UŠĆUMLIĆ MATEMATIKA 2

_.

-

._,

..

..... .

l

V E R

Z

( T

E

T

PAVLE MO

CILO

.-

~~.

BEOGRADU

MlI.K"!ć

ĆUMLIĆ

ZBIRKA ZAD

IZ

TIKE II

I I2t>ANI

www.etf.ba

Rešenjem Rektora Univerziteta u Beogradu br. 06-347511 od 20. novembra 1969. na predlog Univerzitetske komisije za udžbenike ova knjiga je odobrena kao stalni pomoćni udžbenik

PREDGOVOR "Zbirka zadataka iz više matematike lU. koja je već doživela treće izdanje i .,Zbirka zadataka iz više matematike U", koja se prvi put sada pojavljuje, čine jednu celinu koja obuhvata programe matematike na višim školama i programe matematike na prve dve godine većine fakulteta u našoj zemlji, kao i neke delove programa poslediplomskih studija. Uloživši sve svoje višegodišnje iskustvo sa izVođenja nastave, prvenstveno smo želeli da ovim dvema knjigama pomognemo studentima na savlađivanju gradiva u toku studija i u toku sistematskog pripremanja za ispit. Pri izradi knjige koristili smo sve postojeće zbirke koje su u upotrebi kod nas. bilo da su strane ili domaće, ali veliki broj zadataka su originalnog karaktera. Svi zadaci imaju rezultate ili rešenja. Veliki broj zadataka je urađen iii je dato uputstvo za rešavanje. Poređani su po oblastima, od prostijih do složenijih, a na početku svake oblasti date su I!ajvažnije definicije i teoreme koje se koriste u zadacima te i sledećih oblasti. I za ovu Zbirku, kao i za treće izdanje prve Zbirke. recenzenti su bili vanredni profesori Prirodno-matematičkog fakulteta dr D. Ađnađević i dr M. Marjanović. koji su svojim primedbama i sugestijama doprineli da pojedini delovi u knjizi postanu preciznije i tačnije izloženi. l ovog puta im se na tome najsrdačnije zahvaljujemo. P"scbno se zahvaljujemo magisIm matematičkih nauka M. Trifunoviću na saradnji u pisanju knjige. Veliku zahvalnost dugujemo vanrednom profesoru Prirodno-matematičkog fakulteta dr V. Dajoviću na njegovoj inicijativi za pisanje ovih Zbirki i na podrškama. Zahvaljujemo se dipl. ing. A. Miličić" na izradi crteža i kolektivima Građcvinske knjige i Beogradskog grafičkog zavoda koji su uspešno re"lizovali pojavu ovih knjiga. Kao i do sada bićemo zahvalni svima koji nam ukažu na omaške, greške i nedostatke ove knjige. Beograd 8. XII. 1969.

Pisci

ZA PREDUZEĆE: W. JURELA. glavni urednik D. LADN. urednik J. PRŠENDIĆ. tehnički urednik D. ALAGIĆ. korektor A. PAJVANČIĆ. naslovna strana ŠTA1\1PA: Beogradski grafički zavod. Buj. vojvode Mišića 17. Beosnd

www.etf.ba

SUIOtll

3. Tenmrsk:a. a. i2a ..... • .•••.• 4. Prim':1)ll tcn r~ tl difcre1\d,aJnoj

SADRZAJ

o Redo ..i

.~ ••

oo

va I

.••.•.• • . . ... . •. . ... . . .. • .• •.... ..... ..... ... . .. ......

oo

•

••

•

oo

§ 7. B~ko:nmi proizvodi

§

oo

..

18J J91

oo oo

.

va VIn

O

l

oo . . . .

l

eometriji i mehani i ... . .. " ... ..

•

no ....

lt 1. ~ni redovi a potjtivnim čllm ima .. . ...... oo • • • • • • • • • • oo. oo oo. oo. f 2. Redovi S:l rom J ' m pr ZlI!I.~ elano i operacije sa ko Yu;en1Jtim red.ovima f ' . Ponovljeni i dvoJru redo I . ........... ... . .. . .•.. •.•• . • . .....•.•.•.. . ... ~ 4. Funkci alni ~CIovl ••.•• .••.. • .••..•..•. " •••• . . • •••••••.•••••••••••.••• ~ .s. S tcpeo.i r edovi .... oo • • oo . . . . . . oo . . . . . . . . . . § 6. FOurierTOvi redovi •..• oo . . .

§

. o o . . . . . . . . . . . . . . . oo oo oo • • • • • • oo • • • • oo • • •

o o . . . . . . . . . . . . . . . . oo o o .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo

.

..

