V Estimación de Reservas - Variograma

Estimación de Reservas R. Oyarzun

Introducción A lo largo de estos capítulos hemos estudiado el porqué y cómo se prospectan los yacimientos minerales. En éste entraremos a analizar lo que ocurre una vez que hemos encontrado un depósito mineral. Aquí estudiaremos los aspectos más básicos de una de las labores más complejas y de mayor riesgo económico en las que puede verse implicado un geólogo: la estimación de reservas (cubicación). Las muestras a partir de las cuales se estiman las reservas de un yacimiento representan una fracción mínima de éste. Por ejemplo, en la evaluación del pequeño pórfido cuprífero de Copper Flat (Nuevo Mexico, USA), se recuperaron a partir de una malla densa de sondeos, unas 200 TM (toneladas métricas) de testigos. De esas toneladas se utilizó una fracción solamente para análisis químicos, y con este material se definieron: • •

60 x106 TM de mineral. 150 x 106 TM de estéril.

Comprendamos de esta manera el grado de dificultad que se encuentra implícito en este tipo de trabajos. Si el geólogo se pasa (sobreestima), la compañía puede empezar unos trabajos mineros que no serán rentables. Si se queda corto (subestima), la compañía puede tomar la decisión de abandonar un prospecto que era rentable. En estas operaciones pueden haber cientos, si no miles de millones de Euros en juego. Existen reglas claras para "afinar la puntería" ? desgraciadamente no, y solo podríamos mencionar dos herramientas indiscutibles: •

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Entender la geología del prospecto, ya que sin una compresión adecuada de ésta, puede dar lo mismo el grado de refinamiento matemático que se emplee, que las probabilidades de cometer un grave error serán altas. Recuerde: las reservas las estima un geólogo, no un ordenador ni un paquete de software. Somos geólogos, no "aprietabotones". Por ejemplo, antes de aprender a utilizar el sistema Navstar (navegación vía satelital), un oficial de la marina tiene que aprender a utilizar el sextante para determinar la posición de su barco. Entender el modelo de yacimiento que estamos aplicando, siendo lo suficientemente flexibles como para modificar nuestra perspectiva si los datos no se ajustan al modelo. Recuerde Olympic Dam (capítulo anterior).

Analicemos el siguiente ejemplo. En negro observará las intersecciones entre los sondeos y la masa mineral. Arriba tenemos la interpretación de la morfología de los cuerpos por parte del geólogo, y abajo la forma real de éstos. La diferencia en tonelaje es evidente, con el caso superior correspondiendo a una sobreestimación. Se podría evitar ésto ? sí, por ejemplo, con un buen control de la geología en superficie. Note que las dos situaciones se corresponden a su vez, a marcos geológicos notablemente diferentes. Importante: 1) sin sondeos no se puede evaluar un prospecto; 2) sin un control geológico riguroso, no se debe empezar a sondear. Cabe destacar que los depósitos minerales eran evaluados, y sus reservas estimadas, mucho antes de que aparecieran los ordenadores y los métodos geoestadísticos. Se medían áreas, se estimaban volúmenes y tonelajes, y las leyes se promediaban utilizando papel y lápices, regla de cálculo o calculadoras mecánicas. Esos resultados no eran peores (y en algunos casos eran considerablemente mejores) que algunas estimaciones modernas por geoestadística con pobre control geológico. Antes de continuar, necesitamos definir de la manera más precisa posible tres términos relacionados con la estimación de reservas. Se trata de los contactos de tipo geológico,

mineralógico, y económico. Para evaluar un recurso tenemos que pensar en términos de estos tres conceptos: • •

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Contacto geológico: los límites litológicos y/o estructurales de una determinada unidad. Contacto mineralógico: definido por la extensión de la masa mineral (recurso "geológico"); puede o no coincidir con los contactos geológico (puede ir más allá de una determinada litología) y económico (a partir de un punto las leyes pueden ser subeconómicas). Contacto económico: los límites del material a partir del cual se pueden obtener ganancias (cut off grade).

Contactos de tipo geológico, mineralógico, y económico. La estimación de reservas es mucho más que una mera proyección espacial (3D) de las leyes (por ejemplo, % Cu, g/t Au, etc). Para determinar el verdadero valor de un yacimiento necesitaremos además determinar y proyectar los siguientes parámetros: • • • • • •

Peso específico de la roca mineralizada. Potencia de la roca mineralizada. Tipo de mena (mineralogía). Estimación del grado de recuperación metalúrgica. Contenido en humedad. Competencia de la roca – RQD.

