Variable Aleatoria

 

 

Rarjan`o a`oatlrja _da varjan`o a`oatlrja os uda varjan`o quo tlfa va`lros dufêrjels motorfjdamls plr o` rosu`taml mo ud oxporjfodtl a`oatlrjl. Dl gay quo eldbudmjr `a varjan`o a`oatlrja eld sus plsjn`os va`lros. Ohofp`ls8 - 

- 

d¸ mo earas a` `adzar 2 voeos uda fldoma (va`lros8 ;, 1, >…)   d¸ mo ``afamas quo roejno ud to`êbldl od uda glra

- 

tjofpl quo osporad `ls e`jodtos para pacar od ud suporforeaml…  

@as varjan`os a`oatlrjas puomod sor mjserotas l eldtjduas8 Mjserotas8 o` eldhudtl mo plsjn`os va`lros os duforan`o. Uuo`od ostar aslejamas a oxporjfodtls od quo so fjmo o` døforl mo voeos quo sueomo a`cl. Eldtjduas8 o` eldhudtl mo plsjn`os va`lros os dl duforan`o. [uomo tlfar tlmls `ls va`lros mo ud jdtorva`l. Uld o` rosu`taml mo fomjr. Ohofp`l8 E`asjbjear elfl mjserotas l eldtjduas `as sjcujodtos varjan`os a`oatlrjas8 a)  n)  e)  m) 

d¸ mo pácjdas mo ud `jnrl  mjserota tjofpl quo tarma od budmjrso uda nlfnj``a  eldtjdua d¸ mo procudtas od uda e`aso mo uda glra  mjserota eadtjmam mo acua eldsufjma od ud fos  eldtjdua ↞

↞

↞

↞

Od `a práetjea so eldsjmorad mjserotas aquo``as varjan`os para `as quo foroeo `a poda asjcdar prlnanj`jmamos a tlmls `ls plsjn`os sueosls o`ofodta`os.

Mjstrjnuejõd mo uda varjan`o a`oatlrja Uoa x   uda uda varjan`o a`oatlrja mjserota. Uu mjstrjnuejõd vjodo mama plr `ls va`lros quo puomo tlfar,  x 1,  x >,  x 5,…,  x i  i , y `as prlnanj`jmamos mo quo aparozead  p1,  p>,  p 5,…,   pi .

Ostas eadtjmamos

 pj

[{x

xj }  

roejnod o` dlfnro mo budejõd mo

prlnanj`jmam. Ohofp`l8 Rarjan`o a`oatlrja x 6d¸ 6d¸ mo earas a` `adzar tros voeos v oeos uda fldoma [lsjn`os va`lros mo x 8 ;, 1, > y 5 @adzar 5 voeos fldoma8 O 6 {EEE, EEW, EWE, WEE, WWE, WEW, EWW, WWW}

@a varjan`o a`oatlrja x 8 ]lfa va`lr ; euadml leurro o` sueosl {WWW} ]lfa va`lr 1 euadml leurro o` sueosl {WWE,WEW,EWW} ]lfa ]lfa va`lr va`lr > 5 euadml euadml {EEW,EWE,WEE} {EEE}

1

 

 

@a budejõd mo prlnanj`jmam os8

 p;

[{  x

;} 1 / 7

;,1>?  

 p1

[ {x

1}

5/ 7

;,53 53? 

 p

[ {x

>}

5/ 7

;,53 53? 

[{  x

5} 1 / 7

;,1>? 

>

 p5

Budejõd mo prlnanj`jmam mo  x 8 ;.=;

;.5?

;.5;

;.>?

;.>;

;.1?

;.1; ;

 

 

1

>

5

  ¼Euá` sorá `a prlnanj`jmam mo quo sa`cad a` fodls mls earas<

 [{x

>}

;}

[{x

[{x

1}

[{x

>}

;,1>? ;,53? ;,53?

;,73? ¼y `a prlnanj`jmam mo quo o` døforl d øforl mo earas ostê odtro 1 y ><

 [{1

x

>}

[{x

1}

[{x

>}

;,53? ;,53?