•

. .• . • . . • • . • . .. .. ..•. • .•.....•........ . . ......... . . G ava IT

""cija)" ra~ 6uJitcija .. ik rt!IIlaill pl'Oml!l10irih . . • . . • . • • • . ...•..•.•••••••.• l. GraDI 'iTCdoost I nepl"eJdd.n.o!l[ funk ' ville promenljivih ....••••••... 2. P :rciia.l.ni iz'i'Od1 i dlf8J'encljall. b:vod Blote (ull.locije .. • . • . . .. . .•• • ••• 3. FunJcclouallllll deter1tun.ante. Oi(eren 1

6S 73

Gl:lvll X

1

..... ....... ............ ......................... ... .......... ~9

L'StrWd i kri ..ollaijsk Ini ~

§ § § §

§ ~

§ §

II

•••••••• _ • • • •• ••

•••••••••

•

••••

1. Dvojf1i i I .. . .... . .. .... . .... ....... ... . . .. . . . ...... . ..... _.. _. .. . 2. lxrW{)

1111

• .

o o . . . . oo

•

•

• •

•

••

•

• • • oo •

• oo • • oo

•

o o . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . oo •

• •

I. (h \'l1i pojmovi i đefinicijc .....•. •. . •.•• . •.•.••.•.. ... . . •.........•..• 2. Geornc 'jska l'tlOnt O •• •• • . . . . . . . .. .. . . . . . . • . • . • . • . . . . • . •• ....•..•.. J. U$lOvna YeTOY tDoćL Proi2:vod i zbir ~vatnoća. 'totalna \lIlInoča ..••.

O I va VJ1

zo

.

f J. Odrod :lnjc $Iiltc i oligina A ............. ... . . . . . . . ija1nJh jedn i 2. PrimcIllI opcnc'ooo~ ra. \lDll na ~lav~ dl

RaČ"1

u prostoru povr

Gla

376 376 ]81

) 8 392

vl

I ri'

ml

37

m

oo • • •

V ·tor lIJ12 %Il i elementl I r pOlja .•.••.•.••••.•.••....•.•.••...•.•..•...... I t. Vektor IlZII •.... . ...•.. • .. • ..•.... . ...••.•......••..... . ......... .. • 2. Elementi leorlje poljli ....••.••.•...•• • .•.•••••• • .•.. •.•••• .•. •.••.•.•••. \'ll

366

!lS

Glava

G

3S4 J57

81

l1S 175 1.9

R

n:,vlUljc ,",",va.u'\oćc Sl učaj ne velič' ~ I n ·ih.o ~

'I. lu

pojl.-e do

S.

karaktenstike .....

zu]

U

. .•• .•.•

II

P

lt. . • . •

4110

oo oo oo

42.8

• •..... ... . .•. •. •••••••••••••••••••••.•.•• •. •.•.•

449

D

o o . oo oo oo oo oo

oo

Y

39'1 405

oo

•

ti pooavU

397

oo

l

•••

www.etf.ba

Glava I REDOVI

§ 1. Redovi J"

S~

pozitivnim

članovima

K o n v ~ r g e rl C i j a r e d a. Brojni red (J)

a J +a 2 +a J +···+an +···=

I

an

,;=1

je konvergentan ako po,,(oji

konačan

lim

limes

S,,~S

tl-700

gde je Sn =a, +a2 + ... -ran (delimična suma reda (1)) i S zbir reda (1). U protivnom slučaju, kaže se da red (1) divergira. y e a u e h y e v k r i t e r i j u m. Potreban i dovoljan usiov da red (1) konvergira jeste da za proizvoljno 1:>0 postoji prirodan broj N~N (e) takav da je za n>N i p>O ISn+p-SnlO),

goe Je On ograničena funkcija od n i 8>0. Tada red (1) konvergira za A> 1 i za A= l ako je fl.> 1. Za ,1,< 1 i za ,1,=1 ako je p< 1, red (1) divergira. 8° Caucl1yev integralni funkcija, tada red

reda, an,

L sinna

14.

2

n

--=A.+-+-1 t Qn

člana

Odrediti granice kojima teže

s s o v t e s t. Neka je.

Ciqi''" cosna (7l -- 1, red (1) je divergentan. 5° C a

1

oo

9.

p< 1.

4 o D' A l e m b e r t o v t e s t. Ako je -.-

3

§ 1. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA

25.

'" a· L ~ j~l b

Cauchyev kriterijum dokazati da

n=l

sledeći

redovi konvergiraju:

24.

(iaiil).

'" COSllX-cOs(n+1)x

L - - ' -n - " - '

11=1

Za

sledeće

redove

naći

deIimičnu oo

oo

L q".

2.

n=1 oo

4.

L

11=0

O.

1

(_1)710-1

2710 - 1

(kEN).

limes limSn=S:

n"

l

(n + I)k

3. 5.

n~l1n(l+ ~).

8.

1~] n(n+ 1) oo

n~] n

i

Cauchyev kriterijum dokazati da red

l

~

"'d Z naJUCl a 'Je re d~lk L., onvergentan za a>l

1

oo

N=l

Koristeći

n=3

n

n=1

ispitati konvergenciju

2n+ 1

2

7.

26.

"..... '"

(n+k) (n+k+ l)

~[~ _ _ 1 11=]

2: n=1

sumu Sn

(n + 1)2

oo

27.

n+l

(tla - Va) (a>O).

30.

1

L-' 11=1 2n-1 '"

L

JI=l

njln+ 1

divergentan za a < 1

na

sledećih

28.

oo

redova: l

L (2n-1)2 .

2~.

