Valores y Vectores Propios
Short Description
Valores y Vectores Propios...
Description
Facultad de Ciencias Qu´ Qu´ımicas Departamento de Matem´ aticas aticas ´ Algebra
1
Cap´ Cap´ıtulo 4: Valores alores y vectore vectoress propios. Rn
1. Halla los valores valores propios y los vectores vectores propios de las aplicaciones lineales lineales de matrices: a = e =
g
=
4 −30 1 −22 0
6 5
−
−
0 2 3
−1
5
−1 ,
2 −1 , b= c= , 4 1 3 1 2 2 −1 −1 −1 , f = 0 −2 1 , 1 −1 0 0 1 0 −1 2 0 , h = 0 −1 0 .
1 1 0
−1
en Rn que est´an an dadas por las siguientes
−1
Rn
En los casos que sea posible halla una base de aplicaciones dadas en el ejercicio anterior.
1
d=
−1 0
−
0 1
−3
formada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las
(a) Para Para buscar los valores alores propios, propios, lo primero primero es encontrar encontrar el polinomio polinomio caracteristico caracteristico
4 − λ det(a det(a − λI ) = −3
−5 − λ = −2 + λ + λ , 6
2
por lo que los valores caracteristicos son λ1 = 1, λ2 = 2. Busquemos Busquemos ahora los autovector autovectores. es. Para Para ello tenemos tenemos que buscar los nucleos de las aplicaciones a λi I , i = 1, 1 , 2, es decir
−
6 −33
x xy
6 3
−
6 6
−3 −
y
−
= =
0 1 ⇒ v = −1 , 0 0 2 1
0
⇒v
1 1
2
=
−1
,
por lo que D=
−2 0 0
1
, V =
2 1
− −
.
(b) Analogamen Analogamente te det
5−λ 4
−1 = 9 − 6λ + λ 1−λ
2
=0
con lo que esta matriz no se puede diagonalizar, ya que tiene como autovalor doble a λ1,2 = 3, con multiplicidad algebr´ aica 2, y con multiplicidad geometrica 1. aica (c) En este caso tenemos tenemos det , Solution is :
λ =
3 2
√
+ 12 i 11 , λ =
2−λ 3
3 2
−1 = 5 − 3λ + λ 1−λ
2
− i√11y por tanto 1 2
1
=0
2. Se˜ nala nala cu´aales les de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de base P : P : 0 0 0 1 1 3 1 4 1 1 0 0 1 0 a= 3 5 1 , b= 1 2 1 , c= . 0 1 0 0 3 3 1 1 1 2 1 0 0 0
− −
− −
−
− −
− −
3. Busca los valores valores y vectores vectores propios propios de la aplicaci´ aplicaci´on on derivaci´on on D, en P 3 (x). 4. Determina Determina para que valores valores a, b
∈ R la matriz A es diagonalizable en R siendo A
a A= 0
b 0 1 0 0 1
−
0
.
Como la matriz es triangular, los autovalores son los componentes de la diagonal principal, es decir λ1 = a, λ2 = 1 los tres autovalore autovaloress son distintos distintos por lo que la matriz es diagonalizable. diagonalizable. Si a = 1, 3 = 1. Si a = 1, y a = entonces para que el autovalor autovalor 1 tenga multiplicidad geom´etrica etrica 2, la matriz
−1, λ
−
0 a − I = 0 0
b 0 2 0 0 0
−
tiene que tener rango 1, lo que sucede para todo b. Si a =
−01, bentonces 0 a + I = 0 0 0 0 0 2
que solo tiene rango 1 para b = 0. 0. 5. Estudia Estudia para que valores alores reales de α la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diagonal diagonal , J, y una matriz P tal que P 1 AP = J, siendo −
1 A= 0 0
−2 −2 − α −1 α . 0
1
En este caso tenemos dos autova autovalores lores,, uno doble λ1,2 = 1, y uno simple λ3 = 1. Para Para que sea diagonaliz diagonalizable, able, la multiplicidad algebr´aica aica tiene que ser igual a la multiplic multiplicidad idad geom´ etrica etrica y por tanto tanto dim (ker( (ker (A I )) )) = 2, 2, es decir
−
0 Rg (A − I ) = Rg 0 0
−2 −2 0
−2 − α = Rg −−22 α 0
−2 − α . α
Como el determinante de este menor es det
−2 −2
−2 − α = −4 (α + 1) , α
entonces para todo α = para α = 1.
−1, el rango eses dos y por tanto dim (ker( (ker (A − I )) )) = 1, 1, por lo que la matriz solo es diagonalizable
−
6. Demuestr Demuestra a que si x es vector propio de f para el valor propio λ, entonces n λ , n N . N . ¿Qu´e ocurre o curre si adem´as as f es invertible?.
