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HENRY ALVARADO
Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio, superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro ““FISICA FISICA VEC VECTORIAL TORIAL 1 1”” de los autores VallejoZambrano. No hay explicaciones explicaciones detalladas sobre los problemas, problemas, solo se sigue el camino camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y física vectorial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un un mejor entendimiento entendimiento si es que le le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas a las las siguientes direcciones: direcciones: www.facebook.com/todoepn www.facebook.com/todoepn
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ÍNDICE
EJERCICIO Nº 3 .................................................................................................................................... 4 EJERCICIO Nº 4 .................................................................................................................................. 16 EJERCICIO Nº5 ................................................................................................................................... 38 EJERCICIO Nº6 ................................................................................................................................... 59 EJERCICIO Nº 7 .................................................................................................................................. 66 EJERCICIO Nº8 ................................................................................................................................... 81 EJERCICIO Nº 9 ................................................................................................................................ 112 EJERCICIO Nº10 ............................................................................................................................... 118 EJERCICIO Nº11 ............................................................................................................................... 127 EJERCICIO Nº12 ............................................................................................................................... 133 EJERCICIO Nº13 ............................................................................................................................... 140 EJERCICIO Nº14 ............................................................................................................................... 169 EJERCICIO Nº 15 .............................................................................................................................. 176
EJERCICIO Nº 3 1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:
a) A 15 i 20 j m SOLUCIÓN:
A = 1155, -20 m b) B = 13 1300 N,125 ,125ºº SOLUCIÓN:
Bx = B cos
By = B sen sen
Bx = 13 1300 Nc Ncos1 os125 25ºº
By = 130 130 Ns Nsen1 en125 25ºº
Bx = -74,56 74,56 N
By =106,49N
c) C = 37cm 7cm,, N37º N37º E
B = Bx , B y B = -74,56;1 74,56;106 06,, 49 N
Bx = B sen
By = B cos
Bx = 37cmsen 37cmsen 37 37ºº
By = 37 cmcos3 os37º 7º
Bx = 22,27cm
By = 29,55cm 29,55cm
B = Bx , B y B = 22, 27; 29,55 ccm m
5kgff -0,6 i-0,8 j d) D = 25kg
SOLUCIÓN: D = 25kg 5kgff -0,6 i-0,8 j
D = -15 i-20 j kgf D = -15, - 20 kgf kgf
2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores: a) A = -14 i+8 j m SOLUCIÓN: tan A =
14
2
+ 82
8 14
1 tan
A =16,12m
8 14
29,74º
180º
180º 29, 29, 74 180º 150,26º
A = 16,12m;150,26º
b) B= 87,91 N SOLUCIÓN: tan B=
872 + 99112
B = 125 125,90 N
91 87 91 87
tan 1
46,29º
B = 125,90N; 46,29º
c) C = 45kg 5kgff 0,70 ,7077 i-0,70 i-0,7077 j SOLUCIÓN: 0,707
tan 1
270º 1 270º 0º 45º 45º 27
0,707 1 0,707
1 tan
0,707
315º
1 45º
C = 45kg 5kgf; f; 315º
d) D= 22N,S28ºO SOLUCIÓN: 270º 270º 0º 28 28ºº 27
D = 22 22N, N, 24 242º 2º
242º
3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a) A = 52,-25 ,-25 N SOLUCIÓN: tan A =
52 2 + 25 2
A = 57,7 N
52 25 52 25
1 tan
A = 57,7 N; S64,32 S64,32ºº E
64,32º
b) B = 47 N, 245º 27 270º 0º 24 245º 5º 25º
B= 47N,S25ºO
SOLUCIÓN: -32 im+ im+ 21 jm c) C = -32
SOLUCIÓN: tan C = 322 +212 C = 38 38,, 28m
32 21 32 21
1 tan
C = 38, 38, 28m; N 56, 56, 73O
56,73º
d) D = 35c 5cm m 0,86 ,866 i+ 0,5 j SOLUCIÓN: 0,5 0,866 0,5 tan1 0,866 30º tan
D = 35c 35cm m; N30ºE
4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) A = 44m, 340º SOLUCIÓN: A x = A cos
A y = A sen
A x = 44mc 44mcos340 os340ºº A x = 41,35m 41,35m
A y = 44ms 44msen340 en340ºº A = 41,35 41,35 i-1 i-15,05 5,05 j m A y = 15,05m ,05m
A =
A
A A
41,35 41,35 i-1 i-15,05 5,05 j m =
44m 44 m ,94 i 0,34 ,34 j A = 0 ,94
A = 44m 0,94 i-0,34 j
b) B= 25km,S14ºO SOLUCIÓN: 270º 14º 14º 270º 284º
Bx = B cos
By = A se senn
Bx = 25kmco 25kmcoss 284º 284º Bx = 6,05km
By = 25kmse 25kmsenn 284º 284º A = 6,05 i-24 i-24,, 26 j km By = 24,26k ,26km m
B =
B
B B
6,05i-24,26 j km =
25km ,97 j B = 0 ,24 i 0,97
c) C = -21, 45 N SOLUCIÓN: C 212 44552 C 49, 66 66º N
B = 25km 25km 0, 242 i-0,9 i-0,977 j
C
C
C C
-21i+ 45 j N
49,66N
C 49,66N -0,42 i+ 0,90 j
-0, 42 i+0,90 j C
d) D = 17 i+9 j kgf SOLUCIÓN: D = 17 2 92 D =19,24kgf
D D
D
D
17 i+9 j kgf
19,24kgf
D 0,88i+0,47 j
D 19, 24k 24kggf 0,88 i+0,47 j
5. Expresar el vector R = -13,-27 m en: a) Coordenadas polares b) Función de los vectores base c) Coordenadas geográficas d) Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN: R = -13,-27 m a)
tan 1 2
2
R = 13 +27
13
27 13
1 tan 1
R = 29,97m
27 64 64,, 29 29ºº 18 180º 0º 244,29º
1 64,29º
R = 29,97 29,97 m; 244 244, 29º 29º
b) R = -13 i-27 j m
c) 270º 0º 24 244,29º 4,29º 27 25,71º
R = 29,97 29,97 m; S25 S25,71 ,71ºº O
d) R
R
R R
-13i-27 j m
R = 29,97 29,97 m -0, 43i- 0,9 j
29,97m
R -0, 43i- 0,9 j
6. Expresar el vector V = 200 km, 318º en : a) b) c) d)
Coordenadas geográficas Coordenadas rectangulares Función de los vectores base Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN: V = 200km 0km,, 318º
a) 318º 8º 27 270º 0º 31 48º
V = 200km 0km,, S48 S48ºº E
b) Vx = V cos318º
Vy = V sen318º
Vx = 200 200 km kmco coss 318º 318º Vx =148,63km
Vy = 200kmsen318º Vy = -133 -133,83 ,83km km
V = 148,63; 148,63; -13 -133,83 3,83 km
c) V = 14 148,63 8,63 i-1 i-133 33,83 ,83 j km
d) V
V
V V 148,63 i-13 i-133,83 3,83 j km 148,63
200km V 0,743i-0,669 j
V = 20 2000 km 0,743 0,743ii-0,669 0,669 j
7. Expresar el vector K = 20N,N47ºO en: a) Coordenadas polares b) Coordenadas rectangulares c) Función de su modulo y unitario
d) Función de los vectores base SOLUCIÓN: a) 90º 90º 47º 47º 137º
K = 20N;13 20N;137º 7º
b) K x = K cos
K y = K sen
K x = 20Nc 20 Ncos1 os137 37ºº
K y = 20 Nsen1 Nsen137 37ºº
K x = -14,63N
K y =13,6 =13,64 4N
K = -14,63;13,64 N
c) K K
K
-14,63 i 13,6 3,644 j N K K
20 N 0,73i 0,68 j
K 20 N 0, 73 73 i 0, 68 68 j
d) K = -14,63 i 13 13,64 ,64 j N
8. Expresar el vector L =14 =147cm 7cm mimi- nj ; Si m = 3 n , en: a) b) c) d)
Coordenadas geográficas Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Función de los vectores base SOLUCIÓN:
3ni-nj
njj L m i- n L 1
2
9n n 1 2
10 n 1 1
10 n 0, 3 31 16
a)
nj L m i- nj
3 n n 2 2
n
m 3n
m 3n
L 3ni-nj
0,94 0,9488 i-0 i- 0, 316 316 j
,3166 i-0,3 i-0,3116 j L 3 0,31 L
0,948 0,316 0,948 tan1 0,316 71,57º tan
L 147cm 7cm;; S7 S711,57 ,57ºº O
b) 27 270º 0º 71 71,, 57º 341,57º c) L =147cm 0,948;-0,316 L = 139,36;-19,99 cm
L 147 cm; 34 3411,57 ,57ºº
d) L = 13 1399,36 i-1 i-199,99 j cm
9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s en: a) b) c) d)
Coordenadas rectangulares Función de su modulo y unitario Coordenadas polares Coordenadas geográficas SOLUCIÓN: a) H = -29;35 m s
b) H
29 2 35 3 52
H 45, 45 45 m m// s
H
H
H H
-29 i+35 j m s = 45,45m s
H 45,45m ,45m// s 0,64i+0 ,64i+0,7 ,777 j
c)
H =
tan
0,64 ,64 i+0,7 +0,777 j 0,64 0,77
0,64 0,77
tan 1
90 90ºº 39 39,73º ,73º 129,73
39,73º
H 45 45,45m/ ,45m/ s;1 s;1229,73 ,73ºº
d) H 45,45m ,45m// s; N39 N39,73 ,73ºº O
10. Expresar el vector E = 9 i+1 +122 j m s 2 en: a) b) c) d)
Coordenadas rectangulares Coordenadas polares Coordenadas geográficas Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN: a) E = 9;12 m s 2
b) tan E = 9 2 +122 E =15m/ =15m/ s 2
12 9 12 9
1 tan
53,13º
c)
E = 15m 5m// s2 ; 53,13 ,13º
90º 53 53,13 ,13ºº
36,87º
E = 15m/ s2 ; N36 N36,87 ,87ºº E
d) E
E
E E
9 i+ i+112 j m s
15m s
2
E 0,6 i+0,8 j
2
E =15m =15m// s 2 0,6 i+ 0,8 j
11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a) A = 65km 5km// h,121 ,121º SOLUCIÓN: A x = A cos
A y = A sen
65km// hsen1 hsen121 21ºº A x = 65km 65km// hcos1 hcos121 21ºº A y = 65km A x = 33,48k ,48km m/ h A y = 55,72km ,72km// h
A = -33, 48i+ 48i+555, 72 j km/ h b) B = 70 N, NE SOLUCIÓN: Bx = B cos Bx = 70Nc 70Ncos45 os45ºº Bx = 49,5 N
B = 49,5 i 49,5 j N
c) C = 120 120 km0,87 0,8733 i-0,488 j SOLUCIÓN:
C = 104 104, 76 i-58 i-58,56 ,56 j km d) D= -13,40 N SOLUCIÓN: D = -13i 40 j N EJERCICIO Nº 4
1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G c) La del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G seanmagnitud perpendiculares d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G SOLUCIÓN: a) F = 40 i+0 j m G = 30 i+ 0 j m
R = 702 = 70m
R = 70 i+ 0 j m
b)
F = 40 i+0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 10 i+ 0 j m
R = 10 102 =10m
c) F = 40 i+0 j m G = 0 i+30 j m R = 40 i+30 j m
R = 402 302 = 5500 m
d) F = 40 i+0 j m
F = 40 i+0 j m G = -30 i+0 j m
-G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+0 j m
R = 702 = 70m
-6 i- j , encontrar: 2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6
a) El ángulo formado por los vectores b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G c) El vector unitario en la dirección de F-2G SOLUCIÓN: a) F•G FG 1 4×-6+6×-1 cos 52 37 133,15º cos 1
F =
42 + 62
F 7, 2 21 1
G =
6 2 +1 +1
G = 6,08
b) Á re rea =
4 6 = -4 + +336 = 332 2 u2 -6 -1
c) F = 4 i+6 j
G = -6 i- j
2G = --12 12 i- 2 j
-122 i-2 j F- 2G = 4 i+6 j - -1 F- 2G = 16 i+8 j
F 2G F 2G
16 i+8 j
162 82 0,8 ,899 i 0,45 j
3. Dado el vector Q = 3, - 5 m, encontrar: a) Un vector P perpendicular a coordenada Y sea positiva
Q , de modo que su módulo sea de 17m y la
b) El área del paralelogramo formado por c) La proyección de
Q y P
Q sobre P
SOLUCIÓN: a)
Q = 3, - 5 m
P = 5 i+3 j m
Q• P = 0 Q • P = 3 × Px - 5 5× × Py
3× Px - 5 × Py = 0
P
5 i+3 j m
,866 i+ 0,51 j P 0,8
3 × Px 5 × Py
52 32
P = 17 m 0,86 ,86 i+0,5 i+0,511 j P = 14,62 i 8,67 j m
b) Área =
3 -5 = 26, 0011 + 73 73,1 = 9999, 11m2 14,62 8,67
c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero 4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s, 120º , encontrar: a) P - Q b) Q + P c) 3 / 2 P d) Q • P e) El ángulo formado entre SOLUCIÓN:
Q = 15 15 m s , 12 120º 0º
Q y P
Qx = Q cos
Q y = Q sen sen
Qx = 15m 15m// scos scos12 120º 0º Qx = -7,5 m/ s
Q y = 15m/ ssen1 ssen1220º
a)
Q = -7,5 i+1 i+122,99 j m/ s
Q y =12 =12,9 ,99m 9m// s
P = 12 12 i -8 j m s - Q = 7,5 ii-112,99 j m/ s
P- Q 19,5 i- 20,99 ,99 j m/ m/ s
b) Q = -7,5 i 12,99 j m/ s P = 12 i
- 8 jm s
Q P 4, 5 i 4, 9999 j m/ s c) 3 3 P = 12 i- 8 j m s 2 2 3 P = 18 i-1 i-12 j m s 2 d) Q• P = -7,5×12 ,5×12 +12 +12,99×-8 ,99×-8 m/ s
Q • P = --19 193,9 3,92 2 m/ s
e)
-7,5×12+12,99×-8 = cos 15m/s 122 +82 -1
= 93,56º 93,56º
f) P×Q =
12 -8 = 155, 88 +6 + 60 k = 215, 88 k -7,5 12,99
5. Dados los vectores M= 37,25 m m N = 41m, 41m, 21 213º 3º , hallar:
a) M + N b) N - M c) -2N d) N • M e) La proyección de N sobre M f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIÓN: a) N x = N cos
N y = N sen
N x = 41mc 41mcos os213º 213º N y = 41msen 213º N = -34,39 i- 22,33 j m N x = --34,39 34,39 m N y = --22,33 22,33 m M=
37 i + 25 j m
N = -34,39 i- 22,33 j m
M + N = 2,61i ,61i+ + 2,67 j m
b) N = -34 -34,, 39 i- 22,33 j m -M = -3 -377 i -2 -255 j m
N - M = - 71,39 i- 47,33 j m
c) -2N = -2 -3 -34,39 4,39 i- 22,33 22,33 j m -2N = 68,78 i+ 44,66 44,66 j m
