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Teoría de circuitos y electrónica
VICTORIANO LÓPEZ RODRÍGUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
TEORÍA DE CIRCUITOS Y ELECTRÓNICA
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamos públicos. © Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid 2013
www.uned.es/publicaciones
© Victoriano López Rodríguez
Todas nuestras publicaciones han sido sometidas a un sistema de evaluación antes de ser editadas.
ISBN electrónico: 978-84-362-6531-6 Edición digital: febrero de 2013
17/9/12
.
A mis nietos Nacho, Álvaro, Raúl y Elena
9 PREFACIO En la asignatura de Teoría de circuitos y electrónica, que se imparte en segundo de CC Físicas, se introducen los conceptos básicos sobre circuitos eléctricos, semiconductores y dispositivos electrónicos. Las unidades didácticas constan de dos partes, en la primera se exponen los conceptos sobre circuitos y en la segunda los relativos a semiconductores y dispositivos electrónicos. En el primer capítulo se explican los conceptos relacionados con circuitos en los que intervienen fuentes de corriente continua. En el segundo se estudian los fenómenos transitorios que se producen al conectar un circuito a una fuente de tensión continua. En el tercero analizamos las corrientes sinusoidales (c. a.) y el comportamiento de circuitos con resistencia, capacidad y autoinducción, cuando se aplican tensiones sinusoidales. Se analizan los comportamientos en el dominio del tiempo y la frecuencia. En el cuarto capítulos se estudian las redes eléctricas en corriente alterna. Cada capítulo comienza describiendo los objetivos fundamentales que el estudiante debe lograr en su aprendizaje. Se proponen ejercicios resueltos dentro de cada capítulo y problemas al final de los distintos capítulos. En los apéndices se introducen una serie de fórmulas y tablas de datos, que permiten tenerlos a mano para su uso tanto en la parte teórica como en la solución de problemas. Al final del libro se introduce un glosario que resume los términos y conceptos más destacados que se estudian en la asignatura. He contado con la inestimable ayuda de mis compañeros M del Mar Montoya Lirola y Manuel Pancorbo Castro. Gracias a su revisión del manuscrito y las múltiples sugerencias y aportaciones se ha incrementado la claridad y precisión del libro. Espero que el libro responda a las necesidades de los alumnos de la UNED, y al mismo tiempo que pueda ser útil a todos los que tengan interés en estudiar los circuitos eléctricos. Las Rozas de Madrid Agosto de 2012 Victoriano López Rodríguez
11 ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
13
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
19
Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff. Asociación de resistencias. Análisis de redes. Métodos de análisis de circuitos. Teoremas de redes. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
97
Componentes. Circuito R - L serie. Circuito R - C serie. Circuito R - L - C serie. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
125
Función sinusoidal. Análisis de componentes pasivos. Análisis del circuito R - L serie. Análisis del circuito R - C serie. Análisis del circuito R - C serie. Análisis del circuito R - L - C serie. Asociación de impedancias. Potencia. Análisis con frecuencia variable. ANÁLISIS DE REDES
179
Métodos de análisis. Teoremas de redes. Cuadripolos. A RELACIONES MATEMÁTICAS
243
B TABLAS
249
Bibliografía
253
GLOSARIO
255
13 INTRODUCCIÓN En la asignatura de Teoría de circuitos y electrónica, ubicada en segundo curso de Ciencias Físicas, se profundiza y amplían los conocimientos sobre circuitos tratados en la asignatura de Física de primer curso de la misma carrera. Los conocimientos que debe adquirir en la asignatura son imprescindibles para entender los conceptos que se explican en Electrónica, así como en otras áreas Ingeniería eléctrica. Además sirve para una formación genérica que tiene por objeto comprender y analizar los problemas, así como la forma de abordarlos para conseguir la solución más adecuada con los elementos disponibles. 1.- OBJETIVOS GENERALES El objetivo general de la Teoría de circuitos es comprender y utilizar las leyes que rigen el comportamiento de los distintos componentes eléctricos cuando se disponen en un circuito o una red. Además de comprender y utilizar las distintas formas de obtener la tensión en un punto o la corriente en una rama del circuito, cuando en la red se disponen generadores de tensión y o corriente unidos a componentes lineales de parámetros localizados. En cada capítulo se expresan de forma más amplia los objetivos correspondientes. 2.- REQUISITOS PREVIOS Es preciso haber estudiado bien la asignatura de Física de primer curso. También es requisito previo, además de conocer la derivación e integración y demás conceptos estudiados en bachillerato y primer curso de Ciencias Físicas, que el alumno tenga claros los conceptos necesarios para el manejo de los números complejos Si no fuera así tendrá que hacer un esfuerzo extra en ponerse al día, puesto que esta herramienta es fundamental en el desarrollo de la asignatura. 3.- PROGRAMA DE TRABAJO En el índice general figuran los capítulos y apartados que se exponen a lo largo de la asignatura. La asignatura se desarrolla en capítulos, pero se debe tener siempre presente la conexión que existe entre los distintos temas. La introducción de los conceptos es progresiva, es decir, los conceptos de cada tema se apoyan en los introducidos en los anteriores.
14 3.1.- Primera parte Comienza con el estudio de la corriente eléctrica y las leyes que gobiernan su comportamiento en conductores, generadores o fuentes y circuitos. En el segundo capítulo se analizan los fenómenos transitorios en circuitos con resistencia y autoinducción en serie, circuitos − ; circuitos con resistencia y un condensador en serie, circuitos − , y con resistencia autoinducción y condensador en serie, circuitos − − , cuando se produce un cambio brusco de la tensión aplicada o una modificación repentina de uno de los componentes del circuito. Los objetivos del capítulo tercero son estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos cuando se aplica una tensión sinusoidal, analizando la respuesta en función de la frecuencia y los parámetros de los componentes que intervienen. En el capítulo cuarto se estudia el comportamiento de redes eléctricas cuando los generadores suministran una tensión sinusoidal, analizando la respuesta en función de los parámetros de los componentes que intervienen. La materia que se introduce en la Teoría de circuitos está pensada para que se pueda estudiar a lo largo de ocho semanas; es decir, puede estudiarse en seis semanas y el tiempo restante dedicarlo a repasar los conceptos más importantes. El estudio de los conceptos desarrollados en los distintos capítulos presupone que el alumno podrá resolver los problemas que se ponen al final de cada capítulo. 4.- ORIENTACIÓN PARA EL ESTUDIO En cada capítulo indicamos los objetivos más importantes de cada tema. En esta introducción sólo haremos unas consideraciones generales sobre el método de trabajo. Cada persona tiene una forma de estudio que se adapta mejor a su idiosincrasia. Aquí vamos a indicar un método que puede dar buenos resultados para comprender los conceptos que se tratan de explicar en cada tema, pero sin considerar que es el único. En primer lugar se recomienda una lectura detenida de los distintos apartados que componen cada capítulo del libro. Las demostraciones sirven para comprender como se sigue un razonamiento y se alcanzan unos objetivos. Después intentar resolver los ejercicios que se proponen sin mirar la solución. Si surgen dudas volver a estudiar el apartado que corresponde al ejercicio y si persisten mirar la solución sin mucho detenimiento para después
15 tratar de resolver el ejercicio de nuevo. Una vez que se han resuelto los ejercicios conviene seguir intentando resolver los problemas que se proponen al final del capítulo. Se procede de forma análoga al caso de los ejercicios. Al final de este proceso tiene que manejar los conceptos que se enumeran en los objetivos indicados.
Parte I
TEORÍA DE CIRCUITOS
17
Capítulo 1
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA ESQUEMA - RESUMEN Objetivos. Generales. Estudio de la corriente eléctrica y las leyes que gobiernan su comportamiento en conductores, generadores o fuentes y circuitos. Específicos. Concepto de corriente eléctrica: Tipos de corriente. Definición de intensidad y densidad de corriente. Comprender la ecuación de continuidad como expresión del principio de conservación de la carga. Concepto de corriente estacionaria: Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm: Resistencia eléctrica. Concepto de conductividad y movilidad eléctrica. Ley de Ohm en forma puntual. Ley de Joule: Potencia eléctrica disipada en una resistencia. 19
20
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Concepto de fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff y la conservación de energía. Relaciones entre tensiones y corrientes en ramas y lazos o bucles. Comprender la característica y aplicaciones de la asociación de resistencias en serie y paralelo. Comprender y saber aplicar el análisis de circuitos o redes eléctricas. Comprender y aplicar el principio de superposición Conceptos y definiciones de los componentes de circuitos y redes eléctricas. Comprender el análisis de circuitos por el método de mallas con fuentes independientes. Cálculo de intensidades en las ramas y tensiones en los nudos de la red. Comprender el análisis de circuitos por el método de mallas con fuentes dependientes. Cálculo de intensidades en las ramas y tensiones en los nudos de la red. Saber aplicar el análisis de circuitos por el método de nudos con fuentes independientes. Cálculo de tensiones en los nudos e intensidades en las ramas de la red. Saber aplicar el análisis de circuitos por el método de nudos con fuentes dependientes. Cálculo de tensiones en los nudos e intensidades en las ramas de la red. Concepto de resistencia de entrada en una red. Comprender y aplicar los teoremas de Thévenin y Norton: Fuente de tensión y corriente y resistencia equivalente. Saber manejar la relación entre los circuitos equivalentes Thévenin y Norton, y la posibilidad de sustituir, en determinadas circunstancias, una fuente de tensión por otro de corriente y viceversa. Comprender y aplicar el teorema de la máxima transferencia de potencia: Condiciones que debe cumplir la resistencia de carga.
21 Requisitos previos Conocimientos de álgebra y cálculo diferencial e integral, así como de análisis vectorial. En lo referente a física es necesario conocer o estudiar el campo electrostático y la inducción electromagnética.
22
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
En este capítulo nos proponemos estudiar los fenómenos más importantes que tienen lugar cuando las cargas se mueven de manera prácticamente uniforme, es decir, movimientos que, en conjunto, no sufren aceleraciones. Las condiciones cambian ahora ya que intervienen campos que no son conservativos al mismo tiempo que campos conservativos. Además, para que se produzca corriente dentro de un conductor debe existir un campo dentro de él, lo que modifica las condiciones de conductores con cargas estáticas donde E = 0 en el interior. Este campo se transmite a lo largo de todo el conductor a la velocidad de propagación de toda perturbación electromagnética, velocidad de la luz. Por esta razón cuando un generador se aplica a una línea que transporta energía eléctrica, casi instantáneamente se ponen en movimiento tanto los electrones que están dentro de la línea en puntos próximos al generador como los que se encuentran a kilómetros de distancia. Esto contrasta con el propio movimiento de los electrones, que en este caso es muy lento. Cuando dentro de un conductor hay movimiento de electrones y la corriente es constante, dicho conductor, desde el punto de vista electrostático, es neutro. Efectivamente, si consideramos, en un instante dado, un volumen cualquiera encontramos tantos electrones de la capa externa moviéndose como átomos ionizados forman la red del conductor. Esto determina que una corriente continua dentro de un conductor no crea un campo electrostático en el exterior pero si un campo magnético. En este capítulo comenzaremos introduciendo los conceptos de intensidad y densidad de corriente. Aplicaremos el principio de conservación de la carga para obtener la ecuación de continuidad. Estudiaremos la ley de Ohm que gobierna el comportamiento de la corriente de conducción en medios conductores lineales e introduciremos los conceptos de conductividad, resistividad y resistencia eléctrica. Analizaremos el concepto de fuerza electromotriz en circuitos eléctricos. Estudiaremos los efectos térmicos de la corriente eléctrica en conductores y la ley de Joule que los caracteriza. Introduciremos las leyes de Kirchhoff y el principio de superposición lineal, que permiten el análisis de las corrientes en los lazos y de las tensiones en los nudos de los circuitos, tanto con fuentes independientes como dependientes. Además analizaremos los teoremas de Thévenin, Norton y de máxima transferencia de potencia.
1.1. CORRIENTE ELÉCTRICA
1.1.
23
CORRIENTE ELÉCTRICA
Los medios que permiten el movimiento de partículas cargadas se llaman conductores. Los conductores más conocidos son los metales; en ellos, la mayoría de los electrones correspondientes a la última capa electrónica están débilmente ligados a los átomos y se mueven en una dirección bajo la influencia de un campo eléctrico. Otros medios conductores son: Los plasmas, donde existen electrones e iones que pueden moverse; los electrolitos, que son líquidos donde los iones de distinto signo pueden moverse; y, por último, podemos citar los semiconductores, caracterizados por que el transporte de carga se hace mediante electrones que pasan de la banda de valencia a la de conducción y por huecos (lugares libres que dejan los electrones en la banda de valencia) que se comportan como cargas positivas desplazándose en sentido contrario a los electrones. En ausencia de campo eléctrico las cargas, en los distintos tipos de conductores, se mueven de forma aleatoria, de manera que no se produce un desplazamiento neto de carga. Sólo se produce arrastre de cargas en una dirección cuando se aplica un campo eléctrico, y además las cargas positivas se mueven en la dirección y sentido del campo mientras que las negativas lo hacen en sentido contrario. Corriente eléctrica es el movimiento de partículas cargadas que produce un desplazamiento de cargas en una dirección. Los tipos más comunes de corriente, según la forma de producirse son: Corriente de conducción, caracterizada por el arrastre de cargas dentro de un medio eléctricamente neutro. Los ejemplos más conocidos son: El movimiento de los electrones en el seno de un metal, que desde este punto de vista puede representarse mediante una red de iones fijos (átomos que han perdido uno o más electrones de su capa externa) y una nube electrones libres que se desplazan cuando de aplica un campo eléctrico. El de los iones en un líquido formado por iones positivos y negativos, los positivos se mueven en una dirección y los negativos en la contraria, de manera que ambos producen una corriente en el mismo sentido. Los electrones y huecos en un semiconductor, que producen una corriente similar a la anterior en la que los huecos actúan como cargas positivas. En estos casos los medios conductores tienen el mismo número de cargas positivas que negativas y el movimiento se debe a que sobre las cargas actúa un campo eléctrico. En este capítulo vamos a estudiar los fenómenos derivados de la corriente de conducción en conductores, es decir la corriente gobernada por la ley de Ohm.
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CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Corriente de convección, se produce cuando hay un transporte de masa que arrastra en su movimiento partículas cargadas; ejemplos característicos son la corriente producida por el movimiento de un líquido que lleva en su interior iones o el haz de electrones en un tubo de rayos catódicos. En el caso de campos variables temporalmente, cuya frecuencia es elevada, se introducen la corriente de polarización y desplazamiento. En este capítulo no vamos a estudiar estas corrientes. Intensidad de corriente Se define como la carga neta que atraviesa una superficie por unidad de tiempo, y su valor viene dado por la expresión, (1.1) La unidad en el sistema internacional (SI) es el amperio [A], que es el culombio partido por segundo [C/s]. También se utiliza con frecuencia el miliamperio (mA = 10−3 A) y el microamperio (A = 10−6 A). Densidad de corriente Suponemos un modelo clásico de movimiento de electrones en el seno de un conductor metálico. Dado un conjunto de cargas en un conductor, cuando se aplica un campo eléctrico, éstas se mueven y sufren colisiones con los iones que constituyen la red del conductor. El resultado es que cada carga tendrá una velocidad v como muestra la figura 1.1. Se define la velocidad media por la ecuación, =
1 X v = v 1
(1.2)
Este valor medio implica que consideramos las componentes de v y calculamos el valor medio de cada una, con lo cual las componentes de v son los valores medios de las componentes de v . Considerando que el valor de cada carga es y el número de cargas por unidad de volumen es , el número de dichas cargas que atraviesan una superficie elemental s en el tiempo es la intensidad de corriente elemental . Si nos fijamos en la figura 1.1 la corriente que atraviesa s en el tiempo es el número de cargas que están dentro del paralelepípedo inclinado de base s, lado | v | y altura | v | cos , es decir, la carga que atraviesa es,
1.1. CORRIENTE ELÉCTRICA
25
= | v | cos = v · s
Figura 1.1 Suponemos que en este caso todas las partículas tienen la misma carga, = , y es el número de partículas por unidad de volumen. La corriente que atraviesa la superficie elemental será = , = v · s El producto escalar v · s pone de manifiesto que la componente de la velocidad en la dirección normal a la superficie es la que se considera al medir las cargas que atraviesan dicha superficie. En la expresión anterior podemos tener en cuenta que la densidad de carga está relacionada con las cargas por unidad de volumen mediante la siguiente ecuación: = En consecuencia, = v · s Si el sistema de cargas consta de grupos distintos de cargas , con densidades y velocidades medias v para cada grupo, la corriente anterior se expresará de la forma, =
X 1
( v ) · s
(1.3)
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CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Las cargas que atraviesan por unidad de tiempo, dependen del número de cargas en el volumen próximo a la superficie s y de la componente de su velocidad en la dirección normal a . Se define la densidad de corriente, que se representa por J, como la corriente por unidad de área que atraviesa la superficie cuya normal coincide con la dirección de J. Para obtener la densidad de corriente en un punto se considera la corriente en un volumen muy pequeño alrededor del punto. Se define J en el punto mediante un límite, es decir, ∆ (1.4) ∆ En la definición suponemos que J es perpendicular a la superficie elemental ∆. Dada esta definición el término entre paréntesis de la expresión (1.3) nos sirve para encontrar la forma matemática de la densidad de corriente J en un punto, J = l´ım
∆→0
J=
X
v
(1.5)
1
La densidad de corriente definida es un vector que en cada punto del conductor toma el valor indicado por la Ec. (1.5), es decir, J es un vector función del punto considerado. En el SI de unidades la densidad de corriente es el Amperio/m2 (A/m2 ). Las definiciones que hemos enunciado ponen de manifiesto que la intensidad de corriente describe el flujo de cargas a través de una superficie finita, y la densidad de corriente J es un vector que caracteriza el flujo de cargas en un punto. Teniendo en cuenta esta definición, la relación entre intensidad y densidad de corriente para una superficie elemental será, = J · s
(1.6)
La relación entre intensidad y densidad de corriente, cuando consideramos la carga que atraviesa una superficie genérica , se deduce de la Ec. (1.6) mediante la integración de J sobre dicha superficie , es decir, Z = J · s (1.7)
1.2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
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La corriente puede o no depender del tiempo, se dice que una corriente es continua (constante) cuando no depende del tiempo. La corriente es un escalar, pero en los conductores se toma como sentido positivo de la corriente el del vector J. En dicho conductor coincide con el contrario al movimiento real de los electrones, ya que como veremos a continuación J tiene la dirección y sentido del campo E y los electrones sufren una fuerza − E. Las líneas de corriente J, por analogía con las líneas de campo, se definen como líneas tangentes en cada punto al vector J. Se define un tubo de corriente como un conjunto de líneas que forman una superficie de contorno cerrado por cuyas secciones transversales, inicial y final, pasa la misma corriente . Se suele utilizar el símbolo para corriente continua e o () en el caso de corrientes variables con el tiempo.
1.2.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En ninguno de los experimentos realizados hasta nuestros días se ha creado o aniquilado carga, por tanto el principio de conservación de la carga establece que ésta no se crea ni destruye. Como consecuencia de este principio podemos obtener una relación entre el flujo de carga a través de una superficie cerrada que limita un volumen y la variación de la carga en su interior. Dicho volumen puede considerarse dentro de un conductor o incluir la unión de conductores como en el caso de un nudo donde confluyen varios conductores. Aplicando dicho principio de conservación se deduce que el flujo de corriente será igual a la disminución de carga en el interior, en forma matemática dicho principio se expresa de la forma siguiente, I
J · s = −
(1.8)
Donde el primer miembro representa el flujo de corriente a través de la superficie (integral sobre una superficie cerrada) que limita el volumen considerado y el segundo la variación de carga en su interior. El signo negativo indica que la carga decrece cuando el flujo es hacia el exterior, es decir, a flujo positivo corresponde disminución de carga. Si en el interior del volumen la densidad de carga es ,
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CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
=
Z
Por tanto se deduce que, I
Z J · s = − (1.9) La ecuación anterior se conoce como ecuación de continuidad en forma integral. Esta ecuación es la expresión matemática del principio de conservación de la carga. En forma verbal podemos decir que el flujo de corriente que sale a través de la superficie cerrada es igual a la disminución de la carga en su interior, es decir, a menos la variación de carga en el interior. La Ec. (1.9) se refiere a corrientes variables o corrientes que dependen del tiempo. Para corriente continua, corriente constante en cada punto, en el interior del volumen considerado no hay variación de carga, = 0. La ecuación de continuidad se reduce a la siguiente, I
J · s = 0
(1.10)
Esta ecuación significa que el flujo neto de corriente a través de una superficie cerrada es nulo, o de otra forma, la corriente que entra en el volumen limitado por es igual a la que sale.
1.2.1.
Primera ley de Kirchhoff
Si aplicamos la Ec.(1.10) a una superficie que rodea un nudo en el que convergen varios conductores por los que entra o sale corriente y donde no hay manantiales ni sumideros de carga, deducimos la que se conoce como primera ley de Kirchhoff cuyo enunciado el siguiente: En un nudo la suma algebraica de las corrientes que entran y salen es nula. En forma matemática dicha ley es, X
= 0
(1.11)
1
La primera ley de Kirchhoff es una forma de expresar el principio de conservación de la carga. Se consideran positivas las corrientes que salen del nudo y negativas las que llegan.
1.3. LEY DE OHM
1.3. 1.3.1.
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LEY DE OHM Voltaje eléctrico o tensión
En electrostática se define la diferencia de potencial entre dos puntos y como el trabajo necesario que hay que realizar en contra del campo eléctrico para trasladar una carga positiva unidad desde el punto al Z E · l (1.12) − = −
En teoría de circuitos se utiliza el concepto de tensión eléctrica o tensión existente entre dos puntos que viene definida por la diferencia − y que denotaremos por . Cuando en un circuito interviene la inducción electromagnética la diferencia de potencial electrostática no coincide con la diferencia de tensión o voltaje eléctrico, pues hay que tener en cuenta el campo eléctrico variable, que no es conservativo. En los circuitos eléctricos manejamos el voltaje o tensión que engloba las dos contribuciones.
1.3.2.
Ley de Ohm
G.S. Ohm en 1826 determinaba experimentalmente la proporcionalidad entre el voltaje aplicado a un conductor cilíndrico y la corriente que circulaba por él, a la constante de proporcionalidad le llamó resistencia eléctrica . La ecuación que expresa dicha ley es: =
(1.13)
En su honor, la unidad de resistencia en el SI se llama Ohmio [Ω]. Un ohmio [Ω] = voltio/amperio [V/A] La ley establecida por Ohm caracteriza a los conductores cuya resistencia no depende del voltaje aplicado, es decir, es válida para conductores lineales.
1.3.3.
Forma puntual de la ley de Ohm
La conducción en un metal, en presencia de un campo eléctrico, se produce cuando los electrones libres se mueven bajo la influencia de dicho campo. El proceso, de forma cualitativa, consiste en que sobre cada electrón el campo ejerce una fuerza que lo acelera en el intervalo entre los choques del electrón con los átomos que forman la red metálica. Cuando el electrón choca, cambia su velocidad y transmite energía a la red, que se manifiesta en
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CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
forma de vibración detectada por el aumento de temperatura del metal. Los electrones se mueven en distintas direcciones pero mantienen una componente en la dirección del campo que da lugar a un arrastre de los electrones en dicha dirección, y por tanto a una corriente neta. Si en la Ec.(1.5) suponemos que todas las partículas cargadas son iguales, podemos expresar dicha ecuación de la forma, J = v = v
(1.14)
En este modelo, cuando se estudia la conducción desde un punto de vista microscópico, la velocidad media v es proporcional al campo E que actúa sobre las partículas cargadas, es decir, v = E
(1.15)
El factor se conoce como movilidad de la partícula considerada. Si se trata de electrones se llama movilidad electrónica y se suele representar por . Sustituyendo (1.15) en (1.14) obtenemos, J = E = E La constante de proporcionalidad entre J y E es un parámetro característico del medio que se conoce como conductividad eléctrica () del medio y caracteriza, desde un punto de vista macroscópico, la respuesta del medio a un campo eléctrico. =
(1.16)
Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación constitutiva que relaciona J con E es, J=E
(1.17)
Esta ecuación se conoce como forma puntual de la ley de Ohm, ya que expresa en cada punto la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente a través de la conductividad. Es una ecuación constitutiva por que relaciona los vectores de campo J y E mediante un parámetro característico del medio material denominado conductividad. Si la conductividad no depende del campo aplicado, el medio se considera lineal, en caso contrario sería no lineal. Y por último, cuando la conductivi-
1.3. LEY DE OHM
31
dad no depende de la dirección de E se dice que el medio es isótropo, en caso contrario es anisótropo. Cuando no depende del punto elegido el conductor es homogéneo, en caso contrario se trata de conductor no homogéneo. Mientras no se indiquen de forma expresa las características del conductor, consideramos que son lineales homogéneos e isótropos. La unidad de conductividad en el SI es el (Ω ·m)−1 o Siemen/m (S/m). La resistividad es la inversa de la conductividad y se expresa en Ω·m. En la tabla de resistividades que figura en el apéndice se muestran las correspondientes a distintos materiales. Dicha tabla pone de manifiesto que la resistividad es uno de los parámetros con variación más amplia que caracteriza a los materiales, ya que varía desde los 2 44 · 10−8 (Ω·m) del oro hasta 7 5 · 1017 (Ω·m) del cuarzo fundido.
1.3.4.
Resistencia de un conductor
Cilindro conductor En un cilindro conductor, de sección y longitud , podemos calcular la resistencia en función de la conductividad o resistividad. Para ello aplicaremos la ley de Ohm. Obtenemos en primer lugar la diferencia de tensión entre los extremos suponiendo que el campo eléctrico dentro del cilindro tiene la dirección de su eje. La relación entre campo y diferencia de tensión es de la forma siguiente: =
Z
0
E · l =
Después calculamos la corriente mediante la Ec. (5.7) y aplicando la relación entre campo y corriente dada por la Ec. (5.16), =
Z
J · s =
Z
E · s =
Utilizando la ley de Ohm ( = ) obtenemos la resistencia del tubo de longitud y sección uniforme , 1 = = (1.18) Esta expresión nos permite calcular la resistencia del cilindro, que es proporcional a la resistividad y longitud, e inversamente proporcional a su =
32
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
sección transversal.
1.4.
LEY DE JOULE
Las cargas al moverse por un conductor sufren colisiones con otras cargas y con los átomos del material. En los choques transmiten energía al material, que se convierte en vibraciones, es decir, aumenta su temperatura; en otras palabras, el paso de corriente convierte energía eléctrica en térmica. En un elemento de circuito entre cuyos extremos existe una diferencia de tensión , el trabajo realizado para trasladar una carga desde un extremo a otro es, = El trabajo realizado en el tiempo es la potencia, = = vatios [W] (1.19) Si el circuito elemental tiene una resistencia = , la potencia que se disipa en el transporte de la corriente entre los dos extremos del circuito es, =
= 2 (1.20) La ecuación anterior se conoce como ley de Joule y expresa que la potencia eléctrica que se transforma en térmica es igual a la resistencia por el cuadrado de la intensidad de corriente que la atraviesa. Esta ley muestra que para mantener la corriente en un conductor debe existir un manantial de energía que mantenga el campo dentro del conductor. Esta fuente de energía, como veremos en el apartado de fuerza electromotriz, genera un campo no conservativo en el circuito.
1.5.
FUERZA ELECTROMOTRIZ
En apartados anteriores hemos visto que la circulación de una corriente por un material conductor lleva asociado un choque de los electrones o iones con los átomos de la red, y de estos choques se deduce que hay una trasferencia de energía al material que se manifiesta en forma térmica. La relación entre la corriente y la potencia disipada en el medio viene dada por la ley
1.5. FUERZA ELECTROMOTRIZ
33
de Joule. Esto pone de manifiesto que para mantener una corriente es necesaria una fuente de energía que suministre la que se disipa en calor además de otros tipos de transformaciones energéticas que puedan tener lugar en determinados dispositivos, como, por ejemplo, la transformación de energía eléctrica en mecánica en un motor eléctrico. Para mantener una corriente durante un tiempo indefinido es necesario que un campo no conservativo esté presente de forma que suministre continuamente energía y mantenga una fuerza sobre las cargas libres del conductor. Los dispositivos que suministran ese tipo de campos no conservativos se conocen como generadores de fuerza electromotriz (f.e.m.)o generador de tensión (fuente). Los más habituales son las pilas y baterías que generan el campo no conservativo mediante un proceso electroquímico. Otro generador frecuente en nuestros días son las células solares en las que el campo no conservativo tiene su origen en el efecto fotovoltaico. En estos generadores el campo no conservativo se localiza en una zona limitada del circuito (por ejemplo, dentro de la pila o batería). Las baterías utilizadas en los automóviles se forman asociando en serie seis células electrolíticas, cerrando todo el conjunto en una caja de plástico u otro material aislante. Exteriormente sólo vemos la caja con dos bornes o terminales. En las baterías, a diferencia de las pilas, el proceso es reversible; es decir, unas veces funciona como fuente y se descargan. Para cargarlas se aplica una fuente externa y por tanto absorben energía, es decir, se comportan como receptor de energía. Los generadores electromagnéticos utilizan la inducción electromagnética para crear el campo no conservativo. Transforman la energía mecánica en eléctrica acoplando una turbina a un alternador en las centrales eléctricas; así como en los alternadores y dinamos de los coches, que utilizando la energía del motor de explosión generan la corriente que carga la batería, etc. Los motores eléctricos transforman la energía electromagnética en mecánica; es decir, en un circuito funcionan como receptores de energía eléctrica.
1.5.1.
Definición de fuerza electromotriz
Para estudiar lo que ocurre en un circuito y definir la fuerza electromotriz vamos a considerar un circuito en el que intervienen campos debidos a cargas estáticas, campos conservativos, y otros campos no conservativos derivados de efectos electroquímicos, inducción electromagnética u otros tipos de generadores.
34
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
El funcionamiento del sistema formado por un conductor conectado a un generador de f.e.m. lo podemos describir de la manera siguiente: El generador crea dentro de él un campo no conservativo que traslada las cargas desde un polo a otro, de manera que la acumulación de cargas en los terminales crean un campo conservativo fuera del generador y dentro del conductor que ejerce una fuerza sobre las cargas y las impulsa desde el polo positivo al negativo (del negativo al positivo si son electrones). Estas cargas en movimiento constituyen una corriente cuya densidad es la misma a lo largo del conductor. En el interior del generador intervienen tanto el campo no conservativo E0 como E, de forma que la fuerza sobre las cargas dentro del generador se debe a los dos campos. En circuito abierto E = −E0 , por tanto no se ejerce fuerza sobre las cargas y no hay corriente. La fuerza del campo E sobre las cargas en el conductor se produce inmediatamente después de aplicar el generador al conductor. La perturbación eléctrica se trasmite a la velocidad de la luz, por tanto cuando se conecta el generador de una central eléctrica a la red de distribución, casi instantáneamente se observa el campo eléctrico y se mueven los electrones en puntos muy alejados del generador. La velocidad de arrastre de los electrones es muchísimo menor, del orden 2 cm/s. Dado que tanto dentro como fuera del generador se producen movimientos de cargas en presencia de otros elementos con los que chocan e intercambian energía, en las dos zonas se transfiere energía cuyo origen procede únicamente del fenómeno físico o fisicoquímico que interviene en la generación del campo no conservativo. En la figura 1.2 representamos un generador unido a un conductor externo. La ley de Ohm en este caso se aplica sin más que tener en cuenta que ahora existen dos tipos de campo, uno conservativo representado por E y otro no conservativo por E0 . Por tanto, J = (E + E0 )
(1.21)
El campo no conservativo puede ser nulo en algunas partes del circuito, en general dicho campo es distinto de cero en el generador y nulo fuera, salvo cuando se trata de una f.e.m. inducida sobre todo el circuito. Si integramos la Ec. (1.21) a lo largo de un camino cerrado, por ejemplo el circuito de la figura 1.2, obtenemos,
1.5. FUERZA ELECTROMOTRIZ
35
I
I I J·l E · l + E0 · l (1.22) = Como E es conservativo, la integral sobre un camino cerrado es nula. La integral de E0 depende del camino, no es nula y su valor se conoce como fuerza electromotriz () E. En el SI la unidad es el voltio [V]. E=
I
E0 · l
(1.23)
Figura 1.2 E0
Los campos E y tienen sentido contrario en el interior del generador, ya que el campo E tiene su origen en las cargas acumuladas en los electrodos y E0 debe arrastrar las cargas desde el electrodo negativo hacia el positivo para que circule la corriente. Cuando el circuito está cerrado circula una corriente J, siendo E0 mayor que E dentro del generador. En los circuitos de corriente continua la f. e. m. se suele representar también por V , V, E . En los circuitos de corriente alterna se suele representar por su valor instantáneo () o un número complejo V o E . El módulo del número complejo es el valor eficaz de la tensión en bornes del generador, y su fase es la que tiene con respecto a un generador de referencia. Circuito abierto En el caso de un circuito abierto J = 0, y además como E0 = −E, E=
Z
0
E · l = −
Z
E · l = −
Z
E · l =
(1.24)
La integración sobre se refiere al interior del generador y la al exterior. Es decir, en el caso de circuito abierto la f.e.m. E es igual a la diferencia de potencial entre los bornes del generador, − . La f.e.m. tiene su origen en el campo no conservativo, campo cuya integral depende
36
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
del camino elegido. La diferencia de potencial (d.d.p.) deriva del campo conservativo cuya integral no depende del camino. = − = −
Z
E · l = −
Z
E · l
(1.25)
Los campos E y E0 en este caso tienen el mismo módulo y sentido contrario dentro del generador. Fuera, E0 es nulo y E es el campo estático debido a las cargas acumuladas en los bornes del generador. Circuito cerrado Ahora analizaremos lo que ocurre en el circuito indicado en la figura 1.2 cuando a los bornes del generador se conecta un conductor que cierra el circuito. Nada más unirlo se produce una corriente que circula por el conductor externo y atraviesa el generador; esta corriente se mantiene por que se ponen en marcha los mecanismos que originan el campo no conservativo, reacciones químicas en la batería etc. Al mismo tiempo y para que se produzca la corriente dentro del generador los campos E y E0 deben ser diferentes, y dado que E0 tiene su origen en factores que dependen de la naturaleza del fenómeno que provoca la transformación de otro tipo de energía, se mantiene fijo y el campo afectado por el inicio de la corriente es E que disminuye. Esta disminución es proporcional a la corriente que suministra el generador y su efecto se caracteriza por una resistencia que se conoce como resistencia interna del generador. Con esta consideración, y utilizando la ley de Ohm, la caída de tensión asociada al paso de corriente se puede expresar de la forma siguiente, ∆ = La diferencia de tensión en los bornes del generador será, − = E −
(1.26)
Las baterías de los automóviles son elementos reversibles, es decir, las reacciones se invierten al aplicar otro generador que le suministra energía; a este proceso se le conoce como carga de la batería. Si tomamos como ejemplo la batería en proceso de carga, la tensión que debemos aplicar a sus electrodos debe ser tal que cree un campo E en el interior que supere a E0 , de manera que las cargas se puedan mover en la dirección de E y no de E0 como ocurre cuando funciona como generador. Es decir, la tensión debe superar la f.e.m., y para que se produzca corriente
1.5. FUERZA ELECTROMOTRIZ
37
debe ser igual a la f.e.m. más la caída de tensión en el interior de la batería, en forma matemática, − = E +
(1.27)
Las ecuaciones (1.26) y (1.27) nos permiten establecer las relaciones del circuito equivalente, bien cuando el dispositivo actúa como generador o bien como motor o receptor de energía. En la terminología de circuitos un generador o fuente de tensión o voltaje, es un dispositivo de dos bornes o terminales entre los que existe una tensión sin que circule corriente, es decir, la fuente es un elemento activo que mantiene una tensión en sus bornes. La fuente de potencial es ideal cuando la tensión en sus bornes es independiente de la corriente que suministra. Un generador de voltaje se aproxima a un generador ideal cuando su resistencia interna tiende a cero. Si analizamos el paso de corriente en términos de potencia vemos que el generador suministra la potencia que resulta de multiplicar la corriente por la f.e.m. E, = E
Una parte de esta potencia se transforma en térmica dentro del propio generador. Mediante la ley de Joule podemos expresarla por 2 . La otra parte se invierte en trasladar las cargas desde el electrodo de menor potencial, negativo, al de mayor potencial, positivo, en contra del campo E debido a las cargas acumuladas en los electrodos. Esta energía que acumulan las cargas al pasar de menor a mayor potencial se trasfiere al circuito externo, donde se disipa en los elementos resistivos transformándose en térmica, o parte se transforma en térmica y el resto se trasfiere a otros dispositivos en forma de energía mecánica, química, electromagnética etc. Como hemos visto antes, el movimiento de las cargas fuera del generador se debe al campo conservativo E originado por las cargas acumuladas en los bornes del generador. En los generadores de tensión alterna las cargas oscilan en una posición del circuito pero no son realmente transportadas de un polo a otro del generador como en el caso de una batería. Los párrafos anteriores ponen de manifiesto que la conducción es un fenómeno complejo en el que intervienen campos conservativos y no conservativos, campos que tienen su origen en fenómenos de naturaleza mecánica, química, electromagnética etc. Además la propagación de los efectos en todo
38
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
el circuito y la puesta en funcionamiento de los mecanismos de transformación de energía es prácticamente instantánea.
1.6.
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
En este apartado vamos estudiar los circuitos sencillos cuyos componentes se caracterizan por determinados parámetros que ponen de manifiesto la naturaleza de cada componente y el valor que se le asigna indica su resistencia o la f.e.m. que se genera entre sus bornes. Si el conductor externo del circuito indicado en la figura 1.2 lo caracterizamos por una resistencia , y al generador por una f. e. m. E más una resistencia interna , podemos representar dicho circuito de forma esquemática como muestra la figura 1.3.
Figura 1.3 En la ecuación (1.22) el segundo miembro representa la f.e.m. total en el circuito, que puede ser suma de varios generadores. El primer miembro lo podemos desarrollar suponiendo que hay distintos tramos, uno en el interior del generador y otro en el exterior. Dicho primer miembro representa las caídas de tensión en la resistencia interna del generador (fuente) y en la externa . Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, y que la corriente que atraviesa todos los componentes es , la Ec.(1.22) queda ahora de la forma siguiente, E = ( + )
(1.28)
El primer miembro de la ecuación anterior es la f.e.m o subida de tensión que produce el generador en sus bornes. El segundo es la caída de tensión en los dos elementos pasivos del circuito, parte en el interior del generador y parte en el exterior. En términos de energía, el generador suministra una
1.6. SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
39
energía que se disipa en las resistencias. Cuando existen generadores y resistencias dispuestos en serie, la expresión anterior se convierte en, X 1
X
E =
(1.29)
1
La ecuación anterior es la forma matemática de expresar la segunda ley de Kirchhoff, que verbalmente es la siguiente: La suma algebraica de las fuerzas electromotrices en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de tensión, en cada elemento del circuito. Si en lugar de ser un circuito serie, fuera un circuito con distintas ramas y lazos, de manera que las corrientes no fueran las mismas en distintas resistencias, en un lazo se verificará que, X 1
E =
X
(1.30)
1
Esta expresión indica que en el camino cerrado que representa el lazo, la suma de fuerzas electromotrices que existen en el lazo es igual la suma de caídas de tensión en las resistencias que lo componen. Si multiplicamos ambos miembros de la Ec. (1.29) por tendremos que,
·
X 1
E =
X
2
(1.31)
1
El primer miembro de la ecuación anterior representa la potencia suministrada por los distintos generadores. El segundo, teniendo en cuenta la ley de Joule, es la potencia disipada en las distintas resistencias. De esta forma vemos que la segunda ley de Kirchhoff corresponde al principio de conservación de la energía, ya que la energía suministrada por unidad de tiempo por los generadores es igual a la disipada en el mismo tiempo en las resistencias del circuito.
