- Vamos ahora a desarrollar en serie de Taylor la función f ( z)

= (1

1 _ z2)1/2

=

(2

1- z )

_! 2

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Las consecuencias

(eligiendo la determinación principal de la potencia). Puesto que

"( -} )

(-~)( -~ - 1)··· (-~ - n

+ 1)

n! 2n-1

13

( _l )n 22' .. - 2n! n I · 3· .. (2n - 1) (-1 ) 2nn! '

n =1 ,2, . . .

Resulta

f(z)

1 (1 - Z2) 1/2 1+

+ ¿oo( : n=1

8.3. 8 .3.1.

-1

)n1.3 .. . (2n -1 )( 2)n - z 2n n!

LAS CONSECUENCIAS D ESIGUALDADES DE CAU CHY. TEOREMA DE L IOUVILL E

Supongamos que f es una función holomorfa (analítica) en la bola abierta B ( a, R), R > O Y sea r / O < r < R. Puesto que la circunferencia C(a, r) es un compacto, 1 f 1 tendrá un máximo Mr en dicha circunferencia: Vz E C(a, r) 1f(z) 1::; M r Si tenemos en cuenta la fórmula integral de Cauchy para las derivadas (8.6),

¡nl(a) = ~

r

f(w)

27ri JC(a,rl (w - a)n+1

dw

n =O , 1,2 , ...

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Capítulo 8: Funciones analíticas

tomando valores absolutos en ambos miembros, obtenemos

1¡n)(a) 1= ~ Ir 211"

f(w) dwl < ~211"r M r (w - a )n+1 - 211" rn+l

lC(a ,r)

es decir, n=O,1,2, ...

(8.11 )

fórmulas que se conocen con el nombre ~e desigualdades de Cauchy. Su principal consecuencia es el teorema de Liouville, que probaremos a continuación.

Definición 8.4 Una función f :

e ----+ e,

derivable en todo el plano

complejo, se denomina entera.

Teorema 8.4 (Teorema de Liouville) Si f es una función entera, entonces, o bien f es constante, o bien f no está acotada. En otras palabras, las únicas funciones enteras acotadas son las funciones constant es. Demostración.- Supongamos que f es entera y acotada:

1f(z)

3M > O /

I~

Vz

M

E

e

Como consecuencia, para cualquier a E e, si M r es el máximo de 1 en la circunferencia C(a, r), tendremos que M r ~ M , y, aplicando la desigualdad de Cauchy para n = 1, obtenemos 1

f

1f'(a) I~

M r

Va E

Tomando límites cuando r tiende a

1f'(a) luego f'(a) = O Va E

eyf

I~ O

e,

Vr> O

+00

resulta

Va E

e

es constante.

O

Del teorema de Liouville podemos deducir una nueva demostración del teorema fundamental del álgebra: en efecto, si suponemos que P(z) es un polinomio no constante y que no tiene raíces complejas, entonces

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147

Las consecuencias

la función f (z) = 1/ P( z) es entera. Según el teorema de Liou ville, f (z) no podría estar acotada. Sin embargo, dado que límz -+ oo 1P( z) 1= +00, se tiene que lím z -+ oo f(z) = O, así que

::Ir > O / 1f (z) 1< 1 si 1z 1> r Por otra parte, como el disco 1 z 1:::; r es compacto, en dicho disco, y

(8 .12)

f

::1M > O / 1f (z) 1:::; M si 1z 1:::; r

está acotada

(8.13)

De (8.12) y (8.13) se deduce entonces que 1 f(z) 1:::; 1 + M

Vz E C

en contradicción con el hecho de que f no estaba acotada, con 16 que se concluye la demostración. . En el capítulo 7 nos había sorprendido el hecho de que las funciones trigonométricas no fueran acotadas. Ahora es evidente que no podían serlo.

8.3.2.

PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS

Diremos que u~a función f tiene un cero aislado en el punto a E C, o que a es un cero aislado de la función f, si f( a) = O y existe r > O de forma que si O O de modo que la bola 1 z - a 1< R esté contenida en U. Por el teorema 8.3, f coincide con su serie de Taylor en dicha bola: +00

L cn( z -

f( z ) =

at

Vz /

1z

- a

1< R

n=O

Puesto que f es no constante, alguno de los coeficientes Cn ha de ser no nulo. Además, Ca = f( a) = O, luego existe un primer entero positivo, p, de modo que cp -¡:. O.'¡ Por lo tanto , +00

f(z)

=L

cn( z - at

Vz /

1z - a 1< R

n=p

Si hacemos el cambio n=m+p , obtenemos +00

f( z)

=

L

cm+p(z - a)m+p

Vz /

1z -

m =O ~ Se dice entonces que

f ti ene un cero de orden

p en a.

a

1<

R

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149

Las consecuencias

es decir,

f(z)

= (z -

+00

a)P

L

cm+p(z - a)m

= (z -

a)Pg(z)

m=O

siempre que 1z - a 1< R. Por otra parte, g( a) = cp i=- O y, por la continuidad de g, existe r ~ R de forma que g( z ) i=- O siempre que I z - a 1< r . Ahora bien, si z i=- a, (z - a)P i=- O, luego

f (z) i=- O

si O O / 1w - z 1< R

1f(w)

===?

I~I f( z )

1

(8.14)

Tomemos un radio r / O < r < R: según la fórmula de la integral de Cauchy, 27rif(z)

=

f(w) --dw

1

C (z,r) W -

=

1

Z

2 11"

o

f( z +ré t ) " "t riettdt re'

=

1 2

11"

o

f( z

+ re,t" )idt

tomando módulos , ¡ 211"

27r 1f( z) I~ Jo luego

O~

1 2

11" {I

f( z

1f( z + re it ) 1dt

+ reit ) 1-

1 f( z ) I}dt

~O

donde la última desigualdad proviene de (8.14). Tenemos entonces que ¡211"

Jo {I f( z + re

it

)

1- 1 f( z) I}dt

=O

donde el integrando es negat ivo o nulo para todo t, luego ha de ser nulo, es decir:

f(z)

= f(z + reit)

luego f(z) = f(w) si constante. O

si O ~ t

1 z - w 1< R,

~

27r, O < r < R

y, por el corolario 8.1, f es

Corolario 8.2 Si f es holomorfa en el abierto U y J( e U es un compacto, entonces el máximo de f en J( se alcanza en la frontera de J(.

O

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Las consecuencias

8.3.4.

LA REGLA DE L'HoPITAL

Si f y 9 son funciones derivables en un entorno de a y si f (a) = g( a) = O, entonces se puede calcular el límite lím z -+ a ~ mediante la regla de l'Hopital. Teorema 8.8 Si f y 9 son funciones holomorfas en B( a, r), r idénticamente nulas, y si f(a) = g(a) = O, entonces

lím

f (z)

= lím

z-+a

g(z)

z-+a

> O, no

l' (z ) g'(z)

Demostra ción .- Las funciones f y 9 pueden expresarse, en B( a, r), como +00

f(z)

+00

= L: bn(z - at = (z - ay L: bn+p{z - at n=p

n=O

+00

g(z)

=

(z - a)q

L: cn+q(z -

at

n=O

Por lo tanto, f(x) = (z - a)PF(x) y g(x) = (z - a)qG(x), donde F y G son funciones holomorfas en B(z, r) y no nulas en a. Así pues,

f(z) g(z)

=

(z _ a)p-qF(z) G(z)

(8 .1 5)

Además, sin más que calcular las derivadas correspondientes, se comprueba que

1'(z) = (z _ ay-qpF(z) + (z - a)F'(z) g'(z) qG(z) + (z - a)G'(z)

(8.16)

Distinguiremos ahora tres casos: a) Si p > q, entonces los límites cuando a tiende a infinito de (8.15) y (8.3.4.) son oo. b) Si p < q, entonces ambos son O. c) Si p = q, entonces ambos límites son iguales a

F(a) G(a)"

O

Ejempl~.-

Apliquemos la regla de l'Hopital para calcular el límite

, z- z 1l m - - . z-+i Z4

+1

l' 1 i , z- i 1l m - - = l m -3 = z-+i z4 + 1 z-+i 4z 4

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Capítu lo 8: Funciones analíticas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 8.1 Probar que la función continua en el origen.

sen ~ no puede extenderse a una función

z3

INDICE DE UN CAMINO CERRADO

8.2 Probar que para, z en la componente conexa acotada de C-f, I,.¡(z) = 1 en cada uno de los casos representados en las figuras (estos caminos suelen utilizarse en diversas aplicaciones de la variable compleja):

FUNCIONES HOLOMORFAS EN CONJUNTOS ABIERTOS FÓRMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

8.3 Calcular las siguientes integrales:

a)

1r 1

eZ

b)

-dz

C(O,2) z

d)

Z

e

lc(o,2) z2(z -

g)

1)

dz

e)

C(O,2) z4

1

- - dz

C(1 ,5) z2

1 - - dz

C(3i,1O) z2

1 1

eZ

-dz

+9

c) f)

1 1

eZ

--dz C(O,2 ) z - 1 1 - - dz C(3i,1) z2 + 9

+9

8.4 Utilizar la integral

de Liouville: si acotada.

r

lC(o,r)

(z - f~~) b)dz para demostrar el teorema a z-

f es holomorfa

y no constante en C, entonces

f no está

8.5 Sean al , a2, ... , a n números complejos distintos. Suponiendo que T, 1:::: k :::: n calcular

1ak 1<

r

dz

lC(O,r) (z - at}(z - a2)'" (z - an)

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Ejercicios y problemas

8.6 Sea a un número real. Demostrar que

( 27r

Jo

ea cos t

cos( asen t )dt

= 7r

SERIES DE TAYLOR

8.7 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del origen, indicando el conjunto de puntos en los que la serie converge a f, las siguientes funciones f: 1 1 Z2 - 5z + 6 az+ b 8.8 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto zo, indicando el conjunto de puntos en los que la serie converge a f, en los siguientes ,=asos:

1

a) f (z) = - , z e) f (z ) = cos z, w2 e) f( z ) = ( e dw, J[O,z)

1

f (z) = 2"' z d) f (z) = sen z,

Zo = 1 Zo = ~ Zo = O

b)

f) f (z)

= ( J[O ,z)

senw dw , w

Zo = 1 Zo = i Zo = O

8.9 a) Desarrollar en serie de Taylor centrada en O la función 10g(1 - z ). b) Utilizar el problema 7.9 para encontrar el desarrollo de Taylor de (log(l- Z))2.

8.10 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto -1 + i la función = log z. ¿Converge la serie a f en todo el círculo de convergencia?

f( z) Los

NÚMEROS DE BERNOUILLI

8.11 a) Probar que la función

f(z) = {

(-l

si z si z

f

O

=O

es analítica en O. oo b) Si f( z ) = ~ zn es la correspondiente serie de Taylor, los números bn son los llamados números de Bernouilli. Probar que b1) Bo = 1

L:t

b2) ( n+l) O Bo b3) B2n+l = O

+ (n+l) 1 "in ~ 1

Bl

+ ... + (n+l) n

Bn

=O

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154

8.12 a) Utilizar los números de Bernouilli para hallar el desarrollo de Taylor de la función (z) = { z cot z s~ z :1 O g 1 SlZ=O

alrededor del origen. b) Hallar el desarrollo de Taylor de tan z alrededor del origen. Sugerencia: probar que tan z = cot z - 2 cot 2z. LAS CONSECUENCIAS DESIGUALDADES DE CAUCHY

8.13 Sea f una función entera. Probar que si 3M > O de modo que If( z )1 ::; A Izl Vz E C, entonces f es lineal, es decir, f(z) = az para algún a E C. PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS . PRINCIPIO DE IDENTIDAD

8.14 ¿Puede existir una función analítica en O y que en z = 1 , ~ , !, tome los valores indicados en los siguientes apartados?

L ...

a) 0,1, 0,1, O" 1, ... 1 2 3 4 5 6 d) 2'3'4'5'6'7· ··

8.15 ¿Puede extenderse a una función entera la función sen l~z ? 8.16 ¿Puede extenderse la función (real de variable real) derivable en O

f( x)

={

3

x sen O

~ s~ x :1 O SI X = O

a una función analítica en O? ¿Y a una función holomorfa en O? 8 .17 Supongamos que la función f es analítica y no constante en todos los puntos del compacto J(. Probar que entonces el número de ceros de f en J( es finito. PRIN CIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO

8.18 Sea R la región formada por el triángulo de vértices 0, 2, i junto con su interior. Hallar el punto o los puntos en los que el módulo de la función f( z ) = (1 + z)2 alcanza su máximo absoluto.

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155

8.19 [Principio del módulo mínimo) Sea f derivable y no constante en el abierto U. a) Probar que si I f I tiene un mínimo relativo en algún punto a E U, entonces f( a) = o. b) Si K e U es compacto y el mínimo mínzEK I f( z ) I no es cero, entonces dicho mínimo se alcanza en la frontera de K. c) Hallar los puntos en los que la función del problema 8.18 alcanza su mínimo absoluto. d) Poner un ejemplo que demuestre que los resultados de este problema no tienen porqué verificarse si el mínimo (absoluto o relativo) es o. 8.20 [Teorema de la aplicación abierta) Sea f holomorfa y no constante en el abierto U. Demostrar que si V e U es abierto entonces f(V) es abierto. REGLA DE L'HOPITAL

8 .21 Calcular los siguientes límites:

sen z lím - z-+O z

lím z2(z - i)5 z-+i (z2 + 1)5

FUNCIONES ARMÓNICAS

Una función de dos variables reales, u(x, y) , que admite derivadas parciales continuas al menos hasta el orden 2, en el abierto V, se dice armónica si verifica la ecuación de Laplace ~ + ~ = O. Si v(x,y) es también armónica y está ligada con u por las condiciones de Cauchy-Riemann, se dice que v es armónica conjugada de u. En este grupo de problemas se estudia la relación entre las funcion es armónicas y las holomorfas. Supondremos siempre que V es un abierto de JR2 y U la versión compleja de V, es decir, U = {x + iy: (x,y) E V}. 8.22 Demostrar que f = u + iv es holomorfa en U si, y sólo si, u y v son armónicas (y v es armónica conjugada de u) en V . 8.23 Si v es armónica conjugada de u ¿de qué función puede decirse que es armónica conjugada de v? 8.24 Probar que si u es armónica en V y V es estrellado, entonces u es la parte real de alguna función derivable en U, es decir, existen armónicas conjugadas de u. Probar que dos armónicas conjugadas de u difieren en una constante. Sugerencia: si u es la parte real de f , entonces f' = ~~ - i~;.

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Capítu lo 8: Funciones analíticas

8.25 Hallar el valor de a para que la función u(x, y) x3 armónica y encontrar todas las armónicas conjugadas de u.

+ axy2

sea

8.26 [Principio del máximo] Sea u armónica y no constante en V. Probar que u no tiene ningún máximo relativo en V y por lo tanto, si J( e V es compacto, el máximo de u en J( se alcanza en la frontera de J( . Sugerencia: localmente u es la parte real de una función holomorfa f. Aplíquese el principio del módulo máximo a ef(z). 8.27 Probar que si u es armónica y acotada en R? , entonces es constante.

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Capítulo 9

Series de Laurent. El teorema de los residuos

Hemos visto en el capítulo 8 que una función holomorfa en un disco Iz - al < r puede expresarse de forma única como una serie de potenCIas. Veremos ahora que si f es analítica en un anillo

A(a; r, R)

o ~ r < R ~ +00

(9 .1)

entonces f se expresa, también de forma única, como una serie de potencias bilátera +00

f(z)

= L

an(z - at

(9.2)

n=- (X)

a la que llamaremos serie de Laurent de f en A( a; r, R). El caso más interesante, por sus múltiples aplicaciones, es el de las funciones holomorfas en excepto en algunas singularidades aisladas, ai , es decir, cuando f es derivable en A( ai ; 0, Ri ), ya que entonces la serie de Laurent permite deducir el teorema de los residuos.

e

9.1.

SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO

Supongamos que f es derivable en el anillo (9.1). Demostraremos que entonces f puede desarrollarse como una serie de Laurent de la forma (9.2). Además, los coeficientes a n , n E Z de esta serie tienen el 157

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

mismo aspecto formal que los coeficientes de la serie de Taylor*:

1

f( w)

(

(9.3)

a n = 21l'i JC(O,s) (w _ a)n+l

donde s es cualquier radio comprendido entre r y R. El razonamiento que seguiremos es análogo al empleado pa~a probar el desarrollo de Taylor: en primer lugar, notemos que el anillo 9.1 no es estrellado y por lo tanto, la integral a lo largo de una circunferencia de una función holomorfa no tiene porqué ser nula. Lo que sí que es cierto, es que esta integral es independiente del radio de la circunferencia: Lema 9.1 Sea 9 holomorfa en A(a; r, R). La función

G: ]r,R[ s

--t -7

e G(s)

= (

JC(a,s)

g(w)dw .

es constante. Demostración. -

G( s) = { ,

, g( w )dw = (27r g( a

JC(a,s)

+ seit)iseitdt

Jo

Aplicaremos el teorema de derivación paramétrica (teorema 3.4): la función h( s, t) = g( a + seit)isét es continua y diferenciable con derivadas parciales continuas (ya que 9 es holomorfa) en ]r, R[x [O, 21l'], siendo estas últimas ah as (s, t)

' 2' " = g( a + se't)ise ,t + g( a + se' t)ie't

~~ (s, t) = g( a + se it )( iseit )2 + g( a + seit )( _se it ) luego

-ah at (s, t) =, iS -ah as (s, t) -Tienen el mismo aspecto formal, pero no son las derivadas sucesivas de f, ya que de ésta no sabemos ni siquiera que esté definida en a,

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159

Así pues, G es derivable y

luego G es constante. O Ahora ya podemos deducir la versión de la fórmula de la integral de Cauchy para un anillo.

Teorema 9.1 (Fórmula de Cauchy para el anillo) Supongamos que f es holomorfa en el anillo A( a; T, R) . Entonces, para todo z en el anillo, si se eligen Tl y T2 de modo que

se tiene f(z) = _1

27ri

r } C (a,T2)

f(w) dw _ _ 1 w- z 27ri

r } C (a ,T¡)

f(w) dw w- z

Demostración.- Sea z un punto cualquiera del anillo. Sobre A( a; Tl> T2) definimos la función

Es evidente que g es holomorfa en todos los puntos salvo, quizás, en w = z . Veamos que aquí también lo es: puesto que f es holomorfa en z, existirá un 8 > O de modo que f se desarrolla en serie de Taylor en el disco de centro z y radio 8, 00

f(w) = I>n(w n =O

zt

1w -

z

1< 8

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

Por lo tanto, si O -l Z Así pues, 1

= 211"i(O + (1 -

e- 1 ))

= 211"i(1 -

e- 1 )

Ejemplo.- . Cálculo de la integral 1=

r

J C(o, r)

z 2 sen(1/ z )dz

La función tiene un único punto singular en a = O. Se trata de una singularidad esencial , ya que 2 2~ n 1 1 ~ z sen(l/ z) = z f:'o(-l) (2n + 1)! z2n+l = f:'o(-l

Además, 1

Rf (O) = - 3! = luego

1

-6

1 t (2n 1+ 1)! z 2n-1

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173

Ejercicios y problemas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO

9.1 Desarrollar en serie de Laurent la función f( z) en el anillo A(zo; r, R) siendo

a) f( z ) = Z~l b) f( z) = z ~l c) f( z) = z ~l d) f( z) = Z ~l e) f( z ) = (z-a t(Z-b) (O f) f(z) = (z-a)(z - b) (O g) f( z ) = e 1/ z h) f( z ) = v'1~z2

b resulta

= 21riR¡(b) = i

J

y como J

= 1 por el lema de Jordan , 11 = ~e-ab, 12 = +00 cos at d

1 o

10 .1.4.

e- ab

1r

- - t= - e t2 + b2 2b

o. Así pues,

-ab

I NTEGRA LES D E FUNCIONES CON POLOS EN EL EJE REAL

P ara calcular integrales similares a las est udiadas en las secciones 10.1.2. y 10 .1.3., pero en las cu ales la función F( z) tiene algún polo simple en el eje real, haremos uso del siguiente lema. Lema 10.3 Supongamos qu e

f

tiene un polo simple en a E IR.

y sea Ir el camin o

Ir : [a,;3]

-+

e,

I(t)

= a

+ re it

Enton ces,

líml,r F(z)dz

r--+O

=

(;3 - a)iRF(a)

a

P .

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186

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

Demostración.- El desarrollo de Laurent de F alrededor de a puede escribirse como

donde F 2 (z) es la parte regular de F. Así pues ,

j

F(z)dz

= a-l

"Ir

j

~a + j

"Ir Z -

"Ir

F2(z)dz

(10.3)

Puesto que F2 es holomorfa en un entorno de a, admite una primitiva G( z ), luego

j

F2(Z)dz = G(a + re i/3) - G(a + reio)

"Ir

y tomando límites

límj F2 (z)dz = G(a) - G(a) = O

r-+O

"Yr

Por otra parte,

-dz- =

j

"Ir Z -

a

¡/3 ----¡¡dt rié = i((3 - a) t

o

re

Tomando entonces límites en (10 .3) se obtiene el resultado deseado . O

Ejemplo.- Cálculo de

+00 sen t

1 o

-dt t

Procediendo de modo análogo al empleado en la sección 10.1.3. llamamos +oo cos t +oo sen t J2 = --dt JI = --dt

j

- 00

j

t

- 00

t

Entonces, puesto que la función se;t es par, la integral buscada es Hagamos J = JI + iJ2 Y consideremos la integral

J=

éz

j -dz z "1

I;.

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Cálculo de integrales reales

-R

-r

187

R

r

Figura 10.3: El Camino I donde I es el camino de la figura (10.3). Obsérvese que éste es análogo al camino empleado en los apartados anteriores, pero hemos evitado pasar por el origen (mediante una sez micircunferencia) ya que la ·función F(z) = e: tiene una singularidad en O. Puesto que F no tiene ningún punto singular en el interior de " tenemos que J = O. Por otra parte, según el lema de Jordan,

lím R-+ oo

ir

éz

-. dz = O rR zz

-,r,

Además , el camino opuesto de Ir, es el del lema 10.3 para a = 0,0: = O y f3 = 'Ir, siendo a un polo simple con residuo 1 ya que

éz

1

00

in Z n

1

i

z

z

z

n=O

n!

z

1

2!

-=-2:-=-+---+ ... Por lo tanto,

lím r-+O

¡

eiz

-. dz = -'lriR¡(O) = -'lri

Ir ZZ

Teniendo en cuenta que

J = ¡ F +

kR

J-r F + ¡~ F + h¡R F = O -R

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

188

y tomando límites para r

OY R

---t

j

0= o bien,

---t

+00

+oo F( z )dz -

- 00

obtenemos 'Tri

z = 'Tri j +oo -cosz-zdz + i j+oo -senz-dz - 00

- 00

Luego

1

+ 00

o

sen z 'Tr - - dz = z 2

Ejemplo.- Cálculo de la integral

I_ -

j+oo __d_t_ _ t(t 2

- 00

-

4t

+ 5)

La función 1

f(z)

=

t(t2 - 4t + 5)

tiene tres polos simples: Zl

= O,

Z2

= 2 + i,

Z3

= 2- i

Y Z3 son siempre exteriores al camino ,. En cambio, para R y r bastante grande y pequeño respectivamente, Z2 es interior a,. Por lo tanto Zl

Si calculamos el residuo obtenemos

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189

Cálculo de integrales reales

Por lo tanto, teniendo en cuenta el Lema 10.1, lím

1 J

r -+O,R-+ oo

=

'r

f( z )dz

&

+ oo

- 00

+ lím

t(t2-4t+5)

r-+O

1

dz

'rrz(z2-4z +5)

= _27ri1 + 2i 10 es decir,

1

= 27r -5

7ri

-

l'1m

1

HO

dz

Ir Z(Z2 -

4z

+ 5)

Si ahora aplicamos el lema 10.3,

'1

hm

r -+O

Luego 1 =

'rr

dz z(z2 - 4 z

. 7ri + 5) = -7rzR¡( O) = - 5

2;. ( ) r+ taFtdt Jo oo

10.1.5 .

I NTEGRALES DEL TIPO

Sea F( z) = ~¡;~ una función racional, y a un número real pero no entero. Supongamos que F no tiene puntos singulares en [O , +00[, que m y n son los grados de P y Q respectivamente y que m > n + a + l. Entonces la función

G( z ) = F( z )ea 1og"t es holomorfa en el abierto estrellado e - [O, +ooL excepto en las singularidades {al , . .. , a p } de F. Por lo tanto, si 1 es el camino de la figura 10.4 , para R grande y r pequeño,

Ahora bien,

j12 G

tiende a O cuando R

--+

+00

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190

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

• •

14

11

•

= 11 + 12 +

Figura 10.4: 1

13 + 14·

ya que, para 1z

1= R, tenemos 1exp(alogll"z) 1=1 expa(ln 1z 1+ iargll"z) 1= ea lnlzl = R a

~M>O

y

/

I~~:~I ~ R~n

como en los lemas 10.1 y de Jordan; por lo tanto,

que tiende a cero porque hemos supuesto que m - n > a + 1. Veamos que también resulta

lím

r-+O

1 G(z)dz 14

= O

Dado que F(z) es continua en O, ~M'

>O

y ~ ro

Entonces, para r

~

> O / 1z

I~ ro =?

ro,

¡

1

14

G(z)dz

I~ 27rrM'r a

1F(z) 1< M'

http://carlos2524.jimdo.com/ Cálculo de integrales reales

que tiende a O cuando r

~

191

o.

Por lo tanto podemos concluir que lím

r--+O,R--++oo

{fJ

G(z)dz +

,1

t

f

J,3 G(Z)dZ} = 21C'i k=l Ra(ak)

(10.4)

Ahora bien, cuando 1" ~ Oy R ~ +00, los caminos /1 y 13 tienden a convertirse en el eje positivo recorrido en el sentido O ~ +00 Y +00 ~ O respectivamente, pero la determinación que hemos escogido para za, es decir,

exp(alog1l"z)

= exp(a(1n 1z 1+iarg1l" z)) =1 z

la exp(aiarg1l"z)

es discontinua precisamente en el semieje real positivo. Observemos que, para un punto z de /1, el argumento arg1l" es ligeramente mayor qu e cero, y que lím

r--+O,R--++oo

arg1l" z = O

En cambio, si z se encuentra sobre 13, su argumento es casi 21C', Y lím

r --+O,R--++oo

arg1l" z = 21C'

Así pues , lím

r--+O,R--++oo

za =l z la

sizE / 1

y

de lo cual concluimos lím

r--+O,R--++oo

{fJ,! G + Jf G} '3

10+

00

t aF(t)dt -

10+

00

t ae21l"ia F(t)dt

(1 - e2 1l"ia)I

Teniendo en cuenta la igualdad (10.4): (10.5)

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

(puesto que a

rt. Z,

e 2".ai =1= 1).

Ejemplo.- Cálculo de la integral 1 =

r oo 1rt+ t dt.

Jo

2

z) tIene . d os po1os d e pnmer or d en en A qUl,' G() z = exp( a lag". 2 al =

l+z i Y a2 = - i, cuyos residuos son

Rc(i) = lím z-+i

(z - i)ealog"z . . (z - z) (z + z)

2i

e~ai

Rc(-i) = -. -2z

luego

1

=

21fi. { e ~~i 1 - e- "" 2z

_

e 32".ai }

= V2 1f

2z

2

Sugerimos al lector como ejercicio el cálculo de esta integral repitiendo el proceso teórico, es decir, sin aplicar directamente la fórmula

(10.5).

10.2.

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE

Rou-

CRÉ Para terminar este capítulo vamos a obtener una interesante aplicación del teorema de los residuos a la localización de los ceros de una función: sea f holomorfa en el abierto estrellado U excepto en un número finito de polos {b l , b2 , ... , bp }. 1--------- - -----, Sea, un camino cerrado, regular a trozos, contenido en U y que no pase por ninguno de los ceros y polos de f. Sean {al, a2, ... ,aq } los ceros de f interiores a , . (¿Por qué forman un conjunto finito?) Y consideremos por último la función

g(z)

f'(z)

=

f(z)

10 10

1

o

1

:

1 1

o

o

o

1

,o

o

1

o

1

1

1 o o

o

1

100

L __

1

o

1 1

UI:

~

1

___0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 o ceros d e

f

o polos de f

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193

Principio del argumento. Teorema de Rouché

Es evidente que las únicas singularidades de 9 son los ceros y polos de f. Por lo tanto, según el teorema de los residuos , (10.6) Calculemos estos residuos: si a es un cero de ces, en un entorno de a,

f(z)

=

f,

de orden m, enton-

(z - a)mh(z)

donde h es analítica y no se anula en a. Por lo tanto,

f'( z)

=

m(z - a)m-1h(z) + (z - a)mh'(z) f' (z) f( z)

= ~ + h'(z ) z- a

h(z)

luego Rg(a) = m . Es decir, el residuo de ~l:} en un cero de precisamente su multiplicidad. Si ahora b es un polo de orden n de f, tendremos

f(z)

=

f

es

(z - btnh(z)

y repitiendo el mismo razonamiento, Rg(b) = -no Esto es, el residuo de ~((:l en un polo de f es precisamente su orden (con signo negativo).

Combinando estos dos resultados con (10.6), obtenemos

siendo mk la multiplicidad del cero ak, Y nk el orden del polo bk . En particular, si , es un contorno de Jordan, es decir, un camino cerrado simple y orientado positivamente (I"(( z) = 1, si z es interior a

,); _1_

¡ f' (z) dz

27ri "( f( z )

=

N _ P

(10.7)

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194

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

donde N Y P son respectivamente el número de ceros y polos de f contados tantas veces como indique su multiplicidad y su orden respectivamente. Para interpretar geométricamente la relación (10.7) hagamos el cambio de variable w = f(z), dw = f'(z)dz, con lo cual obtenemos

-1 27l'i

1,

dw= N - P -

fa,,! W

es decir, (10.8) La igualdad (10.8) se conoce como principio del argumento, e indica que (con las condiciones puestas al principio de la sección) el número de ceros menos el de polos de f interiores a, coincide con el número de vueltas que el camino f o , da alrededor del origen. Como consecuencia del principio del argumento vamos a probar el teorema de Rouché.

Teorema 10.1 (Teorema de Rouché) Sean fl y f2 funciones holomorfas en el abierto estrellado U, y sea, : [a, bJ ~ U un contorno de Jordan que no pase por ninguno de los ceros de f1. Si

1fz(¡(t)) 1 O se tendrá

11z(z) 1< 1 11(Z)

si 1z

1:::; r

Por lo tanto, 11 y 11 + h = 1 tienen el mismo número de ceros en el disco 1 z 1:::; r. Dado que 11 tiene un cero de orden n en dicho disco, el número de ceros de 1 interiores a él es n ::::: 1.

Ejemplo.- Determinemos el número de ceros de la ecuación 2z 5

-

6z z + z

+1 =

O

contenidos en el anillo A(O; 1,2). Para ello hallamos en primer lugar los ceros contenidos en el disco 1z 1< 2. Si 11( Z) = 2z 5 y 1z(z) = -6z z + z + 1, entonces, para 1z 1= 2 se tiene 1h(z) 1:::; 26 1JI(z) 1= 64 luego la ecuación tiene sus cinco raíces en el disco

1

z 1< 2.

Veamos cuántas de ellas están en 1 z 1:::; 1. Elegimos gl(Z) = -6z 2 Y 92(Z) = 2z 5 + z + 1. Para 1z 1= 1 resulta

1gl(Z) 1= 6 luego dos-raíces de la ecuación están en este último disco. Por tanto, en el anillo A(O; 1,2) se encuentran tres raíces de la ecuación dada.

