Variable-Aleatoria PDF

 

 

INDICE.

 I.-“VARIABLES ALEATORIAS ””..  1.1-  

1.2.-

 INTRODUCCIÓN.

 ESPERANZA MATEMÁTICA Y MOMENTOS

1.3.- FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS . 1.4.- DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF 1.5.- TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS 1.6.- DESVIACIÓN MEDIA, D M  

1.7.- VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA 

.

 II. DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIA DISCRETA   2.1.- DISTRIBUCIÓN UNIFORME. 2.2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL [ X ~ B(n,p) ]. 2.3.- DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA [ X ~ G(p) ](caso particular de la Binomial). 2.4.- BINOMIAL NEGATIVA [ X ~ BN(r,p) ]. 2.5.- DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA 2.6.-

 ]

2.7.- EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 

 

BIBLIOGRAFIA.-

VARI ABLE S ALE AT ATO ORI AS AS..  1.1 Introducción  VARI ABLE ALEATO ALEATORI RI A.  Frecuentemente el resultado de un experimento aleatorio se denota con un número:   el resultado de lanzar un dado,   el número de unidades defectuosas entre 10 unidades seleccionadas,   el tiempo que hay que esperar para que se presente una falla en un circuito,   el número de estaciones de una red de computadoras que requieren la atención del servidor de la l a red en un momento dado,   el número de personas en una comunidad que requieren atención médica en un día especificado,   el peso sumado de las personas que están en un elevador en un momento determinado del día,   la cantidad en dinero de lo transportado en un camión antes de que sufra una descompostura, etc.  A un número tal, le llamamos variable aleatoria. Ponga atención al hecho de que una variable aleatoria no es una variable en el sentido usual. Las variables que estamos acostumbrados a manejar son, por ejemplo: el peso de un cohete que va quemando el combustible que lo impulsa, la distancia del piso a un objeto que cae hacia él, la concentración de una solución dentro de un tanque conforme pasa el tiempo, etc. En los ejemplos anteriores el valor de la variable puede cambiar con el tiempo, pero es predecible a partir de las leyes de la mecánica, la química, la hidráulica o alguna otra ciencia. Con una variable aleatoria la situación es enteramente diferente. El valor de una variable aleatoria no se puede conocer con exactitud de antemano a la realización del experimento. ¿Qué otros ejemplos de variables aleatorias se le ocurren además de los mencionados arriba? Al contestar esta  pregunta tenga en cuenta que el azar debe jugar algún papel en la medición de la variable y que su valor no debe  ser predecible. Una variable aleatoria presenta dos características importantes: 1.  Una colección (conjunto) de valores posibles al que llamamos imagen de la variable aleatoria (antes lo llamábamos espacio muestral). 2.  Una probabilidad asociada a los posibles resultados la cual queda expresada mediante una función de  probabilidad.  Las variables aleatorias que tienen un conjunto de posibles valores discreto, se llaman discretas. Estas variables 

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 son de contar ¿Cuálesno de es lasdiscreto, variablespero aleatorias arriba son etas? discretas? Ciertamente el  pesoelderesultado las personas en el .elevador entre lasmencionadas otras ¿cuáles son discretas? discr  Por otra parte, las variables aleatorias cuyos valores posibles se encuentran en cualquier parte de un intervalo, se llaman continuas. Estas variables son el resultado de medir.  El hecho de que una variable aleatoria nos interesa cuando aún no tiene un valor específico, nos obliga a utilizar una notación extraña al referirnos a ella. Denotamos con letras mayúsculas a las variables aleatorias y con minúsculas a los valores que contemplamos para ellas. Si tomamos como variable aleatoria el resultado (suma) de lanzar dos dados, desde el punto de vista de la  probabilidad, el número resultante nos interesa antes de que realizemos el experimento. Conocido el resultado, ya no es interesante (al menos, no para la probabilidad). La imagen de esta variable aleatoria es S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }. Llamando X al resultado del experimento, podemos contemplar el evento de que X sea igual a x, donde x es cualquier elemento de S. Claro que nos resultará muy int interesante eresante saber cosas como P(X = x) para los diferentes valores de x en S; por ejemplo, P(X = 6) = 55/36 /36 [esto se lee: ``la probabilidad de que X sea igual a seis es un sexto'']. ¿Puede Ud. mostrar que P(X = 8) = 5/36 ? Siguiendo con el ejemplo de los dos dados, el lanzar dados para ver que número cae no es muy apasionante que digamos, acompañemos los dados con un tablero t ablero de oca o de serpientes y escaleras o de tturista urista o de backgamon o