d) N • M = -34,39 -34, 39× × 37 - 22, 33× 25 N • M = -1830,68 -1830, 68
e)
NM =
NM =
N • M
M
× M
-34,39×37-22,33×25 37i+25 j m 2
×
2
37 + 25
372 + 252
N M = 33,972 +22,952 N M = 40,99 m
NM = -33 -33,, 97 i- 22,95 j m f) 37 25 Área = = -826, 2211 + 99334, 7755 = 33 33, 5544 m2 -34,39 -34,39 -22,33 22,33
6. Dados los vectores E = 15 N mi+0,48 j ; I = 21N 1N,, SE y F= 12N,312º , hallar: a) E + I + F b) 2/3I-3E+5/2F c) 2 / 5 F • E d) 3I×2F e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E SOLUCIÓN: E = 15 N mi+ 0, 48 j
I = 21N 1N,, SE
m = 1- 0,482
270º 270º 45º 45º
315º
m = 0,88
E = 15 N 0,88i+ 0,48 j E = 13,2 i+7,2 j
Ix = I cos
I y = I sen
Ix = 21N 21Nco coss 315º 315º Ix = 14,8 ,855
I y = 21Nsen315 21Nsen315ºº I y = -14,85 -14,85
I = 14 14,85 ,85 i-1 i-14,8 4,855 j N
F= 12N,312º
Fx = F ccos os
Fy = F sen
Fx =12Ncos312º Fx =8,03
Fy =12Nsen312º
F = 8,03i-1 ,03i-155,60 j N
Fy = -1 -15,60 5,60
a) E = 13,2 i+7,2 j N I = 14,85 14,85 i-1 i-14,8 4,855 j N F = 8,03 ii-115,60 j N
E + I + F 36,08 ,08 i-23 -23,25 ,25 j N
b)
2 ,85 i-1 -144,85 ,85 j N 14,85 3 2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N 2 / 3I =
-3E -3E = -313,2 13,2 i+ 7,2 j N -3E = -39,6 39,6 i-21 i-21,6 ,6 j N
5 ,03i-115,60 ,60 j N 8,03i2 5 / 2F = 20,08 ,08 i-39 j N
5/ 2F =
2 / 3I = 9,9 i-9,9 -9,9 j N -3E = -39,6i-21,6 j N 5/ 2F = 20,08 ,08 i-39 j N
2/3I-3E+5/2F= -9,62i-70,5 j N
c)
2 / 5 F • E = F•E = -2,53
d)
2 ×13, 2 - 15, 6 60 0 × 7, 7, 2 8, 0033 ×1 5
3I = 3 14 14,85 ,85 i-1 i-14,8 4,855 j N
3I = 44,55 44,55 i-44 i-44,, 45 j N
3I × ×22F =
2F = 2 8,03 i-1 i-155,60 j N
2F = 16,06 i-31 i-31,, 2 j N
44,55 44,55 -44,55 44,55 k = -1389, 9966 + 77115, 4477 k = -674, 4499 k 16,06 -31, 2
e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F I = 14,85 14,85 i-1 i-14,8 4,855 j N F = 8,03 i-1 i-155,60 j N
I + F 22,88 ,88 i-30 -30,45 ,45 j N
E • I F
E I+F = I F × I F E I+F =
22,88 i-30,45 j 13, 2× 22,88 7, 2× 30, 45 22,88 13, 2
2
22,88 +30,45
×
22,88 22,882 + 30, 30, 452
E I+F = 11,3 ,300 i-1 -1,73 ,73 j m E I+F = 1,302 1,732 E I+F = 2,16
f) 8 ,0313 13,2 ,2 15,60 7,2 8,03 1512
1 cos
92,01º
7. Dados los vectores A = 31m s 0,2 i+ mj ; B= 43m s,172º y
C= 55,-12 m s , hallar: a) A - B + C b) 1 2A + B-2C
c) El área del paralelogramo formado por 2A y
2 3
C
d) La proyección de A + B sobre C e) A×C + A×B ×C f) A • B ×C
SOLUCIÓN: A = 31m s 0,2 i+ mj
m = 1 - 0, 2
2
172º 2º B= 43 m s , 17
Bx = B cos
ssen1 en172 72ºº Bx = 43m/ scos1 scos172 72ºº By = 43m/ ss Bx = -4 -41,59 1,59 By =5,98
m = 0,98 A = 31m s 0,2 i+0,9 i+0,988 j i+30,38 ,38 j m s A = 6,2 i+30
C = 55 i-1 -122 j m s
By = B sen
B= -41,59i+5,98 j m/s
a) A = 6, 2 i+30 i+30,38 ,38 j m s - B = 41,59 ,59 i-5,9 -5,988 j m/ s C = 55 i -12 j m s
A- B+ C 102,79 ,79 i 12,4 j m s -2 C b) 1 2A +B -2C
1 +30,3 ,388 j m s 6,2 i+30 2 1/ 2A = 3,1i+15 3,1i+15,1 ,199 j m s 1/ 2A =
-2C -2C = -255 i-1 i-122 j m s -2C = -110 i+24 j m s
1/ 2A = 3,1 3,1 i+1 i+15, 5,19 19 j m s B= -41,59i+5,98 j m/s
- 2C = -110 i+ 24 j m s 1 2A + B- 2C -148,49i+ 45,17 j m s
c) 2A = 2 6, 2 i+30 i+30,38 ,38 j m s 2A = 12, 4 i+60 i+60,76 ,76 j m s
Área =
2 -12 j m s 55 i-12 3 2 / 3C = 36,66 i-8 j m s 2 / 3C =
12,4 60,7 ,766 = -99, 2 - 93 934, 7755 = 2326, 6666 36, 66 66 -8
d) La proyección de A + B sobre C A = 6,2 i+3 i+300,38 j m s B= -41,59i+5,98 j m/s
C = 55 i-12 -12 j m s
A + B = -35,39 ,39 i+36 +36,3 ,366 j m/ s
A+ BC =
A+B•C
C
× C
× 55 i-12 j A+ BC = -35,39×55+36,36×-12 2 2 2 2 55 + 12
55 + 12
,35 i+ 9,02 j A+ BC = -41,35
352 9, 02 022 A+ B C = 41, 35 ,322 A+ BC = 42,3
e)
A× C =
6,2 30,3 ,388 = -74, 4 --11670, 9 k = -1 -1745, 33kk 55 -12
A× B =
6,2 30,3 ,388 = -37, 0088 + +11263, 5 k = 12 1226, 4422 k -41,59 5,98
A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k A×C + A×B = -518,88k f) B× C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces
A • B× C 0
8. Tomando en consideración los vectores R = 20m, N 25º O ; S = 15 i+9 j m ; -0,8666 j , hallar: T = 30m 0m,, 260º y U =17m 0,5 i-0,8 a) 3 4 S - 2R +U b) 5U -1 2T + R -2S c) R • S + T • U × S d) T × U + R ×S
e)
3 R • 2 T
f) La proyección de R + S sobre T - U g) El área del paralelogramo formado por R - T y S + U SOLUCIÓN:
R = 20m 20m,, N 25º 25º O 90º 90º 25º 25º 115º
T = 30m 0m,, 260º
R x = R cos
R y = R sen
R x = 20mco 20mcos11 s115º 5º R x = -8,45m
R y = 20mse 20msen11 n115º 5º
Tx = T cos
R y = 18 18,1 ,13m 3m
Ty = T se sen n
30msen 26 260º 0º Tx = 30m 30mccos 260º Ty = 30msen Tx = -5, -5, 21m Ty = -29,54m 29,54m
T = -5, 21i- 29,54 j m
R = -8,45 i+1 i+18, 8,13 13 j m
U =17m 0,5 i-0,86 i-0,866 j
U 8,5 i-1 -14 4,7 ,72 2j m
a) 3 / 4S =
3 4
15 ii++ 9 j m
-2R -2R = -2 -8,45 i+18,1 i+18,13 3j m
3 / 4S = 11, 25 i+ 6,75 j m
-2R = 16,9 i-36,26 i-36,26 j m
3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m - 2R = 16,9 i-36 i-36,, 26 j m U 8,5 i-1 -144,72 ,72 j m
3 4S-2R + U 36,65 ,65 i- 44,23 ,23 j m
b) 5U 5 88,5 ,5 ii-114,72 j m 5U 42,5 i-73 -73,6 ,6 j m
1 2
,21i-29,54 j m -5,21i-29,54
-1/ 2T = 2,6 i+ i+1 14,77 4,77 j m
-2S = -2 15 i+9 j m -2S = -30 i-1 i-18 j m
-1/ 2T = -
-1/ 2T = 2,6 i+1 i+14,77 j m R = -8,45 i+18, i+18,13 13 j m -2 2S S= -3 30 0 i - 18 j m 5U -1 2T + R - 2S = 6,65i-58 ,65i-58,7 j m 5U = 42,5 i-73,6 -73,6 j m
c) R •S = -8,45×1 8,45×15 5 +18 +18,1 ,13×9 3×9
R•S=36,42 T • U = -5,21×8,5 5,21×8,5 - 29 29,54×-1 ,54×-14,72 4,72
T • U = 390,54 ,54 4 R • S + T • U = 36,4 2 + 3 9900,5 ,96 6 R • S + T • U = 426,9
d) T× U =
-5, -5, 21 -29,54 29,54 = 76, 69 + +2251, 09 k = 32 327, 78 k 8,5 -14,7 ,722
R ×S ×S =
-8, -8, 45 18,1 18,133 = -76, 05 --2271, 95 k = -3 -348 k 15 9
,78k-348k 8k T× U + R ×S = 327,78k-34 T×U + R×S = -20,22k
e)
3R = -25 25,35 ,35 i+54,39 i+54,39 j m 3R = 3 -8, -8, 45 i+18,1 i+18,13 3j m
2T = -10, 42 i-59 i-59,08 j m 2T = 2 -5,21i- 29 29,54 ,54 j m
25,35×-1 ,35×-10,42+ 0,42+ 54,39×-5 4,39×-59,0 9,08 8 3R • 2 T = -25 3R • 2 T = -2949,21
f)
S = 15 i + 9 j m R + S 6,5 ,55 5 i+ 27,13 j m
- U = -8,5 i+14 +14,72 j m T - U = -13 13,71i-1 ,71i-14 4,82 j m
R = -8,45 i+18, i+18,13 13 j m
R+ ST-U =
R+S•T-U
T- U
T = -5,21i-29,54 5,21i-29,54 j m
× T-U
6,55×-13,71+27,13×-14,82 -13,71i-14,82 j × R+ ST-U =
13, 71 712 + 14, 822
13, 7 7112 + 14, 822
,54 i+1 +177,88 ,88 j R+S T-U = 16,54
,882 R+ ST-U = 16,542 17,88
36 R+ ST-U = 24, 36
g)
- T = 5,21i+29,54 ,21i+29,54 j m R -T = -3,24 i+ 47,67 j m R = -8,45 i+18, i+18,13 13 j m
Área =
3, 24 47,67
23,5
-5,72
S = 15 i+9 j m U 8,5 i-14 -14,7 ,722 j m S+ U 23,5i-5 ,5i-5,7 ,722 j m
= 18, 5533 --11120, 2244 = 11 1101, 7711
81cm cm,, 155º 155º , 9. Considérese los vectores A = 46cm mi-0,23 j ; B = 81 C = 57cm 7cm,, N21 N21ºº E y D= -32i-29 j m , determinar: a) 1 2 A + 2 C - B
b) 2D- 3A +1 3C- 2 5B c) 3B + 2 3 A • -C - 3 4 D d) D- 3C × 3 2B+ 4A e) B • A + C • D f) 2A×C + 5B×D g) El ángulo formado por D - A y B + C SOLUCIÓN: A = 46cm mi-0,23 j m = 1- 0,48
2
B = 81 81cm cm,, 15 155º 5º By = B sen sen
Bx = B cos
81cms msen1 en155 55ºº Bx = 81c 81cm mcos15 cos155º 5º By = 81c Bx = -7 -73,41c 3,41cm m By = 34,23c ,23cm m
m = 0,88
A = 40 40,, 48 i-10,58 i-10,58 j A = 46cm 0,88 i-0, 23 j
B = -73, 41i+34 41i+34,, 23 j cm
C = 57cm 7cm,, N21 N21ºº E 90º 90º 21º 21º 69º
Cx = C cos
C y = C sen
Cx = 57 cmcos69 os69ºº Cx = 20, 20, 43c 43cm m
C y = 57cmse 57cmsen n 69 69ºº C y = 53 53,, 21cm 21cm
C= 20,43i+53,21j cm a) 1 m 40,48 i-i-110,58 j ccm 2 1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm 1/ 2A =
2C = 40 40,86 ,86 i+106 i+106,, 42 j cm
2C = 2 20 20,, 43i+ 53 53,, 21 j cm
B = -73, 73, 41i+34 41i+34,, 23 j cm
1/ 2A = 20,24 i-5 i-5,29 ,29 j 2C = 40,86 40,86 i+1 i+106 06,, 42 j - B = 73,41i-3 ,41i-344,23 j 1 2A + 2C - B = 134,51i ,51i+ + 66,89 ,89 j
b)
2D = 2 -32 i-29 j
2D = -64 i-58 i-58 j
-3A -3A = -3 40, 40, 48 i-10,58 j
-3A -3A = -121 -121,, 44 i+31 i+ 31,, 74 j
1
-2 / 5B = - 52 -73,41i+3 ,41i+344,23 j
,43i+53,21 j 20,43i+53 1/ 3C = 6,81 6,81 i+17,73 i+17,73 j
1/ 3C =
3
-2/5B= 29,36i-13,69 j
2D = -64 i-58 j - 3A = -1 -121 21,, 44 i+31,74 j 1/ 3C = 6,8 6,811 i+1 i+17,73 7,73 j
-2/5B= 29,36i-13,69 j 2D- 3A +1 3C- 2 5B 149,27i-2 ,27i-222,22 ,22 j
c) 3B = 3 -73,41 -73,41 i+34,23 j 3B = -220 -220,, 23 i+10 i+102,69 2,69 j -4 / 3D = -
4 3
-32 i-29 j
-4 / 3D = 42,66 i+38,66 i+38,66 j
2 ,48i-100,5 ,588 j 40,48i-1 3 2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j
2 / 3A =
- 4 / 3D = 42,66 i+38,66 +38,66 j -C - 4 3D = 22,23i-14 2,23i-14,55 j
3B = -220 -220,, 23i+10 23i+102,69 2,69 j 2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j
- C = -20, 43 i-53 i-53, 21 j
3B + 2 3A = -193, 24 i+95 i+95,64 ,64 j
,24×22, 23+ 95,64×-1 ,64×-14,55 3B + 2 3A • -C- 4 3D = -193,24×22, 3B + 2 3A • -C- 4 3D = -5687,28
d)
-3C = -3 20, 20, 43 i+53,21 j
3 ,41i+34 +34,23 ,23 j -73,41i 2 3 / 2B = -110 110,1 ,122 i+51 i+51,35 ,35 j
3/ 2B =
-3C = -61, 61, 29 i-159 i-159,, 63 j
4A = 4 40, 40, 48 i-10 i-10,, 58 j 4A = 161 161, 92 i- 42,32 42,32 j
- 3C = -61, 61, 29 i-159 i-159,, 63 j D - 3C = -93 93,, 29 i-188 i-188,63 ,63 j
3 / 2B = -110,1 10,122 i+51 i+51,35 ,35 j
D = -32 i-29 j
- 3C × 3 2 B B+ + 4A 4A = D -3
4A = 161 161, 92 i- 42, 42, 32 j 3 2B+ 4A 51,8i 9,0 ,033 j
-93,29 -188 -93,29 -188,63 ,63 = -842, 41 41 + 997771, 03 03 k = 889928, 62 62 k 51, 8 9, 03 03
e) B• A = -73 73,, 41 41× × 40 40,, 48+ 34 34,, 23 23×-1 ×-10,5 0,58 8 B•A = -3333,79
B• A + C• D = -3333,79- 2196,85 B• A + C• D = 5 5 3 0 ,64
C • D = 20 20,, 43 43×-3 ×-32 2 + 53 53,, 21 21×-2 ×-29 9 C • D = --219 2196,85 6,85
f) 2A×C + 5B×D 2A = 2 40, 40, 48 i-10 i-10,, 58 j
5B = 5 -73 73,, 41i+34,23 j
5B = -3 -367 67,, 05 i+17 i+171, 1,15 15 j
2A = 80,96 80,96 i- 21,16 21,16 j
2A × ×C C=
80,96 80,96 -21,1 21,166 = 4307, 88 88 + 44332, 3300 k = 4740,18 k 20, 43 53, 21
g) El ángulo formado por D - A y B + C
- A = -40 40,, 48 i+10,58 i+10,58 j D - A = -72, 48 i-1 i-18, 42 j
B = -73, 41i+ 34, 34, 23 j
D = -32 i-29 j
= cos-1
C = 20,43i+5 ,43i+533,21 j B+ C = -52,98i+87 ,98i+87,44 ,44 j
-72,48×-52,98-18,42×87,44
72,482 +1 +188,422
52,98 ,982 +87 +87,44 ,442
= 73,05º
10. Dados los vectores D = 5k 5km m, 63º , E = -7, -1 km y F= 4km;S70ºE , calcular: a) b) c) d)
2D+E+3F E-D-2F D•E
D- E×F
e) La proyección de E sobre D f) El ángulo comprendido entre E y F g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E SOLUCIÓN: a)
Dx = D cos
Dy = D sen
Dx = 5km 5kmccos 63º Dx = 2,27km
Dy = 5km 5kmssen 63º
D = 2,27 i+ 4,46 j km
Dy = 4,46km
E = -7 i-1 j km
270º 70º 70º 270º
340º
Fx = F cos
Fy = F sen
Fx = 4kmcos340º Fx =3,76km
Fy = 4 km kmse senn 340º 340º Fy = 1,37k ,37km m
2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km
2D = 4,54 i+8 i+8,92 ,92 j km 3F = 3 3,7 3,766 ii-11,37 j km 3F = 11 11,, 28 i-4, i-4,11 11 j km
2D = 4,54 i+8 i+8,92 ,92 j km E = - 7 i -1 j km 3F = 11 11,, 28 i-4, i-4,111 j km
2D E 3F 8, 82 82 i 3, 81 81 j km
b) E-D-2F -2F -2F = -23,76 i-1 i-1,37 ,37 j km -2F = -7,52 i+ 2,74 j km
F = 3,76 i-1,37 -1,37 j km
E = - 7 i -1 j km - D = -2,27 i-4,4 i-4,466 j km
-2F= -7,52i+2,74 j km
E-D-2F= -16,79i-2,72 j km
c)
D• E = 2,27×-7 ,27×-7 + 4,46×-1 ,46×-1
D • E = --20 20,35 ,35
d) E×F =
-7 -1 k = 9, 59 +3 + 3, 7766 k = 13 13, 35k 3,76 -1,37 D = 2,27 i+ 4,46 j+0k
-E×F =
0 i + 0 j-13,3 ,355k
D- E×F 2,27 ,27 i+ 4,46 j-1 -133,3 ,355k e) ED =
ED =
f)
E•D
D
× E
7×2,27 1 4,46 2, 27 i+ 4, 46 j -7×2,27 ×
5
5
E D = -1,85 i-3 i-3,63 ,63 j
E = -7, -1 km y F= 3,76i-1,37 j km -7×3,76-1×-1,37 = cos-1 4 72 + 1
= 86, 86, 25º 25º
g) 2,27 4,46 2 Área = -7 27 + 31 31, 22 22 = 28, 9955 km km -1 = -2, 27
E D = 1, 85 852 3, 6 63 32 E D = 4, 0 07 7
11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el ángulo formado por los vectores A y B SOLUCIÓN: 2........ ...... ...(1) (1) A x + Bx = 2..... 6........ ...... ....(2 .(2)) A x - Bx = 6.....
-4.............. ............. .........(1) ..(1) A y + By = -4........ -10............. ............ ........(2) ..(2) A y - By = -10.......