40
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
1.7.
ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
1.7.1.
Resistencias en serie
Decimos que un conjunto de resistencias están en serie cuando se disponen como muestra la figura 1.4; entonces, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, =
X
1
Figura 1.4 Dado que por todas las resistencias pasa la misma corriente, podemos sacar factor común , y por tanto la diferencia de tensión ente los bornes AB se expresa de la forma, =
à X
!
1
La resistencia total equivalente verificará que, = Igualando las dos ecuaciones y dividiendo por obtenemos la resistencia total , = 1 + 2 + 3 + · · · +
(1.32)
Esta igualdad pone de manifiesto que si las resistencias se disponen en serie, podemos sustituir el conjunto de resistencias por una resistencia equivalente , que es igual a la suma de las resistencias parciales dispuestas en serie
1.8. ANÁLISIS DE REDES
1.7.2.
41
Resistencias en paralelo
Si las resistencias se disponen en paralelo como muestra la figura 1.4, aplicando la primera ley de Kirchhoff a un nudo se obtiene, = 1 + 2 + 3 + · · · +
Es decir, la corriente será igual a la suma de las corrientes . Como = , + + ···+ 1 2 3 En este caso podemos sacar factor común el potencial , por tanto, =
µ
1 1 1 1 = + + ···+ 1 2 3 La resistencia total equivalente verificará que.
¶
Comparando esta ecuación con la anterior encontramos la relación entre la resistencia equivalente y las resistencias dispuestas en paralelo, =
1 1 1 1 1 + + ···+ (1.33) = 1 2 3 La inversa de la resistencia equivalente es igual a la suma de las inversas de las resistencias dispuestas en paralelo.
1.8.
ANÁLISIS DE REDES
Hasta aquí hemos estudiado las resistencias y generadores como elementos de un circuito sencillo, ahora vamos a analizar el comportamiento de un sistema formado por la combinación de distintas resistencias y generadores dispuestos en forma de redes. Para estudiar el comportamiento de circuitos formados por la asociación de distintos componentes comenzaremos introduciendo las definiciones y principales conceptos que se utilizan en el análisis de redes eléctricas; después estudiaremos los métodos de análisis de redes y concluiremos estable-
42
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
ciendo algunos teoremas que permiten comprender mejor la transmisión de energía desde un dispositivo formado por una red a una carga externa.
1.8.1.
Principales conceptos y definiciones en circuitos.
En el apartado 1.6 ya hemos introducido algunos conceptos sobre circuitos. En este vamos enunciar de forma sistemática tanto los que hemos tratado antes como otros que necesitamos en el análisis de redes. Elemento de circuito: Es un componente indivisible con dos bornes o terminales, ejemplos son una resistencia, un generador o una fuente, (pila, batería, etc). También son elementos activos de dos terminales los diodos. Los transistores y los circuitos integrados son elementos activos de tres o más terminales. Parámetro: Es la representación simbólica de los elementos de circuito. Una resistencia se representa por ; una autoinducción por , un condensador por . En corriente continua una pila o batería se representa por o E y una fuente de corriente por o . En corriente alterna las fuentes de tensión se representan por el número complejo V o V , y las de corriente por I o I ; el módulo de estos valores es el valor eficaz de la tensión o corriente. Fuente lineal Es una fuente en donde la relación entre la tensión y corriente entre sus terminales es una ecuación lineal. Potencial , también conocido como tensión o voltaje, es la forma abreviada de diferencia de potencial entre dos puntos y en el análisis de circuitos es sinónimo de voltaje. Se suele representar la tensión por en el caso de corrientes continuas y por en las variables. Fuente de tensión: Un generador o fuente de tensión o voltaje, es un dispositivo de dos bornes o terminales entre los que existe una tensión, sin que circule corriente, es decir, la fuente de tensión es un elemento activo que mantiene una tensión en sus bornes. La fuente de tensión es ideal cuando la tensión en sus bornes es independiente de la corriente que suministra. En la figura 1.5a se muestra el símbolo de una fuente de tensión ideal en el que se indica la tensión () de la fuente y la polaridad de la misma. La tensión suministrada por un generador puede depender del tiempo o no; cuando depende del tiempo se representa por () y cuando no depende del tiempo se representa con mayúscula, . Este es el caso de un generador de
1.8. ANÁLISIS DE REDES
43
corriente continua (c. c.) como una pila o una batería; entonces también se usa el símbolo de la figura 1.5b. Su ecuación característica es: =
(1.34)
Figura 1.5 La característica − de una fuente de tensión ideal es la indicada en la figura 1.5c, y es simplemente una línea horizontal cuya ordenada en el origen representa el valor de la tensión en bornes, ya que de acuerdo con la definición, el valor de no depende de la intensidad de corriente En general, una fuente de tensión real se caracteriza porque la tensión entre sus bornes depende del circuito exterior, es decir, de la corriente que suministre. Este efecto se puede caracterizar por una resistencia que se conoce como resistencia interna del generador. Con esta consideración, y utilizando la ley de Ohm, la caída de tensión asociada al paso de corriente se puede expresar de la forma siguiente, ∆() = () La tensión en los bornes del generador, o ecuación característica será entonces, = −
(1.35)
En la figura 1.6a se puede ver que la fuente de tensión real se representa mediante una fuente de tensión ideal más una resistencia en serie. El valor de la tensión de la fuente ideal, es el correspondiente al punto en el que la característica − (figura 1.6b) corta al eje de ordenadas. Una fuente de tensión real se aproxima al generador ideal cuando su resistencia interna tiende a cero.
44
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura 1.6 En el caso de corrientes sinusoidales el módulo y la fase de la tensión en los bornes para una fuente ideal es independiente de la corriente que suministra. La ecuación que representa el comportamiento de una fuente de tensión real, es similar a la Ec.(1.35), simplemente se sustituye la tensión y corriente variable por la compleja y la resistencia interna del generador por la impedancia compleja correspondiente, cuya forma estudiaremos en el capítulo tres. V = V − Z I
(1.36)
Fuente de intensidad: La fuente de intensidad o de corriente ideal es un dispositivo de dos bornes o terminales que proporciona una determinada corriente () independientemente de la tensión en bornes (es decir, del circuito exterior conectado a la misma). En la figura 1.7a se muestra el símbolo de una fuente de corriente ideal en el que se indica la tensión () de la fuente y la polaridad de la misma. La corriente suministrada por una fuente de intensidad puede depender del tiempo o no; cuando depende del tiempo se representa con minúscula, () y cuando no depende del tiempo se representa con mayúscula, . Su ecuación característica es = (1.37) La característica − de una fuente de corriente ideal es la indicada en la figura 1.7b, y es simplemente una línea vertical cuya abscisa representa el valor de la corriente () (o para fuente de cc), ya que de acuerdo con la definición, el valor de no depende de la tensión en bornes En general, una fuente de corriente real se caracteriza porque la corriente suministrada depende del circuito exterior, es decir, de la tensión en bornes.
1.8. ANÁLISIS DE REDES
45
Este efecto se puede caracterizar, como se muestra en la figura 1.8a por una resistencia en paralelo con la fuente ideal de corriente, que representa la resistencia interna de la fuente y que es la responsable de que la corriente en bornes no sea constante.
Figura 1.7 Figura 1.8 La ecuación característica de la fuente real, se obtiene aplicando la primera ley de Kirchhoff al circuito de la figura 1.8a: = ( − )
(1.38)
= −
(1.39)
I = I − Y V
(1.40)
Despejando , y teniendo en cuenta que 1 = (conductancia interna),
y cuya característica − se muestra en la figura 1.8b donde se observa que el valor de la fuente ideal, es el correspondiente al punto en el que la recta corta al eje de abscisas. En el caso de corrientes sinusoidales el módulo y la fase de la tensión en los bornes para una fuente ideal es independiente de la corriente que suministra. La ecuación que representa el comportamiento de una fuente de tensión real, es similar a la Ec.(1.39), simplemente se sustituye la tensión y corriente variable por la compleja y la conductancia interna del generador por la admitancia compleja correspondiente.
Fuentes dependientes o controladas: En párrafos anteriores hemos analizado las fuentes de corriente y tensión independientes, es decir, no controladas por valores de tensión o corriente en otros puntos del circuito. En los circuitos con elementos activos compuestos por transistores, como veremos en el capítulo de transistores, dichos componentes se representan por
46
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
fuentes cuyo valor depende de las características del transistor y condiciones de funcionamiento. A este tipo de fuente se la denomina fuente dependiente y se representa por un rombo o diamante. La figura 1.9 muestra la representación correspondiente a distintos tipos de fuentes, tanto de tensión como de corriente.
Figura 1.9 Nudo: Es un punto de unión entre tres o más elementos de circuito. Llamaremos nudo secundario al punto de unión de dos elementos de un circuito. En la figura 1.10a los puntos A y B son nudos, mientras que en la figura 1.10b los puntos A y B son nudos secundarios.
Figura 1.10 Rama: Se construye mediante la unión de elementos de circuito de manera que el conjunto forma un dispositivo de dos terminales. Se supone que los elementos de circuito se conectan entre sí mediante conductores ideales. La red de la figura 1.10a tiene tres ramas. Lazo: Es el conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que si se elimina cualquier rama del lazo, la rama queda abierta. Malla: Este concepto se aplica solamente a circuitos planos y es un lazo que no contiene ningún otro en su interior. En la figura 1.11b hay tres mallas: 1, 2 y 3. Podemos comprobar que todas las mallas son lazos, pero no todos los lazos son mallas. Red: Es la interconexión de ramas y mallas. Frecuentemente se utiliza la palabra circuito con el mismo significado que red.
1.8. ANÁLISIS DE REDES
47
Red plana: Es una red en la que no existen puntos de cruce entre las ramas. La figura 1.11a muestra una red que no es plana, dado que las diagonales se cruzan en un punto y al estar conectadas por su centro no se puede eliminar dicho cruce modificando la figura. La figura 1.11b muestra una red plana. En este texto se tratarán únicamente redes planas.
Figura 1.11 Red de parámetros concentrados: Es una red compuesta por elementos de circuito aislados, es decir, elementos que se comportan en la red de manera que cada componente físico se puede caracterizar por un sólo parámetro, resistencia, capacidad etc. Red de parámetros distribuidos: Es una red compuesta por elementos que no pueden ser caracterizados por un parámetro localizado y por tanto no se tratan analíticamente como componentes individuales separados. Un cable coaxial de los utilizados en televisión es un ejemplo de red de parámetros distribuidos cuando se opera a frecuencias superiores a 200 MHz, que son las emitidas por una antena de TV. Rama activa: Es una rama en la que figuran fuentes o elementos activos y puede o no tener componentes pasivos como resistencias. Rama pasiva: Es la que no tiene ningún elemento activo, es decir no tiene fuentes o transistores. Rama común: Es una rama compartida por dos mallas o lazos. Rama externa: Es una rama que pertenece sólo a una malla. Elemento lineal: Es todo elemento de circuito para el que la relación entre corriente y potencial es lineal, es decir, no depende del valor de la corriente o tensión. Rama lineal: Es la compuesta por fuentes y elementos de circuito lineales.
48
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Condiciones de referencia
En el análisis de circuitos se obtienen soluciones que muestran las corrientes que circulan por las ramas y las tensiones en los nudos. Las magnitudes físicas, corriente y tensión se representan por unas cantidades algebraicas y . Las magnitudes físicas cambian su dirección y polaridad, dicha modificación se traduce en un cambio de signo en la representación algebraica. Para establecer una correlación clara entre magnitudes físicas y su presentación algebraica, se imponen unas condiciones de referencia. Esta son: La dirección de referencia para una corriente es la representada por una flecha en el generador de corriente ; en un nudo se toma como positiva la que sale del nudo y negativa la que entra. La polaridad de referencia corresponde a un valor positivo de . Los signos + y − se utilizan para indicar tanto la polaridad de referencia en el circuito como el valor de la tensión. Notaciones Para representar las tensiones y corrientes se suele utilizar una notación mediante subíndices. Una tensión representada mediante con un subíndice ( ) indica la tensión entre dos puntos o terminales de un elemento de circuito. Lo mismo para la corriente que atraviesa un elemento de circuito o rama. Cuando se utiliza esta notación tenemos que añadir la referencia en la figura con una flecha en el caso de corrientes y un signo + en un extremo para las tensiones.
1.8.2.
Principio de superposición
En los circuitos que vamos a estudiar se supone que tanto las fuentes como los elementos de circuito son lineales. El principio de superposición lineal establece que si en un circuito o red existen dos o más fuentes, cada una actúa de forma independiente, de manera que la corriente en una rama es la suma algebraica de las corrientes producidas por cada fuente considerada individualmente. En otras palabras, la corriente en una rama se obtendrá sumando la obtenida cuando consideramos que funciona una fuente de tensión (corriente) y las demás están cortocircuitadas (en circuito abierto), más la que se obtiene cuando se activa otra fuente y se cortocircuitan (ponen en circuito abierto) las restantes etc. Para verlo claramente, consideremos la red de la figura 1.12, se trata de calcular la tensión y la corriente que circula por la resistencia , y finalmente la potencia suministrada a dicha resistencia.
1.8. ANÁLISIS DE REDES
49
Primero se cortocircuita la fuente de tensión, anulándola (figura 1.13a) y se calcula la intensidad que circula por la resistencia 2 debido a la fuente de intensidad.
Figura 1.12 A continuación se anula la fuente de intensidad dejándola en circuito abierto (figura 1.13b) y se calcula de nuevo la intensidad que circula por la resistencia 2 debido a la fuente de tensión. Sumando ambas intensidades se hallará la corriente real que circula por 2 .
Figura 1.13 Para el circuito de la figura 1.13a, que es un divisor de corriente, se obtiene, = 1 + 2 1 1 = 2 2 Sustituyendo los valores para , 1 y 2 y resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos 2 2 = = 0 25 A 8 A continuación, consideramos el circuito de la figura 1.13b. En este caso, la corriente que circula por la resistencia 2 se calcula aplicando la segunda
50
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
ley de Kirchhoff 12 = 0 (2 + 6) es decir 12 = 1 5 A 8 Por tanto, la corriente real que circula por la resistencia es, aplicando el principio de superposición: 0 =
real = 2 + 0 = 1 75 A Y la potencia suministrada a dicha resistencia será 2 = real
Debemos tener presente que la superposición lineal no se aplica a la potencia, pues la potencia no es una función lineal de la corriente. Es decir, no podemos obtener la potencia mediante la suma de las que obtendríamos con cada una de las fuentes. Aunque la superposición lineal se puede aplicar en el caso de fuentes dependientes, no es fácil de aplicar por que a dichas fuentes no las podemos tratar como las independientes, ya que sus valores dependen de la tensión o corriente en otro punto del circuito.
1.9.
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Una vez introducidos los principales conceptos que se manejan en el análisis de circuitos, vamos a estudiar los sistemas que se utilizan para calcular las corrientes en distintas ramas y las tensiones en los nudos o entre los terminales de un elemento de circuito. El método para calcular las corrientes en las ramas y las tensiones en los nudos consiste en aplicar las leyes de Kirchhoff. La primera establece que la suma algebraica de las corrientes en un nudo es cero. En la figura 1.14 se indica un nudo. Se toma como referencia positiva el sentido de la corriente que sale del nudo, por tanto,. 1 + 2 = 3 + 4
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
51
La segunda expresa que en un lazo, tomando como sentido de recorrido el de movimiento de las agujas del reloj, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices de las fuentes es igual a la suma de las caídas de tensión en las resistencias o elementos pasivos. En el circuito de la figura 5.6 la ley se escribe de la siguiente forma,
1 − 2 = 1 + 2 + 3
Figura 1.14 Los potenciales 1 2 y 3 representan las caídas de tensión en los elementos pasivos, resistencias. 2 figura con signo menos por que en el sentido de la corriente elegido la polaridad de la fuente es contraria a un aumento de tensión. Las referencias tomadas no coinciden necesariamente con los sentidos reales de las corrientes o la polaridad de las tensiones. Al realizar los cálculos obtendremos unos valores, que si son positivos significa que coinciden sus sentidos o polaridad con los elegidos. En caso contrario los valores reales de las corrientes o las polaridades de las tensiones son opuestos. Hay tres procedimientos para calcular las corrientes y tensiones en una red. El primero consiste en utilizar simultáneamente las dos leyes de Kirchhoff. El segundo utiliza sólo la segunda ley y se conoce como método de mallas o lazos y el tercero usa la primera ley y se conoce como método de nudos. El primer método se suele usar en el caso de circuitos sencillos y los otros dos para circuitos más complejos, pues además permiten una generalización del método de análisis.
52
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
1.9.1.
Método de lazos
Circuitos con fuente independientes Circuitos con fuentes de tensión independientes Suponemos que la red es lineal y plana, y que las fuentes son de tensión continua. El número de ecuaciones independientes necesarias en la aplicación la segunda ley de Kirchhoff es igual al número de ramas B menos el de nudos N más uno, es decir, el número de ecuaciones independientes es − + 1. En el caso del circuito mostrado en la figura 1.15, = 3, = 2, por tanto el número de ecuaciones independientes será dos. Hemos considerado que en el nudo deben confluir más de dos ramas y una rama es la que une dos nudos. En la figura 1.15 está representada una red plana. Elegimos las corrientes hipotéticas de lazo 1 e 2 como muestra la figura; la elección es arbitraria pero se toma así por que permite obtener las ecuaciones de una forma sistemática. Dicha corriente es la que circula por las ramas externas de cada uno de los lazos. La corriente que circula por la rama común a los lazos será la diferencia entre las corrientes de los lazos que comparten la rama. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al primer lazo o malla, si ponemos en el primer miembro la suma de las tensiones de las fuentes y en el segundo las caídas de tensión en las resistencias obtenemos, 1 − 2 = 1 + 2 + 3 + 4
Figura 1.15 Considerando la corriente que circula por cada resistencia las tensiones ( = 1 2 3 4) son,
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
1 = 1 1 ;
53
2 = 2 1
3 = 3 (1 − 2 ) ; 4 = 4 1 Sustituyendo en la ecuación anterior queda, 1 − 2 = (1 + 2 + 3 + 4 )1 − 3 2 Procediendo de forma análoga en el lazo 2 tendremos, 2 − 3 = 3 + 5 + 6 + 7 Como para este lazo la corriente en la rama compartida es (2 − 1 ), ya que el sentido positivo de las corrientes en este lazo es el marcado por la corriente de lazo 2 ; los distintos valores de las caídas de tensión serán, 3 = 3 (2 − 1 ) ; 5 = 5 2 6 = 6 2 ; 7 = 7 2 Sustituyendo en la ecuación anterior queda, 2 − 3 = − 3 1 + (3 + 5 + 6 + 7 )2 Agrupando las ecuaciones obtenidas para los dos lazos tendremos el siguiente sistema de ecuaciones, 1 − 2 = (1 + 2 + 3 + 4 )1 − 3 2
2 − 3 = −3 1 + (3 + 5 + 6 + 7 )2
µ
¶ 1 = 2 (1.41) Si observamos las ecuaciones del sistema comprobamos que los primeros miembros son la suma algebraica de las tensiones de las fuentes en el lazo, considerando positivas las que elevan la tensión en el sentido de la corriente, es decir cuando la corriente de lazo entra por el terminal negativo y sale por el positivo, y negativas las que suponen una caída de tensión en el citado sentido. Dado los sentidos de referencia elegidos para la corriente, una fuente puede actuar como positiva en un lazo y negativa en otro. 1 − 2 2 − 3
¶
µ
(1 + 2 + 3 + 4 ) −3 −3 (3 + 5 + 6 + 7 )
¶µ
54
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
En los segundos miembros observamos que la corriente de lazo está multiplicada por la suma de todas las resistencias que están en el contorno del lazo, a esta suma se la conoce como resistencia de malla o lazo, y la resistencia en la rama común o compartida está multiplicada por la corriente del lazo contigua afectada de signo menos. Vemos que en este caso la matriz que corresponde al segundo miembro de la ecuación (1.41) es simétrica. Las consideraciones anteriores nos permiten enunciar la regla general para establecer las ecuaciones de red por el método de lazos o mallas. En primer lugar se asignan las corrientes hipotéticas de cada lazo y su sentido de circulación, que generalmente se elige para todos el de movimiento de las agujas del reloj. Si no se elige para todos los lazos el mismo sentido cambia el signo de los términos de la rama compartida. En el primer miembro de la ecuación de cada lazo figura la suma algebraica de las fuentes de tensión que se sitúan en las ramas que componen el lazo, tomando como positivas las que elevan la tensión en el sentido de la corriente de lazo y negativas las otras. En el segundo miembro se multiplica la corriente de lazo por la suma de todas las resistencias situadas en las ramas que componen al lazo, resistencia de lazo, y se resta el producto de la(s) resistencia(s) compartida(s) por la corriente del lazo contiguo, lazo con el que se comparte la rama común. De esta manera se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como lazos con tantas incógnitas como corrientes de lazo. La solución del sistema de ecuaciones, que se puede obtener por el método que se considere más adecuado, nos permite calcular las corrientes de lazo en función de las tensiones de los generadores y las resistencias en las distintas ramas. Este sistema sirve para cualquier número de lazos, por tanto permite un análisis general y sistematizado de redes. Con los valores obtenidos para las corrientes de malla podemos calcular las corrientes de rama. Si la rama es externa su corriente es la del lazo en el que está situada; si es rama común, la corriente es la diferencia entre las corrientes del lazo que comparten la rama. El sentido de la corriente real será el que corresponde a un valor positivo de la diferencia. Una vez conocidas las corrientes de rama, las tensiones o potenciales entre nudos o terminales se obtienen aplicando la ley de Ohm a la rama o elemento de rama que se considere. Si la rama tiene una fuente de tensión hay que aplicar las segunda ley de Kirchhoff.
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
55
Ejemplo 1.1 Dado el circuito indicado en la figura 1.16 calcular las corrientes de lazo y rama.
Figura 1.16 Solución Las ecuaciones de los dos lazos serán, 12 − 6 = (1 + 2 + 1 + 4)1 − 4 2 6 = −4 1 + (4 + 1 + 1) 2 6 = 81 − 42
6 = −41 + 62 Resolviendo el sistema por el método de Cramer, ¯ ¯ ¯ 6 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ 6 6 ¯
¯ ¯ ¯ 8 6 ¯ ¯ ¯ ¯ −4 6 ¯ 72 60 ¯= 1 = ¯ = 1 875 [A] ; 2 = = = 2 25 [A] ¯ 8 −4 ¯ 32 32 32 ¯ ¯ ¯ −4 6 ¯ La corriente en la ramas externas del lazo uno son iguales a 1 . En las ramas externas del lazo dos serán iguales a 2 . En la rama común la corriente es = 2 − 1 = 0 375 A y el sentido de la corriente real es el indicado por la corriente del lazo dos, es decir, hacia arriba. Circuitos con fuentes de tensión y corriente independiente Cuando en un circuito se mezclan fuentes de tensión y corriente independientes, el análisis presenta unos condicionamientos que modifican la forma
56
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
de resolver el circuito. Se aplica la segunda ley de Kirchhoff, pero ahora debemos tener en cuenta que una fuente de corriente impone el valor de la corriente en la rama donde se sitúa, lo mismo que una fuente de tensión determina el voltaje entre sus bornes o terminales. Dependiendo del número de fuentes y su situación así se plantearan las correspondientes ecuaciones. A continuación pondremos unos ejemplos para comprender como se resuelven. Ejemplo 1.2 En la figura 1.17 se muestra un circuito compuesto por fuentes de tensión y corriente. Calcular la corriente que atraviesa al generador de tensión. Solución Suponemos que el lazo uno es el que contiene la fuente de tensión, el lazo dos la fuente de 2 mA y el tres la de 4 mA. La fuente de corriente en el lazo dos determina el valor de dicha corriente, de forma análoga ocurre con la fuente en el lazo tres. Esto se expresa de la forma siguiente: 2 = 2 mA;
3 = 4 mA
Figura 1.17 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo uno tendremos que, 2 = 1 (2 + 6)Ω − 2 2Ω − 3 6Ω Sustituyendo los valores de 2 e 3 tendremos, 2 = 1 8Ω − 4 − 24
Despejando la corriente 1 queda,
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
57
30 = 3 750 mA 8Ω Dado el sentido de la corriente en la fuente de dos voltios, se concluye que suministra energía al circuito. Para simplificar la notación, de ahora en adelante, pondremos (= 1000) en lugar de Ω. 1 =
Ejemplo 1.3 El circuito de la figura 1.18 se compone de una fuente de tensión, dos de corriente y unas resistencias en las ramas. Calcular la corriente en la resistencia de 6Ω y la tensión en los bornes de la fuente de 2mA.
Figura 1.18 Solución Los tres lazos que consideramos en el circuito son: Lazo 1 contiene la fuente de tensión y la de 2mA; el 2 corresponde a la fuente de 1 mA, y el 3 tiene en la rama compartida con el lazo uno la fuente de 2 mA. La situación de las fuentes determina que, 2 = 1 mA ;
1 − 3 = 2 mA
Para establecer las ecuaciones en los lazos uno y tres mediante la segunda ley de Kirchhoff, suponemos que entre los bornes de la fuente de 2 mA existe un tensión , que supone una caída de tensión en el sentido la corriente 1 y una subida en el de la corriente 3 .
58
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
2 = 1 1 + − 12
= −42 + (4 + 6)3
Sumando ambos miembros de las ecuaciones tendremos que, 2 = 1 1 − 2 5 + 3 10
Aplicando la condición que impone la fuente de corriente en la rama que comparten el lazo un y tres, 1 = 3 + 2 × 10−3
Sustituyendo 1 e 2 = 10−3 A en la ecuación anterior, 2 = 3 1 + 2 − 5 + 3 10 5 [mA] ' 0 4545 [mA] 11 Utilizando la ecuación que establecimos para el lazo tres calculamos . 5 = 3 11
=⇒ 3 =
= −4 + 3 10 = −4 +
5 10 ' −4 + 4 545 = 0 545 [V] 11
Circuitos con fuentes de tensión y corriente dependientes Como hemos indicado antes, las fuentes dependientes se caracterizan por que la corriente o tensión que suministran depende de la tensión en otro punto del circuito o la corriente en una rama; es decir, dichas fuentes están controladas por la tensión o corriente en otro punto del circuito. La solución de este tipo de circuitos es más compleja y su planteamiento se hace aplicando la segunda ley de Kirchhoff, pero ahora tendremos que añadir las condiciones de control de las fuentes, además de las correspondientes a las corrientes en las ramas con fuente de corriente o las tensiones entre dos nudos en los que exista una fuente de tensión. La mejor forma de proceder consiste en analizar los condicionantes del circuito y plantear el sistema de ecuaciones más adecuado en cada caso. Para comprender mejor lo expuesto resolveremos algunos ejemplos.
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
59
Ejemplo 1.4 En la figura 1.19 se muestra un circuito con una fuente controlada de tensión en lazo uno y una fuente independiente en la rama compartida por los lazos dos y tres. La tensión de la fuente controlada depende de la tensión de salida , 1 = 10−1 . Calcular la tensión .
Figura 1.19 Solución Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a cada uno de los lazos, 10−1 = (1 + 9)1 − 92 + 0 −5 = −91 + (9 + 1)2 − 13 5 = 0 − 12 + (10 + 1 + 1)3
10−1 = (1 + 9)1 − 92 + 0 −5 = −91 + (9 + 1)2 − 13 5 = 0 − 12 + (10 + 1 + 1)3
10−1 = 101 − 92 + 0
−5 = −91 + 102 − 13 5 = 0 − 12 + 123
La tensión en la salida = 103 . Sustituyendo esta condición en la fuente controlada, tenemos, 0 = 101 − 92 − 13
−5 = −91 + 102 − 13 5 = 0 − 12 + 123
⎛
⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ 0 10 −9 −1 1 ⎝ −5 ⎠ = ⎝ −9 10 −1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 5 0 −1 12 3
60
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Vemos que la matriz del sistema no es simétrica, debido a la condición de control de la fuente de tensión. La solución del sistema de ecuaciones nos permite calcular 3 y por tanto . Por el método de Cramer ¯ ¯ 10 ¯ ¯ −9 ¯ ¯ 0 3 = ¯ ¯ 10 ¯ ¯ −9 ¯ ¯ 0
¯ −9 0 ¯¯ 10 −5 ¯¯ −1 5 ¯ 2 45 ¯= 3 ' 0 2153 × 10−3 209 −9 −1 ¯¯ 10 −1 ¯¯ −1 12 ¯
3 = 215 3 × 10−6 [A] = 215 3 [A]
La tensión que se nos pedía será,
= 103 = 2 153
[V]
Ejemplo 1.5 La figura 1.20 muestra un circuito con dos fuentes de tensión independientes y una de corriente controlada por la corriente que circula por el primer lazo de la izquierda donde se sitúa la fuente de 4 voltios. Calcular la tensión de salida .
Figura 1.20 Solución Suponemos que todas las corrientes de lazo tienen sentido horario. En el primer lazo la ecuación que resulta de aplicar la segunda ley de Kirchhoff es,
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
4 = 101 =⇒
61
= 1 = 0 4 mA
En el segundo lazo la fuente de corriente determina que la corriente 2 = −6 . En el tercer lazo la ecuación correspondiente será, 15 = −52 + 103
Como 2 = −6 = −2 4 × 10−3
15 = 12 + 103 Despejando 3 3 =
3 = 0 3 10
[mA]
La tensión es, = 43 = 1 2 [V]
1.9.2.
Método de nudos
Ahora vamos a estudiar los circuitos por el método de nudos, que consiste en plantear las ecuaciones utilizando la primera ley de Kirchhoff. Para ello lo primero que debemos obtener es el número total de nudos y suponer en cada nudo una tensión. En la figura 1.21 tenemos un circuito con cuatro nudos, a uno de ellos se le considera como el de referencia y se le asigna el potencial cero, por esto se le conoce como tierra por estar a potencial cero y unido al chasis del dispositivo que contiene el circuito. En el circuito indicado dicho nudo de referencia es el de la parte inferior al que están unidas mayor número de ramas. Las tensiones en el resto de los nudos tienen como referencia la tensión del nudo de referencia o tierra. Es importante tener siempre presente que las tensiones en cada nudo se refieren a la tensión en otro nudo, generalmente es con respecto a tierra o nudo de referencia. Para obtener las ecuaciones independientes de cada circuito, debemos tener en cuenta el número de nudos menos uno que es el que se toma como referencia; es decir, debemos establecer − 1 ecuaciones para una red con nudos, incluido el de referencia.
62
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Circuitos con fuentes independientes Circuitos con fuentes de corriente independientes
Para comenzar estudiaremos los circuitos que solo tiene fuentes de corriente independientes. En el método de nudos las incógnitas son las tensiones en los −1 nudos distintos del que se toma como referencia. En la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a cada nudo recordemos que asignamos signo positivo a las corrientes que salen del nudo y negativo a las que entran.
Figura 1.21 En la figura 1.21 hemos asignado unos sentidos a las distintas corrientes; si al realizar los cálculos ocurre que son negativas, quiere decir que la corriente real va en sentido contrario del indicado. Las tensiones en los nudos son con respecto a tierra. En el nudo uno, −1 + 1 + 2 = 0 Aplicando la ley de Ohm a las ramas correspondientes tendremos que, 1 1 1 − 2 = 1 1 donde la conductancia 1 = ; 2 = = (1 −2 )2 1 1 2 Hemos introducido la conductancia que es la inversa de la correspondiente resistencia. Sustituyendo queda,
1 =
1 = 1 1 + (1 − 2 )2 = 1 (1 + 2 ) − 2 2 En el nudo dos,
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
63
−2 + 3 + 4 = 0 −(1 − 2 )2 + 2 3 + (2 − 3 )4 = 0 −1 2 + 2 (2 + 3 + 4 ) − 3 4 = 0 Por último en el nudo tres, 2 − 4 + 5 = 0 2 − (2 − 3 )4 + 3 5 = 0 −2 = −2 4 + 3 (4 + 5 ) Agrupando las ecuaciones para los tres nudos tenemos, 1 = 1 (1 + 2 ) − 2 2
0 = −1 2 + 2 (2 + 3 + 4 ) − 3 4
(1.42)
−2 = −2 4 + 3 (4 + 5 ) En forma matricial, ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎞⎛ −2 0 1 1 (1 + 2 ) ⎝ 0 ⎠=⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ (2 + 3 + 4 ) −4 2 −2 0 −4 (4 + 5 ) 3 (1.43) Vemos que la matriz es simétrica, y que podemos resolver el sistema de ecuaciones por lo métodos habituales para obtener las tensiones en los nudos en función de las conductancias y las corrientes en la fuentes. Las consideraciones anteriores nos permiten enunciar la regla general para establecer las ecuaciones de red por el método de nudos. En primer lugar se asignan las corrientes hipotéticas de cada rama y su sentido de circulación, que generalmente se elige positivo si sale del nudo y negativo si entra. En el primer miembro de la ecuación de cada nudo figura la suma algebraica de las fuentes de corriente unidas al nudo, positivas si entran y negativas si salen, ya que las hemos traspuesto a otro miembro de la ecuación.
64
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
En el segundo miembro se multiplica la tensión del nudo por la suma de todas las conductancias situadas en las ramas que convergen en el nudo, conductancia de nudo, y se resta el producto de la conductancia compartida con cada nudo contiguo por su correspondiente tensión. De esta manera se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como nudos distintos de tierra, con tantas incógnitas como tensiones de nudo distinto de tierra. La solución del sistema de ecuaciones, que se puede obtener por el método que se considere más adecuado, nos permite calcular las tensiones de nudo en función de las corrientes de los generadores y las conductancias de las distintas ramas. Este sistema sirve para cualquier número de nudos, por tanto permite un análisis general y sistematizado de redes con fuentes de corriente independientes. Con los valores obtenidos para las tensiones de nudo, podemos calcular las corrientes de rama. Las corrientes en cada rama pasiva se obtienen aplicando la ley de Ohm que será igual a la diferencia de tensión en los extremos de la rama multiplicada por su conductancia. Si la rama tiene una fuente de tensión hay que aplicar las segunda ley de Kirchhoff. Para fijar las ideas vamos a estudiar un ejemplo numérico. Ejemplo 1.6 Dado el circuito que muestra la figura 1.22, calcular las tensiones en los distintos nudos.
Figura 1.22 Solución Procedemos como hemos expuesto en el apartado anterior para obtener el sistema de ecuaciones.
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
65
1 1 1 + ) − 2 +0 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 ( + + ) − 3 0 = −1 1 1 4 1 1 1 2 −2 mA = 0 − 2 + 3 1 1 Si multiplicamos los dos miembros de cada ecuación por 1, queda, 4 mA = 1 (
4 = 1 2 − 2 + 0 9 0 = −1 + 2 − 3 4 −2 = 0 − 2 + 23 La solución del sistema de ecuaciones por el método de Cramer nos dará las soluciones para las tensiones en los nudos, cuyo valor esta referido a tierra (nudo de referencia).
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2 4 0 −1 0 −1 0 −2 2
¯ 4 −1 0 ¯¯ 9 −1 ¯¯ 0 4 −2 −1 2 ¯ 12 ¯= ¯ 5 2 −1 0 ¯ 9 ¯ −1 4 −1 ¯ 0 −1 2 ¯
2 −1 4 −1 94 0 0 −1 −2
2 = = 45 3 = 5 Los valores de las tensiones en los nudos son:
5
= − 35
1 = 2 4 V ; 2 = 0 8 V ; 3 = −0 6 V Circuitos con fuentes de tensión y corriente independientes Para seguir un procedimiento regular en los caculos, en primer lugar observamos la disposición de las fuentes en las distintas ramas, ya que una fuente de corriente en una rama determina la corriente en dicha rama, y una fuente de tensión entre un nudo y el de referencia, sin otro componente en la rama, determina la tensión del nudo considerado; una fuente de tensión
66
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
entre dos nudos, sin otro elemento en la rama, fija la diferencia de tensión entre los dos nudos. Estas situaciones simplifican el cálculo, bien por que reducen el número de ecuaciones necesarias para calcular las tensiones en los nudos restante, o bien por que fijan la corriente en una rama. A continuación debemos asignar unas direcciones de corriente en las ramas unidas a los nudos. Dado un sentido de la corriente en una rama, calculamos dicha corriente dividiendo la tensión entre los extremos de la rama por la resistencia de la rama, dicha tensión se obtiene restando al valor del nudo de partida el correspondiente al de llegada. Por ejemplo, si la corriente va del nudo uno al dos y el valor de la resistencia es , será (1 − 2 ) en el nudo uno y −(1 − 2 ) en el dos. Si en la rama hay una fuente de tensión unida al nudo dos, se sumara o restara a 2 , dependiendo de si la fuente incrementa o disminuye el potencial de 2 , y lo mismo se procede si la fuente de tensión está unida al nudo uno. También debemos recordar que con respecto a un nudo la corriente es positiva si sale y negativa si entra. Vamos a considerar unos ejemplos para comprender mejor como se procede en cada caso. Ejemplo 1.7 La figura 1.23 muestra un circuito con dos generadores de tensión dispuestos en dos rama periféricas. Calcular las tensiones en los tres nudos. Solución Observando el circuito comprobamos que la tensión en el tercer nudo, 3 = 3 V, ya que la fuente de tensión mantiene ese valor invariable. Esto simplifica el cálculo, ya que solo tenemos que calcular la tensión en dos nudos. El sistema de ecuaciones, aplicando el método de nudos será, 1 1 1 + (1 − 2 ) − ((3 + 1) − 1 ) 1 2 4 1 1 1 1 1 1 + ) − 2 − 3 − 0 = 1 ( + 1 2 4 2 4 4 Teniendo en cuenta que 3 = 3 V y trasponiendo los términos numéricos y multiplicando ambos miembros por 4, 0 = 1
En el segundo nudo,
4 = 1 7 − 22
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
67
1 1 1 + 2 + (2 − 3 ) 2 6 1 1 1 1 1 1 0 = −1 + 2 ( + + ) − 3 2 2 6 1 1 Poniendo 3 = 3 trasponiendo los términos numéricos y multiplicando por 1, 0 = −(1 − 2 )
1 5 3 = −1 + 2 2 3
Figura 1.23 El sistema de ecuaciones queda de la forma siguiente, 4 = 1 7 − 22 1 5 3 = −1 + 2 2 3 La solución nos proporciona las tensiones en los nudos uno y dos; la tensión en el tercer nudo es 3 = 3 V.
1 =
4 − 12 3 53 = 7 −2 1 5 −2 3
(496) (323)
' 0 766
2 =
7 4 4 1 −2 3 (323)
=
(294) (323)
En definitiva, las tensiones en los nudos son: 1 ' 0 766 V; 2 ' 0 680 V ;
3 = 3 V
' 0 680
68
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Ejemplo 1.8 El circuito de la figura tiene fuentes de tensión y de corriente, las dos independientes. Calcular las tensiones en los nudos.