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197

Ejercicios y problemas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CÁLCULO DE INTEGRALES REALES

10.1 Calcular las siguientes integrales: 2'1r

dt , a> 1 o a + cos t 'Ir cos33t c) dt - 'Ir 5 - 4 cos 2t 2'1r dt e) , a o (1 - 2acost + a2)2

a)

1 ¡ 1

dt 1 + sen 2 t

¡ 2'1r

b)

Jo 2'1r

1

d) o

i

±1

f)

¡27r Jo

dt b + cos t )2' a > b > O 2 (cos 3t) dt ,a i ±1 (1- 2acost + a2)2 (a

10.2 Demostrar que

r

Jo

2n

(2n)!

tdt

sen

n EN

= 22n(n !)2 7r

10.3 Calcular las siguientes integrales:

a)

¡ ¡

- 00

c)

2t2 - 1

+oo +oo

- 00

r oo e) Jo

t

4

+ 5t 2 + 4

r oo

dt b)

cost (2 2)( 2 b )dt, a, b > O,a i b t +a t + 2 dt (1+t 2)n ,nEN

J

- 00

dt 2 t + 2t + 2 t2

+ 00

d)

1

(

o

1+t

2)2dt

10.4 Calcular las siguientes integrales:

a)

¡

- 00

1

+ 00

c)

cos t

+oo

(t 2

tsen at

~b2dt, a,b

o t +oo e) (

¡

- 00

+ a 2)( t 2 + b2 ) dt,

+

a

b)

> b> O

>O

d

cos t

t

+ a )2 + b2dt ,

r oo tsenat d t + t,

L oo

1

+ 00

) o

4

4

a

>

O

t3 sen t dt (1+t 2)(9+t 2)

a, b > 0

10.5 Calcular las siguientes integrales:

¡ ¡

t cos t dt - 00 5t + 6 +oo cos at c) - -3dt , a > O - 00 1- t

a)

+oo

t2 -

¡+oo

sen t (t2+4)(t_ 1)dt

¡+oo

sen at t(t2 + b2) dt , a> O, b i O

b)

Loo

d)

Jo

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

198

10.6 Calcular la integral

+= sen2 t - 2-dt o t

i

(Sugerencia: utilizar la función e2~'2-1.) 10.7 Calcular la integral

+= sen3t - 3-dt t 3 (Sugerencia: utilizar la fu'nción e ;'-;/'+2.)

i

o

10.8 Calcular las integrales

a)

i

+=

lnt

-2- -2dt, a> t +a

o 10.9 Calcular las integrales

a)

+=

i¡+= o

c) Jo

°

b)

+= In2 t -2- -2dt, a> o t +a

i

tp - l

- - dt, O < p < 1 1 +t tP (1 + t 2 )2dt, -1 < p < 3

b)

i

+=

o

tP -

1

-2

+t

dt, -1

° Co y

¡C+ib b-+= 27rt c-ib

a) F(z)

c) F( z) e) F( z) ,

f) F(z)

1

= -z

a

= z2 +a2' = (z -

a>O

a

b)2

+a2'

b) F(z)

1 = -, zn

d) F( z)

= z 2 + a 2'

z

a> 0, bE R

z - b

= (z- b)2 +a 2'

a> O, bE R

10.11 [Integrales de Fresnel) Probar que

i+= v'2i += io sen t dt = o cos t2dt = -4 2

(Sugerencia: calcular J"'( é

z2

dz siendo I el camino de la figura.)

n EN

a>O

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199

Ejercicios y problemas

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE ROUCHÉ

10.12 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al círculo de radio R:

a) z8 - 4z 5 + Z2 - 1 = O, R = 1 c) z6 - 5z = 25, R = 2 e) z9 - 2z6 + z2 - 8z - 2 = O, R = 1

= 25, R = 1 d) z3 + z + 1 = O, R = ~ f) 27z11 - 18z = 10, R = 1 b) z6 - 5z

10.13 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al anillo de radios r y R.

a) z6 - 5z =.25 b) Z6 - 5z = 25 c) 4z 4 - 29z 2 + 25 = O d) z7 - 5z 4 + z2 - 2 = O 10.14 Sea a

r =1 ,R =2 r = 2,R = +00 r = 2,R = 3 r=1,R=2

> e. a) Probar que la ecuación

tiene n raíces en el círculo 1 z 1< 1. b) Probar que al menos una de ellas es positiva. c) ¿Cuántas son reales? 10.15 [Un teorema de punto fijo] Demostrar que si f es analítica en el disco 1z 1::; 1 y 1 f(z) 1< 1 ' O):

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200

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

a) Z5 + z4 + 2z 3 - 8z - 1 = O b) z4 - 3z3 + z2 - Z + 1 = O e) Z5 + 5z 4 - 5 = O Sugerencia: considerar un camino semicircular formado por el segmento [Ri, - Ri] Y la semicircunferencia de centro O y radio R situada en el semiplano derecho, con R bastante grande.

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Convergencia uniforme

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Capítulo 11

Sucesiones y series de funciones de variable compleja

Dada una sucesión de funciones complejas {fn}~= l' cuyo dominio es un subconjunto A de C, se definen las convergencias puntual y uniforme del mismo modo que en el caso real, y las propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad se trasladan sin ningún problema. Ahora bien, respecto a algunos resultados que el lector recordará (y si no es así puede consultar el apéndice A de este texto) como que la convergencia uniforme de una sucesión de funciones derivables reales no implica que la sucesión pueda derivarse término a término, en el caso complejo, una vez más, se presenta una situación bastante más agradable: sólo con que la sucesión converja uniformemente sobre los discos compactos de un abierto, puede efectuarse la derivación término a término, y además, las derivadas sucesivas también convergen uniformemente en dichos discos . Para probar esta propiedad, demostraremos previamente el teorema de Morera, que es el recíproco del teorema de Cauchy-Goursat para el triángulo.

11.1.

CONVERGENCIA PUNTUAL Y UNIFORME

Definición 11.1 Sean f, f1, 12, · .. ,fn, . . . funciones complejas definidas en A e C. Diremos que {fn} converge a f puntualmente en A Sl

lím fn(z) = f(z)

n--++ oo

203

Vz E A

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

y que {In} converge uniformemente a f en A si

I ==> {I

Ve> O 3no E N n ~ no

fn(z) - f(z)

1< e

Vz E A}

Es inmediato que {In} converge uniformemente a f en A si , y sólo SI,

lím sup

n-+oo zEA

Ejemplo.- Sea O < R

1fn( z) .

f(z)

1= O

< 1 Y sea la sucesión

Entonces, {In} converge puntualmente a f( z) sup Izl~R

y como límRn

1zn 1=

sup r n O~r~R

fn( z ) = zn, 1 z 1:::; R.

= O.

Además,

= Rn

= O, la convergencia es uniforme en

{ z : 1 z 1:::; R}.

Se pueden probar exactamente igual que en el caso real las siguientes propiedades.

Teorema 11.1 (Condición de Cauchy) La sucesión {In } converge uniformemen te a f en A si, y sólo si,

Teorema 11.2 (Continuidad) Si la sucesión {In} converge uniformem ente a f en A y si todas las func iones f n son continuas en Zo E A, entonces f es continua en Zo. O A continuación probaremos el teorema relativo al intercambio entre la integración sobre cualquier camino regular a trozos y el paso al límite.

Teorema 11.3 (Integración) Si la sucesión {In} converge uniformem ente a f en el rango r del camino I y si todas las fun ciones f , fl , h , ... son integrables a lo largo de 1, entonces

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205

Convergencia puntual y uniforme

Demostración.- Sea L la longitud de ,: L uniforme tenemos , dado é > O, que 3no E N / 'in ~ no Por lo tanto, si n

li 11.1.1.

~

no ,

i

f(z)dzl

fn( z )dz -

=

li

= l(¡).

Por la convergencia

1fn( z ) - f(z) 1<

é

2L

(Jn(z) - f( z ))dzIZ(¡) 2~ <

é

O

EL TEOREMA DE MORERA

Teorema 11.4 (Teorema de Morera) Sea f una función continua en el abierto U. Si la integral de f es nula sobre cualquier triángulo contenido) junto con su interior) en U) entonces f es derivable en U.

Demostración.- Sean Zo E U y r > O de modo que

Zl

P Zo

: 1z - Zo 1::; r}

K = {z

Z

e

U

Definimos la función F:

Probaremos en primer lugar que que F' = f. Si Z, Zl E K, tenemos:

f

K z

----t

-+

e F( z )

= f¡ zo,z) f(w)dw

es holomorfa en el interior de K y

F( z ) - F( z¡) _ f( Zl) Z -

=

Zl

_1_ z - Zl

{r

J[zo,z )

f(w)dw

-1

[zo, z)

f(W)dW} - f( Zl)

Ahora bien, como por hipótesis

1

[zo ,Z , Z I ,zo )

f( w )dw = O

(11.1)

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

resulta que

r

f(w)dw -

J[zo,z]

r

=

f(w)dw

J[zo,zd

r

f(w)dw

J[Z¡,z]

Por lo tanto, (11.1) se transforma en

F(z) - F(ZI) _ f(zd z - ZI F(z) - F(ZI) _ f(ZI) z - ZI

= _1_

r

f(w)dw - f(zd

Z - ZI J [Z¡,z]

= _1_

Z - ZI

r

[j(w) _ f(ZI) ]dw

(11.2)

J[Z¡,z]

Por otra parte, por la continuidad de

f

en ZI, dado

é

> O,

:38> O / así pues, en (1 1.2) podemos tomar módulos para obtener:

Hasta aquí hemos probado que F es holomorfa en el interior de K y que F'(z) = f(z) si 1z - Zo 1< r. Ahora bien, como F es holomorfa en un abierto, entonces es analítica, luego su derivada es a su vez derivable en Zo. Como Zo es un punto arbitrario de U, hemos probado que f es derivable en todo U. O

11.1.2.

CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVACIÓN

e

Sea A e un abierto y fl, 12, .. . , f n, ... funcion es holomorfas en A. Supongamos que la sucesión Un} converge uniformemente a f en todos los círculos cerrados contenidos en A . Entonces, si elegimos uno de tales discos, para cualquier triángulo T interior a él, tendremos

!rfn(w)dw

=O

n

= 1,2,3, ...

por el teorema de Cauchy-Goursat. Por otra parte, por el teorema de integración, tendremos

lím r fn(w)dw = O JTr f(w)dw = n-++oo JT

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Convergencia puntual y uniforme

Por lo tanto, el teorema de Morera asegura que

f

es holomorfa en A.

Tomemos ahora r > O de modo que el círculo 1 z - Zo 1::; r + R continúa estando en A. Para cualquier z del círculo 1 z - Zo 1::; R, la circunferencia e (z, r) es interior a A. Aplicando la fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas, tenemos

f'(z)

= _1

f'(Zn)

= _1

f

f(w) dw

f.

fn(w) dw

21ri JC(z,r) (w - Z)2

y

21ri JC(z,r) (w - z)2

Así pues,

1

f~(z) -

1'(;;)

2~ Ifc(z,r) fn~:) ~ ~;w) dwl

1

<

~21rr~ máx 21r r Iw-zl=r

< ~

máx r Iw-zol:S::R+r

1

1

fn(w)) - f(w)

fn(w) - f(w)

1

1

y esta última desigualdad asegura que f~ converge uniformemente a f' en el disco 1w - Zo 1::; R + r (y por lo tanto en el disco 1w - Zo 1::; R). Como ahora {f~} verifica las hipótesis iniciales: es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente en los discos compactos de A, entonces podemos aplicar el mismo razonamiento para probar que {f~} converge uniformemente en los discos-cofup~ctos. En definitiva, hemos probado lo siguiente: Teorema 11 .5 Sea {fn} una sucesión de funciones holomorfas en el abierto A que converge uniformemente en los discos compactos de A a la función f. Entonces, a)

f

es holomorfa en A.

b) Las sucesiones {f~)}n, k = 0,1,2,-... convergen uniformemente en los discos compactos de A a fk). O

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11.2.

Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

SERIES DE FUNCIONES

Diremos que la serie de funciones de variable compleja z=~~ fn converge puntualmente (uniformemente) a la función f en A si la sucesión de sumas parciales {Sn} ,definida como

converge puntualmente (respectivamente uniformemente) a f en A. En tal caso, también se dice que f es la suma puntual (uniforme) de la serie, y se escribe +00

L

fn(z) = f(z),

z E A

n=l

Evidentemente los resultados de las secciones 11.1. y 11.1.2. se trasladan de inmediato a las series de funciones.

Teorema 11.6 (Condición de Cauchy) La serie formemente en A si, y sólo si,

z= f n converge uni-

p+q

VE > O .3no

N / Vp

E

~ no

Vq

E

L

N,

fn( z )

< E Vz

E A

O

n=p+l

Teorema 11. 7 (Continuidad) Si ~ fn converge a f uniformem ente en A y todas las funciones f n son continuas en Zo E A, entonces f es continua en zo. O ~ f n de funciones integrables a lo largo del camino '"Y converge uniformemente s obre el rango de '"Y a la fun ción f , y si f es a su vez integrable a lo largo de '"Y, enton ces

Teorema 11.8 (Integración) Si la serie

1

f( z) d z =

"1

+00

+00

j n=l L f n(z )dz = L j n=l "1

"1

f n(z)dz O

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209

Series de funcion es

Teorema 11.9 (Derivación) Si la serie L: f n converge a f uniformemente en los discos compactos del abierto A y si todas las funciones f n son holomorfas en A} ent onces a) f es holomorfa en A. b) Para k E N} L:~~ f~)(z) f k)(z) uniformemente en los discos compactos de A. O

De la condición de Cauchy se deduce inmediatamente el criterio de Weierstrass. Teorema 11.10 (Prueba M de Weierstrass) Sea de funcion es que verifican la condición

I fn( z ) I~ M n

Vz E A,

L: f n

una sene

n = 1, 2, ...

Si la serie L: M n converge} entonces L: fn converge absoluta y uniformemente en A. D emostración .- Sea

€

> O. Por la convergencia de L: M n , v+q

3no E N

/

Vp

~no

Vq

N,

E

L

M n u > a, representamos por ,uv su restricción al subintervalo [u , vl. ,uv está pues definido por la fórmula ,uv(t) = ,(t), u:S; t :s; v. Teorema 12.3 (Condición de Cauchy) La integral

i

g(z)dz con-

verge si} y sólo si} VE- > O 12.2.2.

3uo

> a / v>

u

>

Uo

=}

liuvg( z )dzl <

E-

O

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE

Consideremos una función f:Axf--te

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Capítulo 12: Integración paramétrica

donde A e e y r es el rango de un camino sin fin ,. Diremos que la integral f. .J(z, w)dw converge puntualmente en A si existe y es finito el límite líIIlu_+oo f"Yu f( z, w)dw para cada z E A, es decir, si fijado z E A la integral de gz(w) = f( z, w) es convergente. En tal caso queda definida una nueva función

F: A z

e

---t

F(z) = f"Y f(z, w)dw

-+

Al igual que ocurre con las sucesiones y series de funciones, la convergencia puntual no conserva las propiedades de continuidad o derivación, como se ve en el ejemplo siguiente. Ejemplo.- La función f(z,w) = integral paramétrica +00

F(z) =

1 o

l+:2w 2

es continua en

z 2

l+zw

exe

y la

2 dw

converge puntualmente en [O, +00[. Sin embargo, F no es continua, ya que mediante un cálculo directo se comprueba que, para x > O, F(x) = f mientras que F(O) = O. Siguiendo el paralelismo con las sucesiones y series de funciones introducimos un concepto de convergencia más restrictivo. Definición 12.2 Sean A e e, , un camino sin fin y r su rango. Supongamos que f es una función definida en A x r y la integral paramétrica f"Y f(z , w)dw converge puntualmente a F en A. Diremos que la convergencia es uniforme o que la integral converge uniformemente a F en A si

VE: > O 3uo> a / u

~ Uo

=?

