VARIABLE ALEATORIA.ppt

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”

DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICA

Ing. Greiza Lucena

VARIABLE ALEATORIA

Una función que asocia un número real cada punto del espacio muestral. Las v.a. definidas sobre espacios muestrales discretos se llaman v.a. discretas y las definidas sobre espacios muestrales continuos se llaman continuas.

VARIABLE ALEATORIA Una v.a. se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles; y se llama v.a. continua cuando toma valores en una escala continua. La Distribución de probabilidades o función de probabilidad:  modelo teórico que describe la forma

en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado, se simboliza por f(x).

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La Distribución de probabilidad de una variable aleatoria indica el comportamiento que ella tiene en el experimento. Esta función asigna probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta.

  

La distribución de probabilidad f(x) de una variable aleatoria discreta asocia un número entero o específico a cada elemento del espacio muestral, donde la función f(x) de cada resultado posible de x se debe cumplir: f(x)>= o; f(x)=1; P(X=x)=f(x).

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

1. Lanzamos una moneda 3 veces. Representamos cara por c  y cruz por z . W = {ccc, ccz, czc, zcc, czz, zcz, zzc, zzz } Definimos la v.a. X: número de caras, que puede tomar los valores {0, 1, 2, 3}. A esta función se le denomina función distribución de probabilidad (fdp)

x

Sucesos

px

0

{zzz}

1/8

1

{czz, zcz, zzc}

3/8

2

{ccz, czc, zcc}

3/8

3

{ccc}

1/8

EJEMPLO

2. Sigamos con el ejemplo X = Cantidad de caras al lanzar dos monedas  P(X = 0) = P(SS) = ¼  P(X = 1) = P(SC;CS) = P(SC) U P(CS) = ½  P(X = 2) = P(CC) = ¼

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

La variable aleatoria continua es aquella que toma cualquier valor en una escala continua. La función de densidad de probabilidad mide la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. La distribución de una variable aleatoria continua se define por su función de densidad de probabilidad(fdp) f(x); definida en los números reales si: a )  f  ( x )  0;  x   

b)

   f  ( x)dx  1  b

c ) P ( a   x  b) 

   f  ( x)dx

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA 

La función de distribución acumulada es la función que acumula las probabilidades asociadas hasta un valor de una variable aleatoria. Se simboliza F(x) y se define:

ESPERANZA MATEMÀTICA

Valor esperado o esperanza matemática o media

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA

     

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante perteneciente a los reales: 1) E (c ) = c 2) E (X+c ) = E(X) + c 3) E (cX) = c E(X) 4) E (X+Y) = E(X) + E(Y) 5) E (X-Y) = E(X) - E(Y) 6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)

EJEMPLO Se tira un dado. Se define como v.a. el número que sale ¿Cuál es su media? La variable X puede tomar los valores 1, 2, ..., 6 y para todos ellos f(x) = 1/6. En consecuencia la media es

Obsérvese que es un número que la v.a. no puede alcanzar

ESPERANZA MATEMÀTICA

Si X es una v.a. cualquier función de ella, h(x), es también una v.a., en consecuencia también se define este parámetro para una función de v.a.

VARIANZA 





La variancia es un parámetro de la distribución. Es una medida de dispersión de los valores de x alrededor de E(X). Se define como

aunque para el cálculo se suele usar esta otra fórmula equivalente: ¿Qué mide la varianza? Mide la dispersión de la variable alrededor de la media.

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante perteneciente a los reales:  1) V (c ) = 0  2) V (X + c ) = V(X)  3) V (cX) = c2 V(X)  4) Si X e Y son independientes V (X + Y) = V(X) + V(Y)  5) Si X e Y son independientes V (X - Y) = V(X) + V(Y)

TEOREMA CHEBYSHEV

La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – (1 / κ2). Es decir:  P (    k      X       k   )  1 

1 k 

2