;,3?  

@a prlnanj`jmam mo quo uda varjan`o a`oatlrja  x   tlfo ud va`lr odtro mls eadtjmamos a y n sorá8

 [{a

x

n}

[{x

a}

[{x

n

 [{x

xj }

 xj a

 

>

a 1} ... [{x

n 1}

[{x

n}

 

 

@a budejõd mo prlnanj`jmam vorjbjea quo8

 pj

[{x

i 

xj }   ;  

i 

 pj j 1

[{x

xj } 1 

j 1

@a budejõd mo mjstrjnuejõd l mo prlnanj`jmam aeufu`ama aeufu`ama    roprosodta odmjegl eama mo quo `a varjan`o tlfo ud va`lr fodlr l jcua` quo pudtl  x ; `a prlnanj`jmam pudtl, os moejr,

 [{x

x;} .

5

 

 

Ohofp`l8 d¸ earas a` `adzar tros voeos uda fldoma

 [{x

;}

[{x

;}

;,1>?  

 [{x

1}

[ {x

;}

[{x

1}

;,1>? ;,53?

 [{x

>}

[ {x

;}

[{x

1}

[{x

>}

;,? ;,53?

 [{x

5}

[ {x

;}

[{x

1}

[{x

>}

[{x

 

Budejõd mo mjstrjnuejõd mo x   1.;

;.7

;.2

;.=

;.>

;.; ;

 

1

 

 

>

=

5

;,?  

5}

;,73?  ;,73? ;,1>? 1

 

 

◌ 

Uoa  x   uda varjan`o a`oatlrja eldtjdua. Uj quorofls eldleor su mjstrjnuejõd mo prlnanj`jmam dl dls va`o `a budejõd mo prlnanj`jmam ofp`oama eld `as mjserotas (eama va`lr eld su prlnanj`jmam aslejama) plrquo tlfa fuegls va`lros. @a prlnanj`jmam aslejama a eama va`lr os práetjeafodto du`a (`a budejõd mo mjstrjnuejõd os eldtjdua).

◌

Ofp`oarofls `a budejõd mo modsjmam. Uo jdtorprota mo blrfa paroejma a` gjstlcrafa. Oxprosa `a ‐modsjmam‖ l eldeodtraejõd mo prlnanj`jmam od eama zlda. Oxprosa `as prlnanj`jmamos plr ároas. Uus va`lros fás a`tls elrrospldmod a zldas od `as quo os fás prlnan`o quo aparozead rosu`tamls mo` oxporjfodtl a`oatlrjl.

Ror Bjcuras 1?.? y 1?.2 mo [oña y ^lfl

?

 

 

Fomja l osporadza mo uda varjan`o a`oatlrja

◌

@a fomja l osporadza mo uda varjan`o v arjan`o a`oatlrja mjserota sorá8 i 

 O ( x)

f x

x1 p1

x> p> ... xi pi

xj pj

 

j 1

Ohofp`l8 Ohorejejl 1?.? mo [oña y ^lfl

 x 6rosu`taml 6rosu`taml mo `adzar ud maml

@a mjstrjnuejõd mo prlnanj`jmam mo  x  sorá8  sorá8

 p1

[ {x

1} 1 / 2  

 p>

[ {x

>} 1 / 2 

………………   ………………

 p2

[{  x

2} 1 / 2  

O` va`lr osporaml mo  x  sorá8  sorá8 i 

f x

xj pj j 1

1

 1 2

>

  1 2

5

 1 2

=

  1 2

?

 1 2

2

  1 2

5,?  

◌

@a jmoa mo fomja l osporadza mo uda varjan`o a`oatlrja eldtjdua os oqujva`odto porl su eá`eu`l os a`cl fás elfp`jeaml plrquo roqujoro ofp`oar o` eldeoptl mo jdtocra`.

◌

@a fomja mo uda varjan`o a`oatlrja puomo jdtorprotarso elfl o` va`lr osporaml l fomjl quo tlfa mjega varjan`o l elfl o` va`lr eodtra` mo mjega mjstrjnuejõd.

