Utatlán Matemática 2º Sem

le cambiará la vida Siga los pasos...

Lea el contenido de la semana Escuche la clase radial con los cinco sentidos Después de la clase radial… estudio y autocontrol Consulte sus dudas Participe en un círculo de estudio

Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica y Grupo Radial ¡uy, uy, uy! Tel: 2412 6666 www.iger.edu.gt [email protected]

Matemática - 2º Básico - Grupo Utatlán - Segundo semestre - IGER

Estudiar

Matemática 8

8

2º Básico - Grupo Utatlán Segundo semestre - IGER

Matemática

8

2 básico - Grupo Utatlán Segundo semestre - IGER o

Matemática 8

Segundo semestre

© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110804202 ISBN 9789929804692

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice................................................................................................................................................ I

Semana 18 Expresiones algebraicas............................................................................... 1 ¡Para comenzar! ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? ....................................... 2 El mundo de la matemática 1. Clasificación de expresiones algebraicas ..................................................................... 3

1.1 Monomio ........................................................................................................................... 3



1.2 Polinomio .......................................................................................................................... 4



1.3 Polinomios ordenados ................................................................................................. 5





a. Por orden alfabético ................................................................................................ 5





b. Orden descendente ................................................................................................. 5





c. Orden ascendente .................................................................................................... 5

2. Valor numérico de una expresión algebraica.............................................................. 6

2.1 Expresión algebraica con una sola variable ......................................................... 6



2.2 Expresión algebraica con dos variables ................................................................ 6



2.3 Expresión algebraica con tres variables ................................................................ 7

Resumen ......................................................................................................................................... 8 Autocontrol .................................................................................................................................. 9 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 12 Razonamiento lógico................................................................................................................ 13 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 14

Semana 19

Suma y resta de polinomios

................................................................. 15

¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? ................................. 16 El mundo de la matemática 1. Suma y resta de polinomios ............................................................................................. 17

1.1 Suma y resta de monomios ...................................................................................... 17



1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio ............................................ 19



1.3 Suma y resta de polinomios ..................................................................................... 21

Resumen ......................................................................................................................................... 23 Autocontrol................................................................................................................................... 24 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 26 Razonamiento lógico................................................................................................................ 27 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 28 Matemática − Índice

I

Semana 20

Multiplicación de polinomios I

........................................................... 29

¡Para comenzar! Ley de signos para el producto ............................................................ Producto de potencias de igual base .................................................

30 30

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 31

1.1 Producto de dos o más monomios ....................................................................... 31



1.2 Producto de un monomio por un polinomio .................................................... 34

Resumen ......................................................................................................................................... 36 Autocontrol................................................................................................................................... 37 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 40 Razonamiento lógico................................................................................................................ 41 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 42

Semana 21

Multiplicación de polinomios II

......................................................... 43

¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta...............................................................................................................................

44

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 45

1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio .............................................. 45



1.2 Multiplicación de polinomios ................................................................................... 48

Resumen ......................................................................................................................................... 51 Autocontrol................................................................................................................................... 52 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 54 Razonamiento lógico................................................................................................................ 55 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 56

Semana 22

Productos notables I

........................................................................................ 57

¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange ............................................................................

58

El mundo de la matemática 1. Productos notables ............................................................................................................... 59

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 .................................................. 59



1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 .................................................... 61

Resumen ......................................................................................................................................... 62 Autocontrol................................................................................................................................... 63 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 65 Razonamiento lógico................................................................................................................ 66

II

IGER − Utatlán

Semana 23

Productos notables II ...................................................................................... 67 ¡Para comenzar! Emmy Noether ..........................................................................................

68

El mundo de la matemática 1. Productos Notables............................................................................................................... 69

1.1 Producto de la suma por la diferencia .................................................................. 69



1.2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales ....... 71

a. (a + b)(a + c) ............................................................................................................. 71



b. (a - b)(a - c) ............................................................................................................. 72

Resumen ......................................................................................................................................... 73 Autocontrol................................................................................................................................... 74 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 77 Razonamiento lógico................................................................................................................ 78

Semana 24

División de polinomios

.................................................................................. 79

¡Para comenzar! Ley de signos de la división ................................................................... División de potencias de igual base....................................................