 

algún otro juego interesante. Ya puestos a jugar turista o monopolio, es natural que nos interesen otro tipo de eventos. Podríamos estar interesados en saber    si el resultado es menor que 8: P(X < 8) = 21/36 ¿Puede Ud. ver por qué?;   que el resultado sea desde 4 hasta menos que 9: P(3 < X < 9) = 23/36 ¿Por qué?;   también podemos estar interesados en que X sea distinta de 7: P(X distinto de 7) = 1 - P(X = 7) = 1 - 1/6 = 5/6.  Naturalmente esta notación se extiende de manera natural a todo tipo de intervalos y desigualdades.  Regresando a donde estábamos, 

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 A la función: f(x) = P(X = x) se le llama función de probabilidad de X.  Esta función es una función ordinaria de las que estudiamos en los cursos de matemáticas; no tiene nada de aleatorio. Dicho de otra forma, una vez determinados los valores de las probabilidades, la función de probabilidad es una función común y corriente, tiene su dominio, su codominio, su gráfica, puede ser inyectiva, etc.  Hay algunos hechos importantes respecto a esta función: 1.   Para una variable aleatoria discreta los valores posibles son los únicos para los cuales esta probabilidad es diferente de cero. Dicho de otra forma, no nos hace daño ampliar el dominio de la función de  probabilidad a todos los reales, pero va a valer cero casi siempre excepto en un conjunto discreto de  puntos. 2.   El valor de la función de probabilidad depende esencialmente de la variable aleatoria a la que nos referimos, cuando no sea claro a cuál variable nos referimos, es conveniente poner el símbol símboloo de la variable como subíndice para la función: f   X  (x). X (x).  Esta costumbre puede causar estragos en la comprensión de los novatos, esté Ud. prevenido. prevenido. ¿Qué querrá decir f YY (w)? (  w)?  

 La gráfica de una función ésta aleatoria se presenta en el pizarrón. Una 3. función de probabilidad de unacomo variable discreta, para ser correcta, debe satisfacer dos propiedades :    f(x) debe ser siempre mayor o igual a 0   la suma de f(x) para todos los valores de x debe dar 1 



 Frecuentemente en los experimentos el interés está en una función del resultado del experimento y no en el resultado propiamente dicho. Por ejemplo, en el lanzamiento de dados el interés esta en que la suma de los resultados sea igual a 7 y se es indiferente si este resulta de (1,6), (2,5), (3,4) o (4,3).  En otra situación, por ejemplo, en el contexto de comunicación a través de mensajes, el interés del analista podría centrarse en el numero de transmisiones exitosas de mensajes en un tiempo dado, mas que en el estado de la transmisión cada mensaje. -----> R, son conocidas como . Por ello, el valor de la variable aleatoria es determinado por el resultado del experimento a esos valores VariablesyAleatorias (VA)se les asignará una probabilidad, como se muestra con los siguientes ejemplos. E j emplo ploss  e1) Si X denota una VA definida como la suma de los resultados en el lanzamiento de 2 dados, entonces: -----> {2,...,12}

donde:  P(X=2) = P{(1,1)} = 1/36  P(X=3) = P{(1,2),(2,1)} = 2/36  P(X=4) = P{(1,3),(2,2),(3,2)} = 3/36  P(X=5) = P{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} = 4/36 .. ..  P(X=12) = = 1/36

 

e2) X una VA que representa el numero de transmisiones con éxito de mensajes enviados en un intervalo de tiempo dado, entonces:  -----> N  t  -----> t : conjunto de mensajes transmitidos exitosamente en un intervalo de tiempo t. e3) Sea Y la VA que representa el número de caras que aparecen luego de lanzar 2 monedas. Luego la VA Y puede tomar valores 0, 1 o 2, y sus valores probabílisticos son:  P(Y=0) = P{(s,s)} = 1/4  P(Y=1) = P{(s,c),(c,s)} = 2/4  P(Y=2) = P{(c,c)} = 1/4 -----e4) Suponiendo que una moneda esta "cargada" y que la probabilidad de que salga cara es 'p', definamos una VA N de la siguiente manera:  N : Número de lanzamientos necesarios para que salga cara por primera vez.  Entonces:  P(N=1) = = p   P(N=2) = P{(s,c)} = (1-p)p   P(N=3) = P{(s,s,c)} = (1-p)2 p  . .  . .  . .   P(N=n) = P{....} = (1-p)n-1 p   Lo cual es una función probabílistica, ya que es positiva y