Figura 1.24 Solución Como en el ejemplo anterior, la tensión en el tercer nudo es 3 = 3 V. La corriente en la rama donde se sitúa el generador de corriente es igual 2 mA. Por tanto las ecuaciones en los dos nudos serán, 1 1 + (1 − 2 ) 1 2 3 1 Nudo 1 → 2 × 10−3 = 1 − 2 2 2 Multiplicando por 103 ambos miembros del nudo 1, Nudo 1 →
0 = −2 × 10−3 + 1
3 1 2 = 1 − 2 2 2 En el segundo nudo, 1 1 5 1 1 1 + 2 + (2 − 3 ) = −1 + 2 −3 2 6 1 2 3 1 Trasponiendo el término numérico y multiplicando por 103 queda la ecuación de la forma siguiente, 0 = −(1 − 2 )
1 5 3 = −1 + 2 2 3
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
69
El sistema queda de la forma, 3 1 2 = 1 − 2 2 2 1 5 3 = −1 + 2 2 3 La solución para las tensiones es,
1 =
2 − 12 3 53 3 1 = − 2 2 5 − 12 3
296 94
' 2 148
2 =
3 2 − 12 94
2 3
=
112 94
' 2 444
Las tensiones en los nudos son: 1 ' 2 148 [V] ; 2 ' 2 444 [V] ; 3 = 3 [V]
Circuitos con fuentes dependientes Los circuitos que tienen fuentes de tensión o corriente dependientes, son aquellos en los que sus valores están controlados por la tensión o corriente en otra parte del circuito. Se tratan dichas fuentes como si fueran independientes, salvo que su valor depende de las condiciones de control. Esta circunstancia modifica notablemente el comportamiento del circuito y por tanto el sistema de ecuaciones que permite conocer las tensiones en los nudos. Como en casos anteriores trataremos algunos ejemplos que nos permitan conocer mejor la forma de tratarlos. Ejemplo 1.9 La figura 1.25 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente en la rama central y otra dependiente en la rama superior, cuya tensión depende de la tensión en el nudo tres. Calcular las tensiones en los tres nudos distintos de tierra.
70
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura 1.25 Solución Observando el circuito vemos que la tensión del nudo dos está determinada por la fuente de cuatro voltios, por tanto sólo debemos calcular las tensiones en los nudos uno y tres. Tomamos las corrientes en las direcciones indicadas en la figura. En el nudo uno, 1 1 1 + (1 − 2 ) − (1 − (3 + 23 )) 1 2 4 1 3 1 1 1 + ) − 2 − 3 0 = 1 ( + 1 2 4 2 4 Teniendo en cuenta que 2 = 4 V, y trasponiendo ese término al primer miembro de la ecuación, 0 = 1
7 3 4 = 1 − 3 2 4 4 En el nudo tres, 1 1 1 − (2 − 3 ) + (33 − 1 ) 2 1 4 1 1 1 1 3 + ) − 2 − 1 0 = 3 ( + 2 1 4 1 4 Trasponiendo 2 1 al primer miembro de la ecuación y operando tenemos, 0 = 3
2
1 1 9 = −1 + 3 1 4 4
1.9. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
71
Agrupando las dos ecuaciones, 7 3 4 = 1 − 3 2 4 4 1 9 4 = −1 + 3 1 4 4 Si multiplicamos los dos miembros de las dos ecuaciones por 4, queda el siguiente sistema de ecuaciones, 8 = 1 7 − 33
16 = −1 + 3 9
En forma matricial, µ
¶ µ ¶µ ¶ 8 7 −3 1 = 16 −1 9 2 Vemos que la matriz que multiplica a las tensiones no es simétrica como ocurre cuando las fuentes son independientes. La solución del sistema de ecuaciones es:
1 =
8 −3 16 9 7 −3 −1 9
=
120 60
=2
;
3 =
7 8 −1 16 60
=
120 60
=2
Las tensiones en los tres nudos son: 1 = 2 V; 2 = 4 V; 3 = 2 V Ejemplo 1.10 La figura 1.26 muestra un circuito que tiene una fuente de tensión controlada por tensión en la rama superior, una fuente de corriente controlada por corriente en la rama central y una fuente de tensión independiente en la rama de la izquierda. Solución Observando el circuito vemos la tensión en el nudo uno es 1 = 4 V. En la rama central la corriente es = 3 .
72
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura 1.26 Nudo 2 1 1 + (2 − 3 ) 2 1 1 1 1 1 + 2 ( + ) − 3 0 = − − 1 2 2 1 1 Como en la fuente de corriente = 3 y = 3 2, y 1 = 4 V, 0 = − − (1 − 2 )
4 3 3 1 3 5 = −3 + 2 − 3 = 2 − 3 2 2 2 1 2 2 Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 2, queda de la forma, 4 = 2 3 − 3 5
Nudo 3
1 1 1 + (33 − 1 ) − (2 − 3 ) 2 4 1 1 1 1 3 1 0 = −1 − 2 + 3 ( + + ) 4 1 2 4 1 Trasponiendo el primer término, 0 = 3
1 1 9 = −2 + 3 4 1 4 Multiplicando por 4 y poniendo 1 = 4, 1
4 = −2 4 + 3 9
1.10. TEOREMAS DE REDES
73
El sistema de ecuaciones será, 4 = 2 3 − 3 5
4 = −2 4 + 3 9 Las soluciones para las tensiones en los nudos son:
2 =
4 −5 4 9 = 3 −5 −4 9
56 7
=8
3 =
3 4 −4 4 7
=
28 7
=4
Las tensiones en los nudos son: 1 = 4 [V] ; 2 = 8 [V] ; 3 = 4 [V]
1.10.
TEOREMAS DE REDES
Cuando se analiza el comportamiento de redes se introducen procedimientos y conceptos que permiten simplificaciones o un mejor conocimiento de la influencia y comportamiento de los distintos elementos que componen la red. A continuación vamos a estudiar algunos teoremas y definiciones.
1.10.1.
Resistencia de entrada
Si suponemos que detrás de un par de terminales existe una red pasiva, es decir, compuesta de resistencias. Sin conocer la disposición ni magnitud de las resistencias que componen la red podemos caracterizar lo que hay detrás de los bornes mediante una resistencia conocida como resistencia de entrada. Esta resistencia se obtiene de la forma siguiente: Aplicamos a los terminales de entrada un generador y medimos la corriente que entra por uno de los terminales. La resistencia de entrada es, =
(1.44)
74
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
1.10.2.
Teoremas de Thévenin y Norton
Cuando observamos un dispositivo, por ejemplo, un amplificador, desde los terminales de salida no podemos saber las fuentes y resistencias que hay en su interior, pero lo que realmente nos importa es conocer la tensión en sus terminales y su variación cuando conectamos una resistencia de carga a dichos terminales, o la corriente de cortocircuito. El teorema de Thévenin establece que un dispositivo formado por una red con fuentes y resistencias es equivalente a una fuente ideal independiente de tensión, en serie con una resistencia , llamada resistencia equivalente. El teorema de Norton establece que un dispositivo formado por una red con fuentes y resistencias es equivalente a una fuente ideal independiente de corriente en paralelo con la resistencia . El teorema de Norton es el dual del teorema de Thévenin. La utilidad de estos teoremas reside en la simplificación que supone sustituir una red compleja por su circuito equivalente compuesto por una fuente de tensión independiente y una resistencia en serie, o por una fuente independiente de corriente en paralelo con la resistencia equivalente Thévenin. Para comprender mejor la forma de obtener los circuitos equivalentes vamos a estudiar unos ejemplos con distintos tipos de fuentes. Circuitos con fuentes independientes El voltaje se obtiene calculando el voltaje en los terminales de la red que constituye el dispositivo. La resistencia equivalente se calcula de la forma siguiente: Cortocircuitamos todas la fuentes de tensión que existen en la red y dejamos en circuito abierto todas las fuentes de corriente, después obtenemos la resistencia que se ve desde los terminales de salida. Ejemplo 1.11 Obtener los circuitos equivalentes Thévenin y Norton indicados en la figura 1.27b y c, correspondientes a la red que muestra la figura 1.27, vista desde los terminales A-B. Solución La ecuación del lazo es,
1.10. TEOREMAS DE REDES
6 − 3 = (1 + 1 + 1) = 3
75
→
3 = 3
=1A Con este sentido de la corriente la fuente de 3 V funciona como receptor de energía.
Figura 1.27 El voltaje entre los bornes A y B es, = = 6 − 2 = 4 = 4 V Cortocircuitando los dos generadores, la resistencia que se ve desde los terminales A-B es la combinación de dos resistencias de 1 Ω en serie, dispuesta en paralelo con una resistencia de 1 Ω de la otra rama. Es decir, 1 1 2 = + 1 ; = = 0 666 Ω 2 3 El circuito equivalente se muestra en la figura 1.27b. Para calcular el circuito equivalente Norton, debemos cortocircuitar los terminales A-B y obtener la corriente en el cortocircuito. Al cortocircuitar tenemos dos lazos, aplicamos el método de lazos para calcular la corriente de cortocircuito Lazo 1,
Lazo 2
6 − 3 = 31 − =⇒ 3 = 31 −
76
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
3 = −1 +
El sistema de ecuaciones es,
3 = 31 −
3 = −1 +
Sumando miembro a miembro queda, 6 = 21
=⇒ 3 = 3
Llevando este valor a la segunda de las ecuaciones calculamos , = 6
[A]
El circuito equivalente Norton es una fuente de corriente independiente de 6 amperios (A) en paralelo con la resistencia que obtuvimos para el circuito equivalente Thévenin. Dicho circuito se muestra en la figura 1.27. Ejemplo 1.12 La figura 1.28 muestra un circuito con fuentes de tensión y corriente independientes. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton.
Figura 1.28 Solución Suponemos que la carga, una resistencia , se conecta a los terminales A - B. Calculamos en primer lugar la tensión equivalente Thévenin en los terminales A - B mediante el método de nudos. La tensión en el nudo dos
1.10. TEOREMAS DE REDES
77
es 2 = 3 V y la corriente en la rama con la fuente de 3 mA será 3 mA. Con estos condicionamientos calculamos la tensión en el nudo uno con respecto a tierra, que es la tensión del circuito equivalente. Nudo 1 1 1 1 1 1 + (1 − 2 ) = −3 × 10−3 + 1 ( + ) − 2 2 1 2 1 1 Operando y teniendo en cuenta que 2 = 3 V,
0 = −3 × 10−3 + 1
3 × 10−3 + 3 × 10−3 = 1
3 2
=⇒ 1 =
12 =4 3
1 = = 4 V La resistencia equivalente se obtiene calculando la que se ve desde los terminales A - B cuando cortocircuitamos las fuentes de tensión y dejamos en circuito abierto las de corriente. El circuito resultante se muestra en la figura 1.29.
Figura 1.29 El resultado es dos resistencias en paralelo, una de 1 Ω y otra de 2 Ω, por tanto, 1 2 1 1 = + =⇒ = Ω 1 2 3 El circuito equivalente Thévenin lo constituye una fuente de tensión de 4 V con una resistencia en serie de = (23) Ω.
78
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Para obtener el circuito equivalente Norton, debemos calcular la corriente de cortocircuito. Ahora utilizamos el circuito de la figura 1.29 obtenido al unir los terminales A - B, y que cortocircuitan la resistencia de 2Ω. Sólo tenemos que calcular las corrientes en el nudo uno. 0 = −3 × 10−3 + (1 − 2 )
1 1 1 + = −3 × 10−3 − 2 + 1 + 1 1 1
Como 2 = 3 y 1 = 0 = 6 × 10−3 = 6 mA
El circuito equivalente Norton está formado por una fuente de corriente = 6 mA en paralelo con una resistencia = (23) Ω. Podemos transformar el circuito Norton al Thévenin sin más que tener en cuenta que = , y la resistencia en serie es .
Circuitos con fuentes dependientes Los circuitos que tienen fuentes dependientes no se pueden tratar como los que tienen fuentes independientes, dado que no podemos cortocircuitarlas o dejarlas en circuito abierto por que sus valores dependen de lo que ocurre en otro punto del circuito. En este caso los valores de la tensión y resistencia equivalente, se obtienen calculando la tensión de circuito abierto en los terminales donde se conecta la carga AB = y la corriente de cortocircuito = . La resistencia equivalente será = . El procedimiento lo explicamos con unos ejemplos. Ejemplo 1.13 La figura 1.30a muestra un circuito que contiene fuentes dependientes e independientes. Obtener los circuitos equivalentes Thévenin y Norton, suponiendo que la carga se conecta entre los terminales A - B. Solución En primer lugar tratamos de obtener la tensión 1 , que es la misma que existe entre los terminales A - B. Esta tensión además determina la tensión suministrada por el generador de tensión dependiente que se sitúa en el lazo inferior izquierdo, que consideramos lazo uno. Asignamos el nombre de lazo dos al lazo superior izquierdo y lazo tres al derecho que comparte corrientes
1.10. TEOREMAS DE REDES
79
con los lazos uno y dos. Suponemos que las corrientes de los tres lazos son en el sentido de las agujas del reloj. Utilizamos el método de lazos en la obtención el sistema de ecuaciones para las corrientes de lazo.
Figura 1.30 Lazo 1 21 = 1 (2 + 1) − 2 2 − 3 1 = 1 3 − 2 2 − 3 1 Lazo 2 −3 = −1 2 + 2 4 Lazo 3 3 = −1 1 + 3 2 Teniendo en cuenta que aplicando la ley de Ohm a la rama que esta entre A y B, 1 = 3 1. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y operando, 0 = 1 3 − 2 2 − 3 3
−3 = −1 2 + 2 4 3 = −1 1 + 3 2
Para obtener la tensión 1 = sólo necesitamos conocer el valor de 3 , por tanto, si multiplicamos por 10−3 los dos miembros de las ecuaciones,
80
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
¯ ¯ 3 ¯ ¯ −2 ¯ ¯ −1 ¯ 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−2 0 4 −3 × 10−3 0 3 × 10−3 ¯ 3 −2 −3 ¯¯ −2 4 0 ¯¯ −1 0 2 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
18 −3 9 −3 10 = 10 4 2
9 9 = 1 = 1 × 10−3 = = 4 5 V 2 2
En este caso para calcular la resistencia equivalente no podemos recurrir al mismo procedimiento que utilizamos con fuentes independientes, ya que la fuente dependiente produce una tensión que depende de lo que ocurre con la tensión 1 . Cuando se cortocircuita un circuito equivalente Thévenin se verifica que, = =
=⇒
=
Es decir, la corriente de Norton está relacionada con la tensión Thévenin de la forma siguiente: =
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos calcular la resistencia equivalente Thévenin mediante la tensión obtenida anteriormente y la corriente = que se obtiene cortocircuitando los terminales A - B. La figura 1.30b muestra como queda el circuito. Aplicando el método de lazos como antes, tenemos el sistema de ecuaciones siguiente, 21 = 1 3 − 2 2 − 3 1 −3 = −1 2 + 2 4 3 = −1 1 + 3 1
Ahora 1 = 0 por tanto queda,
1.10. TEOREMAS DE REDES
81
0 = 1 3 − 2 2 − 3 1
−3 = −1 2 + 2 4 3 = −1 1 + 3 1
Multiplicando los dos términos de las ecuaciones por 10−3 y despejando 3 , ¯ ¯ 3 ¯ ¯ −2 ¯ ¯ −1 ¯ = = 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−2 0 4 −3 × 10−3 0 3 × 10−3 ¯ 3 −2 −1 ¯¯ −2 4 0 ¯¯ −1 0 1 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
9 9 1 = 10−3 500 4 2
Calculamos la resistencia equivalente Thévenin de la forma siguiente,
=
92 3 = 10 = 1Ω 29
En resumen, el circuito equivalente Thévenin consta de una fuente de tensión independiente = 4 5 V en serie con una resistencia = 1Ω. Con los datos obtenidos podemos expresar la composición del circuito equivalente Norton. Consta de una fuente de corriente = (92) mA en paralelo con una resistencia = 1Ω. Vemos que con el procedimiento utilizado se calculan simultáneamente los valores que intervienen en los dos circuitos equivalentes.
Ejemplo 1.14 El circuito de la figura 1.31a se compone de un conjunto de resistencia y una fuente de tensión independiente de 5 voltios en el lazo superior izquierdo y una fuente de corriente dependiente en el lazo inferior izquierdo. Calcular los circuitos equivalente Thévenin y Norton con respecto a los terminales A - B, donde se supone que conectamos la resistencia de carga.
82
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura 1.31 Solución Vamos a proceder de forma similar al ejemplo anterior. Es decir, utilizamos el método de lazos. En el lazo uno suponemos que en los bornes de la fuente de corriente hay una tensión , que representa un caída de tensión para el sentido de la corriente en el lazo uno y una subida para el lazo tres. Lazo 1
Lazo 2
Lazo 3
− = 1 2 − 2 1
5 = −1 1 + 2 6 − 3 3
= −2 3 + 3 5
Sumando miembro a miembro la primera y tercera ecuación, y teniendo en cuenta que la fuente de corriente determina la condición siguiente: 1 − 3 = 33 , el sistema se reduce a dos ecuaciones, De la suma se deduce que, 0 = 1 2 − 2 4 + 3 5
5 = −1 1 + 2 6 − 3 3
Teniendo en cuenta que 1 = 43 ,
1.10. TEOREMAS DE REDES
83
0 = −2 4 + 3 13 La corriente 3 será,
5 = 2 6 − 3 7
¯ ¯ −4 0 ¯ ¯ 6 5
¯ ¯ ¯ ¯
−20 ¯= 3 = ¯ = 0 4 × 10−3 2 ¯ −4 13 ¯ −50 ¯ ¯ ¯ 6 −7 ¯ La tensión del circuito equivalente Thévenin es, AB = = 3 2 = 0 8 V Ahora procedemos a calcular la corriente de cortocircuito. El circuito se modifica como muestra la figura 1.31b. Las ecuaciones del sistema ahora son: − = 1 2 − 2 1
5 = −1 1 + 2 6 − 3 3
= −2 3 + 3 3 Sumando la primera y la última,
0 = 1 2 − 2 4 + 3 3
5 = −1 1 + 2 6 − 3 3 Como en el caso anterior 1 − 3 = 33 =⇒ 1 = 43 . Sustituyendo en las ecuaciones anteriores queda, 0 = −2 4 + 3 11
5 = 2 6 − 3 7 La solución del sistema para 3 , que en este caso es la corriente de cortocircuito, será, ¯ ¯ −4 0 ¯ ¯ 6 5
¯ ¯ ¯ ¯
3 = = = ¯ ¯ −4 11 ¯ ¯ 6 −7
20 −20 ¯= = 10−3 ' 526 32 A 2 ¯ −38 38 ¯ ¯
84
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA La resistencia equivalente Thévenin es,
0 8 = 38 × 103 = 1520 Ω 20 Los resultados nos indican que el circuito equivalente Thévenin se compone de una fuente de tensión independiente = 0 8 V en serie con una resistencia = 1520 Ω. Y el correspondiente circuito equivalente Norton se compone de una fuente de corriente independiente = 526 32 A en paralelo con una resistencia = 1520 Ω. =
Circuitos sólo con fuentes dependientes Este tipo de circuitos tienen la particularidad de que en sus terminales de salida tanto la tensión como la corriente son nulas, ya que al no tener una fuente independiente que suministre energía, no pasa corriente por sus componentes. Debemos pensar, por ejemplo en un amplificador que tiene distintos transistores, que en el circuito figuran como fuentes dependientes; si no se aplica una batería o fuente de alimentación real al circuito no pasa corriente por ningún componente. Dada esta circunstancia no podemos calcular un circuito equivalente con fuente y resistencia. Lo que si podemos calcular es su resistencia vista desde sus terminales de salida. Para ello se aplica una fuente de tensión o de corriente independiente en los terminales de salida y se calcula la corriente que entra por dichos terminales o la tensión entre ellos. Si aplicamos una fuente de tensión que suministra un voltio y la corriente que entra por los terminales es , la resistencia de entrada es, 1 = Que es la resistencia equivalente Thévenin y Norton del circuito. El procedimiento es similar al cálculo de la resistencia de entrada, salvo que ahora aplicamos una fuente de tensión de un voltio. Como en casos anteriores veamos un ejemplo para aclarar las ideas. =
Ejemplo 1.15 Calcular la resistencia equivalente Thévenin-Norton del circuito situado a la izquierda de los terminales A - B que muestra la figura 1.32
1.10. TEOREMAS DE REDES
85
Solución Aplicando a los terminales A - B una fuente de tensión independiente de 1 V, calculamos la corriente que suministra la fuente al circuito.
Figura 1.32 Mediante el método de nudos obtenemos el sistema de ecuaciones que nos permite calcular . 1 = 1 V. Nudo 1 0 = − +
1 1 1 3 + (1 − 2 ) = − + − 2 4 2 4 2
Nudo 2 0 = + 2
1 1 1 1 − (1 − 2 ) = − + 2 2 2 2 1
1 1 = 4 1 El sistema queda de la forma siguiente, = 41
1 3 − 2 4 2 1 1 1 − + 2 0 = 1 2 1 De la segunda ecuación se deduce que, 0 = − +
1 2 Llevando este valor a la primera ecuación, 2 = −
3 1 1 1 − (− ) = 4 2 2 1 La resistencia equivalente es, =
86
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
=
1 = 1 Ω
Terminamos el apartado de circuitos equivalentes resumiendo las ecuaciones que corresponden a los teoremas de Thévenin y Norton, cuyos circuitos equivalentes se muestran en las figuras 1.33a y b.
Figura 1.33 Cuando se aplica una carga en los terminales A - B, la relación entre tensión y corriente para cada circuito es, = −
(1.45)
= −
(1.46)
Donde = 1 . Estos teoremas nos muestran que una red a la izquierda de los terminales A-B puede ser sustituida por su circuito equivalente Thévenin o Norton. Además los teoremas indican la equivalencia y posible intercambio entre uno y otro, dependiendo de su mejor adaptación al análisis del circuito que está a la derecha de los terminales A-B. Hay algo en lo que no son equivalentes los dos circuitos Thévenin y Norton, y es que en circuito abierto el circuito Thévenin no disipa energía y el de Norton disipa energía en la resistencia que está en paralelo con la fuente de corriente. Además debemos tener en cuenta que la equivalencia no es en sentido estricto y que la utilización del circuito equivalente es recomendable cuando se caracteriza una etapa para para abordar la siguiente. En el ejemplo que sigue ponemos de manifiesto las limitaciones que existen.
1.10. TEOREMAS DE REDES
87
Ejemplo 1.16 En la figura 1.34 se muestran dos circuitos, en (a) tenemos un circuito real y en (b) la trasformación que se produce al sustituir en los bornes A-B lo que hay a la izquierda por la fuente de corriente .equivalente". Calcular corriente, tensión y potencia en los distintos componentes y en los circuitos a y b.
Figura 1.34 Solución 1) En el circuito de la figura 1.34a, la ecuación de lazo es, 4 = (2 + 6) Por tanto la corriente será, 1 2 Potencia suministrada por la fuente de tensión =
1 = 4 = 2 vatios 2 Potencia disipada en la resistencia de 6 Ω 1 3 6 = 2 = 6 = = 1 5 vatios 4 2 En la resistencia de 2 Ω 1 2 = 2 = 0 5 vatios 4 2) Circuito equivalente con fuente de corriente = 2 en paralelo con 2 Ω.
88
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Por el método de nudos, 2=
2 + = 2 6 3
=3 Corriente en la resistencia de 6 Ω 3 1 = = = 0 5 6 6 2 Es la misma que en el circuito original. Corriente en la resistencia de 2 Ω 6 =
A
3 = = 1 5 A 2 2 Es tres veces superior a la que pasa en el circuito original. Potencia total disipada. 2 =
= = 3 × 2 = 6 vatios Tres veces superior a la del circuito original. Potencia disipada en la resistencia de 6 Ω µ ¶2 1 = =6 = 1 5 vatios 2 La misma que en el circuito original. Potencia disipada en la resistencia de 2 Ω 6
662
µ ¶2 3 =2 = 45 vatios 2 Nueve veces superior a la del circuito original. Los cálculos anteriores ponen de manifiesto que el circuito equivalente no lo es tal en conjunto, ya que las potencias disipadas son distintas. Pero si que se produce el mismo resultado para los componentes del circuito exterior a la fuente convertida, desde los puntos A-B hacia la derecha. En nuestro caso, tanto la corriente en la resistencia de 6 Ω como la potencia disipada en ella son las mismas en los dos casos. Por tanto debemos tener presente que la equivalencia no existe para todo el circuito. 2
1.10. TEOREMAS DE REDES
1.10.3.
89
Teorema de máxima transferencia de potencia
En muchas ocasiones nos interesa saber cuales son las mejores condiciones que deben reunir el dispositivo que suministra potencia y el que la recibe para que se transfiera la máxima potencia del generador al receptor. Como hemos visto en el apartado anterior, una red se puede representar, aplicando el teorema de Thévenin, por una fuente ideal en serie con una resistencia . Si conectamos a los bornes del dispositivo la resistencia como muestra la figura 1.33, la potencia que se transmite a es, )2 = 2 + ( + )2 Calculamos el valor de para que se transfiera la máxima potencia derivando la expresión anterior con respecto a e igualando a cero. = = 2 = (
− = 2 =0 ( + )3 De la igualdad anterior se deduce que la máxima transferencia de potencia ocurre cuando, =
(1.47)
Esto explica por qué interesa adaptar la resistencia del receptor, o carga, a la resistencia de salida del generador que suministra energía. Su aplicación se tiene en cuenta cuando adaptamos una antena al receptor correspondiente; o cuando queremos que detector de temperatura o un transductor de una determinada señal se adapte bien al circuito amplificador que lleva su respuesta a un medidor o sistema de control. La eficiencia es la relación entre la potencia que recibe la carga y la suministrada por la fuente. Potencia suministrada por la fuente, 2 = + + Potencia recibida por la carga, = =
2
= = = La eficiencia será,
µ
+
¶2
90
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
= (1.48) + La expresión anterior nos muestra que la eficiencia es del 50 % cuando = , que es muy baja cuando tratamos de transmitir energía, por ejemplo, desde una central eléctrica una ciudad. Dicha eficiencia tiende a 1 cuando À . En este apartado vemos que la máxima potencia transferida no se corresponde con la máxima eficiencia, ni con el máximo voltaje o corriente de salida. Existen programas como Matlab, Maple MuPAD, o las hojas de cálculo que facilitan las operaciones y permiten resolver los problemas más tediosos. También hay simuladores de circuitos como PSPICE que también facilitan los cálculos y el diseño de circuitos. En este capítulo y posteriores se utilizan dichos programas. =
1.11. PROBLEMAS
1.11.
91
PROBLEMAS
P 1.1 En una bombilla de las utilizadas en iluminación figuran dos datos, la potencia disipada y la tensión aplicable. Si tenemos una bombilla de 100 vatios y 220 voltios, calcular la corriente que circula por ella cuando se aplica la tensión nominal (220 V) . Cuando se le aplican 300 V en lugar de los 220 la bombilla se estropea. Explicar qué ocurre. P 1.2 En las resistencias utilizadas en los circuitos electrónicos, además del valor de su resistencia se tiene en cuenta la potencia que puede disipar sin quemarse. Si tenemos una resistencia de 1000 Ω (1 KΩ) que puede disipar 0 1 vatios (W), calcular el valor máximo de corriente que soporta sin quemarse. Obtener la máxima tensión que podemos aplicar a la resistencia. P 1.3 Cuando arrancamos el motor de un automóvil observamos que disminuye la intensidad de las luces del cuadro de instrumentos. Si medimos con un voltímetro la tensión en los bornes de la batería antes y durante el arranque, obtenemos los valores siguientes: Antes de conectar = 12 V. Durante el arranque = 9 V y se suministran 12 amperios (A) al motor de arranque. Calcular la resistencia interna de la batería. Si por una mala conexión de los bornes se duplica la resistencia entre batería y motor de arranque, ¿Cual será la corriente que se suministra al motor de arranque?
Figura P1.3 P1.4 Dos bombillas, cuyas resistencias respectivas son, 1 = 10 Ω y 2 = 6 Ω, se conectan en paralelo a un generador (batería) . ¿Cual de las dos bombillas emite una luz más intensa?. Si se conectan en serie ¿Cual emite ahora la luz más intensa?.
92
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
P1.5 Una pila de 2 V suministra corriente a dos resistencias en serie, 1 = 1 Ω y 2 = 5 Ω Calcular la potencia disipada en 2 y la suministrada por la pila. P1.6 Dados los circuitos indicados en la figura P1.6, calcular la resistencia en los bornes A-B.
Figura P1.6 P1.7 Dado el circuito de la figura P1.7, calcular la resistencia entre los bornes AB antes y después de conectar la resistencia a los terminales MN.
Figura P1.7 P1.8 La figura P1.8 muestra un circuito con un potenciómetro (POT.) de 1 Ω. Calcular la tensión entre los puntos A B cuando la posición del potenciómetro está en el centro. NOTA: El potenciómetro es un dispositivo de tres terminales, con una resistencia unida a dos de ellos y un contacto deslizante conectado al tercer terminal, que hace contacto con la banda resistiva en distintos puntos, dependiendo de la posición del mando deslizante.
1.11. PROBLEMAS
Figura P1.8
93
Figura P1.9
P1.9 Dado el circuito indicado en la figura P1.9, calcular la corriente que circula por cada una de las baterías 1 y 2 . Indicar para cada batería si suministra o recibe energía. P1.10 La figura P1.10 muestra un circuito con tres lazos o bucles. Calcular la corriente que atraviesa la batería de 1 5 voltios.
Figura P1.10
Figura P1.11
P1.11 El circuito de la figura P1.11 muestra la conexión de dos pilas en paralelo que suministran corriente a una resistencia de 100 Ω. Calcular dicha corriente y explicar cuál de las pilas suministra o recibe energía. P1.12 En el circuito de la figura P1.12 tenemos una fuente independiente de tensión y una dependiente de corriente. Utilizando el método de lazos calcular la corriente que atraviesa la resistencia de 3 Ω indicada en la figura.
94
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura P1.12
Figura P1.13
P1.13 La figura P1.13 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente y otra dependiente. Calcular, por el método de nudos, la corriente que atraviesa la resistencia de 2 Ω situada en la rama central inferior. P1.14 En la figura P1.14 se muestra un circuito con una fuente independiente de tensión y otra de corriente. Calcular, por el método de nudos, la corriente que circula por la resistencia de 1 Ω de la rama central.
Figura P1.14
Figura P1.15
P1.15 Tenemos el circuito de la figura P1.15, con una fuente de tensión independiente y otra dependiente. Mediante el método de nudos, calcular la tensión 3 entre los extremos de la resistencia de 3 Ω. P1.16 Dado el circuito de la Figura P1.16, con fuentes independientes de tensión y de corriente, calcular, por el método de nudos, la corriente que circula por la resistencia de 3 Ω.
1.11. PROBLEMAS
Figura P1.16
95
Figura P1.17
P1.17 La figura P1.17 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente y otra de corriente dependiente. Calcular, por el método de nudos, la corriente que circula por la resistencia de 4 Ω. P1.18 La figura P1.18 muestra un circuito con una fuente de tensión y otra de corriente independientes. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton, vistos desde los terminales A-B.
Figura P1.18
Figura P1.19
P1.19 Tenemos un circuito con una fuente de tensión independiente y otra de corriente dependiente, como muestra la figura P1.19. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton desde los terminales A - B. P1.20 La figura P1.20 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente y otra dependiente. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton desde los terminales A - B.
96
CAPÍTULO 1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Figura P1.20 P1.21 Dado el circuito indicado en la figura P1.21 calcular el circuito equivalente Thévenin con respecto a los bornes AB. Calcular el valor de la resistencia de carga que se aplica a los bornes AB para que se le transfiera la máxima potencia.
Figura P1.21 Figura P1.22 P1.22 Dado el circuito de la figura P1.22, calcular el circuito equivalente Thévenin desde los terminales AB. Qué resistencia debemos colocar entre los terminales AB para que se suministre la máxima potencia a dicha resistencia.
Capítulo 2
CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE FENÓMENOS TRANSITORIOS ESQUEMA - RESUMEN Objetivos Genéricos Análisis de los fenómenos transitorios en circuitos con resistencia y autoinducción en serie, circuitos − ; circuitos con resistencia y un condensador en serie, circuitos −, y con resistencia autoinducción y condensador en serie, circuitos − − , cuando se produce un cambio brusco de la tensión aplicada o una modificación repentina de uno de los componentes del circuito. Específicos
Comprender el comportamiento con corriente variable, de los distintos componentes que intervienen en un circuito. Saber manejar las leyes de Kirchhoff para establecer las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio de circuitos − y − . 97
98
CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE Analizar la solución de las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior. Comprender las analogías y diferencias entre las corrientes en circuitos − , − y − − . Representación gráfica de dichas corrientes. Concepto de constante de tiempo en los circuitos indicados. Fenómenos transitorios en un circuito − − . Características de los comportamientos oscilatorio, oscilatorio amortiguado, amortiguado y amortiguado crítico. Factores característicos: Frecuencia propia, seudoperiodo, constante de tiempo, decremento logarítmico y resistencia crítica. Requisitos previos
Manejar los conceptos desarrollados en el capítulo anterior y saber aplicar los instrumentos de cálculo como la derivación, integración y ecuación diferencial.
2.1. COMPONENTES
99
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de circuitos cuando se produce en ellos un cambio brusco de las condiciones de funcionamiento. Esto sucede al modificar repentinamente una tensión no periódica, siendo el ejemplo más común la conexión de un voltaje constante. Consideramos que todos los componentes que intervienen son ideales, es decir, las resistencias, condensadores, inductancias y generadores son ideales, por lo que cada componente queda perfectamente identificado con el símbolo que lo representa. También suponemos que dichos componentes son lineales y localizados en la zona del circuito que se indique.
2.1.
COMPONENTES
2.1.1.
Capacidad e inductancia
Condensador: Capacidad Un condensador es un elemento de circuito construido con dos placas metálicas paralelas separadas por un dieléctrico. La característica de un condensador es su capacidad , que es la relación entre la carga que almacena y la diferencia de potencial entre sus placas. = (2.1) Un condensador es un elemento del circuito capaz de almacenar energía eléctrica en el campo eléctrico que hay entre sus placas. Se representa por el símbolo de la figura 2.1a. Cuando se carga o descarga un condensador, varía la carga en sus placas y por tanto su diferencia de potencial. La carga o descarga se realiza cuando se unen las placas, bien a una fuente o a otro elemento como por ejemplo un conductor o una resistencia. De la ecuación anterior se deduce que, = La variación de carga da lugar a una corriente en el exterior del condensador, Dada la relación entre carga y tensión, podemos deducir la ecuación característica que relaciona corriente y tensión en un condensador, que con las referencias dadas en esta figura 1.1a es, =
100 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
() (2.2) Donde es la capacidad del condensador. Se mide en Faradios (F) y una unidad de esta magnitud equivale a un amperio·segundo/voltio (A·s/V). El faradio es, en la práctica una unidad excesivamente grande y los valores de los condensadores se suelen dar en microfaradios (F) o en picofaradios (pF). Podemos comprobar que un aumento de tensión corresponde a una corriente positiva y una reducción de la tensión aplicada al condensador corresponde a una corriente negativa. También se observa que si la tensión () es constante, entonces la corriente () es cero. De modo que un condensador alimentado con una fuente de tensión continua, una vez cargado, actúa como un circuito abierto. De la expresión (2.2) se deduce que la tensión en bornes del condensador es una función continua, ya que de otro modo su derivada no estaría definida en los puntos de discontinuidad. Por tanto en los bornes de un condensador no puede haber variaciones bruscas de tensión, independientemente del circuito al que se encuentre conectado. () =
Figura 2.1 La relación inversa a la (2.2) se puede obtener por integración entre un instante inicial y un instante , resultando: () 1 = () Que al integrar nos da,
⇒
Z
() 1 =
Z
()
Z 1 () (2.3) que indica que la tensión en los bornes del condensador en un tiempo es igual a la tensión acumulada desde −∞ hasta el instante más () = +
2.1. COMPONENTES
101
la tensión acumulada a partir de este instante. La energía almacenada en el condensador se puede calcular obteniendo la potencia suministrada a dicho condensador. () (2.4) La energía almacenada en el campo eléctrico dentro del condensador es, () = ()() = ()
Z
Z
Z () () 1 () = () = () ()() = 2 () = 2 −∞ −∞ (−∞) Ya que suponemos que en = −∞ el condensador esta descargado.
1 (2.5) () = 2 () 2 La ecuación (2.5) es la energía almacenada en el condensador, que es igual a la suministrada por la fuente para cargarlo. En la práctica el condensador real suele presentar unas pérdidas representadas por medio de una resistencia en paralelo con el condensador como se indica en la figura 2.1b. Bobina: Inductancia Una bobina o inductor es un componente de circuito formado por el arrollamiento de un conductor sobre un núcleo, cilíndrico o no, que se caracteriza por un parámetro llamado inductancia . Los núcleos de las bobinas pueden ser no magnéticos y magnéticos, los magnéticos concentran más las líneas de campo magnético dentro del núcleo, por lo que se producen menos pérdidas; es decir, hay menos líneas de campo que no atraviesan todas las espiras de la bobina. Una bobina es un elemento de circuito capaz de almacenar energía magnética. Se representa por el símbolo de la figura 2.2a. En la bobina los cambios de flujo del campo magnético, debido a la ley de inducción electromagnética, producen variaciones de tensión entre sus bornes o terminales. El cambio de flujo magnético es proporcional a la variación de corriente en la bobina, siendo la inductancia o coeficiente de autoinducción la constante de proporcionalidad. La ecuación que expresa estas ideas, conocida como la ecuación característica de la bobina, con las referencias indicadas en la figura 2.2a es, () () = (2.6)
102 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
Figura 2.2 El coeficiente de autoinducción o inductancia se mide en Henrios (H) y equivale a un voltio·segundo/amperio (V·s/A). Los rangos usados normalmente en electrónica son del orden de milihenrios (mH). Podemos comprobar que un aumento de la corriente corresponde a una tensión positiva y una reducción de la corriente da lugar a una tensión negativa. También se observa que si la corriente es constante, entonces la tensión () es cero. De modo que una bobina alimentada con una corriente continua actúa como un cortocircuito. Si por el contrario, la corriente () cambia con rapidez, se obtendrá una tensión elevada entre los terminales. Otro aspecto a considerar y que se deduce de la expresión (2.6) es que la corriente en los bornes de una bobina no puede variar bruscamente ya que la tensión se haría infinita, lo que es físicamente imposible. Por tanto, la corriente en una bobina es una función continua. La relación inversa a la (2.6) se puede obtener por integración entre un instante inicial y un instante : Z Z () () 1 1 () = () ⇒ = 0 0 Que al integrar nos da () = +
1
Z
()
(2.7)
0
Que indica que la corriente en la bobina en un tiempo es igual a la corriente hasta el instante más la corriente que se desarrolla a partir de este instante. La potencia que puede liberar el inductor es la misma, salvo pérdidas, que almacena y que le suministra la fuente al establecer la corriente. () () La energía almacenada en la bobina será, () = ()() =
2.2. CIRCUITO − SERIE
() =
Z
() =
−∞
Z
103
−∞
() () =
Z
()
()(())
(−∞)
1 (2.8) () = 2 () 2 En una bobina real, asociado con el valor de la autoinducción hay también una resistencia debido a que la bobina consiste en un conductor arrollado sobre un núcleo que puede ser o no de material ferromagnético en el que también se producen efectos térmicos. Por tanto, el circuito equivalente a una bobina real es una autoinducción ideal en serie con una pequeña resistencia como muestra la figura 2.2b.
2.2.
CIRCUITO − SERIE
2.2.1.
Tensión escalón
La conexión de un voltaje constante a un circuito se caracteriza mediante una señal eléctrica denominada tensión escalón. Esta se representa por una función escalón, cuya expresión matemática es la siguiente:
() =
⎧ ⎨ 0 ⎩
para todo 0 (2.9) para todo ≥ 0
Una función escalón () toma un valor constante en el origen de tiempos.
Figura 2.3 La función escalón es físicamente irrealizable, debido a que los componentes físicos tienen naturaleza continua y no es posible un salto instantáneo. En la figura 2.3a y b se muestra esta función y una función escalón real.
104 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
2.2.2.
Corriente de conexión
Dado un circuito con resistencia e inductancia en serie, circuito − serie, como el indicado en la figura 2.4, nos interesa conocer la respuesta, es decir, la corriente que circula por el circuito cuando se le aplica un voltaje constante .