,,=]

31.

I n=l

divergira.

n

]l3n(2n-1)

l

oo

, , - - (a>O).

n7:

1

32.

1 +an

~]ln+l-y,; lJ=1

V'n

. www.etf.ba

4

§ l. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA

I. REDOVI

33.

~

34.

l (a>O). n=l(an+b)P

~

eo

57. Ako je red

(Va--l) (a> 1).

36.

11=1

n+

n

n

~ _1 In ( n + 1 ) n=zVll n-l'

Koristeći

l).

'"

1 n

nSlli-

59.

"" 2 2:-. n=l n

61.

'" nl 2:-':".

62.

2:-. n=ln!

ch~ ~ ln _ _n_.

45.

(lun)lnn

n=;'

47.

'"

l

2----.

n=l

:rc

cosn

66.

sledeća

Koristeći

ovu formulu ispitati konvergenciju

(a> O).

(x>O).

2:

(2 n)!!

50.

""

n

51.

2:-" .

n= l 1yn, !:::"l

>'"" -1

53. Dokazati da je red

n7:l an

~ l~n!

""

3

5

1n+ l

'"

3

5

2n+ 1

2°

2: (V5-j!5) (VS-VS) . . ·O/S-VS).

n=l

"" 68. Ako red 2:an (an>O) kOl1vergira, dokazati da može biti lim an+ 1 =q>1.

redova:

.

69. Dokazati da je red

11-=1 n111n

divergentan ako je al' az, a3 ,

~~

54. Da li je konvergentan red

11=1

an

•.•

aritrnetički

Koristeći

niz.

2:

n=1

n=l

.z a~ i :z b~ sledi konvergencija sledećih redova:

2: n=1

2°

2 (a" ± bn )2; n=l

sin2 lc a

n=lk=l 1 +x2+cos2 ka

oo

75.

kop.vergentan za svako a

11=1

~76.

sledećih

'" n 71. ') - - o

(a> O).

'l

oo

\" 2: (X-) n oo

('

n=Z oo

I

77.

X.

(x>O).

n=l

n-2 ),,(n+1) 14.2:-.

_

l

redova:

JJ

72.

n7::! (ln n)"

112+1

2:a~.

an

l"

l

n+2

nk

' > : ' - - - ·(a>l,b>l).

.-=-! a"+ b"

n=l

co

lan bn !;

n

,,~l

\)..j

10

""

Z(~)n, gde je lim an=a, x>O, an>O. an

konvergentan. Primerom pokazati da obrnuto ne važi.

n=l

2: TI

Cauchyev test ispitati konvergenciju

ako je al' az, a3, ... geometrijski niz?

2:

oo

n-+oo

(jJ

'" an (an> O) konvergentan, dokazati da je red '" a; takođe 55. Ako je red

56. Iz konvergencije redova

211.+1

2 ) • ••

11=1

49.

~

., (2n-I)!!..

n=l

2: OI2-V2)()!2-)I2)· . ·(112-)12); 11=1

Stirlingova formula

sledećih

"'an 2:n=ln!

redova:

'" an I ----(1-+ an) (l + a) (l + a

(OO, y>O).

n=l

48.

n=3 (ln n)lnlnn

Za dovoljno velike vrednosti .n važi

64. ~ xn

60.

'" nP

n=lnn

44.

n!

10

"" J 2:-. n=ln!

n~l VnZ+T

39.

oo

."~3

ako je za dovoljno veliko n an > an+l >0

D'Alambertov test ispitati konvergenciju

5S;

41.

o, q>O).

+(q+n-l)

Cauchyev integralni test ispitati konvergenciju redova:

1

~

95.

2-;;-' n

2I a "l.

(2)

(lo JP. Ii r(2n-I)!! (2n)!!

n~2

n~l

n~2n

(a>O, b>O).

n=l

+a+k)

I 92. \Jn~~

I

na

konvergira a p s o l II t n o ako konvergira red

Koristeći

96. l°

~ j/n+a- v;;+b

(a>O).

ln(1+k)

n~lk~lln(l

'"

9.9.

(7

89.

n~l

-=a:...:;(..-a+~1):........_._.(O-a:.......+_n_-_l-'-..) 90. na n-l n!

94.

Ispitati konvergenciju redova:

•

2:

.v

a(a+l)·· ·(a+n-1),B(,B+1)·· ,(p+n-1)

ID

a2 " istovremeno konvergiraju i divergiraju.

oo

oo

2

n

(2n-1)!! . __l_.,~y) 86. -Ć.-_-'-n~l (2n)!! 2n+1

,JI

Z

91.

2

n=!

(a + l)(a+ 2)· .. (a+ n)

L2 r.=!

n

2: V''-Ix'-Inz=-+-"'I.-'vl--"-n n=l

Raabeov test ispitati konvergenciju redova:

n'.

1l=1

oo

i red

83.

2: an

98. Ako je an>a'i+' >0 za svako n dovoljno veliko, dokazati da red

l n (ln n)"

(a> 1).