{Iiu

f(z, w)dw - F(z) 1 < E: Vz

Teorema 12.4 (Condición de Cauchy)

La integral

EA}

i

f(z, w)dw

converge uniformemente en A si, y sólo si,

VE: > O

3uo

> a v> u > Uo

=?

{Iiuv

f(z,w)dwl

< E: Vz

E

A}

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223

Integrales paramétricas impropias

La demostración se propone como ejercicio para el lector. O

Teorema 12.5 (Prueba M de Weierstrass) Sea r el rango del camino sin fin regular a trozos,. Supongamos que las funciones

f :A

X

r~e

y

M : r ~ 1R+

verifican la desigualdad

I f(z,w) y que la integral impropia

Entonces)

l

r

I~

M(w) Vz E A Vw E

l

M(w)dw es convergente.

f(z, w)dw converge uniforme y absolutamente en A.

Demostración.- Sea

é

> O. Puesto que

f"Y

M( w )dw converge,

~ Uo ~ Iluv M(w)dwl

:3uo > a / v > u

<

é

Por lo tanto,

Iluvj( z,w )dwl

v

11

< <

l l

j( z,,(t)),'(t)dtl

v

lf(z,,(t)),'(t)1 dt v

M(¡(t)) b'(t) 1dt =

l

v

M(w)dw <

é

O

A partir de aquí, podríamos dedicarnos a reproducir las demostraciones de los teoremas del capítulo anterior. Sin embargo, no va a ser necesario hacerlo: el paralelismo que hemos venido observando con la teoría de sucesiones y series de funciones no es en absoluto casual y ahora vamos a sacarle el máximo provecho. Supongamos que {un}~~ es una sucesión creciente de números reales de modo que Uo = a y lím Un = +00. Si la función j( z, w), definida en A x r, es integrable a lo largo de Vu > a, entonces podemos construir la sucesión de funciones

'u

Fn(z) =

¡

"YUn

f(z, w)dw

zEA

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224

y se demuestra sin ninguna dificultad que la convergencia puntual o uniforme de la integral J,f(z,w)dw a la función F implica el mismo tipo de convergencia de Fn a la misma función F. Por lo tanto, la convergencia de integrales paramétricas se reduce a la de sucesiones de funciones y los dos teoremas siguientes son triviales.

Teorema 12.6 (Continuidad) Sea

r

el rango del camino sin fin re-

gular a trozos I y sea f{ un conjunto compacto. Si

i

f( z, w)dw con-

ve rge uniform emente a F en f{ , y la func ión f es continua en f{ x entonces F es continua en f{. O

f{

El teorema anterior continúa siendo válido si en lugar del compacto se considera un conjunto abierto .

Teorema 12.7 (Derivación bajo el signo integral)

i

r,

S i la integral

f( z, w)dw converge uniform em ente a F( z ) en los discos com pactos

del abierto A , y f admit e una derivada parcial respecto a la variable z en A , entonces, a) F es holomorfa en A. b) Para todo n E N, Y para todo z E A ,

(12.4)

o

A demás, la convergencia de (12.4) es uniform e en los discos compactos de A. O

Ejemplo.- Sea f( t) , t :2: 0, una función acotada y continua y consideremos la integral paramétrica

10+ Puesto que 3M >

1f (t) e- zt

I~

00

f(t)e - ztdt

°/ 1

M 1e- zt

(12.5)

f (t) I~ M Vt 2

1= M e- re(z )t

~

°

M e- at

si r e( z ) :2: a

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Integrales paramétricas impropias

Por otra parte, la integral

¡

+oo

o

Me - atdt =

M

lím __ (e-at - 1) t_+oo a

converge a ": siempre que a > O. Por lo tanto, (12.5) converge uniformemente en el semiplano

{zEC:

re( z )~a}

para cualquier a > O. Por lo tanto, la convergencia es uniforme en todos los subconjuntos compactos de {z E C: re(z)

> O}

La función F que resulta es la transformada de Laplace de f +. Del teorema de derivación se sigue que F es analítica y sus derivadas suceSIvas son

n = 1,2, . ..

12.2.3.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE

Llamaremos camino sin fin de segunda especie a una función continua

, :]a, b]

--t

C

Como en los párrafos anteriores, podemos hablar del rango de " o decir que, es regular a trozos si lo es su restricción a los intervalos de la forma [u, b] a < u < b. Sea f : A x r - - t C una función no acotada en las proximidades de (z,,(a)) para algún z E A. La integral paramétrica

'u

Áf(z,w)dw

( 12.6)

t Cuando la estudiemos en la segunda parte impondremos unas condiciones menos restrictivas a f.

http://carlos2524.jimdo.com/ 226

Capítulo 12: Integración paramétrica

converge puntualmente a la función F(z) en A si

lím

u--+a+

1

fez, w)dw

"fu

= F(z)

Vz E A

y converge uniformemente a F en A si

VE- > O 3uo > a / a

< u:::;

{ILu

uo =*

f(z,w)dw - F(z)1

< E- Vz E

A}

Por supuesto, la condición de Cauchy (cuyo enunciado dejamos para el lector ) y la prue1?.?- de Weierstrass se demuestran como en la sección anterior.

Teorema 12.8 (Prueba M de Weierstrass) Sea

r

el rango del caSupongamos que las

mino sin fin de segunda especie regular a trozos "y. funciones f : A x --t y M: - - t jR+

r

e

r

verifican la desigualdad

Vz

1 f(z,w) 1:::; M(w) y que la integral impropia Entonces,

L

E A, Vw

r

E

L

M (w )dw es convergente.

fez, w)dw converge uniforme y absolutamente en A. O

Si {un} es una sucesión decreciente de puntos de la, b] de modo que lím Un = a, entonces la convergencia puntual (o uniforme) de (12.6) es equivalente a la de la sucesión de funciones Fn(z) =

1

fez, w)dw

"fu n

y, por lo tanto, los siguientes teoremas son inmediatos .

Teorema 12.9 (Continuidad) Sea gular a trozos

"y

y sea

J{

r

el rango del camino sin fin re-

un conjunto compacto. Si

L

fez, w)dw con-

verge uniformemente a F en J{ y la función f es continua en J{ x entonces F es continua en J{. O

r,

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227

Teorema 12.10 (Derivación bajo el signo integral) Si la integral i f ( z,w )dw converge uniformemente a F(z) en los discos compactos del abierto A y admite una derivada parcial respecto a la variable z en A, entonces a) F es holomorfa en A. b) Para todo n E N, Y para todo z E A,

(12 .7) Además, la convergencia de (12.7) es uniforme en los discos compactos de A. O

12.2.4.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS: CASO GENERAL

Terminemos de generalizar el concepto de camino diciendo simplemente que es una aplicación .continua 1 : 1 ----+ O Y z es un número complejo. Por lo tanto, con el fin de evitar ambigüedades, convendremos en fijar siempre la determinación principal de la potencia. En otras palabras , si t > O Y z E e, entonces t Z = ezlnt .

13.1.

LA

FUNCIÓN GAMMA

Consideremos la integral paramétrica

(13.1) Dado que la función

231

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Capítulo 13: Las funciones de Euler

es continua respecto a t en ]0 , +oo[ pero no está acotada* en las proximidades de t = O, la convergencia puntual y/o uniforme de (13.1) se debe estudiar a partir de las dos integrales

En cuanto a 11 , como

I e(z- l)lnt I e- t e(re(z)-I) In t e-t t re(z) -1 e- t

< eligiendo una constante a

t re(z )-1

O < t :::; 1

> O, tendremos O < t :::; 1

re(z) :::: a

y entonces, la prueba de Weierstrass nos permite concluir que 11 converge absoluta y uniformemente en

{ z E C: re(z):::: a} para todo a > O (porque f~ ta-1dt converge puntualmente en

= f~

tld~a converge) y de aquí que 11

{ z E C: re( z) > O} Se puede probar que 11 es divergente en el resto del plano complejo , es decir en el conjunto

{z EC: re(z):::;O} Estudiemos ahora la convergencia de 12 : elijamos un entero positivo d. Si re(z) :::; d tendremos (13.2) • Al menos para algunos valores de z.

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233

La [unción Gamma

Aplicando reiteradamente la regla de L'Hopital se comprueba que

luego It"'" td-1e-tdt converge y la desigualdad (13.2) asegura la convergencia uniforme de /2 en el conjunto {z E

e:

re( z ) :::; d}

y de este hecho se concluye la convergencia puntual de /2 en todo el plano complejo. De todo lo expuesto podemos extraer la siguiente conclusión: la integral paramétrica / definida en (13.1) converge uniformem ente en {z E e: b ~ r e( z) ~ a} Va, b E lR / b > a > O Y puntualmente en { z E e: re( z ) > O}. Definición 13.1 La función euleriana de segunda especie o función Gamma de Euler se defin et como

r:

{z E

e:

r e(z )

> O}

--+

e

z Teorema 13.1

r

es analítica en todo el sem iplano {z E

e:

r e(z )

> O}

y sus derivadas sucesivas son

Demostración.- Puesto que la función f( z , t) = t z-1e- t es continua y derivable respecto a la variable z en el dominio de r, la conclusión es inmediata por los teoremas de derivación del capítulo 12. O

Las propiedades más simples de la función próximo teorema:

r

se enumeran en el

tMás adelante extenderemos su dominio a otro más general.

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234

Teorema 13.2 (Propiedades de la función Gamma)

a)r(l)=l b) r(z + 1) = zr(z) c) r(n) = (n - 1)!

Vz E el re(z) > Vn E N

Demostración.-

a) r(1)

o

00

= Jo¡+oo e-tdt = _ e- t 1+o = 1

b) Integrando por partes en

encontramos

= (n-1)r(n-1) = (n-1)(n-2)r(n-2) = ... = (n-1)! O A causa de la propiedad c) algunos autores llaman a r la función factorial e incluso puede encontrarse en algunos textos la función r( z + 1)

c) r(n)

representada como z!

13.1.1.

I

-

-

LA FUNCIÓN GAMMA DE VARIABLE REAL

Si restringimos nuestra atención a los valores positivos de la variable, entonces es obvio que

r(p) > O ~a

que e-tt p -

1

Vp> O

> O Vp > O. Además , Vp> O

luego

r

es una función convexa. Más aún, veremos enseguida que es logarítmicamente convexa, es decir, si consideramos la función

f:

entonces,

f

es convexa.

IR+

------+

p

-t

IR

f(p) = In r(p)

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La función Gamma

Para demostrar este hecho, utilizaremos la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz: dadas dos funciones reales ft y 12,

(13.3) siempre que las integrales del segundo miembro de (13.3) sean convergentes. Si derivamos dos veces la función J obtenemos

j'(p)

=

f"(p)

r'(p) r(p) r"(p)r(p) - r'(p)2 r(p)2

así que habremos de probar que

r"(p)r(p) - r'(p)2 ya que entonces

f"

~

O y por lo tanto

J es

~ O

(13.4)

convexa.

Tenemos:

r(p) r'(p)

r"(p)

10+ 10+ 10+

00

00

00

e-I e-tdt

(In t)tZ-Ie-tdt (In 2 tW-Ie-tdt

luego para deducir (13.4) de (13.3) basta con elegir

JI (t) J2(t)

r

Según el teorema (13.2) y según lo que acabamos de decir, la función de variable real reúne las siguientes propiedades:

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236

Capítulo 13: Las funciones de Euler

6 5 4

3 2 1

O '----1---1----+--+---+----+

O 1 234 5 6 Figura 13.1: La función f de variable real (positiva).

a) f(l) = 1 b) f(p + 1) = pf(p)

Vp> O

c) f es logarítmicamente convexa. Lo que resulta realmente sorprendentet es que estas tres propiedades caracterizan la función f: ésta es la única función que las posee. En el teorema 13 .3 demostramos este hecho y además encontramos una nueva expresión de la función Gamma. Teorema 13.3 (Bohr-Mollerup) Sea 9 :]0, +00[--+]0 , +oo[ una función que verifica las p1'Opiedades

a)g(l)=l b) g(p + 1)

= pg(p)

Vp> O

c) 9 es logarítmicament e convexa. t Al menos sorprende a los autores.

http://carlos2524.jimdo.com/ 237

La [unción Gamma

Entonces, g(p) = f(p) Yp Además,

f(p) =

, bm

> O. nPn!

(p + n)(p + n - 1)· .. p

n-++ oo

Yp> O

Demostración .- Probaremos que si 9 verifica a) , b) Y c), entonces

g(p)

, bm

=

n-++oo

'

nPn!

(p + n)(p + n - 1)··· p

Yp> O

(13.5)

Esto significa que únicamente existe una función positiva que verifique a), b) y c), luego ha de coincidir con f. Observemos en primer lugar que, para n E N a) y b) permiten concluir que g(n) = (n - 1)! Por otro lado, si x > O no es entero y n es la parte entera de x, entonces x = n + p con O < P < 1, luego

g(x)

=

g(n + p)

=

(n

+p -

l)(n + p - 2)··· pg(p)

Por la convexidad logarítmica de g, p

1

l+p

l+p

-- + --

1

===>

lng (-p- (n - 1)

In g( n)

l+p

<

-P-In g(n

l+p

+ _l_(n + p)) l+p

- 1) + -l-ln(n + p) l+p

es decir, ln(n-1)!

< 1:pln(n -2) 1 1

(1 + p) ln(n - 1)! (1 + p)On(n - 1) + ln(n - 2)!] (1 + p) ln(n - 1) + ln(n - 2)!

+ 1 + p ln( (n + p - 1)( n + p - 2) ... pg(p)) < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· · · pg(p)) < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· ·· pg(p)) < ln((n + p - l)(n + p - 2) ··· pg(p))

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238

Capítulo 13: Las funciones de Euler

Eliminando los logaritmos quedará:

(n - l)P(n - 1)! -(n-+-----'-p---1-)('--n....:..+-p------'-2)-.-. .-p ~ 9 (p )

Vn

E

N

(13.6)

Por otra parte, volviendo a aplicar la convexidad logarítmica,

+pI=} lng(n + p) lng((l -

(1 - p)

< (1 -

+ p(n + 1)) p) lng(n) + plng(n + 1) p)n

es decir, ln((n

+p -

l)(n + p - 2)··· pg(p))

g(p)

~

(1 - p) ln(n - 1)!

nP(n - 1)! (n+p-1)(n+p-2)···p

~

+ pln n!

Vn E N

(13.7)

Combinando (13.6) Y (13 .7), resulta

(n - l)P(n - 1)! < g(p) < nP(n - 1)! (n+p-l)(n+p-2)· ·· p - (n+p-1)(n+p-2) · · · p luego 1

~ --'-(n--.::...,~)..:.=~~,..:...L-l""")!'-- ~ (n+p-l}(n+p-2)···p

(n: JP

Tomando límites respecto a n , . 9 () p =

, 11m

n-++ oo

(n-1) P(n-1)! (p + n - 1) (p + n - 2) ... p

O 1: en tal caso, 11 no es impropia y nuestros razonamientos son correctos. Así pues, podemos expresar la función f como

f(z)

=

1 1,+00 E -,--+ e- e- t dt n. z + n

+00 (_l)n

1

re(z)

>1

(13.9)

1

n=O

Ahora bien, aplicando el criterio del cociente a la serie (13.8) se comprueba que ésta converge absolutamente Vz E {O, -1, -2, ... }, así que la serie y la integral del segundo miembro en (13.9) convergen siempre que z -=1- 0, -1, -2, ...

e-

Teorema 13.4 La función G(z) =

1 1,+00 E -,--+ en. z + n

+00 (_l)n n=O

1

e- t dt

z-=l-O,-1,-2, ...

1

es holomorfa en todo su dominio. Todos los puntos singulares 0, -1, -2, ... son polos simples y sus residuos son

Rc(-m)

( _l)m

=--

m!

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240

Demostración.- Supongamos que junto compacto .