Figura 2.4 La corriente se calcula resolviendo la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito. Dicha ecuación diferencial se obtiene aplicando la ley de Kirchhoff para los voltajes, X
E =
X
En el caso del circuito que nos ocupa los valores de E son por un lado la que corresponde a la batería unida al circuito y por otro la fuerza electromotriz inducida en la autoinducción cuando varía la corriente que circula por ella, dicha f.e.m. es, como se demuestra al estudiar la inducción electromagnética, igual a −(); el signo menos indica que se opone al paso de corriente que la origina. La suma de fuerzas electromotrices será, X E = − El segundo miembro, dado que sólo hay una resistencia, es X
=
La forma habitual de expresar la ecuación diferencial que resume lo dicho anteriormente es, (2.10) + = La solución de la ecuación (2.10) se obtiene de la forma siguiente: Primero
2.2. CIRCUITO − SERIE
105
resolvemos la ecuación homogénea y después añadimos la solución particular de la no homogénea. Solución de la ecuación homogénea, + =0 Esta ecuación es lineal de primer orden con coeficientes constantes, y su solución es del tipo = exp(). Si llevamos ésta solución a la ecuación diferencial homogénea, es decir, realizando las operaciones que indica la ecuación, podemos comprobar que la verifica con un valor de = −. La solución es por tanto una corriente de forma,
) Podemos comprobar que esta corriente verifica la ecuación diferencial homogénea, es decir, si multiplicamos por la derivada de con respecto a y sumamos el producto de por encontramos que el resultado es cero. Solución particular de la no homogénea. = exp(−
+ = Una solución de la forma = verifica la ecuación, ya que con constante = 0. Sumando ambas soluciones obtenemos la solución general de la ecuación (2.10), que es,
) + (2.11) La constante de integración se determina aplicando las condiciones iniciales del circuito. Cuando = 0 la variación de la corriente es muy rápida y la f.e.m. inducida que se opone a la variación de corriente es igual a , por tanto (0) = 0. Llevando esta condición a la ecuación (2.11) obtenemos, = exp(−
0) + =+ =0 Despejando se obtiene , exp(−
=−
106 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE Sustituyendo el valor de en la ecuación (2.11) tendremos , (2.12) (1 − exp(− )) = (1 − −() ) La ecuación (2.12) expresa el comportamiento de la corriente en el circuito − cuando se le aplica repentinamente un voltaje . La representación gráfica de dicha corriente se indica en la figura 2.5. La corriente parte de un valor nulo para = 0 y alcanza el valor para = ∞. Es decir, inicialmente la inductancia se opone al paso de la corriente y cuando transcurre tiempo el único elemento que limita la corriente es la resistencia . Vemos por tanto que la inductancia se opone a los cambios bruscos de corriente. =
Figura 2.5
2.2.3.
Constante de tiempo del circuito −
Dado que la corriente tiende al valor o al valor cero de una forma muy lenta a partir de un tiempo , interesa calcular un parámetro que nos indique la rapidez con que se alcanza un valor significativo de la corriente. Si observamos la ecuación (2.12), cuando el exponente es la unidad, () = 1, la corriente es, =
(1 − exp(−1) ' (1 − 0 368)
0 632 De lo anterior se deduce que para = = , la corriente alcanza prácticamente el 63 % del valor final. La constante '
=
(2.13)
2.3. CIRCUITO − SERIE
107
Recibe el nombre de constante de tiempo del circuito − y es un parámetro que nos da idea del predominio de la componente inductiva sobre la resistiva, o viceversa. Además nos indica la rapidez con que se alcanza un valor significativo de la corriente (el 63,2 % de su valor final). La constante tiene dimensiones de tiempo.
2.3.
CIRCUITO − SERIE
2.3.1.
Corriente de conexión
En este apartado analizaremos el comportamiento de la corriente en un circuito − en serie como el indicado en la figura 2.6 cuando se le conecta a un generador.
Figura 2.6 La forma de operar es similar al caso del circuito − . La conexión al generador se efectúa pasando el conmutador S de la figura 2.6 a la posición 1. Aplicando la ley de Kirchhoff para voltajes obtenemos la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito. En este caso, es la carga del condensador en cada instante y el voltaje entre las placas del condensador, según la definición de capacidad de un condensador ( = ), será = . Por tanto, la tensión aplicada es igual a la caída de tensión en la resistencia más la correspondiente al condensador, es decir, + Dado que = , la ecuación anterior queda de la forma, =
=
+
(2.14)
(2.15)
108 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE La solución se obtiene de forma similar al caso del circuito − , ya que es el mismo tipo de ecuación diferencial. Solución de la homogénea, = exp(−
)
Solución particular de la no homogénea, = La solución general será, = exp(−
) +
Como en el caso anterior, para determinar la constante aplicamos las condiciones iniciales. En este caso, si suponemos inicialmente descargado el condensador , en = 0, = 0, de donde se deduce que, exp(0) + = 0 → = − Por tanto, = (1 − exp(−
))
(2.16)
La expresión para la corriente se obtiene derivando la ecuación (2.16) con respecto al tiempo, de forma que, =
exp(− )
(2.17)
Es decir, la corriente varia desde el valor inicial hasta cero para = ∞, lo que expresa que el valor inicial de la corriente sólo está limitado por la resistencia , ya que el condensador en el instante inicial se comporta como un cortocircuito, pues el voltaje entre sus placas es nulo cuando = 0. La representación gráfica de las variaciones de e con el tiempo se muestra en la figura 2.7 y .
2.4. CIRCUITO − − SERIE
109
Figura 2.7
2.3.2.
Constante de tiempo del circuito −
Operando de forma análoga al caso del circuito − obtenemos que para = , tanto la carga expresada por la ecuación (2.16) como la tensión , alcanzan aproximadamente el 63,2 % de su valor final. Al mismo tiempo la corriente (2.17) y el voltaje en bornes de la resistencia , decrecen hasta el 36,8 % aproximadamente de su valor inicial. Como establecíamos para el circuito − , en este caso la constante de tiempo es, =
(2.18)
nos muestra la rapidez o lentitud con que se verifica el proceso de carga y descarga del condensador. En este circuito cuanto mayor sean y tanto más tardarán en alcanzarse los valores finales de e calculados anteriormente.
2.4.
CIRCUITO − − SERIE
En este apartado estudiaremos el comportamiento del circuito indicado en la figura 2.8, cuando el conmutador S conecta el circuito a la batería (posición 1). Después estudiamos dicho circuito cuando el conmutador pasa de la posición 1 a la 2 una vez cargado por completo el condensador, es decir, cortocircuitamos, lo que produce la descarga del condensador.
110 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
2.4.1.
Corriente de conexión en el circuito − − serie
Comenzamos estableciendo la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito − − Aplicamos la ley de Kirchhoff para tensiones y obtenemos, =
++
(2.19)
Figura 2.8 Suponemos el condensador descargado inicialmente y constante. Dado que aplicamos una tensión, resulta más cómodo obtener las condiciones iniciales para la tensión en el condensador; por esta razón resolvemos la ecuación diferencial en = , y teniendo en cuenta que = = , podemos calcular la corriente. Con estas condiciones la ecuación (2.19) queda de la forma, 2 + + (2.20) 2 La solución general será la suma de la correspondiente a la ecuación homogénea más la solución particular de la no homogénea. La ecuación homogénea es, =
2 + + =0 2 Esta ecuación es lineal de segundo orden con coeficientes constantes, que tiene las soluciones,
exp(−)
o
( + ) exp(−)
Según que la ecuación característica tenga dos soluciones distintas o una solución doble. La ecuación característica se obtiene llevando = exp(−) a la ecuación diferencial, de forma que,
2.4. CIRCUITO − − SERIE
111
2 − + 1 = 0
(2.21)
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son:
1 =
2 =
+ 2
õ
− 2
õ
2
¶2
2
¶2
1 −
!12
1
!12
−
(2.22)
Para distintos valores de , y obtendremos diferentes valores de las raíces y por tanto del voltaje y la corriente. En el caso de que = 0 ó = 0, tendremos una indeterminación, ya que = ∞ , pero estos valores corresponden a un circuito − (caso = 0), que hemos estudiado anteriormente; o a un circuito abierto (caso = 0) por el que no circula corriente. Estudiamos a continuación los distintos casos que se pueden dar, según sean los valores de , y . a) Caso 1 = 0 y distintos de cero. Ahora las constantes toman los siguientes valores, µ ¶ 1 12 1 = − La solución será de la forma,
µ ¶ 1 12 y 2 = − −
= + exp((−1)12 ) + exp(−(−1)12 ) Si expresamos (−1)12 = ( = unidad imaginaria) = + exp( ) + exp(− ) Como exp(±) = cos ± sen = + ( + ) cos + ( − ) sen
Para calcular las constantes y aplicamos las condiciones iniciales
112 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE En el instante inicial el condensador está descargado, = 0, y que la inductancia se opone al cambio brusco de la corriente, = 0, por tanto, De = 0 para = 0 → = −( + ) De = 0 para = 0 → ( − ) = 0 El sistema de ecuaciones obtenido es, + = −
( − ) = 0
Por tanto, resolviendo dicho sistema obtenemos, ==−
2
La solución será en este caso = (1 − cos ) Y la corriente = = () será, = sen Es decir, tendríamos una corriente sinusoidal. Este es un caso hipotético, ya que no existen circuitos reales con resistencia nula. b) Caso 2 (2)2 − (1) 0 Cuando los parámetros del circuito satisfacen la relación anterior, 1 y 2 son diferentes, ya que el radical es distinto de cero y la solución será de la forma, = + exp(− 1 ) + exp(− 2 ) La determinación de las constantes A y B se logra aplicando las condiciones iniciales, para = 0 = 0 = 0. De = 0 = 0 → + = − De = 0 = 0 → 1 + 2 = 0 + = −
1 + 2 = 0
2.4. CIRCUITO − − SERIE Poniendo 1 = + y 2 = − !12 õ ¶ 1 2 = − ; = 2 2 Resolviendo las ecuaciones para y obtenemos µ ¶ µ ¶ = −1 =− 1+ 2 2 Llevando estos valores a la solución para tendremos, µ ¶ ¶ ¸¾ ½ ∙µ 1 = 1 + − − 1 − − + 1 2
113
(2.23)
(2.24)
La corriente = () queda de la forma µ ¶ 2 − 2 − 2 − 2 − + (2.25) − = 2 El voltaje varía de = 0 para = 0 hasta = para → ∞ dado que es mayor que , por tanto exp(−) exp(+) → 0. También exp(−) exp(−) tiende a cero cuando → ∞. La corriente parte de un valor cero para = 0, crece hasta un valor máximo, cuyo valor e instante en que se produce depende de los parámetros del circuito, decreciendo posteriormente hasta = 0 para → ∞, ya que como hemos visto antes los términos exponenciales tienden a cero cuando →∞ Una representación gráfica de e se muestran en la figura 2.9 y .
Figura 2.9 c) Caso 3 (2)2 − (1) = 0
114 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE Este es un caso especial en que la ecuación característica tiene dos raíces idénticas y por tanto la solución es de la forma, = + ( + ) exp(−)
(2.26)
Imponiendo las condiciones iniciales para e como en el caso anterior obtenemos, = −
( − ) = 0
De donde se deduce que, Por tanto,
= −
y
= −
£ ¤ = 1 − (1 + )−
(2.27)
Y la corriente = ,
= 2 −
(2.28)
Las funciones tienen una forma gráfica parecida a las del caso anterior, pero en este se alcanzan los valores finales más rápidamente. Este caso se le conoce como amortiguamiento crítico, ya que se pasa de una variación aperiódica a la oscilatoria amortiguada cuando disminuye como veremos a continuación. d) Caso 4 (2)2 − (1) 0 Con esta condición las raíces de la ecuación característica son imaginarias = + con, " µ ¶2 #12 1 = (2.29) y = − 2 2 La solución general en este caso es de la forma, ³ ´ = + − + −
Teniendo en cuenta la relación ± = cos ± sin podemos expresarla de manera que, = + − ( cos + sen ) Donde = + y = −
2.4. CIRCUITO − − SERIE
115
Volviendo a imponer las condiciones iniciales anteriores: = 0 e = 0 para = 0, determinaremos las constante y . De = 0
para = 0
De
para = 0
=0
−
→ + = 0
→ − = 0
= − = 0
Resolviendo el sistema para y , obtenemos = − y = − La solución en este caso queda: ¶¸ ∙ µ − = 1 − (2.30) cos + sen La corriente, derivando y haciendo operaciones, queda, 2 + 2 − sen (2.31) = Las dos soluciones expresan un comportamiento oscilatorio amortiguado como el indicado en la figura 2.10 y .
Figura 2.10
2.4.2.
Consideraciones energéticas
Interesa analizar el intercambio energético en el proceso que sigue a la conexión de la fuente al circuito − − Partiendo de la ecuación diferencial (2.19), si multiplicamos ambos miembros por , obtenemos,
116 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
+ 2 + Teniendo en cuenta que = , dicha ecuación se transforma en =
1 Integrando a lo largo del proceso, es decir, de = 0 a = ∞ = + 2 +
Z
∞
=
0
Z
∞
+
0
El término
Z
∞
2 +
0
Z
∞
=
0
1
Z
(2.32)
(2.33)
0
1 £ 2 ¤∞ 0 =0 2
Ya que = 0 en ambos límites. Esto significa que la inductancia sólo almacena energía transitoriamente, energía que se va intercambiando con el condensador y disipándose en la resistencia . El término 1
Z
0
=
1 £ 2 ¤ 1 2 1 0 = = 2 2 2 2
Dado que para = ∞ = = 2 que es la carga almacenada por el condensador. En otras palabras, este término es la energía almacenada por el condensador al final del proceso. El término
Z
∞
2
0
Representa la energía disipada por efecto Joule en la resistencia, que como veremos a continuación es igual a la mitad de la energía suministrada por el generador de voltaje El primer miembro de la ecuación (2.33), sustituyendo dada por la ecuación (2.31), queda,
2.4. CIRCUITO − − SERIE
Z
∞
0
117
Z 2 + 2 ∞ − sen 0 ¸∞ 2 ∙ − 2 (− sen − sen ) 2 + = 2 + 2 0 Z ∞ 2 + 2 = 2 = 2 2 + 2 0 Z ∞ = 2 (2.34)
= 2
0
Por tanto,
2
=
∞
2 +
0
De donde se deduce que,
Z
Z
∞
0
2 =
1 2 2
1 2 2
(2.35)
Concluyendo, el generador durante el proceso suministra la energía 2 . De esta energía, la mitad se disipa en la resistencia y la otra mitad se almacena en el condensador.
2.4.3.
Factores característicos de un circuito − − serie
En el voltaje y corriente producido por la carga o descarga del condensador en el circuito − − serie aparecen unos factores característicos. El conocimiento de dichos factores nos informa de una manera sencilla sobre las características más importantes del proceso. Dichos factores se analizan a continuación: a) Frecuencia de oscilación propia Cuando hemos estudiado el circuito con = 0, veíamos que voltaje y corriente oscilan sinusoidalmente, siendo su periodo y frecuencia de oscilación, 1 = 2 = (2.36) (1)12 2
118 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE A se le conoce como frecuencia de oscilación propia o frecuencia propia del circuito y depende de los valores de capacidad e inductancia. Cuanto menores sean y mayor es . Esta frecuencia se puede medir con un osciloscopio o un frecuencímetro. Conocida , determinamos ó si conocemos ó . 2 = 2 ()12 Es el periodo de oscilación propia. =
(2.37)
b) Seudoperiodo Cuando las variaciones de voltaje o corriente son oscilaciones amortiguadas, los máximos se repiten cada periodo = (2) (véase la ecuación (2.31). Ã µ ¶2 !−12 1 (2.38) − = 2 2 A este tiempo se le conoce como seudoperiodo, ya que difiere del periodo propio . Podemos expresar en función de y la constante de amortiguamiento = (2) ¡ ¢−12 = 2 2 − 2 (2.39)
La relación (2.39) pone de manifiesto que cuanto menor sea el amortiguamiento, más se aproxima a c) Constante de tiempo
Si observamos la ecuación (2.31) para las oscilaciones de corriente amortiguada, comprobamos que la amplitud de dichas oscilaciones decae a 1 de su valor inicial, es decir, se reduce al 36.78 % de su valor inicial para un tiempo = (1) =
2 =
A este tiempo, =
2
(2.40)
2.4. CIRCUITO − − SERIE
119
Se la llama constante de tiempo o tiempo de relajación. En este caso es el doble del obtenido cuando estudiamos el circuito − serie. El conocimiento del factor nos da idea de la rapidez con que se amortiguan las oscilaciones del circuito. d) Decremento logarítmico Cada seudoperiodo la corriente pasa por un máximo relativo. La relación entre las amplitudes de dos máximos consecutivos es: exp(−) = = exp ( ) +1 exp (−( + )) Tomando logaritmos en ambos miembros de la expresión anterior, obtenemos (2.41) ln ( ) − ln (+1 ) = = ∆ La magnitud ∆ = recibe el nombre de decremento logarítmico y nos da idea del decaimiento progresivo de la corriente. Calculamos ∆ en una corriente o voltaje oscilatorio amortiguado, partiendo de la medida de dos amplitudes sucesivas de corriente o voltaje y del seudoperiodo. Dado que = 1 , de esta forma también podemos calcular la constante de tiempo del circuito. e) Resistencia crítica Si en un circuito − − serie aumentamos la resistencia , se puede observar el paso de una oscilación amortiguada del voltaje o corriente a un decaimiento exponencial. El punto crítico en esta transición, conocido como amortiguamiento crítico, ocurre cuando = 0. En estas circunstancias sen() = 0. sen() =1 cos() = 1 y Como, " µ ¶2 #12 µ ¶2 1 1 −→ = − = 2 2
120 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE de donde,
µ ¶12 (2.42) =2 Este valor de la resistencia se le llama resistencia crítica y, como indica la relación (2.42), depende de los valores de y . Cuando se cumple la condición = 0, si tenemos en cuenta que = (1)12 y = 2, se verifica que, = 1 La característica más importante del amortiguamiento crítico es que el sistema pasa de un estado a otro en el menor tiempo posible y sin oscilaciones, al contrario de lo que ocurre en el amortiguamiento normal, en el que los cambios de un estado a otro tardan más, dependiendo del valor de . Para resistencias superiores a la crítica el cambio puede durar minutos.
2.5. PROBLEMAS
2.5.
121
PROBLEMAS
P 2.1 Tenemos dos circuitos como los indicados en la figura P2.1 y . Cuando se cierra el interruptor de los dos circuitos. ¿Qué diferencia existe entre las corrientes iniciales de cada circuito? Si reducimos a la mitad. ¿Qué parámetro del circuito cambia y en qué proporción?.
Figura P2.1 P 2.2 Al cerrar el interruptor S del circuito indicado en la figura P2.2, circula por él una corriente oscilatoria que se inicia y termina con valor nulo. Explicar qué componentes del circuito y por qué razón determinan los valores inicial y final de la corriente indicados.
Figura P2.2
Figura P2.3
P 2.3 En el instante = 0 se cierra el conmutador S en el circuito − indicado en la figura P2.3. Calcular las energías suministrada por la batería, disipada en la resistencia y almacenada en el condensador. P 2.4 En un instante dado el conmutador S de la figura P2.4 pasa de la posición 1 a la 2. Calcular el intercambio de energía en el circuito − . Suponemos que en dicho instante por el circuito − circula una corriente = .
122 CAPÍTULO 2. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
Figura P2.4
Figura P2.5
P 2.5 Dado el circuito indicado en la figura P2.5, en el instante = 0 se cierra el interruptor S. Calcular la corriente () que circula por . P 2.6 En el circuito indicado en la figura P2.6 el conmutador S está inicialmente en la posición 1, alcanzando el estado estacionario. En un instante, que consideramos = 0, pasamos S a la posición 2. Calcular la corriente () que circula por .
Figura P2.6
Figura P2.7
P 2.7 Dado el circuito que muestra la figura P2.7, calcular la corriente que circula por 1 cuando cerramos el interruptor S. P 2.8 A un circuito formado por una resistencia = 1 kΩ en serie con una autoinducción = 3 H, se le suministra una corriente de la forma que muestra la figura P2.8. 1) Calcular la energía suministrada al circuito entre 0 y 10 s, y entre 0 y 35 s. 2) Calcular la energía almacenada en la autoinducción en el instante = 35 s.
2.5. PROBLEMAS
123
Figura P2.8
Capítulo 3
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA FENÓMENOS ESTACIONARIOS ESQUEMA-RESUMEN Objetivos Genérico Estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos cuando se aplica una tensión sinusoidal, analizando la respuesta en función de la frecuencia y los parámetros de los componentes que intervienen. Específicos Comprender las características de una función sinusoidal, amplitud, periodo, frecuencia, pulsación. Saber calcular los valores medios y eficaces de una función periódica. Saber representar en forma compleja una función sinusoidal, fasores. Comprender la respuesta de componentes, y a una tensión sinusoidal. Conceptos de reactancia inductiva y capacitiva. Saber aplicar la segunda ley de Kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que describe el funcionamiento de un circuito − , − 125
126
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA y − − cuando se le aplica una tensión sinusoidal. Dominios del tiempo y la frecuencia. Comprender su significado y resolver las ecuaciones para cada caso citado en el apartado anterior, aplicando las relaciones en el dominio de la frecuencia. Saber manejar las tensiones y corrientes en forma compleja. Desfase entre tensiones y corrientes, influencia de los componentes del circuito. Comprender y aplicar los conceptos de impedancia, reactancia inductiva, reactancia capacitiva. Saber manejar la impedancia compleja, módulo y argumento. Saber manejar la representación fasorial de tensiones, corrientes y de la impedancia compleja. Comprender las aplicaciones de la asociación de impedancias en serie y paralelo. Concepto de admitancia, conductancia y susceptancia. Susceptancia inductiva y capacitiva. Manjar la trasformación entre impedancias dispuestas en estrella y triángulo Conceptos de potencia instantánea, activa y reactiva. Factor de potencia. Comprender el significado de la potencia compleja y su relación con las potencias activa y reactiva. Potencia aparente. Comprender el significado de la función de transferencia de un circuito cuando se aplican tensiones de frecuencia variable. Diagrama de Bode Saber manejar la aplicación de tensiones de frecuencia variable a un circuito − − . Comprender el fenómeno de resonancia, frecuencia de resonancia, curva de resonancia.
127 Comprender el significado del factor o de calidad de un circuito y su dependencia de los parámetros del circuito. Requisitos previos Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores, y saber aplicar los instrumentos de cálculo como la derivación, integración y números complejos.
128
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Vamos a estudiar el comportamiento de circuitos eléctricos en el caso de que se aplique una tensión de forma sinusoidal. Se supone, que tanto el generador o fuente como los componentes del circuito, son lineales. Estudiar el comportamiento de un circuito sometido a una tensión o voltaje sinusoidal es la forma más sencilla de analizar los fenómenos estacionarios en un circuito eléctrico. Existen generadores de tensión periódica no sinusoidal. Cuando este tipo de voltaje se aplica a un circuito su respuesta es muy compleja, pero pueden analizarse los resultados partiendo de que todo voltaje periódico puede representarse mediante una serie de Fourier en la que cada término es de forma sinusoidal. Por esta razón interesa estudiar el comportamiento de circuitos cuando se les aplican tensiones sinusoidales, ya que los resultados son aplicables tanto al caso sinusoidal como al periódico no sinusoidal.
3.1.
FUNCIÓN SINUSOIDAL
La expresión general de una onda sinusoidal viene dada por cualquiera de las siguientes funciones: () = sin( − )
() = cos( − )
(3.1) (3.2)
es la amplitud, es la pulsación o frecuencia angular y es el ángulo de fase. En la figura 3.1 se representa esta señal, indicando sus parámetros principales. El periodo de la señal viene dado por, 2 1 = = Donde es la frecuencia de la señal, que es la inversa del periodo . se mide en rad/s ; en s y en hertzios (Hz ó c/s). El valor medio de la función es Z 1 = = sin( − ) = 0 (3.3) 0
3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL y el valor eficaz: =
µ
1
Z
0
129
¶12 [ sin( − )] =√ 2 2
(3.4)
Figura3.1 Al hablar de corriente alterna (c. a.), se entiende que nos referimos a corriente alterna de tipo sinusoidal. Fundamentalmente esto es así porque la onda seno o coseno es la que se obtiene en los generadores de c.a. (alternadores) de las centrales eléctricas y constituye además la base de la producción, transporte y distribución de la energía eléctrica. Además, desde el punto de vista de la teoría de circuitos la onda sinusoidal presenta las siguientes ventajas: Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una sinusoidal de la misma frecuencia La suma de ondas sinusoidales de igual frecuencia, pero de amplitud y fase arbitrarias es una sinusoide de la misma frecuencia, lo cual es interesante para aplicar las leyes de Kirchhoff. Admite una representación de tipo exponencial y esto a su vez, como veremos más adelante, permite operar con vectores giratorios denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo. Por ello los circuitos de c.a. utilizan como base operativa los números complejos. Además, se ha de destacar que según el desarrollo en serie de Fourier, cualquier función periódica puede representarse como una suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Este análisis puede extenderse incluso a señales no periódicas y discretas empleando la integral de Fourier.
130
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
3.1.1.
Representación compleja de una magnitud sinusoidal
Las funciones sinusoidales 1 () = sin( − )
2 () = cos( − )
Se pueden considerar como el resultado de proyectar un vector giratorio sobre los ejes de coordenadas del plano complejo. Para mostrar esto en la −→ figura 3.2 se ha dibujado un vector de módulo que forma con el eje real un ángulo . Sus componentes serán por tanto: −→ = cos − sin
(3.5)
−→ = −
(3.6)
El vector complejo se puede representar, teniendo en cuenta la relación de Euler, de forma exponencial,
Figura 3.2 Ahora bien, si este vector gira en sentido contrario a las agujas del reloj a una velocidad angular (rad/s), en un instante , medido a partir de la −→ posición inicial , habrá recorrido un ángulo que, unido al inicial supondrá un recorrido angular total dado por = −
Sus componentes, en dicho instante , son −→ = cos ( − ) + sin ( − )
O bien, en forma exponencial −→ = −(−)
(3.7) (3.8)
3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL
131
La posición correspondiente se ilustra en la figura 3.3. Como podemos −→ observar en esta figura, la proyección en el eje real del vector giratorio viene dada por i h Re (−) = cos ( − )
(3.9)
i h Im (−) = sin ( − )
(3.10)
−→ La proyección sobre el eje imaginario del vector giratorio es
En la figura 3.3 se muestran ambas proyecciones, real e imaginaria, que corresponden a las funciones coseno y seno respectivamente. El vector gira−→ torio se puede representar también −→ ¡ − ¢ =
La parte entre paréntesis representa la posición del vector en = 0, mientras que el término cuyo módulo es la unidad, indica el movimiento del vector. Dicha parte se denomina fasor y se trata, como hemos visto, de un vector cuyo origen es siempre el origen de coordenadas. Por este motivo se representa también con una letra mayúscula y en negrita: A = −
(3.11)
Podemos ver que conocido el módulo de un fasor y su fase, la evolución sinusoidal queda determinada por el factor Puesto que un fasor es un número complejo, admite también la representación en forma polar: A = ∠ −
(3.12)
La representación fasorial permite ver con sencillez el desfase entre diferentes señales sinusoidales e interpretar geométricamente las operaciones efectuadas sobre las magnitudes que representan. Las relaciones entre los valores eficaces y el máximo de la tensión y corriente sinusoidal, teniendo en cuenta la ecuación (3.4) son, =
√ 2
y
=
√ 2
En la práctica de la ingeniería eléctrica, dado que los voltímetros y amperímetros miden valores eficaces, se representan los fasores con los valores
132
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
eficaces.
Figura 3.3 Por ejemplo, los valores instantáneos de una tensión y una corriente, donde e son los valores eficaces de tensión y corriente respectivamente, se representan por, () = cos ( − ) () = cos ( − )
Teniendo "in mente"que la amplitud de la señal es, respectivamente e Los fasores asociados serán. V = ∠ −
;
I = ∠ −
Cuya representación se muestra en la figura 3.4a. Obsérvese que ambos fasores, al girar a la misma velocidad angular siempre tendrán la misma posición relativa. El desfase de los fasores de esta figura es = − lo que indica que la tensión se adelanta a la corriente (o la corriente se retrasa a la tensión). En muchos casos es conveniente tomar una de las señales como
3.2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
133
referencia de fases, lo que simplifica el cálculo con los números complejos. Por ejemplo, en la figura 3.4b se ha tomado la tensión como referencia. El desfase entre ambos vectores giratorios sigue siendo el mismo.
Figura 3.4 En lo que sigue utilizaremos los valores eficaces para la representación de los fasores.
3.2.
ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
Dominios del tiempo y de la frecuencia Vamos a analizar la respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de los tres elementos pasivos simples: resistencia, inductancia y capacidad. Supongamos que conocemos la corriente que circula por estos elementos y que es de la forma () = cos ( − )
Se trata de calcular la tensión en bornes en cada uno de ellos, que será también de tipo sinusoidal () = cos ( − )
La solución será encontrar los valores y en función de los valores conocidos para la corriente y del parámetro pasivo de que se trate. Las expresiones fasoriales de la tensión y la corriente son: V = − = ∠ −
;
I = − = ∠ −
Hemos tomado los valores eficaces, e , te tensión y corriente. A partir de estas expresiones y conociendo las relaciones entre la tensión y la corriente
134
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
para cada elemento pasivo, podremos determinar su respuesta sinusoidal.
3.2.1.
Resistencia
De acuerdo con la ley de Ohm, se cumple () = () Sustituyendo los valores temporales por su representación exponencial, (− ) = (− ) Como en los dos miembros tenemos el factor común , la relación en el dominio del tiempo se transforma en el dominio de la frecuencia en la siguiente relación fasorial, − = − V = I
(3.13)
Figura 3.5 Aplicando la igualdad de números complejos se deduce que, =
y
=
Por consiguiente, la tensión en bornes de la resistencia en el dominio del tiempo es, () = cos ( − )
(3.14)
3.2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
135
En la figura 3.5a se muestran estas señales, que están en fase. En la figura 3.5b se muestra el diagrama fasorial correspondiente. Ambos fasores están alineados ya que tienen la misma fase.
3.2.2.
Inductancia
En el caso de una bobina, vimos que la relación entre la corriente que circula por la bobina y la tensión en bornes de la misma venía dada por la ecuación, () () = Suponiendo que, = (− )
y () = (− )
(− ) = (− ) La relación temporal anterior en el dominio de la frecuencia es, V = I
(3.15)
Observemos que esta expresión es análoga a la ley de Ohm, la tensión compleja es proporcional a la corriente compleja y el factor de proporcionalidad es . El término = se le conoce con el nombre de reactancia 0 inductiva. Teniendo en cuenta que = 2 = 90 = 1∠90 , obtenemos Donde
= ∠ − = ∠ (− + 90 ) =
y
− = − + 90
De este modo, los valores de la tensión y la corriente en el dominio del tiempo son, () = cos ( − ) () = cos ( − + 90 )
(3.16)
En la figura 3.6 se han representado estas dos señales en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Se observa que la tensión está adelantada respecto de la corriente un ángulo de 90 . Análogamente, en la representación fasorial se observa que V está adelantado 90 respecto de I.
136
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Figura 3.6
3.2.3.
Condensador
En el caso de un condensador, vimos que la relación entre la corriente que circula por la bobina y la tensión en bornes de la misma venía dada por la ecuación, Z 1 () () = Sustituyendo como en el caso de la inductancia los valores temporales por su representación compleja queda, Z 1 (− ) 1 = = (− ) 0 Operando de forma análoga al caso anterior, la relación para el condensador en el dominio de la frecuencia es, 1 V= I (3.17) Observemos de nuevo que esta expresión es análoga a la ley de Ohm, la tensión compleja es proporcional a la corriente compleja y el factor de proporcionalidad es 1 = −, = −1 se conoce con el nombre de reactancia capacitiva Teniendo en cuenta que = 1∠90 , obtenemos 1 − = ∠ − = ∠ (− − 90 ) Donde = y − = − − 90 (− )
3.2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
137
Los valores de la tensión y la corriente en el dominio del tiempo son, () = cos ( − ) (3.18) cos ( − − 90 ) En la figura 3.7 se han representado estas dos señales en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Se observa que la tensión está retrasada respecto de la corriente un ángulo de 90 . Análogamente, en la representación fasorial se observa que V está retrasado 90 respecto de I. () =
Figura 3.7 El análisis anterior muestra que, en la representación fasorial (o en el dominio de la frecuencia) la tensión es proporcional a la corriente y que el factor de proporcionalidad, en función del elemento pasivo, viene dado por Resistencia: Bobina: Condensador:
V = I V = I V = (1) I
(3.19)
Este factor de proporcionalidad, de forma genérica, se denomina impedancia compleja Z, y nos permite escribir las relaciones (3.19) con una única expresión denominada ley de Ohm en notación fasorial: V = ZI
(3.20)
Donde Resistencia: Bobina: Condensador:
Z = Z = = Z = 1 = − =
(3.21)
138
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Es importante hacer notar que Z es un número complejo, pero no es un fasor, ya que no se corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio del tiempo como le ocurre a los fasores de tensión y corriente. Puesto que la impedancia es el cociente entre un fasor tensión y un fasor corriente, se medirá en ohmios. Como se puede observar de (3.21) para la resistencia, la impedancia es un número real, para la inductancia, es un número imaginario positivo y para el condensador, es un número imaginario negativo.
3.3.
ANÁLISIS DEL CIRCUITO − SERIE
El comportamiento de un circuito se caracteriza por su respuesta a una excitación sinusoidal. Vamos a representar la tensión sinusoidal teniendo en cuenta su valor eficaz.
3.3.1.
Dominio del tiempo
Comenzamos el estudio del comportamiento estacionario de circuitos compuestos con el formado por resistencia y autoinducción en serie, al que se aplica un generador de voltaje sinusoidal = cos como muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8 La ecuación diferencial que se obtiene al aplicar la ley de Kirchhoff para voltajes es la siguiente, + = cos (3.22) El primer término es la f.e.m. inducida en la inductancia y es la caída de tensión en la resistencia. La corriente que circula por el circuito se obtiene resolviendo la ecuación diferencial anterior. Dicha solución se compone de la correspondiente a la
3.3. ANÁLISIS DEL CIRCUITO − SERIE
139
homogénea, es decir, la estudiada en los fenómenos transitorios tratados en el capítulo anterior, y la solución particular de la no homogénea. Suponemos que en el circuito los fenómenos transitorios desaparecen muy rápidamente, prácticamente en unos milisegundos, y por tanto, en milisegundos, la corriente se reduce al resultado que proporciona la solución particular de la no homogénea. Para resolver la ecuación no homogénea, de acuerdo con el método de solución ecuaciones diferenciales, se ensaya una de la forma, = cos ( − )
(3.23)
Llevando esta corriente sobre la ecuación (3.22), es decir, realizando con las operaciones que en ella se indican obtenemos, − sen ( − ) + cos ( − ) = cos
Teniendo en cuenta que cos( ± ) = cos cos ∓ sen sen y que sen( ± ) = sen cos ± cos sen , realizando operaciones e igualando los términos en sen y cos , quedan las relaciones, − cos + sen = sen + cos
0 (3.24)
=
Con la primera de las ecuaciones anteriores se deduce que, De la segunda igualdad se deduce que, tan =
(3.25)
sen + cos Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas siguientes: =
sen = tan (1 + tan2 )−12 cos = (1 + tan2 )−12 Y el valor de tan dadp por la ecuación (3.25), se deduce que, (3.26) + ()2 )12 Las ecuaciones (3.25) para y (3.26) para nos determinan que, =
(2
140
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
= cos( − ) Al denominador de la ecuación (3.26) = (2 + ()2 )12 (3.27) A este término se le conoce con el nombre de módulo de la impedancia. El término = se denomina reactancia inductiva. El desfase entre voltaje y corriente queda determinado por y . En este caso la corriente se retrasa con respecto al voltaje un ángulo, = arctan (3.28) Es decir, en un circuito con una reactancia inductiva en serie con una resistencia la corriente se retrasa con respecto a la tensión aplicada. = arctan
3.3.2.
Dominio de la frecuencia
La solución de la ecuación diferencial (3.22) define el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo. Nuestro objetivo es calcular la solución particular de que representa la respuesta en régimen permanente de la red, mediante el empleo de las magnitudes fasoriales que hemos introducido antes. Comprobaremos que esto simplifica enormemente el procedimiento ya que nos permitirá transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Para simplificar consideramos la tensión del generador como referencia de fase, es decir, = 0. Para proceder a esta transformación sustituimos la excitación sinusoidal del generador por una función exponencial, () = () = = V
(3.29)
Donde V = 0 Representa al fasor de la tensión del generador. Hay que mantener siempre in mente que la tensión real () es la parte real de (), es decir, () = Re [ ()]. La ecuación diferencial (3.22) se convierte en V = +
(3.30)
3.3. ANÁLISIS DEL CIRCUITO − SERIE
141
Cuya solución estará relacionada con la corriente real () por () = Re [ ()] Suponemos, que la solución de (3.30) es una corriente exponencial de la forma () = (−) = − = I
(3.31)
Donde I = − Indica el valor fasorial de la corriente. Ahora bien, la derivada de (), teniendo en cuenta que la dependencia temporal está sólo en la exponencial , será () = I Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3.30) y eliminando la parte temporal, obtenemos V = I + I = ( + )I = ZI
(3.32)
Donde, Z = + Es la impedancia compleja correspondiente al circuito − serie. Como vemos, la ecuación (3.32) es una ecuación algebraica en I. Despejando esta incógnita obtenemos I=
V = − = 12 2 2 2 2 + ( + ) ( + 2 2 )12
Donde La expresión para la corriente exponencial se obtendrá añadiendo la dependencia temporal al fasor de intensidad obtenido = arctan
() = I =
(2
(−) = (−) 2 2 12 2 + ) ( + 2 2 )12
142
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
= (2 + 2 2 )12 Donde es el módulo de la impedancia del circuito − y la fase. Y la corriente real que circula por el circuito se obtiene al tomar la parte real de () es decir
() = Re [ ()] =
cos( − )
(3.33)
La representación gráfica de Z e I en el plano complejo se muestra en las figuras 3.9a y b, donde vemos que la corriente retrasa sobre la tensión aplicada, dado que la autoinducción se opone a los cambios de corriente al inducirse en ella una f. e. m. que se opone al cambio de corriente, es decir, se opone a la tensión aplicada.
Figura 3.9 La ecuación (3.32) define el comportamiento del circuito en el dominio de la frecuencia. Es importante comprender con este ejemplo sencillo el proceso de transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, que nos permite transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, cuya solución es muy simple. A continuación estudiaremos las respuestas sinusoidales de circuitos − y − − , aplicaremos el procedimiento enunciado en los apartados anteriores para el dominio de la frecuencia, con lo que simplificaremos el análisis de los circuitos correspondientes.
3.4. ANÁLISIS DEL CIRCUITO − SERIE
3.4. 3.4.1.
143
ANÁLISIS DEL CIRCUITO − SERIE Dominio del tiempo
De forma análoga al circuito − , podemos estudiar el circuito formado por resistencia y condensador conectados en serie con un generador de tensión = cos como el indicado en la figura 3.10. Para simplificar la escritura vamos a prescindir de subíndice , y como antes la corriente será la parte real del número complejo calculado.
Figura 3.10 En este caso la ecuación derivada de aplicar la ley de Kirchhoff para tensiones es la siguiente, + = cos (3.34) El término es el voltaje o tensión en bornes del condensador. R Teniendo en cuenta que = la ecuación anterior se transforma en la siguiente, Z 1 + = cos (3.35) Esta ecuación describe el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo.
3.4.2.
Dominio de la frecuencia
Aplicando lo establecido en los apartados 3.2 y 3.3, podemos poner la ecuación anterior en forma compleja y resolver dicha ecuación, que representa el comportamiento del circuito en el dominio de la frecuencia.