∈
Si suponemos que f ( f (x) = λx n 1 entonces f f (x) = f λn
−
2
x
2
es vector propio de f n para el valor propio n−1
f (f ( f (x)) = f ( f (λx) λx) = λf ( λf (x) = λ f ( f (x) , y por inducci´on, on, si f ⇒ f (x) = f ( −1
n−1
x =λ
n
f ( f (x) = λ x.
2
(x) = λn
−1
x,
7. En
3
R
, consideramos el endomorfismo f dado por f ( f (x,y,z) x,y,z) = (2x (2x + y + z, 2x + 3y 3y + 2z, 2z, x + y + 2z 2z )
y sea A la matriz de f respecto de la base can´onica. onica. Determina: Determina: vectores vectores propios, propios, valores valores propios, propios, diagonaliz diagonalizaci´ aci´on on y matriz de paso. La matriz A es
2 A= 2
1 1 3 2 1 2
1
Si calculamos el polinomio caracteristico, tenemos
2−λ det(A det(A − λI ) = det 2
1 3
1
= 5 − 1111λλ + 7λ7λ − λ
1 2
−λ 1
2
2
−λ
3
cuyos valores propios son λ1,2 = 1, doble y λ3 = 5. Para los autovectores de λ1,2 tenemos ker(A ker(A que tiene como base a
B = {v
1
−λ
1,2
1 I ) : 2
1 1 2 2 1 1 1
x y =0 ⇒ x+y +z = 0 z
= (1 ( 1, 1, 0, ) , v2 = (1, (1, 0, 1) . En cuanto a λ3 tenemos
−
− }
−3 ker(A ker(A − λ I ) : 2 3
1
−
1 2 1
−
1 2 3
x y =0 z
como este como este sistem sistemaa tiene tiene rango rango 2, hay hay dos ecuaci ecuacione oness lineal linealmen mente te indepen independie dient ntes. es. Toma omando ndo la primer primeraa y segund segundaa ecuaci´ on on tenemos tenemos 3x + y + z = 0 x y+z =0
−
−
resolviendo este sistema llegamos al autovector v = (1, (1, 2, 1) , por lo que la matriz de paso es 8. En R3 , consideramos la aplicaci´on on f ( f (x,y,z) x,y,z) = (3x (3x + y, x + y, 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?.
−
9. Sea E un espacio vectorial sobre (a) E = I mf
R
y f un endomorfismo de E tal que f 2 = f . f . Demuestra que:
⊕ ker f.
(b) f es diagonalizable. 10. Si dim( dim(E E ) = 3 y
B={
, ,
u v w
} es una base de E tal que f ( f ( ) = − , f ( f ( ) = − 2 u
determinar una base
B
u
3
−→ R
v
v
, f ( f (w) = 0
w
de E respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
11. Estudia Estudia si es diagonalizabl diagonalizablee el endomorfism endomorfismoo de 12. Sea f : R3
w
R2
definido por f ( f (a, b) = (a + b, b).
el endomorfismo cuya expresi´on on anal an al´´ıtica respecto respec to de d e la base
y 1 y = 0 1 2
y3
1 2 0 1 3
−1 x −1 x
1 2
0
x3
.
B={
e1
, e2 , e3 es
}
(a) Calcula Calcula los valore valoress propios propios y sus subespacios subespacios propios propios asociados. (b) ¿Se puede encontrar encontrar otra base 13. Sea f : R3
3
−→ R
B , tal que respecto a ella sea f diagonalizable?.
el endomorfism endomorfismoo definido definido por: f ( f (x,y,z) x,y,z) = (x + 2y 2y
(a) Halla la matriz matriz de f respecto de la base
B={
e1
, e2
− z, 2y + z, 2y + 3z 3z ). , }. e3
(b) Calcula Calcula los valores alores propios, los subespacios propios propios y comprueba comprueba que el subespacio subespacio suma de estos subespacios subespacios es suma directa. 14. Sea f : R3
3
−→ R
el endomorfismo cuya expresi´on on anal an al´´ıtica respecto respec to de d e la base
y 1 y = 1 1 2
y3
−
2 2 1 1
B={
e1
, e2 , e3 es
}
x − x 2 1 4
1 2
x3
Encuentra una nueva base B tal que respecto de ella la expresi´on on anal ana l´ıtica ıti ca de f venga dada por una matriz diagonal. 15. Eleva Eleva A a la potencia enesima siendo
a A= b b
b b a b b a
.
16. Demuestr Demuestra a que una matriz A y su traspuesta At tienen el mismo mism o polinomio po linomio caracter´ıstico. ıstico. 17. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales.
C
de los n´ umeros umeros complejos. complejos. Halla la condici´ on on
18. Halla todas las matrices matrices cuadradas cuadradas de orden 2 con coeficiente coeficientess reales que tengan p or valores valores propios 1 y 19. Sea V un espacio espacio vectoria vectoriall de dimensi´ dimensi´on on n y sea V = W 1 caracter´ıstico ıstico de la proyecci´on on π1 de V sobre W 1 .
⊕ W
2
−1.
donde dim(W dim(W 1 ) = m. Encuen Encuentra tra el polino polinomio mio
20. En el espaci espacioo vecto vectoria riall de los polinomio polinomioss reales reales de grado grado menor menor o igual igual que tres se define define la aplica aplicaci´ ci´on on f dada por f ( f ( p( p(x)) = p(x) + p + p (x).
(a) Demuestr Demuestra a que f es un endomorfismo. (b) Halla la matriz A asociada al endomorfismo f respecto de la base can´onica. onica.
0 0 (c) Sea la matriz J = 0
0 0 1 1 0 linealmente independientes.
0 1 0 0
1 0 0 0
y la matriz B = A + J. Prueba que las matrices I , B , B , B 2
(d) Halla la matriz inver inversa sa de B . 21. Se considera considera la matriz
1 1 J = 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− − − − − −
1 1 1 1
.
Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalizaci´on. on. 4
3
y B 4 son
22. Encuentra Encuentra una matriz C tal que C 2 = A, siendo A=
26
−10
−10 . 26
23. Calcula, Calcula, aplicando aplicando el teorema de Cayley-H Cayley-Hamilto amilton, n, la inversa inversa de la matriz
1 A = −1 0
2 0 3 1 1 1
.
24. Sea = e1 , e2 , e3 una base de IR3 y A la matriz de un endomorfismo endomorfismo referido referido a dicha dicha base. En dicho endomorfismo, endomorfismo, los subespacios x y= 0 V 1 x + y + z = 0, 0 , V 2 = x z= 0 est´an an asociados respectivamente a los vectores propios λ = 1 y λ = 1/ 1 /2. Se pide:
B {
}
≡
− −
(a) Diagonaliz Diagonaliza a la matriz A. (b) Calcula la matriz M = 2A4 −3
(c) Calcula Calcula la matriz matriz N = A
3
− 7A − 4A
+ 9A 9A2
−2
− 5A + I .
−1
+ 5A 5A
+ 4I 4I .
25. Estudia Estudia para que valores valores reales de t, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo A=
cos t
sen t sen t cos t
.
26. Encuentra Encuentra una forma can´ onica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices: onica
3 D = 0
2 4 0 1
−2 −1 , 2
0 E= 1
−1 −2
−2 1 , F = −1
3 0
1
1
3
−1 − −1 , 0 1 0
1
3 G = 4
2 10 3 6
−3 −12 . −7
27. Diagonaliza las siguientes matrices sim´ etricas etricas
3 A = −1 0
−1 3 0
0 0 2
102 0 , B = 0 − 10 , C = 1 201
1 0 1 1
1 1 0
,
calculando una matriz de paso P ortogonal que permita escribir su forma diagonal A como A = P t AP.
28. Sea
B={
– f ( f (e2 ) =
e1
, e2 , e3 , e4 , e5 una base del espacio vectorial
}
−e .
R5 .
Sea f un endomorfismo de
R5
2
– f ( f (e3 + e4 ) = e3 + e4 . – f ( f (e5 ) = 2e 2 e5 + e1
−e . 2
– El polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico de f tiene la ra´ ra´ız triple 2. – Las ecuaciones impl´ıcitas, ıcitas, respecto resp ecto de la base B , del n´ ucleo ucleo del endomorfismo f
x + x + x = 0 xx += x0 = 0 . 1
2
3
4
5
Se pide
5
3
− 2I son
del que se conoce
(a) Matriz Matriz de f respecto de la base B . (b) La forma can´onica onica de Jordan de f y una matriz de paso P . P . 29. Dada Dada la matriz matriz A:
−1 A= 0 0
α 0 1 β 0 2
−
donde α y β son dos n´ umeros umeros reales. Se pide (a) Estudia Estudia para que valores valores de α y β la matriz A es diagonalizable. (b) Para Para aquellos valores valores para los que no sea diagonalizab diagonalizable le hallar la forma can´onica onica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en funci´on on de α y β . 30. Estudia para qu´e valores valores de los par´ametros ametros a y b, reales, la matriz
5 A = 0 3
0 0 1 b 0 a
−
es diagonalizable, calculando: (a) Forma can´ onica de Jordan y la matriz de paso para los valores a = onica
−1 y b = −1.
(b) Forma can´ onica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129 . onica 31. Sea f un endomorfismo de R3 . Se sabe sabe que una una base base del n´ ucleo del endomorfismo est´a constituida por los vectores ucleo (1, (1, 1, 0) y (1, (1, 0, 1) y que la imagen del vector (0, (0 , 2, 1) es el vector (1, (1 , 1, 0). Se pide (a) Valores propios y subespacios invariantes invariantes de f . f . (b) Diagonaliz Diagonalizaa el endomorfism endomorfismoo f . f . (c) Clasifica Clasifica dicho endomorfismo. endomorfismo. (d) Obten los subespacios invarian invariantes tes de f n .
6
View more...
Comments