Todos los ejemplos de VA hasta ahora ilustrados son VA discretas.   Por otro lado una VA se dice continua si toma valores de un conjunto continuo de posibles valores. Un ejemplo de VA continua es el tiempo de transmisión de un mensaje, la vida útil de un motor, asumiendo que la vida útil del motor toma un valor en un intervalo (a, b) de los reales.

Definición Sea F(.), una función definida para cualquier valor real b de una VA aleatoria X, con b en el intervalo ( , es conocida como F unci  y denota la  siguiente manera: unción ón de distr distrii buc bucii ón ac acumula umulada da de X  y  probabilidad de que X pueda tomar un valor menor o igual a b. P r opi opi edade dadess de F ( .)   (i) F(b) es una función no decreciente en b (ii ii)) lim F(b F(b) = 1 cuando bb--(iii) lim F(b) = 0 cuando b--> (iv). F es estrictamente continua. Si x 1 , x2 , ... es una serie decreciente con limite en x, entonces lim F(xn ) = F(x) cuando Obserr va Obse vaci cione oness so sobre bre F ( .): .) :   = F(b) - F(a), para todo a < b; ya que (-

-

Para Par a V A di discret scretas as definimos la función de densidad de X con p(a) = P{X=a}.

Si X = {x1 , x2 ,... } en Z, entonces p(x )  i) > 0 con i=1,2,...

 y p(x) = 0 para todo x que no esta en X. Además se debe cumplir que:

 

 

 En este caso F(.) puede ser definida en términos de p(a) de la manera siguiente: e1) Supongamos que p(1)=1/2 ; p(2)=1/3 ; p(3)=1/6.

 Luego la función acumulada de X es dado por:

Para VA continuas la relación entre la función de distribución acumulada F(.) y la función de densidad f(.) de una VA X continua es expresada a través de

(la derivada de la función de distribución acumulada es la función de densidad).

Nota:

 

 

Sin embargo, para mantener consistencia en

1. 1.22 E spe sperr anz anza aM Mat ateemát átii ca y M om omeentos C as aso od dee V A D i scret scretas as::  

Sea X una VA discreta finita que puede tomar valores x1 , x2 , .. , x n , con las probabilidades p(x1 ), p(x2 ), .. , p(xn ). Definición 1  E spe sperr anza m mate atemá mátitica ca o va valor lor espe sperr ado ado ((me medio) dio) de la VVA A X  discreta finita es la expresión:

Definición 2  E spe sperr anza ma mate temá mátitica ca o valo valorr me medio dio de una ffunci unción ón gg(( x)  de la VA X a la expresión:

E j emplo ploss  e1) El valor esperado de la VA X:= número que resulta al lanzar un dado, será: e2) Sea X: Suma de los números resultantes del lanzamiento de 2 dados, entonces, e3) Sea X: Número de divisores del número obtenido al sacar de una bolsa papeles numerados del 1 al 12.  No. Extraído  X  X  P

1 1

2 2 1 1/  12

3 2 2 5/12

4 3 3 1/6

5 2

6 4 4 1/  4

7 2

8 4

9 3

10 4

11 2

12 6

6 1/12

 Entonces,

 Momeento  Mom ntos de una V A.  

 En muchas aplicaciones existe la necesidad de medir en alguna forma la dispersión de los valores de X alrededor de su valor medio E(X). Estos valores val ores suelen ser esperanza matemática de ciertas funciones g(x), como por ejemplo:  g(  g(x) x) = | x - E (X) (X ) |   Sin embargo, el manejo de valores absolutos es incómodo y por ello se prefieren potencias de X que dan lugar a los llamados momentos. Definición 1   Momeento  Mom nto de X d dee gr gra ado (ó orde rden) n) m es el valor esperado de X elevado a la m, es decir:

 

   Los momentos centrados se definen a través de la ecuación:

 En particular, como medida de dispersión, es importante el momento centrado de orden 2 definido a continuación.