144
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
1 1 I+I = V = I( + ) (3.36) Despajado la corriente obtenemos su valor en función de la tensión y los parámetros que intervienen en el circuito. I=
V V = + 1 Z
(3.37)
Donde, 1 (3.38) = + Donde Z es la impedancia del circuito − . Como hemos supuesto que la tensión se toma como referencia de fases, V = 0 , si expresamos la corriente en forma módulo fase, Z = + 1 = −
I=
− (2 + (1)2 )12 tan =
−1
(3.39)
El término, 1 2 12 (3.40) ) ) es el módulo de la impedancia del circuito − y = −1 es la reactancia capacitiva. La corriente es, = (2 + (
() = Re I = Re (−) Por tanto, la corriente en el dominio del tiempo es, () =
cos( − ) (2 + (1)2 )12 = cos( − ) =
(2
+ (1)2 )12
(3.41) (3.42)
3.5. ANÁLISIS DEL CIRCUITO − − SERIE
145
Y queda determinada por los valores de y obtenidos mediante las relaciones (3.42) y 3.39). La ecuación (3.41) pone de manifiesto que en un circuito con reactancia capacitiva la corriente se adelanta sobre el voltaje aplicado en un ángulo dado por, = − arctan
1 = arctan
(3.43)
Figura 3.11 La representación gráfica de la corriente se muestra en la figura 3.11. Como se puede observar en la citada figura, la corriente se adelanta sobre el voltaje aplicado. Los ejemplos anteriores nos muestran que cuando en un circuito se produce un retraso de la corriente sobre el voltaje, podemos decir que predomina la componente inductiva. Cuando se adelanta, podemos deducir que predomina la componente capacitiva.
3.5. 3.5.1.
ANÁLISIS DEL CIRCUITO −− SERIE Dominio del tiempo
Ahora vamos a estudiar un circuito formado por resistencia, condensador y una autoinducción dispuestos en serie con un generador de tensión = cos como indica la figura 3.12. La ecuación diferencial para voltajes, obtenida aplicando la ley de Kirchhoff, que describe el comportamiento del circuito es,
+ + = cos
(3.44)
146
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
El primer término es la f.e.m. inducida en la autoinducción , la tensión en bornes del condensador y la caída de tensión en la resistencia.
1 ++
Z
= cos
Figura 3.12
3.5.2.
Dominio de la frecuencia
Procediendo de forma similar al caso del circuito − , la ecuación anterior en el dominio de la frecuencia es, I + I +
1 I=V
=⇒ I(+
1 + ) = V
Despejando I, I=
V (+
1
+ )
=
V = Z Z
(3.45)
Donde Z es la impedancia compleja del circuito − − serie.
¶ µ 1 ) = ( + ( + )) Z = + ( − En forma de módulo y argumento,
Con,
µ ¶ 1 2 12 Z = 2 + ( − )
+ − 1 = El módulo de la corriente I es, tan =
(3.46)
(3.47)
(3.48)
3.6. ASOCIACION DE IMPEDANCIAS
=
(2
El término,
= 2 12 2 + ( − 1) ) ( + ( + )2 )12
147
(3.49)
1 2 12 (3.50) ) ) = (2 + ( + )2 )12 Es el módulo de la impedancia del circuito − − serie. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, procediendo como en casos anteriores, la solución correspondiente a la corriente permanente será, = (2 + ( −
cos( − ) (3.51) Donde y se calculan mediante las ecuaciones (3.50) y (3.48). La solución pone de manifiesto lo siguiente: En primer lugar la corriente se desfasa con respecto al voltaje aplicado un ángulo , que depende de y . En segundo lugar que la impedancia se compone de un término resistivo y además de una reactancia inductiva y otra capacitiva −1. Los valores de estos términos determinan si la corriente se retrasa o adelanta sobre el voltaje aplicado. Cuando predomina la reactancia inductiva se retrasa y ocurre lo contrario cuando predomina la capacitiva. La representación de la impedancia en el plano complejo de muestra en la figura 3.13. =
Figura 3.13
3.6.
ASOCIACION DE IMPEDANCIAS
Una vez que hemos caracterizado los componentes de un circuito mediante unos parámetros, vamos a estudiar la asociación de distintos compo-
148
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
nentes y cómo se calculan los valores que corresponden a dicha asociación. Como hemos visto la impedancia compleja, de forma general, se representa mediante la relación, Z = + La parte real del número complejo representa la componente resistiva y la parte imaginaria la reactiva, el signo positivo de indica que es inductiva y si es negativo capacitiva.
3.6.1.
Impedancias en serie
Cuando dos impedancias se conectan en serie la corriente que pasa por ambas es idéntica. Los voltajes en los bornes de cada impedancia son, V1 = Z1 I El voltaje total aplicado será,
y
V2 = Z2 I
V = Z I = V1 + V2 = Z1 I + Z2 I = (Z1 + Z2 ) I De la relación anterior se deduce que la impedancia total Z es, Z = Z1 + Z2
(3.52)
(3.53)
(3.54)
Figura 3.14 Si conectamos impedancias en serie como muestra la figura 3.14, entonces, (3.55) Z = Z1 + Z2 + Z La impedancia del conjunto es igual a la suma de las impedancias individuales dispuestas en serie.
3.6. ASOCIACION DE IMPEDANCIAS
149
Como cada una de las impedancias Z es de la forma, Z = + Para obtener Z tendremos que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro. Los términos pueden ser reactancias inductivas de la forma o capacitivas de la forma −1 . En el caso de las dos impedancias siguientes, Z1 = 1 + 1
y
Z2 = 2 − 2
Z = (1 + 2 ) + (1 − 12 )
Para obtener la impedancia total en el caso de impedancias, se suman todas las partes reales por un lado y las imaginarias por otro, es decir, Z = (1 + 2 + ) + (1 + 2 + )
(3.56)
Impedancia Z en forma polar La representación de Z en forma polar es, Z = exp() =
(3.57)
Siendo, para el caso de impedancias en serie, = ((1 + 2 + )2 + (1 + 2 + )2 )12 = arctan(
3.6.2.
1 + 2 + ) 1 + 2 +
(3.58) (3.59)
Impedancias en paralelo
Cuando las impedancias se conectan en paralelo como indica la figura 3.14 el voltaje aplicado a todas es el mismo, por tanto la corriente respectiva que circulará por cada Z será I = VZ y la corriente total que suministra el generador es, I=
X 1
I = V(
1 1 1 V + ··· + )= Z1 Z2 Z Z
150
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA De donde se deduce que,
1 1 1 1 + ··· + (3.60) = Z Z1 Z2 Z Es decir, la inversa de la impedancia total es igual a la suma de las inversas de las impedancias conectadas en paralelo.
3.6.3.
Admitancia Y
En circuitos de elementos dispuestos en paralelo se suele utilizar la admitancia Y para representar los componentes del circuito. La admitancia se define mediante la relación. I (3.61) V Es decir, I = V Y. En un circuito elemental formado por una resistencia , la admitancia Y = = 1 a se le llama conductancia. Si se trata de un condensador , Y = ; y en el caso de una autoinducción. Y = 1. En circuitos con elementos dispuestos en paralelo el voltaje es común a los elementos; si cada elemento tiene una admitancia Y . Y=
I1 = Y1 V
;
I2 = Y2 V
;
I = Y V
por tanto, como I = I1 + I2 · · · + I , se deduce que, I = (Y1 + Y2 + Y ) V En consecuencia, Y = Y1 + Y2 + Y
(3.62)
La admitancia total es igual a la suma de las admitancias individuales dispuestas en paralelo. En el caso más general la admitancia se compone de una parte real y otra imaginaria, Y = +
(3.63)
Donde es la conductancia y a se le denomina susceptancia. La relación entre la impedancia Z y la admitancia Y es,
3.6. ASOCIACION DE IMPEDANCIAS
Y=
3.6.4.
1 Z
151
(3.64)
Asociaciones estrella y triángulo
La figura 3.15 muestra las dos configuraciones posibles de tres elementos pasivos: estrella y triángulo (Y ∆); que tienen carácter dual. Cada una de estas configuraciones puede sustituirse, a efectos externos del circuito, por su equivalente en la otra configuración. De esta forma se pueden realizar simplificaciones en los circuitos mediante transformaciones estrella-triángulo y triángulo-estrella. Las relaciones para estos cambios se conocen como Teorema de Kennelly y se calculan mediante un análisis de ambos circuitos. Para las referencias de la figura 3.15 resulta:
Figura 3.15 ⎧ ⎧ ⎨ 12 = 1 + 2 + (1 2 ) 3 ⎨ 1 = 12 + 31 + (12 31 ) 23 = 2 + 3 + (2 3 ) 1 ; = 23 + 21 + (23 21 ) 31 ⎩ 23 ⎩ 2 31 = 3 + 1 + (3 1 ) 2 3 = 31 + 32 + (31 32 ) 12 (3.65) Este tipo de circuitos son característicos de los sistemas trifásicos, que se utilizan en los generadores y motores habituales en la industria y distribución de energía eléctrica. Ejemplo 3.1 Dado el circuito indicado en la figura 3.16, calcular las relaciones entre impedancia y admitancia en un circuito − − serie.
152
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Figura 3.16 Solución Cuando un circuito tiene una impedancia, Z = + = + ( + ) Donde = y = −1. A esta impedancia le corresponde la admitancia, 1 + Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador queda, Y=
− = 2 − 2 2 + 2 La conductancia y susceptancia correspondientes al circuito indicado serán, Y=
= Dado que
2
=−
2
= +
− 2 2 El término − 2 se denomina susceptancia capacitiva, y el otro − 2 se llama susceptancia inductiva. En las figuras 3.16 y , se muestran el circuito serie y su equivalente paralelo tratado en el ejemplo que terminamos de exponer. =−
3.6. ASOCIACION DE IMPEDANCIAS
153
Ejemplo 3.2 Sea el circuito indicado en la figura 3.17. Vamos a aplicar el procedimiento visto para calcular lo siguiente: 1) Impedancia de cada rama. 2) Corriente en cada rama. 3) Impedancia conjunta de las dos ramas. 4) Corriente total que suministra la fuente de energía, () = 10 cos 104 .
Figura 3.17 El generador suministra una tensión, () = cos = 10 cos 104 De donde se deduce que, V = 10∠0
y
= 104 −1
Impedancias de cada rama La impedancia de la rama izquierda es una asociación en serie de una resistencia y una inductancia, por tanto su impedancia será, Z1 = 1 = 10 Z = = 104 × 10−3 = 10 Z1 = Z1 + Z = 10 + 10 El módulo y la fase correspondiente son, √ ¢12 ¡ = 10 2 [Ω] 1 = 102 + 102 µ ¶ 1 = arctan = arctan (1) → 1 = 45 La expresión exponencial de la impedancia es,
154
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA √ √ Z1 = 1 1 = 10 2 45 = 10 2 exp( 45 )
La impedancia de la rama derecha es una asociación en serie de una resistencia y una reactancia capacitiva, por lo que tendremos Z2 = 100 Z = 1 = −(104 × 10−6 ) = −100
Y la impedancia de la rama es
Z2 = Z2 + Z = 100 − 100
Su módulo y fase son,
√ ¢12 ¡ = 100 2 [Ω] 2 = 1002 + 1002 µ ¶ − = arctan (−1) → 2 = −45 2 = arctan La forma exponencial de Z2 es, √ √ Z2 = 2 2 = 100 2 − 45 = 100 2 exp(− 45 ) Corriente en cada rama Rama izquierda, √ 2 −450 V 10 = √ = I1 = Z1 2 10 2 45 La corriente real que circula por esta rama será √ £ ¤ 2 1 () = Re I1 = cos( − 45 ) 2 La corriente I2 será, 10 1 1+ 1 = = = (1 + ) 100 − 100 10(1 − ) 10(1 − )(1 + ) 20 √ 2 45 I2 = [A] 20 La corriente real que circula por esta rama será √ £ ¤ 2 2 () = Re I2 = cos( + 45 ) [A] 20 I2 =
3.7. POTENCIA
155
Impedancia conjunta Se obtiene asociando las dos impedancias Z1 y Z2 en paralelo, 1 1 1 1 1 + = = + Z Z1 Z2 10 + 10 100 − 100 Realizando operaciones, 1 1 1 1 1 = ( (1 − ) + (1 + )) = (10(1 − ) + (1 + )) Z 10 2 20 200 1 1 = (11 − 9) Z 200 ¶−1 µ 1 (11 − 9) 200 11 + 9 100 Z = 200 2 = (11 + 9) [Ω] 2 11 + 9 101 La corriente total I que suministra la fuente de energía será, I=
V 1 1 1 = I1 + I2 = (1 − ) + (1 + ) = (10(1 − ) + (1 + ) Z 2 20 20
1 (11 − 9) [A] 20 ¯ ¯ ¯ ¯1 ¯ |I| = ¯ (11 − 9)¯¯ ' 0 71 [A] 20 µ ¶ −9 ' −0 685 rad ' −39 170 21” = arctan 11 Si lo escribimos en forma módulo-argumento I=
)
I = 0 71(−393
[A]
La corriente real que suministra la fuente será, ¤ £ () = Re I = 0 71 cos( − 39 3 )
3.7.
POTENCIA
La potencia suministrada en cada instante es el producto del voltaje aplicado por la corriente que atraviesa el dispositivo. La potencia instantánea
156
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
(), para un dispositivo caracterizado por una impedancia Z = + , es de la forma, () = =
√ √ 2 cos 2 cos( − )
(3.66)
Considerando el desarrollo de cos( − ) obtenemos,
() = 2 (cos2 cos + cos sen sen ) En la figura 3.18 se han representado la tensión, la corriente y la potencia. Vemos que la potencia instantánea () toma valores negativos en los intervalos de tiempo en los que la tensión () y la corriente () tienen signos opuestos. La interpretación de estos resultados es que durante estos intervalos de tiempo se devuelve energía a la fuente procedente de los elementos pasivos contenidos en el receptor (condensadores, bobinas, etc.).
Figura 3.18 Se puede comprobar que esto sólo ocurre si existe desfase entre la tensión y la corriente, es decir, 6= 0 Y como ya se ha visto, para que haya desfase entre la tensión y la corriente es necesario que la red eléctrica pasiva contenga, además de elementos resistivos que disipan energía, elementos inductivos o capacitivos, que almacenan energía durante medio ciclo y la devuelven al circuito durante el medio ciclo siguiente. La energía devuelta por los condensadores y bobinas respectivamente, junto con la energía proveniente del generador, se transforma normalmente en calor en la resistencia del circuito. Pero cuando la energía devuelta por estos campos supera la energía disipada en la resistencia, el exceso de energía vuelve al generador; justamente en esos instantes la potencia absorbida por la carga es negativa, lo que indica que el generador que alimenta este circuito está recibiendo energía del receptor.
3.7. POTENCIA
157
En general, al conectar una red pasiva a un generador, la potencia media absorbida tendrá un valor medio no nulo y mayor que cero. Calculamos el valor medio de () considerando que el periodo = 2, Z 1 () = h()i = 0 Z ¢ ¡ 2 = 2 cos cos + cos sen sen 0 La integración de los dos componentes de la integral es,
Z
1 £ 2 ¤ sen 0 = 0 2 0 ∙ ¸ Z sen 2 2 cos cos = cos = cos + 2 4 2 0 0 La integración del término que contiene a sen cos sen es nula entre los límites 0 y . Este término representa la potencia fluctuante y es la energía por unidad de tiempo que se intercambia entre los elementos inductivos y capacitivos que componen el dispositivo. El resultado final de la integración para obtener el valor medio es, sen cos sen = sen
cos = cos (3.67) 2 La ecuación (3.67) representa la potencia activa y es la potencia suministrada al dispositivo. Dicha potencia activa, dependiendo del tipo de dispositivo, se disipa en los elementos resistivos o parte se trasforma en energía mecánica como ocurre en un motor eléctrico. El factor cos , se le conoce como factor de potencia, y depende del desfase entre corriente y voltaje provocado por la resistencia y reactancia del dispositivo al que se suministra energía. Este factor de potencia es tanto menor cuanto mayor sea , es decir, dado que, =2
(3.68) es mayor cuando domina sobre , en consecuencia el factor de potencia es menor si predomina la reactancia sobre la resistencia del circuito. Debido a que las instalaciones se calculan en función de la potencia máxima que debe suministrarse a un dispositivo, , interesa que la potencia activa = arctan
158
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
sea máxima, por tanto interesa que el factor de potencia cos tome valores muy próximos a la unidad. El término, = sen
(3.69)
Representa la potencia que se intercambia entre los componentes inductivos y capacitivos del dispositivo. Esta potencia se conoce con el nombre de potencia reactiva.
3.7.1.
Potencia en forma compleja
Utilizamos ahora la forma compleja de tensiones y corrientes para expresar la potencia. ¡ ¢¡ ¢ () = = 2 Re V Re I
La parte real de un número complejo A es,
1 Re A = (A + A∗ ) 2 ∗ Donde A es el complejo conjugado de A. Utilizando la última relación tendremos que, () = Re
£¡ ¢¡ ¢¤ V + (V )∗ I + (I )∗
Realizando operaciones comprobamos que,
¢ ¡ () = Re V I∗ +V I 2
Considerando que el receptor es una impedancia Z y tomando como fase de referencia la del voltaje , V = exp(0)
;
I = exp(−)
El conjugado de I es, I∗ = exp() El valor medio de () será,
3.7. POTENCIA
h()i =
1
159 Z
Re (cos + sen )
0
Z 1 + Re (cos(2 − ) + sen(2 − )) 0 Dado que = 2 , Z
0
Por tanto,
cos(2 − ) = 0 y
Z
0
sen(2 − ) = 0
h()i = Re (cos + sen ) = cos
Que coincide con el valor dado por la ecuación (3.67) calculado antes. Utilizando la forma compleja de voltaje y corriente, podemos obtener los valores de y a partir de la potencia compleja S, que se define mediante la siguiente ecuación, S = VI∗ = exp()
(3.70)
Con los valores de tensión V y corriente I introducidos anteriormente, S = exp() = (cos + sen ) Es decir, S = +
(3.71)
= Re (V I∗ )
(3.72)
= Im (V I∗ )
(3.73)
y,
Re indica parte real de, e Im parte imaginaria de. En forma verbal, es la parte real de S y la parte imaginaria. Al término se le llama potencia aparente, que es la máxima potencia activa que puede suministrarse al dispositivo en el caso de que cos = 1, lo que significaría que la reactancia es nula.
160
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
3.8.
ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
3.8.1.
Diagrama de Bode
La función de transferencia de un circuito electrónico es una función que depende de la frecuencia y que relaciona la respuesta del circuito a una señal de entrada V (3.74) G() = V Las frecuencias que se usan habitualmente en circuitos electrónicos abarcan un campo amplio. Por ejemplo, la excitación de un sistema de audio puede ser tan baja como 20 Hz o tan alta como 20 kHz. Por tanto, para calcular la respuesta de la red es importante conocer la magnitud y la fase de la función de transferencia del circuito G() a cada frecuencia. Un método adecuado para esto es el diagrama de Bode que es una representación gráfica de la función de transferencia, y sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Consta de dos gráficas separadas, una en la que se representa la magnitud de la función de transferencia y otra la fase. Normalmente, el módulo () de la función de transferencia se expresa en decibelios (dB), que como se sabe, es una unidad logarítmica que viene dada por () (dB) = 20 log ()
[en dB]
(3.75)
Ejemplo 3.3 Consideremos el circuito − de la figura 3.19. Determinar la función de transferencia del circuito y su diagrama de Bode. = 10 nF = 10−8 F. = 1 MΩ.
Figura 3.19
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
161
Aplicando la 2 ley de Kirchhoff tenemos, V = ( −
)I
De donde I= Y la salida del circuito es, V Operando
( − )
V = IZ = ( − )
µ ¶ −
V (1 + ) Luego, la función de transferencia del circuito es V =
V 1 = V (1 + ) Vamos a hacer el análisis de esta función. Para ello definimos la frecuencia de corte G() =
= 1 Con lo que el módulo de la función de transferencia viene dado por la siguiente función,
Y la fase es
1 () = h i12 1 + ( )2
) Con los valores de = 1 MΩ y = 10 nF, = 100 y la función de transferencia será, = − arctan(
1 () = h i12 1 + (100)2
;
= − arctan(
) 100
162
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Analicemos el comportamiento de () en los siguientes casos: Si ¿ ⇒ () → 1 ⇒ 20 log () → 0 p Si = ⇒ () = 12 ⇒ 20 log () = −301 dB
Si À ⇒ () → ( )−1 ⇒ 20 log () → −20 log( ) que, en un gráfico semilogarítmico, es una recta de pendiente negativa −20, y la fase → 0 rad Podemos representar esta función de transferencia gráficamente en lo que se conoce como diagrama de Bode, parte superior de la figura 3.20.
Figura 3.20 Una representación rápida se hace trazando la asíntota para frecuencias bajas, 20 log () = 0 y la asíntota para frecuencias altas, 20 log () = −20 log( ). Estas asíntotas se cortan en el punto = por este motivo se denomina frecuencia de corte En puntos cercanos a dicha frecuencia, el diagrama se modifica teniendo en cuenta el valor de la función de transferencia para ese entorno de frecuencias.
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
163
En cuanto a la fase de la función de transferencia, podemos hacer un análisis similar: Si ¿ ⇒ () → 0 Si = ⇒ ( ) = −4 Si À ⇒ () → −2 rad Su representación se muestra en la parte inferior de la figura 3.20. El circuito analizado en el ejemplo anterior es un filtro pasa bajo, es decir, que deja pasar las frecuencias bajas y atenúa las frecuencias altas. Se suele tomar la frecuencia de corte como el límite de atenuación tolerable en una respuesta casi plana. Ejemplo 3.4 Dado el circuito de la figura 3.21, calcular la función de transferencia y representarla mediante el diagrama de Bode. = 10 nF = 10−8 F. = 1 MΩ.
Figura 3.21 Solución La tensión en los terminales de la resistencia es, ∠0 () = + 1 1 + Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador tenemos, V = I =
164
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
(1 − ) ( + ) = 2 1 + () 1 + ()2 La función de transferencia será, V =
G() =
( + ) V = 1 + ()2
El módulo es, () =
´12 ³ 2 + 1 =³ () ´12 2 1 + () 1 + ()2
La frecuencia de corte se corresponde con la pulsación
1 Por tanto la función de transferencia queda de la forma, =
() = ³ ´12 1 + ( )2 ³ ´ = arctan Sustituyendo los valores de = 1 MΩ y = 10 nF = 10−8 F. = 100 rad () =
1 ´12 ; = arctan 100 ³ 2 1 + (100)
µ
100
¶
De forma análoga al ejemplo anterior, analizaremos el comportamiento de () en los siguientes casos: Si À ⇒ () → 1 ⇒ 20 log () → 0 p Si = ⇒ () = 12 ⇒ 20 log () = −301 dB
Si ¿ ⇒ () → ( ) ⇒ 20 log () → 20 log( ) que, en un gráfico semilogarítmico, es una recta de pendiente positiva 20. La fase → 2 rad, 90 .
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
165
Podemos representar esta función de transferencia gráficamente en lo que se conoce como diagrama de Bode, figura 3.22. Una representación rápida se hace trazando la asíntota para frecuencias bajas, 20 log () = 20 log( ) y la asíntota para frecuencias altas, 20 log () = 0. Estas asíntotas se cortan en el punto = . En puntos cercanos a dicha frecuencia, el diagrama se modifica teniendo en cuenta el valor de la función de transferencia para ese entorno de frecuencias.
Figura 3.22 En cuanto a la fase de la función de transferencia, podemos hacer un análisis similar: Si ¿ ⇒ () → 2 Si = ⇒ ( ) = 4 Si À ⇒ () → 0 rad La representación grafica del módulo y fase de la función de transferencia se muestran en la figura 3.22
166
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
El circuito analizado es un filtro pasa alto, es decir, que deja pasar las frecuencias altas y atenúa las frecuencias bajas. Se toma la frecuencia de corte como el límite de atenuación tolerable en una respuesta casi plana.
3.8.2.
Resonancia
En este apartado vamos a estudiar el comportamiento de un circuito − − serie, representado en la figura 3.12, cuando varía la frecuencia de la tensión aplicada.
Circuito − − serie
es,
Aplicamos al circuito − − serie una tensión periódica sinusoidal. Como hemos visto antes, la impedancia de un circuito − − serie Z = + ( − 1)
(3.76)
O en forma módulo argumento, =
¢12 ¡ 2 + ( − 1)2
(3.77)
− 1 (3.78) Para estudiar el comportamiento de Z con la frecuencia, se pone la impedancia en función de unos parámetros que permiten interpretar mejor dicho comportamiento. Estos parámetros son la frecuencia de resonancia el factor de calidad y la desviación relativa de frecuencias . = arctan
1) Frecuencia de resonancia En la corriente , tanto en módulo como en fase, varía con la frecuencia. Hay una frecuencia, llamada de resonancia, para la que la impedancia (3.76) es real, es decir, se anula la parte imaginaria de y por tanto = 0, además para dicha frecuencia la corriente es máxima.
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE En la frecuencia de resonancia, − 1 = 0 de donde = = 2 = ()−12 = =
167
(3.79) (3.80)
= cos (3.81) La frecuencia de resonancia es la frecuencia de oscilación propia de circuito − , es decir, el circuito que estudiamos cuando = 0. 2) Factor de calidad Se define el factor de calidad de un circuito mediante la expresión: =
(3.82)
Una interpretación física de es, Energía máxima almacenada = 2 Energía disipada durante un ciclo 1 2
= 2 = 2 2 Teniendo en cuenta la ecuación (3.79) podemos expresar el factor de la forma siguiente, = 2 1
1p 1 = (3.83) 3) Desviación relativa de frecuencias La desviación relativa de frecuencias se define a través de la frecuencia de resonancia mediante la ecuación siguiente, =
=
− − =
(3.84)
4) Impedancia y admitancia Teniendo en cuenta los parámetros introducidos en párrafos anteriores, podemos expresar la impedancia de la forma siguiente, Ã µ ¶2 !12 p 1 2 2 − = + ( − 1) = 1 +
168
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Hemos sacado factor común además de multiplicar y dividir por . Tomando la definición de factor dada por las ecuaciones (3.82) y (3.83), Ã
2
= 1+
µ
−
¶2 !12
Ã
µ = 1+ +1− 2
1 +1
¶2 !12
Operando queda, Ã
µ ¶ !12 +2 2 = 1 + +1
(3.85)
Para la frecuencia de resonancia = 0, y la impedancia alcanza su valor mínimo, ´ =
(3.86)
La admitancia correspondiente a la frecuencia de resonancia será máxima, 1 1 = (3.87) ´ Operando de forma similar podemos expresar la fase en función de los parámetros introducidos anteriormente. ´ =
µ
¶ 1 − = arctan = arctan ¶ µ +2 (3.88) = arctan +1 Nos interesa analizar el comportamiento de ´ y para frecuencias próximas a la de resonancia. ´
1 −
¶
µ
µ ¶−1 Ã µ ¶ !−12 +2 2 = = 1 + +1
Para dicho tipo de frecuencias ¿ 1 y la ecuación anterior se puede simplificar teniendo en cuenta que +2 '2 +1
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
169
Por tanto dicha relación queda de la forma,
¢−12 ¡ ' 1 + (2 )2
(3.89) ´ La fase de la impedancia también se simplifica y queda como sigue, ' arctan (2 )
(3.90)
0 = − ' arctan (−2 )
(3.91)
La fase de la admitancia será,
Curva de resonancia La representación gráfica de las ecuaciones (3.89) y (3.91) se muestra en la figura 3.23.
Figura 3.23 En la gráfica podemos observar, que para frecuencias inferiores a la resonancia, la admitancia es pequeña y la impedancia es grande. La fase 0 es positiva y la negativa. Esto indica que reactancia inductiva es menor que la capacitiva, es decir, la corriente se adelanta sobre el voltaje. Cuando aumenta la frecuencia, aumenta la reactancia inductiva y disminuye la capacitiva, con lo cual disminuye el desfase entre voltaje y corriente.
170
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Para la frecuencia de resonancia es máxima y mínima = , el desfase es nulo y la corriente máxima. El circuito se comporta como si solo existiera una resistencia . Los voltajes en los bornes de y son del mismo módulo pero de sentido contrario, con lo cual sumados se anulan. Si seguimos aumentando la frecuencia, crece la reactancia inductiva y disminuye la capacitiva, aumenta e disminuye, al mismo tiempo la fase de crece y es positiva y la de se hace más negativa. En definitiva, disminuye la corriente y aumenta el retraso de la corriente con respecto al voltaje. A la frecuencia de resonancia si el generador suministra un voltaje, = cos El voltaje en los bornes de la resistencia teniendo en cuenta que es el voltaje eficaz será, = ´ = En los bornes del condensador, 1 = − Hemos tenido en cuenta la ecuación (3.83). El voltaje en los terminales del condensador es veces mayor que el suministrado por el generador. =
= En los bornes de el voltaje es del mismo módulo que pero de signo contrario = − . Cuando la frecuencia es tal que, = ´ =
2 || = 1 || = ||12 =
1 2
Entonces, 1 =√ ´ 2
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
171
La corriente también cumple la relación, 1 =√ ´ 2 Como la potencia disipada en la resistencia es,
1 = 2 2 La relación entre la potencia disipada para la frecuencia = 12 que corresponde a 12 y la que se disipa a la frecuencia de resonancia será, µ
µ
¶ 1 2 1 √ = (3.92) ´ ´ 2 2 Es decir, la frecuencia para la que || = ||12 = 12 , = 12 , le corresponde una potencia disipada cuyo valor es la mitad de la que disipa el mismo circuito a la frecuencia de resonancia. Por esta razón a la frecuencia 12 se la conoce como frecuencia de potencia mitad. También se interpreta esta √ frecuencia como la correspondiente a una reducción de la corriente en 1 2, es decir, se reduce al 70 71 % del valor máximo. Anchura de banda Se define la anchura de banda de un circuito mediante la relación,
=
¯ ¯ ∆ = 2 ¯12 − ¯
¶2
o
=
¯ ¯ ∆ = 2 ¯ 12 − ¯
(3.93)
12 = 2 12 Podemos relacionar la anchura de banda ∆ con el factor . Considerando que, ¯ ¯ ¯ 12 ¯ = 1 2 ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ = 2 ¯ 12 − ¯ 2 12 ¯
=
−
y
Aplicando la ecuación (3.93) para la anchura de banda ∆ obtenemos, = (3.94) ∆ ∆ Esta relación nos permite calcular el factor de un circuito si conocemos su curva de resonancia. =
172
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Cuanto menor es la anchura de banda ∆ mayor es el factor . Esto significa que en un margen muy estrecho de frecuencias la corriente es alta y pequeña en el resto. En otras palabras, el circuito es selectivo con respecto a la frecuencia, tanto más cuanto mayor es el factor de calidad . Dado que = , con un valor de , será más elevado cuanto menor sea y mayor . Para pequeñas desviaciones con respecto a la frecuencia de resonancia, aproximadamente un 10 %, las curvas de resonancia de todos los circuitos − − son prácticamente iguales, siempre que sea elevado. Además, en las condiciones indicadas, la curva es prácticamente simétrica en torno a . Cuanto mayor es , más estrecha es la curva y por tanto el circuito es más selectivo. La resistencia , frecuentemente es la correspondiente al conductor con el que se construye la inductancia, por esta razón el factor es mayor cuando la resistencia del hilo que se utiliza para construir la inductancia es menor. En el análisis hemos supuesto que la fuente es ideal y suministra un voltaje constante. La fuente real tiene una impedancia interna y como consecuencia para la frecuencia de resonancia la intensidad máxima se ve afectada por el efecto de dicha impedancia interna, de manera que el voltaje realmente aplicado es menor debido a la caída de tensión en la impedancia interna. Esto modifica las condiciones de medida y por tanto debe tenerse en cuenta para trazar la curva de resonancia, ya que la resistencia , para circuitos de alta, es pequeña, y supone una caída de tensión grande en los bornes de salida del generador, es decir, una disminución de . Filtro pasa banda Si en el circuito anterior consideramos que la entrada es el generador de tensión aplicada y la salida es la tensión en los terminales de la resistencia, el módulo de la función de transferencia es, = Utilizando la ecuación (3.85) para la impedancia , () =
() =
Ã
µ ¶ !−12 +2 2 1 + +1
3.8. ANÁLISIS CON FRECUENCIA VARIABLE
173
Teniendo en cuenta que, como hemos hecho antes, para frecuencias en las que ¿ 1 la expresión anterior se puede simplificar, la función de transferencia queda de la forma, ¡ ¢−12 () ' 1 + (2 )2
Esta relación es la misma que muestra la ecuación (3.89) para la admitancia relativa, y que se ha utilizado para representar la curva de resonancia. Esta función de transferencia es la típica de un filtro pasa banda, es decir, que deja pasar las señales de frecuencias comprendidas en una banda de frecuencias y se atenúan las más bajas y más altas. La banda de frecuencias es más estrecha cuando el factor es más alto, es decir, cuando es más pequeña frente a . Para un valor mayor de la resistencia la banda se ensancha. Un amplificador de audio es un dispositivo que se diseña con un ancho de banda comprendido entre 20 Hz y 20 kHz, que incluye el espectro de frecuencias audibles para el ser humano. Este dispositivo es un filtro pasa banda activo, ya que se utilizan componentes activos en el circuito.
174
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
3.9.
PROBLEMAS
P 3.1 Calcular las reactancias de una bobina de 1 mH y de un condensador de 1 F, para las siguientes frecuencias: = 1000 Hz y = 10000 Hz. P 3.2 Dibujar una gráfica de la reactancia en función de la frecuencia para los dos componentes indicados en el problema anterior. Observar los valores respectivos para = 0 y → ∞. P 3.3 Una bobina de 50 mH tiene una reactancia inductiva de 1500 Ω (1 5 kΩ) para una frecuencia determinada, ¿Cuál es dicha frecuencia? Si se duplica la frecuencia, ¿cuánto varía la reactancia inductiva? P 3.4 Un condensador de 0,5 F tiene una reactancia capacitiva de 15 Ω para una determinada frecuencia, ¿cuál es dicha frecuencia? Si se reduce dicha frecuencia a la mitad, ¿cuánto valdrá ahora la reactancia capacitiva? P 3.5 Tenemos una bobina de 0 4 H en serie con un condensador de 0 1 F. Calcular la frecuencia para la que tienen el mismo módulo la reactancia inductiva y la capacitiva. Obtener las reactancias respectivas. P 3.6 Tenemos un circuito − − serie, con = 4 Ω , = 5 H y = 1 F, y se supone que la frecuencia angular utilizada es = 106 s−1 . Calcular cada una de las reactancias. Obtener la impedancia compleja, así como el módulo y la fase de dicha impedancia. P 3.7 Se define el voltaje eficaz de una tensión periódica () de la forma siguiente: µ
¶12 Z 1 2 = () 0 Calcular el valor eficaz de la tensión periódica que se muestra en la figura P3.7.
P 3.8
Figura P3.7 Dado el circuito indicado en la figura P3.8, calcular lo siguiente:
3.9. PROBLEMAS
175
Impedancia de cada rama, corriente en cada rama, impedancia conjunta de las dos ramas y corriente total que suministra la fuente de energía. = 10 cos , para = 104 y = 2 × 104 .
Figura P3.8
Figura P3.9
P 3.9 La figura P3.9 muestra un circuito de corriente alterna. = 10 V, = 103 s−1 . Calcular módulo y fase de la corriente I que atraviesa la autoinducción 1 = 5 000 Ω , 2 = 10000 Ω, = 0 1 F, = 10 H. P 3.10 Disponemos de un circuito como el indicado en la figura P3.10, donde = 10 5 Ω, 1 = 10 F, 2 = 0 001 F y = 1 mH La frecuencia angular = 104 y el generador G suministra una tensión = 10∠0 = 10 + 0 voltios. Calcular módulo y fase de la corriente que circula por la autoinducción . Obtener la tensión entre los bornes de la resistencia .
Figura P3.10
Figura P3.11
P 3.11 La figura P3.11 muestra un circuito de corriente alterna. Los valores de cada componente se expresan en forma de número complejo. Calcular el módulo y la fase de la corriente I que suministra el generador. P 3.12 En la figura P3.12 se muestra un circuito divisor de tensión. Calcular la relación entre el voltaje de salida AB y el que suministra la fuente = cos Comprobar si dicha relación varía con la frecuencia.
176
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Figura P3.12
Figura P3.13
P 3.13 Dado el circuito que muestra la figura P3.13, calcular la impedancia AB que se puede medir en los bornes AB en función de la frecuencia angular . P 3.14 En el circuito de la figura P3.14 consideramos dos zonas, la situada a la derecha de los puntos AB y la localizada a la izquierda. Suponemos que la segunda es un generador ideal en serie con una resistencia, y la primera una carga compuesta por resistencias y capacidades. Donde = 104 , = 2F = 2 × 10−6 F y = 50 Ω.
Calcular la impedancia AB del circuito situado a la derecha de los puntos AB.
Figura P3.14 P 3.15
Dado el circuito de la figura P3.15:
Donde = 104 , = 2 × 10−3 H, = 5F = 5 × 10−6 F y = 20 Ω.
1) Calcular la impedancia AB . 2) Calcular la admitancia AB .
3) Obtener la parte real e imaginaria del circuito equivalente serie indicado en la figura P3.15.
3.9. PROBLEMAS
177
Figura P3.15 P 3.16 A un circuito como el indicado en la figura P3.16 se le suministra una potencia por un generador de tensión ideal = cos 2104 . Calcular el factor de potencia que corresponde al circuito.
Figura P3.16 P 3.17
Figura P3.17
Dado el circuito indicado en la figura P3.17, calcular:
1) La diferencia de tensión entre los puntos AB, en función de , , y . 2) Representar gráficamente la variación de la tensión entre A y B cuando cambia desde cero hasta infinito. P3.18 Dado el circuito de la figura P3.18, calcular la función de transferencia V V . Obtener la frecuencia angular para la que dicha función es real y el valor para dicha frecuencia. Representar el diagrama de Bode de la función de transferencia.
178
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Figura P3.18 Figura P3.19 P3.19 Dado el circuito de la figura P3.19, obtener la función de transferencia V V . Calcular la frecuencia angular para la que dicha función es real y el valor para dicha frecuencia. P3.20 En la figura P3.20 se muestra un circuito resonante, calcular la corriente que suministra el generador y la frecuencia angular para la que dicha corriente se anula.
Figura P3.20
Capítulo 4
ANÁLISIS DE REDES
ESQUEMA-RESUMEN Objetivos Genérico Estudiar el comportamiento de redes eléctricas cuando los generadores suministran una tensión sinusoidal, analizando la respuesta en función de los parámetros de los componentes que intervienen. Específicos Leyes de Kirchhoff en forma compleja. Condiciones de referencia para las fuentes. Comprender y manejar la aplicación del método de mallas para el cálculo de tensiones y corrientes en un circuito. Caso de circuitos con fuentes independientes y dependientes Comprender y manejar la aplicación del método de nudos con fuentes independientes y dependientes. Aprender a utilizar el análisis de una red con acoplo magnético. Concepto de impedancia de entrada. 179
180
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES Saber aplicar del principio de superposición en una red. Comprender y saber utilizar los teoremas de Thévenin y Norton. Comprender el significado y utilización del teorema de la máxima transferencia de potencia en el caso de cargas compuestas de elementos pasivos. Comprender la definición y características de cuadripolos. Comprender la definición de los parámetros y, z y de transmisión, así como cálculo y aplicación a cuadripolos con elementos pasivos. Comprender y manejar los parámetros h y g, su aplicación y cálculo en cuadripolos que tienen elementos activos (fuentes dependientes). Saber aplicar la asociación de cuadripolos en serie, paralelo y cascada. Comprender el funcionamiento y caracterización de las fuentes dependientes o controladas. Requisitos previos
Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores, y saber aplicar los instrumentos de cálculo como los números complejos, matrices y determinantes.