80 80

El mundo de la matemática 1. División de polinomios ....................................................................................................... 81

1.1 División de un monomio entre otro monomio ................................................. 81



1.2 División de polinomio entre monomio ................................................................ 83



1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini ............... 84

Resumen ......................................................................................................................................... 87 Autocontrol................................................................................................................................... 88 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 90 Razonamiento lógico................................................................................................................ 91 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 92

Semana 25

Repaso semanas 18-24

............................................................................. 93

El mundo de la matemática Expresiones algebraicas ............................................................................................................ 95 Suma y resta de polinomios..................................................................................................... 97 Multiplicación de polinomios I ............................................................................................... 100 Multiplicación de polinomios II .............................................................................................. 102 Productos notables I ................................................................................................................... 105 Productos notables II ................................................................................................................. 106 Matemática − Índice

III

División de polinomios............................................................................................................... 108 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 111 Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................ 112

Semana 26

Pares ordenados y producto cartesiano

............................ 113

¡Para comenzar! Elija su menú .............................................................................................

114

El mundo de la matemática 1. Pares ordenados .................................................................................................................... 115 2. Producto cartesiano ............................................................................................................. 116

2.1 Formas de representar el producto cartesiano.................................................. 116





a. Forma enumerativa ................................................................................................. 116





b. Tabla de doble entrada .......................................................................................... 118 El plano cartesiano................................................................................................... 119





c. Representación del conjunto producto cartesiano en el plano cartesiano .................................................................................................................... 120

Resumen ......................................................................................................................................... 121 Autocontrol................................................................................................................................... 122 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 125 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 126

Semana 27

Relaciones y funciones

............................................................................... 127

¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! ......................................................................

128

El mundo de la matemática 1. Relaciones ................................................................................................................................ 129

1.1 Representación gráfica de una relación ............................................................... 129

2. Funciones ................................................................................................................................. 131

2.1 Representación gráfica de una función ................................................................ 132

Resumen ......................................................................................................................................... 134 Autocontrol................................................................................................................................... 135 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 138 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 139 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................. 140

IV

IGER − Utatlán

Semana 28

Funciones lineales

............................................................................................... 141

¡Para comenzar! Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................

142

El mundo de la matemática 1. Función lineal .......................................................................................................................... 143



1.1 Función de proporcionalidad f (x) = ax ................................................................ 144



1.2 Función afín f (x) = ax + b.......................................................................................... 146

Practique en la red... ................................................................................................................ 150 Resumen ......................................................................................................................................... 150 Autocontrol................................................................................................................................... 151 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 153 Razonamiento lógico................................................................................................................ 154

Semana 29 Estadística I

.................................................................................................................... 155

¡Para comenzar! Historia de la Estadística.........................................................................

156

El mundo de la matemática 1. Estadística ................................................................................................................................. 157

1.1 Estadística descriptiva ................................................................................................. 157



1.2 Estadística inferencial .................................................................................................. 157

2. Términos estadísticos ........................................................................................................... 158 3. Organización de datos ........................................................................................................ 160

3.1 Organización de datos nominales .......................................................................... 160



3.2 Organización de datos ordinales ............................................................................ 161





3.2.1. Conteo y organización de datos ordinales ............................................ 161

Resumen ......................................................................................................................................... 163 Autocontrol .................................................................................................................................. 164 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 167 Razonamiento lógico................................................................................................................ 168

Semana 30 Estadística II

.................................................................................................................. 169

¡Para comenzar! Estadística en la computadora ............................................................

170

El mundo de la matemática 1. Gráficas estadísticas.............................................................................................................. 171

1.1 Tipos de gráficas estadísticas.................................................................................... 172





a. Diagrama de barras.................................................................................................. 172





b. Polígono de frecuencias......................................................................................... 174





c. Diagrama de sectores.............................................................................................. 176 Matemática − Índice

V

Resumen ......................................................................................................................................... 178 Autocontrol................................................................................................................................... 179 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 182 Razonamiento lógico................................................................................................................ 183 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 184

Semana 31

Medidas de tendencia central............................................................. 185 ¡Para comenzar! Y usted, ¿qué opina?.................................................................................

