V, 3 Series en Senos Cosenos y Medio Intervalo

 

V.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo

  

 

El esfuerzo que se lleva a cabo en la evaluación de los coeficientes ,  y  al desarrollar una función  en una serie de Fourier se reduce de manera significativa cuando  es una función par o impar. Se dice que una función  es:

 

        ,,   

 

En un intervalo simétrico tal como , la gráfica de una función par tiene simetría respecto al eje y , mientras que la gráfica de una función impar tiene simetría en relación con el origen. Funciones par e impar . Es probable que el origen de las palabras par e impar provenga del hecho de que las gráficas de las funciones polinomiales que consisten en todas las potencias pares de  sean simétricas respecto al eje , mientras que las gráficas de polinomios constituidos por todas las potencias impares de  son simétricas en relación con el origen. Por ejemplo



                

Teorema Propiedades de las funciones pares e impares. a) b) c) d) e) f)

El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El producto de una función par y una impar es impar. La suma (resta) de dos funciones pares es par. La suma (resta) de dos funciones impares es impar.   Si  es impar, entonces

  

g) Si  es impar, entonces

 .. .  ∫∫−−    ∫   .  

 

 

                          ,       ∫−  cos  ,,    ∫−1  2  ,  ∫−− , ,      −        2  1    − ⏟ cos(  )     cos( )

Demostración de b). Supongamos que   y   son funciones impares. Entonces tenemos  y  y . Si definimos el producto de  y  como  entonces  entonces  

Series de senos y cosenos. Si  es una función par de

de

las

propiedades

siguientes,

los

 entonces, en vista

coeficientes

 se convierten en  

 

Par

   1 − ⏟( ( ),,0 ,  2  00,, 0  0,1,2, … … ,     ( )  

Impar

De manera similar, cuando  es impar en el intervalo

Definición

 

 

Series de Fourier de senos y cosenos. 1) La serie de Fourier de una función par en el intervalo de cosenos

∞ ,           =∑  (  ),) ,              (  ).  

donde

 

 

 es la serie

 

 

2) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo serie de senos

∞    =∑ ( ),) ,      ( ( ).

,

  es la

 

donde

 

Ejemplo No. I

Desarrolle la función dada en una serie apropiada de cosenos o senos

    