U tom slučaju konvergira i red (1). Zbir apsolutno konvergentnog reda ne zavisi od poretka sabiranja njegovih članova. Ako red (1) konvergira a red (2) divergira, kaže se da red (1) u S lov n o konvergira. Zbir uslovno konvergentnog reda promenom poretka sabiranja njegovih članova može imati proizvoljnu vrednost (Riemannova teorema). 2 0 T e s t o v i k o n ver g e n c i j e. l) Leibnizov test. Naizmenični red

b,-bz +b,-b4 +··· +(-1) "-'b n +··· konvergira ako je bn>bn+,(1l~1,2, ... ) i lim bn~O.

oo

I

In3 n ln2 (Inn)

;

2°

2n--Inn In (Inn)

n~2

U tom slučaju za ostatak reda Rn~(-1)nbn+,+(-1)1t+'bn+2+'"

važi ocena

www.etf.ba

8

§ 2. REDOVI SA PROMENLJIVIM PREDZNACIMA ČLANOVA I OPERACIJE •..

J. REDOVI

oo

2) Abe/Ol' test.

L a"b" konvergira ako konvergira

Red

oo

red

n=l

b n obrazuju monotono

2 anb,.

test. Red

3) Dirichletov

konvergira ako su delimične sume A~ ~

112. L~-'--n~l

n=l rl

~

.2

ale

115.

ograničene i ako b n monotono teži nuli kad n-l- oo.

"=1

3° O p e r a e j j e

sa

r e d o v i m a. Ako red

oo

'"

co

n=l

n=I

n=l

co

=

n=l

n=!

113.

IZ

2: -'---'---

L'" a" cos n o.

2: an i red 2: bn konvergiraju tada je:

114.

n

n=l

gde je an- 1 >an>O, lim an =

n=l

o.

.:;:. sinna. Inn

L.,

n~2

116.

ll-+CO

2: ln2n

.

oo

n~1

nn

--SIU-'

4

n

1 n n2 117. --cos--' n~2 In2n 17+ 1 ""

2

2: an ± 2: bn ~ 2: (an±bn);

1)

'" (_1)fV;;-1

'" (-1)-2-

niz.

oo

redova:

n (n-I)

n=l

ograničen

sledećih

Primenom Dirichletovog testa dokazati konvergenciju

2 an i ako brojevi

9

Primenom Abelovog testa dokazati konvergenciju redova: --",

1118. ''--/

Z(-1)n(1 +~)ntg~.

n=l

IZ

IZ

gde je en = aJ b n + a 2 b n - J + ... + an b, i bar jedan od datih redova apsolutno konvergira.

Primenom Leibnizovog testa dokazati konvergenciju redova:

= (_1)17-1

103.

L

n

n=l

(0.>0).

a

Pokazati da sledeći redovi konvergiraju tačnošću od 0,01.

'" (- 1)n 104. L-~__ n~1 II (n + l)

121.

105.

L'" a,,=A,

(Abel) Ispitati apsolutnu 106.

'"

-j

(I.M )"

107.

l/n.

1

""

L

L

lOg.

"" (-n" '" - - ' - .

n~2

.

125. Dokazati da Je

ln n

126.

(n + 1) a2n 110. Da li se može primeniti Leibnizov test na red 1'1=1

)12- l

)12+ 1

V3-1

].13+

1

l

l

'(n-l

)In+ l

+ ... ?

111. Znajući da je

L

ln 2

11=1 rz l l l l 1 1-----+-----+ . 24368

naći

sumu reda

1 1 l . . +---------+. 2k-l 4k-2 4k koji je nastao od datog reda premeštanjem njegovih članova.

~

2

,,=1

(-1)n-1 cr

n

<

l

(a>O).

(2"+1)1n(n+1)

Ispitati

.L _ _ _ _ _ _ _

1

-< L

(a-l)na" L"" --'----'----

"~l

USlOVllU

apsolutnu konvergenciju redova: .

'" 127. 2:

n=l

n'

(-l)"-=-' nn

Konvergira li dati red? '" (-1)"-1

vn

n=1

rt

l l l 1 _______ + _______ + ...

.

124. ~ sin n° .

1 (-I)"tg-.

n~1

njihov zbir sa

Koliko članova reda treba sabrati da bi se dobio zbir sa tačnošću 10-6 :

c,,=C

( _1)"-1

oo

109.

L'"

n=l

uslovnu konvergenciju redova:

""" (-l)n-_~=-,-_ 11 '-' ~ ~ 1l=

n=2n(n+ 1)(17+2)

'"

L bn=B,

1:=1

n=l

(-l)n

oo

2:

122.

Može se dokazati da iz

izračunati

130.

)"f (2n-l)!! r

~ C- 1

n~l

133.

oo

L

n=I

2 128. ~ (-1)"'-1 2 si11 " X n=1 n n

sin nx

na.

L (2 n)!!

J

oo

131.

L

•

129.

L-'.