186

El mundo de la matemática 1. Medidas de tendencia central........................................................................................... 187

1.1 La media aritmética (X)................................................................................................ 187



1.2 La mediana (Me)............................................................................................................. 190







1.3 La moda (Mo).................................................................................................................. 194

a. La mediana para una cantidad par de datos ................................................ 192

Resumen ......................................................................................................................................... 195 Autocontrol................................................................................................................................... 196 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 198 Razonamiento lógico................................................................................................................ 199

Semana 32

Sistema de numeración maya

........................................................... 201

¡Para comenzar! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración....

202

El mundo de la matemática 1. La numeración maya............................................................................................................. 203



1.1 Símbolos de la numeración maya........................................................................... 203





a. Números del 1 al 19 ................................................................................................ 203





b. Números mayores de 19........................................................................................ 205



1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya .................................... 205 1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal ...................................... 208

Resumen ......................................................................................................................................... 209 Autocontrol .................................................................................................................................. 210 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 213 Razonamiento lógico................................................................................................................ 214

VI

IGER − Utatlán

Semana 33

Suma y resta con números mayas

............................................ 215

¡Para comenzar! Calendario maya ......................................................................................

216

El mundo de la matemática 1. Suma con números mayas ................................................................................................ 217 2. Resta con números mayas.................................................................................................. 220 Resumen ......................................................................................................................................... 221 Autocontrol................................................................................................................................... 222 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 225 Razonamiento lógico................................................................................................................ 226

Semana 34

Repaso: semanas 26 a 33

..................................................................... 227

El mundo de la matemática Pares ordenados y producto cartesiano.............................................................................. 229 Relaciones y funciones................................................................................................................ 231 Funciones lineales ....................................................................................................................... 234 Estadística I ..................................................................................................................................... 236 Estadística II ................................................................................................................................... 239 Medidas de tendencia central ................................................................................................ 242 Sistema de numeración maya ................................................................................................. 244 Suma y resta con números mayas.......................................................................................... 247 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 249 Orientación sobre la prueba final...................................................................................... 250

Claves............................................................................................................................................. 251 Bibliografía............................................................................................................................... 277

Matemática − Índice

VII

18 Expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana? ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? Clasificación, grado, orden y valor numérico de expresiones algebraicas Valuar expresiones algebraicas Problemas de polinomios

Esta semana logrará:  Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.  Identificar el grado absoluto y relativo de un polinomio.  Escribir expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente.  Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.  Practicar el cálculo mental. 

Matemática − Semana 18

1

¡Para comenzar! La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad de Pisa, en Italia. Comenzó a inclinarse tan pronto inició su construcción. ¿Sabe qué altura tiene? La pregunta se puede responder a través de una expresión algebraica que los científicos han determinado para calcular la altura de cualquier torre. Solo hay que tomar el tiempo que tarda en caer un objeto desde la parte más alta hasta el suelo.

www.pisa-tourism.com

¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa?

Si el objeto se deja caer libremente, la fórmula o expresión algebraica que nos permite calcular la altura es:

h=

gt2 2

h es la altura del edificio. g es el valor constante de la gravedad, 9.8 m/s2 (aceleración con que los objetos caen sobre la tierra). t es el tiempo que tarda en caer el objeto. Ahora ya podemos calcular la altura. Si un objeto tarda 3.37 segundos en caer desde el punto más alto de la torre de Pisa hasta el suelo, sustituimos los valores en la fórmula, operamos y obtenemos la respuesta. Así:

h=

gt2 2

h=

9.8 (3.37) 2 9.8 (11.36) = = 111.33 = 55.66 2 2 2

Respuesta: La torre inclinada de Pisa mide 55.66 metros de altura.

¡A trabajar! Conteste las preguntas. 1) ¿Cuál es el valor constante de la gravedad (g)? 2) ¿Cuál es el valor del tiempo (t) que tarda en caer el objeto? 3) ¿Qué variables se sustituyeron en la expresión matemática? 4) ¿Cuál es el valor de h después de operar?