J(

e e-

{O, -1 , - 2, ... } es un con-

Si r es la distancia de J( a {O, -1 , -2 , .. . }, entonces r > O Y

(-:r

I

z: n

I ~ ~! ~

'iz E

J(

luego la serie (13 .8) converge uniformemente sobre los subconjuntos compactos del dominio de G. Por lo tanto, la serie y la integral del segundo miembro de (13.10) son funciones holomorfas. Finalmente, para m E {O, 1,2, ... }, la serie Ln;ém (-~r m~ n es convergente, luego si 1z + m 1< 1

lo cual demuestra que (_I,m - m es L..!.f-. O m.

- ry¡,

es un polo simple de G y que el residuo en

Sabemos que G coincide con f para re( z) > 1, pero según el principio de identidad, deben coincidir sobre todo el dominio de f . En definitiva, podemos definir

Definición 13 .2 La función f

f(z) =

+00 (_l )n

1

+00

I: - n.,---+ r z +n

n=O

se

define como

t

l

Z -

e- t dt

z =1- O, -1 , -2, ... (13.10)

JI

La propiedad f(p + 1) = pf(p) sigue cumpliéndose en todo el dominio de la función Gamma. f es analítica en todo su dominio y en los puntos de discontinuidad J( = O, -1, - 2, ... tiene polos simples con k residuos Rr( - k) = •

(-N

. Nota.- Se podría hacer una objeción a la forma en que hemos prolongado la función Gamma: ¿Por qué elegir (13.10) como definición y no cualquier otra fórmula razonable?

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n con-

>Oy El( e

Ulll-

241

Por ejemplo, como r(z) = r(z + 1)/ z para re( z) > O, esta expresión se puede utilizar de modo recursivo para extender r hacia la izquierda en el plano complejo. "Pues bien, la respuesta es simple: no importa cuál sea el procedimiento que se utilice; gracias al principio de identidad cualquier extensión holomorfa de r coincide en su dominio con la nuestra. Además, como cero y los enteros negativos son polos simples, no es posible una extensión holomorfa de r a estos puntos.

onjun-

de G. 13.10) 6

s con-

5 4

dt

3 2

duo en 1

1 prin-

f. En

-6

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2

-3

13.10)

el doo y en les con

rolo nn y no

~

Figura 13.2: La función Gamma de variable real.

5

6

http://carlos2524.jimdo.com/ 242

Capítulo 13: Las funciones de Euler

13.2.

LA FUNCIÓN BETA

Estudiaremos ahora la integral paramétrica

Como la función

f(t,z,w)

e- l (1- t)w- l

=

es no acotada para t = O Y t = 1 debemos analizar las dos integrales 1

10"2 t Z- l (1 - t )W- ldt

¡l e-l(1 _ t)W- ldt 2

Empecemos por 11 . Si O < t

<

~ entonces

I e- l (1 - t)W- l I = t e(Z) - 1(1 _ I

tre(W) - l

< tre(z)- l =

1

tl-re(z)

'*

Puesto que J02 converge si, y sólo si, a < 1, eligiendo re( z) > O tendremos 1- re(z) < 1 luego 1l (z,w) converge (puntualmente) en el conjunto

{(z, w): re(z) > O} Por otra parte, si hacemos el cambio de variable u = 1- t en 12(z, w) ,

12(z,w)

=

¡ tZ- l (1 _ t)W- l dt = 1o"2(1 - uY- lUW- l du = l (w,z) 1

I

1

2

luego 1z (z, w) converge (puntualmente) en el conjunto

((z,w): re(w) > O} Así pues, 1 converge en el primer cuadrante

((z,w): re(z) > O, re(w) > O}

http://carlos2524.jimdo.com/ La [unción Beta

243

Además se comprueba fácilmente que la convergencia es uniforme§ sobre los conjuntos de la forma

a>O

{(z,w): re(z):::: a, re(w):::: a}

Definición 13.3 La función euleriana de primera especie o función Beta de Euler se define como

re(z) , re(w) > O Teorema 13.5 (Propiedades de la función Beta) Dados dos números complejos z y w tales que re( z) > O y re( w) > OJ

a) f3(z, 1) = ~ b) f3(z,w) = f3(w,z)

c) f3(z

+ 1,w) =

z~wf3(z,w)

d) f3(z,w) = 2fo~ cos 2z- 1 Para ello, basta con comprobar las hipótesis del teorema 13.3:

o.

1fEsta demostración es agradable por lo simple que resulta formalmente. Sin embargo, teniendo en cuenta que se trabaja con una integral doble impropia, la prueba rigurosa no es tan elemental como parece a primera vista (ver problema 13.15).

http://carlos2524.jimdo.com/ Relación entre las funciones

f3

yr

247

a)

g(l) =

r(1 + q) f(q) 1 r(q) ,6(l,q) = qr(q) = 1

q

b) f(p + 1 + q) R( + 1 ) f(q) fJ P ,q

g(p + 1)

(p+q)f(p+q) p R( ) r( q) p + q fJ p, q pg(p) c) Finalmente, hemos de probar que 9 es logarítmicamente convexa. La convergencia uniforme (respecto a cada uno de los parámetros) de la integral

,6(z,w)

=

10

1

t Z - 1 (1_ t)W- 1 dt

en los subconjuntos compactos del primer cuadrante permite calcular las derivadas parciales respecto a z y w. En particular,

10

1

10

1

(In t)t P- 1 (1 - t)q- 1 dt (ln 2 t)t P- 1 (1 - t)q- 1 dt

y de aquí se concluye - exactamente igual como lo hicimos con la función Gamma- que ,6, respecto a la variable p, es logarítmicamente convexa. Por lo tanto, 9 también lo es y se obtiene, como deseábamos, que

,6(p, q)

=

f(p )f( q) r(p + q)

p,q> O

Finalmente, el principio de identidad asegura la fórmula

R( fJ

z,W

) = f(z)f(w) f(z+w)

re(z),re(w) > O.

Esta expresión nos permite también extender la función Beta a todos los valores para los que existe Gamma.

http://carlos2524.jimdo.com/ .Capítulo 13: Las funciones de Euler

248

Definición 13.4 La función Beta se define como

(3( z,w )

=

f(z)r(w) f(z+w)

Vz ,w E e

Teorema 13.6

1

f(2)

=

/ z,w,z + w i- 0, -1, -2, ... Vi

Demostración.- Sabemos por el lema 13.1 que (3(t,~) =

f(t)f(t) f(l) =

13.4.

7r

7r,

luego

O

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE EULER

Como decíamos al principio del capítulo , las funciones Beta y Gamma aparecen constantemente en problemas matemáticos. Para terminar este capítulo comentaremos algunas de sus aplicaciones.

13.4.1.

LA FÓRMULA DE WALLIS

Las integrales del tipo

In

= fo'i sen

n

epdep

se conocen como integrales de Wallis. En principio, estas integrales pueden calcularse utilizando fórmulas de reducción . Ahora bien, el uso de las funciones eulerianas permite obtener el resultado de modo inmediato: teniendo en cuenta las propiedades de la función Beta,

1 n+1 1 1f(~)fO) In = 2(3(-2- ' 2) = 2 f(~ + 1) =

:Ji

f(~)

2f(~ + 1)

a) Si n es par, n = 2k, tendremos:

VKr(k + ~) 2 r(k + 1) VK (k + ~ - l)(k + ~ 2 k! 7r

-

(2k - 1 )(2k - 3) ... 1

2)··· ~VK (13.13)

http://carlos2524.jimdo.com/ Aplicaciones de las funciones de Euler

249

b) Si n = 2k - 1,

.Ji

r(k) Tf(k + t) 2k (k - 1)! 2 (2k -1)(2k -3)···1

1

(13.14)

De los valores hallados para las integrales de Wallis podemos ahora deducir la fórmula de Wallis. Para ello, consideramos la sucesión de funciones 7r

0< - r - O,

J1sr

xp-lyq-1e-

~

J1

x-

y

dmy

xp-lyq-1e - X -

Y

dmy

Qr

~

J'Jsr

xp-lyq-1e- X -

Y

dmy

r ../2

b) Cambiando a polares y pasando al límite, probar la fórmula

(3( p,q' ) = f(p)f(q) f(p+q)

"Ip,q> O

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE EULER

13.16 [Fórmula de Stirling] . a) Probar que la sucesión

converge y su límite b) Probar que

Q

es positivo,

Q

=

I

,

n!22 2n +2

n-++oo

n2(2n)!

11m

c) Deducir la fórmula de Stirling: lím n-++oo

I

= V2i

,

n,

nne- n ,.¡nV2i

=1

13.17 Calcular los límites de las siguientes sucesiones:

n a) (n!)l/n

b (n!)22 2n ) (2n)!,.¡n

c) (-lt (-}) n

13.18 Estudiar el comportamiento en la frontera del círculo de convergenznn! cia de la serie ~ - - , ~ nn

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255

Ejercicios y problemas

13.19 A cada función de densidad f se le asocia la media aritmética J.L definida como +oo J.L = - 00 tf(t)dt

j

y la. varianza

1:

00

(j2

=

(t - J.L? f(t)dt

Hallar la media y la varianza de la distribución normal tipificada. 13 .20 Se define la distribución normal (general) por medio de la función

de densidad

f(t) Probar que en efecto varIanza.

= -1-e- (t-'t y'2ib

f

2b

a E R., b> O

es una función de densidad y hallar su media y su

INTEGRALES DE DIRICHLET

13 .21 Calcular la integral múltiple

I(PI,P2,···,Pn+l)

= I f. .. ID til-It~2-I ... t~n":l(l -- tI -

t2 - ... - tn)pn+I - IdtIdt2 '" dt n

siendo D el recinto limitado por los hiperplanos

(Obsérvese que I(PI,P2)

= J3(PI , P2)')

13.22 Aplicar el problema anterior para calcular el volumen n-dimensional de la hiperesfera de ecuación xi + x~ + ... + x~ ::; 1'2. Obtener como casos particulares el área del círculo y el volumen de la esfera. 13.23 Hallar el volumen encerrado por la superficie X2/3

+ y2/3 + z2/3 = 1.

13.24 Hallar el volumen de la pirámide limitada por los tres planos coordenados y el plano ~ + + ~ = 1.

t

13.25 Hallar el volumen del sólido limitado en el primer octante por los tres planos coordenados y la superfície

a, b, e > O, n > O

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Apéndices

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Apéndice A

Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias

Poder intercambiar el paso al límite con la derivación, con la integración, o con el paso al límite respecto a otra variable, es una de las herramientas de cálculo más potentes. Para que sea correcto este intercambio no basta con la convergencia ordinaria. En este apéndice se estudia este tipo de problemas en el caso de la variable real.

A. lo

SUCESIONES DE FUNCIONES

Consideremos la sucesión {fn} ~=l cuyos elementos no son ya números reales sino funciones de variable real. Por ejemplo, nEN

donde, en este caso, las funciones están defini das para cualquier número real. En esta situación, para cada valor particular de la variable t nos encontramos con una sucesión numérica. En nuestro ejemplo,

fn(O) fn(1)

si t = O

entonces

=1

entonces

si t = 2

entonces

n = 1,2, . ..

entonces

n = 1,2, .. .

si t

259

= =

O

n

n = 1,2, ... n = 1,2, ...

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Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias

Si fijamos un t, podemos calcular el límite de la sucesión numérica {fn(t)}. Repitiendo esto para todo t en el dominio común de las funciones -supuesto que exista- obtenemos una nueva función, la función límite. Volviendo al ejemplo, tendríamos

f(t) = lím fn(t) = n-+ oo

!2

Vt

E

lR

Es razonable plantearse la siguiente cuestión: ¿f hereda las propiedades de la función límite? En otras palabras, si las fn son continuas, derivables, ... ¿lo será también f? La respuesta en principio va a ser negativa y ello nos obligará a modificar el concepto de convergencia para este tipo de sucesiones . A.1.1.

CONVERGENCIA PUNTUAL Y UNIFORME

Definición Á.l Sean A e lR y {fn}~=1 una sucesión de funciones reales definidas sobre A. Diremos que {fn}~=1 converge puntualmente en A a la función f si lím fn(t) = f(t)

n-+oo

Vt

E

A

Ejemplo 1.- La sucesión de funciones

1 fn(t) = nt + 1 converge puntualmente en [0,1] a la función

f(t) = {

~

t=O O O ::Jno E N / n 2:: no de aquí que, eligiendo t E]O, 1] y

é

1_1_ - i(t)1 < é nt + 1

= 1/2,

2:: no

::Jno E N / n

==?

1

==? - -

nt + 1

1 2

-

1

1 2

-- < nt+ 1

para n

2:: no

y para todos los valores de t simultáneamente.

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Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias

Definición A.2 Sea A e lR y sea Un}~=1 una sucesión de funciones definidas en A . Diremos que Un} converge uniformemente en A a la función f si

VE> O 3no E N / n ~ no

===}

{I fn(t)

- f(t)

1< E

Vt E A}

Es óbvio que la convergencia uniforme implica la puntual, mientras que, como se comprueba con el ejemplo 1, el recíproco no es cierto. (Nótese la importancia del conjunto sobre el que se estudia la convergencia uniforme ya que, como puede comprobar el le~tor, la convergencia de nt~1 a O sí que es uniforme en el intervalo [1/ 2,1 ].) Ejemplo.- La sucesión fn(t) = nt~1 converge uniformemente en [0,1] a la función f(t) = O, ya que: si t =1 O,

1fn(t) -

y si t = O,

1

f(t)

1= _ t- = _

1_1 t

nt + 1 f n (t) - f (t) 1= O

n

+

1fn(t)

1< l/n

oo

*

- f(t)

Vt E [0 , 1]

= O, tenemos que

VE > O 3no

E N / n ~ no

1 ===}

-

n

oo tE A La demostración es inmediata.

O

Ejemplo.- La sucesión {t e- nt2 } ~=1 converge puntualmente a O en

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263

Sucesiones de funciones

[O, + 00[. Para estudiar si la convergencia es uniforme utilizaremos la caracterización anterior:

1

t

= y"h;

Puesto que fn(O) = O Y límn-+ O 3no E N / m,n 2: no

===?

{Vt E A, 1fn(t) - fm(t) 1< é}

Demostración.- Condición necesaria: si {fn} converge uniformemente en A y si llamamos

f

a la función lími te, tendremos

~

Vé > O 3no E N / n entonces, tomando m, n

~

no

===?

{Vt E A, 1f n(t) - f(t) 1<

~}

no , tendremos é

1fn(t) - f(t) 1< 2"

y

é

1

f m ( t) - f (t) < 2" 1

Vt E A

luego, Vt E A,

1fn(t) - fm(t) 1< 1fn(t) - f(t) 1+ 1fm(t) - f(t) 1< é Condición suficiente: observemos en primer lugar que, para cada Un(t)} es de Cauchy, y por lo tanto convergente; de este modo queda definida una función límite

t E A, la sucesión numérica

f :A

-----7

]R,

f(t) = n-+ (p + 1)!

é

y, por lo tanto,

Vq E N

'lit 2': ](

en contra del criterio de Cauchy. Aunque la prueba M es útil en muchos casos - y muy fácil de aplicar casi siempre- cuando falla (por ejemplo cuando la convergencia no es absoluta) es necesario recurrir al criterio de Dirichlet que veremos a

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273

Series de funciones

continuación. Recordemos que para probarlo en el caso de series numéricas se utilizaba la fórmula de sumación parcial de Abel: dadas las sucesiones {a n }, {bn }, si An = Lk=l ak Y Sn = Lk=l akbk, se tiene n

Sn =

L Ak(bk -

bk+d

k=l

+ An bn+l

(A.5)

Esta fórmula se utilizará también en nuestro caso.

Teorema A .12 (Criterio de Dirichlet) Supongamos que la sen e L in tiene las sumas parciales uniformemente acotadas en A, es deczr,

Vt E A, Vn E N y que la sucesión {gn}~=l converge uniformemente a O en A y es decreciente, es decir,

Vn E N,

Vt E A

Entonces, 00

L in(t)gn(t)

converge uniformemente en A

n=l Demostración.-

n

Sean Fn(t) =

L k=l

n

ik(t) y Sn(t) =

L

t E A

fk(t)gk(t)

k=l

Aplicando a cada t E A la fórmula (A.5), tendremos n

Sn(t)

=

L

Fk(t)(gk(t) - gk+I(t)) + Fn(t)gn+l(t)

Vt

E

A

(A.6)

k=l Fijemos un

é

>

o.