11=2

a"

~

-bCb;;.> O). n=1 "+n

132.

nn 12 Inn

8111--

""

nn cos--

4

5-'. a ~

/.=1

JZ

. !ln]

Sln--

(O2.

konvergira,

konvergira.

www.etf.ba

14

§ 4. FUNKCIONALNI REDOVI

I. REDOVI

160. Neka je:

oo

2

"L X p p=l

Funkcionalni red (l) je uniformno konvergentan na skupu X ako na tom skupu uniformno konvergira niz njegovih delimičnih suma

Dokazati da je

= 1,

n

xp Yq

co

L L

p

p=O q=O

+q + l

Sn (x) =

O, postoji broj N = N (e) takav da je

lU (x)-u n (x) INi za svako xEX.

u~(x) uniformno konvergira na (a,b) tada je zaxE(a,b)

L u~(x).

konvergira, zove se oblast konvergencije. Uniformna konvergencija. Kaže se da niz funkcija U,

L ll=!

n=l

članovi

reda (1) neprekidne funkcije segmentu [a, bl tada je b

(3)

JL~l Un(X)}dx~Jl

ako red uniformno konvergira na

b

Jun (x) dx

www.etf.ba

16

l. REDOVI §4. FUNKCIONALNI REDOVI

f {. ~

17

b

Ako

u,

eX)} dx->-O

za n->-oo onda je formula (3)

tačna i u slučaju besko-

185.

~ xn, L n2

xE[-l,l].

n~1

l=n+l

'"

l

186.

I ' n~2(x+n-l) (x+n)

188.

I ,XE[l CO] n~I(1+x)(1+2x) .. ·(l+nx) '.

xE[O, a].

a načnih

granica integracije.

oo

187.

I

n=O

Odrediti oblast apsolutne i uslovne konvergencije redova: 163.

oo

(_1)"-1 (2x)n

n~l

n

I

I

11=1

167.

1 n

2: ne-x n=l

I

170. oo

'"

(2n-1)!!

n=l

(2n)!!

2:

oo

168. I~--· 11=1 n

173. 2:~. n~1 nl

(~r 1 +x

174.

171.

2

oo

71. 2

I-· xn finx)"

I

n=l

2" sin"x

nZ

~ n=l

175.

cosnx.

n=l

e nx

lim {sup Ispitati valima:

običnu

i Un (x)

-u (x) i} =

O.

xE[O,lJ.

178. Un (x)

n~O

UX l+n+x

XE[O, l].

Un

(x) =

~ X2 + n2l ,

181. un (x) = arc tg nx, 183. Un (x) = ( 1+-;:;xr, Koristeći

184.

'"

2:xn n=O

Cauchyev

za: l°

() =sinnx --, n

xE(-OO,oo).

180.

xE(O,oo).

182. un (x) =e nOnx- 1),

l° x E (a, b);

Un X

xE [a, b]. xE (l, e).

ixixo.

n=1

Vsin"x.

n

I'"

189. Ako red

'" 3"

165.

n=l

x2+n2

oo

172.

oo

n~1 n(x+ 2)n' oo

169.

'

164. ) - . n7::1 xn

i

oo

166.

n

oo

nx

oo

x(1-x)", XE[O,l].

201.

i: (-l)", x+n

xE(O, oo).

n~l

202.

i: VI+2i'X,

n~l

XE[O, oo).

nl

co

2"-' " .....

"x2" e-n2 X2, L

xE (-00,00).

11=1

2 Zbirka zadataka jz više matematike II

www.etf.ba

18

l. REDOVI

oo

2: I

204. Ako red

Un

(x)

I uniformno

5. STEPENI REDOVI

konvergira na [a, bl, dokazati da

red

222. Neka je lim an = oo

l 2:"" --

neka red

~

Un

(x) uniformno konvergira na [a, b].

10 Pokazati da red oo

oo

2: an

2: an e-t''"

konvergira, dokazati da red

konvergira unifor-

n=1

n~1

sledećih

Odrediti oblast definisanosti i oblast neprekidnosti

2: oo

207. f(x) =

e-n(x)

n=1

11=1

209. Ispitati uslovnu, apsolutnu

(

1)

x+- n. n

f

208.

po

funkcija:

11=1

član

reda

Koristeći

10 l Naći

212.

jednakost

oo

2:

n~O

l

f(x)=

I

n~1

l° Interval konvergencije. Za stepeni red

sin2nnx, 2n

2:'"

xn

213.

--o l +xn

1

Da li se mogu diferencirati

član

XE(e,2n-e). x 2: arc tg-.

lim

po

l On~1 tx+n) (x +n + l)

I(x)~

član

7 21.

~

sinnx

L., - - , n=1 n2

l

Naći ..

n=l

an n

I

l I

I(n)

oo

2: -..J:'l (x-a)". n!

XE(e,2n-e).

Rn(x)~/(x)-

?'n ""':;;0

e

I(k) I(n+ 1) [a + (x-a)] ~ (x-a)k=--_______ (x_a)n+l k! (71 + 1)!

(O+

p-+ ""

221.

zbirove:

n-+IX)

n

4 n (x-a)

da za I x-a I< R red konvergira a za I x-a! > R red divergira. Interval (R-a, R + a) zove se interval konvergencije a R po!uprečnik imerva!a konvergencije reda. Na krajevima intervala konvergencije, red može konvergirati ili divergirati. R se određuje po formuli

R=lim

(-1) n-I

2:'" 11=0

limese:

. hm

""

§ 5. Stepeni redovi

ili po formuli

214. lim

219.

dx.

