Variable Aleatoria

 

Ullidad

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Distribuciones e Probabilidad

Variable aleatoria

Las Variables Aleatorias que se observan en la natural naturaleza poseen ciertas características y se puede puedenn clasificar según segú n su tipo. Por ejemplo el número de insectos que se mueren al aplicar una dosis de insecticida. supóngase que só sóllo estamos interesados en el número de i nsectos muertos. Entonces los resultados pueden representarse por los números O 1. 2. 3 .   n  Si consideramos esos númer núme ros como valores tomados por una variabl variab le X. entonces esa variabl variab le toma valores de acuerdo con los resueltos de un experimento aleatorio, y podemos pensar en X como en una variable al a leatoria, que en este caso representa el número de insectos muertos. a cada resultado de un experimento de probabil probabi lidad se le asigna un valor numérico numérico,, entonces a medida que se presentan los resultados e la prueba se observa una variable aleatoria. Este valor numérico es la Si

variable aleatoria

Variable aleatoria Es la variable que asume un va vallor numérico único para cada uno de los resultado esultadoss que aparecen en el espacio muestra de un experimento de probabilidad. Una variabl variablee aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemen elementt o el espacio muestra .

En ot otrras palabras. para denotar los resul resu ltados de un experimento de probab obabii lidad se usa una variable aleatoria. Ésta puede asumir cualquier valor numérico que pertenezca al conjWJto e todos los resu ltados posiblles de un experi posib experim mento (se denom denomii na ....aleatorio·· aleatorio·· por que el valor que asume es producto de un evento al azar o aleatorio). Cada evento en un experimento e probabi probabill idad también debe definirse e un modo que se le asigne sólo valor de la variable al a leatoria. y todo evento debe poseer un valor asignad asignado. o. Recordemos que un espacio muestra es el conjunto de todos los resultados posibl posib les de un experimento a leatorio determinado determinado.. En los conceptos que ahora estarnos tratando tratando,, se emplea el concepto de función, po porr ello es importante recordar la definición. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Si a cada elemento del de l conjunto A (dominio de la función) le asociamos un y só sóllo un elemento del de l conjunto B (Contra dom domiinio de la función) se dice que existe una funci función definida de A en B. Consecuentemente una variab variablle aleatoria es u na fun fu nción cu c uyo domin dominiio es el espaci espacioo muestra de un experimento a leator eatoriio. Ejemplo 1 1

Se lanza una moneda en e n tres ocas ocasiiones y se observa la cantidad e águilas que aparecen. Espacio muestra/

(S, S, S) (S, S, A) (S, A, S) (A, S S) S (S, A, A) (A, S, A) (A, A, S) { (A, A, A)

X=

número de águilas

x.

Ü

x2 =  

x3 x4

=2 =3

X= {0

l

Ág ui las

Águilas

Ág uilas

Ág uilas

2, 3}

Entonces pa parra precisar. decimos que si los valores que toma un una variable X están relacionados a los eventos elementales en el e l espacio muestra  muestra  S de un experimen experimen to dado, dado, la variab variablle X se le conocerá como VARIIABLE ALEATORI VAR ALEATOR IA.

 

 Unidad 1 Distribucio

uia del alumno

es e Probabilidtul

Volviendo al al concepto conce pto de función.

si

x 1 es un elemento del conjunto A (Dominio) y a éste le corresponde

y sól só lo un ele elemento mento de dell conjunto B (Contra dominio) digamos y 1 esto se conoce en el cálculo como: como:

un

imagen de x 1 es y 1" y así para cada elemento. El conjunto de todas las imágenes recibe el nombre de Rango de la Función. La

El

espacio Rx es el e l conjunto de todos los valores posib posiblles de la variabl variab le aleatoria X. es decir. su Rango.