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
181
En este capítulo vamos a estudiar el comportamiento de circuitos eléctricos formados por la asociación de distintos componentes. Estudiaremos los métodos de análisis de redes y concluiremos estableciendo algunos teoremas que permiten la síntesis de circuitos y comprender mejor la transmisión de energía desde un dispositivo formado por una red a una carga externa. Terminaremos el capítulo analizando los cuadripolos y sus parámetros característicos Cuando en una red interviene más de una fuente de corriente alterna suponemos que todas son de la misma frecuencia. El análisis que hacemos en este capítulo es similar al utilizado con circuitos de corriente continua, por tanto se repiten muchas de las ideas desarrolladas allí, con la particularidad de que ahora las fuentes son de corriente alterna. Además se amplia el tipo de componentes, ya que a las resistencias se añaden los condensadores, autoinducciones e inducciones mutuas. Los nuevos componentes determinan que en el análisis se introduzcan los números complejos, y que en lugar de resistencias se hable de impedancias. Las tensiones y corrientes son funciones periódicas del tiempo, y para facilitar los cálculos se representan mediante fasores.
4.1.
MÉTODOS DE ANÁLISIS
Vamos a estudiar los métodos que se utilizan para calcular las corrientes en distintas ramas y las tensiones en los nudos o entre los terminales de un elemento de circuito. Como recordatorio de lo establecido en capítulos anteriores resumiremos las leyes y condiciones de referencia aplicables en el análisis de redes. El método para calcular las corrientes en las ramas y las tensiones en los nudos consiste en utilizar las leyes de Kirchhoff. Suponemos que las fuentes e impedancias están localizadas en las ramas respectivas. Además en todo el análisis que sigue vamos a suponer que las redes son planas, es decir redes en la que no hay puntos de cruce entre las ramas. Las citadas leyes corresponden, en la terminología de circuitos, a la conservación de la carga eléctrica ( 1 ley ), y conservación de energía (2 ley). Las leyes se refieren en general a los valores instantáneos de tensiones
182
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
y corrientes. Las magnitudes numéricas que se manejan tienen unos valores y signos con respecto a los valores de referencia que se toman, sin que esto signifique que en un momento dado la corriente o tensión real tengan la polaridad o dirección que sugiere un valor. Es decir, si se toma como positivo un valor de corriente cuando coincide con la dirección tomada como referencia, no quiere decir que la corriente real vaya en ese sentido, pues además de cambiar con el tiempo sinusoidalmente, puede ocurrir que concluidas las operaciones de cálculo se compruebe que el sentido es el contrario. Lo mismo se puede decir con respecto a la tensión. La primera ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las corrientes en un nudo es cero. En la figura 22.3 se indica un nudo. Se toma como referencia positiva el sentido de la corriente que va hacia el nudo, por tanto la ecuación para las corrientes expresada en su representación compleja es, I1 + I2 − I3 − I4 = 0
(4.1)
Figura 4.1 La segunda ley de Kirchhoff expresa que en un lazo, tomando como sentido de recorrido el de movimiento de las agujas del reloj, la suma de las subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión. En el circuito de la figura 4.1 la ley se escribe de la siguiente forma para valores complejos, V = V1 + V2 + V3 (4.2) El potencial V representa una subida de tensión, y V1 , V2 y V3 las caídas de tensión. Las referencias tomadas no coinciden necesariamente con los sentidos reales de las corrientes o la polaridad de las tensiones. Al realizar los cálculos obtendremos unos valores, que si son positivos significa que coinciden sus sentidos o polaridad con los elegidos. En caso contrario los valores reales de las corrientes o las polaridades de las tensiones son opuestos.
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
183
Condiciones de referencia Cuando se trata de un solo nudo o lazo las condiciones de referencia se pueden tomar de forma arbitraria. Si existe más de un nudo o lazo debemos seguir unos criterios para establecer los sentidos de las corrientes y la polaridad de las tensiones. En la figura 4.2 se muestra una red con dos lazos. Se ha elegido como sentido de referencia en el recorrido de los lazos el de avance de la agujas del reloj. La rama común tiene un elemento con una referencia para la tensión V. Con estas referencias V significa una caída de tensión en el recorrido del lazo izquierdo y una subida en el derecho.
Figura 4.2
Figura 4.3
Si en una rama existe una fuente (generador) de tensión, las condiciones de referencia se suelen indicar mediante un forma simbólica como la indicada en la figura 4.3, o mediante una expresión numérica como la siguiente: V =10∠30 . Esto indica que el módulo de la tensión es 10 voltios y está desfasada 30 con respecto a una tensión que se toma como referencia, es decir, en éste caso deberá añadirse cual es la tensión de referencia. Si en un lazo se combinan fuentes con elementos pasivos, resistencias etc., la forma de representar las referencias de los distintos componentes se muestran en la figura 4.1b. Tomando como sentido de recorrido el avance de las agujas del reloj, la fuente V supone una subida de tensión y los elementos pasivos caídas de tensión. Los elementos pasivos, para simplificar la notación dentro de un circuito, se expresan de la forma siguiente: = − Donde es el valores numéricos que resultan de multiplicar la frecuencia angular por y la inversa de multiplicar la frecuencia por . La resistencia se expresa por su valor numérico en ohmios. La impedancia en forma numérica será, = ;
−
184
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Z = + Donde y son los valores numéricos que representan respectivamente la parte resistiva y reactiva.
4.1.1.
Método de lazos
Como indicábamos en el capítulo de corriente continua, hay tres procedimientos para calcular las corrientes y tensiones en una red. El primero consiste en utilizar simultáneamente las dos leyes de Kirchhoff, se conoce como método de ramas. El segundo utiliza sólo la segunda ley y se conoce como método de mallas o lazos, y el tercero usa la primera ley y se conoce como método de nudos. El primer método se suele usar en el caso de circuitos sencillos y los otros dos para circuitos más complejos, ya que además permiten una generalización del método de análisis. Circuitos con fuentes de tensión independientes Aquí vamos a explicar el método de lazos. Suponemos que la red es lineal, plana y sin acoplo magnético entre elementos del circuito.
Figura 4.4 En la figura 4.4 está representada una red plana. Elegimos las corrientes I1 e I2 como muestra la figura; la elección es arbitraria pero se toma así por que permite obtener las ecuaciones de una forma sistemática. Dicha corriente es la que circula por las ramas externas de cada uno de los lazos. La corriente I que circula por la rama común a los lazos será, aplicando la primera ley de Kirchhoff, igual a la diferencia entre las corrientes anteriores. El sentido de recorrido de cada lazo es el de movimiento de las agujas del reloj, sentido horario. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al primer lazo o malla,
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
En el segundo lazo,
185
V − V − (V1 + V2 ) = 0
V + V2 − V3 = 0
Considerando la corriente que circula por cada impedancia obtendremos la tensiones V ( = 1, 2, 3). Estas tensiones se deben a que por las ramas externas, ramas que aparecen en un solo lazo o bucle, circulan respectivamente la corriente I1 por el lazo uno e I2 por el dos. Por la rama común, rama compartida por dos lazos, circula I, y como en el nudo superior se debe cumplir la primera ley de Kirchhoff I + I2 = I1 , es decir, I = I1 − I2 . Aplicando estas condiciones tenemos, V1 = Z1 I1 ; V2 = Z2 (I1 − I2 ) ; V3 = Z3 I2
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores y agrupando las tensiones de las fuentes en el primer miembro y las caídas de tensión en el segundo queda el siguiente sistema de ecuaciones, V − V = (Z1 + Z2 ) I1 − Z2 I2
V = −Z2 I1 + (Z2 + Z3 )I2
Dicho sistema en forma matricial es, µ
V −V V
¶
=
µ
(Z1 + Z2 ) −Z2 −Z2 (Z2 + Z3 )
¶µ
I1 I2
¶
(4.3)
Si observamos las ecuaciones del sistema comprobamos que los primeros miembros son la suma algebraica de las fuerzas electromotrices, tensiones en bornes de los generadores, en el lazo, considerando positivas las que elevan el voltaje en el sentido del recorrido, es decir, entra por el terminal negativo y sale por el positivo, y negativas las que suponen una caída de tensión en el citado sentido. Dado los sentidos de referencia elegidos, una fuente puede actuar como positiva en un lazo y negativa en otro. En los segundos miembros observamos que la corriente de las ramas no compartidas en el lazo está multiplicada por la suma de todas las impedancias que están en el contorno del lazo, a esta suma se la conoce como impedancia de malla o lazo, y la impedancia en la rama común o com-
186
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
partida está multiplicada por la corriente del lazo contiguo afectada de signo menos. Regla para el método de lazos o mallas Las consideraciones anteriores nos permiten enunciar la regla general para establecer las ecuaciones de red por el método de lazos. En primer lugar se asignan las corrientes hipotéticas de cada lazo y su sentido de circulación, que generalmente se elige para todos el de movimiento de las agujas del reloj. Si no se elige para todos los lazos el mismo sentido cambia el signo de los términos de la rama compartida. En el primer miembro de la ecuación de cada lazo figura la suma algebraica de las fuerzas electromotrices de las fuentes de tensión que se sitúan en las ramas que componen el lazo, tomando como positivas las que elevan la tensión en el sentido de la corriente de malla y negativas las otras. En el segundo miembro se multiplica la corriente de lazo por la suma de todas las impedancias situadas en las ramas que componen el lazo, impedancia de lazo, y se resta el producto de la(las) impedancia(s) compartida(s) por la corriente del lazo contiguo, lazo con el que comparte la rama común. De esta manera se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como lazos con tantas incógnitas como corrientes de lazo. Suponemos que la impedancia de cada rama no lleva ningún componente en paralelo con ella. La solución del sistema de ecuaciones, que se puede obtener por el método que se considere más adecuado, nos permite calcular las corrientes de lazo en función de las tensiones de los generadores y las impedancias en las distintas ramas. Este sistema sirve para cualquier número de lazos, por tanto permite un análisis general y sistematizado de circuitos. Para el ejemplo que hemos indicado en las ecuaciones (4.3) la solución, aplicando el método de Cramer, será, ¯ ¯ V −V −Z2 ¯ ¯ V (Z2 + Z3 )
I1 = ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) −Z2 ¯ ¯ −Z2 (Z2 + Z3 )
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ (Z1 + Z2 ) V −V ¯ ¯ −Z2 V
¯ ; I2 = ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) ¯ −Z2 ¯ ¯ ¯ ¯ −Z2 (Z2 + Z3 )
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
(4.4)
Con los valores obtenidos para las corrientes de malla podemos calcular las corrientes de rama. Si la rama es externa su corriente es la del lazo en el que está situada; si es rama común, la corriente es la diferencia entre las corrientes del lazo que comparten la rama. El sentido de la corriente real será
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
187
el que corresponde a un valor positivo de la diferencia. Una vez conocidas las corrientes de rama, las tensiones o potenciales entre nudos o terminales se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff o de Ohm a la rama o elemento de rama que se considere. Ejemplo 4.1 En la figura 4.5 se muestra un circuito con dos lazos y dos fuentes de tensión independientes. Una se toma como referencia y la otra tiene un desfase de 60 con respecto a la de referencia. Las reactancias y resistencia se expresan en forma numérica.
Figura 4.5 Solución En primer lugar vamos a expresar en forma compleja la fuente con desfase. ³ ³ ´ ³ ´´ √ √ + sin = 4 + 4 3 = 4(1 + 3) V = 8 cos 3 3 Con este valor en forma compleja de la fuente desfasada planteamos las ecuaciones para los lazos. 4 = (10 − 4)I1 − (4 − 4)I2 √ −4(1 + 3) = −(4 − 4)I1 + 12I2 Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de Cramer. ¯ ¯ 4 √ −(4 − 4) ¯ ¯ −4(1 + 3) 12 ¯ I1 = ¯ ¯ (10 − 4) −(4 − 4) ¯ ¯ ¯ ¯ −(4 − 4) ¯ 12
¯ ¯ ¯ ¯
√ √ (32 − 16 3) + 16(1 − 3) = 120 − 16
I1 ' 10−2 (4 789 − 9 122)
188
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES ¯ ¯ (10 − 4) 4 √ ¯ ¯ −(4 − 4) −4(1 + 3) I2 = 120 − 16
¯ ¯ ¯ ¯
√ √ −(24 + 16 3) − 40 3 = 120 − 16
I2 ' −(0 347 + 0 623)
El signo menos en la corriente I2 significa que la corriente real tiene el sentido contrario a las agujas del reloj. I = I1 − I2 = (0 347 + 0 623) + 10−2 (4 789 − 9 122) = 0 395 + 0 532
Hemos utilizamos el programa MuPAD para calcular los determinantes.
Circuitos con fuentes independientes y dependientes Ahora vamos a tratar circuitos en los que tenemos tanto fuentes de tensión como de corriente independiente y dependiente. Para ello aplicamos las leyes de Kirchhoff, teniendo en cuenta que las fuentes de corriente determinan la corriente en la rama donde se aplican, y que las fuentes dependientes se tratan como si fueran independientes pero se imponen las condiciones que regulan el valor de la fuente. Ejemplo 4.2 La figura 4.6 muestra un circuito con una fuente de tensión y otra de corriente, ambas independientes, unidas a resistencias inductancia y condensador. Calcular las corrientes en las distintas ramas del circuito. Solución La fuente de corriente determina la corriente en el primer lazo, por tanto sólo debemos plantear la ecuación del segundo lazo. −4 = (8 − 2)I2 − (6 + 6)I1
La corriente I1 es la misma que la suministrada por la fuente I1 = 2, por tanto, −4 = (8 − 2)I2 − (6 + 6)2
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
189
−4 = 2(4 − )I2 − 4(3 + 3) 2(4 − )I2 = 8 + 12
Figura 4.6 8 + 12 4 + 6 = = 0 588 + 1 647 2(4 − ) 4− La corriente en la rama central es, I2 =
I = I1 − I2 = 2 − (0588 + 1647) ' 1 412 − 1 647 Vemos que no ha sido necesario plantear todas las ecuaciones de lazos, y por tanto se ha simplificado el cálculo. Ejemplo 4.3 En la figura 4.7 se muestra un circuito con una fuente de tensión de 4 V independiente y otra dependiente de tensión 3V , es decir su tensión depende del potencial V entre los terminales del condensador. Calcular las corrientes en cada rama y la tensión V . Solución Las corrientes para los lazos son: I1 para el lazo 1, inferior izquierda, I2 lazo 2 el inferior derecha, y lazo 3 el superior; todas en sentido del movimiento de las agujas del reloj. Las ecuaciones correspondientes son: 4 − 3V = 20I1 − 10I2 − 10I3
3V = −10I1 + (10 − 4)I2 − 6I3 0 = −10I1 − 6I2 + (30 + 6)I3
190
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Figura 4.7 Teniendo en cuenta que la condición para la fuente dependiente es: 3V = −30I2 . Sustituyendo y operando tenemos el sistema de ecuaciones siguiente, 4 = 20I1 − (10 + 30)I2 − 10I3
0 = −10I1 + (10 + 26)I2 − 6I3 0 = −10I1 − 6I2 + (30 + 6)I3 ¯ ¯ 4 − (10 + 30) −10 ¯ ¯ 0 (10 + 26) −6 ¯ ¯ 0 −6 (30 + 6)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
I1 = ¯ ¯ 20 − (10 + 30) −10 ¯ ¯ −10 (10 + 26) −6 ¯ ¯ −10 −6 (30 + 6)
720 + 3360 ¯= ¯ 3200 + 3400 ¯ ¯ ¯ ¯
I1 ' 0 630 + 0 381 [A]
¯ ¯ 20 4 −10 ¯ ¯ −10 0 −6 ¯ ¯ −10 0 (30 + 6) I2 = 3200 + 3400
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=
I2 ' 0 251 − 0 117
1200 + 480 3200 + 3400 [A]
¯ ¯ ¯ 20 − (10 + 30) 4 ¯ ¯ ¯ ¯ −10 (10 + 26) 0 ¯ ¯ ¯ ¯ −10 −6 0 ¯ 400 + 1280 I3 = = 3200 + 3400 3200 + 3400
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
La tensión V será,
I3 ' (0 258 + 0 125)
191
[A]
V = −10 × I2 = (1 17 − 2 51) [V] |V | = |(1 17 − 2 51)| = 2 769 = arctan
4.1.2.
µ
−2 51 1 17
¶
[V]
= −1 135 rad = −65 000 29”
Método de nudos
Ahora vamos a estudiar los circuitos por el método de nudos, que consiste en plantear las ecuaciones utilizando la primera ley de Kirchhoff. Para ello lo primero que debemos obtener es el número total de nudos y suponer en cada nudo una tensión. A uno de ellos se le considera como el de referencia y se le asigna el potencial cero, por esto se le conoce como tierra por estar a potencial cero y unido al chasis del dispositivo que contiene el circuito. Generalmente dicho nudo de referencia es el de la parte inferior al que están unidas mayor número de ramas. Las tensiones en el resto de los nudos tienen como referencia la tensión del nudo de tierra. Es importante tener siempre presente que las tensiones en cada nudo se refieren a la tensión en otro nudo, generalmente es con respecto a tierra o nudo de referencia. Para obtener las ecuaciones independientes de cada circuito, debemos tener en cuenta el número de nudos menos uno que es el que se toma como referencia; es decir, debemos establecer − 1 ecuaciones para una red con nudos, incluido el de referencia. Circuitos con fuentes de tensión y corriente independientes Para seguir un procedimiento regular en los cálculos, en primer lugar observamos la disposición de las fuentes en las distintas ramas, ya que una fuente de corriente en una rama determina la corriente en dicha rama, y una fuente de tensión entre un nudo y el de referencia, sin otro componente en la rama, determina la tensión del nudo considerado; una fuente de tensión entre dos nudos, sin otro elemento en la rama, fija la diferencia de potencial entre
192
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
los dos nudos. Estas situaciones simplifican el cálculo, bien por que reducen el número de ecuaciones necesarias para calcular las tensiones en los nudos restante, o bien por que fijan la corriente en una rama. A continuación debemos asignar unas direcciones de corriente en las ramas unidas a los nudos. Dado un sentido de la corriente en una rama, calculamos dicha corriente dividiendo la tensión entre los extremos de la rama por la impedancia de la rama, dicha tensión se obtiene restando al valor del nudo de partida el correspondiente al de llegada. Por ejemplo, si la corriente va del nudo uno al dos y el valor de la impedancia es Z, será (V1 − V2 )Z en el nudo uno y −(V1 − V2 )Z en el dos. Si en la rama hay una fuente de tensión unida al nudo dos, se sumara o restara a V2 , dependiendo de si la fuente incrementa o disminuye el potencial de V2 , y lo mismo se procede si la fuente de tensión está unida al nudo uno. Siempre debemos recordar que con respecto a un nudo la corriente es positiva si sale y negativa si entra, y que las tensiones en los nudos son con respecto a tierra. Vamos a considerar unos ejemplos para comprender mejor como se procede en cada caso. Ejemplo 4.4 La figura 4.8 muestra un circuito compuesto por una fuente de tensión de 6 V y otra de corriente de 2 mA. Calcular las tensiones en el nudo donde confluyen la capacidad y autoinducción.
Figura 4.8 Solución En el nudo indicado confluyen cuatro ramas, una de ellas contiene una fuente de corriente que determina la corriente de dicha rama. En otra hay una fuente de tensión que debemos tener en cuenta al calcular los potenciales a lo largo de la rama. Suponemos que las corrientes de las ramas con la fuente de tensión y de corriente entran en el nudo y el resto salen.
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
193
6 − V1 V1 V1 2 + + − =0 1 1 −4 1 Multiplicando por 4 todos los términos y por los que tienen en el denominador, −
−4 (V1 − 6) + (4 + ) V1 − 8 = 0
(4 − 3) V1 = 8 − 24
Despejando tenemos el potencial pedido, V1 =
8 − 24 = 4 16 − 2 88 (4 − 3) |416 − 288|
|V1 | = |4 16 − 2 88| ' 5 06 = arctan
µ
−2 88 4 16
¶
[V]
= −0 605 rad = 34 390 50”
Ejemplo 4.5 El circuito de la figura 4.9 se compone de una fuente de tensión de 4 V, una de corriente de 3 mA, además de resistencias, condensador y autoinducción. Calcular las tensiones V1 y V2 en los nudos indicados en la figura. Solución Suponemos que sobre el primer nudo incide la corriente procedente del generador de 4 V y salen las otras dos. En el segundo nudo entran la procedente de la fuente de corriente y la que atraviesa la resistencia de 8 Ω. En el nudo 1, 3 − V1 V1 − V2 V1 − + =0 2 2 8 Multiplicando por 8 y operando, −4V1 − 4(3 − V1 ) + V1 − V2 = 0
194
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
V1 (5 − 4) − V2 = 12
Figura 4.9 En el nudo 2 V2 V1 − V2 − 3 × 10−3 + 8 4(1 − ) V1 − V2 V2 (1 + ) − + 8 8 Multiplicando ambos miembros por 8, −
= 0 = 3 × 10−3
− (V1 − V2 ) + V2 (1 + ) = 24 −V1 + V2 (2 + ) = 24
El sistema definitivo de ecuaciones es,
V1 (5 − 4) − V2 = 12
−V1 + V2 (2 + ) = 24
La solución, por el método de Cramer es, ¯ ¯ 12 −1 ¯ ¯ 24 (2 + )
¯ ¯ ¯ ¯
V1 = ¯ ¯ (5 − 4) −1 ¯ ¯ −1 (2 + )
48 + 12 ¯= ' 3 303 + 1 685 ¯ 13 − 3 ¯ ¯
|V1 | = |3 303 + 1 685| ' 3 708
1 = arctan
µ
1 685 3 303
¶
[V]
= 0 471 rad = 27 10 41”
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS ¯ ¯ (5 − 4) 12 ¯ ¯ −1 24 V2 = 13 − 3
¯ ¯ ¯ ¯
=
132 − 96 ' 11 258 − 4 786 5 13 − 3
|V2 | = |11 258 − 4 786 5| = 12 233 2 = arctan
µ
−4 786 5 11 258
195
¶
[V]
= −0 402 rad = −23 10 53”
Circuitos con fuentes independientes y dependientes Ahora vamos a tratar circuitos en los que tenemos tanto fuentes de tensión como de corriente independiente y dependiente. Para ello aplicamos las leyes de Kirchhoff, teniendo en cuenta que las fuentes de corriente determinan la corriente en la rama donde se aplican, y que las fuentes dependientes se tratan como si fueran independientes pero imponiendo las condiciones que regulan el valor de la fuente. Lo explicaremos a través de un ejemplo Ejemplo 4.6 Dado el circuito que muestra la figura 4.10, compuesta por una fuente de tensión independiente de 6 V y otra dependiente del potencial 2V1 . Calcular la tensión V1 .
Figura 4.10
196
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES Solución
Tenemos tres nudos, uno cuyo potencial lo fija la fuente de 6 V, otro que lo fija la fuente dependiente cuya tensión es 2V1 , y el otro cuya tensión V1 queremos calcular. Asumimos que al nudo central entran las corrientes de las ramas que contienen el condensador y la resistencia de 10 Ω y sale la que circula por la rama de 2 Ω. Con estas condiciones en el nudo central se verifica que, V1 2V1 − V1 6 − V1 − − =0 2 −5 10 Multiplicando ambos miembros por 10 y operando, 5V1 − 2 (2V1 − V1 ) + V1 − 6 = 0 6V1 − 2V1 − 6 = 0
V1 (6 − 2) = 6
Despejando obtenemos V1 , V1 =
6 ' 0 9 + 0 3 6 − 2
|V1 | = |0 9 + 0 3| ' 0 948 = arctan
4.1.3.
µ
0 3 0 9
¶
[V]
= 0 322 rad = 18 260 06”
Red con acoplo magnético entre elementos
En este apartado vamos a estudiar el caso de una red como la indicada en la figura 4.11. En ella, además de un generador y dos impedancias, existe dos bobinas 1 y 2 , cuyos coeficientes de autoinducción son respectivamente 1 y 2 pero también están acoplada entre sí magnéticamente y su coeficiente de inducción mutua es El efecto de la inducción mutua entre bobinas es que la corriente en una de ellas afecta a la tensión en los terminales de la otra. La polaridad del potencial inducido depende del sentido de la corriente y de la orientación relativa de los campos magnéticos que se crean en las bobinas,
4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS
197
es decir, depende, además del sentido de la corriente, de las direcciones de arrollamiento de ambas bobinas así como de su disposición en el espacio o núcleo magnético. Dado que una vez construido un sistema de bobinas es difícil saber sus sentidos de arrollamiento etc., se adoptan unos criterios y marcas que permiten saber la correspondencia entre sentido de la corriente en una bobina y el potencial inducido en la otra. Las marcas que se suelen utilizar son puntos y el símbolo + o letras. Aquí vamos a utilizar • . El símbolo • puesto en uno de los terminales de cada bobina indica que cuando entramos por dicho terminal el sentido de arrollamiento es el mismo para dichas bobinas. Su interpretación desde el punto de vista de las tensiones inducidas es la siguiente: Cuando una corriente entra por el terminal de la bobina que tiene un punto (•), la f. e. m. inducida en la propia bobina tiene la referencia de potencial positivo en dicho terminal. La f. e. m. inducida por esta misma corriente en la otra bobina también es positiva en el terminal que tiene el punto. En la figura 4.11 se muestran los signos de los potenciales inducidos, así como los puntos y sentidos de la corriente. El término correspondiente a la inducción mutua se expresa de la forma , es decir, de forma análoga a la autoinducción, con la salvedad de que el signo depende de los sentidos de arrollamiento.
Figura 4.11 Teniendo en cuenta los criterios enunciados en el párrafo anterior y la segunda ley de Kirchhoff, las ecuaciones que obtenemos para esta red con dos lazos y elementos acoplados son: Circuito de la figura 4.11 La corriente I2 sale, no entra, por el punto, por tanto, V = (Z1 + 1 + Z3 )I1 − ( + Z3 )I2
0 = − ( + Z3 )I1 + (Z2 + 2 + Z3 )I2
(4.5)
198
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES Circuito de la figura 4.11 La corriente I2 entra por el punto, luego, V = (Z1 + 1 + Z3 )I1 + ( − Z3 ) I2 0 =
(4.6)
( − Z3 )I1 + (Z2 + 2 + Z3 )I2
Las expresiones anteriores ponen de manifiesto que el signo que precede a es decir, la f. e. m. correspondiente a la inducción mutua depende de la posición del punto en uno de los terminales; éste refleja el sentido de arrollamiento de las bobinas y en consecuencia del campo magnético variable responsable de la inducción. Además el término afecta al término ( − Z3 ) común a los dos lazos, y su valor depende de los sentidos de referencia, es decir, de como se han dispuesto los arrollamientos.
4.2.
TEOREMAS DE REDES
Cuando analizamos el comportamiento de redes se introducen procedimientos y conceptos que permiten simplificaciones o un mejor conocimiento de la influencia y comportamiento de los distintos elementos que componen la red. A continuación vamos a estudiar algunos teoremas y definiciones.
4.2.1.
Impedancia de entrada
Si suponemos que detrás de un par de terminales existe una red pasiva, es decir, compuesta por impedancias, sin conocer la disposición ni magnitud de las impedancias que componen la red podemos caracterizar lo que hay detrás de los bornes mediante una impedancia conocida como impedancia de entrada. Se obtiene esta impedancia de entrada de la forma siguiente: Aplicamos a los terminales de entrada un generador V y medimos la corriente I que entra por uno de los terminales. La impedancia de entrada será, Z =
4.2.2.
V I
(4.7)
Superposición en una red
En este apartado estudiamos la corriente en una rama de la red y comprobamos que se cumple el principio de superposición lineal. La red se indica en la figura 4.12 y se compone de dos lazos. La corriente del primer lazo es I1 y la del segundo I. Nos interesa conocer en este caso
4.2. TEOREMAS DE REDES
199
la corriente que circula por la impedancia Z . Para ello comenzamos por establecer las ecuaciones de malla y después obtener la corriente I
Figura 4.12 Ecuaciones del circuito: V − V = (Z1 + Z2 ) I1 − 2 I (4.8) V = −Z2 I1 + (Z2 + Z3 + Z ) I Resolviendo el sistema por el método de Cramer, tendremos para la corriente I, ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) V − V ¯ ¯ −Z2 V
¯ ¯ ¯ ¯
¯ I= ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) ¯ −Z2 ¯ ¯ ¯ −Z2 (Z2 + Z3 + Z ) ¯ Si representamos el determinante del sistema por ∆ ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) −Z2 ∆ = ¯¯ −Z2 (Z2 + Z3 + Z ) y desarrollamos el determinante del numerador, I = V
¯ ¯ ¯ ¯
(Z1 + Z2 ) Z2 + (V − V ) ∆ ∆
operando tenemos, Z2 Z1 + V (4.9) ∆ ∆ La ecuación anterior muestra que la corriente que atraviesa la impedancia Z es una combinación lineal de las tensiones de las dos fuentes que figuran en el circuito. En otras palabras, se puede obtener como la suma de dos aportaciones, la primera se obtendría suponiendo que la fuente V está cortocircuitada, y la segunda con V en cortocircuito. I = V
200
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
La ecuación que muestra I como combinación lineal de las fuentes expresa de forma matemática el principio de superposición lineal, es decir, que la corriente debida a un conjunto de fuentes es la suma, combinación lineal, de las corrientes producidas por cada fuente considerada individualmente.
4.2.3.
Teoremas de Thévenin y Norton
Generalmente utilizamos instrumentos o dispositivos, por ejemplo una fuente de tensión, que tienen unos terminales de salida y detrás de éstos existen fuentes y distintos tipos de componentes. En tales circunstancias interesa conocer la relación entre tensión en los terminales con la corriente que suministran a una carga conectada a ellos. Dicha relación depende del conjunto de elementos que componen el dispositivo desde sus terminales hacia el interior. Los teoremas de Thévenin y Norton nos permiten sintetizar lo que existe en el interior del dispositivo, reduciéndolo a una fuente equivalente en serie con una impedancia, teorema de Thévenin; o una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia del circuito Thévenin. Para establecer las características más importantes de los teoremas estudiamos el comportamiento del circuito indicado en la figura 4.13, que es similar al de la figura 4.12, en el que se ha sustituido la impedancia Z que existe entre los terminales A-B por un generador ficticio V.
Figura 4.13 Las ecuaciones de malla de dicho circuito son, V − V = (Z1 + Z2 ) I1 − Z2 I (4.10) V − V = −Z2 I1 + (Z2 + Z3 ) I Nos interesa conocer la relación entre tensión en los bornes o terminales V y la corriente que sale de ellos I. Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de Cramer y calculamos I en función de V,
4.2. TEOREMAS DE REDES
201
¯ ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) V − V ¯ ¯ ¯ ¯ −Z2 V − V ¯ ¯ I= ¯ ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) −Z 2 ¯ ¯ ¯ −Z2 (Z2 + Z3 ) ¯
El determinante del sistema en este caso es,
∆ = (Z1 + Z2 )(Z2 + Z3 ) − Z22 = Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3
La corriente I es,
I = (V − V)
(Z1 + Z2 ) Z2 + (V − V ) ∆ ∆
(Z + Z2 ) Z1 Z2 V + V − 1 V (4.11) ∆ ∆ ∆ Sustituyendo el valor de ∆ obtenemos el valor final de I. Interesa poner V en función de la corriente I, para ello despejamos V en la ecuación anterior, I=
Z2 Z1 ∆ V + V − I (4.12) Z1 + Z2 Z1 + Z2 Z1 + Z2 Los dos primeros términos de la ecuación anterior constituyen una tensión V , que podemos suponerla debida a un generador ideal equivalente que sustituye a los que posee la red vista desde los bornes AB. El factor que multiplica a la corriente I es una impedancia Z que suponemos en serie con el generador equivalente. De esta manera el circuito visto desde A-B se puede sustituir por un generador V en serie con una impedancia Z como muestra la figura 4.13 V=
V =
Z2 Z1 V + V Z1 + Z2 Z1 + Z2
Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 Z1 + Z2 La ecuación (4.12) queda de la forma, Z =
V = V − Z I
(4.13) (4.14)
(4.15)
202
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Analizando los términos de V y Z que derivan del circuito de la figura 4.13, podemos comprobar que V es la tensión que obtenemos en los terminales A-B del citado circuito cuando se suprime el generador ficticio V, es decir, cuando se quita la impedancia Z ya que en estas condiciones, V − V = V − Z1 I1 = V − Z1
V − V Z1 + Z2
Z1 Z1 V + V = V Z1 + Z2 Z1 + Z2 Por otra parte se puede comprobar que Z es la impedancia que se ve desde los bornes A-B cuando se han cortocircuitado las fuentes (generadores) V y V , y como en el caso anterior se supone que no se conecta Z a dichos terminales. Si existen en el circuito fuentes de corriente se dejarían en circuito abierto para calcular dicha impedancia. La impedancia vista desde A-B en estas condiciones es la suma de Z3 con la combinación en paralelo de Z1 y Z2 , V − V =
Z = Z3 +
Z1 Z2 Z1 + Z2
Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 = Z Z1 + Z2 Todo lo anterior nos lleva a la conclusión que constituye el teorema de Thévenin, cuyo enunciado es el siguiente: Una red vista desde los terminales A-B puede sustituirse por un generador equivalente V dispuesto en serie con una impedancia equivalente Z como muestra la figura 4.13, y la ecuación que relaciona la tensión en los terminales con la corriente que suministra a la carga es la ecuación (4.15). V es la tensión en los bornes AB cuando no existe carga, (la impedancia Z = ∞), es decir, la tensión en bornes con el circuito abierto. Z es la impedancia que se ve desde los bornes AB cuando se han cortocircuitado las fuentes de tensión y dejado en circuito abierto las de corriente. Teniendo en cuenta la ecuación (4.15) el valor de Z se puede obtener cortocircuitando los bordes A-B y midiendo la corriente que circula por dicho cortocircuito, ya que en este caso V = 0 y por tanto, Z =
Z =
V I
(4.16)
4.2. TEOREMAS DE REDES
203
I es la corriente que atraviesa el cortocircuito. Este es el procedimiento que se utiliza, de forma análoga a como hicimos en corriente continua, para el caso en que en el circuito además de fuentes independientes de tensión y corriente, haya fuentes dependientes o controladas por la tensión o corriente en otro punto del circuito. En este tipo de circuitos primero se obtiene la tensión V en los terminales A-B, cuando está desconectada la carga Z ; a continuación se cortocircuitan los terminales A-B y se calcula la corriente en el cortocircuito I . Con estos datos tenemos los que necesitamos para establecer los circuitos equivalentes Thévenin y Norton. Una vez conocido Z e I = I , el teorema de Norton establece que un dispositivo formado por una red con fuentes e impedancias, menos la de carga, es equivalente a una fuente independiente de corriente I en paralelo con la impedancia Z . El teorema de Norton es el dual del teorema de Thévenin. La figura 4.13 muestra el circuito equivalente Norton, cuya ecuación de funcionamiento, cuando se aplica una carga es, V = I − Y V (4.17) Z En párrafos anteriores hemos visto como se puede calcular V , Z e I en un circuito, tanto con fuentes independientes como dependientes; así como los circuitos equivalentes Thévenin y Norton. Los dos circuitos Thévenin y Norton pueden intercambiarse, dependiendo de las características del circuito al que se quiere aplicar. Su equivalencia nos es total por que en circuito abierto el equivalente Thévenin no consume energía y el Norton si, ya que la fuente de corriente tiene en paralelo una impedancia Z . La utilidad de estos teoremas reside en la simplificación que supone sustituir una red compleja por su circuito equivalente compuesto por una fuente de tensión independiente y la resistencia equivalente Thévenin en serie, o por una fuente independiente de corriente en paralelo con la resistencia equivalente Thévenin. Para comprender mejor la forma de proceder en el cálculo de circuitos equivalentes vamos a estudiar unos ejemplos. I = I −
Ejemplo 4.7 La figura 4.14 muestra un circuito con una fuente de tensión de 2 V
204
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
y otra de corriente de 3 mA, además de resistencias autoinducciones y un condensador. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton vistos desde los terminales A-B.
Figura 4.14 Solución Para calcular la tensión V en los terminales A -B, tendremos que calcular en primer lugar la corriente que pasa por la autoinducción 2Ω unida a dichos terminales. Para ello planteamos las ecuaciones de los tres lazos. 1 superior izquierda, 2 inferior izquierda y 3 inferior derecha. Suponemos que todas las corrientes son en el sentido de giro de las agujas del reloj. Lazo 1, la fuente de corriente determina que dicha corriente es 3 mA. Lazo 2 −2 = −1 × 3 × 10−3 + 2(1 − )I2 − 1I3 1 = 2(1 − )I2 − 1I3
Lazo 3 2 = −1I2 + (2 + 2)I3 El sistema de ecuaciones es, 1 = 2(1 − )I2 − 1I3
2 = −1I2 + 2(1 + )I3 La corriente I3 es,
4.2. TEOREMAS DE REDES ¯ ¯ ¯ 2(1 − ) 1 ¯ ¯ ¯ ¯ −1 2 ¯
I3 = ¯ ¯ 2(1 − ) −1 ¯ ¯ −1 2(1 + )
La tensión V es,
205
¯= ¯ ¯ ¯
(5 − 4) 72
[mA]
(5 − 4) 1 [V] × 10−3 = (8 + 10) × 10−3 7 7 ¯ ¯ ¯1 ¯ 1 = (8 + 10) × 10−3 ; |V | = ¯¯ (8 + 10) × 10−3 ¯¯ = 1 829 [mV] ; 7 7 µ ¶ 10 = arctan = 0 896 rad ' 51 200 13” 8 V = 2 × I3 = 2
V
La impedancia equivalente se obtiene cortocircuitando la fuente de tensión y dejando en circuito abierto la rama donde está la de corriente. Al cortocircuitar la de tensión el circuito que se ve desde los terminales A - B queda reducido a una combinación de impedancias. Es decir, 1 1 1 1 = + = (6 + 2) Z1 1 1 − 2 5 Z2 = Z1 + 1 =
=⇒
Z1 =
1 (3 − ) 4
1 1 (3 − ) + 1 = (7 − ) 4 4
1 1 1 1 4 1 = + = + = −1 (28 − 21) Z Z2 2 (7 − ) 2 50 por tanto, Z =
[Ω]
¯ 3 ¯ ¯ 10 ¯ 10 103 (8 + 6) ; |Z | = ¯¯ (8 + 6)¯¯ = [Ω] 7 7 7 µ ¶ 6 = arctan ' 0 644 rad ' 36 520 11” 8
Z =
50 1 = (8 + 6) = (8 + 6) (28 − 21) 7 7
206
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Luego el circuito equivalente de Thévenin está formado por una fuente de tensión V = (127) (1 + ) × 10−3 en serie con una impedancia Z = ((8 + 6) 7) [Ω]. Para calcular el circuito equivalente Norton tenemos en cuenta que I = I = corriente de cortocircuito, que es, V (127) (1 + ) 10−3 42 + 6 −6 = = 10 ' 1 68 + 0 24 [A] Z ((8 + 6) 7) 103 25 El circuito equivalente Norton esta compuesto por una fuente de corriente I = 1 68+0 24 [A] en paralelo con una impedancia Z = ((8 + 6) 7) [Ω]. I =
Ejemplo 4.8 La figura 4.15 muestra un circuito con una fuente independiente de tensión de 2 V, y otra dependiente de corriente, cuyo valor es 2I , que están conectadas con resistencias, autoinducciones y un condensador. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton vistos desde los terminales A-B.
Figura 4.15 Solución En este circuito no podemos cortocircuitar o dejar en circuito abierto las fuentes por que hay una fuente cuya corriente depende de lo que ocurre en la rama que une los terminales A-B. El procedimiento consiste en calcular la tensión entre los terminales A-B indicados en la figura 4.15 y después calcular la corriente en el cortocircuito de los terminales A-B indicado en la figura 4.15. Cálculo de V . Suponemos que por los lazos circulan las corrientes I1 , I2 e I3 con sentido horario.