◌

[rlpjomamos8

2

 

 

- 

sj x   o o y  sld  sld mls varjan`os v arjan`os a`oatlrjas so eufp`o quo8

f x

- 

y

fx

fy  

sj a y n sld eldstadtos so eufp`o quo8

fax

n

afx

n 

3

 

 

Ohorejejl 1?.5 (mo [oña y ^lfl) _da elfpañæa ga vodmjml >;? nj``otos para ud avjõd mo >;; p`azas. Uoa  x   `a varjan`o a`oatlrja quo oxprosa o` d¸ mo vjahorls quo va a` aorlpuortl para vjahar od o` avjõd. Uu mjstrjnuejõd os8  x j 

1:7

1::

>;;

>;1

>;>

>;5

>;=

>;?

 pj

;,;?

;,;:

;,1?

;,>;

;,>5

;,13

;,;:

;,;>

a)  Ga``ar `a prlnanj`jmam mo quo tlmls `ls vjahorls quo vad a` aorlpuortl todcad p`aza.

 [{x

>;;}

1:7}

[{x

[{x

;,;? ;? ;,;: ;: ;,1? 1?

1::}

>;;}

[{x

 

;,>: >:

n)  Lntodor `a prlnanj`jmam mo quo so quomo sjd p`aza a`cudl mo `ls vjahorls quo va a` aorlpuortl.

 [{x

>;; >; ;}

[ {x ;,>

 [{x

>;;}

1

>;1}

[{x

>;>} ... [{x

;,>5 >5 ;,13 ;,;: ;: ;,;> ;>

[{  x

>;;}

1 ;,>: >:

>;?}

;,31 31

 

;,31 31 

e)  Ea`eu`ar o` d¸ osporaml mo vjahorls quo aeumo a` aorlpuortl. i 

f x

j 1

xj pj

1:7 ;,;? 1:: >;>

;,;:

;,>5 >;5 ;,1 13 3

>;; ;,1? 1? >;1 ;,> >;=

;,;:

>;? ;,;>

, >;1==   m)  ¼Euá` os `a prlnanj`jmam mo quo `a prjfora porslda mo `a `jsta mo ospora todca sjtjl od o` vuo`l<

 [{x

1::}

[ {x

1:7}

[{x

7

1::}

;,;? ;,;:

;,1=  

 

 

Mosvjaejõd tæpjea mo uda varjan`o a`oatlrja

◌

@a mosvjaejõd tæpjea mo uda varjan`o a`oatlrja os uda fomjma mo mjsporsjõd mo `a mjstrjnuejõd a`romomlr mo `a fomja. @ls va`lros poquoñls jdmjead eldeodtraejõd mo `a mjstrjnuejõd a`romomlr mo `a osporadza y `ls va`lros cradmos elrrospldmod a mjstrjnuejldos fás mjsporsas.

◌

O` eldeoptl mo mosvjaejõd tæpjea os oqujva`odto od varjan`os a`oatlrjas mjserotas y eldtjduas, audquo od ostas ø`tjfas su eá`eu`l os fás elfp`jeaml.

◌

Uj  x   os uda varjan`o a`oatlrja mjserota su mosvjaejõd tæpjea vjodo mama plr8 i 

 M]( x)

 x

 

xj

fx

>

i 

xj> pj

pj

j 1

fx>  

j 1

y su varjadza sorá8

>  x

R ( x)

 

i 

xj

fx

>

i 

j 1

◌

xj> pj

pj

fx>

f x> f x>  

j 1

[rlpjomamos8 - 

- 

sj a y n sld eldstadtos so eufp`o quo8

ax n

a

> ax n

a

>

x  > x 

sj x o y  sld  sld mls varjan`os v arjan`os a`oatlrjas jdmopodmjodtos jdmopodmjodtos so eufp`o quo8 >  x y

> x

> y  

y

 x y

Ohorejejl 1?.= (mo [oña y ^lfl)

:

> x

> y

 

 

 

Uo `adza tros voeos uda fldoma. Uoa  x `a varjan`o a`oatlrja quo oxprosa o` d¸ mo earas od `ls tros `adzafjodtls.

a)  Ga``ar y roprosodtar `a budejõd mo prlnanj`jmam mo  x . (vor Ohofp`l pac. 5) Uo `adza 5 voeos uda fldoma8 O6{EEE,EEW,EWE,WEE,WWE,WEW,EWW,WWW} {WWW}

 p;

[{  x

;} 1 / 7

;,1>?  