A partir de este punto, nos concentraremos en los aspectos estadísticos básicos de la proyección de datos de leyes.

Metodología clásica En esencia, una estimación de reservas consiste en definir un volumen, al cual se le aplica una ley y una densidad (peso específico): T = A x P x PE Donde: T: es el tonelaje del sector del depósito bajo evaluación. A: el área; visualización 2D del sector del depósito bajo evaluación; normalmente una sección vertical en cuerpos mineralizados irregulares. P: la potencia; distancia horizontal aplicada a dicha sección. PE: el peso específico de la roca mineralizada. Si al resultado le aplicamos una ley concreta (e.g., 2.3 % Cu), entonces tendremos toneladas con una ley específica (e.g., 2500 toneladas a 2.3 %Cu). En el caso de la determinación de la ley media de un sondeo tendremos:

Si d son los tramos del sondeo (medidos en metros) y l las leyes de dichos tramos, entonces la ley media del sondeo será: Leymedia = Σ l i x di / Σ di En el caso de la determinación de la ley media de una sección de un depósito tendremos: Leymedia = Σ l DDHi x Ai / Σ Ai Esta metodología es particularmente útil en la estimación del tonelaje de cuerpos mineralizados irregulares.

Ejemplo de una sección. Primero calcularemos las leyes medias de los sondeos (DDH). A continuación aplicaremos esa ley al área que resulta de aplicar la distancia media entre los sondeos (áreas definidas por las líneas de segmento). Calcularemos las áreas mediante planimetría, y determinaremos la ley final de la sección como: Leysección = Σ l DDHi x Ai / Σ Ai. Y para obtener un volumen al que aplicarle las leyes y pesos específicos, así tendremos:

Una vez determinadas las leyes de cada sección, lo que debemos hacer es calcular los volúmenes. En el ejemplo que muestra la figura, el volumen de roca mineralizada será igual a: (A1 + A2) x 0.5D, siendo D la distancia entre las secciones A1 y A2.

Otro sistema es el denominado método de los polígonos. Este método ha sido utilizado por la industria minera durante décadas. Es un método simple, las matemáticas son fáciles, y las estimaciones pueden ser realizadas de manera rápida. Se emplea principalmente en cuerpos tabulares (e.g., filones). Lo sondeos se dirigen normalmente a 90º con respecto a la masa tabular bajo evaluación. Para la construcción de los polígonos se pueden emplear dos procedimientos: • •

Bisectores perpendiculares. Bisectores angulares.

Métodos de los bisectores perpendiculares y bisectores angulares. Los pequeños círculos representan las posiciones de los sondeos, el círculo negro, indica el sondeo central. En el primer caso (a), el polígono será construido trazando perpendiculares a las líneas de segmento (bisectores perpendiculares), que unen los sondeos periféricos con el sondeo central. Dicha perpendicular pasará por el punto medio de las líneas de unión. En el segundo caso (b) el polígono se construye intersectando las bisectrices de los ángulos que se forman al unir los distintos puntos (bisectores angulares). A cada polígono se le asignará una potencia (espesor de la masa mineralizada económica: Th) y una ley (G). La ley se determinará de la siguiente manera (a): LeyABCDE = Ley1 x 0.5 +

Ley2 x 0.1 + Ley3 x 0.1 + Ley4 x 0.1 + Ley5 x 0.1 + Ley6 x 0.1, donde 1 es el sondeo central, y 2-6 los periféricos.

Ejemplo real de aplicación del método de los polígonos (cuerpo mineralizado estratoligado aurífero de Hemlo, Canadá). El depósito tiene una orientación E-W, buzando 65ºN. El cuerpo ha sido proyectado en una sección vertical. Note los distintos fondos, en blanco (polígonos), reservas probadas; en puntos reservas probables; en blanco (bordeando los zonas de puntos), reservas indicadas (posibles). Hasta aquí los aspectos más básicos de la estimación de reservas. Para continuar necesitamos incorporar tres conceptos claves para entender la estimación de reservas en su perspectiva económica real: • • •

La dilución de leyes. El coeficiente de extracción. La recuperación de metal.