~ (~)an n=1 X + 1

+ 2 x + 3 X2 + 4 x 3 + ..

x ...... 1-0n~1

218.

naći

xn=--(IxlO).

n

2° stepenima od (x-b)

co

2: . n~l (n + 2) (n + 3)

(a~O)

246. Razložiti funkciju JCx)=_la-x

2:-.

2:-.

xn

n

(-l OR" =Jr --. aZvltl o

f IInkCIJU .. - .1.- -

~+~

~+~

li

stepeni

reel po x za O

1/2 3•

oo

I n~O

298.

o

,,/4

286.

302.

1

do lO-s.

x"-I.

'ln(l-X) d

o

tačnošću

5

podintegralnu funkciju u stepeni red

_

l

301.

4

f

n~12n(211-1)

znajući da je

broj n sa pet tačnih

10 cos lOo; 2° sin 10; 3° sin~; 4° arc sin 1; 5° arc tg"'!"'; 6° jie.

284.

'" ( - 1)n+l X2 n

2:

296.

1l=1

l

411 +1

tada za ostatak reda Rn

od 0,0001:

Razvijajući

2

300.

izračunati

X

'" I 4n+ l

n~O

Razlaganjem podintegralne funkcije u stepeni red po x izračunati sledeće integrale:

>

stepene

.

n~ll1+

zameni zbirom prvih n članova?

decimalnih mesta. 233.

2: n

J'.. 299. NaCI zbIr reda

Dokazati.

l-k

294.

rl=-l

11=1

zameni zbirom prvih 100

nIa;:l I< k < l

21H. Ako je za dovoljno veliki broj

282. Koristeći razvoj arc tg x =

=on!

I-· n

293.

oo

članova?

280. Proceniti grešku ako se zbir reda

n!

xll

oo

.

'" e-1)11 22 11-1 x 211- 1

297.

n

n~l

+ 1)

2:'(2n-l) n~l

278. (l +x)x.

"'.

211(n

Integracijom član po član naći zbirove sledećih redova:

funkcija:

oo

važi procena

oo

I n~O

n2

I-· n~ln!

član

x=

J oo

ln x

x2+a2

d

x+

ln x

x2+a 2

dx

naći

ICa)

o

U dobijenim redovima.

www.etf.ba

24

1. REDOVI nj2

305.

Znajući

,•.•.. " ....

(2n-1)!!

da je.r sin zn rp d rp

(2 n) !!

1° Ispitati uslovnu, apsolutnu i uniformnu konvergenciju reda.

:n;

dokazati da se dužina luka

2

2° Za a = l i x = 1 sumirati dati red.

O

-;- an) L ('Jn ~ oo

.

X2

25

§ 5 STEPENr':'REDOVI

yZ

e!Jpse 25 +9= l .može izraziti

obliku konvergentnog brojnog reda

li

311. Dat je potencijalni red

nan

xn gde su a i cz realni parametri.

n!

Il=l

l ° Odrediti poluprečnik konvergencije datog reda

s=lO:n;

(1-:2 r(2n-~r(4!5)2"}.

l

"~1

.

(2 n) !!

306. Dat je integral I(a)=

2n-1

.J

da

= L

a=-~

sumirati dati red.

oo

221c

k-l

(2k)!

L -- x

J(L'" .)

2 /;.

oo

[. {-Il d I sin2 ax ] } dx=l da. x (e 2X - l ) 2

o

l 2° Koristeći jednakost cthx=-+ X

o

\k~l

e-lcxsmax dx.

307. Dat je integral 1=

e-ax_e-'Px

r

,

o

x

3"+11 L __ xn oo

n=lU!

2x L ---+ n :n;2 oo

n~l X2

312. Dat je red

J°

naći

I (a) u obliku

2

elementarne funkcije.

1° Odrediti po1uprečnik konvergencije datog reda u zavisnosti od parametra a. 2° Za a = - l ispitati konvergenciju datog reda na granicama intervala konvergencije. 3° Za a = O naći zbir datog reda.

'" 2:

313. Dat je red J(x) =

n=l

1°

Naći

su uzastopne cifre decimalnog broja

TI=l

4 koji se dobija pretvaranjem razlomka - u decimalni broj. Odrediti polu7 prečnik konvergencije i zbir toga reda. 309. Dat je red J!. Cx) = "" ni. x n - 1

L

(,1. ER).

11=1

l ° Odrediti interval konvergencije i ispitati konvergenciju na krajevima intervala. 2° Pokazati da je J!.+1 (x) =

2:'(312+2)a

~ [x/;. (x)]. dx

oo

n=I11(n+1)(12+2)

(_l)n+l 4n 2 -1

x+ 1

3° Naći zbir reda

konačnom oo

obliku. (-1)u

L '

n=l (4 n2-1) 9n

'"

314. Dat je red Lxnsh(n+l)a

.