Puesto que límn->oo gn(t) = O uniformemente en

A,

Vt

E

A (A.7)

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Apéndice A : Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias

Si elegimos dos naturales n, m de forma que n > m 2:: no, tendremos (por (A.6)) Vt E A: 1

Sn(t) - Sm(t) =

1

lE -E

+

Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t))

+ Fm(t)9m+l(t) 1

Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t))

n

¿

=

Fn(t)9n+l(t)

Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t))

+

Fn(t)9n+l(t)

k=m+l n

<

¿ +

< M

1 Fk(t) 11

9k(t) - 9k+l(t)

+

1 Fn(t) 11

9n+l(t)

C=t+,

9,(t) - 9,+,(t)

1

1

1

1 Fm(t) 11 1

+

1

9m+l(t)

9.+,(t)

1

1

+

1

9m+' (t)

1)

pero como 9m es decreciente, 1 9k(t) - 9k+l(t) 1= 9k(t) - 9k+l(t) , y n

¿

1 9k(t)

- 9k+l(t)

1= 9m+l(t) - 9m+l(t)

k=m+l Por lo tanto,

y aplicando (A. 7)

Luego {Sn} converge uniformemente en A por el teorema A.2 . O

Ejemplo.- Teniendo en cuenta la desigualdad

¿m sen(nt) n=l

1

I

S Isen mt 1I sen

2

7r

37r

- r

c) la convergencia o divergencia en a - r y a nada.

+r

no queda determi-

Nótese que si límsup ~ = O, por el criterio de la raíz, la convergencia de la serie es absoluta en todo IR con lo que podríamos adoptar el convenio de tomar r = ~ = +00. Por el contrario, si lím sup ~ = +00 entonces la serie diverge en todo IR salvo para t - a = O, es decir , sólo converge 'e n a, donde además resultaría r = +~ y que representaremos por r = O. Así, para toda serie de potencias existe un r de forma que la serie converge absolutamente en la - r, a + r[ y diverge en el exterior del intervalo*, lo que nos lleva a dar la siguiente definición.

Definición A.4 Dada la seri e de potencias (A. 9), su radio de convergencia es el número (real o infinito) r

=

1 ------~====

límsup~

'y puede que converja en los extremos a ± r.

http://carlos2524.jimdo.com/ 277

Series de potencias

El intervalo ]a - r, a + r[ se llama intervalo de convergencia de la serze. Ejemplo.- El radio de convergencia de

r=

¿

1 límsup

y'fl¡

t n es

=1

Por lo tanto el intervalo de convergencia es ]- 1,1[. Como resulta que lím( ±1)n =1- O la serie no converge en ninguno de los extremos. Obsérvese que las series ¿ ~ y ¿ ~~ tienen radio de convergencia 1 y sus dominios de convergencia son respectivamente] - 1,1] Y [-1,1], lo que pone de manifiesto que no se puede generalizar nada sobre la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia. Respecto a la convergencia uniforme se tiene el siguiente resultado.

Teorema Á.14 Si r > O es el radio de convergencia de la serie (A.9) y si O < t o < r, entonces, e?J, [a - t o, a + tolla serie converge uniformemente.

Demostración.- Basta aplicar la prueba M: e a- r

e a - to to

e a

e

+ to a + r

¿ ant n también tiene radio de convergencia r, y como O < t o < r, la serie ¿ antü converge absolutamente, y, por la desigualdad anterior, ¿ an(t - a)n converge uniformemente en [a - t o, a + tolo O Al tener garantizada la convergencia uniforme de una serie de potencias en los intervalos cerrados dentro del intervalo de convergencia, podremos demostrar que las series de potencias son derivables hasta cualquier orden dentro del intervalo de convergencia, siendo su derivada la serie de las derivadas de cada término, como se sabe ya por el teorema A.9.

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Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias

Teorema A.15 (Derivada de una serie de potencias) Si r > O es el radio de convergencia de la serie (A.9), entonces la serie 00

L

nan(t - ar- 1

n=l también tiene radio de convergencia r. Además, si + 00

f(t) =

L

an(t n=O

entonces f es derivable en la - r, a

ar

+r[ y

00

f'(t) =

L nan(t -

a)n - l

n=l Demostración.- La serie L:~= l nan(t - a)n- l converge si, y sólo si, converge la serie L:~=l na n (t - a)n. Además,

Luego L:~=l nan(t. - a)n- l y L:~=o an(t - a)n tienen el mismo radio de convergenCla. Dado tE la - r, a + r[, podemos elegir un t o E lR de manera que a - r < a - t o < t < a + t o < a + r. Entonces, las dos series convergen uniformemente en [a - t o, a + tol y, del teorema a. a - r a - to t to a + to a + r A.9 se deduce el resultado deseado. D Como hemos obtenido que si L:~=o an(t - a)n es una serie de potencias, su derivada también lo es, y con el mismo radio, podemos volver a aplicar el teorema anterior para obtener la derivada segunda. Repitiendo el proceso indefinidamente se obtiene lo siguiente.

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Series de potencias

Corolario A.l Si r > la función

°

es el radio de convergencia de (A.9), entonces 00

f (t ) =

¿

an(t - a t

n=O

es de clase Coo en ]a - r, a + r[ y sus derivadas sucesivas son 00

fk)(t) =

¿

n(n - 1)· · · (n - k

+ l)a n (t -

at- k

n=k

tE ]a - r,a + r [ k = 0,1,2 ...

O

Ejemplo.- Vamos a calcular la suma de la serie

(t - 1)3

f(t) = (t - 1)2 2·1

+ (t -

3·2

1)4

-'.....-4-. -:'3'"'

Su radio de convergencia es r

1

= . lím sup

=1

;;J n(n1_ l)

luego f está definida en ]0, 2[ (en realidad en [0,2] como puede comprobar el lector ). Aplicando el corolario anterior, tenemos

'( ) _ t - 1 (t - 1)2 f t - - 1- 2

(t - 1)3

+ -'----3--'---

1t - 1 1< 1 00

f"(t) = 1-(t - 1) + (t - 1)2 - (t - 1)3+ ... = ¿(- (t - 1)t

It - 11 es el radio de convergencia de la serie de potencias L a n (t - a y además ésta converge en el

t

extremo a + r, entonces

Es decir, si f( t) es la suma de la serie en el intervalo de convergencia, ésta es continua (por la izquierda) en a + r. Demostración.- Basta con probar que la serie converge uniformemente en [a,a + rJ. Aplicaremos el criterio de Abel (teorema A.13) a

t - a)n gn(t) = ( -r-

y

a) L~=o fn(t) converge en [a, a + independiente de t

rJ

uniformemente, porque fn(t) es

b) gn(t) es decreciente respecto a n, porque tE

c) 1gn(t) 1< 1

[a ,a+rJ

~

° -~

t-a r

Vt E [a, a + r]' n = 0,1,2, ...

~1

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285

SerÍes de poten cías

luego se cumplen todas las hipótesis. O Téngase en cuenta que, aunque el teorema se enuncia para el extremo derecho del intervalo de convergencia, es también válido en el otro extremo sin más que hacer el cambio de variable g(t) == f( -t ). Así pues, podemos afirmar que la fórmula (A.12) se completa con

(_I)n

L --- = 00

n=O

7r

arctanl = 4

2n

+1

L

~---!...-_­

o, sencillamente, _ 00

arctan t =

(-1 )nt 2n +1

n =O

2n

Vt E]- 1,1]

+1

Ejemplo.- El desarrollo de Taylor del logaritmo,

t2

ln( 1 + t) = t - 2

t3

t4

3

4

+ - - - + ...

converge en ] - 1, 1]. Por lo tánto,

Análogamente, ln(1 - t) =

00

tn

n=l

n

L-

Vt E [-1 , 1[

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Apéndice B

Integrales paramétricas reales

En este apéndice exponemos los aspectos básicos de las funciones definidas por medio de integrales en el campo real. Dado que el capítulo 12 trata el tema de las integrales paramétricas en variable compleja, el principal interés que debería tener para el lector de este texto sería el de comparar los resultados relativos a este tipo de funciones en ambas si t uaciones. La aplicación directa que a lo largo del apéndice daremos a los resultados que se obtengan, va a ser el cálculo efectivo de muchas integrales reales, propias e impropias, como

que -por la dificultad que presenta la búsqueda de primitivas o lo extenso de los cálculos necesarios* - se puede efectuar introduciendo parámetros en la función a integrar con el fin de derivar, integrar o simplemente tomar límites respecto al parámetro. Ahora bien, el verdadero interés de las integrales paramétricas (reales o complejas) es otro: muchas de las funciones que aparecen efectivamente en problemas físico-técnicos (funciones de Euler, transformadas integrales, .. . ) son integrales paramétricas. Estudiaremos las propiedades de continuidad, derivabilidad e integración de funciones definidas a partir de integrales de Riemann, propias o impropias, de funciones reales de variable real con uno o más *0 porque la primitiva no es una función elemental.

287

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288

Apéndice B: Integrales param étricas reales

parámetros . Habremos de separar el caso propio del impropio, porque en este último debemos exigir algo más que la convergencia de las integrales.

B.l.

INTEGRAL PARAMÉTRICA PROPIA

Sea 1 = [a, b] un intervalo acotado de la recta real. Sea A e ]Rn, x 1 ----+ ]R una función integrable en [a, b] Vx E A . Podemos definir entonces la función

y

f :A

F(x)

=

¡b f(x, t)dt

xEA

Nuestro objetivo es estudiar las propiedades de est a función .

Teorema B.l (Continuidad) Si A es un subconjunto compacto de y f(x, t) es continua en H = A x 1, entonces F(x) es contimta en A. Es decir, para todo Xo E A,

]Rn

}i!;;o ¡bf(x, t)dt

=

¡b f( xo, t)dt

Demostración. - Probaremos que F es continua en Xo para cualquier Xo E A. Dado é > 0, sea é' = 2 (b~a}" Como H es un compacto de ]Rn+ l,

f

es uniformemente continua en H, luego existe un 8 >

°

tal que

1f(x, t) - f(x ' , t') 1< é' V(x, t), (x', t' ) E H j 1(x , t) - (x', t' ) 1< 8 'Tomando x E A j 1x - Xo 1< 8, para cualquier t E [a, b] tendremos (x, t), (xo, t) E H y 1(x, t) - (xo , t) 1=1x - Xo 1< 8. Por lo tanto, 1f (x, t) - f(xo , t) 1< é ' Entonces, 1

F(x) - F(xo)

I¡b f(x, t)dt - ¡b f( xo, t)dt l I¡b (f( x, t) - f(xo , t))dt l

1

< ¡b f(x, t) - f(xo, t) dt 1

<

é ' (b

- a) < é

1

O

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289

Integral paramétrica propia

Nota.- Aunque el teorema B.1 ha sido enunciado para compactos, es también válido en otras situaciones. ASÍ, si ¡(x, t) es continua en A x 1 y A es abierto, del teorema B.1 se deduce que F es continua en los subconjuntos compactos de A; como para todo x E A existe una bola cerrada centrada en x y contenida en A , entonces F es continua en A. Por lo tanto, el teorema B.1 sigue siendo válido si se cambia compacto por abierto. Ejemplo.- Cálculo de la integral

1-

dt

1

1 (1 + 2)2 t

o

Sea

E [0,1]

a

Como

(Ht 2

)(a

2 +t 2 )

es continua en [~ , 1] x [O , 1], F(a) es continua en [~ , 1].

En particular,

1 = lím F(a) a-> l-

Calculamos entonces F(a): si a =1- 1,

=

_1_ {1 1 - a 2 Jo 1

- '- - 2

1-a

_1_ 1 - a2

(~ + 1

+ t2

[ - arctan t

) dt

t]1 + -a1 arctan -ao

(~arctan ~ a

1

a2 + t 2

_

a

~) 4

En definitiva, 1. arctan 1. -

1 = lím

a

a

1-a 2

a->l-

Zé 4

7r

= _ 8

1 +_ 4

Teorema B.2 (Derivación) Sea A = [e, d]. Si existe la derivada parcial de ¡ respecto a x y ésta es continua en A xl, entonces F es derivable en [e, d] y

F'(x)

=

l

a

b

a¡

ax (x, t)dt

Vx E A

http://carlos2524.jimdo.com/ Apéndice B: Integrales paramétricas reales

290

Es decir, puede intercambiarse la integral con la derivada respecto al parámetro. Demostración.- Supongamos que x, y E [e, dl. Entonces,

y ~ x. (lb f(y, t)dt - lb f(x, t)dt)

F(y)-F(x) y-x

- 1

y- x

¡b (f(y, t) - f(x, t)) dt a

(B.l)

Para cada valor fijo de t se puede aplicar a f el teorema del valor medio: existe un punto intermedio z, entre x e y, de modo que

f(y,t) - f(x,t)

of ox(z,t)(y - x)

=

Sustituyendo esta igualdad en (B.l) resulta:

F(y)-F(x) y- x

=

(b of (z,t)dt ox

la

El valor de z depende de t, x e y pero, como se encuentra entre x e y, límy -+ x z = x. Por lo tanto, aplicando el teorema B.l,

, F(y) -F(x) 11m --'---'-------'---'y-+x y- x

lím {b °of (z, t )dt y-+x la

¡

b,

hm

a y-+x

X

of

-aX (z, t)dt

{b of l a

ox (x, t)dt

D

Ejemplo.- Cálculo de

F (y) =

{ ~ ln lo

(1 + t) ~ Y cos 1 - Y cos t

cos t

Aunque f(y, t) no está definida en t = . ImpropIa, ya que

.

, 1n 11m t-+

~

(1 +

~,

y

El -

1, l[

no se trata de una integral

y cos t ) -1- = 2y 1 - Y cos t cos t

http://carlos2524.jimdo.com/ Integral paramétrica propia

es decir, f está acotada, y en ] - 1, 1[x [O, ~ [, es integrable en [O,~] para todo y E]- 1,1[.

291

f (y, t)

es continua, luego

La derivada parcial

af

2 ay (y, t) = 1 _ y2 cos 2 t

es continua en ] - I,I [ x [ O,~] . De aquí se deduce por el teorema B.2 aplicado a cualquier intervalo cerrado contenido en ] - 1, 1[ que F es derivable en ] - 1, 1[ Y

F'(y)

=

(~

2

Jo 1 - y2 cos 2 t

dt

Para calcular F'(y), haciendo el cambio u = tan t, obtenemos

F' ( ) - ¡+oo 2 du _ 7r Y - Jo 1 + u2 _ y2 - y'f=y2 Es decir,

F(y) Pero como F(O) =

= 7rarcseny

fo~ In ldt = F(y)

+e

Vy E] - 1, 1[

O, ha de ser

= 7r arcsen y

VyE ] -I,I [

e=

OY

Vy E] - 1, 1[

Podríamos ahora preguntarnos si , para y = 1,

F(l) = 7r arcsen 1 =

7r 2

2"

Pero como para y = 1 la integral es impropia en O, debemos posponer la cuestión hasta la próxima sección. Ejemplo.- Cálculo de

Si consideramos la función

¡l

F(a)

=

dt . Jo (a2 + t2)5

http://carlos2524.jimdo.com/ 292

Apéndice B : Integrales paramétricas reales

el teorema de derivación nos permite asegurar que

-5 · 2a ...,------,-dt o (a 2 + t 2 )6 1

1

Esta fórmula sugiere otro modo de atacar el problema: si partimos de la función

i- O,

a

n E

N

encontraremos

fl

F'() na

= Jo

-2an d (a 2 +t2)n+l t

es decir, F~(a) = -2anFn+1 (a), o bien Fn+l(a) = -2!nF~(a ), fórmula que puede iterarse hasta obtener .