2

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Clasificación de expresiones algebraicas Así como los polígonos se clasifican por el número de sus lados en triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. las expresiones algebraicas se catalogan por el número de términos que las forman. Veamos.

1.1 Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término algebraico, en la cual, las potencias de las variables son números enteros positivos. Por ejemplo.

-4a3b2 Un monomio indica siempre el producto de dos o más factores, o lo que es lo mismo, todos los valores numéricos y literales se multiplican entre sí.

Un monomio se compone de las mismas partes que un término algebraico: • signo • coeficiente • variable • exponente

En el ejemplo, los factores son: -4, a3, b2. El coeficiente (-4) es el factor numérico y las variables (a3, b2) son los factores literales. Veamos algunos ejemplos de monomios.

2a, -5b, -2xy3, -x2y4z, 2 b2c3 5

7,

Ahora veremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios.

2a + b, 2a + b + 1,

2

5w1/2 4y3 x

No son monomios porque el primero tiene dos términos algebraicos, el segundo tiene tres, el tercero tiene variable con exponente fraccionario y el último indica una división de dos monomios.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea si la expresión algebraica es monomio o no y explique por qué. Hay un ejemplo. 0) 2x + 1

no es monomio

1) 5x3y



3 2) 2a

c



3) -6d 2c



porque está formada por dos términos algebraicos

Matemática − Semana 18

3

1.2 Polinomio Llamamos polinomio a la suma o la resta algebraica de dos o más monomios. Si un polinomio está formado por dos monomios recibe el nombre de binomio. Por ejemplo. 2c + d Si un polinomio está formado por tres monomios recibe el nombre de trinomio. Por ejemplo. 3y2 + 4z - x Si una expresión algebraica tiene cuatro o más monomios recibe el nombre de polinomio. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1

1.2.1 Grado de un polinomio Cuando hablamos del grado de un polinomio, nos referimos al valor máximo de los exponentes de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de todos los exponentes de las variables que forman un monomio. Por ejemplo.

4b2c3

El grado absoluto es 5 porque la suma de los exponentes es 2 + 3 = 5. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable determinada. Un polinomio tendrá tantos grados relativos como variables tenga. Por ejemplo. 2x4y + 3x2y2 El grado relativo respecto a la variable x es 4 porque es su mayor exponente. El grado relativo respecto de y es 2 porque es su mayor exponente.

Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba el grado relativo respecto a la variable indicada. Hay un ejemplo. polinomio

2x3y + 2x2y + y2 x3y + xy2 3x5y + 4x4y3 + x2 6x4y2 + 4x3y5

4

IGER − Utatlán

clasificación trinomio

grado de x 3

grado de y 2

1.3 Polinomios ordenados Un polinomio se puede escribir o expresar en orden alfabético o en orden ascendente y descendente según los exponentes.

a. Orden alfabético Ordenar alfabéticamente un polinomio es escribir las variables de los términos en la misma disposición de las letras en el alfabeto, como el polinomio del ejemplo. a + b + c

b. Orden descendente Ordenar un polinomio en forma descendente significa escribir de mayor a menor valor los exponentes de la variable. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1

Recuerde: Todo número elevado al exponente cero da como resultado uno. Ejemplo: x0 = 1

Atención: cuando un polinomio tiene dos o más variables, se escribe en orden descendente respecto de la primera letra y en orden ascendente respecto de la segunda. Por ejemplo. a4b + a3b2 + a2b3

c. Orden ascendente Ordenar un polinomio en forma ascendente significa escribir de menor a mayor valor, los exponentes de la variable. Por ejemplo. 1 + x + x2 + x3

Ejercicio 3 Observe con atención cada polinomio, luego escríbalos en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo.

e+a+b

a+b+e

a + a3 + a2 a2 + a3b c3 + c5 + c2 x2y3 + x + x4y2 -3r5 + s + r3s a3b2 + a5b + a Matemática − Semana 18

5

2. Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de dicha expresión por valores numéricos asignados a cada letra y desarrollar las operaciones indicadas. Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, seguimos los pasos siguientes: • Sustituir cada variable por el valor asignado. • Operar respetando los signos de agrupación y la jerarquía de las operaciones, en el orden siguiente: 1. { [ ( ) ] } signos de agrupación 2. xn, x potencias y raíces 3.