De (2) (2) A x = 6 + Bx .... ...... ..... ...... ....( .(3) 3)
De (2) (2) A y = -10 -10 + By ... ..... .... .... .... .... ..(3 (3))
(3) en (1) 6 + Bx + B x = 2
(3) en (1) -10 + By + By = -4
x 2B Bx = =-2-4
2By = 6 By = 3
Reemplaza Reempl azando ndo el vvalo alorr de Bx en (1 (1)) Ax - 2 = 2 Ax = 4
Reempl Ree mplaza azando ndo el vvalor alor de By en (1) (1) A y +3 = -4
A = 4 i-7 j
B = -2 i+3 j
1
A B
A y = -7
cos
A B 4 2 7 3 1 cos 2 2 22 32 4 7 176,05º
12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B + C = 0
C= 0i-16 j N
Para que Y=0 A y = - Cy A y = 16 Calculando A x tan37º= 16 Ax 16 Ax = tan37º A x = 21, 21, 24 com como est staa en X((-)) -21, 21, 24
A = -21,24i+16 j N A = 21,242 +1 +1662
A = 26,59N
Para que X=0 Bx = -A x Þ Bx = 21,24 B = 21,24i+0 j N B = 21,24 21,24N N
Nº5 EJERCICIO N 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo ex tremo del minutero, en las siguientes horas: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
10H10 12H35 5H40 8H20 9H10 6H50 2H40 11H05 4H00 SOLUCIÓN: Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores: 90º 120º
60º
150º
30º
180º
0º
330º
210º 240º
300º 270º
Datos: Lmin = 11,, 22m m L hor = 0, 88m m
a)
rmin = 1, 2m 2m;; 30º
12 11
1
10
2
9
rYmin =1 =1,2m ,2mssen30 n30º rYmin = 00,, 6 m
rXmin =1 =1,2m ,2mccos3 s300º rXmin = 11,, 04 m
rmin = 11,0 ,044 i+0 +0,6 ,6 j m
3
4
8
rhor = 0,8m 0,8m;; 15 150º 7
5
rXhor = 0,8mcos ,8mcos1 150º
6
rXhor = 0, 6 69 9m
rYhor = 0,8m ,8mssen1 n1550º rYhor = 00,, 4 m
rhor = -0,69 ,69 i+0 +0,4 ,4 j m rhor/ mi min = rhor - rmi n rhor/min = --00,69 ,69 i+0,4 j m m-- 1,04 ,04 i+0 +0,6 ,6 j m rhor/min = -1, 73 73 ii-- 00,, 2 j m
b) 12 11
1
rmin = 1, 2m 2m;; 30º 10
2
9
3
rXmin =1 =1,2m ,2mccos24 s2400º rXmin = -0, 6m 6m
4
8
7
rmin = -0,6 i-1,0 -1,044 j m
5 6
rhor = 0 i+ 00,, 8 j m rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = 0 i+0 +0,8 ,8 j m m-- -0 -0,6 i-1,04 ,04 j m rhor/min = 0, 6 i 1, 84 j m
c)
rYmin =1 =1,2 ,2 msen 240º rYmin = -1 -1, 0044 m
12 11
rmin = 1, 2m 2m;; 210º
1
10
rXmin =1 =1,2m ,2mccos21 s2100º rXmin = -1, 0044 m
2
9
rmin = --11,04 ,04 i-0,6 -0,6 j m
3
8
rYmin =1 =1,2m ,2mssen30 n30º rYmin = --00, 6 m
4
rhor = 00,8m ,8m;; 300º 7
5
rXhor = 0,8m ,8mccos30 s3000º rXhor = -0, 4 m
6
rYhor = 0,8ms ,8msen30 n300º rYhor = 0, 69 m
rhor = -0,4 i-0,6 -0,699 j m rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = --11,04 ,04 i-0 -0,6 ,6 j m m-- -0 -0,4 i-0,6 -0,699 j m rhor/min = -0, 6644 i - 00,, 0099 j m
d) rmin = 1, 2m 2m;30 ;30ºº
12 11
1
10
rXmin =1 =1,2m ,2mccos3 s3330º rXmin = 1, 1, 04 m
2
9
rYmin =1 =1,2 ,2 msen3 n3330º rYmin = -0 -0, 6 m
rmin = 11,0 ,044 i-0 -0,6 ,6 j m
3
4
8
7
5 6
rhor = 00,8m ,8m;; 210º rXhor = 0,8m ,8mccos 210º rXhor = -0, 6699 m
rhor = -0,69 ,69 i-0,4 j m rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = --00,69 ,69 i-0 -0,4 ,4 j m m-- 1,04 ,04 i-0,6 -0,6 j m rhor/min = -1, 73 73 ii+ + 00,, 2 j m
rYhor = 0,8m ,8mssen 210º rYhor = -0 -0, 44m m
e) rmin = 1, 2m 2m;; 30º
12 11
1
10
rXmin =1 =1,2m ,2mccos3 s300º rXmin = 11,, 04 m
2
9
rYmin =1 =1,2m ,2mssen30 n30º rYmin = 00,, 6 m
rmin = 11,0 ,044 i+0 +0,6 ,6 j m
3
4
8
7
5 6
rhor = -0,8i ,8i+0 +0 j m
rhor/ mmiin = rhor - rmi n rhor/min = --00,8i ,8i+0 +0 j m m-- 1,04 ,04 i+0 +0,6 ,6 j m rhor/min = -1, 84 84 ii-- 00,, 6 j m
f) rmin = 1,2m ,2m;1 ;1550º
12 11
rXmin =1,2m =1,2mccos1 s1550º rXmin = -1, 0044 m
1
10
2
9
3
rmin = --11,04 ,04 i-0,6 -0,6 j m
4
8
7
5 6
rhor = 0 i- 0, 0, 8 j m
rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = 0 i-0 -0,8 ,8 j m m-- -1 -1,04 ,04 i-0 -0,6 ,6 j m rhor/min = 1, 04 04 ii- 00,, 2 j m
g)
rYmin =1 =1,2m ,2mssen30 n30º rYmin = -0 -0, 66m m
rmin = 1,2m ,2m;; 210º
12 11
rXmin =1 =1,2m ,2mccos21 s2100º rXmin = -1, 0044 m
1
10
2
9
rmin = -1,04 ,04 i-0,6 -0,6 j m
3
rhor = 00,8m ,8m;; 30º
4
8
7
rYmin =1 =1,2 ,2 msen 210º rYmin = -0 -0, 66m m
rXhor = 0,8mc ,8mcoos30 s30ºº rXhor = 0, 6699 m
5 6
rYhor = 0,8m ,8mssen3 n300º rYhor = 00,, 4 m
rhor = 0,6 0,699 i+0 +0,4 ,4 j m rhor/ mmiin = rhor - rmi n rhor/min = 00,6 ,699 i+0,4 j m m-- -1,04 ,04 i-0,6 -0,6 j m
h)
rhor/min = 1, 73 73 ii+ + jm
rmin = 1, 2m 2m;; 60º rXmin =1 =1,2m ,2mccos6 s600º rXmin = 0, 6 m
12 11
1
10
2
9
3
4
8
7
6
5
rmin = 0,6i+ 0,6i+11,04 ,04 j m rhor = 0 0,8m ,8m;; 12 120º rXhor = 0,8mco ,8mcos12 s120º rXhor = -0, 4 m
rhor = -0 -0,4 ,4 i+0,6 +0,699 j m rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = -0 -0,4 ,4 i+0,6 +0,699 j m m-- 0,6 0,6 i+1 +1,0 ,044 j m rhor/min = - ii-- 00,, 35 j m
rYmin =1 =1,2m ,2mssen30 n30º rYmin = 1, 1, 0044 m
Yhor 0,8m ,8ms sen12 n120º rrYhor = = 00, , 6699 m
i) 12 11
1
10
rmin = 0 i+ 1,2 j m
2
9
3
4
8
7
rhor = 00,8m ,8m;; 330º rXhor = 0,8mc ,8mcos os1150º rXhor = 0, 6699 m
rYhor = 0,8ms ,8msen330 n330º rYhor = -0 -0, 44m m
5 6
rhor = 0,6 0,699 i-0,4 -0,4 j m
rhor/ mmiin = rhor - rm in rhor/min = 00,6 ,699 i-0 -0,4 ,4 j m m-- 0 i+1 +1,2 ,2 j m rhor/min = 0, 6699 ii--1, 6 j m
2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a) La posición de la tienda respecto a la ciudad b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda SOLUCIÓN: Datos: Ciudad=origen rcasa = 2 kkm m; NE 41 ii+ + 1, 41 41 j km 1, 41
rtienda/casa = 200 i-100 j m rtienda/casa a) rtien tienda da/ca /cassa = rti tien enda da - rcasa casa
= 0, 2 i- 0, 0,1 j km
rtiend iendaa = rtien enda da/c /caasa + rcasa as a rtienda = 1,41i ,41i+1 +1,4 ,411 j kkm m + 00,2i-0 ,2i-0,,1j km rtienda = 1,61i ,61i+1 +1,3 ,311 j km
b) c)
rtienda/casa = 200 i-100 j m rtienda/casa = 0, 2 i- 0, 0,1 j km rtienda/casa = 2002 + 1002
r
tienda/casa
= 223, 60 m
0, 22223 km
3. Los vértices de un triangulo son los los puntos P1 0,5 , P2 2,,-11 y P3 3,6 , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados SOLUCIÓN:
a) PP 1 2 = 2 i- j - 0 i+5 j PP 1 2 = 2 i-6 j
P1P3 = 3 i 6 j - 0 i + 5 j P1 P3 = 3 i j
P2 P3 = 3i+6 j - 2 i- j P2 P3 = i+7 j
• P1P3 A = cos P1P2 P1P3 2 3 6 1 A = cos-1 2 2 32 1 2 6
A = 90º
• P2 P3 B = ccos os P1P3 P2 P3 3 1 1 7 -1 B = ccos os 2 2 3 1 1 7 -1 P1P3
-1 P1P2
B = 63 63,, 43º 43º
63, 63, 43º 43º +9 +90º+C 0º+C = 180º 180º C = 180º-9 180º-90º-6 0º-63,43 3,43ºº C = 26 26,57º ,57º
b) Triangulo rectángulo 4. Los vértices de un triangulo son los puntos A 8,9 m , B-6,1 m , C 0,-5m , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triangulo ABC SOLUCIÓN:
a) AB = -6 i+ j m- 8 i+9 j m AB = -14 i-8 j m BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j m BC = 6 i-6 j m
AC = 0 i-5 j m- 8 i+9 j m
AC= -8i-14 j m
AB • AC A = cos AB AC 14 8 8 14 -1 A = cos 2 2 82 11442 14 8 -1
A = 30, 30, 51º 51º
B = 180º 180º-3 -30,51 0,51ºº -7 -74,74 4,74ºº B = 74 74,75º ,75º
AC•BC C = cos AC BC -8×6-14×-6 -1 C = cos 62 + 6 2 82 + 142 -1
C = 74,74º
b) 1 AB×AC 2 1 -14 -8 2 Área = = 196 --664 = 11332 m 2 -8 -14
Área =
5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km ,
Q 0,4 km , R 1,1 km , S5,2km , determinar: a) La forma geométrica de la ciudad b) El área de la ciudad c) La posición relativa del punto R respecto del punto P d) La posición relativa del punto S respecto del punto R SOLUCIÓN:
a)
Paralelogramo
b) RQ = 0 i+4 j km- i+ j km RQ = - i+3 j km
Área = RQ×RS
-1 3 2 Área = = -11-112 =13k =13km m 4 1 c)
RS= 5i+2 j km- i+ j km RS= 4i+ j km
rR/P = i+ j kkm m- 4 i+5 j kkm m
rR/P = --33 ii- 4 j kkm m
d) rS/R = 5i+2 j kkm m- i+ j kkm m rS/R = 4 ii+ + j km
6. tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a) rP/Q 50k 0km m; NO 0km m;S6 ;S600º E y rR/Q 70k
5km m; N70 N70ºO b) rP/Q 80km 0km;S ;SO O y rR/Q 25k c) rP/Q 65km 0km m;S30 ;S30ºO 5km; N15ºO y rR/Q 90k d) rP/Q 40k 0km m; N7 N755º E y rR/Q 100k 0km m; S2 S255º E SOLUCIÓN: rP/ Q = rP - rQ .... .... .... .... .... .... .... .... ...( .(11) rQ = rP - rP/ Q ..
rR/ Q = rR - rQ rQ = rR - rR/ Q .. .... .... .... .... .... .... .... .... ...(2 .(2))
rP/ R = rP -rR .... .. .... .... .... .... .... ..(3 (3)) Igua Iguala lando ndo (1 (1)) y (2 (2))
rP - rP/ Q = rR - rR / Q rP -rR = rP/ Q - rR/ Q .... ...... .... .... .... .... ...( .(44)
a)
rP/Q 50k 0km m;S6 ;S600º E 270º 270º 60º 60º 330º
(3 (3)) en ((4) 4) rP/ R = rP/ Q - rR / Q
rP/ Q x = rP/ Q cos
rP/ Q y = rP/ Q sen
rP/Q x = 50km 0kmccos3 os3330º
rP/Q y = 50km 0kmssen 330º
rP/Q x = 43,30km
rP/Q y = -25km
rP/Q 43, 3300 ii-- 2255 j km
rR/Q 70k 0km m; NO
90º 90º 45º 45º 135º
rR/ Q x = rR/ Q cos
rR/ Q y = rR/ Q sen
rR/Q x = 70kmc 70kmcos1 os135 35ºº
rR/Q y = 70kms 70kmsen1 en135 35ºº
rR/Q x = -49,50km
rR/Q y = 49,50k ,50km m
rR/Q -49, 50 50 i 49, 50 50 j km
rP/ R = rP/ Q - rR / Q rP/R = 43,30 ,30 i-25 j kkm m -49,50 ,50 i 49,5 ,500 j kkm m rP/R = 92,50 ,50 i- 74,50 ,50 j km km
b)
rP/Q 80k 0km m;S ;SO O 270º 45º 45º 270º 225º
rP/ Q x = rP/ Q cos
rP/ Q y = rP/ Q sen
rP/Q x = 80km 0kmccos 225 225º
rP/Q y = 80km 0kmse senn 315 315º
rP/Q x = -57,57km
rP/Q y = -56,57km
rP/Q = -56,5 ,577 i-56 -56,5 ,577 j kkm m
rR/Q 25k 5km m; N7 N700ºO 90º 90º 70º 70º 160º
rR/ Q x = rR/ Q cos
rR/ Q y = rR/ Q sen
rR/Q x = 25km 25kmco cos16 s160º 0º
rR/Q y = 25km 25kmse sen16 n160º 0º
rR/Q x = -23, 49 km
rR/Q y = 8,5 ,55k 5km m
rR/Q -23, 49 49 i 88,, 55 55 j km
rP/ R = rP/ Q - rR / Q rP/R = -56,57 i-56 i-56,57 ,57 j km km-- -2 -233, 49 i+8,5 i+8,555 j km rP/R = -33,08i-48 ,08i-48,0 ,022 j kkm m
c)
rP/Q 65km 5km; N15ºO 90º 90º 15º 15º 105º
rP/ Q x = rP/ Q cos
rP/ Q y = rP/ Q sen
rP/Q x = 65kmco 65kmcos10 s105º 5º
rP/Q y = 65kmse 65kmsen10 n105º 5º
rP/Q x = -16 16,82km ,82km
rP/Q y = 62,79km ,79km
rP/Q = -16,8 ,822 i+ 62,79 j kkm m
rR/Q 90km 0km;S3 ;S300ºO
270º 270º 30º 30º 240º
rR/ Q x = rR/ Q cos
rR/ Q y = rR/ Q sen
rR/Q x = 90km 0kmccos 240º 240º
rR/Q y = 90km 0kmssen 240º
rR/Q x = -45km
rR/Q y = -77,94km 77,94km
rR/Q = -45 i-77 -77,9 ,944 j kkm m
rP/ R = rP/ Q - rR / Q rP/R = -16,82 16,82 i+62 i+62,79 ,79 j km km-- -4 -455 i-77 i-77,94 ,94 j km rP/R = 28,18 ,18 i+1 i+140,73 j km
d)
rP/Q 40k 0km m; N7 N755º E 90º 90º 75º 75º 15º
rP/ Q x = rP/ Q cos
rP/ Q y = rP/ Q sen
rP/Q x = 40km 40kmco cos15 s15ºº
rP/Q y = 40kmse 40kmsen15 n15ºº
rP/Q x = 38,64k ,64km m
rP/Q y =16 =16,8 ,82km 2km
rP/Q = 38 38,64 ,64 i+16 +16,82 j kkm m
rR/Q 100k 0km m; S25 S25º E
270º 270º 25º 25º 295º
rR/ Q x = rR/ Q
cos
rR/ Q y = rR/ Q sen
rR/Q x = 100 100 km kmccos29 os295º 5º
rR/Q y = 100 100 km kmse senn 295º 295º
rR/Q x = 42,26k ,26km m
rR/Q y = -90,63k ,63km m
rR/Q = -45 i-77 -77,9 ,944 j kkm m
rP/ R = rP/ Q - rR / Q rP/R = 38,64 i+1 i+166,82 j km- -4 -455 i-77 i-77,94 ,94 j km rP/R = 83 83,6 ,644 i+94 +94,76 ,76 j kkm m
7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta. 8. Dados los puntos L 8, 8, -6 m y J -4,3 m , determinar: a) Los vectores posición de L y J respecto al origen b) La posición relativa de L con respecto a J
c) La distancia entre los puntos L y J SOLUCIÓN: a) rL = 8 ii- 6 j m
rJ = -4 i+3 j m
b) rL/ J = rL --rrJ rL/J = 8i-6 j m m-- -4 -4 i+3 j m rL/J = 1122 i - 9 j m
c) rL/J = 122 +92 rL/J = 15 15 m
9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente grafico:
Determinar: a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la montaña B SOLUCIÓN:
tan60º= rA y = rA y =
rA x
tan tan 40 40ºº =
rA y
rA x
rB y =
ta tan n 60º 3 km
rB y =
rB x rB y
rB x
ta tan n 40 40ºº 2 km
ta tan n 60º rA y = 1,73km 1,73km
ta tan n 40 40ºº rB y = 2,38km
rA = -1,7 ,73i 3i+3 +3 j kkm m
rB = 2,38i+2 j km
a) rB/A = 2,38 ,38 i+ 2 j kkm m ,73i+3 +3 j km - --11,73i rB/A = 4,11i1i- j kkm m
b) rB/A = 4,112 + 1 rB/A = 4, 2233 kkm m
Considerando ida y vuelta por cables independientes 4,23k ,23km m 2 8,46
10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son 5, -2 m y -4,7m respectivamente, determinar: a) Las componentes rectangulares del vector E b) La magnitud del vector E c) El vector unitario del vector E SOLUCIÓN: a)
E -4, 7 m 5, - 2 m E -9, 9 m
b) E = 92 + 92
E =12,73m
c) E
E
E E
-9 i+9 j m
12,73m
706 i+ 0,706 j m E -0, 706
11. Un avión de aeromodelismo está a 4km,SO de la torre de control. En ese momento, su dueño desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto 6,-4 km , determinar: a) La posición del avión respecto al blanco b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito c) La distancia del avión al blanco SOLUCIÓN: a)
4km,SO A x = A cos
A y = A sen
A x = 4 km kmco coss 225º 225º A x = -2 -2,83km ,83km
A y = 4 km kmse senn 22 225º 5º A = -2,8 2,833 i-2,83 j km A y = -2,83km
rA/B = -2,83 ,83 i- 2,83 ,83 j km km-- 6 i- 4 j km rA/B = -8,83 ,83 i+1 +1,1 ,177 j kkm m
b) 8,83 1,17
tan
S82,45ºE
82,45º
c) rA/B = 8,83 2 +1,17 2 rA/B = 8, 9911 km
12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición 200 200 m, N N28 28ºº E respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición 200m,SO respecto a la misma torre de control, determinar: a) La posición relativa de B respecto de A b) La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIÓN: a)
2000 m, N N28 28ºº E 20 Bx = B cos
By = B se senn
Bx = 200 200 mcos cos 62º 62º Bx =93,89m
By = 20 2000 ms msen en62 62ºº
200m,SO
By =176,59m
B = 93,89 i+1 +1776,59 j m
A x = A cos
A y = A se senn
A x = 200 200 mc mcos225 os225ºº A x = -141 -141,, 42
A y = 20 2000 ms msen en 22 225º 5º A = -141 -141,, 42 i-1 i-141 41,, 42 j m A y = -141 -141,, 42
rB/A = 93,89 i+1 i+1776,59 j m- -1 -1441, 42 i-1 i-141 41,, 42 j m rB/A = 22335,31i+3 ,31i+3118,01j m
b) rB/A = 235,31 ,312 +3 +3118,01 ,012 rB/A = 395, 60m 60m
13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar: a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultante c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIÓN: a)
A = 20m 0m// s; NO A x = A cos
A y = A sen
A x = 20m/ scos1 scos135 35ºº A x = -14,1 14,144 m/ s
14,144 i+14 i+14,1 ,144 j m/ s A y = 20m/ ssen1 ssen135 35ºº A = -14,1
B = 15m/ 5m/ s; N25 N25ºº E
A y = 14,14m/s ,14m/s
Bx = B cos
By = B sen
Bx = 15m/ scos65 s65ºº Bx = 6,34m ,34m// s
By = 15m/ ssen sen 65º 65º B = 6,34 i+1 +133,59 j m/ s By =13,59m/s
V = -14,1 14,144 i+1 i+14, 4,14 14 j m/ s+ 6,3 6,344 i+1 i+13,5 3,599 j m/ s V = -7,8i+27,73 j m/s V = 7,82 + 27,7 ,7332 V = 228,81m 8,81m// s
7,8 27,73
tan1
V = 28 28,81m ,81m// s; N1 N15,71 5,71ºº O
15,71º
b) V
V =
V V -7,8 i+ 27,73 j m/ s 28,81m/ 28,81m/ s
i+0,96 ,96 j m/ s V = -0,27 i+0
c) 90º 15 15,, 71 71ºº 105,71º
15,71º
14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:
a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c) El ángulo formado por los vectores EA y EC
d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyección del vector AE sobre AQ SOLUCIÓN: Considerando A como origen: a) rF/A = 2, 2,88 i-1,5 j m
b) rc = 2,8i+0 j m
rE = 1,4 i-1 -1,5 ,5 j m
rC/ E = rC - rE rC/E = 2,8i+0 j m m-- 1,4 1,4 i-1 -1,5 ,5 j m rC/E = 11,4 ,4 i+1 +1,5 ,5 j m
c) EA = A- E EA = -1, 4 i+1 +1,5 ,5 j m cos 86,05º
EC = C- E
EC = 1,4 i 1,5 j m
1, 4 1, 4 1,5 1,5
1
1, 42 1, 52
1, 42 1, 52
d) Q= 2,1i-0,75 j m
D = 0 i-1 -1,5 ,5 j m
rQ/D = 2,1i 1i-0,7 -0,755 j m m-- 0 i-1,5 -1,5 j m rQ/D = 22,,1 i 0, 7755 j m
e) AQ = 2,1i ,1i-- 0,75 j m