()

( _l )n

n) ( )

Fn+l a = (2a)nn!F1 a

Pero F 1 se calcula fácilmente:

Fl(a) = fl

Jo

a

2

dt

+t

2

=

~ arctan ~ a

a

Por lo tanto,

Ejemplo.- Determinar la función

F(x) =

J:'Ir ln(l + X2 -

2x cos t)dt

-l 1

(Bo3)

Ante todo, debemos observar que la integral que aparece en (Bo3) no es impropia ya que, aunque el logaritmo no está definido en t = O, n 1 límt-+o t - In t = O Vn > lo Trataremos de aplicar el teorema de integración a

La función f(n, t) = t n - 1 ln t es continua en ]1, +oo[ x ]0,1] y además,

lím t n - 1 ln t = O Vn > 1

t-+O+

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295

Integral paramétrica propia

luego f puede extenderse continuamente a ]l ,+oo [x [O, 1]. Aplicando el teorema B.3 a cualquier intervalo [a, n], a > 1,

¡n

F(x)dx =

11 in O

a

(t X - 1 lntdx)dt =

B.l.l.

(t n - 1 _t a -

1

O

a

y, derivando respecto a

11

n, F(n)

)

1 1 dt =--n

a

= - ;2 .

EXTREMOS DEPENDIENTES DEL PARÁMETRO

A veces nos encontramos con integrales en las que el parámetro aparece también en los extremos de integración. Por ejemplo,

+ tx) dt 1 +t2

(X ln(l

Jo

En general, consideramos la función

G(x) =

l

Q(X)

f(x ,t)dt

p(x)

donde p y q son funciones de ~n intervalo [e, d] en otro [a , b]; si además f(x,t) es integrable (respecto a t) en [a, b] 'l/x E [c,d], entonces G(x) está definida en [e, d]. Sobre la continuidad de G, es fácil obtener el siguiente resultado. Teorema BA Si p y q son continuas en [e, d] y f es continua en

[e, d] X [a , b], entonces G es continua en [e, d].

O

No tiene mucho sentido plantearse un teorema similar al de integración pues, aunque G( x) es integrable, no se puede invertir el orden de integración con una integral que depende de x. Para la derivación tenemos lo siguiente. Teorema B.5 Si p(x) y q(x) son derivables en [e, d] y si f(x , t) y ~(x , t) son continuas en [c , d] x [a , b], entonces G(x) es derivable en [c , d] y I

G (x) =

lQ(X} p(x)

af

~(x, uX

I

I

t)dt+ f(x, q(x))q (x)- f(x,p(x))p (x)

x E [c,d]

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296

Apéndice B: Integrales paramétrícas reales

Demostración.- Si definimos la función

entonces G(x) = H(p(x),q(x),x), de forma que G' (x)

= 88H (p(x), q(x), X )p' (x) + 88H (p(x), q(x) , X )q' (x) + 88H (p(x) , q( x), x)1 x2

Xl

X3

siempre que las derivadas parciales de H existan. Ahora bien,

por ser j continua, y

en virtud del teorema B.2. Sustituyendo estos valores en G'(x) se obtiene la fórmula anunciada.

o

.,

¡x ln(l + tx)

EJemplo .- Calculo de F(x) = Jo

1 + t2

dt, x E IR.

Si x < 0, el cambio u = - t convierte F(x) en - fo- x ~~~~du, es decir, F(x) = -F(-x). Por lo tanto, basta con determinar F para los valores no negativos de x . Lafunciónj(x , t) = lnl~~~x) es continua en [O , +oo[x[O , +oo[ytambién lo es su derivada parcial ~(x,t) = l1t2 1~tx. Por lo tanto, Fes derivable en [O , +oo[ y

F'(x)

=

x

1 t d - -- - t 2 o 1 + t 1 + tx

i

1 [ln( l

-2

+ X2) 2

l+ x

+

ln(l + X2) + ---'----::-":'"

1+

X2

2x ] arctan x l+ x

--2

Así pues ,

F(x)

1

= 2"ln(l +

X2)

arctanx +

e

(B.4)

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29T

Integral paramétrica propia

y puesto que F(O) luego

= O, sustit uyendo x = Oen

= 2"1 InO + x 2 ) arctan x

F( x)

(B.4), obtenemos

e = O.

x 2::0

Finalmente, teniendo en cuenta que F( - x) = -F(x), pode mos concluir que Vx E IR

Ejemplo.- Sea j( l) continua en [a, b] y consideremos las fun ciones Fn(x ) =

i

x

(x - t)"

,

n.

a

j(t)dt

nEN

Las hipótesis del teorema B ..') se comprueban sin dificultad y por lo tanto,

r

F~ (x)

la

l

a

~ ((X

uX

-,t )" j(t))dt

+ (x -,x)" j(x)l

n.

n.

x (x - t)n-l ( , j(t)dt 11 -

1).

es decir ,

Por recurren cia res ultará que

x E [a , b] luego

x E [a , b] y, ademá.s ,

Fn(a)

= F~(a) = F~/(a) = ... = F;:l(a) = O

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298

Apéndice B: Integrales paramétricas reales

B.2.

INTEGRAL PARAMÉTRICA IMPROPIA

Como anticipábamos en la introducción, el hecho de que se estudien por separado las integrales paramétricas propias y las impropias se debe a que los teoremas vistos hasta aquí pueden fallar en el caso impropio t . como muestra este primer ejemplo. Ejemplo.-

Sea F(x) =

nos permite obtener F:

f +=

Jo

xdt2

1+

x t2 '

x E IR.. Un cálculo directo

?!.

F(x)

= arctan(xt) It== t-+= lím arctan(xt) = {

2'

si x > O

O, si x = O 2 , si x < O

7r

Se observa entonces que F es una función discontinua en x = O a pesar de que f( x, t) era continua en lR x [O , +00[. Luego, en conjuntos A que contengan al O, el teorema B.l no se cumple, aunque en otros conjuntos podría ser que sÍ. Si se analiza un poco F( x) observaremos que, para un valor de x fijo y próximo a cero, la convergencia a 7r / 2 es mucho más lenta que para valores de x más alejados. Esto , como se puede imaginar, nos lleva a distinguir entre la convergencia ordinaria (puntual) y otro tipo más fuerte de convergencia (la convergencia uniforme). Antes de entrar en materia es conveniente hacer algún comentario acerca de las integrales impropias. Integrales impropias (o de Riemann generalizadas) las hay de dos tipos (o de tres, si se consideran las doble y múltiplemente impropias): de primera especie, es decir, aquellas en las que el intervalo de integración es no acotado en uno de los extremos y de segunda especie, cuando la función a integrar en [a, b] no está acotada en las proximidades de uno de los extremos (y, como decíamos, aquellas en las que el intervalo de integración es ]- 00, + oo [ y / o la función no está acotada en el entorno de varios puntos). Ahora bien, como siempre es posible realizar una partición del intervalo de integración de forma que en cada sub intervalo exista un solo tipo de impropiedad, y como, además, todos los tipos de impropiedad - con un cambio de variable conveniente- se t No debe extrañarle al lector este resultado si ha consultado el apéndice A .

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299

Integral paramétrica impropia

transforman en una integral de la forma

Jar+

oo

f(x, t)dt

con f acotada en [a, +00[, no es necesario demostrar (ni siquiera enunciar) los teoremas y propiedades más que para este caso. B.2.1.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE PRIMERA ES PECIE

Definición B.1 Sea f(;1' , t) una función acotada respecto a t en r oo

A x [a, +oo[ y supongamos que Ja .f(J.:, t)dt converge para todos los valores de x en A. E n tal caso, diremos que esta integral converge puntualmente en A a F. La convergencia puntual de la integral escribi endo

F (;1' ) =

¡ +oo

Ja

1+0.:,f(.1'. t)dt

f( J.', t)dt a F se exp resa

.r E A

(B.5)

Definición B .2 Diremos que (B.5) converge uniformemente a F en A si,

VE: > O 3M > u

~

al

{11 f(J.', t)dt - F(J.:)I < U

M

==}

Supongamos que F (J.: ) = que

F(x) =

ftx) f( ;1', t)dt

¡+oü .f(J.:, t)dt

VJ.' E A}

puntualmente en A . Puesto

lím

=

b~ + oo

a

E

¡b

f( x, t)dt

a

para cualquier sucesión t n contenida en [a , +oo[ y di vergente a +00,

F(x) = lím

n-++ co

¡

tn

f(x, t)dt

Q.

por lo que, ponif'ndo

Fn(x)

¡tn

= Ja

f(x , t)dt

(B .6)

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300

Apéndice B: Integrales paramétricas reales

F se puede expresar como el límite (puntual) de una sucesión de funCIones. Análogamente, si la convergencia de (B.5) es uniforme en A, entonces la sucesión Fn de (B.6) converge uniformemente a F en A. Este hecho permite trasladar los resultados del apéndice A al contexto de las integrales paramétricas. Dado que las Fn son integrales paramétricas propias, los teoremas de la primera parte de este apéndice hacen que hereden las propiedades de f (x, t) y, por la convergencia uniforme (de una sucesión de funciones), F también heredará tales propiedades. En resumen, los siguientes teoremas son inmediatos.

Teorema B.6 (Continuidad) Supongamos que A es co mpacto. Si f f+ oo es continua en A X [a , +oo[ y si la f(x, t)dt converge uniformemente a F en A, entonces F es continua en A, es decir,

Ji.r;;o

¡+oo f( x, t)dt = ¡+oo f( xo, t)dt

O

Teorema B.7 (Integración) Si f es continua en [e,d] x [a , +oo[ y

¡+oo f(x, t)dt converge uniformemente a F en A, entonces F es integrable en [e, d] y además

id (¡+oo

f(x, t)dt) dx =

¡+oo (idf(x, t)dX) dt

O

Teorema B.8 (Derivación) Supongamos que a) f(x , t) y

~~ (x, t)

b) La integral

son continuas en [e, d] x [a , +00[.

¡+oo f( x, t)dt converge puntualmente en [e, d] a la fun-

ción F(x). f+ OO 8f 8x (x, t)dt converge uniformemente en [e, d] a la

e) La integral l a función G(x) .

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Integral paramétrica impropia

Entonces, F es derivable en [e, d] y F' = G. Es decir, se puede intercambiar la integral con la derivada:

(rOO la f(x, t)dt )

d

dx

=

f laroo o ox (x, t)dt

Estos resultados (y especialmente el último) serán muy útiles cuando tengamos criterios manejables de convergencia uniforme. En este sentido, de la definición se deduce inmediatamente que la integral fa+ oo f(x, t)dt converge uniformemente en A a F(x) si, y sólo si,

lí~ sup \ (U U--++OO xEA la

f(x, t)dt - F(x)\

=O

y, cómo no, la correspondiente condición de Cauchy:

Teorema B.9 (Condición de Cauchy)

La integral

1+

00

f(x, t)dt

converge uniformemente en A a F( x) si, y sólo si,

VE> O 3M>

a /

\l

V

v

Ejemplo.-

>u>M

1+

====}

f(x, t)dt\

o

\l

U

o

' le-xul

1\

. e- xt dt - - = sup - - = +00 x x>o X

para cualquier u > O. Sin embargo, sí que es uniforme la convergencia en [e, +oo[ para cualquier e > O, ya que

1\ sup { ti e- xtdt __ x> c \.jo x

= sup I_e-xu _I= x>c

y e - cu , 11m - - = O

u--++oo

e

X

-cu _e_ e

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302

Apéndice B: Integrales paramétricas reales

dx

+00

1

Ejemplo.-

--:----,- converge en IR - {O} y la convergencia es

o

x2

+ y2

uniforme, ya que

r

Ilu siempre que O < u que si v > u > M ,

I I fV dx I= ;¡1 -

dx X2

+ y2 ~ lu -;}

1

1

-;; < ;¡

< v, luego dado é > O tomamos M

= l/é de forma

Vy> O El método en general más rápido de demostrar la convergencia uniforme es el criterio de Weierstrass. Si 1f(x , t) I~ M(t) r oo r oo Vx E [a , +oo[ Vy E A Y si la M(t)dt converge, entonces la f(x, t)dt

Teorema B.lO (Prueba M de Weierstrass) converge absoluta y uniformemente en A. O

Ejemplo.- Convergencia uniforme de

¡

+oo sen t --dt en [O, + oo[ 1 ext t 2

Basta observar que sen-t I < -1 xt 2 2

Ie y que

¡ 1

+oo dt - 2

t

t

-

t

Vx 2': O

es convergente.

Ejemplo.- Convergencia uniforme de +00 sen xt

1 o

- -----=--::-dt 1 + x 2t 2

Dado que sen xt I 1 I1 + x 2 t 2 ~ i + c2 t 2

Vx / 1x 12': e

(B.7)

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303

Integral paramétrica impropia

1 2 2 dt converge si e > O, (B.7) converge uniformeJo 1+e t mente en ]- 00, - e] U [e, +00[, para cualquier e > o. De aquí se deduce sin dificultad la convergencia puntual en todo R

y como [+00

Ejemplo.- Cálculo de la integral

roo

dt

(1

Jo

+ t 2 )n

Supongamos que la función

está bien definida y se puede derivar bajo el signo integral. Entonces, ~ la derivada será

lo que nos permite calcular de forma recurrente

[+00

dt

1r

a2 + t 2

Jo

= 2a

_ l_F ' (a) -

~~

1 I _ 2 . 2a F 2 ( a)

= 2a5 2 . 4

- 2a

1

Fn:

2a32

-

1r

1·3

1 I 1r 1 ·3· .. (2n - 3) _ 2(n _1 )a Fn - 1 (a) = 2a 2n - 1 2·4· · ·(2n - 2)

(B.8)

Finalmente, la integral que buscamos será: Fn (1)

1r

1 . 3 ... (2n - 3)

= - --'-------'-

22 ·4· .. (2n - 2)

Para que nuestro razonamiento sea válido habremos de comprobar las hipótesis del teorema de derivación. a) La función fn(a, t) =

'lln.( t) 8a a,

-2na

= (a2+t2)n+l

(a 2

';t )n 2

Y su derivada parcial respecto a a,

son con t·lnuas en

1Il>2 ~

.

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304

Apéndice B: Integrales paramétricas reales

b) La integral Jo+ oo (a2~~2)n converge puntualmente en IR - {O}.

/3,

c) Finalmente, si O < a ~ a ~ 2 \ (a

luego la integral Jo+

oo

2n/3 - 2na \ + t 2 )n+l ~ (a 2 + t 2 )n+l (a;-~~)~~l converge uniformemente en

[a, /3].

Eligiendo O < a < 1 < /3 podemos garantizar la validez de todo el razonamiento. En realidad, es fácil convencerse de que (B.8) es válida para todo a i= o. ¿Qué ocurre si a = O? B.2.2.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE

Supongamos ahora que la función ¡(x, t) es continua en Ax]a, b] pero existe algún valor de x para el que, considerada como función de t, no está acotada. Esto significa que la integral paramétrica

¡b

¡(x, t)dt

es impropia en a para algún valor de x .i

J: ¡(x, t)dt converge uniformemente a

Definición B.3 Diremos que F en A si,

Vé > O :Juo E]a, b]¡

u E)a, uo]

:=:::;.