•, ÷

multiplicación y división

4.

+, –

sumas y restas

• Obtener el valor numérico.

2.1 Expresión algebraica con una sola variable Recuerde En la semana 15 del grupo Quiriguá aprendimos a resolver operaciones combinadas y con signos de agrupación.

Si x = 2, calculemos el valor numérico de:

4x 3 + x 2 + 5

• Sustituimos la variable por su valor.

= 4 (2) 3 + (2) 2 + 5

• Operamos según la jerarquía de las operaciones.

= 4 (8) + 4 + 5 = 32 + 9

• Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si x = 2

= 41

4x3 + x2 + 5 = 41

2.2 Expresión algebraica con dos variables Si a = 1 y b = 2, calculemos el valor numérico de: 2a + 3b • Sustituimos cada variable por su valor.

= 2 (1) + 3 (2)

• Operamos según la jerarquía de las operaciones. • Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si a = 1 y b = 2

6

IGER − Utatlán

= 2+6 =8

2a + 3b = 8

2.3 Expresión algebraica con tres variables Si a = 3, b = -2, c = 2, calculemos el valor numérico de 3ab2 - c3 + ac • Sustituimos cada variable por su valor.

= 3(3)(-2)2 - ( 2) 3 + (3) (2)

• Operamos según la jerarquía de las operaciones.

= 3 (3) (4) - 8 + 6 = 36 - 2

• Obtenemos el valor numérico.

= 34 Escribimos la respuesta: Si a = 3, b = -2, c = 2

3ab2 - c3 + ac = 34

Ejercicio 4 Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas según los valores asignados. 1) Si x = 4, calcule el valor numérico de:

3x2 - 2x + 1

•

Sustituya la variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

= 3 (..........) 2 - 2 (..........) + 1 = 3 (.............) - .......... + .......... = ............. - .............

•

Obtenga el valor numérico.

Escriba la respuesta: Si x = 4

= ............. 3x2 - 2x + 1 =

2) Si a = 1 y b = 2, calcule el valor numérico de: •

Sustituya cada variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

•

Obtenga el valor numérico.

Escriba la respuesta: Si a = 1 y b = 2

3a + 2b = 3 (..........) + 2 (..........) = .......... + .......... = ..........

3a + 2b =

Matemática − Semana 18

7

3) Si c = 2 y d = 3, calcule el valor numérico de: •

Sustituya cada variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

•

Obtenga el valor numérico.

2c3 + c2d - d = 2 (.........) 3 + (.........) 2 (.........) - ......... = 2 (.........) + (.........) (.........) - ......... = ............ + ............ - ......... = ............

Escriba la respuesta: Si

= 2 y d = 3 2c3 + c2d - d =

Resumen 1. Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos. -3c3d4

1.1 Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. 1.2 Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios.

Binomio es un polinomio formado por dos monomios.

2a + b2



Trinomio es un polinomio formado por tres monomios.

3a3 + b2 + 1



Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más terminos recibe el nombre de polinomio.

a+b+c+1

1.2.1 El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable. 1.3 Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente). 2. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas.

8

IGER − Utatlán

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

A. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es un ejemplo de monomio?

2x + w x2y3 1 + x2

2) ¿Cuántos términos algebraicos tiene un binomio?

uno dos tres

3) Si escribimos el trinomio 2x2 + 3x5 + x3 en orden descendente, ¿cuál sería el primer término?

3x5 2x2 x3

4) ¿Cuál es el grado relativo respecto de x del polinomio 3yx + x2 + 5y2x3?