4.2. TEOREMAS DE REDES
207
Consideramos que en los bornes de la fuente dependiente hay una tensión V con sino + en el nudo al que se une dicha fuente. La fuente de corriente dependiente, determina que I3 − I2 = 2I . Lazo 1. Lazo superior 2 = (2 + 2)I1 − 2I2
Lazo 2. Lazo inferior izquierdo
−V = −2I1 + (2 − 2)I2
Lazo 3. Lazo inferior derecho
V = (2 + 2)I3 Despejando V en la tercera ecuación y sustituyendo en la segunda, 0 = −2I1 + (2 − 2)I2 + (2 + 2)I3
Como la fuente de corriente impone que, I2 = I3 − 2I
y dado que I = I3 =⇒ I2 = −I3 . Llevando estos resultados al conjunto de ecuaciones para los lazos tenemos que, 2 = (2 + 2)I1 + 2I3 0 = −2I1 − (2 − 2)I3 + (2 + 2)I3
Simplificando,
1 = (1 + )I1 + 1I3 0 = −2I1 + 4I3
Nos interesa conocer la corriente I3 , por tanto en el sistema de ecuaciones anterior resolvemos por el método de Cramer para obtener dicha corriente. ¯ ¯ ¯ (1 + ) 1 ¯ ¯ ¯ ¯ −2 0 ¯
I3 = ¯ ¯ (1 + ) 1 ¯ ¯ −2 4
(1 + 2) 2 ¯= =− 2 ¯ − (2 − 4) 5 ¯ ¯
208
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
El signo negativo indica que la corriente real es de sentido contrario a las agujas del reloj; esto significa que la fuente dependiente suministra una corriente en sentido contrario al indicado. La tensión V se calcula multiplicando I3 en su sentido real por la impedancia 2, V = 2
(1 + 2) 2 = (−2 + ) 5 5
[V]
¯ ¯ ¯2 ¯ 2 ¯ |V | = ¯ (−2 + )¯¯ = √ ' 0 894 [V] 5 5 µ ¶ −1 ' −0 464 rad = 26 350 54” = arctan 2
Ahora calculamos la corriente de cortocircuito observando la figura 4.15. Lazo 1 2 = (2 + 2)I1 − 2I2 Lazo 2 −V = −2I1 + (2 − 2)I2 Lazo 3 V = 2I3 Llevando V a la ecuación anterior, si además tenemos en cuenta que I2 = −I3 las ecuaciones quedan de la siguiente forma, 2 = (2 + 2)I1 + 2I3 0 = 2I3 − 2I1 − (2 − 2)I3 Simplificando, 1 = (1 + )I1 + 1I3 0 = −1I1 + 1I3 La solución para I3 = I = I es,
4.2. TEOREMAS DE REDES
209
¯ ¯ ¯ (1 + ) 1 ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 ¯
1 1 ¯= 2 = I = ¯ = − = −1 [mA] ¯ (1 + ) 1 ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 ¯ Como indicamos antes el signo negativo indica que la corriente real tiene sentido contrario a las agujas del reloj. La fuente dependiente suministra la corriente en sentido contrario al indicado, es decir, hacia abajo. µ ¶ 1 =− |I | = 1 [mA] ; = arctan − 0 2 La impedancia equivalente Thévenin será,
rad = −90
V 2 2 2 = (−2 + ) = − (1 + 2) = − (1 + 2) [Ω] I 5 5 5 ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 2 ¯ |Z | = ¯− (1 + 2)¯¯ = √ [Ω] 5 5 µ ¶ 2 = 1 107 rad = 63 260 = arctan 1 El circuito equivalente Thévenin se compone de una fuente independiente de tensión V = 25 (−2 + ) [V] en serie con la impedancia Z = − 25 (1 + 2) [Ω]. El circuito equivalente Norton se compone de una fuente de corriente independiente I = 1 [mA] en paralelo con una impedancia Z = − 25 (1 + 2) [Ω]. De forma análoga a como enunciamos en circuitos de corriente continua, aquí tampoco se da la equivalencia completa. El comportamiento de un circuito original y el que se obtiene sustituyendo un a fuente de tensión en serie con una impedancia por su equivalente con fuente de corriente en paralelo con la impedancia, no es el mismo. Resolviendo el problema Z =
4.2.4.
Teorema de la máxima transferencia de potencia
En muchas ocasiones nos interesa saber cuales son las mejores condiciones que deben reunir el dispositivo que suministra potencia y el que la recibe para que se transfiera la máxima potencia del generador al receptor.
210
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Como hemos visto en el apartado anterior una red se puede representar, aplicando el teorema de Thévenin, por una fuente ideal V = ∠0 en serie con una impedancia Z = + . Si unimos a los bornes del dispositivo la impedancia Z como muestra la figura 4.16, la potencia que se transmite a Z = + es, = Re [V · I∗ ] = Re [(Z I) ·I∗ ] = Re [Z (I · I∗ )]
(4.18)
La corriente que circula por la impedancia Z es,
V = Z + Z ( + ) + ( + ) Multiplicando por el conjugado del denominador, I=
I =
(4.19)
( + ) − ( + ) ( + )2 + ( + )2
La potencia será, ∙ ¸ ( + )2 + ( + )2 = Re 2 ( + ) (( + )2 + ( + )2 )2 =
2 ( + )2 + ( + )2
(4.20)
Figura 4.16 Calculamos los valores de y para que se transfiera la máxima potencia mediante las condiciones de máximo de es decir, derivando la expresión anterior con respecto a y e igualando a cero.
( + )2 + ( + )2 − 2 ( + ) =0 (( + )2 + ( + )2 )2 −2 ( + ) =0 = 2 (( + )2 + ( + )2 )2 = 2
4.3. CUADRIPOLOS
211
De la segunda ecuación anterior se deduce que, = −
Si llevamos este valor a la primera ecuación se deduce que,
Por tanto,
( + )2 − 2 ( + ) = 0
= Es decir, la máxima transferencia de potencia ocurre cuando,
O de otra forma
= ; = −
(4.21)
Z = Z∗
(4.22)
Esto explica por qué interesa adaptar la impedancia del receptor, o carga, a la impedancia de salida del generador que suministra energía. Como hemos visto para que se transfiera la máxima potencia debe cumplirse que el valor de la carga sea el número complejo conjugado de la impedancia interna del generador.
4.3.
CUADRIPOLOS
Los componentes simples que utilizamos en los circuitos, tales como resistencias, fuentes etc. son elementos de dos terminales que llamamos dipolos. Los cuadripolos o redes de dos puertos son circuitos o redes que agrupan distintos elementos y tienen dos terminales de entrada y otros dos de salida. Los cuadripolos que vamos a estudiar en este apartado, se componen sólo de elementos lineales y no tienen fuentes independientes. Es decir, se componen de elementos pasivos, como resistencias, condensadores, autoinducciones, transformadores (inducciones mutuas), fuentes dependientes etc. Caracterizaremos los cuadripolos con unos parámetros que permiten describir su comportamiento en el seno de un circuito más amplio. Dado que los componentes en corriente alterna se representan con números complejos, representaremos los parámetros en forma compleja.
212
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Comenzamos analizando un circuito de cuatro terminales como el indicado en la figura 4.17.
Figura 4.17 Con las corrientes y tensiones indicadas, las ecuaciones de lazo son, V1 = (Z1 + Z2 )I1 + Z2 I2 V2 = Z2 I1 + (Z2 + Z3 )I2 Resolviendo el sistema de ecuaciones para las corrientes, ¯ ¯ V1 Z2 ¯ ¯ V2 (Z2 + Z3 )
¯ ¯ ¯ ¯
I1 = ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) Z2 ¯ ¯ Z2 (Z2 + Z3 ) ¯ ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) V1 ¯ ¯ ¯ ¯ Z2 V2 ¯
I2 = ¯ ¯ (Z1 + Z2 ) Z2 ¯ ¯ Z2 (Z2 + Z3 )
¯= ¯ ¯ ¯
Z2 (Z2 + Z3 ) V1 − V2 ∆ ∆
(Z + Z2 ) Z ¯ = − 2 V1 + 1 V2 ¯ ∆ ∆ ¯ ¯
∆ es el£ determinante del sistema y tiene dimensiones de impedancia al ¤ 2 cuadrado como los numeradores son impedancias, los coeficientes que multiplican a las tensiones V1 y V2 tiene dimensión de −1 , es decir de admitancia . Vemos que las relaciones entre corrientes y tensiones en este cuadripolo sencillo podemos expresarlas de la forma siguiente, I1 = y11 V1 + y12 V2 I2 = y21 V1 + y22 V2
4.3. CUADRIPOLOS
213
Esta representación se puede generalizar a sistemas más complejos, que se pueden caracterizar por unos parámetros como los introducidos en este ejemplo.
4.3.1.
Parámetros y
Una representación genérica de un cuadripolo se muestra en la figura 4.18. Como puede observarse presenta dos puertos y, por tanto, cuatro variables de puerto: V1 I1 V2 e I2 . Los componentes dentro del cuadripolo son lineales y no contienen fuentes independientes, esto quiere decir que el cuadripolo se excita a través de dos variables y las otras dos serán la respuesta del mismo. Por ejemplo, el cuadripolo puede ser excitado por un voltaje V1 en el puerto 1 y un voltaje V2 en el puerto 2, y las dos corrientes I1 e I2 son la respuesta del cuadripolo. En este caso V1 y V2 son variables independientes en tanto que I1 e I2 son variables dependientes. Como hemos visto en el ejemplo anterior y dado que el cuadripolo es lineal, la respuesta se describe mediante las dos ecuaciones siguientes: I1 = y11 V1 + y12 V2
(4.23)
I2 = y21 V1 + y22 V2
(4.24)
Los cuatro parámetros y11 , y12 , y21 e y22 son admitancias y sus valores caracterizan por completo la red lineal de dos puertos.
Figura 4.18 Las ecuaciones anteriores las podemos expresar en forma matricial, µ
I1 I2
¶
=
µ
y11 y12 y21 y22
¶µ
V1 V2
¶
(4.25)
La caracterización de los parámetros y está basada en excitar la red mediante V1 y V2 como se muestra en la figura 4.19.
214
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Figura 4.19 Las ecuaciones que describen este proceso son las ecuaciones (4.23)y (4.24). Específicamente, de la ecuación [4.23] vemos que y11 se define como y11
¯ I1 ¯¯ = V1 ¯V2 =0
(4.26)
Es decir, y11 es la admitancia de entrada en el puerto 1 con el puerto 2 en cortocircuito. Esta definición está ilustrada en la figura 4.20a. La definición de y12 se obtiene de y12
¯ I1 ¯¯ = V2 ¯V1 =0
(4.27)
Entonces, y12 representa la transmisión del puerto 2 al puerto 1 (véase la figura 4.20b). Puesto que el puerto 1 representa la entrada y el puerto 2 la salida, en amplificadores, y12 representa retroalimentación interna de la red. La definición de y21 se puede obtener mediante y21
¯ I2 ¯¯ = V1 ¯V2 =0
(4.28)
Es decir, y21 representa la transmisión del puerto 1 al puerto 2. Puesto que el puerto 1 representa la entrada y el puerto 2 la salida, en amplificadores como veremos en temas posteriores, y21 constituye una medida d e la ganancia en el sentido de la transmisión de la señal. En la figura 4.20c se ilustra la definición y el método para medir y21 . Finalmente, el parámetro y22 se puede definir, teniendo en cuenta la ecuación (4.24), como y22
¯ I2 ¯¯ = V2 ¯V1 =0
(4.29)
Es decir, y22 es la admitancia que se ve desde el puerto 2 cuando el puerto
4.3. CUADRIPOLOS
215
1 está en cortocircuito, esto es, la admitancia de salida en cortocircuito. En la figura 4.20d se ilustra la definición y el método para medirla. Todas las admitancias se obtienen mediante el cortocircuito de uno de los puertos, por eso se les conoce como parámetros de cortocircuito.
Figura 4.20
4.3.2.
Parámetros z
El sistema de ecuaciones (4.23) y (4.24) se puede resolver de manera que obtengamos las tensiones en función de las corrientes, el resultado se pone en la forma que muestran las ecuaciones (4.30) y (4.31). V1 = z11 I1 + z12 I2
(4.30)
V2 = z21 I1 + z22 I2
(4.31)
Los parámetros z son la caracterización de impedancia a circuito abierto de redes de dos puertos. Está basada en excitar la red mediante I1 e I2 , que ahora son las variables independientes; las tensiones V1 y V2 son la respuesta a dichas excitación, que son ahora las variables dependientes, como se muestra en la figura 4.21. Las ecuaciones enunciadas anteriormente describen el proceso. La forma matricial en este caso será, µ
V1 V2
¶
=
µ
z11 z12 z21 z22
¶µ
I1 I2
¶
216
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Figura 4.21 De forma análoga a como obtuvimos la relaciones para los parámetros y podemos proceder para los z. Fijándonos en las posiciones de las fuentes que se muestran en la figura 4.22, los parámetros z se definen mediante las siguientes relaciones,
z11
¯ ¯ ¯ ¯ V1 ¯¯ V1 ¯¯ V2 ¯¯ V2 ¯¯ = ; z12 = ; z21 = ; z22 = I1 ¯I2 =0 I2 ¯I1 =0 I1 ¯I2 =0 I2 ¯I1 =0
(4.32)
Dicha figura muestra el método para medir cada uno de los cuatro parámetros z.
Figura 4.22 Dado que dichos parámetros se miden cuando alguno de los terminales está abierto, se les denomina parámetros de circuito abierto. En redes con elementos pasivos las matrices (y) y (z) son simétricas, es decir, y12 = y21 y z12 = z21 . En las que contienen fuentes dependientes no se da esta simetría.
4.3. CUADRIPOLOS
4.3.3.
217
Parámetros h
En los apartados anteriores hemos utilizado las variables atendiendo a que expresamos las corrientes en función de las tensiones o a la inversa. Ahora vamos a estudiar la relación híbrida entre las variables. Si despejamos I2 en la (4.31) queda, z21 1 I1 + V2 = h21 I1 + h22 V2 z22 z22 Levando este resultado a la (4.30), I2 = −
z21 z12 )I1 + V2 = h11 I1 + h12 V2 z22 z22 Agrupando los dos resultados tendremos que, V1 = (z11 −
V1 = h11 I1 + h12 V2
(4.33)
I2 = h21 I1 + h22 V2
(4.34)
En forma matricial, µ
V1 I2
¶
=
µ
h11 h12 h21 h22
¶µ
I1 V2
¶
(4.35)
Los parámetros h son la caracterización híbrida de redes de dos puertos y está basada en excitar la red mediante I1 y V2 como se muestra en la figura 4.23; es decir, ahora la corriente I1 y tensión V2 funcionan como variables independientes y V1 e I2 como dependientes.
Figura 4.23 Las ecuaciones que describen el proceso son las ecuaciones (4.33) y (4.34) obtenidas anteriormente. Los cuatro parámetros h se pueden obtener mediante las siguientes relaciones derivadas de la disposición de los distintos elementos mostrada en la figura 4.24.
218
h11
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES ¯ ¯ ¯ ¯ V1 ¯¯ V1 ¯¯ I2 ¯¯ I2 ¯¯ = ; h12 = ; h21 = ¯ ; h22 = (4.36) I1 ¯V2 =0 V2 ¯I1 =0 I1 V2 =0 V2 ¯I1 =0
Según las expresiones anteriores, h11 es la impedancia de entrada en el puerto 1 con el puerto 2 cortocircuitado. El parámetro h12 representa la razón de voltaje inverso o de retroalimentación de la red, medida con el puerto de entrada en circuito abierto. El parámetro h21 de transmisión directa representa la ganancia en corriente de la red con el puerto de salida en cortocircuito; por esta razón, h21 recibe el nombre de ganancia de corriente en cortocircuito. Finalmente, h22 es la admitancia de salida con el puerto de entrada en abierto. El método para medir cada uno de los cuatro parámetros h se expresa de forma esquemática en la figura 4.24.
Figura 4.24
4.3.4.
Parámetros g
De forma análoga a como relacionamos los parámetros z con los y, ahora, resolviendo las ecuaciones (4.33) y (4.34) podemos obtener los parámetros g. Ahora expresamos los valores de I1 y V2 en función de la tensión V1 y la corriente I2 . Es decir, en este caso las variables independientes son V1 e I2 y las dependientes I1 y V2 . Los parámetros g son la caracterización híbrida inversa de redes de dos puertos y se basa en excitar la red mediante V1 e I2 , como se muestra en la figura 4.25.
4.3. CUADRIPOLOS
219
Figura 4.25 Las ecuaciones que describen este proceso son: I1 = g11 V1 + g12 I2
(4.37)
V2 = g21 V1 + g22 I2
(4.38)
En forma matricial, µ
I1 V2
¶
=
µ
g11 g12 g21 g22
¶µ
V1 I2
¶
(4.39)
Figura 4.26 De forma análoga a los casos anteriores, los distintos parámetros se obtienen de la siguiente manera, g11
¯ ¯ ¯ ¯ I1 ¯¯ I1 ¯¯ V2 ¯¯ V2 ¯¯ = ; g12 = ¯ ; g21 = ; g22 = (4.40) V1 ¯I2 =0 I2 V1 =0 V1 ¯I2 =0 I2 ¯V1 =0
El método para medir cada uno de los parámetros g se muestra en la figura 4.26
220
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
4.3.5.
Parámetros de transmisión
En los apartados anteriores hemos relacionado tensiones con corrientes en distintas circunstancias, para terminar con los distintos tipos de parámetros, vamos a estudiar los que relacionan la tensión y corriente en un puerto con las correspondientes en el otro puerto. Este tipo de parámetros se conocen como parámetros de transmisión Si en la ecuación (4.31) despejamos I1 , tendremos, 1 z22 V2 − I2 z21 z21 Llevando este resultado al ecuación (4.30) I1 =
µ
¶ 1 z22 z11 1 V2 − I2 + z12 I2 = V2 − (z11 z22 − z21 z12 ) I2 V1 = z11 z21 z21 z21 z21 Definimos los términos que multiplican a tensión y corriente de la forma siguiente: z11 (z11 z22 − z21 z12 ) |z| 1 ; B= = ; C= z21 z21 z21 z21 Sustituyendo en las ecuaciones anteriores tendremos,
A=
;
D=
V1 = AV2 − BI2
µ
(4.41)
I1 = CV2 − DI2
En forma matricial, V1 I1
¶
=
µ
A B C D
¶µ
V2 −I2
z22 z21
(4.42) ¶
(4.43)
Los parámetros A, B, C y D son los parámetros de transmisión que relacionan las tensiones y corrientes en el segundo puerto con las del primero. De forma análoga a lo que hicimos con los otros parámetros, estos se pueden obtener a partir de la ecuaciones (4.41) y (4.42) cortocircuitando o dejando en circuito abiertos los terminales del segundo puerto. ¯ ¯ ¯ ¯ V1 ¯¯ I1 ¯¯ I1 ¯¯ V1 ¯¯ ; B=− ; C= ; D=− ¯ A= V2 ¯I2 =0 I2 ¯V2 =0 V2 ¯I2 =0 I2 V2 =0
(4.44)
4.3. CUADRIPOLOS
221
En estos parámetros se mezclan circuito abierto con cortocircuito. A es la ganancia o atenuación de la tensión cuando está abierto el segundo puerto; B es impedancia de transferencia negativa con el segundo puerto en cortocircuito; C es la admitancia de transferencia con el segundo puerto en circuito abierto, y D es la ganancia o atenuación negativa de corriente con el segundo puerto cortocircuitado. Estos parámetros nos permiten analizar cuadripolos encadenados, siempre que se trate de cuadripolos con componentes pasivos, ya que en estos casos la unión de cuadripolos no afecta a sus parámetros.
4.3.6.
Asociación de cuadripolos
Como vimos en la asociación de impedancias y admitancias, podemos simplificar un circuito asociando grupos de componentes. De forma análoga podemos simplificar circuitos más complejos si podemos asociar cuadripolos. La asociación requiere que la unión de un cuadripolo a otro no afecte a los parámetros característicos de dichos cuadripolos. En el caso de cuadripolos con elementos pasivos la unión no modifica los parámetros. Si hay componentes activos puede ocurrir que sí afecten y por tanto no se mantienen los parámetros de cada cuadripolo. En lo que sigue vamos a suponer que la unión no modifica los parámetros respectivos. Cuadripolos en serie En la figura 4.27 se muestra la conexión en serie de dos cuadripolos P y Q, podemos observar que cuando el segundo puerto está en circuito abierto en el primero se suman las dos impedancias, por tanto z = z11 + z11 . Lo mismo podemos decir de los otros parámetros, en consecuencia y en forma matricial, µ
z11 z12 z21 z22
¶
=
µ
z11 z12 z21 z22
¶
+
µ
z11 z12 z21 z22
¶
(4.45)
Cuadripolos en paralelo Lo que hemos visto con las impedancias podemos observarlo con las + y11 . La admitancias. Si nos fijamos en la figura 4.28 ahora y11 = y11 forma matricial de expresar la unión en paralelo de dos cuadripolos es,
222
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES µ
y11 y12 y21 y22
¶
=
µ
y11 y12 y21 y22
¶
Figura 4.27
+
µ
y11 y12 y21 y22
¶
(4.46)
Figura 4.28
Cuadripolos en cascada En este caso los parámetros que intervienen son los de transmisión, ya que su disposición, como muestra la figura 4.29, es en cadena o cascada. Y la ecuación que describe la conexión de cuadripolos en cascada es, µ
A B C D
¶
=
µ
A B C D
¶µ
A B C D
¶
(4.47)
Figura 4.29 En este caso el orden en la posición de las matrices debe corresponder con la que ocupa el cuadripolo. Fijaremos las ideas expuestas sobre los parámetros con unos cuantos ejemplos.
Ejemplo 4.9 Calcular los parámetros y del cuadripolo que muestra la figura 4.30.
4.3. CUADRIPOLOS
223
Figura 4.30 Solución Teniendo en cuenta la forma de obtener los parámetros y que hemos visto en el apartado correspondiente, se procede en primer lugar a establecer las ecuaciones que relacionan tensiones y corrientes. En este caso utilizamos el método de nudos. La corriente I1 entra en el nudo uno y sale por las otras dos ramas. En el nudo dos entra la corriente I2 y la que procede del condensador, sale la que atraviesa la resistencia. 1 V1 V1 − V2 + = V1 (1 + ) − V2 10 −10 10 10 1 V1 − V2 V2 I2 = − + = −V1 + V2 (1 + 2) −10 20 10 20 Agrupando las ecuaciones, tenemos el siguiente sistema, I1 =
1 (1 + ) − V2 10 10 1 I2 = −V1 + V2 (1 + 2) 10 20 Ahora procedemos a calcular los parámetros aplicando las respectivas definiciones. Parámetro y11 I1 = V1
y11
¯ I1 ¯¯ = V1 ¯V2 =0
Poniendo V2 = 0 en la primera ecuación, I1 = V1
1 (1 + ) 10 y11 =
=⇒
1 I1 = (1 + ) V1 10
1 (1 + ) 10
224
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES Parámetros y12 e y21 y12
¯ I1 ¯¯ = V2 ¯V1 =0
Poniendo V1 = 0 en la primera ecuación, I1 = −V2
10
I1 =− V2 10
=⇒
y12 = −
10
Parámetro y21 y21
¯ I2 ¯¯ = V1 ¯V2 =0
Para obtener el parámetro y21 ponemos V2 = 0 en la segunda ecuación, I2 = −V1
10
=⇒
I2 =− V1 10
En consecuencia, I2 =− V1 10 Vemos que en un cuadripolo con elementos pasivos la matriz es simétrica. Parámetro y22 y21 = y12 =
y22
¯ I2 ¯¯ = V2 ¯V1 =0
Para obtener el parámetro y22 ponemos V1 = 0 en la segunda ecuación, I2 = V2
1 (1 + 2) =⇒ 20
1 I2 = (1 + 2) V2 20
En definitiva, y22 = En forma matricial,
I2 1 = (1 + 2) V2 20
4.3. CUADRIPOLOS
225
¶ ¶ µ 1 (1 + ) − 10 y11 y12 10 = 1 y21 y22 − 10 20 (1 + 2) Con lo que hemos concluido el cálculo de los parámetros y. El parámetro y12 = y21 muestra la simetría de la matriz del cuadripolo cuando se compone de elementos pasivos. Además en los cuadripolos pasivos sólo hay tres parámetros de distinto valor. µ
Ejemplo 4.10 Calcular los parámetros z del caudripolo que muestra la figura 4.31.
Figura 4.31 Solución De forma análoga a como calculamos los parámetros y procederemos con los z. En primer lugar calculamos las relaciones entre tensiones y corrientes mediante el método de lazos. Dado el sentido de las corrientes en el cuadripolo, la corriente del primer lazo es en sentido horario y la del segundo en el contrario. V1 = I1 (8 − 4) + I2 8
V2 = I1 8 + I2 (8 + 4) Ahora procedemos al cálculo de los respectivos parámetros, teniendo en cuenta las definiciones correspondientes. Parámetro z11 ¯ V1 ¯¯ z11 = I1 ¯I2 =0 Si ponemos I2 = 0 en la primera ecuación, V1 = I1 (8 − 4)
=⇒
V1 = 8 − 4 I1
226
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES por tanto, V1 = 8 − 4 I1
z11 = Parámetros z12 y z21 z12
¯ V1 ¯¯ = I2 ¯I1 =0
Si ponemos I1 = 0 en la primera ecuación, V1 = I2 8
=⇒
V1 =8 I2
V1 =8 I2 Para calcular el parámetro z21 , utilizamos la siguiente relación, z12 =
z21
¯ V2 ¯¯ = I1 ¯I2 =0
Si ponemos I2 = 0 en la segunda ecuación, V2 = I1 8
=⇒
V2 =8 I1
por tanto, z21 = z12 =
V2 =8 I1
Parámetro z22 Para terminar calculamos z22 mediante la relación, z22
¯ V2 ¯¯ = I2 ¯I1 =0
Si ponemos I1 = 0 en la segunda ecuación, V2 = I2 (8 + 4) z22 =
=⇒
V2 = 8 + 4 I2
V2 = 8 + 4 I2
4.3. CUADRIPOLOS
227
En forma matricial, ¶ µ ¶ 8 − 4 8 z11 z12 = 8 8 + 4 z21 z22 Vemos aquí que también z12 = z21 , es decir, la matriz es simétrica y tiene sólo tres parámetros diferentes. µ
Ejemplo 4.11 Calcular los parámetros h del cuadripolo indicado en la figura 4.32
Figura 4.32 Solución Comenzamos estableciendo la relación entre tensiones y corrientes. Utilizamos el método de nudos. En el nudo uno entra la corriente I1 y salen las otras dos. En el nudo dos entran la corriente que atraviesa la resistencia de 8 Ω, así como I2 y la que procede de la fuente 4I1 , sale la que atraviesa la resistencia de 2 Ω. Nudo uno I1 =
1 V V − V2 3 + = V − V2 4 8 8 8
Nudo dos 5 V − V2 V2 1 + = −V + V2 8 2 8 8 La tensión en el primer nudo en función de V1 es, I2 + 4I1 = −
V = V1 − 4I1
Sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores tenemos que, 1 3 I1 = (V1 − 4I1 ) − V2 8 8
¶ µ 3 1 3 =⇒ I1 1 + = V1 − V2 2 8 8
228
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
5 3 1 = V1 − V2 2 8 8
I1 En la segunda ecuación,
5 1 5 1 1 + V2 = −V1 + V2 + I1 8 8 8 8 2 7 1 5 I2 + I1 = −V1 + V2 2 8 8 Agrupamos las ecuaciones de forma que, I2 + 4I1 = − (V1 − 4I1 )
5 3 1 = V1 − V2 2 8 8 7 1 5 = −V1 + V2 I2 + I1 2 8 8 Mediante las ecuaciones anteriores y la definición correspondiente de los parámetros h, calculamos dichos parámetros. Parámetro h11 I1
h11 =
¯ V1 ¯¯ I1 ¯V2 =0
Poniendo V2 = 0 en la primera ecuación, I1
5 3 = V1 2 8
=⇒ h11 =
40 V1 20 = = I1 6 3 20 3
Parámetro h12 Calculamos ahora el parámetro h12 h12
¯ V1 ¯¯ = V2 ¯I1 =0
Si en la primera ecuación ponemos I1 = 0, V1 por tanto,
3 1 − V2 = 0 8 8
=⇒
1 V1 = V2 3
4.3. CUADRIPOLOS
229
1 3
h12 = Parámetro h21 h21
¯ I2 ¯¯ = ¯ I1 V2 =0
Si ponemos V2 = 0 en las dos ecuaciones, queda, 5 3 = V1 2 8 7 1 = −V1 I2 + I1 2 8 Despejando V1 en la primera y llevándolo a la segunda, I1
I2 + I1
7 40 1 = −I1 2 6 8
=⇒
I2 = −I1
h21 = −
13 3
=⇒
13 I2 =− I1 3
13 3
Parámetro h22 . h22
¯ I2 ¯¯ = V2 ¯I1 =0
Poniendo I1 = 0 en la dos ecuaciones,
3 1 − V2 8 8 1 5 I2 = −V1 + V2 8 8 Despejando el valor de V1 en la primera sustituyendo en la segunda, 0 = V1
1 5 7 + V2 = V2 24 8 12 De donde se deduce que, I2 = −V2
h22 = En forma matricial,
7 12
=⇒
7 I2 = V2 12
230
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES µ
h11 h12 h21 h22
¶
=
µ
20 3 − 13 3
1 3 7 12
¶
En el ejemplo propuesto vemos que la matriz de los parámetros h no es simétrica, h12 6= h21 , debido a que existe una fuente dependiente en el cuadripolo, además los cuatro parámetros son distintos. Ejemplo 4.12 La figura 4.33 muestra un cuadripolo con un circuito magnético acoplado, calcular los parámetros de transmisión de dicho cuadripolo.
Figura 4.33 Solución Las ecuaciones del sistema magnéticamente acoplado, con los sentidos de las corrientes y las polaridades indicadas, es, V1 = 2I1 + 3I2 V2 = 3I1 + 8I2 Parámetro A Como vimos al obtener los parámetros de transmisión, la relación para obtener el parámetro A es,
Como I2 = 0,
¯ V1 ¯¯ A= V2 ¯I2 =0 V1 = 2I1 V2 = 3I1
En consecuencia,
4.3. CUADRIPOLOS
231
A=
V1 2 = V2 3
Parámetro B Se calcula aplicando la siguiente relación, ¯ V1 ¯¯ B= −I2 ¯V2 =0
Si aplicamos la condición V2 = 0 en las ecuaciones planteadas al principio, V1 = 2I1 + 3I2 0 = 3I1 + 8I2 En la segunda despejamos la corriente I1 y la sustituimos en la primera, 8 I1 = − I2 3 V1 = −
16 7 I2 + 3I2 = − I2 3 3
B= Parámetro C Se calcula mediante,
V1 7 = −I2 3
¯ I1 ¯¯ C= V2 ¯I2 =0
Si ponemos I2 = 0 en la segunda ecuación, V2 = 3I1 El parámetro C será, C= Parámetro D Con la relación,
1 I1 1 = = − V2 3 3
232
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES ¯ I1 ¯¯ D= −I2 ¯V2 =0
Ahora ponemos V2 = 0 en la segunda ecuación, 0 = 3I1 + 8I2
=⇒
por tanto, D= La matriz de los parámetros es, µ
I1 8 8 = = −I2 3 3
8 I1 = −I2 3
µ ¶ 1 2 7 = − 13 38 9 − 8 La matriz de los parámetros de transmisión no es simétrica, pero se puede demostrar que los parámetros cumplen la condición, 2 3
73
AD − BC =
¶
1 (16 − 7 (−)) = 1 9
Ejemplo 4.13 La figura 4.34 muestra dos cuadripolos P y Q dispuestos para asociarse en cascada. Calcular los parámetros de transmisión de cada cuadripolo y la matriz de transmisión del conjunto asociado en cascada.
Figura 4.34 Solución Los parámetros correspondientes al cuadripolo con acoplo magnético los hemos obtenido en el ejemplo anterior, por tanto sólo vamos a calcular los del primer cuadripolo formado por el circuito en T.
4.3. CUADRIPOLOS
233
Comenzamos estableciendo las ecuaciones que relacionan corrientes y tensiones aplicando el método de lazos. Dado el sentido de las corrientes en el cuadripolo, suponemos la corriente en el primer lazo en sentido horario y en el contrario en el segundo lazo. V1 = (8 − 4) I1 + 8I2 V2 = 8I1 + (8 + 4) I2
Parámetro A Se calcula con la relación, ¯ V1 ¯¯ A= V2 ¯I2 =0
Si en las ecuaciones ponemos I2 = 0,
V1 = (8 − 4) I1 V2 = 8I1
V1 8 − 4 1 = =1− V2 8 2 Por tanto, A=
1 V1 =1− V2 2
Parámetro B Lo calculamos mediante la siguiente relación, ¯ V1 ¯¯ B= −I2 ¯V2 =0
Sustituyendo V2 = 0 en las ecuaciones.
V1 = (8 − 4) I1 + 8I2 0 = 8I1 + (8 + 4) I2
Despejando I1 en la segunda y sustituyendo en la primera, V1 = − (8 − 4)
8 + 4 I2 + 8I2 = −10I2 + 8I2 = −2I2 8
234
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES En consecuencia, B=
V1 =2 −I2
Parámetro C Se calcula mediante la expresión,
¯ I1 ¯¯ C= V2 ¯I2 =0 Si en la segunda ecuación ponemos I2 = 0, V2 = 8I1 Es decir, 1 I1 = V2 8 Para calcular el parámetro D utilizamos la expresión, C=
¯ I1 ¯¯ D= −I2 ¯V2 =0 Con V2 = 0 en la segunda ecuación, 0 = 8I1 + (8 + 4) I2 por tanto,
=⇒
I1 8 + 4 1 = =1+ −I2 8 2
I1 1 =1+ −I2 2 La matriz de los parámetros es, D=
µ
¶ µ ¶ A B 1 − 12 2 = 1 C D 1 + 12 8 La matriz de los parámetros de transmisión no es simétrica, pero se puede demostrar que los parámetros cumplen la condición, µ ¶µ ¶ 1 1 1 5 1 A D −B C = 1− 1+ − = − =1 2 2 4 4 4 Como en el ejemplo anterior obtuvimos la matriz correspondiente al circuito magnéticamente acoplado,
4.3. CUADRIPOLOS
235
µ ¶ ¶ 1 2 7 A B = C D 9 − 8 La matriz de la asociación en cascada es, µ
µ
¶
1 = 9
µ
1 − 12
¶µ
2 7 1 − 8 8 ¶ ¶ µ 1 2 − 3 39 A B + 7 2 = 3 C D 8 + 39 9 4 − 8 Se puede comprobar que se cumple la relación, A B C D µ
2 1 + 12
¶
AD − BC = 1
4.3.7.
Fuentes controladas
Una fuente controlada es un dispositivo que se pueden representar por un cuadripolo. Una fuente controlada es una fuente dependiente con cuatro terminales formada por una fuente de corriente o voltaje cuyo valor en los dos terminales controlados depende de la corriente o voltaje en los dos terminales de control.
Figura 4.35 Así, hay cuatro posibles combinaciones de fuentes controladas: la fuente de voltaje controlada por voltaje (VCVS) (Voltage Control Voltage Source), la fuente de corriente controlada por voltaje (VCCS), la fuente de voltaje
236
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
controlada por corriente (CCVS) y la fuente de corriente controlada por corriente (CCCS). La dependencia en cada caso es unilateral, es decir, no hay transmisión en la dirección inversa. Los modelos de circuito correspondientes a las fuentes controladas ideales y sus ecuaciones características se muestran el la figura 4.35. Los modelos son ideales, puesto que todas las impedancias de entrada, salida o de realimentación se consideran o bien cero o infinito. Los parámetros de dos puertos para las cuatro fuentes controladas ideales figuran en la tabla 4.1.
Fuente
[ ]
VCVS
-
CCCS
-
-
VCCS CCVS
TABLA 4.1 [ ]
µ
0 0 0 -
¶
µ
0 0 0
¶
-
[ ] -
µ [ ] ¶ 0 0 0
-
-
µ
0 0 0
¶
-
Figura 4.36 Podemos observar que la matriz de admitancia sólo existe para la fuente de corriente controlada por tensión. Esto varía si consideramos elementos activos no ideales, ya que en este caso tendremos fuentes controladas con impedancias y admitancias distintas de cero e infinito. Las versiones no
4.3. CUADRIPOLOS
237
ideales de las fuentes controladas se representan en la figura 4.36. Con estas impedancias, ahora ya si existen matrices de admitancias para todas las fuentes, como se puede ver en la tabla 4.2
Fuente [ ]
VCVS µ 1 ¶ 0 − 0 10
TABLA 4.2 VCCS CCVS µ 1 ¶ µ 1 ¶ 0 0 0 − 1 10 0 0
µ
CCCS ¶ 1 0 0
1 0
238
4.4.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
PROBLEMAS
P4.1 Dado el circuito que muestra la figura P4.1, calcular la tensión AB en función de la tensión 1 del generador de corriente alterna (c. a.).
Figura P4.1 Figura P4.2 P 4.2 En la figura P4.2 se muestra el diagrama de un circuito de c.a. Calcular la corriente que circula por la rama A-B. P 4.3 Calcular la tensión AB en el circuito que muestra la figura P4.3.
Figura P4.3 Figura P4.4 P 4.4 Dado el circuito de c.a. que muestra la figura P4.4, calcular la corriente que circula por la resistencia central de 3 Ω. P 4.5 En el circuito de tres lazos que muestra la figura P4.5, tenemos dos resistencias de 3Ω. Calcular la relación entre las tensiones que hay en los bornes de dichas resistencias.
Figura P4.5
Figura P4.6
4.4. PROBLEMAS
239
P 4.6 Dado el circuito de la figura P4.6, calcular la tensión entre los bornes de la autoinducción. P 4.7 La figura P4.7 muestra un circuito con bobinas magnéticamente acopladas. Calcular la tensión en los bornes de la resistencia de 1 kΩ.
Figura P4.7
Figura P4.8
P 4.8 Dado el circuito que muestra la figura P4.8, calcular la corriente que circula por la resistencia de 2Ω. P4.9 La figura P4.9 muestra un circuito con fuentes independientes, además de resistencias, condensador y autoinducción. Por el método de nudos, calcular la tensión V = V2 entre los terminales de la resistencia de 6 Ω.
Figura P4.9
Figura P4.10
P 4.10 Disponemos de un circuito como el mostrado por la figura P4.10. Mediante el método de nudos calcular las corrientes I1 e I3 . P4.11 La figura P4.11 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente y otra de corriente dependiente, además de resistencias un condensador y una autoinducción. Con el método de nudos calcular las tensiones en los dos nudos distintos de tierra.
240
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
Figura P4.11
Figura P 4.12
P 4.12 La figura P 4.12 muestra un circuito con una fuente de tensión independiente y otra dependiente. Calcular la tensión en los terminales de la resistencia de 2Ω situada en la rama derecha del tercer lazo. P 4.13 En la figura P 4.13 se muestra un circuito con fuentes de tensión y corriente independientes, además de resistencias, un condensador y una autoinducción. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton vistos desde los terminales A-B.
Figura P 4.13
Figura P 4.14
P 4.14 Como muestra la figura P 4.14, tenemos un circuito compuesto por fuentes dependientes e independientes, además de resistencias un condensador y una autoinducción. Calcular los circuitos equivalentes Thévenin y Norton, vistos desde los terminales A-B. P 4.15 Las figuras P4.15 a y b muestran el circuito original y uno modificado. La modificación consiste en sustituir la parte izquierda desde los terminales A-B por una fuente de corriente .equivalenteçompuesta por un fuente de corriente ideal de 2 A en paralelo con una resistencia de 2 Ω. Calcular en los dos circuitos la corriente que circulan por los distintos componentes, así como la potencia disipada en ellos. Comparar los resultados.