Resulta prácticamente imposible extraer solo el material económico en una mina, de tal manera que durante el proceso de la voladura de roca, quedará siempre incluido material estéril (lo cual lleva a ladilución de leyes). Las causas son las siguientes: • • •

Sobrevoladura: material que está fuera de los límites económicos del cuerpo mineralizado queda incluido en el material extraído. Dilución interna: material subeconómico que se encuentra incluido dentro del cuerpo económico y que no puede ser segregado. Dilución de reemplazo o contacto: si el contacto estéril/mineral es muy irregular (y esto suele bastante normal), el resultado será que un volumen equivalente de material estéril substituirá al material económico. Aunque la voladura de roca es un arte que en ocasiones roza la perfección, tampoco se le pueden pedir milagros.

Ejemplo de dilución de reemplazo. La línea continua marca el contacto económicomineralógico, la de segmento, lo que por ingeniería se puede obtener (contacto promedio). Observe como en el material que se va a arrancar, entran zonas de mineralización subeconómica o estéril (waste), y como a su vez, zonas de mineral económico (ore) queda afuera. Las minas operan con valores establecidos de dilución, que deben ser aplicados a las determinaciones de tonelaje realizadas por los geólogos (diálogo ingeniero de minas – geólogo). A esto hay que sumarle el concepto de mineral extraíble. Es prácticamente imposible extraer el 100 % del material económico de una mina. En el caso de una mina subterránea es fácil de entender esta situación, pero tengamos en cuenta, que en cierta medida lo mismo se aplica a las minas a cielo abierto. Si queremos que la mina no colapse, obviamente no se podrá extraer de ella todo el material que queremos.

Por ejemplo, a lo mejor solo el 80% del material será susceptible de ser extraído si se desea mantener límites adecuados de seguridad. Así, y siguiendo este ejemplo, para una reserva "geológica" de 10.000 TM de mineral al 2.3 % Cu, con un factor de extracción del 80 %, y una dilución del 10 % tendremos: 10.000 x 0.8 = 8.000 TM al 2.3 % Cu Si aplicamos a esta cifra una dilución del 10 % tendremos: 8.000 x 1.1 = 8.800 TM y la ley diluida será de: Leyfinal = (8.000 x 2.3 %)/8.800 = 2.09 % Cu Con lo cual tendremos al final de nuestras cuentas: 8.800 TM al 2.09 % Cu. Recuerde, bajo un punto de vista exclusivamente geológico, las reservas eran inicialmente de 10.000 TM al 2.3 % Cu. Esto en lo que se refiere a la parte "minera" del problema. Pero a ésto tenemos que agregarle la problemática de la recuperación metalúrgica del metal en cuestión. Sigamos con el mismo ejemplo. Una tonelada de material de mina al 2.09 % Cu contiene 20.9 kilos de cobre. Si este material da unos 65 kilos de concentrado al 30 % Cu, entonces tendremos: 65 kg x 0.30 = 19.5 kg y la recuperación metalúrgica será entonces de: 19.5/20.9 = 0.93 (93 %) Como podemos apreciar, los valores que obtenemos de la estimación de reservas constituyen solo una primera aproximación al tema más importante a considerar, esto es, la viabilidad económica de recurso mineral. Por eso, el que un recurso sea o no explotable va mucho más allá de una estimación de cuantas toneladas y con qué leyes. Además, si recordamos lo estudiado en capítulos anteriores, también debemos considerar aspectos tan variados como son el panorama de la economía mundial (ciclo de crecimiento, ciclo recesivo ?), el tecnológico (requerirán las nuevas tecnologías el metal o mineral en cuestión ?), el ambiental (será permitido extraer y procesar el recurso en un determinado sitio ?), y por qué no, el político (que sistema de gobierno impera en una región, peligro de golpes de Estado, guerrillas? ). Todos estos aspectos están además relacionados entre sí de una manera u otra.

