Aplicación De Los Valores y Vectores Propios Samantha Briggette Pontón Macas Universidad Técnica de Machala Unidad Académica de Ingeniería Civil
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Capítulo 1 Planteamiento de la Investigación
[] []
v 1= 1 v 2 = 2 1 3
1.1 Introducción Los valores y vectores propios, son propiedades importantes de las matrices cuadradas de tamaño
nxn . En éste trabajo Solución:
se presentará los métodos manuales de cálculo de valores y vectores propios, y posteriormente una de sus aplicaciones, qué consiste en la solución de un problema o una aplicación en la carrera de ingeniería civil.
Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un múltiplo escalar del vector.
[ ][ ] [ ] [ ]
A ∙ v 1= 1 2 1 = 3 = 3 1 2 1 1 3 1
1.5 Objetivos
v 1 si es vector propio de A asociado al valor propio 3.
General: Interpretar las características y principios de valores y vectores propios para la resolución de ejercicios. Específicos: Aplicar los vectores propios en la carrera de ingeniería civil Entender mediante la aplicación de este tema, fenómenos de la vida diaria.
[ ][ ] [ ] [ ]
A ∙ v 2= 1 2 2 = 8 ≠ k 2 2 1 3 7 3 v 2 no es vector propio de A.
2.2 Determinación De Los Valores Propios Sea
λ0
un valor propio de la matriz cuadrada A, así
Capítulo 2 Marco Teórico existe un vector diferente cero de
2.1 Valores Propios
A x0 =λ0 x 0 xo=λ 0 I n x 0
Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero,
x tal que:
Por tanto:
A x0 −λ0 I n x 0=( A− λ0 I n ) x 0=0
Ax= λx Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector
x
se llama vector propio o
eigenvector asociado al valor propio λ .[1] Ejemplo: Para la matriz A indique cuáles vectores son vectores propios.
A=
[ ] 1 2 2 1
x 0 tal que:
B= A−λ0 I n
Si
homogéneo
lo anterior significa que el sistema
n ×n
Bx=0 tiene
además
de
la
solución
trivial
otra
solución
x=x 0 ≠ 0. Por consiguiente, no tiene solución única. Y, por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero:
det (B)=det (A− λ0 I n )=0. Resumiendo:
λ0
Todo valor propio
debe ser raíz del polinomio
solución no trivial de
Ax= λx , y a x se lo denomina
vector propio asociado al valor propio λ.[3]
característico asociado a A:
pA ( λ )=det ( A−λ I n )
2.4 Propiedades Básicas
y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser solución al sistema homogéneo: [2]
Definición: • El escalar
( A− λ I n ) x=0
λ es valor propio de A si existe v ≠ 0 tal
que:
A v= λv
Ejemplo: Determinar los valares propios de la siguiente matriz:
[
2 2 3 A= 1 2 1 2 −2 1
• El vector v es vector propio de A asociado a
]
λ si:
A v= λv
Solución:
[
λ−2 −2 −3 A= −1 λ−2 −1 −2 2 λ−1
]
¿ [ ( λ−2 )3−4 +6 ]−[ 6 ( λ−2 )+ 2 ( λ−1 )−2 ( λ−2 ) ] ¿ λ3−5 λ 2+ 2 λ +8=0
Resolviendo este polinomio por el método de Ruffini obtenemos:
λ1=−1
Teorema: (método para calcular valores y vectores propios para matrices concretas) • El escalar
λ es valor propio de A si y solo si: d et( A−λI )=0
λ2=4
• El vector v es vector propio de A asociado a λ si:[4]
λ3 =2
( A− λI ) v=0
2.3 Vectores Propios En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Un vector propio (o autovector) de una matriz A de
n ×n es un vector que para cierto escalar
x∈R n
, distinto de
0 , tal
λ∈R
Ax= λx Un escalar λ de A, es decir,
tal, se denomina valor propio (o autovalor)
λ
es valor propio de A si existe una
Capítulo 3 Aplicación 3.1 Aplicación De Los Vectores Propios En La Carrera De Ingeniería Civil
La matriz de rigideces y el vector de desplazamientos son la parte medular al resolver cualquier sistema estructural.