AE = 1, 4 ii-11,5 j m AEAQ = AEAQ =
AE•AQ
AQ
AQ
1,4 2,1 11,5 ,5 0,75 ,75 2,1i 1i-0,7 -0,755 j 2
2,12 0, 752
2
2,1 0, 75
AEAQ = 1,72 ,72 i-0 -0,6 ,611 j m AE AQ = 1, 72 72 i-0, -0, 61 61 j m AE AQ = 11,, 8822 m
EJERCICIO Nº6
1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar: a) b) c) d)
Los desplazamientos realizados El desplazamiento total realizado El modulo del desplazamiento total La distancia total recorrida SOLUCIÓN: a) r2x = 12cmcos 12cmcos 45º 45º r2 x = 8, 49c 49cm m
r2y = 12cmsen 12cmsen45 45ºº r2 y = 8, 49cm
r1 8 i+ i+ 0 j cm
r2 8,49 ,49 i+8 +8,4 ,499 j cm
b)
r3 = 0 i-5 j cm
r r1 r2 r3 r 8i+0 j ccm m 8,49 ,49 i+8 +8,4 ,499 j ccm m 0 i-5 j ccm m r 16,49 i+3 +3,49 ,49 j ccm m
c) r 16,492 3,492 r 16,8 ,85c 5cm m
d) d = 8cm 8cm+12cm +12cm+ + 5cm d = 25cm
2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;: determinar: a) b) c) d) e)
Los desplazamientos realizados Los vectores posición en cada punto El desplazamiento total realizado El módulo del desplazamiento La distancia recorrida SOLUCIÓN: a) r3x = 76mm 76mmco coss 200º 200º r3 x = -71,41mm -71,41mm r1 0 ii- 4455 j mm
r3 y = 76m 76mm mse senn 20 200º 0º r3 y = -25,99m
r2 -30 i+ 0 j mm r3 = -71,41i-25,99 j mm
b) r1 0 ii-- 4455 j mm
r2 -30 i-4 -455 j mm
r3 r2 r 3 r3 -30 i- 45 j m mm m -71,41i ,41i-- 25,99 ,99 j m mm m
r3 -100,41i-70 ,41i-70,99 ,99 j mm
c) r r1 r2 r3 r 0 i- 45 j m mm m -30 i+ 0 j m mm m -71,41i ,41i-- 25,9 ,999 j m mm m r -100, 41i-70 1i-70,99 ,99 j m mm m
d) 70,99 ,992 r 100,412 70 r 122,9 ,977 mm
e) d = 45mm+ 45mm+ 30mm 30mm+ + 76mm d =15 = 1522 mm
3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -8 -85, 5, 20 2044 km y la lectura de su odómetro es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia B123, 123,34 3477 km y llega a las 11h10; determinar: a) b) c) d) e)
Los vectores posición de cada ciudad El desplazamiento realizado La lectura del odómetro cuando llega a B La velocidad media La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15. SOLUCIÓN:
a)
rA = -85 i+ 204 j km
rB = 123 i+ 347 j km
b) r = rB - r A r = 123i+347 j km- -85i+204 j km r = 208 208 i+1 i+143 43 j km
c) r = 208 2 14 32 r = 252,41km
Lectu Lectura ra = 1023 102355 km+ km+252 252,, 41km Lectu Lectura ra = 1048 10487, 7,41km 41km
d) 10m 0miin
Vm =
t tf - t0
1h = 0,166 0,166hh 60min
t 11,16 ,166h-7 h t 4,166h
r t
208 i+14 i+1433 j km Vm = 208 4,166h Vm = 49,93i+34 ,93i+34,33 ,33 j km/ h
Vm =
r t
Vm = 252,41km 4,166h Vm = 60,58km 60,58km// h
e) 15m 5miin
1h = 0, 0, 25h 60min
t t f - t0 t 14, 14, 25h-1 25h-11, 1,16 1666 h t 3,08 ,084h
Vm =
r t
252,41km 3,084h Vm = 81,85km ,85km// h Vm =
4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15º hasta A y el otro 5055 i+ 25 2533 j km hasta B en 2 horas en línea recta; determinar: vuela -50
a) b) c) d) e)
Los vectores posición de los puntos A y B Los desplazamientos realizados por cada avión La velocidad media de cada avión La rapidez media de cada avión La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B SOLUCIÓN: a)
865km;15º rA x = 865 865 km kmco cos15 s15ºº rA x = 835,53km 835,53km rB -505 i+25 +2533 j km
rA y = 865 865 km kmco cos15 s15ºº rA = 835 35,53 ,53 i+22 i+2233,88 j km rAy = 223,88km
b) rA = 83 835,5 5,533 i+223 i+223,88 ,88 j km rB -505 i+ 253 j km
c)
VmA = VmA
r t
VmB =
835,53i+223,88 j km =
2h VmA = 417,77 i+1 i+116,94 j km km// h
VmB
r t
-505 -505 i+ 253 253 j km =
2h VmB = -252,5 i+ i+1126,5 j km km// h
d) VmA = 417,77 ,772 116,94 ,942 VmA = 433,83km ,83km// h
VmB = 252,52 126,52 VmB = 282,42km ,42km// h
e) r rB r A
i+2533 j kkm m 835,53i+ 223,8 ,888 j kkm m r -505 i+25 r -1340,53 i+ 476,88 76,88 j kkm m
VmA = VmA
r t
-134 340,53 0,53 i+ 476,88 476,88 j km -1 =
3h VmA = -446,84 i+1 i+1558,96 j km km// h
VmA = 446,8 ,8442 + +1158,9 ,9662 VmA = 474,27k ,27km m/ h
i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta 5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15
rectilínea; determinar: a) b) c) d)
El modulo de la velocidad inicial El vector unitario de la velocidad inicial El vector velocidad final La aceleración media de la partícula SOLUCIÓN: a)
V0 = 12 2 +1 + 152 V0 =19,21m =19,21m// s ç
b) V0
V0
V0 V0 +15 j m/ s 12 i+15
19 19,, 21m/ 21m/ s
V0 0,62 i+0,78 j
c) Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0 d) a= a=
Vf - V0 t i-155 j m/ s -12 i-1
20s a = -0,6 i- 0,75 j m/ s
6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de -21i-18 j m/s a 24m/s;S30ºE ; en 10s determinar: a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b) La aceleración media SOLUCIÓN: a)
24m/s;S30ºE
Vf x = Vf cos cos
Vf y = Vf sen sen
Vf x = 24 24 m/ sco scoss 300 300ºº Vf x = 12 m/ s
Vf y = 2244 m/ sse ssenn 300 300ºº Vf y = 20,78m/ s
Vf = Vf
V0 = V0 V0 V0
Vf = 12i-20,78 j m/s
Vf
-21i-18 21i-18 j m/ s =
212 +182
V0 = -0,76 i- 0,65 j m/ s
Vf =
i-20,78 j m/ s 12 i-20,78
24m/s Vf = 0,5i-0,87 j m/s
b) a=
a=
a=
Vf - V0
t 1i-18 j m/ s 12 i- 20,78 j m/ s- -21i-18 10 s
33i-2,78 j m/s 10 s
a = 3,3 i-0,27 -0,278 j m/ s
EJERCICIO Nº 7
1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A -35 35,, 50 km a la ciudad B -2 -25, 45 km km en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIÓN: a) r -25 i- 45 j km- -3 -355 i+50 j km r 10 i-9 -955 j kkm m
b) V=
r t
10 i-95 j km V= 2h V = 5 i- 47,5 j km
c) r V× t
40m 0miin
1h = 0,666 0,666 h 60min
r 5 i- 47,5 j k km m/ h 0,6 ,6666h r 3,3 ,333 i-31 -31,64 ,64 j kkm m
2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+20 i+ 20 j y
15 i 30 j m y al instante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 jkm respectivamente; determinar: a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículo c) La velocidad de A respecto a B SOLUCIÓN: a) rA = rfA - r0 A
rB = rfB - r0 B
rA = 20 i+0 j m- -40 i+ 20 j m
rB = -10 i+ 0 j m- 15 15 i-30 j m
rA = 60 i-20 j m
rB = -25i+30 j m
b)
VA = VA =
r t
60 i- 20 j m
10 10ss VA = 6 i- 2 j m m// s
VB = VB =
r t
-25i+ 30 j m
10 10ss VB = -2,5 i+3 j m/ s
c) VA/B = 6 i-2 j m m// s- --22,5i+3 j m m// s VA/B = 88,, 5 ii-- 5 j m m// s
km// h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y 3. Un tren cuya velocidad es 60 i km desde que penetra la maquina hasta que sale el ultimo vagón demora 30s; determinar:
a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren SOLUCIÓN: a) 60 i km 1000m 1h =16,67m/s h 1 km 3600 s r = V× t r =16,67m/s 30s
500 m r = 500
b) x = r- 400m x = 500m500m- 40 4000 m x =100 =100 m
r = V× t r =16,67m/s 60s
=1000 m r =1000
r = V× t r =16,67m/s 90s
=1500 m r =1500
4. Una partícula parte del punto 25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto 6, 30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar: a) La velocidad empleada b) El tiempo empleado c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más. SOLUCIÓN: a) 40 km 100 000m 0m 1h =11,11m/s h 1 km 336600 s V = V × r
r = rf - r 0 r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m
V = 11 11,1 ,11m/ 1m/ s -31i-50 j 2 2 31 50
r = -31i- 50 j m r = 312 502 r = 58 58,83 ,83m m
V = -5,85i-9,44 j m/ s
b) t = t =
r VA 58,83m 11 11,11m ,11m// s
t = 5,30s
c) r = r1 r2
r = V× t
i-944,4 j m r = -5,85i-9,44 j m/s10s r = -31i-50 j m -58,5 i-9 i-94,, 4 j m r = -58,5 i-94
r = -89,5i-144,4 j m
1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte 5. Un deportista se desplaza 1000
120 i kkm m/ h en moto y en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:
a) La velocidad media durante las 10 horas b) El desplazamiento en moto c) El tiempo que recorrió en bicicleta SOLUCIÓN: a) V= V=
r t 10 1000 00 i km
10 h V = 10 100 0 i km/ km/ h
b) r rmoto rbici ................(1)
rmoto = Vmoto t moto ...............(3)
t = t moto t bici t bici t t mot motoo .................(2)
r bici = Vbic bicii t bic bicii ...............(4)
(3) (3) y (4 (4)) en (1 (1)) r Vmoto t moto Vbici t bici ..................(5)
(2) en (5) r = Vmoto t moto Vbici t tmoto
Vmoto t moto Vbici t Vbici t moto = r Vmoto t moto Vbib ici t moto = r Vbici t r t
moto
t moto
V = r V t r V bici t = Vmoto Vbici
V
moto
bici
bici
=12 =120k 0km m/ h×7 ×7,5h ,5h
moto
rmoto = 900 k km m
1000km 1000km-- 40km 40km// h× h×10h 10h 120km 120km// h- 40km 0km// h = 7, 5 h
t moto = t moto
c) t bici 10 h h-- 7, 7, 5h 5h
t bici 2, 5 h
6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:
Determinar: a) La posición inicial b) La rapidez en cada tramo del viaje c) El tiempo que permaneció en reposo d) La posición cuando t=35(s) e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando esta en el origen SOLUCIÓN: a)
r0 =10m b) Tramo 1 rf - r 0 tf - t0 30m-10m V= 10s V = 2m/ s
Tramo 2
V=
Tramo 3 rf - r 0 tf - t0 40m-30m V= 30s-20s V = 10m/ s V=
Reposo
Tramo 4 rf - r 0 tf - t0 0m-40m V= 40s-30s V = -4 -4 m/ s
V=
c) t 20s-1 0s-10s 0s t 10 s
d) r = V t m/ s 5 s r = 4 m/ r = 20 20 m
e) Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s 7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2m/s ; determinar:
a) La velocidad en cada tramo b) El tiempo que demora en recorrer cada lado c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez SOLUCIÓN: a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada tramo será: Tramo 1
Tramo 2
Tramo3
Tramo 4
V = 2 i m/ s
V = 2 j m/ s
V = -2 i m/ s
V = -2 j m/ s
Lado 2
Lado 3
Lado 4
b) Lado 1 t =
r
V 60m 60 m t = 2m/s t = 30s
t = t =
r V 100m
2m/s t = 50s
t =
r
V 60m 60 m t = 2m/s t = 30s
t = t =
Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será: r 60 i 100 j m
d)
V 100m
2m/s t = 50s
c)
r = 602 1002 r =116,62m
r
t = t =
r V 116,62m
2m/s t = 58,31s
km// h se cruzan y siguen su 8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar:
a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia SOLUCIÓN: a) rA = VA t
rB = VB t
=100 i km/ h 6h rA =1
=12 j km/ h 6h r B =12
rA = 60 i k km m
r B = 72 j km
b) rA B = 602 722
rA B = 6 600 i 72 j km
72km m rA B = 93, 72k
c) 0km/ h×t 10km/
2
2
+ 12km 12km// h× t =100km =100km
100km2 / h 2× t 2 +14 +144km2 / h 2× t 2 =100km =100km 244km2 / h 2× t 2 =100km =100km t 24 244 4 km/ km/ h = 10 100 0 km t=
100km 244 km/ h
t = 6, 6, 40h
9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3m/s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2m/s ; determinar: a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m SOLUCIÓN: a) 0m................(2) (2) rB rA 80m..
t B = t A - 5s .. ..... ...... ..... ..... ..... ..((1)
V=
r
t rA VA t A .................(3) rB VB t B .. .... .... .... .... .... .... ...( .(4) 4) (3) y (4) en (2) VB t B = VA t A 80m.. 0m...........(5) (1) en (5) VB t A - 5 5ss = VA × t A - 8 80 0m VB × t A - VB × 5 s = VA × t A - 80 80 m VA × t A - VB × t A = 80 mm- VB ×5 ×5 s t A VA - VB = 80 mm- VB × 5s 5s tA = tA =
80m-VB ×5s VA - VB 80m-2m/s×5s
3m/s-3m/s t A = 70 s
rA = VA ×tA
3m// s×7 ×70s 0s rA = 3m rA = 210m
Gráfico 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Móvil A
45
50
55
60
Móvil B
b) Después de encontrarse rA = rB + 80m .. .... .... .... .... ...( .(11)
V=
t A = t B ... ....... ....... ....... ........ .....(2) .(2)
r
t rA VA t A ..... ...... .... .... .... .... ..((3) rB VB t B .... ...... .... .... .... .... ....(4 (4))
(3) y (4) en (1) VA ×t × t A = VB× t B + 80m .. .... .... .... .... ...( .(5) 5)
65
70
75
80
85
(2) en (5) VA × t A = VB × t A + 80 80 m VA × t A - VB × t A = 80 m tA =
80 m VA - VB
80 m 3m/ s- 2m/ s t A = 80 s tA =
Desde que el móvil partió desde A t = 70s+ 70s+ 80s t = 150s 150s
10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B km// h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; con una velocidad de 32 i km determinar:
a) La distancia que los separaba inicialmente b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que encuentran B invierte el sentido SOLUCIÓN: a) V=
x = rA rB .. .... .... .... .... .... .... .... .... ..((1)
t rA VA t A ... ....... ...... .... .... .... ..(2 (2)) rB VB t B .... ...... .... .... .... .... ...( .(33)
(2) (2) y (3 (3)) en (1 (1)) x = VA ×t A -VB×t B x = 53km 3km// h×2,4 h-32km -32km// h×2,4 h x = 50, 4km
b)
r
t= t=
r V 50,4km
53km/ h t = 0,95 0,95 h
c) Desde el punto de encuentro t=
r A
VB 53km 3km// h×2,4 h t= 32km 2km// h t = 3,98h
11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el mas rápido viaja a 63 km/ h ; determinar: a) La rapidez del mas lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro SOLUCIÓN: a) Desplazamiento del más rápido
Desplazamiento del más lento
rA = VA ×t
rB = rA - 134k 4km m
3km m/ h×3h rA = 63k
rB = 189 189 km km-13 -1344 km
=189km 9km rA =18
rB =55km
VB =
VB =
r B t
55km
3h VB = 18,33k ,33km m/ h
b) rA + rB 134 134 km... km..... .... .... .... .... .... ..((1)
rA = VA× t1 ... ...... ...... ...... ....(3 .(3))
t1 = t 2 .... ....... ...... ....... .....(2) .(2)
...... ...... ...... ....(4 .(4)) rB = VB ×t 2 ... (2) en (5) VA × t 1 + VB × t1 = 1 3 34 4k km m t1 VA + VB = 13 134 km km
(3) y (4) en (1) VA ×t 1 VB× t 2 134km. 4km.........(5)
t1 = t1 =
134km VA + VB
134km 63km/ h+18,33 km/ h
t1 =1,65h
12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 2m/s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a 10km/h , si A y B distan 3km; determinar: a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran SOLUCIÓN: Datos: VA = 2 m/ s
VB = 10 km/ h t B-reposo = 5 min r 3 km
10 km 1000m 1h = 2,78m/ 2,78m/ s h 1 km 336600 s
3km 1000 100 0 m 3000m 1km
5miin 60s 5m = 300 300 s 1min
a) rA + rB 3000m... 3000m..... .... .... .... .... .... ..((1)
t1 = t 2 + 300 300 s........ s........... ...... ....(2 .(2))
...... ...... ...... ....(3 .(3)) rA = VA× t1 ... rB = VB ×t 2 ... ...... ...... ...... ....(4 .(4))
(3) y (4) en (1) VA ×t 1 VB×t 2 3000m.. 0m.........(5)
(2) en (5) VA × t 2 +300s +300s + VB×t 1 = 3000m VA ×t 2 VA ×3 ×3000s+V 0s+VB×t 1 = 3000m t1 VA +VB = 3000m VA ×3 ×3000s 3000m VA ×3 ×3000s t1 = VA + VB 3000m-2m/s×300s t1 = 2m/s+2,78m/s t1 = 502,1 ,1ss
t1 = 502 502,1s ,1s+ + 300s 300s t1 =802,1s rA = 2 m/ s×8 s×802 02,1s ,1s rA =16 =16004, 2m
b)
rB = 3000m 3000m-16 -1604 04,, 2 m rB = 1395,8 ,8m m
Gráfico 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 10 1000 00 1100 100 1200 200 1300 300 1400 400 1500 500 1600 600 Móvil A
Móvil B
EJERCICIO Nº8
1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 15m/ s2 ; N1 N155º E .Si a t=0, la partícula se encuentra en la posición -2,3 m y su rapidez es de 8m/s . Para un intervalo entre 0 y 8s; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media SOLUCIÓN: a) 15m// s2 ; N1 N155º E 15m a x =15m/ =15m/ s2cos75 s75ºº a x = 3,88m ,88m// s
2
r0 = -2 i+3 j m
a y = 15m/ s 2sen 75º a y =14,49m =14,49m// s
a = 3,88 ,88 i 14,49 j m / s 2
2
Para que sea retardado a = - V0
a =
3,88 i 14, 49 j 3,88 ,882 14,492
a = 0, 26 26 i 00,, 97 97 j V0 -0, 26 26 ii-- 0, 0, 97 j
V0 =8m/s -0,26i-0,97 j V0 = -2,08i-7,76 j m/s 1
r V0 t a t 2
2 1 2 r -2, 08 08 ii - 77,, 7766 j m/ s 8 s 3, 8888 i 14, 49 49 j m/ s 2 8 s 2 r 107,52 ,52 i 401,6 j m