(a>O).

n=O

10

Naći poiuprečnik konvergencije intervala konvergencije.

ispitati konvergenciju na krajevima

sh a 2° Pokazati da je zbir reda jednak - - - - - - 1-2x cha+x2 315. l °

Naći

oblast konvergencije redova oo

J(I',6)=

L r'"cosk6, k~

xn

(X-l )2n+1 -.

oblast definisanosti funkcije J(x).

2° Napisati J(x) u

2:'" an xn

308. Koeficijenti an stepenog reda

(uER).

nail

cosaxdx(a>O,{J>O) Za-min(a,{J>

0, n~1,2 ...) n=l

je konvergentan ako postoji

konačan

i

različit

limP",

xn

:lt n 376. IT Ch-/ cOS-. 11=3 71 n

od nuje

(a> O).

TI (2n+l)(271+7)

TI (1 +~). n TI ~n2+2. n2+ l

(2 n + 3) (2 n + 5)

proizvoda:

372.

oo

4 n2

}]4 n2-1

rl

oo ( 1 375. IT 1+n~1 n,

oo l 377. I T - - · l . 1 n~ na SIn-

I

=a-1n2

vrednost proizvoda:

sledećih beskonačnih

n~1

n,-; 11 11.

I

oo

378. IT (l-an). h=l

n"

oo

(1)

(_1)n

n=l

1+ 3n

o::)

1° Konvergencija proizvoda.

371.

n=ll1

373~ Beskonačni

fi n=!

II~O

3° Razviti u Fourierov red funkcije eCOS ", cos (sin x)

§ 7.

367.

369.

359. 1° Razviti u potencijalni red po x funkcije: f(x) =

= x shx 365. ITch-=n=! 2n x

Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju proizvoda: oo

(

379. IT 1+ n~l

(

_l)n+l )

n

.

www.etf.ba

32

1. REDOVI

382. ~

~

k~1

k~1

fr (1 + (-1)"). Inn

33

390. Dokazati jednakost

n~2

2: ak = TI (l-ak)

383. Dokazati da je

§ 7. BESKONACNI PROIZVODI

(O0 koje zavisi samo od e, tako da za bilo koje dve tačke x', x" E D važi nejednakost I/(x')-/(x")

1-R,D~Rn)

n nezavisno promenljIvIh ;,(1=1,.2, "', I!)' Skup l~aIb i b">M. Ovaj kriterijum je poznat kao Cauchyev kriterijum. 3° Da bi integral (1) bio uniformno konvergentan potrebno je i dovoljno da postoji major'lntna funkcija F(x) nezavisna od parametra m takva da je

konvergira integral

ako je funkcija rp (x, y)

JI (x) rp (x,

f o

o

o

x cos x f

dx.

xP+~

673. f

O

ax2

xm dx.

xP

f~dX.

677.

I

V l-x2

xm sin xn dx.

O

x" if sin2

x

1( 1)2

e-;;; x---;; dx

685.

(Oy2 dx.

o

732.

740.

o

711.2.

J

(a>O).

733.

J

743.

e-ax'_e-b:l.2

x2

o

734.

dx,

J e-ax' c;s bx dx,

J

sin4 ax-sin4 f3 x

Xl

J

(a>O, b>O); (vidi zado 680).

(a>O).

735.

O

,Jx e-ax' sin bx dx,

dx,

~ ~kz sin a x sin f3 x ~

X2

Izračunati

la

J

737.

Jo x

2n

e- x' cos 2 bx dx,

Polazeći

741.

dx.

JS~X2

dx,

integrale:

sin ax dx;

20

x+b

J

cos ax dx.

J

cos rnx dx, 1 +x2

o

e-az sin

J

f3x

dx,

x

o

(a:> O).

x+b

gde je m realan parametar.

20

Vodeći računa

naći

takav pozitivan broj M

o jednakosti

r oo

~=

Dirichletov integral

D (P) =

dx.

(k>O, a>O, f3>O).

10 Ispitati. konvergenciju ovog integrala i da je II(m) IO).

····i

izračunati

J oo

(nEN).

od integrala

integrale:

739.

(a>O).

l (m) =

736.

ima smisla za

o

x

o

o

~

dx

oo

J o

Poissonov integral izračunati sledeće integrale:

f3x

izračunati sledeće

e-ax'-cos

o

od fo=ule

~ _(X2+~) e dx,

J f~) A

Poissonov integral

/2 =

(a>O, b>O).

x ~

o

Koristeći

x

b0;60.

1= polazeći

f(ax)-f(bx) dx=f(O) ln.!!.-

o

~

730.

69

t3. ZAMENA PROMENLJIVIH U NEPRAVlM INTEGRALIMA •••

2, o

f

sin

x

f3x dx.

sin x dx,

x

pokazati da je za m>O

J" (m) =1 Crn)

www.etf.ba

70

m.

3° Naći opšti integral diferencijalne jednačine pod 2° i vrednosti I (O) i l' (O) uz dokaz da druga od njih postoji. Na osnovu toga naći vrednost funkcije I (m). 4°

Naći granične

cos

lim [dm

J

o tačke

o

izračunati

Jrt' cos mt dt,

Koristeći

Isti integral izračunati dobijene rezultate.

vrednost integrala

<

o

748.

r

~

ax2 +2bx+c

r

(1

vrednost

razvijajući

cos ax u Mac Laurinov red

uporediti

752. Dokazati identitete

(mER).

cos ax

izračunati

o

1°

747.

dx.

f e-X' ~os ax dx.