4.4. PROBLEMAS
241
Figura P 4.15 P 4.16 Dado el circuito de la figura P 4.16, calcular los parámetros y correspondientes al cuadripolo que forma dicho circuito.
Figura P 4.16 Figura P 4.17 P 4.17 En la figura P 4.17 se muestra un cuadripolo. Calcular los parámetros z que lo caracterizan. Si aplicamos una fuente de 4 V en la entrada del cuadripolo y una resistencia de 10 Ω en la salida, calcular la corriente que circula por la resistencia. P 4.18 La figura P 4.18 muestra un circuito en forma de cuadripolo con una fuente dependiente. Calcular los parámetros h que caracterizan al cuadripolo.
Figura P 4.18 Figura P 4.19 P 4.19 La figura P 4.19 muestra un circuito con acoplamiento magnético. Calcular los parámetros de transmisión del cuadripolo. Cuando se aplica un generador independiente de 4 V ∠0 a la entrada, calcular la corriente que
242
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE REDES
circula por la resistencia de 4 Ω que se une a la salida del cuadripolo. P 4.20 La figura P 4.20 muestra un cuadripolo. Descomponer dicho cuadripolo en dos que se asocian en paralelo. Calcular los parámetros y de cada uno y los correspondientes a su asociación en paralelo.
Figura P 4.20 Figura P 4.21 P 4.21 En la figura P 4.21 se muestra dos cuadripolos asociados en serie. Calcular los parámetros z de cada uno, así como del conjunto resultante de asociarlos en serie.
Apéndice A
RELACIONES MATEMATICAS A.1.
ÁREAS Y VOLUMENES
Parlelepípedo rectángulo. Lados ´ = 2( · + · + · )
(A.1)
= · ·
(A.2)
´ = 4 · · 2
(A.3)
Esfera de radio .
4 = · 3 3 Cilindro recto de radio y altura .
(A.4)
´ = 2 · · ·
(A.5)
= · 2 ·
(A.6)
Cono recto de radio y altura . 243
244
APÉNDICE A. RELACIONES MATEMATICAS
´ = · (2 + 2 )12 1 = · 2 · 3 Casquete esférico de radio y altura ´ = 2 · · 1 = · 2 (3 · − ) 3 Tronco de cono recto de radios y altura . ´ = ( + )(2 + ( − )2 )12 1 = · · (2 + · + 2 ) 3 Toroide de radio interior y exterior . ´ = 2 (2 − 2 ) 1 = 2 ( + )( − )2 4 Elipsoide de semiejes y . 4 = · · · 3
A.2.
(A.7) (A.8)
(A.9) (A.10)
(A.11) (A.12)
(A.13) (A.14)
(A.15)
NÚMEROS COMPLEJOS + = = (cos + sen ) √ = (2 + 2 )12 ; = −1 ; 2 = −1
z =
_
(A.16)
Conjugado de z es z∗ = z = −
(A.17)
z1 ± z2 = (1 ± 2 ) + (1 ± 2 )
(A.18)
A.3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
z1 · z2 = (1 + 1 )(2 + 2 ) = 1 2 − 1 2 + (1 2 + 1 2 )
245
(A.19)
z1 · z2 = 1 1 2 2 = 1 2 (1 +2 ) = 1 2 exp ( 1 + 2 ) (A.20) z · z∗ = ( + ) · ( − ) = 2 + 2 = 2 z1 1 + 1 (1 + 1 )(2 − 2 ) 1 = = = exp (1 − 2 ) z2 2 + 2 2 22 + 22
A.3.
(A.21) (A.22)
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS sen( ± ) = sen cos ± cos sen
(A.23)
cos( ± ) = cos cos ∓ sen sen
(A.24)
sen( + ) + sen( − ) = 2 sen cos
(A.25)
cos( + ) + cos( − ) = 2 cos cos
(A.26)
sen( + ) − sen( − ) = 2 cos sen
(A.27)
cos( + ) − cos( − ) = −2 sen sen
(A.28)
sen + sen = 2 sen
+ − cos 2 2
(A.29)
sen − sen = 2 cos
+ − sen 2 2
(A.30)
cos + cos = 2 cos
+ − cos 2 2
(A.31)
cos − cos = −2 sen
+ − sen 2 2
(A.32)
246
A.4.
A.5.
APÉNDICE A. RELACIONES MATEMATICAS
sen 2 = 2 sen cos
(A.33)
cos 2 = cos2 − sen 2
(A.34)
sen 2 + cos2 = 1
(A.35)
± = cos ± sen
(A.36)
RELACIONES HIPERBÓLICAS ± = ch ± sh
(A.37)
sh ± ) = sh ch ± ch sh
(A.38)
ch( ± ) = ch ch ± sh sh
(A.39)
RELACIONES LOGARÍTMICAS log10 = log
(A.40)
log = ln log = 0 4343 ln ; ln = 2 3026 log Decibelio
dB = 10 log
1 = relación entre potencias; 2
1 1 = 20 log 2 2
(A.41) (A.42)
1 = relación entre tensiones 2
ln( ) = ln + + 2
( = )
(A.43)
A.6. DESARROLLOS EN SERIE
A.6.
247
DESARROLLOS EN SERIE 1 () = () + 0 ()( − ) + ”() ( − )2 + 2! ((−1) − ) + (−1) () ( − 1)! 1 1 3 1 − 2 + 2 8 16
(1 + )12 = 1 + (1 + )−12 = 1 − ln(1 + ) = −
1 5 3 3 + 2 − 2 8 16
1 2 1 3 1 4 + − 2 2 2
1 1+ 1 1 ln = + 3 + 5 2 1− 3 5
(−1 1)
(A.45) (A.46) (A.47) (A.48)
1 2 1 + 3 + 2! 3!
(A.49)
sen = −
1 3 1 1 + 5 − 7 3! 5! 7!
(A.50)
cos = 1 −
1 2 1 1 + 4 − 6 2! 4! 6!
(A.51)
1 3 2 5 17 7 + + 3 15 315
(A.52)
sh = +
1 3 1 + 5 + 3! 5!
(A.53)
ch = +
1 2 1 + 3 + · · · 2! 4!
(A.54)
= 1 + +
tg = +
A.7.
(−1 ≤ 1)
(A.44)
VECTORES EN FORMA COMPLEJA Parte real A0 (r ) de un vector en forma compleja A0 (r ) = Re[A(r ) ]
(A.55)
248
APÉNDICE A. RELACIONES MATEMATICAS
A(r ) = A (r ) + A (r ) 1 Re A = (A + A∗ ) 2
(A.56) (A.57)
1 Re(A ) · Re(B ) = (A + (A )∗ ) ((B + (B )∗ ) (A.58) 2 1 (A.59) Re(A · B∗ + A · B2 ) 2 Valor medio de un producto de vectores en forma compleja Re(A ) · Re(B ) =
Re(A ) · Re(B ) =
1 Re(A · B∗ ) 2
(A.60)
Apéndice B
TABLAS B.1.
CONSTANTES
CONSTANTES FÍSICAS Símbolo Velocidad de la luz 2,998·108 m/s Carga del electrón 1,602·10−19 C Masa del electrón 9,109·10−31 kg Razón carga/masa ( ) 1,76·1011 C/kg Masa del neutrón 1,675·10−27 kg Masa del protón 1,672·10−27 kg Constante de Plank 6,626·10−34 J·s Permitividad del vacío 8,854·10−12 F/m Permeabilidad del vacío 4·10−7 H/m Constante de Boltzmann 1,380·10−23 J/ K Constante de los gases 8,314 J/mol K Número de Avogadro 6,023·10−23 mole./mol Equivalente mecánico calor 4,186 J/caloría Constante de gravitación 6,67·10−11 N · m2 /Kg2 Energía en reposo del 2 0,5110 MeV Energía en reposo del 2 938,3 MeV Energía equivalente a 1 uma uma 1,66·10−27 kg = 931,5 MeV Momento magnético del 9,273 ·10−24 J · T−1 Radio de Bohr 0,5292·10−10 m Radio básico del 2,818·10−15 m Nombre
249
250
Magnitud física Longitud () Masa () Tiempo () Frecuencia ( ) Periodo ( ) Fuerza (F) Energía ( ) Potencia ( ) Carga eléctrica ( ) Momento dipolar (p) Polarización (P) Potencial eléctrico(V) F.e.m. (E ) o (V ) Int. campo eléctrico (E) Desplazamiento eléc.(D) Capacidad ( ) Permitividad () Corriente eléctrica( ) Densidad de corriente (J) Resistencia eléc. () Conductividad ( ) Inducción magnética (B) Int. de camp. magn. (H) Flujo magnético (Φ) Momento dipo. mag.(m) Imanación (M) Inductancia () F.m.m. ( F ) Permeabilidad () Reluctancia (R) Potencial vector (A) Vector de Poynting (S) Longitud de onda () Impedancia ( ) Admitancia ( )
APÉNDICE B. TABLAS UNIDADES Unidad S I metro (m) kilogramo (kg) segundo (s) herz (Hz) = c/s
Unidad S. Gauss CGS cm = 10−2 m gramo (g) segundo ciclos/s (c/s)
1f = newton(N) = kg·m/s2 julio (J) = N· m vatio (W) = J/s culombio (C) C.m (q.l) p/vol = C/m2 voltio (V) = J/C voltio (V) = J/C V/m N/C Q/m2 = C/m2 faradio (F) = C/V capac./m = F/m amperio (A) = C/s A/m2 V/I = V/A = Ω mho/m = 1/(Ω m) Tesla(T) = Wb/m2 A/m Weber (WB) A·m2 m/m3 = A/m henrio = (H) Amperio-vuelta Induc./m = H/m f.m.m./Wb = H−1 Φ/m = Wb/m P/área = W/m2 m V/I = Ω 1/ = Ω−1 =Siemen(S)
dina = 10−5 N ergio = 10−7 J erg/seg = 10−7 W statculomb io= 13 10−9 C
statvolt = 299,8 V
9·1011 cm abamperio = 10 A
gauss(G)=10−4 T 4 · 10−3 Oersted(Oe) 108 Maxwells(Mx)
1,257 Gilbert(Gb)
B.2. RESISTIVIDADES, PERMITIVIDADES Y PERMEABILIDADES251 Equivalencias. Electrón-voltio (eV) 1 eV Angström 1 Å Pulgada 1 pulg. Caloría 1 cal. Grados C Kilovatio-hora 1 kW · h
B.2.
= 1 602 · 10−19 J = 10−10 m = 2 5401 cm = 4 184 J = (273 15 + ) K = 3 6 · 106 J
RESISTIVIDADES, PERMITIVIDADES Y PERMEABILIDADES
Material Aire Acetato de celulosa Agua(destilada) Arena seca Aluminio Ámbar Azufre Baquelita Bismuto Cobalto Cobre Constantan (Cu 60, Ni 40) Cuarzo(fund.) Ebonita Germanio (puro) Glicerina Hierro (0 C) Madera Mercurio Mica Mumetal
Resitividad ()()(Ω·m)
104 2 83 · 10−8 5 · 1014 1015 1014
Permitividad relativa ( ) 1,0006 7 81 3,4
1,00002 (Para) 3 4 5 0,999983(Dia) 250 (Ferro.) 0,999991 (Dia.)
1 69 · 10−8 44 0 · 10−8 7 5 · 1017 1013 −16 10
Permeabilidad relativa ( )
5
0,45
50
8 85 · 10−8
108 −11 10 95 8 · 10−8 1011 −15 10
5000 (Ferro.) 2,1 6 100.000 (Ferro.)
252
APÉNDICE B. TABLAS
Material Nicromo Níquel Nitrato de celulosa Oro Parafina Petróleo Plata (0 C) Polietileno Polivinilo Resina epoxi Silicio(puro) Soluc.Sat. NaCl Supermalloy Teflón Tungsteno(Wolframio) Vidrio
B.3.
Resitividad ()()(Ω·m) 100 · 10−8 7 24 · 10−8 2 44 · 10−8 1015 1014 1 47 · 10−8 1015 1015 105
Permitividad relativa ( )
Permeabilidad relativa ( ) 600 (Ferro.)
5 2,1 2,2 0,99998 (Dia.) 2,2 3,2 3,7
640,0 0,044 800.000 (Ferro.)
1015
2,1
5 51 · 10−8 1010 −14 10
6
POTENCIAS DE DIEZ Potencia 10 12 10 9 10 6 10 3 10 −2 10 −3 10 −6 10 −9 10 −12
Prefijo Tera Giga Mega kilo centi mili micro nano pico
Abreviatura T G M k c m n p
Bibliografía [1] Cheng, D. K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Addison Wesley Iberoamericana S.A. (1998). [2] David Irwin, J. and Mark Nelms, R. Basic Engneering Circuit Analysis. (10 Ed.) John Wiley & Sons, Inc. USA 2010. [3] Hayes, J.P. Diseño de sistemas digitales y microprocesadores. Ed. McGraw-Hill (1986). [4] LePage, W. R. and Seely, S. General Network Analysis . Ed. McGrawHill. New York 1952. [5] López Rodríguez, V. Electromagnetismo. Ed. U. N. E. D. Madrid 2010. [6] López Rodríguez, V. Problemas resueltos de electromagnetismo. 2 Edición. Ed. CERA S.A. Madrid 2003.
253
Apéndice C
GLOSARIO A Admitancia Y La admitancia se define mediante la relación, I Y = + V Donde es la conductancia y a se le denomina susceptancia. se denomina susceptancia capacitiva y susceptancia inductiva La relación entre la impedancia Z y la admitancia Y es Y = 1Z Y=
Admitancias en paralelo La admitancia total es igual a la suma de las admitancias individuales dispuestas en paralelo. Y = Y1 + Y2 + Y Amortiguamiento crítico Se denomina amortiguamiento crítico en un circuito − − al que acurre cuando disminuyendo se pasa de una variación aperiódica a la oscilatoria amortiguada. 255
256
APÉNDICE C. GLOSARIO Anchura de banda
Se define la anchura de banda de un circuito resonante mediante la relación,
B
¯ ¯ ∆ = 2 ¯12 − ¯
o
¯ ¯ ∆ = 2 ¯ 12 − ¯
Bobina: Inductancia Una bobina o inductor es un componente de circuito formado por el arrollamiento de un conductor sobre un núcleo, cilíndrico o no, que se caracteriza por un parámetro llamado inductancia o coeficiente de autoinducción . C Circuito − serie La forma habitual de expresar la ecuación diferencial que describe el comportamiento del circuito − con una tensión escalón es, + = La ecuación diferencial que se obtiene al aplicar la ley de Kirchhoff para tensiones de c. a. en el dominio del tiempo es la siguiente,
+ = cos En el dominio de la frecuencia es,
V = I + I = ( + )I = ZI Circuito − serie Aplicando la ley de Kirchhoff para voltajes obtenemos la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito cuando se aplica una tensión escalón,
257
+ En este caso la ecuación derivada de aplicar la ley de Kirchhoff para tensiones de c. a. en el dominio del tiempo es la siguiente, =
+ = cos En el dominio de la frecuencia, V = I( +
1 )
Circuito − − serie El comportamiento del circuito − − aplicando la ley de Kirchhoff con una tensión escalón es, ++ La ecuación diferencial para tensiones de c. a., obtenida aplicando la ley de Kirchhoff, y que describe el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo es, =
+ + = cos En el dominio de la frecuencia es,
I + I +
1 I=V
Condensador Un condensador es un elemento de circuito construido con dos placas metálicas paralelas separadas por un dieléctrico. La característica de un condensador es su capacidad , que es la relación entre la carga que almacena y la diferencia de potencial entre sus placas. =
258
APÉNDICE C. GLOSARIO Condiciones de referencia
Las condiciones de referencia son: La dirección de referencia para una corriente que es la representada por una flecha en el generador de corriente ; y en un nudo se toma como positiva la que sale del nudo y negativa la que entra. La polaridad de referencia corresponde a un valor positivo de . Los signos + y − se utilizan para indicar tanto la polaridad de referencia en el circuito como el valor de la tensión. Conductancia Es la inversa de la correspondiente resistencia. = 1 Conductividad La constante de proporcionalidad entre J y E en la ley puntual de Ohm es un parámetro característico del medio llamado conductividad (). J =E ; = Constante de tiempo La constante de tiempo de un circuito − es un parámetro que nos da idea del predominio de la componente inductiva sobre la resistiva, o viceversa. Además nos indica la rapidez con que se alcanza un valor significativo de la corriente (el 63,2 % de su valor final). La constante tiene dimensiones de tiempo. La constante de tiempo de un circuito − es y nos muestra la rapidez o lentitud con que se verifica el proceso de carga y descarga del condensador. En este circuito cuanto mayor sea y tanto más tardarán en alcanzarse los valores finales de e calculados anteriormente. =
= La constante de tiempo para las oscilaciones de corriente amortiguada en un circuito − − es, 2 =
259 También se conoce como tiempo de relajación. En este caso es el doble del obtenido cuando estudiamos el circuito − serie. El conocimiento del factor nos da idea de la rapidez con que se amortiguan las oscilaciones del circuito. Corriente eléctrica Es el movimiento de partículas cargadas que produce un desplazamiento de cargas en una dirección. Corriente de conducción Se caracterizada por el arrastre de cargas dentro de un medio eléctricamente neutro. Corriente de convección Se produce cuando hay un transporte de masa que arrastra en su movimiento partículas cargadas Conservación de la carga El principio de conservación de la carga establece que ésta no se crea ni destruye. Como consecuencia de este principio podemos obtener una relación entre el flujo de carga a través de una superficie cerrada que limita un volumen y la variación de la carga en su interior, esta es, I
J · s = −
Cuadripolos Los cuadripolos o redes de dos puertos son circuitos o redes que agrupan distintos elementos y tienen dos terminales de entrada y otros dos de salida. Cuadripolos en serie
260
APÉNDICE C. GLOSARIO
Los parámetros z de dos cuadripolos dispuestos en serie se suman; en forma matricial, µ
z11 z12 z21 z22
¶
=
µ
z11 z12 z21 z22
¶
+
µ
z11 z12 z21 z22
¶
Cuadripolos en paralelo Los parámetros y de dos cuadripolos dispuestos en paralelo se suman. La forma matricial de expresar al unión en paralelo de dos cuadripolos es, µ
y11 y12 y21 y22
¶
=
µ
y11 y12 y21 y22
¶
+
µ
y11 y12 y21 y22
¶
Cuadripolos en cascada En este caso los parámetros que intervienen son los de transmisión, ya que su disposición es en cadena o cascada. Y la ecuación que describe la conexión de cuadripolos en cascada es, µ
A B C D
¶
=
µ
A B C D
¶µ
A B C D
¶
D Decremento logarítmico La magnitud ∆ = recibe el nombre de decremento logarítmico y nos da idea del decaimiento progresivo de la corriente en una oscilación amortiguada. ln ( ) − ln (+1 ) = = ∆ Densidad de corriente Se representa por J, y se define como la corriente por unidad de área que atraviesa la superficie cuya normal coincide con la dirección de J. Diagrama de Bode
261 Es una representación gráfica de la función de transferencia (), y sirve para caracterizar la respuesta de un sistema en frecuencia. Consta de dos gráficas separadas, una en la que se representa el logaritmo de la magnitud de la función de transferencia y otra la fase. E Ecuación de continuidad La expresión matemática del principio de conservación de la carga es, Z J · s = − En forma verbal podemos decir que el flujo de corriente que sale a través de la superficie cerrada es igual a la disminución de la carga en su interior, es decir, a menos la variación de carga en el interior. I
Eficiencia Es la relación entre la potencia recibida por la carga y la suministrada por la fuente. =
= +
Elemento de circuito Es un componente indivisible con dos bornes o terminales. Elemento lineal Es todo elemento de circuito para el que la relación entre corriente y potencial es lineal, es decir, no depende del valor de la corriente o tensión. Energía almacenada en una bobina La energía almacenada en el campo magnético de una bobina es, 1 () = 2 () 2
262
APÉNDICE C. GLOSARIO Energía almacenada en un condensador
En el campo eléctrico dentro del condensador, cuando está cargado, se almacena la siguiente energía, 1 () = 2 () 2 F Factor de potencia En la potencia activa = cos Al factor cos , se le conoce como factor de potencia, y depende del desfase entre corriente y voltaje provocado por la resistencia y reactancia del dispositivo al que se suministra potencia. Factor Se define el factor de calidad de un circuito mediante la expresión: Energía máxima almacenada ; = 2 Energía disipada durante un ciclo Podemos relacionar la anchura de banda ∆ con el factor . Considerando que, =
Fasor
¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 ¯ ¯ ¯ = = ¯ 2 ¯ 12 − ¯ 2 12 ¯
;
=
= ∆ ∆
Vectores giratorios denominados fasores con representación en el plano complejo de tensiones y corrientes. Función periódica: Características La expresión general de una onda sinusoidal viene dada por cualquiera de las siguientes funciones:
263
() = sin( + )
o
() = cos( + )
donde es la amplitud, es la pulsación o frecuencia angular y es el ángulo de fase. El periodo de la señal viene dado por, 2 1 = = Donde es la frecuencia de la señal, que es la inversa del periodo . se mide en rad/s ; en s y en hertzios (Hz ó c/s). Valor medio de la función periódica es Z 1 = = sin( + ) = 0 0 Valor eficaz de una función periódica es, µ Z ¶12 1 2 [ sin( + )] =√ = 0 2 La relación entre el valor eficaz y máximo de la tensión y corriente sinusoidal es, =
√ 2
y
=
√ 2
Frecuencia de oscilación propia Cuando en un circuito −− la resistencia = 0, el voltaje y corriente oscilan sinusoidalmente, siendo su periodo y frecuencia de oscilación, 1 = (1 ) = ( 2) = (1)12 2 A se le conoce como frecuencia de oscilación propia o frecuencia propia del circuito y depende de los valores de capacidad e inductancia. Cuanto menores sean y mayor es . Frecuencia de resonancia Es la frecuencia de oscilación propia de circuito −, es decir, el circuito que estudiamos cuando = 0. Fuente controlada
264
APÉNDICE C. GLOSARIO
Es una fuente dependiente de cuatro terminales formada por una fuente de corriente o voltaje cuyo valor en los dos terminales controlados depende de la corriente o voltaje en los dos terminales de control. A este tipo de fuente se la representa por un rombo o diamante Fuente lineal Es una fuente en donde la relación entre la tensión y corriente entre sus terminales es una ecuación lineal. Fuente de tensión Un generador o fuente tensión o voltaje, es un dispositivo de dos bornes o terminales entre los que existe una tensión, sin que circule corriente, es decir, la fuente de tensión es un elemento activo que mantiene una tensión en sus bornes. La fuente de tensión es ideal cuando la tensión en sus bornes es independiente de la corriente que suministra. (ver voltaje). Fuente de intensidad La fuente de intensidad o de corriente ideal es un dispositivo de dos bornes o terminales que proporciona una determinada corriente () independientemente de la tensión en bornes. Fuerza electromotriz Cuando el campo eléctrico no es conservativo, la integral de E0 depende del camino, no es nula y su valor se conoce como fuerza electromotriz (f.e.m.) E. En el SI la unidad es el voltio [V]. E=
I
E0 · l
Función de transferencia La función de transferencia de un circuito electrónico es una función que depende de la frecuencia y que relaciona la respuesta del circuito a una señal de entrada V G() = V G
265 Generador Generador o fuente de tensión o voltaje, es un dispositivo de dos bornes o terminales entre los que existe una tensión sin que circule corriente, es decir, la fuente es un elemento activo que mantiene una tensión en sus bornes. La fuente de potencial es ideal cuando la tensión en sus bornes es independiente de la corriente que suministra. Un generador de voltaje se aproxima a un generador ideal cuando su resistencia interna tiende a cero. (ver voltaje) I Impedancia compleja Es la relación entre tensión y corriente en forma compleja. V = ZI Este factor de proporcionalidad se denomina impedancia compleja Z. A se la conoce con el nombre de módulo de la impedancia compleja Impedancia de entrada La impedancia de entrada caracteriza lo que hay detrás de los bornes de una red. Se obtiene esta impedancia de entrada aplicando a los terminales de entrada un generador V y midiendo la corriente I que entra por uno de los terminales. La impedancia de entrada es, Z =
V I
Impedancias en serie La impedancia del conjunto es igual a la suma de las impedancias individuales dispuestas en serie. Z = Z1 + Z2 + Z Impedancias en paralelo
266
APÉNDICE C. GLOSARIO
En la asociación de impedancias en paralelo la inversa de la impedancia total es igual a la suma de las inversas de las impedancias conectadas en paralelo 1 1 1 1 + ··· + = Z Z1 Z2 Z Intensidad de corriente Se define como la carga neta que atraviesa una superficie por unidad de tiempo, y su valor viene dado por la expresión, La unidad en el sistema internacional (SI) es el amperio (A), que es el culombio partido por segundo (C/s). También se utiliza con frecuencia el miliamperio (mA = 10−3 A) y el microamperio (A = 10−6 A). =
L Lazo Es el conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal manera que si se elimina cualquier rama del lazo, la rama queda abierta. Ley de Joule La ley de Joule expresa que la potencia eléctrica que se transforma en térmica es igual a la resistencia por el cuadrado de la intensidad de corriente que la atraviesa. = 2 Ley de Ohm Expresa la proporcionalidad entre el voltaje aplicado a un conductor cilíndrico y la corriente que circula por él, a la constante de proporcionalidad le llamamos resistencia eléctrica . La ecuación que expresa dicha ley es:
267
= La unidad de resistencia en el SI se llama ohmio (Ω). Un ohmio (Ω) = voltio/amperio (V/A) Ley de Ohm: forma puntual La ecuación constitutiva que relaciona J con E es, J=E Ésta ecuación se conoce como forma puntual de la de Ohm, ya que expresa en cada punto la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente a través de la conductividad. Es una ecuación constitutiva por que relaciona los vectores de campo J y E mediante un parámetro característico del medio material denominado conductividad. Ley de Ohm: notación fasorial La relación entre tensión y corriente en c. a. es, V = ZI El factor de proporcionalidad entre tensión y corriente se denomina impedancia compleja Z, y nos permite escribir la relación entre tensión y corriente con una expresión denominada ley de Ohm en notación fasorial M
Malla Es un lazo que no contiene ningún otro en su interior, este concepto se aplica solamente a circuitos planos. Todas las mallas son lazos, pero no todos los lazos son mallas. Método de lazos Es el método de análisis de circuitos en el que se aplica la segunda ley de Kirchhoff a cada lazo que constituye la red.
268
APÉNDICE C. GLOSARIO Método de nudos
Es el método de análisis de circuitos en el que se aplica la primera ley de Kirchhoff a cada uno de los − 1 nudos distintos de tierra que constituye la red. Movilidad electrónica Cuando a un sistema de cargas se aplica un campo eléctrico la velocidad media de las cargas v = E. Al factor se conoce como movilidad de la partícula considerada. Si se trata de electrones se llama movilidad electrónica y se suele representar por . N Nudo Es un punto de unión entre tres o más elementos de circuito. Llamaremos nudo secundario al punto de unión de dos elementos de un circuito. O Oscilatorio amortiguado Es la forma de la corriente en un circuito − − cuando (2)2 − (1) 0 . Dicha corriente se expresa de la forma siguiente, =
2 + 2 − sen
P Parámetro Es la representación simbólica de los elementos de circuito. Una resistencia se representa por ; una autoinducción por , un condensador por , etc. Parámetros y Son cuatro parámetros y11 , y12 , y21 e y22 , que caracterizan por completo un cuadripolo y son admitancias. I1 = y11 V1 + y12 V2 I2 = y21 V1 + y22 V2
269 Parámetros z Son la cuatro impedancias que caracterizan a un cuadripolo o rede de dos puertos V1 = z11 I1 + z12 I2 V2 = z21 I1 + z22 I2 Parámetros h Son la caracterización híbrida de un cuadripolo, cuyas ecuaciones características son, V1 = h11 I1 + h12 V2 I2 = h21 I1 + h22 V2 Parámetros g Son la caracterización híbrida inversa de un cuadripolo, cuyas ecuaciones características son, I1 = g11 V1 + g12 I2 V2 = g21 V1 + g22 I2 Parámetros de transmisión Los parámetros A, B, C y D son los que relacionan las tensiones y corrientes en el segundo puerto con las del primer puerto. V1 = AV2 − BI2
I1 = CV2 − DI2
Primera ley de Kirchhoff
270
APÉNDICE C. GLOSARIO
En un nudo la suma algebraica de las corrientes que entran y salen es nula. En forma matemática dicha ley es, X
= 0 (c. c)
1
;
X
I = 0 (c. a.)
1
Principio de superposición El principio de superposición lineal establece que si en un circuito o red existen dos o más fuentes, cada una actúa de forma independiente, de manera que la corriente en una rama es la suma de las corrientes producidas por cada fuente considerada individualmente. Potencia instantánea La potencia instantánea (), es la suministrada en cada instante, y se clacula mediante el producto del voltaje aplicado por la corriente que atraviesa el dispositivo. Para un dispositivo caracterizado por una impedancia Z = + , es de la forma, () = = 2 cos cos( + ) Potencia activa La ecuación, = cos Representa la potencia activa y es la potencia suministrada al dispositivo. Dicha potencia activa, dependiendo del tipo de dispositivo, se disipa en los elementos resistivos o parte se trasforma en energía mecánica como ocurre en un motor eléctrico. El factor cos , se le conoce como factor de potencia, y depende del desfase entre corriente y voltaje provocado por la resistencia y reactancia del dispositivo al que se suministra potencia. Potencia reactiva
271 El término, = sen Representa la potencia que se intercambia entre los componentes inductivos y capacitivos de los dispositivos. A esta potencia se la conoce con el nombre de potencia reactiva. Potencia compleja La potencia compleja S, que se define mediante la siguiente ecuación, S = VI∗ Su relación con la potencia activa y reactiva es, S = + Potencia aparente Al producto de la tensión por la corriente se le llama potencia aparente, que es la máxima potencia activa que puede suministrarse al dispositivo en el caso de que cos = 1. R Rama Se construye mediante la unión de elementos de circuito de manera que el conjunto forma un dispositivo de dos terminales. Rama lineal Es la compuesta por fuentes y elementos de circuito lineales. Rama activa Es una rama en la que figuran fuentes o elementos activos y puede o no tener componentes pasivos como resistencias.
272
APÉNDICE C. GLOSARIO Rama pasiva
Es la que no tiene ningún elemento activo, es decir no tiene fuentes o transistores. Rama común Es una rama compartida por dos mallas o lazos. Rama externa Es una rama que pertenece sólo a un lazo o malla. Reactancia inductiva El término = de una impedancia se conce con el nombre de reactancia inductiva. Reactancia capacitiva El término 1 = −, = −1 se conoce con el nombre de reactancia capacitiva. Red Es la interconexión de ramas y lazos. Frecuentemente se utiliza la palabra circuito con el mismo significado que red. Red plana Es una red en la que no existen puntos de cruce entre las ramas. Red de parámetros distribuidos Es una red compuesta por elementos que no pueden ser caracterizados por un parámetro localizado y por tanto no se tratan analíticamente como componentes individuales separados. Resistencia crítica
273 En un circuito − − serie, si aumentamos la resistencia , se puede observar el paso de una oscilación amortiguada del voltaje o corriente a un decaimiento exponencial. El punto crítico en esta transición, conocido como amortiguamiento crítico, ocurre cuando, µ ¶12 =2 Este valor de la resistencia se le llama resistencia crítica, y depende de los valores de y . La característica más importante del amortiguamiento crítico es que el sistema pasa de un estado a otro en el menor tiempo posible y sin oscilaciones, al contrario de lo que ocurre en el amortiguamiento normal, en el que los cambios de un estado a otro tardan más, dependiendo del valor de . Resistencia de entrada La resistencia de entrada de una red se define mediante la relación entre la tensión aplicada a sus termiales de entrada y la corriente que suministra la fuente aplicada. =
Resistencias en serie La resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias parciales dispuestas en serie. = 1 + 2 + 3 + · · · + Resistencias en paralelo La inversa de la resistencia equivalente es igual a la suma de las inversas de las resistencias dispuestas en paralelo. 1 1 1 1 1 + + +··· + = 1 2 3
274
APÉNDICE C. GLOSARIO Resistividad La resistividad es la inversa de la conductividad y se expresa en Ω·m. S Segunda ley de Kirchhoff
Cuando existen generadores y resistencias dispuestos en un circuito cerrado la segunda ley de Kirchhoff expresa que la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la suma de las caídas de tensión, (c. c.) Z I (c. a.) en cada elemento del circuito. X 1
E =
X
(c.c.) ;
1
X 1
V =
X
Z I
(c. a.)
1
Seudoperiodo Si las variaciones de voltaje o corriente son oscilaciones amortiguadas, los máximos se repiten cada periodo à µ ¶2 !−12 1 = 2 − 2 A este tiempo se le conoce como seudoperiodo, ya que difiere del periodo p propio = . Cuanto menor sea el amortiguamiento, es decir , más se aproxima a . T
Tensión escalón Cuando en un circuito se cierra un interruptor que une dicho circuito a una fuente, se aplica al circuito una tensión escalón. Esta se representa por una función escalón cuya expresión matemática es la siguiente: () =
½
Teorema de Thévenin
0
para todo 0 para todo ≥ 0
275 El teorema de Thévenin establece que en corriente continua un dispositivo formado por una red con fuentes y resistencias es equivalente a una fuente independiente de tensión, en serie con una resistencia , llamada resistencia equivalente. Una red en corriente alterna puede sustituirse por un generador equivalente V dispuesto en serie con una impedancia equivalente Z , y la ecuación que relaciona la tensión en los terminales con la corriente que suministra a la carga es, = −
(c.c.) ;
V = V − Z I (c. a.)
Teorema de Norton El teorema de Norton establece que un dispositivo formado por una red con fuentes y resistencias es equivalente a una fuente independiente de corriente en paralelo con la resistencia . El teorema de Norton es el dual del teorema de Thévenin. El teorema de Norton establece que un dispositivo formado por una red con fuentes e impedancias es equivalente a una fuente independiente de corriente I en paralelo con la impedancia Z . = −
(c.c.)
;
I = I − Y V
(c. a.)
Teorema de máxima transferencia de potencia La máxima transferencia de potencia en una red de corriente continua ocurre cuando, = En una red de corriente alterna para que se transfiera la máxima potencia debe cumplirse que el valor de la carga sea el número complejo conjugado de la impedancia interna del generador, Z = Z∗ o de otra forma = ; = −
276
APÉNDICE C. GLOSARIO V Valor medio de la función periódica
La siguiente relación muestra como se calcula el valor medio de una función periódica, Z 1 sin( + ) = 0 = = 0 Valor eficaz de la función periódica La siguiente relación muestra como se calcula el valor eficaz de una función periódica, µ Z ¶12 1 2 [ sin( + )] =√ = 0 2 Valores eficaz y máximo La relación entre el valor eficaz y máximo de la tensión y corriente sinusoidal es, =
√ 2
y
=
√ 2
Voltaje eléctrico o tensión En electrostática se define la diferencia de potencial entre dos puntos y como el trabajo necesario que hay que realizar en contra del campo eléctrico para trasladar una carga unidad positiva desde el punto al Z E · l − = −
En teoría de circuitos se utiliza el concepto de tensión eléctrica o tensión existente entre dos puntos que viene definida por la diferencia − y que denotaremos por . Cuando en un circuito interviene la inducción electromagnética la diferencia de potencial electrostática no coincide con la diferencia de tensión o voltaje eléctrico, pues hay que tener en cuenta el campo eléctrico variable, que no es conservativo. En los circuitos eléctricos manejamos el voltaje o tensión que engloba las dos contribuciones.
Índice alfabético Acoplo magnético, 196 Admitancia corriente alterna, 150 Admitancia en paralelo, 150 Amortiguamiento crítico, 114 Amperio definición, 24 Análisis de circuitos, 50 Anchura de banda, 171 Asociación estrella triángulo, 151 Bobina energía almacenada, 102 inductancia, 101 Circuito R - L con corriente alterna, 138 Circuito R C, 107 Circuito R C serie dominios del tiempo y de la frecuencia, 143 Circuito R L, 104 Circuito R L C, 110 Circuito R L C serie en corriente alterna, 145 Circuitos condiciones de referencia en c c, 48 Condensador capacidad, 99
energía almacenada, 101 Conductancia, 62 corriente alterna, 150 Conductividad eléctrica, 30 Conservación de la carga, 27 Constante de tiempo circuito R C, 109 circuitos R L C, 118 Contante de tiempo circuito R L, 107 Corriente de conducción, 23 Corriente de convección, 24 Corriente eléctrica definición, 23 Cuadripolos, 211 Cuadripolos en cascada, 222 Cuadripolos en paralelo, 221 Cuadripolos en serie, 221 Curva de resonancia, 169 Decremento logarítmico circuitos R L C, 119 Densidad de corriente, 26 Diagrama de Bode, 160 Ecuación de continuidad, 28 Eficiencia en la transmisión de potencia, 89 Elemento de circuito, 42 Elemento lineal, 47
277
278 Energía en circuitos R L C, 115 Factor de calidad Q, 167 Factor de potencia, 157 Fasores, 129 Frecuencia de oscilación propia circuitos R L C, 117 Frecuencia de resonancia, 167 Fuente de intensidad, 44 Fuente de tensión, 42 Fuente lineal, 42 Fuentes controladas, 235 Fuentes dependientes definición, 45 Fuerza electromotriz, 35 Función de transferencia, 160 Generador fuente de tensión o voltaje, 37 Impedancia forma polar, 149 Impedancia compleja, 137 módulo, 140 Impedancia de entrada, 198 Impedancia-admitancia relación, 150 Impedancias en paralelo corriente alterna, 150 Impedancias en serie corriente alterna, 148 Intensidad de corriente, 24 Lazo, 46 Ley de Joule, 32 Ley de Ohm forma compleja, 137 forma puntual, 30 Ley de ohm, 29
ÍNDICE ALFABÉTICO Máxima transferencia de potencia corriente continua, 89 Método de lazos, 54, 186 Método de nudos, 63, 191 Malla, 46 Movilidad electrónica, 30 Notaciones, 48 Nudo, 46 Ohmio unidad de resistencia, 29 Oscilatorio amortiguado, 115 Parámetro, 42 Parámetros de transmisión de un cuadripolo, 220 Parámetros g de un cuadripolo, 218 Parámetros h de un cuadripolo, 217 Parámetros y de un cuadripolo, 213 Parámetros z de un cuadripolo, 215 Potencia en corriente alterna, 155 Potencia activa, 157 Potencia aparente, 159 Potencia compleja, 159 Potencia reactiva, 158 Primera ley de Kirchhoff corriente continua, 28 Principio de superposición corriente alterna, 200 corriente continua, 48 Rama, 46 Rama activa, 47
ÍNDICE ALFABÉTICO Rama común, 47 Rama externa, 47 Rama lineal, 47 Rama pasiva, 47 Reactancia capacitiva, 136, 144 Reactancia inductiva, 135, 140 Red, 46 de parámetros concentrados, 47 de parámetros distribuidos, 47 Red plana, 47 Resistencia crítica circuitos R L C, 119 Resistencia de entrada, 73 Resistencia eléctrica, 29 Resistencias en paralelo, 41 Resistencias en serie, 40 Resistividad eléctrica, 31 Segunda ley de Kirchhoff, 39 Seudoperiodo circuitos R L C, 118 Susceptancia, 150 inductiva, 152 Susceptancia capacitiva, 152 Tensión escalón, 103 Tensión o voltaje, 42 Teorema de máxima transferencia de potencia corriente alterna, 211 Teorema de Norton corriente alterna, 203 corriente continua, 74 Teorema de Thévenin corriente alterna, 202 corriente continua, 74 Valor eficaz, 129
279 relación entre eficaz y máximo, 131 Valor medio, 128 Voltaje o tensión eléctrica definición, 29
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