{\l

b

f(x, t)dt - F(X)I

Teorema B.11 (Condición de Cauchy) converge uniformemente en A

Vé > O :JM E]a , b]

¡

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Indice alfabético Abel

cambio de variable en una integral curvilínea , 81 camino, 71, 227 cerrado, 73 índice de un, 155 extremos de un, 71 función integrable a lo largo de un, 78 independencia del, 95 longitud de un, 73 poligonal, 75 rango de un, 71 regular, 71 regular a trozos, 73 simple, 73 camino sin fin, 220, 227 de segunda especie, 225 integral a lo largo de un, 220 rango de , 220, 225 regular a trozos, 225 caminos con catenación de, 75 de sentido contrario, 77 equivalentes , 77 opuestos, 77 campo conservativo, 95 Casorati, teorema de Casorati- Weierstrass, 173 Cauchy condición de, 28, 204, 208, 221, 222, 226, 263, 270, 301, 304 condiciones de Cauchy-Riemann, 54, 57 desigualdad de Cauchy-Schwarz, 235 desigualdades de, 146 fórmula de Cauchy para el anillo, 159 fórmula de la integral de, 139 fórmula de la integral para las derivadas, 140 producto de, 35 sucesión de, 22 teorema de Cauchy-Goursat, 88, 101 centro de una circunferencia, 75 cero aislado, 147 cero de orden p, 148 ceros, 192

criterio de, 275 fórmula de sumación parcial de, 34,273 teorema del limite de, 284 abierto, 37 abscisa de convergencia de la transformada de Laplace discreta, 213 absoluta, convergencia, 28 acotado, 37 acumulación, punto de, 22 álgebra de limites , 43 teorema fundamental del, 44 , 45, 102, 146, 195 anillo, 122 fórmula de Cauchy para el, 159 antípoda, 33 aplicación abierta, teorema de la, 155 Argumento, 12 argumento, 12 principal, 12 principio del, 194 Barrow, regla d e, 40, 83 Bernouilli, nÚIneros de, 153 Bessel, funciones de , 219, 228 Beta función, 243, 248 propiedades de la función, 243 relación entre {3 y r, 247 Bezout, teorema de, 50 biláteras convergencia de series de potencias, 122 series, 31 series de potencias, 121 Binomio, fórmula del, 17 Bohr, teorema de Bohr-Mollerup, 236 Bolzano, teorema de Bolzano- Weierstrass, 22 cadena, otra regla de la, 62 cadena, regla de la, 59 cálculo de integrales reales, 176 cálculo de probabilidades, 250 cálculo del residuo en un polo, 168 cambio de parámetro, 77

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Indice alfabético

localización d e, 192 ceros aislados, principio d e, 148 cerrado,37 círculo de convergen cia d e una serie de p otencias , 107 circunferencia, 75 centro de una , 75 índice de una, 137 radio de una, 75 clasificación de s ingularidades, 165 cociente criterio d el, 30 derivada del, 59 coeficientes de la serie de Laurent, 162 compacto, 37 compactos convergen cia unifonne en los, 209 completo, 22 componentes con exas, 134 composición d e funciones continuas , 44 concatenación de caminos, 75 condición de Cauchy, 28, 204 , 208, 221, 222, 226, 263, 270, 301, 304 condición necesaria d e convergencia, 28 condiciones de Cau ch y-Riemann , 54, 57 conexo ,37 conjugada d e una función armónica, 155 conjugado, 10 conjunto abierto, 37 acotado, 37 cerrado, 37 compacto, 37 con exo, 37 estrellad o, 192 constante d e E uler-Mascheroni , 252 con t inuidad d e una integral paramétrica impropia, 224, 226, 300, 305 d e una integral paramétrica propia, 216, 288, 295 d e una serie de funciones complejas , 208 d e una sucesión d e fun ciones complej as, 204 d e una su cesión d e fun cion es r eales , 264 uniforme, 39 contorno de J ordan , 193 convergencia absoluta de integrales impropias, 220 de una serie de números complej os, 28 condición necesaria de, 28 de integrales impropias, 220 d e series de potencias b iláteras, 122

d e un producto infinito, 251 d e una serie de números complej os, 27 de una sucesió n de números complejos,

21 localmen te uniforme, 211 puntual de integrales para m étricas, 222,226, 299 ,306 d e una serie de funciones complej as, 208 de una sucesión de fun ciones complejas, 203 d e una sucesión de funciones reales, 260 uniforme caracterización de la, 262 de integrales paramétricas, 222, 226, 227, 299, 304, 306 d e una serie de fun cion es complejas, 208 d e una sucesión d e funciones complej as, 204 de una sucesión de funciones reales , 262 en los compactos, 209 y derivación , 206, 209, 266 convexidad logarít mi ca, 234 coord enadas geográficas, 26 corona circular, 122 cri terio d e Abel, 275 de Cauchy (ver con dición de Cauchy) de Dirichlet , 34, 124, 273 de la raíz, 28 de Weierstrass (ver prueba M) del cocien te, 30 cu erpo orden ado, 17 curva de Jordan , teorema de la, 134 longitud de una, 48 De Moivre, fórmula de, 15 , 11 5 definición d e derivada, 53 d erivación b a j o el signo integral en integrales paramétrkas impropias, 224 , 227 ,300, 305 en integrales paramétricas propias,

217,289,295 d e una serie de funci on es complej as, 209 de un a serie de potencias , 108 de una sucesión de funciones complej as, 206 de una sucesión de funciones r eales, 266 paramétrica, 41

http://carlos2524.jimdo.com/ Indice alfabétíco derivada, 53 d e la función inversa, 62 de la suma, 58 de lilla serie de p otencias real, 278 de! cociente, 59 del producto, 58 función, 54 derivadas sucesivas de la trans formada d e Laplace, 225 desigualdad de Cau chy-Schwarz, 235 de J or dan , 183 triangular , 10 desigualdades d e Cau chy, 146 d etenninación de! logarit.mo, 98 principa l d e (1 + 0)° . 143 principal d el logaritmo, 92 diámet.ro d e un t.riá n gulo, 87 Dirichlet criteri o de, 34, 124 , 273 int.egrales d e, 255 d istribución n ormal , 255 t ipificada, 250 djvergencia a infini to de Wla sucesión de números complejos, 23 de un produc to infini to, 252 de una serie d e números conlplejos , 27 ecuador , 25 eje imaginari o, 10 eje r eal , 10 entorno de infinito, 37 equivalen cia de canti nos, 77 esfera d e R iemann, 27 estereográfica, proyección , 25 Euler , 36 con stante de E uler-Mascheroni , 252 fórmulas de, 117 funcion es de , 231 Fibonacci números d e, 124, 126 forma p ola r , 11 forma trigonométrica, 11 fórmula d e Cauchy para el anillo, 159 de D e M oi vre, 15, 11 5 de duplicación, 253 de la integral de Cau chy, 139 de la int egra l de Cauchy para las derivadas , 140 d e los complementos , 245 de s umación parcial d e Abe!, 34, 273 de Wallis , 248, 249 d el binomio, 17, 141 fórmulas de E uler, 11 7

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fracciones simples, 50 Fresnel, integrales de , 198 función analitica de variable r eal, 131 en un a bierto, 132 en un punto, 132 real , 281 armóni ca conju gada, 155 {3, 243, 268 propiedades de la , 243 r elación entre {3 y r , 247 r.on tinua, 43 d e variable real , 39 en un conjunto, 39, 43 en to, 39 en 20, 43 de clase en, 13 1 de clase e=, 131 de densidad , 250 derivable, 39, 53 en un conjunto, 40, 53 en to, 39 en zo, 53 deri vada , 54 entera, 146

euleriana de primera especie, 243 euleriana de segunda especie, 233 exponencial, 113 r, 233, 307 com o producto infinito, 251 de variable real, 234 fórmula de duplicación , 253 polos de la, 240 prolongación analíti ca de la, 238 propiedades de la , 234 relación entre B y r, 247 holomorfa en u n conjunto, 53 en zo, 53 integr able de variable r eal, 40 integrable a lo largo de un camino , 78 inversa derivada de la , 62 rectificable, 49 uniformem ente continua , 39 z de Riemann , 212 funciones armónicas, 155 complej as de variable compleja límite de , 42 de variable compleja , 42 de variable reallínúte de, 38 de variable real , 38 series d e, 208 sucesión d e, 203

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Indice alfabético

continuas, composición de, 52 de Bessel, 225 , 234 de Euler, 237 hiperbólicas, 127 logarítmicas, 103 reales, sucesión de , 265 trigonométricas, 124 Gamma fórmula de duplicación, 259 función, 239, 313 la función r como producto infinito, 257 polos de , 246 prolongación analítica de la función , 244 propiedades de la función, 240 relación entre (3 y r, 253 geométrica, serie, 37 Goursat, teorema de Cauchy-Goursat, 96, 109 hemisferio norte, 34 hemisferio SUl", 34 H opital (ver I'Hopital) iden tidad principio de, 155 igualdad de números complejos , 13 imaginarios puros, 14 independencia del camino , 103 índice de un camino cerrado, 141 de una circunferencia, 143 infinit.o, 3 1 entorno de, 45 int.egrac ión de una integral paranlét.rica ÍIllpropia, 306,311 de una integral paramét.ri ca propia, 300 d e una serie de fluI ciones cOInplejas. 214 de una sucesión de fun ciones cOlnplejas, 210 de una sucesión de ftm c iones reales. 271 integral a lo largo de un camin o s in fin , 226 cW'vilínea , 86 cambio de variable en una, 89 propiedades de la , 87 real y compleja, 94 d e Cauchy, fórmula de la, 145 impropia de primera especie , 226 , 304 paramétrica impropia , 225, 304 caso general, 233, 3 12 de primera especie , 227 , 305 de segunda especie, 231. 3 10 integrales de Dirichlet, 261 de Fresnel , 205

de Wallis, 254 paramétricas impropias continuidad, 230 , 232,306, 311 derivación bajo el signo integral, 230, 233.306, 311 integración, 306, 311 paramétricas propias , 221, 294 continuidad, 222, 294, 301 derivación bajo el signo integral, 223, 296, 302 extremos dependi~ntes del parámetro, 301 integración , 300 paramétricas reales , 293 reales , cálculo de, 182 intervalo de convergencia d e una serie de potencias real, 283 inversión de la transformada de Laplace, 204 isomorfismo entre IC y JlI( 2 , 17 i, 12, 13 ]m·dan contorno de, 200 desigualdad de, 189 lema de, 188 teorema de la curva de, 140 l ' l-Jopital , regla de , 157 Laplace derivadas sucesivas de. la transformada de , 231 inversión de la transformada de , 204 transformada de , 231, 235 transformada discreta de, 219 latitud . 34 Lauren t , serie de , 163 . 268 lema de Jordan, 188 Iímit.e de tma funci ón complej a de variable compleja, 50 d e una función compleja de variable real , 46 d e una sucesión de núnleros complejos . 29 infinito de una sucesión de nÚIneros conlpIejos, 31 límites , á lgebra de, 51 Liouville . teorema de, 152, 158 localización de ceros, 198 logaritmo determinación d el, 106 det.erminación principal del, 104 longitud , 34 longitud de lm camino , 81 independencia de la orientación , 86 independencia de la pararnetrización, 86

http://carlos2524.jimdo.com/ Indice alfabético longitud de una ClITva, 56 M, prueba de Weierstrass , 215 , 229,232 , 258, 277 , 308, 311 Mascheroni, constante de Euler-Mascheroni, 258 máximo, principio del , 162 media aritmética, 261 meridianos, 34

Mertens, teorema de, 43 módulo , 18 módulo máximo , princ ipio del, 156 módulo mínimo , principio del, 161 Moivre (ver D e Moivre) Mollerup, teorema de Bohr-Mollerup, 242 Morera, teorema de, 211

multiplicación de series, 43 de potencias, 133 número complejo, 13 argumento de un , 20 conjugado de un, 19 en forma exponencial, 123 forma polar de un, 19 forma trigonométrica de un , 19 modulo de, 18 parte imaginaria de un , 14 parte r eal de un, 14 númer o d e vueltas, 145 números complejos, 11 convergencia de una serie de, 35 divergencia de una serie de , 3.5

igualdad d e, 13 imaginarios puros, 14 límite de una sucesión de, 29 producto de, 13 r eales, 13 serie de, 35 significado geométrico del product.o de , 22 sucesión de, 29 sucesión de Cauchy de, 30 suma de, 13 números de Bernouilli, 159 números de Fibonacci, 132, 133 orden de un cero , 154 otra regla d e la cadena, 70 paralelos, 34 parametrización natlITal , 93 parametrizaciones, 85 parametrizaciones equivalentes , 85 parte imaginaria, 14 principal, 170 r eal , 14 regular , 170 plano ampliado, 32

plano complejo, 17 poligonal , 83 polígono, 83 polo, 171 polo norte, 33 polo sur, 33 polos, 199 de r, 246 potencias complejas , 127 potencias , series de, 114 primitiva de una función de variable compleja, 90 de una función de variable real, 48 principal, parte, 170 principio de identidad, 155 de los ceros aislados, 154 del argumento, 200 del máximo, 162 del módulo máximo, 156 del módulo mínimo , 161 producto de Cauchy, 43 produc to, derivada del , 66 producto de números complejos , 13 producto infinito, 257 prolongación analítica de r, 244 propiedades de la función {J, 249 propiedades de la función r, 240 propiedades de la integral curvilínea, 87 proyección estereográfica, 33 prueba M de Weierstrass , 215, 229, 232, 258, 277, 308, 311 punto de acumulación , 30 punto del infini to, 31 punto fijo, un teorema de , 205 radio de convergencia de una seri" de p otencias compleja, 114 de tIlla serie de potencias real, 282 radio de una circunferencia, 83 raices n- ésimas , 23, 123 raíz , criterio de la, 36 rango de un camino, 79 de un camino sin fin, 226, 231 reales, 13 recta real, 17 rectificable, 56 regla de Barrow, 48, 91 regla de I'Hópital, 157 regla de la cadena, 67 regular, parte, 170 relación entre {J y r, 253 reordenación de una serie, 42

residuo, 174 cálculo del, 174

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Indice alfabético

residuos, teorema de los, 176 Riemann,33 condiciones de Cauchy-Riemann , 62,65 esfera de, 35 función z de, 218 Rouché, teorema de, 200 Schwarz, desigualdad de Cauchy-Schwarz, 241 segmento orientado, 81 serie absolutamente convergente, 36 binómica, 148 d e funciones complejas continuidad, 214 de funciones complejas derivación , 215 de funciones complejas integración, 214 de Laurent , 163 , 168 coeficientes de la, 168 de niímeros complejos, 35 convergente, 35 divergente, 35 reordenación de una, 42 suma de una, 35 de p ot encias , 114 derivación de una, 116 radio de convergencia de una , 114 d e Taylor, 138, 287 geométrica, 37 series biláteras, 39 de fun ciones complejas , 214 de funciones reales , 273 d e números complejos , multiplicación de, 43 d e potencias reales , 281 convergencia uniforme, 283 d erivación de, 284 intervalo de convergencia d e, 283 radio de convergencia de , 282 d e p oten cias biláteras , 129, 130 de potencias círculo de convergencia d e una, 115 multiplicación d e, 133 significado geométrico d el producto, 22 singularida d aislada, 171 esen cial , 171 e vit able, 171 singularidades aisladas, 163 clasificación de, 171 solución trigonométrica de la cúbica, 136 sucesión, 29 d e Cauchy, 30 d e funciones complejas, 209 continuidad, 210 derivación, 212

integración, 210 d e funciones reales, 265 continuidad , 270 derivación , 272 integración, 271 de números complejos divergencia a infinito de una, 31 límite infinito d e una, 31 suma, derivada de la, 66 suma de la serie , 3,5 suma de números complejos, 13 sumación parcial, fórmula de Abel de , 42, 279 Taylor , serie de , 138, 287 teorema de Bezout , 58 d e Bohr-Mollerup, 242 de Bolzano-Weierstrass, 30 de Casorati- Weierstrass , 179 de Cauchy-Goursat para el polígono, 109 para triángulos, 96 de la aplicación abierta, 161 d e la curva de Jordan, 140 de Liouville , 152 , 158 de los residuos, 176 d e Mertens , 43 de Morera, 211 de punto fij o, 205 de Rouché, 200 del límite d e Abel , 290 fundamental del álgebra, 52, 53, 110, 152 , 202 topología de e, 45 transformada d e Laplace, 231, 235 derivadas sucesivas d e la, 231 discre ta, 219 inversión de la, 204 triangular, d esigualdad, 18 triángulo, 95 diámetro d e un , 95 unidad imaginaria , 14 Valencia, 41 valor principal , 181 varianza, 261 Wallis fórmula de, 254,25 5 integrales de, 254 Weierstrass prueba M d e, 215, 229, 232, 258 , 277, 308,311 t eorema d e Bolzano- Weierstrass , 30 teorema de Casorati-Weier str ass, 179 z, función de Riemann, 218

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ISBN 84-291 -5032 -3

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9 788429 1503 1 2 I .-

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