I(a) =

J

x x= -sin -d x+m

o

cos ax

'"

pravilo diferenciranja pod znakom integrala

1+x2

integrale:

(' sin2 x d . -- x j l +x2 •

J c~x

~

=

integrala

oo

746.

dx

O

3° i bez njega.

745. Diferenciranjem po parametru

Izračunati sledeće

751.

_c_o_s_m_x_. dx,

m-')oCQ,

rezultat iz

X2

O

m

koristeći

J

vrednosti

lim I (m)

71

3. ZAMENA PROMENLJIVIH U NEPF.AVIM INTEGRALIMA ••

FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

Izračunati

dx.

J '"

o

e-mt -dt, m;;, O; 1 + (2

2°

J '"

cos x - - dx=

J

o

x+m

o

te-at

- - dt 1 +/2 '

integrale:

+X2)2

753.

f sin (ax2+2 bx+c) dx,

754.

f sin

(a~O).

dx, X2

cos 2 ax dx.

755.

Jcos

X2

cos 2 ax dx.

749. Dat je integral

I(m)

=J

'756.

Izračunati a

arc tg mx dx, 2 2 -1

x Vx

lim

a->+O

gde je Jn realan parametar. l e Ispitati konvergenciju integrala I (m). 2° Koristeći diferenciranje integrala po parametru uz obrazloženje postupka. 3° Nac:tati grafile funkcije l (m) ,

(a-Je°

oo x2

dx)

J-~ (X2 + a 2)2 . o

757. Dokazati formule: izračunati

integral I (m)' l°

cos ax :n; - .- - dx= - sin ax; a2 -x2 2a

r J •

°

oo

750.

K0risteći

formulu

1 -

2 =-

2° oo

f e-xy' dx,

vx vn'o

izračunati

gde je 758.

J vx

sin ax' , dx

a2 -x2 a~O,

Izračunati

=

-

-

:n;

2

2

sin x --dx,

o

cos ax,

2

a integrali se uzimaju u smislu glavne Cauchyeve vrednosti.

vrednost integrala oo

oo

1 smx dx=-

o

o

(y>O)

Frenetove integrale

J.

X

I (a)

=

J

smx

- x - e-ax dx,

o

www.etf.ba

72

III. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

izračunati

a na osnovu toga

J Si:X J

1°

integrale:

762.

X

J .x

40

dx;

5°

2

o

759. Funkcije F (x) i G (x) definisane su

o određenim

F(x) =

(J ) c

2

dt

i G(x)=-

sin4 X dx. x3

o

J

e- x2 (t 2 +1) t2+1 dt.

oo

J

izračunati

={o,2 n!]in, ako:1 ~ ako Je m=n. n

cp(x)=--2 :reO, -

~ O, a>O).

817. Dat je integral

I

n x 2 e- x'dx= 8 V2'

o

o

815.

816.

Dokazati jednakosti: 805.

T;:)

o

r"'=a n cos n fP. (a>O, nEN).

e-ax

J

oo

l

l

804.

o

a+l

801.

I ln r (x) sin n x dx.

ql

formule:~

l ° J tX-I e-lt cos a cos (A t sin a) dt = r (x) cos a x; AZ

(OO).

834. I(x) = e -T.

kosinus-Fourierove transformacije za

sledeće

12 -fJ-P

836. I(x) = e-fl z (P> O, x:> O).

837. I(x)=n

xZ

838. I(x) =e-T . Naći

funkcije:

839. I(x) =

sinus-Fourierove transformacije za

840. I(x)=e- flz (P>O, x>O).

(P>O, x:> O).

vx . 1

sledeće

841. I(x) =

2+X2

funkcije:

{!; -p-x

-

n

2+X2

Glava IV (P>O, x>O).

VIŠESTRUKI I KRIVOLINIJSKI IN1EGRALI

X2

842. I(x) =xe- T . 843. Pokazati da je za funkciju

~ njena sinus-Fourierova transformacija sama

ta funkcija.

Rešiti

sledeće

J

integralne

1° Pod dvojnim integralom neprekidne funkcije z (x, y) nad nekom zatvorenom pravilnom oblašću D, podrazumeva se broj

jednačine:

JJ z(x,y)dx,dy-

'"

844.

tp (y)

o

845.

cos xy dy =_1_. 1+ x 2

Jtp (y) sin xy dy

=

e-Z

o

J oo

846.

tp (y)

.

sm xy dy

a i y=rsinq>

852. Proveriti sledeće relacije:

JJz(x, y) dx dy= f f z(r cos 'P, r sin rp) r dr drp. D

1° 8 (5-\l2)n<

D

3° Ako su m i M donja i gornja

Naći graničnu vrednost tih zbirova kada n-+- oo

međa

funkcije z (x, y) u oblasti D, onda je

ffc x +y+100)dxdy