x=0.25 α x 1=0.25 α
Sistemas De Control Para La Protección De Estructuras Civiles Sometidas A Cargas Dinámicas
y=α x2=α
En estructuras civiles, las vibraciones excesivas producidas por sismos fuertes producen daños graves en elementos estructurales y no estructurales, y pérdida de vidas humanas. Controlar la respuesta estructural ante cargas dinámicas (i.e. cargas sísmicas y eólicas) es y ha sido una necesidad para la seguridad de los usuarios y de la edificación. Actualmente, existen alternativas para disminuir la vulnerabilidad estructural, aunque desafortunadamente algunas son poco utilizadas en nuestro país debido al desconocimiento que se tiene sobre la técnica o por los altos costos que genera su implementación. Estas investigaciones, junto con el éxito de los edificios y puentes que han sido construidos incorporando sistemas de control estructural, prometen que en el futuro éste sea uno de los campos más importantes de la ingeniería civil.
¿
[ ] [] 0.25 1 ∙ 4= 1 4
λ1=0.5=
0 (−0.5
)(
−0.1 ⋮ 0 = 0.5 0.4 ⋮0 −0.4 ⋮ 0 0 0 ⋮0
)
0.5 x−0.4 y =0 y=α x=−0.8 α x 1=−0.8 α y=α x2=α
[ ] [ ]
¿ −0.8 ∙5= −4 1 5 Ejercicio: La acera de una calle se vio afectada 30% en su estructura debido a la dilatación térmica, ya que, sus juntas de dilatación no fueron bien calculadas. Se refuerza cierta parte de esa acera arreglando el 50% del daño. Pero este problema va a seguir en un aumento del 10% cuando aparece un cambio de temperatura. ¿Cuál será el daño de la después de 2 meses?
(
)(
1 1 −4 ⋮ 1 0 1 −4 ⋮ 1 0 1 −4 ⋮ −4 4 5⋮ 0 1 0 21 ⋮ −4 1 0 1 ⋮ 21
)(
(
5 P−1= 1 0 ⋮ 21 0 1 ⋮ −4 21
4 21 1 21
)
A k = ( PD P−1 ) ( PD P−1 ) … . ( PD P−1 )
(
)(
A= 0.5 0.1 = λ−0.5 −0.1 0.5 0.9 −0.5 λ−0.9 ¿ ( λ−0.5 ) ( λ−0.9 )−0.05 2
¿ λ −1.4 λ+0.45
)
A k = ( PD P−1 ) ( PD P−1 ) … . ( PD P−1 )
( ) ( )( ) ( ) 9 −2 k 1 −4 0.9 0 10 A = = 4 5 0 0.5 18 5 5 2
(
)(
9 5 −2 10 21 18 5 −4 5 2 21
0.4 x−0.1 y=0 y =α
)
4 25 21 = 42 1 8 21 21
8 105 169 210
0 1 21
)
Es necesario estar concentrados al momento de resolver estos este tipo de ejercicios, ya que, un dato depende del otro y un error o un mal cálculo nos daría otro resultado al esperado
k
( )
25 k 42 A = 8 21
8 105 169 210
k
V k= A V 0
( )( )
5 k 0.9 0 21 V k = 1 −4 4 5 0 0.5k −4 21
)(
(
5 k k ¿ 0.9 ∙ 21 −( 0.3 ) ( 0.5 ) −4 21
()
)
4 21 0.3 1 0.7 21
4 21 1 21
()
()
13 ¿ 70 0
V k =0.186 La es daño de la acera después de dos meses será de 0.186.
Recomendación El estudio de los vectores propios tiene una gran importancia no solo en Ingeniería Civil, sino tambien en los fenómenos que ocurren en la vida diaria. Estos pueden llegar a resolver sencillos a complejos problemas. Por lo cual es de vital importancia interpretar y manejar correctamente la aplicación de valores y vectores propios.
Referencias [1]
“Valores y vectores propios,” vol. 2, pp. 3–5.
[2]
A. Lineal, “El algebra de los valores propios,” pp. 179–214.
[3]
D. De Matem, “Valores y vectores propios,” vol. 0, no. 4, pp. 1–11, 2009.
[4]
D. De Matem, “vectores propios,” vol. 0, no. 4, pp. 1–11, 2009.