Para el ejemplo 2.1. el rango es el conjunto

. 1, 2, 3}. Debe observarse que Rx está contenido en los

reales. Al rango de una variable aleatoria se le considera también como un espacio muestral. A continuación se muestran algunos ejemplos de diversas variables al aleatorias. Ej em p lo 1.2 Se lanzan cinco monedas y se observa el número de águilas visibl visib les. La variable aleatoria x es el número de águilas observadas y puede asumir valores enteros de O a 5. E j em plo 1 3 Sea el el número de llamadas telefónicas recibidas por día en una compañía La variab variablle .aleatoria aleatoria x es el número de llamadas telefónicas recibidas que varían desde cero hasta algún número muy grande. Ejemplo 1.4 Sea la longitud del cable de un aparato eléctrico una variable aleatoria. Ésta es un valor numérico entre y 72 pulgadas para casi todos los aparatos eléctricos.

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E jempl o 1.5 Sea la velocidad de calificación de los automóviles de carreras, que intentan calif calificar icar para las 500 millas de Indianápolis Indianápolis,, Una variabl variab le aleatoria puede ser: dependiendo de cuán rápido pueda ir el piloto piloto,, las velocidades varía varíann entre 200 o más y se miden en millas por hora (redondeando a la milésima de milla más próxima) próxima)..

1.1.1

Definición y clasificación: Variable a leatoria discreta y continua.

Las variables aleatorias numéricas pueden subdividirse en dos clases: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

(cuantitativo) Sea un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado con el experimento. Numéricas

riab ablle Va ri Aleator eatoriia

Una función X que asigna a cada uno de Jos elemento del espacio muestra , un número real X {s

Discretas Cuando entre dos posibles valores de ella so lamente hay un número finito de posibles valores intermedios. C on ontt inuas Cundo entre dos posibles valores de una variable numérica puede darse cualquier valor intermedio Infinito.

A leatoria Di Disc sc re t a (V.A.D.) variable cuantitativa que puede asumir una cantidad medible numerab numerablle de valores. De manera intuitiva la variable aleatoria discreta puede asumir los valo valorres correspondientes a puntos aislados situados a ro largo de un intervalo de recta. Es decir, entre dos variables cualqui cualquiera hay un hueco. Variable

Es la

Variable

A lea eatori toriaa Continua (V.A.C.)

Es una variable continua quecontinua puede asumir cantidad innumerable de largo valores. manera intuitiva, aleatoria la variable aleatoria puede una asumir cua lqui cualqui de De un er valor a lo intervalo de recta, o entre dos puntos pertenecientes a ella.

u

o 40 4011C

 

[J  idad

Distribuc Distribu cione iones s de Probabilidad

Gula

el alumno

En muchos casos. los dos tipos de variables pueden distinguirse al decidir si están relacionadas con un conteo o con una medición. Las variables del ejemplo 2.2 y 2.3 son discretas; los valores de las variables

se encuentran al contar el número de águi las observadas o al al conta r el número de llamadas telefónicas recibidas al contar no pueden ocurrir valores fraccion fraccionarios, arios, así, hay huecos entre los valores que pueden ocurrir). En las variables de los ejemplos 2.4 y 2.5 son variables aleatorias continuas; los valores de las variables se encuentran midiendo la longitud del cable y la velocidad al medir puede ocurrir cualquier valor fraccionario: fracciona rio: así es posible considerar valor o largo de la recta numérica).

Cuando se intenta determinar si una variable es discreta o continua, es necesario observar la variable y pensar en los valores que podrían ocurrir. No deben considerarse valores que ya han acontecido: esto podría ser muy engañoso, pues habrá la tentación de pensar en e l aspecto erróneo. continuación se muestra un ejemplo engañoso: considere la variable ··puntaje otorgado por un juez·· en una competencia de patinaje de figura. Si se consideran algunos puntajes ya ocurridos, 9.9, 9.5, 8.8. 10. y se advierte la presencia de cifras decimales decimales.. podría pensarse que son posib posiblles todas las fracciones, y así concluir que la variable es continua. Sin embargo. esto no es cierto cierto.. No es posible un puntaje de 9.124: así entre los valores posibles hay huecos y la variable es discreta.