Definición 2  V ari Se conoce como  la siguiente expresión: arianz anza ad dee una VA X  la

 El número no negativo , es decir, la raíz cuadrada de la Varianza se le conoce como la D esviación Tí pi ca ó

 Stand  Sta nda ard  de  de la VA X.

Observación: Cuando la Varianza es grande ello indica i ndica que los valores de X están muy separados de su valor medio. C as aso od dee VA C ont ontii nua nuas: s:   Si X es una VA continua con la función de densidad f(x), entonces:

 )

1.3 F unci unción ón ggeene nerr adora de M omento ntoss

Definición 1   La func  función ión ge gene nerad rado ora de momento ntos se define como:

 Esta función se le conoce como generadora de momentos debido a que los momentos de X pueden ser obtenidos a

 Igualmente:

 

 

1. 1.44 D Deesig si guald ualda ad d dee Tcheb Tchebyche ychefff   2 ,

entonces

 Demostración. Sea g(x) una función de X, tal que g(x )>=0,  i)>=0, para todo xi en X, sea a > 0 constante, y sean xa aquellos valores tales que: g(xa  

Con el hecho siguiente,

 podemos concluir que,

 En particular, con g(x):= x tendremos la D esig si guald ualdad ad de M ark arkov ov

 En el caso de Tchebychef obtendremos la desigualdad con g(x) = (x -

2 y

a = k 2 tendremos,

 por ello,

Observación.  La importancia de las desigualdades de Markov y Tchebychef reside en el hecho de que solo con el conocimiento de buena es decir, informativa en la l a mayoría de los casos y por ello son usadas más frecuentemente en demostraciones de otras hipótesis. E j emplo ploss  e1) En una fabrica de componentes, la producción semanal es aleatoria con un valor medio igual a 50 componentes. Que se puede decir acerca de la probabilidad de que la producción exceda las 75 componentes en una semana. Solución:  Al aplicar la desigualdad de Markov se tiene:

e2) Si la varianza de la producción semanal del problema anterior es igual a 25 que se puede decir acerca de la  probabilidad de que la producción en una semana este entre 40 y 60 componentes.

 

  Solución:  Aplicando la desigualdad de Tchebychef tendremos:

 Entonces,

V A de tipo d dii scr screeto to::  

1.5 Tr T r ansf nsfo or maci ció ón d dee V ar i ables les A Ale lea ato torr i as 

Sea p(x) la función de densidad probabílistica de una VA X. Si otra VA Y es obtenida de la VA X con una transformación Y = U(X), cuya inversa es X= W(Y). Entonces la función de densidad de Y viene dad por la siguiente expresión:

E j emplo plo.. Sea X una VA con la siguiente función de densidad:

Sea la transformación y = 4x [y = U(x)], luego la VA Y = {0,4,8,12,..}.  Note que la transformación y = 4x establece una correspondencia uno a uno entre los espacios X e Y.  Nuestro objetivo consiste en hallar la f.d.p. de la VA Y, digamos g(y)=P[Y = y]. Obsérvese que la realización del evento Y = y ó 4X=y se da sii el evento X=(1/4)*y ocurre. En consecuencia:

V A de tipo co conti ntinuo: nuo:  

Sea f(x) una f.d.p. de una VA X. Si otra VA Y es obtenida de X con la transformación Y = U(X) (diferenciable para  producir X= W(Y) (la inversa de Y = U(X)), y en consecuencia consecuencia la función de densidad de Y viene dada por la  siguiente expresión:

 

   Para mostrar la afirmación anterior con ayuda gráfica, observe que: 1

1

1

-1(y  )} 1

]

 Ahora, debido a que U(x)=Y, W(y1 )=x1 donde X=U -1(Y) y en consecuencia:  F Y Y(y) (  y) = F   X  x) X ((x)  por lo tanto: (x)/dx = f (W(y)).|W’(y)|    f  Y   (y) = g(y) = dF Y Y (y)/dy    (y)/dy = dF   X   Y  (y) X (x)/dx

E j emplo plo..

Sea X una V.A. con función de densidad,

Sea Y = 8X 3 , luego la V.A. Y = { y / 0< y