b) Vm = Vm =
r t 07,52 ,52 i 401,6 j m 107
8s Vm = 13 1 3, 4 44 4 i 50, 2 j m/ m/ s
2. El grafico Vx-t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoria rectilínea.
Determinar: a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s) c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s) d) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente e) Los gráficos rx - t y a x - t de cada partícula SOLUCIÓN: a) Partícula A 0-4s 4-8s MRUVA MRU Partícula B 0-8S MRUVA b) Partícula A: Intervalo de 0 a 4s
8-16 MRUVR
a= a=
1 2
V t 30m/s
4s a = 7,5 7,5 m/ s
r V0 t a t 2
1 2 7, 5 m/ s2 × 4 s 2 r 60 m r
Intervalo de 4 a 8s r = V× V× t 30m/ s×4s r = 30m/ =120 m r =120
Intervalo de 8 a 12s a= a=
1 2
V
r = V0 t a t2
t -30m/ s
4s a = -7,5m/ -7,5m/ s
0m// s×4s+ ×4s+ r = 30m
2 1 7,5m ,5m// s 2 × 4s 2
r = 180 m
r = 60m+1 60 m+120m+18 20m+1800 m r = 360m
Partícula B Intervalo de 0 a 12s a= a=
V t 30m/s
4s a = 7,5 7,5 m/ s
1 2
r V0 t a t 2
r -30 m m// s× s ×12
1 2 7, 5 m m// s 2 × 12 s 2
r 180m
c) Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s
1 2
r V0 t a t 2 r -30 m m// s× s× 44ss
1 2 7, 5m 5 m/ s 2 × 4 s 2
r -60 m
rA/B = 60m 0m-- --660m rA/B = 1 1220 m
Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s 1 2
r V0 t a t 2
m// ss× × 8s 8s r -30 m r 0m
1
m/ s 2 × 0 s 7, 55m
2
2
Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s r = 60 60 m+12 m+1200 m r =180 =180 m
rA/B = 1 1880 m
Distancia de A a B a 12s rA/B = 240m0m-1180m rA/B = 60 m
d)
Gráfico Gráfic o r(x)-t Partícula A y B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 11 1
1 12 2
1 13 3
1 14 4
1 15 5
1 16 6
1 17 7
Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m r = rA + rB 60 m = V0A × t +
1 2
1
at 2 + V0B× t+ t+
2
at 2
2 2
60m = 7,5m/s t + 60m/s×t 7,5m/s 2 t 2 + 60m/s×t-60m 0m/s×t-60m = 0 t=
-60 ± 60 2 + 4×7,5×6 4×7,5×60 0 2×7,5
t1 = 0, 898 s
1 2 r = 236, 236, 98m
t 2 = -8, 898
r = 240m- 7,5m/ s 2 0,89 ,898
e)
2
Gráfico Gráfic o r(x)-t r( x)-t Partícula A 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 11 1
1 12 2
1 13 3
1 14 4
1 15 5
1 16 6
1 17 7
Gráfico Gráfic o r(x)-t r(x) -t Partícula B 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 -80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 12 2
1 13 3
1 14 4
1 15 5
Gráfico Gráfic o a-t Partícula A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Gráfico Gráfic o a-t Partícula B 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15m/s que está disminuyendo a razón de 1,5m/s cada s; determinar: a) b) c) d)
La aceleración El gráfico velocidad contra tiempo El gráfico posición contra tiempo El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m SOLUCIÓN: a) a = 1,5 i m m// s 2
b)
Gráfico Gráfic o V(x)-t 4 2 0 -2
0
2
4
6
8
10
12
14
-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
c)
Gráfico Gráfic o r(x)-t r(x )-t 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 Series1
1 11 1
1 12 2
1 13 3
1 14 4
1 15 5
1 16 6
1 17 7
1 18 8
1 19 9
d) 1 2
r = V0 ×t- a×t 2
1 75m =15m =15m// s×t- 1,5m ,5m// s 2 ×t 2 2 0,75m/ s 2× t 2 -15m/ -15m/ s×t-75m = 0 15 ± 152 - 4×0 4×0,75 ,75×75 ×75 t= 2×0,75 t =10s
4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10m/s y acelerando a 3m/s2 en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y con una aceleración constante de 5m/s2 también en línea recta. Si inicialmente A y B están separados una distancia horizontal de 1700m; determinar: a) Dónde y cuándo se encuentran b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también mientras se alejan SOLUCIÓN: a) r = rA + rB
1
2
1
2
1700m = V0 A × t A + 2 a A× t A + 2 a B×t B ... ......... ......... .......(1)
t A = t B + 5s.. 5s ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... ...(2 .(2))
(2) en (1) 1 1 2 1700 m = V0 A × tB + 5s 5 s + a A × tB + 55ss + a B × tB2 2 2 1 1 1700 m = V0 A × t B + V0 A × 5s 5s+ a A × tB2 + 10 s× s× t B + 25 s2 + a B× t B2 2 2 1700 m = V0 A × t B + V0 A × 5s 5s+ 1 a A × t B2 + 1 a A × ×110 s× s× t B + 1 a A × 2255 s2 + 1 a B× t B2 2 2 2 2 1 1 1 1 3m/ s2×2 ×25s 5s2 + 5m 5m// s2×t B2 1700m =10m =10m// s× t B +1 +10m 0m// s×5s+ ×5s+ 3m 3m// s 2×t B2 + 3m 3m// s 2×10s× 0s× t B + 3m/ 2 2 2 2 2 1700m = 87,5m+ 25×t B + 4m/s × t B 4m// s2 ×t B2 + 25×t B -1 4m -16612,5m = 0 -25 ± 25 2 +4×4×1 +4×4×16612,5 12,5 tB = 8 t B1 = 1177,19 s t B2 = 23, 44 44 s
t A =17 =17,1 ,19s+5s 9s+5s t A = 22,19s ,19s 1 2
×22,1 ,19s+ 9s+ 3m/s 2× 2222,1 ,19s 9s rA = 10m/ s×22
2
rA = 960,5m
1 2 rB = 73 7388,74 m
5m// s 2× 17,19s rB = 5m
2
b)
2
5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 3m/s y pasa por el punto P 3, 3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo -300 j m/ s y momento B pasa por el punto Q 1, 3 m con una velocidad de -3 2 m/ s ; determinar: desacelera a razón de 2 m/
a) La aceleración de cada uno de los vehículos b) La posición de A y de B después de 7s SOLUCIÓN: a)
VA =
VA
VA VA
VA a A
-3 i-4 j 2
3 4
a A = a A × VA
2
VA -0,6i-0,8 j
-0, 6 i- 0,0, 8 j = -1,8 i- 2,4 j m/ s
a A = 3 m/ m/ s aA
2
2
a B = 2 j m/ s2 b)
1 rfA = r0A + V0A t+ a A t 2 2 rf A = 3 i 5 j m -3 ii- 4 j m/ s 7 s
1 2 -1, 8 ii- 2, 2, 4 j m/ s 2 7 s 2
rf A = -62,1i ,1i-81 -81,8 ,8 j m 1 rfB = r0B + V0B t+ a B t 2 2 rf B = - i 3 j m -30 j m/ s 77ss+
1 2 2 j m m// s 2 7 s 2
rf B = - i-158 j m
6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se indica en los gráficos siguientes:
Determinar: a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3s c) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo SOLUCIÓN: a) Para t=0s
Para t=2s
Para t=3s
V = 20 i+1 +100 j m/ s
V = 20 i+30 j m/ s
V = 20 i+ 40 j m/ s
Para t=0s
Para t=2s
Para t=3s
a = 0 i+10 +10 j m / s 2
a = 0 i+1 +100 j m / s2
a = 0 i+1 +100 j m / s2
b)
c) No es movimiento rectilíneo 7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el reposo y acelera a razón de 5m/s2 hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde; determinar:
a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado b) La distancia que recorrió con MRU c) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s SOLUCIÓN: a) 1 2
r = V0 t + at2
1 12m 2m-- --8m 8m = 5m 5m// s2 t 2 2 t = 8 = 2,83
Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado t = 7,83
b) Vf 2 = V0 2 + 2a 2a r Vf = 10m/s 2 ×20m Vf =14,14m/s
r = V× V× t r = 14,1 ,14m/ 4m/ s 5s r = 70,70m
c) Durante los últimos 5s 1 r = V0 t + at2 2 1 2 r =14 =14,,14m 4m// s×5s+ ×5s+ -2,83m ,83m// s 2 5s 2 r = 35,33 35,33 d)
Desplazamiento Total
r = 20m+ 70 70,, 70m+ 70m+35 35,33m ,33m r =12 = 126,03m 6,03m
Vf = V0 + a t a= a=
- V0
t -1 -14,1 4,14 4 m/ s
5s
a = -2,83m/ -2,83m/ s 2
8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada verticalmente hacia abajo; determinar: a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo SOLUCIÓN: “La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección d dee la aceleración
de la gravedad su rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidez sea 0 y volver a bajar nuevamente.”
9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración m/ s 2 .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; cuyo modulo es 2 m/ determinar: a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2 SOLUCIÓN: a) 1 2
1 2
r = V0 t+ at 2
r = V0 t+ at 2
1 100m = 5m 5m// s×t+ 2m 2m// s2 ×t 2 2 2 t 5 m/ m/ ss× × t 100 m 0
1 50m = 2,5m ,5m// s×t+ 2m 2m// s 2 ×t 2 2 2 t 2, 55m m/ s× s× t 5500 m 0
-5± 52 + 4× 4×1100 t= 2
-2,5 ± 2,52 + 4×5 4×500 t= 2
t = 7,81s
t = 5,93s
b) 3 2
=
V0A + at at V0B + at
3 V0 B + at at = 2 V0 A + at at 3 2,5m/ 2,5m/ s+ 2m/ 2m/ s 2 t = 2 5 m/ s+ 2m/ 2m/ s 2 t 7,5m/s+6m/s 2t =10m/s+4m/s 2 t
2m/s 2 t = 2,5m/s t=
2,5m/s
2m/ s 2 t =1,25s
m/ s 2 y recorre en línea recta 10. Un avión toma la pista con una aceleración de 20 i m/ 200 i m antes de detenerse; determinar:
a) Con qué velocidad toca la pista b) Qué tiempo demora en detenerse c) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo SOLUCIÓN: a) Vf 2 = V02 - 2 a r V0 = 2 a r V0 = 2×2 2×20m 0m// s 2×2 ×2000m V0 =89,44m/s
b)
Vf - V0
a= t= t=
t - V0
a -89, 89, 44m/ s
-20m/ s 2 t = 4, 4, 47s
c) V= V=
r t 200m 4,47s
V = 44,74 44,74 m/ s
11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y 3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar: a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio SOLUCIÓN: a) Análisis desde que es visto por la ventana: t Total = t ascenso + t dedescenso como t ascenso = t descenso t To Tottal = t asc ascens nsoo + t ascen ensso 2 t ascen ensso = t Tot Total t t ascenso = Total 2
Análisis del ascenso:
Vf = V0 + gt ascenso V0 = -g -gtt ascenso
t Total 2
V0 = - g
V0 = - -9,8m/ 9,8m/ s 2 3s 2 V0 = 14,7m/ 4,7m/ s
Análisis desde la base del edificio: La
V0 =14,7m/s desde la ventana pasa a ser Vf =14,7m/s desde la base hasta la
ventana, entonces:
Vf 2 = V02 + 2g 2gD Dr 2
V0 = Vf -2gDr
V0 = Vf 2 - 2 ggD Dr
2
V0 = 14, 7 m m// s - 2 -9 , 88m m/ s 2 50 m V0 = 34,58m 34,58m// s b)
Vf 2 = V0 2 + 2 g r Vf 2 - V0 2
r = r =
2g - 34,58
2
2 -9,8m/ s 2
r = 61,0 61,0 m
12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno contra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar: a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube SOLUCIÓN:
a) 65 m = rA rB rA = 65m rB .... ......... .............. ...........((1)
t A = t B ... ...... ...... ...... ...... ...(2) (2)
1 2
rA = V0A t A a A t A 2 .... ............(3)
(1) en (3) 1 65 m rB = V0A t A + gt A 2 2 1 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..(4 (4)) rB = 65m V0A t A gtA 2 .. 2
1 2 como t A = t B r = V t + 2 gt B 1 2 rB = V0 B t A + g t B .... ...... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... ..(5 (5)) 2 B
0B B
Igualando (4) y (5) 1 2 1 gt A = V0B t A + g tB2 2 2 65 m V0A t A = V0B t A
65 m V0A t A
tA =
65m V0A ` V0B
65m 16m// s` 16m s`+1 +12m/ 2m/ s t A = 2,32m ,32m// s
tA =
1 2
rB = V0 B t A + g t B2
=12m// s×2, ×2,332s 2s+ + rB =12m 54,21m ,21m rB = 54
1 2 9,8m ,8m// s 2 2,3 ,32s 2s 2
rA = 65m 54,21 ,21m m rA = 10,79m
b) 1 2
rA = V0 A t A + g t A 2
=16m// s×2 ×2,, 32s 32s+ + rA =16m
1 2 9, 8m 8m/ s 2 2, 32 32 2
63,49m ,49m rA = 63 rB = 65m 63,49m rB = 1,51 ,51m m
13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar: a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/s c) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s SOLUCIÓN: a) 2 r = V0 t + 12 gt 2 r
t=
t=
g 2 100m 9,8m/ s 2
t = 4,52s
b)
1 2
r = V0 t+ gt 2
1 9,8m ,8m// s2 t 2 + -1m 1m// s t-1 t-1000m = 0 2 1 1 4 4, 9 11000 t= 2 4,9 t = 4,62s
c) 1 2
r = V0 t+ gt 2
1 9,8m ,8m// s 2 t 2 + 1m 1m// s t-1 t-1000m = 0 2 1 1 4 4, 9 1 1000 t= 2 4,9 t = 4, 4, 42s
14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar: a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores SOLUCIÓN: a) 1 2
r = V0 B t + g B t B2
1 2 r = 12 122,5m 2,5m
2
r = 9, 8 m m// s 5 s
b)
1 2
r = V0 B t + g B t B2
1 2 r = 490 490 m
2
r = 9, 8 m m// s 10 s
c) Vf = V0 + gt
Vf = V0 + gt
Vf =9,8m/s 2×5s Vf =10m/s
Vf = 9,8m ,8m// s 2 × ×110s Vf =98m/s
15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el reposo con una aceleración constante de 2 i m/ s 2 cada uno y B parte 2s más tarde; determinar: a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido A c) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A SOLUCIÓN: a) 1
r = V0 B t + a B t B 2 2
1
r = 2 2 m/ s r = 4m
2
2
2s
b) r = rB rA
1 1 2 2 1 1 2 2 r = 2 m/ s 2 4 s 2 m/ s 2 2 s 2 2 r =12m r = a Bt B2 a A t A 2
c)
r = rB rA
1 2 1
1 2
r = a Bt B2 a A t A 2 r =
2
2 m/ s 2 6 s
2
1
2
r = 20m
2
2 m/ s2 4 s
16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar: a) La aceleración de la partícula b) El instante en que retorna al origen SOLUCIÓN: a) Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m r = 15m15m- -1m r =16m
r = 20m--1m
r = 21m
En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces: Cuando t=3s
Cuando t=5s
1 2
1 2
r = V0 t+ at 2
r = V0 t+ at 2
1 2 16m = V0 3s + a 33ss 2 16m = V0 3s + a 4,5s2
1 2 21m = V0 5s + a 5s 2 21m = V0 5s + a 12 12,5s ,5s2
V0 =
16m a 44,5s ,5s2 3s
Igualando (1) y (2)
........................(1) V0 =
21m a 1122,5s 2 5s
...................(2)
16m a 4,5s ,5s2
21m a 12,5s ,5s2
= 3s 5s 80ms 0ms-- a 22,5s3 = 63m 3mss- a 37 37,5s ,5s3 a 22 22,5s3 - a 37,5s3 = 80m 0mss- 63m 3mss a = 17ms3 -15s a = -1,13 -1,133m/ 3m/ s 2 b)
Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad final sea 0 Determinando la velocidad inicial: Vf = V0 + at 17 m/ s2 4, 5 s 2 15
16 m V0 =
3s
V0 = 7,0 7,033m 33m// s
- V0 a -7,033m -7,033m// s t= -1,13 -1,133m/ 3m/ s2 t = 6,21s t=
1 2
r = V0 t+ at 2 r = 7 7,0 ,0333m 3m// s 6,2 ,211s +
r = 21,83m
1
2
2
-1,133m 3m// s 2 6,2 ,211s
Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleración tiene la misma dirección que la velocidad por tanto es positiva: 1
r = V0 t + at 2 2
21, 83 83 m
1
m/ s t 1,133 m/ 2
2×21,83m t=
1,133m/ s 2
t = 6,21s
2
2
t = 6,21 6,21ss 6,21 6,21ss t =12,42s
17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una m// s 2 hasta que su velocidad es de 10 i m/ m/ s , en ese instante se le aceleración de 5 i m m/ s 2 hasta que la distancia total recorrida desde somete a una aceleración de 10 i m/ que partió del reposo es 30m; determinar:
a) La velocidad media para todo el recorrido b) El grafico Vx contra t SOLUCIÓN: a) Desde que parte del origen:
Vf = V0 + at V t = f a 10m 0m// s t= 5m/s2 t = 2s
2 r = V0 t + 12 at
r =
1
5 m/ s 2 s 2 2
2
r =10m
m/ s 2 (MRUVR): Desde que se le somete la aceleración de 10 i m/ Vf 2 = V0 2 + 2 a r 2
r = -V
0
2a
r =
10m/ s
2
r =10m =10m 5m r =15m
2 10m/ s 2
r = 5m
Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distancia recorrida es independiente del desplazamiento entonces:
Vm =
rTotal = 15 15 m 15 m rTotal = 0
Vm =
r t 0
t Vm = 0
b)
Vx-t 12 10 8 6 4 2 0 -2 0
1
2
3
4
5
6
-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22
18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo como indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo
Determinar:
a) Los valores de t1 y t 2 b) La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIÓN: a) 1 2
r = V0 t1 at12
Vf 2 = V02 - 22gg r
1 9, 8 m/ s2 t12 2 4, 9 t12 294 m m// s t1 1155 m 0
15 m = 294 m m// s t 1
V0 = 2 a r V0 = 2 9, 8 m m// s 2 15 m
V0 = 294 = 17,15m/ s
t1 =
294
2
294 4 4, 9 15 2 4,9
t1 = 294 s 1, 75 s 9,8 1
r = V0 t1 at12 2
t2 = t2 =
2 r
g
2 20m - -9,8m/ s 2
t 2 = 2,02s
b) Vf 2 = V02 2 g r Vf = 2 g r
Vf = 2 9, 8 m m// s 20 m 2
Vf = 19,80m ,80m// s
19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con m// s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el una velocidad constante de 8 i m
m// s y al tiempo t=4s su velocidad es punto 5 i m con una velocidad de 8 i m 8 i m/ m/ s . Si se mueve con aceleración constante; determinar:
a) La aceleración de B b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B SOLUCIÓN:
20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar: a) La magnitud de la aceleración b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s SOLUCIÓN:
21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración constante de modo que en t 0 = 0s 0s,, r0 = -300 i m y v0 =30im/s y en
t1 =1 =10s 0s,, r1 = 10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en t 0 = 0s, 0s, r0 = 200 jm y en t1 =1 =10s 0s,, r1 = 300 i m ; determinar: a) La velocidad de A en t1 =10s b) La velocidad de A respecto a B en t1 =10s SOLUCIÓN:
22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m; determinar: a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo tiempo SOLUCIÓN:
23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente grafico:
Si parten del origen; determinar: a) La posición de cada móvil para t=10s b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego de partir SOLUCIÓN:
24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones contrarias. De manera simultanea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto disminuye su rapidez a razón de 2m/s2 y el bus a 3m/s2 ; determinar: a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen SOLUCIÓN:
25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanz lanzaa otro objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al fondo; determinar: a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b) La altura del precipicio
SOLUCIÓN:
26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una velocidad de 10 j m/ s ; determinar: a) La velocidad con la que fue disparado b) La altura que alcanza c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha posición SOLUCIÓN:
27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su
2
aceleración es constante e igual a 2 i m/ s ; determinar: a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s SOLUCIÓN:
28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 4 i m/ s2 , un objeto desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a tierra; determinar: a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición original b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón SOLUCIÓN:
29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una m// s 2 durante 8s, en ese momento se le acaba el aceleración constante de 14,7 i m combustible y el cohete continua moviéndose de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de la tierra; determinar:
a) La altura máxima que alcanza el cohete b) El tiempo que tarde en regresar a la tierra c) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº 9
1. Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de 30 i m/ s , si impacta en la superficie del río con un ángulo de 45º; determinar: a) En cuánto tiempo impacta el proyectil b) La altura del puente respecto a la superficie del río
c) La aceleración tangencial y centrípeta al momento del impacto SOLUCIÓN:
4800 i kkm m/ h , a una 2. Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de 48 altura de 5500m dispara a un auto que se mueve a una velocidad constante de 125 125 i kkm m/ h , en el mismo plano vertical. Para que el proyectil impacte en el blanco; determinar:
a) El ángulo que forma la visual del avión al auto con la horizontal en el instante en que el avión debe soltar la bomba b) El tiempo que tarda la bomba en impactar el auto c) La distancia que recorre el avión desde que suelta la bomba hasta que impacta en el blanco SOLUCIÓN:
3. Se lanza una pelota desde una altura de 5m con una velocidad de 12 i m/ s ; determinar:
a) La distancia a la que debe colocarse una persona que alzando los brazos alcanza 2,20m de altura, para cogerla b) El tiempo que la pelota permanece en el aire c) Las aceleraciones tangencial y centrípeta en el momento que la persona recepta SOLUCIÓN: 1000 i m/ s ; 4. Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto con una velocidad de 10 determinar:
a) En qué tiempo el módulo de la aceleración tangencial es igual al módulo de la aceleración centrípeta b) La velocidad en ese instante c) La posición en ese instante respecto al punto de lanzamiento SOLUCIÓN: 5. En una mesa de 0,75m de altura un objeto desliza y cae describiendo una trayectoria semiparabólica. Sabiendo que cuando se encuentra a 0,15m de altura, la distancia hasta el borde de la mesa es 80cm; determinar: a) La velocidad con la que el objeto abandona la mesa b) El tiempo en el que llega a la posición indicada y el tiempo en que impacta en el suelo c) La velocidad en la posición indicada y la velocidad con que choca contra el suelo SOLUCIÓN:
6. Una pelota de tenis se impulsa con una raqueta de tal modo que su velocidad inicial km/ h desde el borde de una cancha que mide 23,77m de largo y desde una es 56 i km/ altura de 2,5m; determinar: a) La distancia a la que rebota por primera vez respecto a la red central cuya altura es de 0,92m b) La velocidad mínima que se le debe comunicar a la pelota para que justamente logre pasar la red
c) La velocidad que se le debe comunicar a la pelota para que caiga justamente al borde opuesto de la cancha SOLUCIÓN:
7. Un proyectil es disparado con una rapidez de 45m/s y un ángulo de 40º sobre la horizontal; determinar: a) b) c) d)
La velocidad del proyectil cuando forma un ángulo de 30º sobre la horizontal El desplazamiento cuando alcanza dicho punto La altura máxima que alcanza El alcance horizontal SOLUCIÓN:
8. Se impulsa una pelota desde el suelo con una rapidez de 50m/s y con un ángulo de 45º desde la horizontal; determinar: a) b) c) d)
La velocidad de la pelota cuando su componente en el eje y es de -20 j m/ s La posición de la pelota cuando dicha alcanza velocidad La aceleración total, tangencial y centrípeta en dicho instante La altura máxima SOLUCIÓN:
9. Un avión que lleva una velocidad de 50 i+60 j m/ s deja caer una bomba; determinar: a) La altura máxima que alcanza la bomba desde el nivel de lanzamiento b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima c) La altura por debajo del nivel de lanzamiento a la que la bomba tiene una velocidad de 50 i 100 j m/ s SOLUCIÓN:
10. Un proyectil es lanzado desde una altura de 80m desde el suelo formando un ángulo de 40º sobre la horizontal, si cae al suelo a una distancia horizontal de 300m desde el punto de lanzamiento; determinar: a) La velocidad inicial del proyectil b) La posición del proyectil en el punto mas alto respecto al punto de lanzamiento c) El tiempo que demora en llegar al suelo SOLUCIÓN:
11. De un cañón se dispara un proyectil con una rapidez de 200m/s y un ángulo de 50º y luego se dispara otro con la misma rapidez y un ángulo de 30º sobre la horizontal; determinar: a) El intervalo de tiempo con que deben realizarse los disparos para que los proyectiles choquen b) La altura máxima que alcanza cada proyectil respecto al cañón c) El alcance horizontal de cada proyectil d) Dónde chocan los proyectiles respecto al cañón SOLUCIÓN:
12. Un proyectil con movimiento parabólico se encuentra en el punto A, donde su velocidad instantánea es de 20m/s y forma un ángulo de 30º sobre la horizontal. Si el proyectil demoró 1,2s en llegar a A desde su lanzamiento; determinar: a) b) c) d)
La velocidad inicial del lanzamiento La altura máxima Las aceleraciones: total, tangencial y centrípeta en el punto A El ángulo de lanzamiento SOLUCIÓN:
13. Un proyectil es disparado con una rapidez de 100m/s y con un ángulo de 60º sobre la horizontal desde un punto A -10,-2 m ; determinar: a) La velocidad en el instante en que X=0m
b) La aceleración tangencial en Y=0m por primera vez c) Las coordenadas del punto donde la altura es máxima d) La coordenada en Y cuando X=2m SOLUCIÓN:
14. Desde lo alto de un edificio de 20m de altura se lanza una pelota con una velocidad de 5m/s y un ángulo de 45º sobre la horizontal; determinar: a) b) c) d)
A que distancia horizontal de la base del edificio impacta la pelota La altura máxima que alcanza A que distancia horizontal de la base del edificio alcanza la altura máxima La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIÓN:
15. Una persona con patines sube por una rampa de 20º, cuando abandona la rampa, salta hasta una grada situada a 2m de distancia horizontal y 0,5m abajo del punto donde abandona la rampa; determinar: a) La velocidad mínima con la que debe abandonar la rampa para llegar justamente a la grada sin problema b) La máxima altura que alcanza desde el punto donde abandona la rampa c) Si con la misma rapidez calculada en el punto a) abandona una rampa de 15º, ¿Logra alcanzar la grada sin problema? SOLUCIÓN:
16. Una pelota es lanzada a 20m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal; a 10m del punto de lanzamiento se encuentra un obstáculo de 14m de altura; determinar: a) Si la pelota supera el obstáculo; si no lo hace a que altura del mismo impacta b) La máxima altura que alcanza c) En qué puntos podrían colocarse dos vallas de 10m de altura, para que la pelota los pase exactamente SOLUCIÓN:
17. Se lanza un balón de manera que pasa exactamente sobre dos barreras cada una de 2m de altura que están separadas 10m. Si el tiempo que demora el balón en recorrer la distancia entre las barreras es 1s; determinar: a) b) c) d)
La velocidad inicial con que fue lanzado el balón La altura máxima El alcance horizontal El tiempo total desde que es lanzado hasta que llega nuevamente al nivel del lanzamiento SOLUCIÓN:
18. Se dispara una flecha a 20m/s y 30º sobre la horizontal, para dar en un árbol que se encuentra a 25m de distancia; determinar; a) La altura a la que se elevará la flecha b) En ángulo que formarán la flecha con el árbol c) El tiempo que tarda la flecha hasta dar en el árbol SOLUCIÓN:
19. Desde la base de una montaña cuya pendiente es 35º se lanza hacia la cima una piedra a 30m/s y 60º sobre la horizontal; determinar: a) La altura aque la que impacta la piedra (desde la base de la montaña) b) El tiempo tarda en impactar c) Si el impacto sucede antes o después de que la piedra a alcanzado su altura máxima d) La velocidad con la que impacta la piedra SOLUCIÓN:
20. Desde una cancha de futbol ubicada al pie de una colina de 30º de pendiente, se realiza un lanzamiento desde un punto ubicado a 10m de la base de la colina y hacia ella; determinar:
a) La velocidad inicial con que se debe lanzar la pelota para que impacte en la colina a una altura de 3m justo cuando llega a su altura máxima b) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10m/s y 30º sobre la horizontal c) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15m/s y 30º sobre la horizontal SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº10
1. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto 3,5 cm y gira antihorariamente, con centro en el origen, 1000º en 12s. Determinar: a) b) c) d)
El desplazamiento angular La velocidad angular media La posición angular inicial La posición final SOLUCIÓN: a) 1000º 17,45rad 180º b) = =
t 17,45rad
12 s = 1, 45rad/ 45rad/ s
c) 5
tan 1 3 59,04º
59,04º 1,03rad 180º
d) f 0 f 17, 17, 45ra 45radd 1, 03ra 03radd f 18,48rad
2. Calcular la velocidad angular de cada una de las tres manecillas de un reloj SOLUCIÓN: Segundero
Minutero
= t 2 rad = 60s 60 s = 0,105 0,105 ra rad/ d/ s
=
Horero
2 rad
3600s
= 1,745 ,74 5 10 3 rad/ s
=
2 rad 43200s
= 1,45 ,454 4 10 4 rad/ s
3. El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0,7 rad/s durante 4 minutos. Determinar: a) En ángulo descrito en grados b) Cuantas vueltas ha dado SOLUCIÓN: a) t rad d/ s 240s 0,7 ra 168rad
b)
168rad 180
9625,69º
vueltas
168rad
2 rad vu eltas tas 26,74
4. Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constante de 8 rad/s. Determinar: a) b) c) d)
El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000º El tiempo necesario para dar una revolución El ángulo girado en un minuto El numero de revoluciones que da por minuto SOLUCIÓN: a) 1000º 17,45rad 180º t = t =
17,45rad
8rad/ s 8rad/ t = 2,18s
b) t = t =
2 rad
8rad/s 8rad/s t = 0, 0, 79s
c) = t =8rad/s×60s = 480rad
d) 8r 8raad 1re 1rev 60s 76,39RPM s 2 rad 1 min
5. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar: a) La velocidad angular media b) El ángulo girado en 3s c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600º SOLUCIÓN: a) 25vuelt 25vue ltas as 2 rad rad 1vuelta 50 rad = =
t 50 rad
6s = 26,18rad 26,18rad// s
b) = 26,1 ,188tra rad/ d/ s 3s = 26 78,54rad ,54rad = 78
c) 1600º rad 27,93rad 180º t =
27,93rad t = 26,18rad/ 26,18rad/ s
t 1,07 ,07ss
6. Una partícula parte del punto -5, -6 cm y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 18 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a) b) c) d)
La posición angular inicial El desplazamiento angular en 4s La posición angular final La posición final SOLUCIÓN: a) 6
180º 180º ta tann 1 5
129 29,80 ,80ºº rad
2,27rad
180º
129,80º
b) = t =18rad/s 4s = 72rad
c) f 0 72radd 2, 27ra 27radd f 72ra f 74,27rad
74,27rad 180º 4255,36º rad
d) 52 62 7,81cm
r0 x = 7,81cmcos 7,81cmcos42 4255,36º 55,36º r0 y = 7,81 7,81cm cmse senn 42 4255 55,, 36 36ºº r0 y = 7,06cm r0 x = 3, 35cm 35cm
r0 = 3,35i-7,0 ,35i-7,066 j cm
7. La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5s. Determinar: a) La aceleración angular b) La velocidad angular media c) El desplazamiento angular SOLUCIÓN: a) 21 2100rev 00rev 2 rad rad 1m 1min in 12 1200rev 00rev 2 rad rad 1m 1min in = 219,91rad 219,91rad// s =125,66rad/s min 1 rev 60 s min 1 rev 60 s
f 0
t
21 219,91rad 9,91rad// s-12 s-125,66 5,66 ra rad/ d/ s 5s 18,85ra rad/ d/ s2 18,85
b)
f 0
2 125,66 125,66ra rad/ d/ s+ 219,91ra 219,91rad/ d/ s 2 172,79ra rad/ d/ s 172,79
c) = t =172,79rad/s 5s 8633, 95ra 95radd = 86
8. Un cuerpo parte del punto 4,7 cm en sentido antihorario por una trayectoria circular y gira un ángulo de 120 rads en 8 seg, alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a) La velocidad angular media
b) La velocidad angular inicial c) La posición angular final d) La aceleración angular SOLUCIÓN: a) = =
t 120rad
8s =15rad/s
b)
f 0 2
15rad/ 15ra d/ s
25rad/ 25ra d/ s+ 0
2 5rad/ s 30rad 0rad/ s 0 25rad 5rad/ s 0 30 rad/s 25rad 5rad/s d/s 0 5ra
c) 7 4
1 0 tan
0 60,26º
d) =
f 0
t
25rad/s-5rad/s 8s 2,5 ra rad/ d/ s2 = 2,5 =
60,26 ,26ºº rad 1,05rad 180º
f 0
120 rad rad 1, 05rad f 120 f 121,05rad
9. Un cuerpo parte del punto 3,-6 cm en sentido antihorario por una pista circular con centro en el origen, con una velocidad angular de 6rad/s y se mueve durante 10s con una aceleración angular de 2rad/s 2 ; Determinar: a) b) c) d)
La velocidad angular final La velocidad angular media El desplazamiento angular La posición final SOLUCIÓN: a) =
f 0
t
= t f
2
0
rad/ s ×10s+6 rad/ rad/ s f = 2 rad/
26 rad/ rad/ s f = 26
b)
f 0 2 26rad/ 26ra d/ s+6 rad/ ad/ s 2
16rad// s 16rad
c) = t =16rad/s10s =160rad
d) 160rad 180º rad
9167,32º
6 3
1 tan
f 916 9167,32º 7,32º 63 63,, 43 43ºº
63,43º
f 9103,89º
32 62 6, 71m rf x = 6, 6,71co 71coss 9103 9103,, 89º rf x = 1, 61m
rf y = 6,71se 6, 71senn 9103 9103, 89º rf y = 6,51m
rf = -1,61i+6,51j m
10. Desde un mismo punto de la circunferencia parten dos móviles en sentido opuesto. El primero recorre la circunferencia en 1h45min y el segundo recorre un ángulo de 10º30’ en un minuto Determinar dónde y cuándo se encuentran SOLUCIÓN:
1h : 45mi 5minn = 6300s 10º 10º 31' 31' 10 10,52º ,52º 1min 1m in = 60s 10,52 ,52ºº rad = 0,184rad 180º 1 = 1 =
1 t1 2 rad 6300s
4 1 = 9,97 10 rad/ s
2 = 2 =
2 t2 0,184rad 60 s
3 2 = 3,07 10 rad/ s
Para determinar el encuentro: 1 2 2 rad............ rad................( ....(11) = t.. t.............(2 (2)) t1 t 2 .........(3)
(2) y (3) en (1) 1 t 2 t 2 rad t 1 2 2 rad 2 rad t
1 2
2 rad 9,97 ,97 104 rad/ s 3,07103 rad/ s 544,92s t 1544 t
1 = 1 t
2 = 2 t
1 = 9,97 104 rad/ s15 15444,92s
rad/ s115544,92s 2 = 3,07 103 rad
1 =1,54rad
2 = 4,74rad EJERCICIO Nº11
1. Un volante cuyo diámetro es de 1,5m está girando a 200RPM, determinar: a) b) c) d) e)
La velocidad angular El periodo La frecuencia La rapidez de un punto del borde El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
2. Un cuerpo que gira con MCU está provisto de una velocidad angular de 2rad/s. Determinar: a) b) c) d) e)
El ángulo girado en 4s El número de vueltas que da en 4s El tiempo necesario para girar un ángulo de 500º El periodo La frecuencia SOLUCIÓN:
3. Las manecillas de un reloj miden: el horero=4cm, minutero =7cm y segundero=10cm. Para cada una, determinar: a) El periodo b) c) d) e)
La frecuencia La velocidad angular La rapidez del extrema El módulo de la aceleración centrípeta del extremo SOLUCIÓN:
4. Un cuerpo gira en una trayectoria circular de 70 cm de radio y da 750 rev cada 2,5 minutos. Determinar: a) b) c) d)
La velocidad angular La distancia recorrida La rapidez del cuerpo El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
5. Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2m de radio con una velocidad angular constante de 22 rad/s durante 6s. Determinar: a) b) c) d) e)
El desplazamiento angular La distancia recorrida El periodo La rapidez del móvil El modulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
6. Una rueda de bicicleta tiene 60cm de diámetro y recorre una distancia de 12m en
15s. Determinar:
a) b) c) d)
El ángulo girado El número de vueltas que dio La velocidad angular El periodo
e) El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
7. La tierra cuyo radio aproximado tiene 6375km, gira sobre su propio eje (rotación). Determinar: a) El periodo de rotación b) La frecuencia c) La velocidad angular d) La rapidez de un punto del ecuador en km/h e) El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
8. El radio de la orbita seguida por la tierra en su movimiento alrededor del sol ,49x10011 m . Determinar: (traslación), mide 1,49x1 a) b) c) d) e)
El periodo de revolución La frecuencia La velocidad angular La rapidez en km/h El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
9. La luna orbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de la tierra es de 3,84x108 m . Determinar:
a) b) c) d) e)
El periodo de revolución La frecuencia La velocidad angular La rapidez en km/h El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
10. El Sol efectúa un movimiento de traslación de la Vía Láctea; el radio de la orbita es 2, 4x1 4x10020 m y su periodo de revolución es de 6,3x1 ,3x10015 s . Determinar: a) b) c) d) e)
La frecuencia La distancia recorrida en 50 años La velocidad angular La rapidez en km/h El módulo de la aceleración centrípeta SOLUCIÓN:
11. Una partícula animada de MCU parte del punto 2, 7 m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ángulo de 215º en 6s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)
La velocidad angular La posición angular inicial La posición angular final La posición final El periodo La frecuencia La velocidad en la posición final La aceleración centrípeta en la posición inicial SOLUCIÓN:
12. Un cuerpo animado de MCU se encuentra en la posición indicada en la figura en t=2s. Si se mueve en sentido horario 6s, determinar:
a) b) c) d) e) f) g) h)
La velocidad angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas da La distancia recorrida La posición final El periodo La velocidad en t=2s La aceleración centrípeta en t=8s SOLUCIÓN:
13. Un cuerpo parte del punto 4, -3 m en sentido antihorario por una trayectoria circular con centro en el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constante de 3rad/s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)
El desplazamiento angular La posición angular inicial La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da El periodo La velocidad en la posición inicial La aceleración centrípeta en la posición final SOLUCIÓN:
14. Una partícula animada de MCU se encuentra en la posición que indica la figura en t=4s. Si gira en sentido horario con una velocidad angular de 5rad/s durante 10s, determinar:
a) El desplazamiento angular b) c) d) e) f) g) h)
La La posición posición angular angular inicial final La posición final Cuántas vueltas da El periodo La velocidad en t=14s La aceleración centrípeta en t=4s SOLUCIÓN:
15. Una partícula parte del punto -4,1 m en sentido horario con MCU. Si gira con una rapidez de 2m/s durante 15s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g)
El desplazamiento angular El periodo La posición angular inicial La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da La velocidad en la posición inicial
h) La aceleración centrípeta en la posición final
SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº12
1. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio con MCUV hasta que alcanza una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular final La velocidad angular media La aceleración angular El desplazamiento angular La distancia recorrida El tiempo que tarda en dar 100 vueltas El módulo de la aceleración total final SOLUCIÓN:
2. Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20s. Si el radio de la turbina es 1,2m, determinar: a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular final La velocidad angular media La aceleración angular La rapidez media El desplazamiento angular La distancia recorrida por el extremo de la turbina El módulo de la aceleración total final SOLUCIÓN:
3. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m, determinar:
a) La rapidez inicial
b) c) d) e) f)
La velocidad angular final La aceleración angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas dio La distancia recorrida
g) El módulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:
4. Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1m de radio con una aceleración angular de 1,3rad/s2 . Cuando ha girado un ángulo de 7 / 3r 3raad alcanza una velocidad angular de 42 RPM. Determinar: a) b) c) d)
La velocidad angular inicial La velocidad angular media La rapidez inicial El tiempo empleado SOLUCIÓN:
5. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le comunica una aceleración angular de 2 2,8rad/s2 durante 1 min. Si el radio de la trayectoria circular es de 0,6m, determinar: a) b) c) d) e) f) g)
La rapidez inicial La velocidad angular final La rapidez final La velocidad angular media El desplazamiento angular Cuántas vueltas da El módulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:
6. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 1000 RPM en 7s. Si el radio de la curvatura es de 25cm, determinar: a) La rapidez inicial b) La velocidad angular media c) d) e) f) g)
La aceleración angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas da Qué tiempo será necesario para que el volante se detenga El modulo de la aceleración total final SOLUCIÓN:
7. Un volante de 10cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15s. Determinar: a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular inicial La rapidez en el momento de aplicar el freno La velocidad angular media El desplazamiento angular Cuántas vueltas da hasta detenerse La distancia recorrida El modulo de la aceleración total inicial SOLUCIÓN:
8. Una partícula describe una trayectoria circular de 0,8 m de radio en sentido antihorario. Si parte del reposo y del punto A, realizando un desplazamiento angular de 10 rad en 3s, determinar:
a) b) c) d)
La aceleración angular La posición angular final La posición final La velocidad angular media
e) La distancia recorrida f) La velocidad final g) La aceleración total final SOLUCIÓN:
9. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 1,4m de radio en sentido horario. Si parte del reposo y del punto B, alcanzando una velocidad angular de 7rad/s en 4s, determinar:
a) b) c) d) e) f) g)
La aceleración angular El desplazamiento angular La velocidad angular media La posición angular final La posición final La velocidad final La aceleración total final SOLUCIÓN:
10. Una partícula animada de MCUV, parte del punto A, como indica la figura, con una rapidez de 4m/s y luego de 3s pasa por el punto B con una rapidez de 10m/s. Determinar:
a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular inicial La aceleración angular El desplazamiento angular La posición inicial La velocidad en B La aceleración total en A La aceleración total en B SOLUCIÓN:
11. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una rapidez de 10m/s y una aceleración angular de -2 / 5 ra rad / s2 hasta detenerse. Determinar:
a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular inicial La velocidad inicial El tiempo hasta detenerse El desplazamiento angular La posición angular final La posición final La aceleración total inicial SOLUCIÓN:
12. Una partícula animada de MCUV está en la posición que indica la figura. Si se -1rad/ ad/ s 2 , determinar: mueve durante 4s con una aceleración angular de -1r
a) b) c) d) e) f) g)
La velocidad angular inicial La velocidad angular final El desplazamiento angular La posición angular final La posición final La velocidad final La aceleración total final SOLUCIÓN:
13. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una V=4m/s en rad/ d/ s2 . Determinar: t=0s y una aceleración angular de 0,8 ra
a) El desplazamiento angular b) El espacio angular recorrido c) El espacio lineal recorrido d) La posición cuando V0 = 0
e) La posición final de la partícula
f) La velocidad en t=8s g) La aceleración total en t=8s SOLUCIÓN:
14. Una partícula que tiene movimiento circular, se encuentra en la posición que indica -1rad/ ad/ s 2 durante 10s. la figura en t=4s. Si gira con una aceleración angular de -1r Determinar:
a) b) c) d) e) f) g)
El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando V=0 La posición final de la partícula La velocidad en t=14s La aceleración total en t=14s SOLUCIÓN:
3m// s en 15. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una V0 = 3m
t=0s y una aceleración angular de - / 3 rad / s2 durante 7s. Determinar:
a) b) c) d) e) f)
El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando V=0 La posición final de la partícula La velocidad en t=7s
g) La aceleración total en t=7s SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº13
1. Un cuerpo de 200kg adquiere una velocidad de 108km/h en 10s, cuando se le comunica una fuerza constante de 98[N]. Determinar: a) La aceleración producida b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar SOLUCIÓN: Datos: m=200kg V=108km/h t=10s F=98[N] a)
F = m× m× a a= a=
F m 98[N]
200kg
a = 0,49m/s 2
b) 10 108km 8km 1000m 1h = 30m/ s h 1 km 3600 s
Vf = V0 +a +a×t ×t V0 = Vf - a× t V0 = 30m/s-0,49m 0m/s-0,49m// s×1 ×10s 0s V0 = 25,1m 25,1m// s
2. A un automóvil de 1000kg que va por una carretera recta se le acciona con una fuerza constante de 490[N] durante 8s, llegando a tener una velocidad de 36m/s. Determinar: a) La velocidad que tenia el automóvil antes de empezar a acelerar b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150m SOLUCIÓN: Datos: m=1000kg F=490[N] t=8s Vf = 36m/s
a)
F = m×a a= a=
Vf - V0 t V0 = Vf -at a=
F m 490N
1000kg
a = 0,49m/ s 2
V0 = 36m/ s-0,49m s-0,49m// s 2 ×8s V0 = 32 32,08m/ ,08m/ s
b) Vf = V02 + 22aa r Vf = 36m 6m// s+ 2×0 2×0,49m ,49m// s 2×150m Vf =37,99m/s
3. Una fuerza horizontal de 1568[N] produce una aceleración de 2,44 m/ s2 en un cuerpo de 400kg que descansa sobre una superficie horizontal. Determinar: a) La fuerza normal ejercida por la superficie sobre el cuerpo b) El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie SOLUCION: Datos: F=1568[N] a = 2,44m/ s 2
m=400kg a) Fy = 0 N- P = 0 N = P N = m×g m× g N = 400 kg× 9, 9,8 8 m/ s 2 N = 3920[N]
b)
m× a Fx = m× F-fr F- fr = m×a fr = F-m×a F- m×a
fr = 15 1568 68[N [N]]- 40 4000 kg kg× × 2,44 2,44m/ m/ss 2 fr = 59 592[ 2[N] N]
fr = N fr N 592[N] 3920[N] 0,15
4. Un cuerpo de 6kg parte del reposo y adquiere una velocidad de 36km/h en una distancia horizontal de 28m. Si 0,25 , determinar: a) La aceleración producida b) El valor de la fuerza horizontal aplicada SOLUCIÓN: Datos: m=6kg Vf = 36k 36km m/ h r = 20m 0,25 a) 36km 1000m h
1h
1 km 336600 s
Vf 2 = V0 2 + 2a 2a r a= a=
Vf 2 V0 2 2 r
10m/s
2
2×28m
a =1,79m/s 2
b)
=10m/s
Fx = m× m× a
Fy = 0
F-fr F- fr = m×a F= m m× × a+ a+fr............ fr...............( ...(11)
fr = N..... N........ ....... ....(3 (3)) N- mg = 0 N-mg N = mg........... mg................... ........(2) (2)
(2) y (3) en (1) F = ma+ mg F = 6kg 6kg×1 ×1,79m ,79m// s2 + 0,25×6 kg×9,8m ×9,8m// s 2 F = 25 25,, 44[N] 44[N]
5. En un lugar de la superficie terrestre, un cuerpo de 500g pesa 4,89[N]. Determinar: a) El valor de la aceleración de la gravedad en dicho punto b) La masa de un cuerpo de 200[N] en dicho lugar
SOLUCIÓN: Datos: m=500g=0,5kg P=4,89[N] a) P = m×g g=
P m
g = 4,89[N] 0,5kg g = 9,78m/ 9,78m/ s 2
b) P = m×g m= m=
P g 200[N] 9,78m/s 2
m = 20, 20, 45kg
6. Un automóvil de 1200kg cambia su velocidad en forma constante de 12, 61i-12 61i-12,, 79 j km km// h a -70 i-71 j km/ h en 1 minuto. Determinar: -12,
a) La aceleración producida b) La fuerza ejercida por el motor SOLUCIÓN: a)
-12,61i-12,79 j km 1000m
1h = -3,50 i-3,55 -3,55 j m/ s 1km 3600 s
h i-711 j km 1000m -70 i-7 h a= a=
1h
= -19,44i-19,72 j m/s
1km 3600 s
Vf - V0 t i-199,72 j m/ s- -3,50 i-3,5 i-3,555 j m/ s -19,44 i-1
60s a = -0, 265i- 0, 269 j m/ s 2
b) F = ma
F = 1200kg 1200kg -0,265 0,265 i-0,269 i-0,269 j m/ s 2
F = -31 318 8 i- 322 322,8 j N
7. Un cuerpo de 8kg está en reposo en el punto 4, -7 m en t=0s. Si se le aplica una +166 j N , determinar: fuerza constante de 8 i+1
a) La posición del cuerpo en t=8s b) La velocidad del cuerpo en t=12s
SOLUCIÓN:
Datos: m=8kg
r0 = 4,-7 m F = -8 i+1 +166 j [N]
a) 1 rf = r0 + V0× t + a× t 2 2 1 rf = r0 + a×t 2 2 1 2 rf = 4 i- 7 j m m+ + - i+ i+ 2 j m m// s 2 8 s 2 rf = 4i-7 j m+ -32i+64 j m
F = m×a a=
F m
-8 i+16 i+16 j [N] [N] a= 8 kg
a = - i+ 2 j m/ m / s 2
rf = -28i+57 j m
b) V t V = a× a× t
a=
V = - i+ 2 j m/ s × ×112s 2
V = -12 i+24 j m/ s 2
8. Un cuerpo de 2kg se encuentra en el punto 5,2 m en t=2s con una velocidad de
-7 i+3 j m/ s . Si se le aplica sobre él una fuerza constante de -175 i+ 75 j N durante 6s; determinar: a) La posición final del cuerpo b) El desplazamiento realizado por el cuerpo c) La velocidad final del cuerpo SOLUCIÓN:
9. En la figura, un cuerpo de 20kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal lisa con una aceleración constante de 1m/s2 . Determinar: a) El valor de la fuerza normal b) Qué fuerza F se necesita para producir esa aceleración
SOLUCIÓN: Datos: m=20kg 2
a =1m/ =1m/ s a) Fy = 0 N- P = 0 N = P N = m×g m× g
N = 20 kg× 9, 9,8[N] 8[N] N = 196[N]
b) F= m m×a ×a F = 2200 kg kg×1m ×1m// s2 F = 20 20[N [N]]
10. Un bloque de 15kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como indica la figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3s y si 0, 2 , determinar: c
a) La aceleración del bloque b) La velocidad final del bloque
SOLUCIÓN:
11. En la figura, si el cuerpo es de 10kg y 0,15 , determinar: c
a) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con velocidad constante b) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con una aceleración de 2m/s2
SOLUCIÓN: Datos: m=10kg c 0,15
a) fr = N.... N...... .... .... .... .... .... ..(2) (2)
Fy = 0
N- P+ Fsen N-P+ Fsen 25 = 0 N = P- Fse Fsenn 25... 25......... ..........( ....(1) 1)
P = m×g P =10kg×9,8m/s 2 P = 98[N]
(1) y (2)
en
(3)
Fcos25º s25º - P- Fsen 25º = 0 Fcos25º os25º + Fsen 25º - P = 0
Fx = 0
Fcoss 25 Fco 25-- fr = 0..... 0........ ....... ......( ..(3) 3)
F cos 2 5º 5º + sen 25º = P P F= coss 25 25ºº + mse sen n 25 25ºº co
F=
0,15×98[N] coss 25º +0 +0,15se ,15sen n 25º co
F =15,16[N = 15,16[N]]
b) (1) y (2)
en
(4) (4)
Fcos 25º - P- Fsen 25º = m×a Fcos 25º + Fsen 25 25ºº - P = m×a
m× a Fx = m× Fcos25-fr = m×a..............(4)
F cos 25 2 5º + sen 25º = P m× a F=
P m× a
coss 25 25ºº + msen msen 25 25ºº co
F=
0,15×9 0,15×98[ 8[N N] 10kg× 10kg× 2 m/ s 2 coss 25 25ºº +0 +0,15se ,15sen n 25 25ºº co
F = 35, 78 78[N] [N]
12. Un cuerpo de 5kg es empujado hacia arriba de un plano inclinado liso mediante una fuerza de 30[N] como indica la figura. Determinar: a) La fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo b) La aceleración del bloque
SOLUCIÓN:
13. En la figura, si el bloque es de 30 kg y 0,2 , determinar-. c
a) b) c) d)
El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 1m/s2 El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 1m/s2
SOLUCIÓN: Datos: m=30kg c 0, 0,22
a) Fx = 0
Fx- frFxfr- Px = 0 Fcos15º Fco s15º-- frfr-mg mgsen sen 28º 28º= = 0............( 0............(11) fr = N..... N........ ...... .....( ..(33)
Fy = 0
N+ FyFy- Py = 0 N = PyPy-Fy Fy N = mgco mgcoss 28º 28º-- Fse Fsen15º n15º....... ..............(2 .......(2))
(2) y (3) en (1) Fc Fcos1 os15º 5º -fr- mgsen mgsen 28 28ºº = 0 Fcos1 cos15º5º- mgcos28 gcos28ºº -Fsen15 -Fsen15ºº - mgs gseen 28º 28º = 0 Fcos1 Fcos15º 5º - mgc gcos os 28 28ºº + mFse mFsen15 n15ºº - mgse mgsen n 28 28ºº = 0 Fcos1 cos15º+ 5º+ Fsen15 sen15ºº = mgcos28 gcos28ºº + mgs gsen28º en28º F co cos15 s15º + sen15 n15º = mg cos 28º +sen +sen 28º F=
mg cos 28º +sen +sen 28º
s15 5º + sen15º cos1 30kg 30k g×9,8m/ ×9,8m/ s 2 0,2 cos 28º+ sen sen 28º F= cos15º s15º +0 +0,, 2sen15º co
F = 186, 186, 64[N] 64[N]
b) Fx = 0
Px- Fx-fr = 0 Pxmgse gsenn 28 28ºº - Fc Fcos1 os15º 5º-- fr = 0...... 0......... ...... ...(4) (4) (2) y (3) en (4) mgse mg sen n 28º- Fc Fcos1 os15º 5º -fr = 0 mgsen28ºgsen28º- Fcos1 cos15º5º- mgc gcos28 os28ºº -Fsen15 -Fsen15ºº = 0 mgse mg sen n 28 28ºº - Fc Fcos1 os15º 5º - mgcos gcos 28 28ºº + mFse mFsen15 n15ºº = 0 Fsen15º5º- Fc Fcos1 os15º 5º = mgc gcos28º os28º - mgse mgsen n 28 28ºº Fsen1 F sen15 n15º -cos1 -cos15 5º = mg cos 28º -se -sen 28º F=
mg cos 28º -se -sen 28º
sen15º-cos15º 30kg 30k g×9,8m/ ×9,8m/ s 2 0,2 cos 28º-sen 8º-sen 28º F= 0,2sen15º-cos15º F = 94,19[N]
c) Fx = m× m× a
Fx-- frFx fr- Px = m×a
Fc Fcos1 os15º 5º-- fr fr-- mg mgse senn 28º 28º= = m× a ....... .......... .....( ..(5) 5)
(2) y (3) en (5) Fc Fcos1 os15º 5º -fr- mgsen mgsen 28 28ºº = m×a Fcos1 cos15º5º- mgcos28 gcos28ºº -Fsen15 -Fsen15ºº - mgs gseen 28º 28º = m×a Fcos1 Fcos15º 5º - mgc gcos28º os28º + mFse mFsen15 n15ºº - mgse mgsen n 28 28ºº = m×a Fcos1 s15º+ 5º+ Fsen1 sen15º= 5º= mgcos 28º+ mgsen sen 28º m×a F cos1 s15 5º + sen1 n15 5º = mg cos28º s28º +se +sen 28º m×a F=
mg cos 28 2 8º + s en 28º m× a
cos15 s15ºº + sen15 sen15ºº co 30kg×9 0kg×9,8m/s ,8m/s 2 0,2 cos 28º +sen +sen 28º 30kg×1 0kg×1m m/ s 2 F= cos15º s15º +0 +0,, 2sen15º co F = 216,12[N]
d) Fx = m× m× a
Px-Fx-fr = m×a mgse gsenn 28º- Fc Fcos1 os15º 5º-- fr = m× m×aa ........ ............ ....(6) (6) (2) y (3) en (4) mgse mg sen n 28 28ºº - Fc Fcos1 os15 5 - fr = m×a mgsen gsen 28º 28º -Fcos -Fcos15 15ºº - mgc gcos28 os28ºº -Fsen15 -Fsen15ºº = m×a mgse mg sen n 28 28ºº - Fc Fcos1 os15º5º- mgco mgcoss 28 28ºº + mFse mFsen15 n15ºº = m×a Fsen15º5º- Fcos1 cos15º= 5º= mgc gcos28 os28ºº -mgse -mgsen n 28 28ºº m×a Fsen1
F sen1 n15 5º- cos1 s15 5º = mg cos28ºs28º- sen sen 28º m×a F=
2 8º m× a mg cos 2 8º 8º - se s en 28
sen15º-cos15º 30kg×9,8m 0kg×9,8m// s 2 0,2 cos 28º -se -sen 28º 30kg× 0kg×1m/ 1m/ s 2 F= 0,2sen15º-cos15º F = 61,36[N]
14. En la figura, si el bloque es de 16kg y 0,1 , determinar: c
a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante
b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 2m/s2
d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 2m/s2
SOLUCIÓN:
15. En la figura, si el bloque es de 10kg y 0,15 , determinar: c
a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante
2
c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 0,7m/s d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 0,7m/s 2
SOLUCIÓN: Datos: m=10kg c 0,15
a) Fx = 0
Fx- frFxfr- Px = 0 Fcos10º Fco s10º - frfr-mg mgsen sen 20º = 0. 0........ ...........( ....(11) fr = N..... N........ ...... .....( ..(33)
Fy = 0
N+ FyFy- Py = 0 N = PyPy-Fy Fy N = mgco mgcoss 20º - Fse Fsen10º n10º....... ..............(2 .......(2))
(2) y (3) en (1) Fc Fcos1 os10º 0º - frfr- mgse mgsen n 20º = 0 Fcos1 cos10º0º- mgc gcos20ºos20º- Fsen1 Fsen10º 0º - mgs gsen20º en20º = 0 Fcos1 Fcos10º 0º - mgcos20º gcos20º + mFse mFsen10ºn10º- mgsen gsen 20 20ºº = 0 Fcos1 cos10º 0º + Fsen10 sen10ºº = mgc gcos20º+ os20º+ mgs gseen 20 20ºº F co cos10 s10º + sen10º n10º = mg cos 20º+sen 0º+sen 20º F=
mg cos 20º +sen +sen 20º
s10º+ sen15º cos10º+ 10kg×9,8m 0kg×9,8m// s 2 0,1 ,15co 5coss 20º+ sen 20º F= +0,15sen10º cos10º +0,15sen10º
F = 46,82[N] 46,82[N]
b) Fx = 0
Px- Fx-- fr = 0 Px-Fx mgse mg senn 20º 20º-- Fc Fcos10 os10ºº - fr = 0......... 0............(4 ...(4)) (2) y (3) en (4) mgsen mg sen-- 20º Fc Fcos1 os10º 0º - fr = 0 mgsen20ºgsen20º- Fcos1 cos10º0º- mgcos20ºgcos20º- Fsen1 Fsen10º 0º = 0 mgs gsen en 20 20ºº - Fcos1 Fcos10º 0º - mgc gcos20º os20º + mFsen1 Fsen10º 0º = 0 Fsen10º 0º - Fcos1 Fcos10º 0º = mgco mgcoss 20 20ºº - mgse mgsen n 20 20ºº Fsen1 F sen10 n10º -cos1 -cos10º 0º = mg cos 20º -se -sen 20º F=
mg cos 20º -se -sen 20º
sen10º-cos10º 10kg×9,8m/ 10kg ×9,8m/ s 2 0, 0,15c 15cos20º-sen os20º-sen 20 20ºº F= 0,15sen10º-cos10º
F = 20,55[N]
c) Fx = m× m× a
Fx fr Px m a Fc Fcos10 os10ºº - fr fr-- mg mgse senn 20º 20º= = m× m×aa ....... ........... .....(5 .(5))
(2) y (3) en (5) Fcos1 Fcos10º 0º -fr-mgsen -fr-mgsen 20 20ºº = m×a Fcos1 cos10º0º- mgc gcos20ºos20º- Fsen10 sen10ºº - mgs gsen20º en20º = m×a Fcos1 Fcos10º 0º - mgco mgcoss 20 20ºº + mFse mFsen10ºn10º- mgsen gsen 20 20ºº = m×a Fcos1 s10º+ 0º+ Fsen1 n10º= 0º= mgcos 20º+ mgsen 20º m×a F cos1 s10 0º + sen1 n10 0º = mg cos20º s20º +se +sen 20º m×a F=
mg cos 20 2 0º + s en 20 2 0º m× a
cos10 s10ºº + sen10º sen10º co 10kg×9,8m 0kg×9,8m// s 2 0,1 ,15c 5co os 20º +sen +sen 20º 10kg×0,7m/s 0kg×0,7m/s 2 F= +0,15sen10º cos10º +0,15sen10º F = 53,75[N]
d) Fx = m× m× a
Px-Fx- fr = m×a Px-Fx-fr mgse gsenn 28 28ºº - Fc Fcos1 os155 - fr = m×a ....... .......... .....(6 ..(6)) (2) y (3) (3) en (4) mgse mg senn 20º 20º - Fcos1 Fcos10º 0º - fr = m m× ×a mgs gsen20º en20º-- Fcos1 cos10º 0º-- mgcos20ºgcos20º- Fsen10 sen10ºº = m×a mgse mg senn 20º 20º - Fcos1 Fcos10º 0º - mg mgco coss 20º 20º + mF mFse sen10º n10º= = m×a Fse sen10 n10ºº - Fcos1 cos10º 0º = mgcos20ºgcos20º- mgsen20º gsen20º m× a F sen10 n10º -c -coos10 s10º = mg cos20 s20ºº -s -seen 20º m×a
F=
mg cos20 s20º-s º-s en 20º m×a sen10º-cos10º
10kg 0kg×9,8m ×9,8m// s2 0,15c ,15coos 20º-se 0º-senn 20º 10kg 0kg×0,7m/ ×0,7m/ s 2 F= 0,15sen10º-cos10º F = 13, 13, 25[N 25[N]]
16. Se lanza un cuerpo hacia arriba, en un plano inclinado de 28º respecto a la 0,22 , determinar: horizontal, con una velocidad inicial de 10m/s. Si 0, c
a) La distancia recorrida por el cuerpo sobre el plano hasta detenerse
b) El tiempo empleado en subir SOLUCIÓN:
17. Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano inclinado de 30º, hallándose separados 25cm. 2 5cm. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo superior y el plano es 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25, determinar: a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el cuerpo superior SOLUCIÓN: Datos: m A = mB 30º
e = 225c 5cm m = 0,25m A 0,1 B 0,25
a) CUERPO A Fx = mA ×a A
PA x-fr x-frA = mA ×a A mAgs gsen30 n30ºº - A mAggccos30 s30º = mA×a A mA × aA = mA gsen3 n30 0º- A mA gcos30º a A = g sen30 n30ºº - A cos30 s30º 2
a A = 9,8m/ s sen30 n30ºº -0,1c ,1cos30 s30ºº
Fy = 0
N- Py = 0 N = Py N = mAgco gcoss 30º
a A = 4,05m ,05m// s 2
Fx = mB ×a B
PB x-fr x-frB = mB× a B mB gs gsen30 n30ºº - B mAgc gcoos30 s30ºº = mB ×a B n30 mB × aB = mB gsen3 0º- B m B gcos30º a B = g sseen30 n30ºº - B cos30 s30º a B = 9,8m/s 2 sen 30º -0,25co ,25cos30 s30ºº a B = 2,77m ,77m// s2
De la ecuación 1 2
r V0 × tt+ + a× t 2
Cuerpo A
Cuerpo B 1
r V0 × t + a A × t 2 2
x+ e = x=
1 2
1 2
a At 2
a A t 2 - e......... e............. ....... ...... ....... ....((1)
Igualando (1) y (2) 1
1 a A t 2 - e a Bt 2
12 2 1 2 2 a t - a t e 2 A 2 B t2 aA - aB 2 e 2e t aA - aB t
2×0,25m ,05m// s2 - 2,77m ,77m// s 2 4,05m
t 0,63s ,63s
1 2
r V0× t + a B× t 2
1 x = a B t 2 ... ...... ...... ...... ...... ...... .....(2 ..(2)) 2
b)
x= x=
1 2 1
a A× t2 - e 4,0 ,05m 5m// s 2 ×0,6 ×0,63s 3s 2 - 0,25m 0,25m
2 x = 0,56m
18. En la figura los bloques A y B son de 100 y 30 kg respectivamente. Determinar la aceleración de cada bloque y la tensión de la cuerda cuando: a) No hay rozamiento b) El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el plano es 0,15
SOLUCIÓN:
19. En la figura los bloques A y B son de 5 y 8kg respectivamente. Si el plano inclinado es liso, determinar:
a) b) c) d)
La aceleración en cada bloque En qué sentido se mueve cada uno de los bloques La tensión de la cuerda La velocidad del bloque B a los 2s de dejarlo en libertad
SOLUCIÓN:
Datos: mA = 5k 5kgg mB = 8 k g
a) CUERPO A Fx = mA ×a T- PAx = mA ×a T- mAgse gsenn 30 = m A × a ....... .......... ....... ........ ....... ....(1 .(1)) (2) en (1) T-m Agsen30º= mA ×a mBg-m B×a-m Agsen 30º = mA ×a A B B A m ×a+m ×a = m g-m a m A +m B = g m B -m Agsen30º sseen3 n300º
g m B-m Asen30º a= mA + m B
9,8m// s 2 8kg 9,8m 8kg-- 5kg 5kgse senn 30º a= 5kg+8kg a = 4,1 4,155 m/ s 2
b) A=hacia arriba B=hacia abajo c) T = mBg- mB×a T = 8kg 8kg×9,8m/ ×9,8m/ s2 -8 kg× 4,15m/ ,15m/ s2 T = 45,20[N 45, 20[N]]
d) a=
V
t V = a× a× t
CUERPO B Fy = mB × a PB- T = mB×a T = mB g-m B×a............(2)
V = 4, 4,15m 15m// s 2 ×2 s
V = 8,3m/ s
20. En la figura el bloque B es de 10kg. Si el coeficiente de rozamiento cinético para todas las superficies es 0,3, determinar: a) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con velocidad constante b) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con una aceleración de 1,5m/s 2
SOLUCIÓN:
21. En la figura los bloques A y B son de 45 y 15kg respectivamente. Si 0, 2 para todas las superficies, determinar: c
a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueven los bloques c) La velocidad del bloque A, 4s después de partir del reposo
SOLUCIÓN: Datos: mA = 45kg mB =1 =15k 5kgg
c 0, 0,22
a) CUERPO A Fx = mA × a
Fy = 0
PA x-TAB -f -frrA = m A×a TAB = mAgse gsenn 30º 30º -frA - mA ×a .... ...... .... .... .... ...( .(1) 1)
N- Py = 0 N-Py N = mAgco gcoss 30º........... 30º...............( ....(2) 2)
fr = × N... N...... ..... ..... ...(3 (3))
(2) y (3) en (1) TAB = mAgse gsenn 30 30ºº - mmAgco gcoss 30 30ºº - mA× a .. .... .... .... .... ...( .(4) 4)
CUERPO B
= 0-frr = m ×a TAFx NBFy - P=B y0 = 0 B -PB x-f B B gcoss 60º.......... 60º...............( .....(6) 6) TAB = mBgs gsen60 en60 + frB + mB× a... a..... .... .... .... .... .... ..(5 (5)) NB = mBgco (3) y (6) en (5) TAB = mBgs gsen60 en60ºº + mBgc gcos60 os60ºº + mB× a... a....... .... .... .... .... ..(7 (7))
Igualando (4) y (7) mAgse gsen30 n30ºº - mAgc gcoos30 s30ºº -m A a = mB ggssen 60º + mB ggccos60 s60ºº +m B a mA a+ mB a = mAgs gseen30 n30ºº - mAgc gcoos30 s30ºº- mBggssen 60º - mBggccos60 s60ºº gsen 30º- mAgc gcos3 os300º -m Bgs gsen60 en60ºº - mBggco cos60 s60ºº a = mAgse mA + m B 45kg 9,8m/ s2 sen sen 30 30ºº -0 -0,, 2 45kg 9,8 m/ s2 cos30 cos30ºº -15kg 9,8m 9,8m// s2 sen sen 60 60ºº -0,2 15k 15kgg 9,8m/ s 2 cos6 os60º 0º 45kg+15kg a = 0, 0, 03 035m/ 5m/ s2 a=
b) A=hacia arriba B=hacia abajo
c)
V t V = a t
a=
V = 0,03 ,035m 5m// s2 4s V = 0,14m/ 0,14m/ s
22. Dos cuerpos A y B de 20 y 12kg respectivamente están unidos por una cuerda flexible e inextensible como indica la figura. Si 0,25 y 0,32 , determinar: A
B
a) La tensión de la cuerda cuando se dejan libres los cuerpos b) La aceleración de cada bloque c) La distancia recorrida por el bloque A 3s después de partir del reposo
SOLUCIÓN:
23. Dos esferas iguales y lisas de 15kg cada una, están apoyadas como se indica en la figura. Si las paredes son lisas, determinar las reacciones producidas en los puntos de apoyo A, B, C, D.