Métodos geoestadísticos: una introducción al tema Supongamos que tenemos un conjunto de datos (1: fichero Excel) de leyes repartidas en un espacio XY, y asignamos a cada muestra un símbolo con un tamaño proporcional a su valor:

A la izquierda representación de las muestras del conjunto 1, el tamaño de los puntos es proporcional al valor de cada una; a la derecha una representación 3D de la distribución. Para este conjunto de datos la media es 0.93 y la desviación estándar igual a 1.20 (valores redondeados). A continuación realizaremos lo siguiente, consideraremos un nuevo conjunto de datos (2: fichero Excel), equivalente al anterior en cuanto a número de muestras y posición de los puntos de muestreo, pero donde los valores de las muestras han cambiado de posición:

A la izquierda representación de las muestras del conjunto 2, el tamaño de los puntos es proporcional al valor de cada una; a la derecha una representación 3D de la distribución. Si realizamos los cálculos estadísticos correspondientes, descubriremos que la media nuevamente es 0.93 y la desviación estándar igual a 1.20. En otras palabras, los conjuntos 1 y 2 son “estadísticamente equivalentes”. Sin embargo, resulta evidente, bajo cualquier punto de vista, que la distribución espacial XY de los valores es substancialmente diferente en cada caso: en el primero existe una cierta dispersión de los valores, mientras que en el segundo, estos se agrupan de acuerdo a dos trends de dirección NW bien definidos. De alguna manera podríamos intuir que en el primer caso la distribución de los valores es más bien aleatoria mientras que en el segundo distinguimos una marcada “anisotropía”. Resulta claro que la estadística “clásica” no resulta una herramienta útil para tratar casos de esta naturaleza, los cuales por otra parte, son comunes en geología, ya que no trabajamos con datos abstractos, sino que estos tienen una distribución en el espacio. Es decir, para

cada muestra, con coordenadas XY, existe al menos un valor Z. Este último puede corresponder a una concentración de cobre y/o zinc en un punto XiYi, o bien a un valor de emisión de gases de mercurio, o cualquier otro ejemplo que se nos venga a la mente. La pregunta es entonces ¿ como poder relacionar los valores con sus posiciones en el espacio ? y más importante aun ¿ como relacionar dichos valores entre sí ? Este es el requisito básico para poder interpolar datos y obtener una información gráfica sobre las tendencias mostradas por las variables (kriging). Esto se obtiene mediante la herramienta más básica de la geoestadística, el variograma, una función matemática que nos permite estudiar las diferencias entre muestras y la direccionalidad (anisotropía) de los valores. Realicemos la siguiente abstracción mental, si la distancia h entre dos muestras es igual a 0, la diferencia entre los valores de estas será nula (y la varianza = 0). Si ambas muestras están muy cerca, existirá una diferencia, pero esta, expresada como la varianza, será muy pequeña. Sin embargo, a medida que las muestras estén más alejadas, llegará un momento en el cual deje de haber una “relación” entre las muestras. ¿ Como podemos determinar esto ? mediante la construcción matemática de un variograma experimental y su ulterior modelización. En términos muy simples podemos definir el variograma como la media de los cuadrados de las diferencias entre pares de muestras separados por una distancia h:

γ (h) = 1/2n Σ [Z(xi) - Z(xi + h)]2 Donde: h = distancia entre los pares. n = número de pares. Z(xi) = la localización y valor de la muestra.

Ejemplo clásico de un variograma experimental ajustado al llamado “modelo esférico”. La varianza crece sistemáticamente hasta “a” (rango o alcance) distancia a partir de la cual las muestras empiezan a ser independientes unas de otras. El “sill” muestra la zona de la curva donde los valores ya no se correlacionan.

A diferencia del caso anterior, donde la curva empieza en el origen del sistema XY (varianza 0), aquí observamos el denominado efecto pepita (Nugget), el que se debe a fluctuaciones aleatorias de la variable o a errores en el muestreo. ¿ Pero como se construye un variograma experimental ? ¿ de donde salen los puntos en un gráfico de esta naturaleza ?

Isobel Clark en su obra ya clásica Practical Geostatistics (1979) nos propone el siguiente ejemplo. Imaginemos una malla cuadrada donde se han tomado una serie de muestras con determinados valores, y digamos que la distancia entre muestras es de 100’.

El primer punto de nuestra función γ (h) vendrá dado por γ (100), esto es, la media de los cuadrados de las diferencias entre todos los pares de muestras separados por una distancia de 100 m:

De esta manera obtenemos el primer punto para la construcción del variograma experimental, donde en el eje Y (γ (h)) tendremos un valor de 1.46 y en el X (h) otro de 100. Para conseguir el segundo punto γ(200) haremos lo siguiente (y así sucesivamente):

Estos puntos aparecerán en el variograma experimental de la siguiente manera:

Y así continuaríamos con γ(300), γ(400), γ(500), etc. Podríamos continuar de esta manera hasta 800’, la máxima distancia muestreada, pero en general, se suele ir (particularmente si los cálculos son “a mano”), hasta la mitad de la distancia, esto es, 400’.