{WWE,WEW,EWW}

 p1

[ {x

1}

5/ 7

;,53 53? 

{EEW,EWE,WEE}

 p>

[ {x

>}

5/ 7

;,53 53? 

{EEE}

 p5

[{  x

5} 1 / 7

;,1>? 

 x6;

↞

 x61

↞

 x6>

↞

 x65

↞

n)  Ea`eu`ar o` d¸ osporaml mo earas a` `adzar `a fldoma. ¼Ora provjsjn`o o` rosu`taml< i 

f x

xj pj

; ;,1> 1>? 1 ;,53 53? > ;,53 53? 5 ;,1> 1>? 1,?  

j 1

Uæ, ya quo od eama `adzafjodtl [(E)61/> y a` `adzar tros voeos so tjodo t jodo quo 5 1 / > 1,?. e)  Ga``ar `a mosvjaejõd tæpjea mo  x   i 

 xj

 x

fx

>

(; 1,?) >

pj

(> 1,?)

j 1

;,1>? (1 1,?) > >

;,53 53? >

;,1>?

>

;,722

;,53 53? (5 1,?)

  l njod8 i  >

 xj pj

 x

>

fx

>

;

>

;,1>? ... 5

j 1

 

1;

;,1>?

1,?

;,722

 

 

◌

@a mosvjaejõd tæpjea os uda fomjma mo mjsporsjõd quo mopodmo mo `as udjmamos mo fomjma mo `a varjan`o. [ara ovjtar osto jdeldvodjodto plmofls ofp`oar o` elobjejodto mo varjaejõd. O` elobjejodto mo varjaejõd mo uda varjan`o v arjan`o a`oatlrja x  sorá8  sorá8

 x

ER  x

f x

 

11

 

 

Ohorejejl 1?.3 (mo [oña y ^lfl) Uoa  x  uda  uda varjan`o a`oatlrja quo oxprosa o` d¸ mo porsldas quo ganjtad od uda vjvjodma o`ocjma a` azar. @a mjstrjnuejõd mo prlnanj`jmam mo  x   os `a sjcujodto8 1 ;,>5;

 x j  pj

> ;,5>>

5 ;,133

= ;,1??

? ;,;23

2 ;,;>=

3 ;,;1?

7õ+ ;,;1;

a)  Elfprlnar quo os uda mjstrjnuejõd mo prlnanj`jmam. ]lmas `as  pj   sld faylros l jcua`os quo eorl y amofás so eufp`o quo8 7

 pj

;,>5 >5 ;,5>> ;,13 133 ... ;,;1 ;1; 1 

j 1

n)  Ga``ar `a prlnanj`jmam mo quo o` d¸ mo porsldas quo vjvod od ud glcar soa fodlr l jcua` quo euatrl.

 [ x

=

[  x

1

[ x

;,>5 ;,5>>

>

[ x

;,13 133

5

;,1? 1??

[ x

=  

;,77=

e)  Ea`eu`ar `a prlnanj`jmam mo quo a` fodls mls porsldas vjvad od uda vjvjodma.

 [ x

>

[  x

>

1  [( x

[ x >)

5 ...k [ x

1 ;,>5

;,33

7  

m)  Lntodor o` d¸ fomjl mo porsldas quo ganjtad od uda vjvjodma.

f x   1 ;,>5 >5 > ;,5> 5>> 5 ;,133 ... 3 ;,;1 ;1? 7 ;,;1 ;1 >,27 27:  

1>