SOLUCIÓN: Datos:
m1
m2 15k 15kgg
CUERPO 1
Fy = 0
R A co coss 50º 50º+ + R Dse senn 20º- mg = 0.... 0...... .... .... .... ...( .(1) 1)
Fx = 0
R Ase senn 50 50ºº -R Dcos 20º = 0 R sen50º RD = A ..................(2) cos20º Reemplazando (2) en (1) R sen50º R A cos 50º + A 20º --m mg = 0 sen 20 cos20º R A cos50 os50ºº cos cos 20º 20º + R Asen sen 50º 50º sen sen 20º 20º = mgcos20 gcos20ºº R A cos50ºcos20 cos50ºcos20ºº + sen sen 50º 50º sen sen 20º 20º = mgcos20 gcos20ºº mgcos20º RA = cos50ºcos20º+sen50ºsen20º 15kg 9,8 9,8 m/ s2co coss 20º 20º cos50ºcos 20º+sen50ºsen20º R A = 159 159,50 ,50[N [N]]
RA =
Reemp Ree mplaz lazando ando el val valor or de R A en (2) 159,50[N]sen50º RD = cos20º R D = 130,03 130,03[N [N]]
CUERPO 2 Fy = 0
R B - R Dsen 20 20ºº -mg = 0 R B = R Dse senn 20 20ºº + mg....... g......... .... .... ...( .(3) 3) Fx = 0
R Dcos20 s20ºº- R C = 0 R C = R Dco coss 20 20ºº ....... .......... ...... ...(4) (4) Reemp Ree mplaz lazand andoo el va valor lor de R D en (3) R B = 130,03 130,03[N [N]se ]senn 20 20ºº +15kg +15kg 9,8m/ s2 B
Reemplaz Reemp lazando ando el valor valor de R D en (3) R C = 130,03[ 130,03[N N]cos20º C
R = 191 191, 47 47[N [N]]
R = 122, 122,19 19[N [N]]
24. Dos cilindros lisos e iguales de 20kg cada uno y de radio 10cm, tienen conectados sus centros por medio de una cuerda AB de 25cm de longitud, descansando sobre un plano horizontal sin rozamiento, Un tercer cilindro, también liso de 30kg y de 10cm de radio, se coloca sobre los dos anteriores como indica la figura. Determinar: a) La tensión de la cuerda AB b) Las fuerzas ejercidas sobre el piso en los puntos de contacto D y E
SOLUCIÓN:
25. Dos cuerpos A y B de 35 y 30 kg respectivamente, están sujetos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Si los cuerpos parten del reposo, determinar: a) La aceleración de cada bloque b) La tensión de la cuerda c) La distancia recorrida por el cuerpo A en 6s
SOLUCIÓN: Datos:
mA = 35k 5kgg
mB =30kg
V0 = 0
a) CUERPO A
CUERPO B
Fy = mA a
Fy = mBa
PA - T = mAa T = mA g-m Aa...........(1)
T- PB = mBa T = mBg+ mBa ... ...... ...... ...... ...... ......(2 ...(2))
Igua Iguala lando ndo (1) y (2) mAg- mAa = mBg+m Ba mA a+ m Ba = mAg- mBg a mA + m B = mA gg-- mBg m g-m Bg a= A mA + mB
35kg 99,8 ,8 m/ s2 - 30kg 99,8 ,8 m/ s 2 a= 35kg 30k 30kgg a = 0, 0, 75m 75m// s2
b) Reemplaza Reem plazando ndo el valor valor de de a en (1 (1)) T = 35kg9,8m 5kg9,8m// s2 - 35kg0,75m 5kg0,75m// s 2 T = 31 316,64[N 6,64[N]]
c) 1
r = V0 t + at 2 2
1
r = at 2 r =
2 1
m/ s 6 s 0, 7755 m/ 2 2
2
r =13,5 =13,5 m
26. Dos cuerpos A y B de 300g cada uno, están sujetos a los extremos de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Si sobre el cuerpo B se coloca otro de 100g. Determinar:
a) La aceleración de cada cuerpo
b) La tensión de la cuerda c) La velocidad del bloque B a los 5s de dejarlo en libertad
SOLUCIÓN:
27. Tres cuerpos A, B y C de 10,20 y 30kg respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura Si 0,3 y 0,15 , determinar: a) La aceleración del cuerpo B b) Las tensiones en las cuerdas A
SOLUCIÓN: Datos: mA =1 =10k 0kgg mB = 20kg mB = 20kg
B
A 0,3
0,15 B
28. Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si todas las superficies son lisas; determinar: a) La aceleración del cuerpo C b) En qué sentido se mueve cada uno de los cuerpos c) Las tensiones en las cuerdas
SOLUCIÓN:
=15k 5kgg . Si 0,1; 0, 2 y 29. En el sistema de la figura se tiene que mB = mC =1 A
B
C 0,3 , determinar:
a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con velocidad constante b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con velocidad constante c) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con una aceleración de 1,3m/s2
d) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con una aceleración de 1,3m/s2
SOLUCIÓN: Datos: mB = mC =1 =15k 5kgg A 0,1
B 0, 0,22 C 0,3
a) CUERPO A Fy = 0
Fx = 0
NA - mA gco gcoss A = 0 NA = mAgco gcoss A
T1 -m - mAgsen A A mA gcos A 0 T1 m Agsen A A mA gcos A ...................(1)
CUERPO B Fy = 0
N- mBg = 0 N-m N = mBg
Fx 0
T2 -T - T1- B mBg = 0. 0... .... .... .... .... .... .... .... .... ...(2 .(2))
CUERPO C Fy = 0
Fx = 0
NC - mCgco gcoss C = 0 NC = mCgco gcoss C
mCgsen - T2 - C mCg co cos C = 0 T2 = mCgs gsen en - C mCg cos cos C .... ...... .... .... .... .... .... .... ..(3 (3))
(3 (3)) y (1 (1)) en (2) (2) mCgsen - C mCg cos C - m Agsen A A mAgcos A - B m Bg = 0 mAgsen A A mAgcos A mCgsen - C mCg cos C - B m Bg mAg sen A A cos A g mCsen - C mC cos C - B m B mA
B g mCsen - C mC cos C - B m g sen A A cos A
mA
mCsen - C mC cos C - B m B sen A A cos A
b)
30. En el sistema de la figura los cuerpos A y B son de 18 y 6kg respectivamente. Si C 0,25 ; determinar:
a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloques c) Las tensiones en las cuerdas C y D
SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº14
1. Un cuerpo de 2kg atado al extremo de una cuerda de 1,5m de longitud, gira sobre un 2
plano horizontal liso con una aceleración angular de d e 10rad/s . Determinar: a) La aceleración tangencial del cuerpo
b) La fuerza tangencial a que esta sometido el cuerpo c) Que fuerza neta actúa sobre el cuerpo, cuando su rapidez es 3m/s SOLUCIÓN:
2. Un automóvil de 1200kg recorre una curva horizontal de 350m de radio con una rapidez de 36km/h. Si la curva no tiene peralte, determinar: a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el cuerpo b) La fuerza ejercida por las ruedas sobre la carretera, para mantener el movimiento sobre la curva SOLUCIÓN:
3. Un cuerpo de 500g atado al extremo de una cuerda de 1m de longitud, gira sobre un plano horizontal liso con una velocidad angular de 40 rad/s. Determinar: a) La aceleración centrípeta del cuerpo b) La tensión de la cuerda c) La máxima rapidez con la que puede girar, si la tensión de rotura es 1000[N] SOLUCIÓN:
4. Un avión lleva una rapidez de 648km/h en una curva horizontal. Si la fuerza centrípeta que actúa sobre el piloto de 65kg es de 1000[N], determinar: a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el piloto b) El radio de la curva en que se mueve el avión SOLUCIÓN:
5. Un cuerpo de 15kg parte del reposo y se mueve alrededor de una circunferencia horizontal de 40m de radio, por la acción de una fuerza tangencial de 1200[N] que actúa durante 8s. Determinar: a) La aceleración tangencial que actúa sobre el cuerpo b) La aceleración angular c) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo al término de los 8s. SOLUCIÓN:
6. Un cuerpo de 10kg atado a una cuerda de 1,6 m de longitud, gira con velocidad constante en círculos horizontales. Si el periodo es de 3s, determinar: a) La velocidad del cuerpo b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo SOLUCIÓN:
7. Un cuerpo de 8kg atado a una cuerda de 1,3 m de la longitud, gira por una trayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar: a) La aceleración centrípeta b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo SOLUCIÓN:
8. Un péndulo de 1,5 m de longitud, describe un arco de circunferencia sobre un plano vertical. Si la tensión de la cuerda es cuatro veces el peso del cuerpo, cuando están en la posición indicada en la figura, determinar: a) La aceleración tangencial del cuerpo b) La aceleración centrípeta
c) La rapidez del cuerpo
SOLUCIÓN:
9. Se lanza un proyectil de 5kg con una velocidad de 26 i 32 j m s . Determinar a los 2s de vuelo:
a) El valor de la fuerza tangencial que actúa sobre el proyectil. b) El valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el proyectil c) El valor de la fuerza neta que actúa sobre el proyectil SOLUCIÓN:
10. El cuerpo de un péndulo cónico es de 2kg y cuelga de una cuerda de 8m de longitud, describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, determinar: a) La tensión de la cuerda b) Cual es la rapidez del cuerpo SOLUCIÓN:
11. Un motociclista y su maquina, que pesan 1500[N], describen un rizo de 4m de radio. Si μ 0 , determinar:
a) La velocidad critica b) La fuerza que ejerce el rizo sobre el mo9vil en la parte superior
c) La fuerza que ejerce el rizo sobre el móvil en la parte inferior, si su rapidez en ese punto es de 14m/s. SOLUCIÓN:
12. Una carretera en una curva de 50m de radio, tiene un ángulo d peralte de 18º. Si μ 0,3 , determinar: a) El rango de velocidades con que podría entrar en la curva de un auto, para que no derrape b) El valor de la velocidad optima con la que el auto deberá tomar la curva SOLUCIÓN:
13. En un péndulo cónico, la longitud de la cuerda es 0,65m y el cuerpo de 0,8kg describe una trayectoria circular horizontal con una velocidad angular de 4rad/s. Determinar: a) La tensión de la cuerda b) El ángulo entre la cuerda y la vertical SOLUCIÓN:
14. Un cuerpo de 1kg describe una circunferencia vertical atado al extremo de una cuerda de 1,2m de longitud, con una rapidez constante de 5m/s. Determinar la tensión de la cuerda cuando: a) b) c) d)
El cuerpo se encuentra en el punto mas bajo de la trayectoria El cuerpo se encuentra en el punto mas alto de la trayectoria El cuerpo se encuentra al mismo nivel que el centro de la circunferencia Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal
SOLUCIÓN:
15. Un vehículo de 800kg describe una curva horizontal de 35m de radio. Si μ 0,2 , determinar: a) La máxima velocidad en km/h con que podrá tomar la curva sin derrapar, si no hubiese peralte b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 108m/h SOLUCIÓN:
16. Sobre un disco se coloca un cuerpo de 50g a una distancia de 15cm del centro. Si el sistema gira en el plano horizontal partiendo del reposo, con una aceleración angular de 2,5rad/s2 y si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el disco es 0,2, determinar: a) El tiempo que el cuerpo permanecerá sin deslizar, respecto del disco b) Que rapidez tendrá el cuerpo cuando comienza a deslizarse SOLUCIÓN:
17. Un cuerpo de 15kg se mueve con rapidez constante de 4m/s por la pista de la figura. Determinar la reacción que ejerce la pista sobre el cuerpo en los puntos A, B y C.
SOLUCIÓN:
18. Un cuerpo de 1,5kg cuelga de una cuerda de 1,8m de longitud. Cuando la cuerda
forma un ángulo de 40º con la vertical, el cuerpo tiene una velocidad de 6m/s. Determinar-.
a) b) c) d) e)
La aceleración tangencial La aceleración centrípeta El valor de la aceleración total La tensión en la cuerda El valor de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo SOLUCIÓN:
19. Un móvil de 4kg se desplaza con una rapidez constante de 5m/s por la pista de la figura. Determinar el valor de la fuerza centrípeta en los puntos A, B y C
SOLUCIÓN:
20. El sistema de la figura gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante. Conociendo que el coeficiente de rozamiento entre el pequeño bloque A y la pared cilíndrica es 0,2, determinar la mínima velocidad para la cual el bloque permanecerá en contacto con la pared
SOLUCIÓN:
EJERCICIO Nº 15
1. Calcular el torque de la fuerza F de la figura respecto del punto o por tres métodos diferentes.
SOLUCIÓN:
, F3 50 N, F4 40 N. Calcular el torque 2. En la figura: F1 35 N, F2 30 N resultante respecto a los puntos O y P
SOLUCIÓN:
3. La viga horizontal AB de la figura es uniforme y pesa 200[N]. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas que soportan la viga, cuando se cuelga un peso W=100[N] en la posición indicada en la figura.
SOLUCIÓN:
4. Una regla graduada de 1m, se equilibra con un apoyo en su centro. Si se coloca un cuerpo de masa 100g en la marca de 80 cm, ¿En que marca deberá colocarse otra masa de 60g para que la regla siga en equilibro? 5. En la figura representada, ¿Cuál debe ser el mayor de la distancia x en metros, para que el sistema permanezca en equilibrio? Se considera despreciable el peso de la barra.
SOLUCIÓN:
6. En la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargas que actúan sobre la viga, cuyo peso es despreciable.
SOLUCIÓN:
7. En la figura determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargas que actúan sobre la viga de peso despreciable.
SOLUCIÓN:
8. En la figura, la barra AB pesa 150[N] por metro de longitud y esta sostenida por el cable BC y un pasador en A. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.
SOLUCIÓN:
9. La viga homogénea de la figura, tiene un peso de 400[N]. Determinar
a) La fuerza que hace el pasador sobre la viga b) La tensión en el cable horizontal SOLUCIÓN:
10. Una viga uniforme de 15kg está articulada en A y sostenida en su otro extremo por un alambre, como se muestra en la figura. Si la tensión en el alambre es 500[N], determinar:
a) El valor de la masa M, que sostiene la viga b) Cual es la fuerza que hace el pasador A, sobre la viga SOLUCIÓN:
11. En la figura, la viga AB tiene un peso de 300[N] por metro de longitud. Determinar:
a) La tensión sobre el cable
b) La fuerza del pasador A sobre la viga SOLUCIÓN:
12. En la figura la barra AB de 200[N] de peso y 6m de longitud, esta pivoteada en el extremo izquierdo. Determinar:
a) La tensión en el cable de apoyo b) La fuerza del pasador A sobre la barra SOLUCIÓN:
13. En la figura, la viga AB tiene un peso de 800[N]. Determinar:
a) La tensión en el cable de apoyo b) La fuerza del pasador A sobre la viga
SOLUCIÓN:
14. La barra AB de 250[N], y 10m de longitud, se mantiene en la posición de la figura por la acción de dos cuerdas AD y BC. Si se coloca un peso de 700[N] a 2m del extremo superior, determinar las tensiones en las cuerdas.
SOLUCIÓN:
15. Una escalera de 15m de longitud tiene una masa de 20 kg. Descansa contra una pared vertical lisa, y su parte inferior se encuentra encu entra en el piso a 4m de la pared. ¿Cu ¿Cuál ál debe ser el coeficiente mínimo de fricción estática entre la escalera y el suelo, para que una persona de 80kg pueda subir con seguridad hasta el 70% de la escalera?
SOLUCIÓN:
16. En la figura, la grúa de 6000[N] está sostenida por medio de dos pasadores A y B, siendo liso el A. Si el centro de gravedad esta localizado en B, determinar las
reacciones en A y en B.
SOLUCIÓN:
17. En la figura, la barra AB tiene un peso de 400[N]. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.
SOLUCIÓN:
18. Una escalera de 5m longitud y 100[N] de peso, esta apoyada contra una pared vertical, como se indica en la figura: Cuando un hombre de 700[N] de peso alcanza un punto a 4m del extremo inferior A, la escalera está a punto de resbalar. Si el coeficiente de rozamiento entre la escalera y la pared es 0,3 calcular el coeficiente de rozamiento entre el piso y la escalera.
SOLUCIÓN:
19. En la figura, la viga AB de peso despreciable y 10m de longitud, está apoyada en una pared vertical A y en una esquina C perfectamente lisas. Determinar: a) El ángulo θ para que la viga este en equilibrio b) Las reacciones en los puntos de apoyo
SOLUCIÓN:
20. En el sistema de la figura, si m3 es mayor que m 2 , demuestre que: m1 m 2 m3 L1 4 m 2 . m3 . L 2 , para que la varilla AB de masa despreciable esté en equilibrio
SOLUCIÓN:
