Uvod u Optimiranje Konstrukcija Šimun Sviličić

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

Programski zadaci iz kolegija

Uvod u optimiranje konstrukcija Doc. dr. sc. Andrej Jokić

Šimun Sviličić

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

0035186874 4-Inžmod-1

Zagreb, 2015/2016

Sadržaj 1. ZADATAK – Metoda Lagrangeovih množitelja ............................................................................ 5 1.1. Tekst zadatka ............................................................................................................................... 5 1.2. Teorijske osnove metode Lagrangeovih množitelja .................................................................... 5 1.3. Optimizacijski problem s dvije varijable..................................................................................... 8 1.4. Optimizacijski problem s tri varijable ....................................................................................... 11 2. ZADATAK – Optimizacija mehanizma tlačnog cilindra ........................................................... 13 2.1. Tekst zadatka ............................................................................................................................. 13 2.2. Matematički model kinematičke analize mehanizma ............................................................... 14 2.3. Optimiranje mehanizma tlačnog cilindra .................................................................................. 18 2.3.1. Metoda fleksibilnog poliedra ............................................................................................ 18 2.3.2. Sinteza s četiri varijable .................................................................................................... 20 2.3.3. Sinteza s dvije varijable .................................................................................................... 22 2.3.3.1. Sinteza s dvije varijable i koordinatama točke A iz rješenja sinteze s četiri varijable ... 22 2.3.3.2. Sinteza s dvije varijable i koordinatama točke B iz rješenja prethodne sinteze s dvije varijable .......................................................................................................................... 24 2.3.4. Usporedba dobivenih rješenja ........................................................................................... 26 3. ZADATAK – Aproksimacija funkcije ........................................................................................... 27 3.1. Tekst zadatka ............................................................................................................................. 27 3.2. Teorijske osnove linearnog programiranja ................................................................................ 27 3.3. Formulacija problema u oblik linearnog programiranja............................................................ 28 3.4. Rješenja ..................................................................................................................................... 30 3.4.1. Prvi primjer – bazne funkcije potencije varijable x........................................................... 30 3.4.2. Drugi primjer – bazne funkcije kao trigonometrijske funkcije varijable x ....................... 32 3.4.3. Treći primjer – bazne funkcije kao kombinacija baznih funkcija iz prvog i drugog primjera .......................................................................................................................... 34 3.4.4. Četvrti primjer – sve bazne funkcije ................................................................................. 35 3.4.5. Zaključak nakon provedenih primjera .............................................................................. 38

Šimun Sviličić

2

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Popis slika Slika 1. Skica drugog zadatka ......................................................................................... 13 Slika 2. Trenutni pol P13 ................................................................................................ 14 Slika 3. Skica za kinematičku analizu ............................................................................. 15 Slika 4. Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za početne vrijednosti dimenzija mehanizma ............................................................................................................... 18 Slika 5. Regularni simplex s dva i tri stupnjeva slobode ......................................................... 19 Slika 6. Ilustracija operacije nad poliedrom s tri vrha .................................................... 20 Slika 7. Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s četiri varijable ..................... 21 Slika 8. Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s četiri varijable .... 22 Slika 9. Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s dvije varijable...................... 23 Slika 10. Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s dvije varijable ..... 23 Slika 11. Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s dvije varijable uz proizvoljne koordinate točke B .................................................................................................................... 24 Slika 12. Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s dvije varijable uz proizvoljne koordinate točke B ................................................................................................ 25 Slika 13. Projektni prostor sinteze s dvije varijable fiksne koordinate točke B ................. 25 Slika 14. Projektni prostor rješenja sinteze s dvije varijable uz fiksne koordinate točke B25 Slika 15. Prikaz početnog i krajnjeg položaja optimiziranog mehanizma ......................... 26 Slika 16. Funkcija g1(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π] ..................... 31 Slika 17. Apsolutna greška aproksimacije prvog primjera odabranih baznih funkcija ...... 31 Slika 18. Funkcija g2(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π] ..................... 33 Slika 19. Apsolutna greška aproksimacije drugog primjera odabira baznih funkcija ........ 33 Slika 20. Funkcija g3(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π] ..................... 34 Slika 21. Apsolutna greška aproksimacije trećeg primjera odabira baznih funkcija ......... 35 Slika 22. Funkcija f(x) i g4(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π] ............ 37 Slika 23. Apsolutna greška aproksimacije četvrtog primjera odabira baznih funkcija ...... 37

Šimun Sviličić

3

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Popis tablica Tablica 1. Tablica 2. Tablica 3. Tablica 4.

Optimalne dimenzije mehanizma (četiri varijable) ............................................. 21 Optimalne dimenzije mehanizma (dvije varijable a)) ......................................... 23 Optimalne dimenzije mehanizma (dvije varijable b)) ........................................ 24 Prikaz dimenzija mehanizma i funkcije cilja dobivenih u analizama ................. 26

Šimun Sviličić

4

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

1. ZADATAK – Metoda Lagrangeovih množitelja 1.1. Tekst zadatka Odabrati iz dostupnih izvora jedan optimizacijski problem s dvije i jedan s tri varijable, s ograničenjima jednakosti i nejednakosti, te ih riješiti metodom Lagrangeovih množitelja. Odabrani primjeri ne smiju biti primjeri obraĎeni na nastavi ili riješeni primjeri iz nastavnih materijala. Rješenje treba sadržavati uvodni dio s detaljnim opisom metode, opisom uvjeta optimalnosti i postupkom rješavanja.

1.2. Teorijske osnove metode Lagrangeovih množitelja U općenitom slučaju, kada se traži stacionarno stanje (minimum) funkcije oblika:

F  x   F  x1 , x2 ,..., xn 

(1.1)

uz ograničenja ili nametnute veze:

hi  x   hi  x1 , x2 ,..., xn   0

i  1, 2,..., m

(1.2)

potrebno je formirati Lagrangeovu funkciju oblika: m

L  x,    F  x    i hi  x 

(1.3)

i 1

gdje je i Lagrangeov množitelj. Iz uvjeta dL  0 (uz i  konst. ) slijedi: L  0, xi

i  1, 2,..., n

(1.4)

L 0 i

i  1, 2,..., m

(1.5)

Iz izraza (1.4) i (1.5) može se odrediti n  m nepoznanica ( x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m ). Metodom Lagrangeovih množitelja mogu se riješiti i jednostavniji problemi s ograničenjima koji sadrže i ograničenja nejednakosti (oblika gi  x   0 ili gi  x   0 ). Pri tome se ograničenja nejednakosti trebaju zamijeniti s ograničenjima jednakosti na način da se uvede nova varijabla. To se postiže na način da se umjesto ograničenja:

gdje je:

gi  x   0 može pisati gi  x   ui2  0

(1.6)

gi  x   0 može pisati gi  x   ui2  0

(1.7)

ui nova varijabla koju tek treba odrediti.

Za ui  0 ograničenje gi  x  će biti aktivno, dok će za svaki ui  0 ograničenje gi  x  biti neaktivno. Šimun Sviličić

5

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Za optimizacijski problem oblika:

min  F  x   hi  x   0

i  1, 2,..., m

gi  x   0

i  m  1, m  2,..., p

(1.8)

Lagrangeova funkcija glasi: m

L  x,  , u   F  x    i hi  x  

p

   g  x   u

i 1

i  m 1

m

p

dok za ograničenje oblika gi  x   0 izgleda: L  x,  , u   F  x    i hi  x   i 1

i

i

2 i



(1.9)



(1.10)

   g  x   u

i  m 1

i

i

2 i

te za problem bez ograničenja:

L  x,  , u   F  x 

(1.11)

Da bi se u izrazima (1.9) i (1.10) zadržao ispravan utjecaj kriterija gi  x  u smislu minimiziranja funkcije L  x,  , u  potrebno je da pripadni parametri budu pozitivni ili jednaki nuli:

i  0, i  m  1, m  2,..., p

(1.12)

Izrazi (1.9) i (1.10) mogu se zapisati u obliku: m

L  x,  , u   F  x    i hi  x    i 1

p



i  m 1

i gi  x  

p

 u

i  m 1

2 i i

(1.13)

gdje je:   1, za gi  x   0     1, za gi  x   0  

 

(1.14)

Na temelju funkcije (1.13) i uvjeta stacionaranosti ( dL  0 ) slijede uvjeti optimalnosti:

Šimun Sviličić

1.

p g  x  L F m hi  x     i    i i 0 x j x j i 1 x j x j i  m 1

2.

L  hi  x   0 i

i  1, 2,..., m

3.

L   gi  x   ui2  0 i

i  m  1, m  2,..., p

4.

L  2i ui  0 ui

i  m  1, m  2,..., p

i  0

i  m  1, m  2,..., p

j  1, 2,..., n

(1.15)

6

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Broj nepoznanica sustava (1.15) ( x j , j  1, 2,..., n ; i , i  1, 2,..., p ; ui , i  m 1,..., p ) podudara se s brojem jednadžbi. TakoĎer je vidljivo da su uvjeti pod brojevima 2, 3 i 4 neovisni o funkciji cilja F  x  , stoga se Lagrangeova funkcija kod rješavanja problema može zapisati i u obliku: m

L  x,    F  x    i hi  x    i 1

p

  g  x

i  m 1

i

(1.16)

i

uz uvjete optimalnosti:

1.

p g  x  L F m hi  x     i    i i 0 x j x j i 1 x j x j i  m 1

2.

L  hi  x   0 i

i  1, 2,..., m

3.

L   gi  x   ui2  0 i

i  m  1, m  2,..., p

4.

L  2i ui  0 ui

i  m  1, m  2,..., p

i  0

i  m  1, m  2,..., p

j  1, 2,..., n

(1.17)

Uvjeti optimalnosti (1.17) nazivaju se Kusher-Kahn-Tucker (KKT) nužni uvjeti lokalnog minimuma. Uvjete optimalnosti moguće je zapisati i na alternativni način. Kako u točki optimuma vrijedi:

L  x* ,  *   F  x* 

(1.18)

uz uvjete optimalnosti: 1.

L 0 x j

j  1, 2,..., n

2.

L  hi  x*   0 i

i  1, 2,..., m

L  i gi  x*   0 i

i  m  1, m  2,..., p

3.

 gi  x*   0 i i  0

Šimun Sviličić

(1.19)

i  m  1, m  2,..., p

7

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

1.3. Optimizacijski problem s dvije varijable

Televizije se proizvode u tvornicama A i B. Funkcija koja prikazuje cijenu proizvodnje proizvoda (f) je kombinacija funkcija troška proizvodnje u tvornici A (x) i funkcija troška proizvodnje u tvornici B (y) koja glasi: f = 6x2 + 12y2 Mjesečni zahtjev za brojem komada proizvoda je 90 . Koliko će se televizija proizvesti u tvornici A a koliko u tvornici B kako bi trošak proizvodnje bio minimalan? RJEŠENJE: Potrebno je zadani zadatak postaviti kao optimizacijski problem: min[ ( x + y = 90 x≥0 y≥0

)

] (1.20)

Kako se u zadatku traži minimumfunkcije što se i dobiva metodom Lagrangeovih multiplikatora,potrebno je zadati vrijednost funkcije cilja: Fcilja = f (x,y) = 6x2 +12y2 Uz ograničenja: h1(x,y) = x+y – 90 g2 (x,y) = x ≥ 0 g3 (x,y) = y ≥ 0

(1.20)

(1.22)

Lagrangeova funkcija prema izrazu (1.13) je:

L  x, y,    F  x, y   1h  x, y   2 g2  x, y   3 g3  x, y   2u22  3u32

(1.21)

Uvrštavanjem izraza (1.20) i Error! Reference source not found. u izraz za Lagrangeovu funkciju (1.21) slijedi: L(x,y,λ)= 6x2 +12y2+ λ 1(x+y–90) - λ2x - λ3y+λ2u22+λ3u32

Šimun Sviličić

(1.24)

8

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Uvjeti optimalnosti prema izrazu (1.17) su: L1 =

= 12x + λ1- λ2

L2 =

= 24y + λ1- λ3

L3 =

= 90+x+y

L4 =

= -x + u22

L5 =

= -y + u32

L6 =

= 2u2 λ2

L7 =

= 2u3 λ3

(1.25)

Uvjet L6 i L7 daje moguće kombinacije: 1.

u2  0, u3  0

2.

u2  0, 3  0

3.

2  0, u3  0

4.

2  0, 3  0

dva aktivna ograničenja nejednakosti jedno aktivno ograničenja nejednakosti nema aktivnih ograničenja nejednakosti

Prva kombinacija otpada jer dobivamo x  0, y  0 , što narušava uvjet h1 . Rješavanjem problema uz drugi i treći uvjet prekršeno je ograničenje nenegativnosti Lagrangeovih parametara uz ograničenja nejednakosti te su ta rješenja nevažeća. Za rješavanje se treba uzeti četvrti uvjet kada su oba ograničenja nejednakosti neaktivna. Rješavanjem takvog sustava se dobiva:

(1.26) [

Šimun Sviličić

]

[

]

9

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Uvrštavanjem dobivenih podataka Error! Reference source not found. u početnu funkciju dobiva se maksimalna vrijednost funkcije: fmin (x=60,y= 30) = 6 602 +12 = 32400 (1.27)

Šimun Sviličić

10

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

1.4. Optimizacijski problem s tri varijable Primjer je uzet iz [4], str. 52, primjer 4.2.3. Pretpostavimo da možemo kupiti kemikaliju za $10 po litri te postoji samo 17.25 litara na raspolaganju. Kemikaliju možemo pretvoriti u dva proizvoda: A i B. Pretvorba u A košta $3 po litri dok pretvorba u B košta $5 po litri. Ako proizvedemo x1 litara A, cijena koju postavljamo za A je $30 – x1; ako proizvedemo x2 litara B, cijena B je $50 – x2. Koliko kemikalije trebamo kupiti i u što je pretvoriti?

RJEŠENJE: Ponovo je potrebno zadani zadatak postaviti kao optimizacijski problem:

max  f  x1 , x2 , x3   x1   30  x1   x2   50  x2   3x1  5 x2  10 x3  x1  x2  x3  0

(1.22)

x3  17, 25 Funkcija cilja, kao i u prethodnom primjeru, je negativna vrijednost početne funkcije:

Fcilja   f  x1 , x2 , x3     x1   30  x1   x2   50  x2   3x1  5x2  10 x3 

(1.23)

Ograničenja nejednakosti su:

g1  x1  x2  x3  0 g 2  17, 25  x3  0

(1.24)

Lagrangeova funkcija se prema izrazu (1.13) može zapisati: L  F  1 g1  2 g2  1u12  2u22

(1.25)

Uvrštavanjem izraza (1.23) i (1.24) u izraz (1.25) slijedi: L    x1   30  x1   x2   50  x2   3x1  5 x2  10 x3   1  x1  x2  x3    2 17, 25  x3   1u12  2u22

(1.26)

Uvjeti optimalnosti prema izrazu (1.17) su:

Šimun Sviličić

11

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

L1 

L  27  2 x1  1  0 x1

L2 

L  45  2 x2  1  0 x2

L3 

L  10  1  2  0 x3

L4 

L  u12  x1  x2  x3  0 1

L5 

L  17, 25  u22  x3  0 2

L6 

L  2u11  0 u1

L7 

L  2u2 2  0 u2

1  0, 2  0

(1.27)

Uvjeti L6 i L7 daju četiri moguće kombinacije rješenja: 1.

u1  0, u2  0

2.

u1  0, 2  0

3.

1  0, u2  0

4.

1  0, 2  0

dva aktivna ograničenja nejednakosti jedno aktivno ograničenja nejednakosti nema aktivnih ograničenja nejednakosti

Rješavanjem 2., 3. i 4. kombinacije ne dobiva se realno rješenje. Za prvu kombinaciju se dobiva: x1  4,125 x2  13,125 x3  17, 25

(1.28)

1  18, 75 2  8, 75 Uvrštavanjem traženih nepoznanica iz izraza (1.28) u početnu funkciju dobiva se maksimalna vrijednost funkcije:

f max  x1  4,125, x2  13,125, x3  17, 25  340, 219

Šimun Sviličić

(1.29)

12

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

2. ZADATAK – Optimizacija mehanizma tlačnog cilindra 2.1. Tekst zadatka Izvršiti optimalnu sintezu dimenzija mehanizma tlačnog cilindra prema slici 1, s ciljem da bi pogonski moment na ručici A0 A bio konstantan. Klip starta iz početnog položaja h1  25cm od dna cilindra i giba se do krajnjeg položaja h2  7,5cm od dna cilindra, pri čemu

se plin u cilindru komprimira uslijed tlačne sile F , čija početna vrijednost iznosi F1  18 N . Pretpostavlja se da je u cilindru idealni plin i da nema promjene temperature. Provesti postupak optimalne sinteze mehanizma, obrazložiti i opisati postupak sinteze, opisati i obrazložiti rezultate.

Slika 1.

Skica drugog zadatka

UPUTA: S površinom klipa A, m2 , volumen je V  A  h . Sila je F  A  p . Za idealni plin i konstantnu temperaturu vrijedi F2 

pV  konst. , pa je h  F  h1  F1  h2  F2 . Iz toga slijedi da je:

h1  F1 25 18 h  F 25 18 450 . Budući da je   60 N . Za opći položaj vrijedi: F  1 1   h h h h2 7,5

Md  Fdh , moment preko izraza je: M  F 

dh 450 dh .   d h d

Traži se minimalno odstupanje funkcije M   pri gibanju od 1 do  2 . Pretpostavi li se   1  2   3 i M  konst. , tada iz izraza d   450 / M    dh / h  slijedi:

Šimun Sviličić

13

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

450  h1  450  25   ln    M konst   ln    517,369 Ncm .  M  7,5   h2  3 funkcija cilja je min  M    M konst .

1  2 

U

tom

slučaju

ciljna

2.2. Matematički model kinematičke analize mehanizma Na osnovi kinematičkog modela sastavlja se matematički model za računanje kinematičkih veličina potrebnih za optimizaciju. To su prije svega položaji članova, tj. kut  i položaj klipa s odnosno h te derivacija ds / d , odnosno dh / d . Da bi dobili promjena položaja klipa u odnosu na kut zakreta pogonskog člana dh / d , računamo ds / d . Iz početne skice očito je kako je pomak točke B jednak pomaku cilindra, odnosno dh  ds , pa iz toga proizlazi ds / d  dh / d . Derivacija ds / d može se izračunati deriviranjem funkcije s  s   ili direktnim računanjem položaja trenutnog pola.

U ovom programskom zadatku opisana su oba načina računanja navedenih derivacija. 1.

Direktno računanje položaja trenutnog pola

Slika 2.

Trenutni pol P13 [5]

Iz slike 2 položaj trenutnog pola članova 1 i 3 odreĎen je s A0 P13 

Šimun Sviličić

ds  a3  s tan , d

tan 

a1 sin   a3 a22   a1 sin   a3 

(2.1)

2

14

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Uvrštavanjem dobivamo: a1 sin   a3 ds  a3  s  2 2 d a2   a1 sin   a3 

(2.2)

Ako s zamijenimo izrazom (2.8), koji je napisan u drugom načinu, dobivamo:





a1 sin   a3 ds 2  a3  a1 cos   a22   a1 sin   a3   2 d a22   a1 sin   a3 

(2.3)

Nakon sreĎivanja dobivamo: a cos    a1 sin   a3  ds  =  a1 sin   1 2 d a22   a1 sin   a3 

2.

(2.4)

Analitički deriviranjem funkcije s  s  

Slika 3.

Skica za kinematičku analizu

Iz geometrije mehanizma slijedi: a1 sin   a3  a2 sin  sin 

a a1 sin   3 a2 a2

s  a1 cos    a2 cos  

(2.5) (2.6)

Član a2 cos   se preko Pitagorinog poučka može zapisati: a2 cos    a22   a1 sin   a3 

Šimun Sviličić

2

(2.7)

15

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Uvrštavanjem izraza (2.7) u izraz (2.6): s  a1 cos   a22   a1 sin   a3 

2

(2.8)

Deriviranjem izraza (2.8) po varijabli  dobivamo izraz (2.9) koji je identičan izrazu (2.4) a cos    a1 sin   a3  ds  a1 sin   1 2 d a22   a1 sin   a3 

(2.9)

Kako bi se moglo provesti rješavanje optimizacijskog problema, potrebno je odabrati početne koordinate točaka A i B . Prema koordinatnom sustavu na slici 1, početni položaj za točke A i B je: Ax. p  35 cm Ay. p  10 cm

(2.10)

Bx. p  5 cm By. p  8 cm

Traže se dužine članova mehanizma a1 , a2 , a3 i s . Funkcija cilja će se promatrati za ukupni kut zakreta   1  2  60 po koracima od   1 . Za odabrane proizvoljne koordinate točaka A i B se najprije računaju dužine a1 , a2 , a3 i s te kutovi  i  :

a1  Ax2. p  Ay2. p a2 

A

x. p

 Bx. p    Ay. p  By. p  2

2

a3  By. p s  Bx. p  Ay. p   A   x. p   A  By . p  p  arctan  y. p  A B x. p  x. p

(2.11)

 p  arctan 

  

Povećanjem kuta za   1 , može se računati novi položaj točaka A i B korištenjem trigonometrijskih relacija:

Šimun Sviličić

16

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Ax  a1  cos   Ay  a1  sin   Bx  Ax  a22   Ay  By 

2

(2.12)

By  By. p  konst.

Uslijed promjene položaja klipa (promjene kuta  ) dolazi i do promjene momenta kako je prikazano u uputi te sada ponovljeno: M F

dh 450 dh   d h d

(2.13)

gdje je: h - trenutni položaj klipa dh promjena položaja klipa u odnosu na kut zakreta pogonskog člana. d Trenutni položaj klipa izračunava se iz izraza:

h   Bx  Bx. p   h2

(2.14)

dok je promjena položaja klipa u odnosu na kut zakreta jednaka:

gdje je:

dh ds   By  Bx  tan   d d A  By tan    y . Ax  Bx

(2.15)

Uvrstimo li By  a3 i Bx  s dobivamo izraz identičan izrazu (2.1), te samim time potvrĎujemo da su izrazi (2.14) i (2.15) jednaki izrazima (2.8), odnosno (2.4) i (2.9). Slika 4 prikazuje djelovanje momenta na ručicu za početne vrijednosti dimenzije mehanizma. Vidljivo je da moment za početne vrijednosti dimenzija mehanizma jako oscilira, što nikako nije poželjno pa će se zato provesti optimiranje mehanizma kako bi došli do što konstantnijeg momenta.

Šimun Sviličić

17

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Slika 4.

Uvod u optimiranje konstrukcija

Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za početne vrijednosti dimenzija mehanizma

2.3. Optimiranje mehanizma tlačnog cilindra Pomoću metode fleksibilnog poliedra će se provesti optimiranje mehanizma tlačnog cilindra tako da se traži minimalno odstupanje momenta M   od konstantnog momenta M konst . Tako je funkcija cilja:

Fcilja  min  M    M konst 

(2.16)

2.3.1. Metoda fleksibilnog poliedra Ova je numerička metoda jako pogodna za traženje optimuma nelinearnih funkcija. Temelji se na traženju optimuma pomoću tzv. fleksibilnog poliedra. Metodu su razvili Nelder i Mead 1964. godine. Metoda fleksibilnog poliedra je modifikacija simplex metode razvijena za probleme bez ograničenja. Pod simplexom se podrazumijeva geometrijska figura s v  r  1 vrhova, formirana u r - dimenzionalnom prostoru, gdje r predstavlja broj stupnjeva slobode problema. Za slučaj problema s 2 stupnja slobode (dvodimenzionalni prostor), poliedar ima 3 vrha (trokut), a za slučaj problema s 3 stupnja slobode (trodimenzionalni prostor), poliedar ima 4 vrhova (tetraedar). Za slučaj kada je r  1 , simplex je takoĎer trokut. Slika 5 prikazuje regularne (istostranične) simplexe. Od početnog istostraničnog simplexa, ova metoda u daljnjim koracima mijenja njegove dimenzije zbog čega je i dobila ime metoda fleksibilnog poliedra. Metoda osigurava dobru prilagodljivost lokalnim topološkim svojstvima funkcije cilja, efikasna je i pogodna za rad na računalu. Proces se prekida u slučaju kada poliedar postane dovoljno malen ili kada vrijednost u vrhovima postanu izjednačene. Za rješavanje problema s ograničenjima uspješno je u metodu ugraĎena primjena kaznenih funkcija.

Šimun Sviličić

18

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Slika 5. Regularni simplex s dva i tri stupnjeva slobode [1]

Algoritam metode sastoji se u traženju vrhova s najboljom (najmanjom) i najlošijom (najvećom) vrijednosti ciljne funkcije. Prvo je potrebno poredati vrhove poliedra tako da vrijedi f  x1   f  x2   ...  f  xn1  , pri čemu je x1 najbolja točka, a xn 1 najlošija točka. Nakon toga se računa centar poliedra bez vrha u kojem je najlošija vrijednost ciljne funkcije te srednje rastojanje od vrhova poliedra od centra, da bi se nakon toga potražio novi vrh u okolini koji ima bolju vrijednosti ciljne funkcije. To se ostvaruje kombinacijom četiri moguće operacije istraživanja okoline: 1. REFLEKSIJOM najlošijeg vrha kroz centar, prema formuli:





xr 3, j  xr 2, j  a xr 3, j  xh , j , k

k

k

k

j  1, 2,..., n

(2.17)

Gdje je koeficijent refleksije   0 , uz preporučenu vrijednost   1 . 2. EKSPANZIJOM, tj. dodatnim udaljavanje novog vrha od najlošijeg vrha:





xr 4, j  xr 2, j   xr 3, j  xr 2, j , k

k

k

k

j  1, 2,..., n

(2.18)

  0 je koeficijent ekspanzije s preporučenom vrijednosti   2 . Po završetku ekspanzije usporeĎuju se vrijednosti u reflektiranom i ekspandiranom vrhu te se kao novi vrh odabire onaj u kojem ciljna funkcija ima bolju vrijednost. 3. KONTRAKCIJOM ako je funkcija cilja u reflektiranoj točki lošija nego u bilo kojem vrhu poliedra:





xr 5, j  xr 2, j   xh , j  xr 2, j , k

k

k

k

j  1, 2,..., n

(2.19)

Gdje je 0    1 koeficijent kontrakcije s preporučenom vrijednosti   0,5 .

Šimun Sviličić

19

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

4. REDUKCIJOM dimenzija poliedra nakon kontrakcije u slučaju da je Fr5  Fh  : k

k 

k 

xij   xlj

k

k

xij  xlj 

k

2

, i  1, 2,..., r  1; j  1, 2,..., n

(2.20)

Za takav umanjeni poliedar, izračuna se vrijednost funkcije cilja u svim vrhovima te se zatim postupak ponavlja počevši s refleksijom u novom koraku. Kod primjene na probleme bez ograničenja ( r  n ) traženje optimuma se prekida u koraku u kojem je ostvaren izraz:

Tol  k  -

gdje je



1 r 1  k  k Fi  Fr 2  r  1 i 1



2



(2.21)

 unaprijed odabrani mali broj.

Slika 6.

Ilustracija operacije nad poliedrom s tri vrha [1]

2.3.2. Sinteza s četiri varijable Odabrane varijable su početne koordinate točaka A  x1 , x2  i B  x3 , x4  . Kako nema ograničenja sa znakom jednakosti, preostaju ograničenja sa znakom nejednakosti koja predstavljaju gabarite gibanja točke A odnosno B:

Šimun Sviličić

g1  x1  25  0,

g5  x2  5  0,

g 2  45  x1  0,

g 6  25  x2  0,

g3  x3  15  0,

g 7  x4  5  0,

g 4  5  x3  0,

g8  25  x4  0.

(2.22)

20

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Ograničenja (2.22) se za metodu fleksibilnog poliedra prikazuju na način:

g f 1  f  x1 , x1  25  ,

g f 5  f  x2 , x2  5 ,

g f 2  f  x1 , 45  x1  ,

g f 6  f  x2 , 25  x2  ,

g f 3  f  x3 , x3  15  ,

g f 7  f  x4 , x4  5 ,

g f 4  f  x3 ,5  x3  ,

g f 8  f  x4 , 25  x4  .

(2.23)

Dijagram najbolje vrijednosti ciljne funkcije po koracima prikazan je na slici 6, dok su optimalne dimenzije mehanizma dane u tablici 1. Slika 8 prikazuje odstupanje momenta

M   od konstantnog momenta M konst u ovisnosti o kutu zakreta. Najbolja vrijednost ciljne funkcije po koracima Fmin

50 40 30 20 10 0

50

100

150

200

250

300

korak

Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s četiri varijable

Slika 7.

Optimum funkcije cilja iznosi:

F 

cilja 4varijable

 1, 0278

(2.24)

Vektor rješenja je:

 x1

x2

Tablica 1.

Šimun Sviličić

x3

x4    41,9108 4, 45941 14,8039 10,1032

(2.25)

Optimalne dimenzije mehanizma (četiri varijable)

a1 / cm

a2 / cm

a3 / cm

s / cm

42,1474

56,9948

10,1032

-14,8039

21

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Slika 8.

Uvod u optimiranje konstrukcija

Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s četiri varijable

2.3.3. Sinteza s dvije varijable U sklopu sinteze s dvije varijable bit će prikazana dva rješenja. Jedno s varijablama kao koordinatama točke B dok će koordinate točke A biti rješenja iz sinteze s četiri varijable ( u rješenjima naznačena s „a)“), te s varijablama kao koordinatama točke A dok će koordinate točke B biti rješenja iz prethodne sinteze s dvije varijable ( u rješenjima naznačena s „b)“).

2.3.3.1. Sinteza s dvije varijable i koordinatama točke A iz rješenja sinteze s četiri varijable Odabrane varijable problema su koordinate točke B  x3 , x4  , dok će koordinate točke A biti preuzete iz rješenja sinteze problema s četiri varijable. Ograničenja jednakosti nema, a ograničenja sa znakom nejednakosti su:

g1  x3  15  0,

g3  x4  5  0,

g 2  5  x3  0,

g 4  25  x4  0.

(2.26)

Ograničenja (2.26) se za metodu fleksibilnog poliedra prikazuju na način: g f 1  f  x3 , x3  15 ,

g f 3  f  x4 , x4  5 ,

g f 2  f  x3 ,5  x3  ,

g f 4  f  x4 , 25  x4  .

(2.27)

Dijagram najbolje vrijednosti ciljne funkcije po koracima za sintezu s dvije varijable prikazan je na slici 8, dok su optimalne dimenzije mehanizma dane u tablici 2. Slika 10 prikazuje odstupanje momenta M   od konstantnog momenta M konst u ovisnosti o kutu zakreta.

Šimun Sviličić

22

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Najbolja vrijednost ciljne funkcije po koracima Fmin

7 6 5 4 3 2 1 10

20

30

40

50

60

70

korak

Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s dvije varijable

Slika 9.

Optimum funkcije cilja iznosi:

F 

 1,02598

(2.28)

x4    14,8028 10,1026

(2.29)

cilja 2varijable a)

Vektor rješenja je:

 x3

Tablica 2.

Slika 10.

Šimun Sviličić

Optimalne dimenzije mehanizma (dvije varijable a))

a1 / cm

a2 / cm

a3 / cm

s / cm

42,1474

56,9937

10,1026

-14,8028

Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s dvije varijable

23

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

2.3.3.2. Sinteza s dvije varijable i koordinatama točke B iz rješenja prethodne sinteze s dvije varijable Odabrane varijable problema su koordinate točke A  x1 , x2  , dok će se koordinate točke B uzeti iz rješenja prethodne sinteze s dvije varijable. Ograničenja jednakosti nema, a ograničenja sa znakom nejednakosti su definirane izrazim:

g f 1  f  x1 , x1  25 ,

g f 3  f  x2 , x2  5 ,

g f 2  f  x1 , 45  x1  ,

g f 4  f  x2 , 25  x2  .

(2.30)

Dijagram najbolje vrijednosti ciljne funkcije po prikazan je na slici 12, dok su optimalne dimenzije mehanizma dane u tablici 3. Slika 10 prikazuje odstupanje momenta M   od konstantnog momenta M konst u ovisnosti o kutu zakreta. Najbolja vrijednostciljne funkcije po koracima Fmin 50

40

30

20

10

0

Slika 11.

10

20

30

40

50

60

korak

Rješenje ciljne funkcije po koracima za sintezu s dvije varijable uz proizvoljne koordinate točke B

Optimum funkcije cilja iznosi:

F 

cilja 2varijable b)

 1,02598

(2.31)

Vektor rješenja je:

 x1

x2    41,9108 4, 45941

Tablica 3.

Šimun Sviličić

(2.32)

Optimalne dimenzije mehanizma (dvije varijable b))

a1 / cm

a2 / cm

a3 / cm

s / cm

42,1474

56,9937

10,1026

-14,8028 24

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Slika 12.

Uvod u optimiranje konstrukcija

Dijagram momenta u ovisnosti o kutu zakreta φ za sintezu s dvije varijable uz proizvoljne koordinate točke B

Slika 13 prikazuje projektni prostor sinteze s dvije varijable s fiksnom točkom B, a na slici 15 je pokazan projektni prostor rješenja sinteze s dvije varijable s fiksnom točkom B gdje se jasno vidi pozicija dobivenog vektora rješenja.

Slika 13.

Slika 14.

Šimun Sviličić

Projektni prostor sinteze s dvije varijable fiksne koordinate točke B

Projektni prostor rješenja sinteze s dvije varijable uz fiksne koordinate točke B

25

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

2.3.4. Usporedba dobivenih rješenja Tablica 4 prikazuje dobivene rezultate za dimenzije mehanizma. Vidljivo je kako su sva dobivena rješenja izmeĎu sinteza vrlo slična. Razlog tome je što je za sintezu s dvije varijable a) uzeto da su koordinate točke A jednake rješenjima koordinata točke A kod sinteze s četiri varijable, te time rješenje sinteze s dvije varijable teži rješenjima sinteze s četiri varijable. Rješenja sinteza s dvije varijable odgovaraju u decimalu iz istog razloga. TakoĎer je vidljivo da je došlo do promjene dimenzija u odnosu na početne dimenzije

Tablica 4.

Prikaz dimenzija mehanizma i funkcije cilja dobivenih u analizama

Početne dimenzije Sinteza s 4 varijable Sinteza s 2 varijable a) Sinteza s 2 varijable b)

Slika 15.

Šimun Sviličić

Fcilja

a1 / cm

a2 / cm

a3 / cm

s / cm

1,0278 1,02598 1,02598

36,4005 42,1474 42,1474 42,1474

40,05 56,9948 56,9937 56,9937

8 10,1032 10,1026 10,1026

-5 -14,8039 -14,8028 -14,8028

Prikaz početnog i krajnjeg položaja optimiziranog mehanizma [5]

26

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

3. ZADATAK – Aproksimacija funkcije 3.1. Tekst zadatka   Potrebno je aproksimirati funkciju f  x   3  x   sin 2  4 x   2cos  3x  na intervalu 2  n

x  0,   s aproksimacijskom funkcijom oblika g  x    cii  x  . Gdje su ci  R konstante i 1

koje treba odrediti (projektne varijable), a i  x  su zadane bazne funkcije. Funkcija cilja za





aproksimaciju je min max f  x   g  x  . Potrebno je izabrati n baznih funkcija iz skupa c1 ,...,cn

x

( n  16 ):

1, x, x , x , x , x , x , x ,sin  x ,sin 2 x ,sin 3 x ,sin 4 x ,cos  x ,cos 2 x ,cos 3x  ,cos  4x  2

3

4

5

6

7

3.2. Teorijske osnove linearnog programiranja OPĆA FORMULACIJA PROBLEMA Traži se optimum funkcije: n

z  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j

(3.1)

j 1

uz ograničenja:

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

  b1    b2    bm 

max

(3.2)

min  x j  0; j  1, 2,..., n bi  0; i  1, 2,..., m Ili u matričnom obliku:

 x1  optimirati z = cx; c   c1 , c2 ,..., cn  , x     xn    b  min  uz uvjet: Ax    b  max  Šimun Sviličić

(3.3)

27

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Uvjet Ax  b može se zamijeniti s:

Ax  y  b;

 y1  y     ym 

(3.4)

gdje su y nove varijable, pa je standardni model linearnog programiranja:

z  cx

max

uz uvjet: Ax  y  b; x  0; y  0; b  0

(3.5)

Označe li se i dodatne varijable y takoĎer s x i to xn1 , xn2 ,..., xk , matrična jednadžba ograničenja će glasiti:

Ax  b; x j  0, j  1, 2,..., k bi  0, i  1, 2,..., m

(3.6)

3.3. Formulacija problema u oblik linearnog programiranja Navedeni problem sličan je vrlo čestom i važnom problemu u statistici pod nazivom linearna regresija. U statistici se on odnosi na pripajanje krivulje statističkim podacima. Kriterij   max | yi  y  xi  | koji će se koristiti ovdje naziva se još i Čebiševljev kriterij.

Funkciju

  f  x   3  x   sin 2  4 x   2cos  3x  potrebno je diskretizirani na intervalu 2 

x  0,   u n  100 točaka. U svakoj točki diskretizacije maksimalna greška aproksimacije mora biti što manja, tj.: n    f x  cii  x1       1  i 1    n     f x  c  x       2 i i 2  min  max   i 1 c1 , c2 ,..., cn       n     f  xn    cii  xn    i 1   

(3.7)

Apsolutna greška aproksimacije f  x   g  x  se može prikazati kao::

f  x  g  x  z gdje je: Šimun Sviličić

(3.8)

- z maksimalno dozvoljena greška aproksimacije. 28

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Izraz (3.8) može se zapisati i u obliku: f  x  g  x  z

(3.9)

  f  x   g  x   z

Pa funkcija cilja tada postaje:

min

c1 ,c2 ,...,cn ,

 z

(3.10)

uz ograničenja:  z  f  x1   c11  x1   c22  x1   ...  cnn  x1   z  z  f  x2   c11  x2   c22  x2   ...  cnn  x2   z

(3.11)

 z  f  xn   c11  xn   c22  xn   ...  cnn  xn   z

Ograničenja nejednakosti (3.11) mogu se matrično zapisati kao:  1 1  x1  2  x1    1 1  x2  2  x2     1 1  xn  2  xn   1   x  2  x1  1 1   1 1  x2  2  x2     1 1  xn  2  xn 

 n  x1     f  x1      n  x2    f  x2    z         c1     n  xn    f  xn    c   n  x1    2   f  x1      n  x2      f  x2      cn       n  xn    f  xn  

(3.12)

Kako su ci neograničeni u predznaku, mogu se predstaviti s dvije pozitivne varijable na način: ci  ci  ci , ci  0,

(3.13)

ci  0.

Izraz (3.12) se skraćeno može zapisati: Ax  b

(3.14)

Dozvoljena maksimalna greška aproksimacije odreĎuje se prema:

z  vT x

Šimun Sviličić

(3.15)

29

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

gdje je x definiran izrazom (3.12), a v T je:

vT  1 0 0



(3.16)

3.4. Rješenja U nastavku su dana rješenja za četiri primjera odabira baznih funkcija za aproksimaciju funkcije f  x  . Prikazana su 3 primjera sa po 4 bazne funkcije kako bi se usporedio utjecaj pojedinih baznih funkcija na rješenje ( polinomi, trigonometrijske funkcije i kombinacija), te primjer sa 15 baznih funkcija. Zadani problemi linearnog programiranja riješeni su u programskom paketu Wolfram Mathematica, naredbom LinearProgramming.

3.4.1. Prvi primjer – bazne funkcije potencije varijable x Za prvi primjer odabrane su četiri bazne funkcije potencije varijable x:

1  x   x 2  x   x 2 3  x   x 3

(3.17)

4  x   x 4 Aproksimacijska funkcija glasi:

g1  x   c1 x  c2 x 2  c3 x3  c4 x 

(3.18)

Nakon provedenog optimiranja, dobivena su rješenja: z2

c1  2, 61713 c2  0, 0563425

(3.19)

c3  1,80304 c4  -0,486497 Nakon uvrštavanja vrijednosti (3.19) u izraz (3.18) dobiva se aproksimacijska funkcija g1  x  : g1 ( x)  2,61713x  0,563425x2  1,80304 x3  0, 486497 x 4 .

(3.20)

Na slici 16 prikazane su funkcije f  x  i g1  x  dok slika 17 prikazuje apsolutnu grešku aproksimacije za prvi primjer odabira baznih funkcija. Šimun Sviličić

30

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

f x gx Slika 16.

Funkcija g1(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π]

greška z Slika 17.

Šimun Sviličić

Apsolutna greška aproksimacije prvog primjera odabranih baznih funkcija

31

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

3.4.2. Drugi primjer – bazne funkcije kao trigonometrijske funkcije varijable x Za drugi slučaj takoĎer su odabrane četiri bazne funkcije:

1  x   sin  2 x  , 2  x   sin  4 x  , 3  x   cos  x  ,

(3.21)

4  x   cos  3 x  . ** funkcije su odabrane nakon nekoliko pokušaja i promašaja jer npr. za funkciju sin  x  , dobiva se konstanta c reda veličine 1016 Aproksimacijska funkcija drugog primjera sada je:

g2  x   c1 sin  2 x   c2 sin  4 x   c3 cos  x   c4 cos  3x 

(3.22)

Rješenja dobivena nakon provedenog optimiranja su:

z  0,814071 c1  23,5769 c2  4, 6793

(3.23)

c3  16,5518 c4  13, 7377 Nakon uvrštavanja (3.23) u izraz (3.22) dobiva se aproksimacijska funkcija g 2  x  :

g2  x   23,5769 sin  2 x   4,6793sin  4 x   16,5518cos  x   13,7377cos  3x 

Šimun Sviličić

(3.24)

32

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Na slici 18 nalazi se zajednički prikaz funkcija f  x  i g 2  x  , a slika 19 prikazuje apsolutnu grešku aproksimacije prvog primjera odabira baznih funkcija.

f x gx Slika 18.

Funkcija g2(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π]

greška z Slika 19.

Šimun Sviličić

Apsolutna greška aproksimacije drugog primjera odabira baznih funkcija

33

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

3.4.3. Treći primjer – bazne funkcije kao kombinacija baznih funkcija iz prvog i drugog primjera U trećem primjeru takoĎer su odabrane četiri bazne funkcije:

1  x   x, 2  x   x 2 ,

(3.25)

3  x   sin  4 x  , 4  x   cos  3 x  . Aproksimacijska funkcija sada glasi:

g3  x   c1 x  c2 x 2  c3 sin  4 x  c4 cos  3x 

(3.26)

Nakon provedenog optimiranja, dobivena su rješenja: z  1,89778

c1  0,990386 c2  0,590727

(3.27)

c3  1,8858 c4  2,90415 Nakon uvrštavanja (3.27) u izraz (3.26) aproksimacijska funkcija g3  x  je:

g3  x   0.990386 x  0.590727 x2  1.8858sin  4 x   2.90415 cos  3x 

(3.28)

Na slici 20 prikazane su funkcije f  x  i g3  x  , dok slika 21 prikazuje apsolutnu grešku aproksimacije trećeg primjera odabira baznih funkcija.

f x gx Slika 20.

Šimun Sviličić

Funkcija g3(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π]

34

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

greška z Slika 21.

Apsolutna greška aproksimacije trećeg primjera odabira baznih funkcija

3.4.4. Četvrti primjer – sve bazne funkcije Odabrane bazne funkcije:

1  x   x, 2  x   x 2 , 3  x   x 3 , 4  x   x 4 , 5  x   x 5 , 6  x   x 6 , 7  x   x 7 , 8  x   sin  x  , 9  x   sin  2 x  , 10  x   sin  3 x  , 11  x   sin  4 x  , 12  x   cos  x  , 13  x   cos  2 x  , 14  x   cos  3 x  , 15  x   cos  4 x  .

(3.29)

Rješenja četvrtog primjera: Šimun Sviličić

35

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

z  0,144108 c1  1, 68874 106 c2  198912 c3  1,10478 106 c4  154364 c5  230717 c6  79695, 7 c7  7247,98 c8  0 c9  848940 c10  0, 0000760374 c11  2289, 63 c12  49657 c13  0, 000874734 c14  49659, 2 c15  4, 63096 10 6

(3.30)

Nakon uvrštavanja rješenja dobiva se aproksimacijska funkcija g3  x  :

g 4  x   7247,98 x 7  79695, 7 x 6  230717 x5  154364, x 4 1,10478 106 x3  198912 x 2  1, 68874 106 x  49657 cos( x )  0, 000874734 cos(2 x)  49659, 2 cos(3x)  4.63096 106 cos(4 x) 

(3.31)

848940sin(2 x)  0, 0000760374sin(3x)  2289, 63sin(4 x)  0.

Šimun Sviličić

36

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

Slika 22 prikazuje funkcije f  x  i g3  x  , dok je na slici 23 prikazana apsolutna greška aproksimacije četvrtog slučaja odabira baznih funkcija.

f x gx Slika 22.

Funkcija f(x) i g4(x) koja aproksimira funkciju f(x) na intervalu xϵ[0,π]

greška z Slika 23.

Šimun Sviličić

Apsolutna greška aproksimacije četvrtog primjera odabira baznih funkcija

37

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

3.4.5. Zaključak nakon provedenih primjera Optimiranjem aproksimacije funkcije kroz ova 4 primjera vidljivo je kako se aproksimacijom sa više baznih funkcija dolazi do najmanje greške, koja u ovom četvrtom primjeru iznosi 15 %, ali iziskuje više računalnog vremena. Nadalje, vidljivo je kako neke trigonometrijske funkcije imaju jako niske koeficijente te tako jako malo utječu na izgled aproksimacijske funkcije. TakoĎer je vidljivo kako se uz isti broj baznih funkcija dobiva točnije poklapanje aproksimacijske funkcije sa trigonometrijskim funkcijama za razliku od polinoma iz razloga što i u početnoj funkciji prevladavaju članovi trigonometrijskih funkcija.

Šimun Sviličić

38

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Uvod u optimiranje konstrukcija

LITERATURA [1] Ščap, D., Jokić, A. Optimiranje mehaničkih konstrukcija – teorijske osnove i primjena, Zagreb, 2014. [2] Jokić, A. Nastavni materijali, Zagreb, 2014. [3] Rao, S.S. Engineering optimization – Theory and practice, New Jersey, 2009. [4] http://mat.gsia.cmu.edu/classes/QUANT/NOTES/chap4.pdf [5] Ščap, D. Optimalna sinteza mehanizma tlačnog cilindra, Zagreb, 2013. [6] Wolfram Research. Wolfram Mathematica 9.0, http://www.wolfram.com/mathematica/

Šimun Sviličić

39