En este caso estamos realizando un variograma experimental E-W, pero como ya hemos discutido previamente, la distribución de los valores en el espacio puede variar según la dirección en que nos movamos (anisotropía). De ahí que sea importante realizar estas operaciones en al menos tres direcciones en un plano XY: N-S, E-W, y NW-SE, para comprobar el grado de anisotropía del sistema. El uso de paquetes informáticos modernos permite realizar estas operaciones con mucha facilidad en ordenadores tipo PC (entorno Windows©), y un número de ellos, entrega “por default” el denominado variograma omnidireccional, esto es, un “promedio” de los distintos posibles variogramas que se pueden realizar para diferentes direcciones. Aunque algunos programas como Surfer8© determinan además el grado y dirección de la anisotropía, conviene no obstante cerciorase geológicamente de la validez del variograma omnidireccional, esto es, determinar si la anisotropía (o ausencia de esta) detectada tiene o no sentido. En otras palabras, un programa será tan bueno o tan malo como quien lo utilice. Cabe destacar no obstante, que programas como Surfer8© permiten además realizar variogramas experimentales en direcciones concretas fijadas por el operador. De cualquier manera, todo esto es “algo más” que pasar los datos (XYZ) a un archivo Excel y pedirle al programa que nos proyecte los datos de la función γ (h). Una vez que aparezcan los datos en el gráfico (variograma experimental), deberemos seleccionar el modelo que mejor se ajuste a nuestros datos. Ya hemos visto al comienzo la representación del denominado modelo esférico (con efecto pepita: nugget). Aunque este suele ajustarse bastante bien a muchos casos en minería o geoquímica, conviene que conozcamos otros modelos:

Otros modelos de variograma. Esta fase del trabajo es muy importante, ya que el trabajo de kriging depende totaomente de: 1) del modelo a utilizar; y 2) del grado y direccionalidad de la anisotropía. En otras palabras, el kriging será tan bueno o tan malo como el ajuste previo que hayamos realizado en el variograma. Pero ¿qué es kriging exactamente ? al comienzo de esta sección lo definimos como un método de interpolación, aunque como veremos, el kriging aplicado a la estimación de leyes y reservas (o a tendencias geoquímicas en trabajos ambientales), es mucho más que esto.

Consideremos el siguiente problema, tenemos varios puntos de muestreo, con sus respectivos valores, y deseamos estimar el valor del punto A:

Se nos ofrecen múltiples posibilidades, empezando por decidir que el punto 1 tendrá “más influencia” que, digamos, el punto 5. Sin embargo ¿ cuánta más influencia debería tener ? Aquí entramos en el problema de la ponderación y los métodos matemáticos clásicos de interpolación (inversos de la distancia, inversos de los cuadrados de la distancia, etc). Si recordamos el caso de la estimación de leyes mediante el método de los polígonos, dijimos que un procedimiento común era asignar el 50 % del valor final al punto central y otro 50 % a los puntos situados en la periferia. En el ejemplo de abajo esto sería 50 % al sondeo del centro y 50 % a los cinco restantes (10 % a cada uno).

Como en todas las cosas de la vida “si funciona no lo cambies” (o en inglés: never change a winning game), pero ¿ y qué pasa si nuestra estimación de leyes no está siendo la mejor posible o es claramente mala ? Ahora es cuando deberíamos recurrir a los métodos geoestadísticos, y en particular al variograma, nuestra herramienta básica.

Existen dos razones principales para hacer esto: 1) el variograma de nos da una medida del “alcance” (range) de las muestra, esto es, nos dice hasta adonde en el espacio los valores de estas son “significativos”; y 2) nos da una idea de la variabilidad de los valores en el espacio, esto es, si el sistema es fuertemente anisotrópico, las muestras pueden tener una mejor correlación en una dirección que en otra. En otras palabras, el “alcance” será dependiente de la dirección. Si nuestro caso corresponde a un pórfido cuprífero, el comportamiento (dado el tipo geométrico de mineralización) será más bien isotrópico, pero si el ejemplo corresponde a un filón, intuitivamente podemos pensar que la anisotropía en el sistema será mayor. Por ejemplo, esperaremos una mayor continuidad a lo largo de la dirección del filón que de su buzamiento. Por otra parte, la caída de las leyes será bastante abrupta cuando salgamos de la estructura mineralizada. Volvamos al ejemplo de arriba introduciendo las distancias entre los puntos:

¿ Cómo determinamos entonces la ley en el punto A ? Ahora es cuando todo empieza a tener más sentido: necesitamos el variograma para determinar “que” muestras pueden tener una influencia “real” en la estimación de la ley (o cualquier otra variable que estemos considerando), ya que el “alcance” (Rango a) nos da una idea de hasta que distancia existe una relación entre las muestras. Por ejemplo, si el alcance determinado por la modelización del variograma fuera de a = 100 m, la muestra 5 tendría que ser descartada (está a unos 134 m de distancia del punto A). A efectos prácticos, todos los cálculos son realizados hoy en día por programas especializados, algunos de los cuales pueden ser muy caros (miles de euros). Opciones relativamente económicas son programas como Surfer8© o EcoSSe©, que como contrapartida no permiten el diseño y estudio de bloques (donde realizar la estimación: block kriging en el sentido “minero” del término), aunque se puede realizar una buena modelización de variogramas experimentales y desarrollar kriging puntual. De esta manera se pueden obtener mapas donde la interpolación de valores en el espacio XY está controlada por la función γ (h). Volvamos a uno de los ejemplos del principio (datos 2) trabajando con Surfer8©:

Representación de los datos del conjunto 2. Esta vez hemos puesto sobre cada punto, el valor real Z (fichero Excel). Con estos valores y sus respectivas posiciones en el espacio XY desarrollamos el variograma experimental, y a partir de este, buscamos el modelo que mejor se ajuste a la distribución.

Sin modelizar no tenemos ningún efecto de anisotropía (ver circulo perfecto a la derecha). La primera función que decide el programa en este caso es una de tipo lineal, la que no se ajusta adecuadamente a la distribución de puntos.

Pero dado que observamos que existe una tendencia de los puntos hacia el origen del sistema, con un desarrollo de sill hacia la derecha, modelizamos a un variograma esférico (el ejemplo no es “perfecto”, pero …), y ahí empezamos detectar la fuerte anisotropía del sistema (ver elipse y su orientación: direccionalidad de los datos). En este caso, vemos que los datos muestran una tendencia hacia el origen (X = 0; Y = 0), por lo cual descartamos la presencia del efecto pepita (nugget). Dado que los datos crecen hasta un determinado punto (alcance = 11.6) y a partir de ahí no existe un claro incremento, podemos modelizar el variograma al tipo esférico, y determinar la anisotropía del sistema. Con el modelo, el grado de anisotropía (anisotropy ratio = 2), y la dirección de la misma (32.51º →N57.49º), podemos pasar a los cálculos de kriging puntual introduciendo estos datos en el programa:

En la ventana de kriging, seleccionamos opciones avanzadas (izquierda), y una vez en estas, seleccionamos desde pantalla el variograma modelizado. El resultado final que se obtiene es un mapa de interpolación donde nuestros valores Z, se ajustan a los parámetros introducidos:

Mapa obtenido para el conjunto de datos 2, con los siguientes parámetros: modelo de variograma: esférico; anisotropy ratio: 2; dirección N57.49º (32.51º). Lo importante es que ahora podemos estimar el valor de Z en cualquiera de los nodos de la red:

Archivo GRD donde podemos estimar el valor de Z en cualquiera de los nodos generados por el programa. Por ejemplo, el punto rojo arriba a la izquierda tiene un valor estimado de 0.139.

Bibliografía Annels, A.E. 1991. Mineral deposit evaluation: a practical approach. Chapman & Hall, London, 435 pp. Clark, I. 1979. Practical geostatistics. Applied Science Publishers LTD, Essex, 129 pp. Clark, I. & Harper, W.V. 2001. Practical geostatistics 2000. Ecosse North America Llc., Columbus, 342 pp. McKinstry, H.E. 1970. Geología de minas. Omega S.A., Barcelona, 671 pp

Stone, J.G. & Dunn, P.G. 1993. Ore reserve estimates in the real world. Society of Economic Geologists, Special Publication no. 3, 150 pp. Fuente: http://www.ucm.es/info/crismine/Geologia_Minas/Estimacion_reservas.htm