1 2 3

5) Si escribimos el trinomio e + d + c en orden alfabético, ¿cuál sería el primer término?

c d e

B. Clasifique cada polinomio en binomio, trinomio o polinomio si tiene más de tres términos. Luego escriba el grado relativo respecto de cada variable. Hay un ejemplo. polinomio

-5x5 + 4x2y2 + 3y

clasificación

grado de x

grado de y

trinomio

5

2

2x2 - 5x x3 + 2x2 + 5xy y5 + y3 +

2

+2

x6y4 + x4y x5 + 2x3y3 + 4xy y6 - 5y4 + 2y2 + 1 x4y + 6x3y2 - 7x2y3 Matemática − Semana 18

9

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Escriba cada polinomio en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo.

y2 + y + 3

y2 + 3 + y x + 1 + x3 + x2 c+d+a+b x2y + xy2 + x3 ac3 + a2c2 + a3 b2c - b3c + b4 yz2 + y2z - y3z 2r3 + r + r2 xy2 - x2y3 + x4y

B. Siga los pasos para determinar el valor numérico de cada expresión algebraica, según los valores asignados. 1) Si a = 4 y b = 5, calcule el valor numérico de: •

Sustituya cada variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

•

Obtenga el valor numérico.

Escriba la respuesta: Si a = 4 y b = 5

2a - b = 2 (..........) - .......... = .......... - .......... = ...........

2a - b =

2) Si a = -1 y b = 2, calcule el valor numérico de: •

Sustituya cada variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

•

Obtenga el valor numérico.

3ab3 + b2 = 3 (..........) (..........) 3 + (..........) 2 = 3 (..........)(..........) + ............. = ............. + .......... = .............

Escriba la respuesta: Si a = -1 y b = 2

10

IGER − Utatlán

3ab3 + b2 =

C. Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados a cada letra. Hay un ejemplo. Si a = 2, b = 1, c = 3, d = 4 0) -2a2b + d 1) 3a + b - c



=- 2 (2) 2 (1) + (4) =- 2 (4) (1) + 4 =- 8 + 4 =- 4



-2a2b + d = - 4

3) c3 + 2c2 - 3c + 4

4) 4bc - d2

2) 4a2 + 2a - 3

5) 2b + 3c - 2d

6) 2ab2 + c2 7) 3ab3 + c2 - 4d

8) 3a2b3 - c2

9) bc + 2c3 - 3d

11)

10) a3b + 2bc2 - d2

4bc + d 2a

Matemática − Semana 18

11

Agilidad de cálculo mental Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados. Escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. Si d = -2 Si e = -5 A. Si b = 2 0) b + 2 =

4

9

6) d + 11 =

12) e + 18 = 13

1) b + 1 =

7) d + 14 =



13) e + 25 =

2) b + 5 =

8) d + 16 =



14) e + 24 =

3) b + 6 =

9) d + 12 =



15) e + 28 =

4) b + 9 =

10) d + 19 =



16) e + 33 =

5) b + 7 =

11) d + 23 =



17) e + 37 =

B. Si b = 4 Si c = 2

Si d = 3

0) 3b =

12 7) 2c =

14) 5d =

1) 2b =

8) 6c =

15) 3d =

2) 4b =

9) 9c =

16) 7d =

3) 5b =

10) 8c =

17) 2d =

4) 7b =

11) 5c =

18) 9d =

5) 9b =

12) 3c =

19) 4d =

6) 6b =

13) 7c =

20) 8d =

C. Si a = 2 Si b = 10 0) a3 =

12



8

Si c = 3

5) b1 =

10) c2 =

1) a2 =

6) b3 =

11) c1 =

2) a4 =

7) b0 =

12) c3 =

3) a1 =

8) b2 =

13) c0 =

4) a0 =

9) b4 =

14) c2 + 2 =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico Lea cuidadosamente cada problema y luego realice las actividades. Fíjese en el ejemplo. A. El triángulo de la figura siguiente está dividido a su vez en otros dos triángulos más pequeños (1 y 2). La medida de cada lado está representada por una variable.

a

b

h 1

2

c

d

1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del triángulo mayor (suma de sus lados).

a + b + (c + d)

2) Escriba un binomio que represente el lado más largo del triángulo mayor. 3) Escriba un trinomio que represente el perímetro del triángulo 1. 4) Si b = 2.24, d = 2 y h = 1, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo 2? B. Observe con atención la figura siguiente, luego realice las actividades en su cuaderno. x y y+z

2x

1 2

z

3x 1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 1. Pista: aplique la fórmula de perímetro de un rectángulo. 2) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 2. 3) Escriba un polinomio que represente el perímetro de la figura completa. 4) Si x = 6, ¿cuántas unidades mide el lado horizontal más largo de la figura? 5) Si y = 1 y z = 2, ¿cuántas unidades mide el lado vertical más largo de la figura? 6) Si los valores de las letras son x = 5, y = 2, z = 3, ¿cuántas unidades mide el perímetro de la figura total? Matemática − Semana 18

13

Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos en forma de polinomios!

a

Sabemos que una letra en álgebra representa cualquier número. Por lo tanto, la longitud de los lados y el área de unos azulejos se pueden representar por medio de variables. Por ejemplo. azulejo cuadrado

b

azulejo rectangular

Área = a2 a

Área = a : b b a

a

Utilizando la expresión de área en cada caso, representamos modelos de polinomios con diferentes azulejos. Por ejemplo. modelo

a2

a2

a:b a:b

expresión polinomial del área

a:b a:b

2a2 + 4a : b

Ahora le toca a usted escribir una expresión polinomial que represente el área de los azulejos. modelo

a2

expresión polinomial del área

a : b a : b b2 b2 b2 a : b a : b b2 b2 b2

Revise su aprendizaje

Después de estudiar...

Marque con un cheque

14

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Identifico el grado relativo de un polinomio. Escribo expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente. Calculo el valor numérico de una expresión algebraica. Practico el cálculo mental. IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

19 Suma y resta de polinomios ¿Qué encontrará esta semana? Suma y resta de números enteros Suma y resta de monomios y polinomios Suma de enteros y términos semejantes Ejercicios de habilidad visual

Esta semana logrará:  Recordar cómo se suman y restan números enteros.  Identificar monomios semejantes.  Sumar y restar polinomios.  Practicar el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes.  Resolver ejercicios de habilidad visual. 

Matemática − Semana 19

15

¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? Esta semana recordaremos cómo se suman y restan números enteros para operar polinomios de manera rápida y precisa. En los cursos anteriores aprendimos que el conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos y los números enteros negativos. Son ejemplo de estos números: –10, –5, –1, 6, 100, 255 Suma de números enteros Las reglas para la suma se aplican a dos casos: números con igual signo y números con distinto signo. • Suma de números enteros con signos iguales Para sumar números enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo, si el signo es positivo, no se escribe en el resultado. Ejemplos: a. 12 + 25 = 37 b. 65 + 96 = 161 c. (–3) + (–8) = –11 d. (–24) + (–26) = –50 • Suma de números enteros con signos diferentes Si los números enteros tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos: a. b. c. d.

10 + (–5) = 5 5 + (–51) = –46 –14 + 34 = 20 –110 + 50 = –60

¡A trabajar! Realice las operaciones con números enteros. Tiene un ejemplo. 0) 2 + (-6) = 1) -3 + (-4) =

16

IGER − Utatlán

-4

2) -10 + (-6) =

4) -85 + (-10) =

3) 10 + 25 =

5) 52 + (-18) =

El mundo de la matemática 1. Suma y resta de polinomios

Peras con peras y manzanas con manzanas

En un canasto tenemos cuatro peras y tres manzanas, y en otro, cinco peras y dos manzanas. ¿Cuántas frutas de cada clase tenemos en total? Aunque en el canasto las frutas están revueltas, para obtener el total de manzanas debemos sumar solamente las manzanas y aparte las peras. Lo mismo sucede en álgebra, un polinomio puede tener diferentes términos pero solo los términos semejantes se pueden sumar o restar. Recuerde que términos semejantes son las expresiones algebraicas que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia, aunque el coeficiente numérico sea diferente. Por ejemplo 7a2c es semejante a 3a2c.

1.1 Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes numéricos respetando la ley de signos y se mantiene el coeficiente literal. Podemos efectuar las operaciones en sentido horizontal o vertical. Veamos un ejemplo. Operemos

2a + 3a

En sentido horizontal • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

2a + 3a = 5a

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

2a + 3a 5a

¡Otro ejemplo! Operemos

-5yz - 12yz

En sentido horizontal • Por la ley de signos sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

-5yz - 12yz = -17yz

Números con el mismo signo se suman y se mantiene el signo.

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

- 5yz - 12yz - 17yz Matemática − Semana 19

17

¡Un ejemplo más! Números con signos diferentes se restan y se escribe el signo del número mayor.

Operemos

-25x3y2 + 6x3y2

En sentido horizontal • Por la ley de signos restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

-25x3y2 + 6x3y2 = -19x3y2

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro.

- 25x3 y2 + 6x3 y2 - 19x3 y2

• Restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

Ejercicio 1 A. Opere los monomios en sentido horizontal. 1) 3x + 15x =



4) -8a2b5c4 - 16a2b5c4 =

2) 6x6y8 - 12x6y8 =



5) -36a3b5 + 15a3b5 =

3) 10x2y2 - 5x2y2 =



6) -32x6y8 -18x6y8 =

B. Opere los monomios en sentido vertical.

2xy + 16xy = 1) •

Escriba un monomio debajo del otro.

•

Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal.

2xy +

2) -2x4y3 - 6x4y3 = •

Escriba un monomio debajo del otro.

-

•

Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal. (ponga atención al signo)

-

3) 5a3b2c - 9a3b2c =

18

•

Escriba un monomio debajo del otro.

•

Reste los coeficientes numéricos y copie la parte literal.

IGER − Utatlán

-

1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio Cuando sumamos o restamos un monomio con un polinomio, eliminamos los paréntesis del polinomio, para eso recuerde: • Un signo positivo delante de un paréntesis no altera los signos que están dentro. • Un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro. Operemos

2b + (3a + 3b - 4c)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2b + 3a + 3b - 4c = 3a + (2b + 3b) - 4c = 3a + 5b - 4c

• Escribimos la respuesta: 2b + (3a + 3b - 4c) = 3a + 5b - 4c En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

3a + 3b - 4c + 2b 3a + 5b - 4c

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. ¡Otro ejemplo! Operemos

2x - (3xy + 6x - 6y)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2x - 3xy - 6x + 6y = (2x - 6x) - 3xy + 6y =- 4x - 3xy + 6y

• Escribimos la respuesta: 2x - (3xy + 6x - 6y) = -4x - 3xy + 6y Matemática − Semana 19

19

Un ejemplo más Operemos No olvide que un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro.

18x - (3x2 y 2 + 4x - 6)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo = 18x - 3x2 y2 - 4x + 6 menos que está delante del polinomio. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

=- 3x2 y2 + (18x - 4x) + 6

• Sumamos y obtenemos el resultado.

=- 3x2 y2 + 14x + 6

• Escribimos la respuesta: 18x - (3x2y2 + 4x - 6) = -3x2y2 + 14x + 6 En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

- 3x 2 y 2 - 4 x + 6 + 18x 2 2 - 3x y + 14x + 6

• Sumamos y obtenemos el resultado.

Ejercicio 2 A. Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal. 1)

9xy + (3xy - 10) •

Elimine los paréntesis.

•

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

2)

= ........................... - .............. 5x - (4x2 - 2x + 5)

•

Elimine los paréntesis.

•

Agrupe términos semejantes.

•

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

B. Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical. •

•

20

= ............... + ............... - ...............

Escriba el monomio debajo del polinomio sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

IGER − Utatlán

= 5x - ............... + ............... - ............... =- 4x2 + (............... + ...............) - ............... =- 4x2 + ............... - ............... 9x + (6x + 6xy + 10) = ...............

+ 9x

+ 6xy + ..............

1.3 Suma y resta de polinomios Para sumar y restar polinomios se aplican los pasos anteriores. Operemos

(2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis.

= 2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x2 - 3x + 5

• Ordenamos y agrupamos = 2x3 + (3x2 + 5x2) + (6x - 3x) + (1 + 5) términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2x3 + 8x2 + 3x + 6

• Escribimos la respuesta:

(2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5) = 2x3 + 8x2 + 3x + 6

En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. Operemos

2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x 2 - 3x + 5 2x3 + 8x2 + 3x + 6

(7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo menos que está antes del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= 7y2 + 4y + 3 - 5y2 - 3y + 2

= (7y2 - 5y2) + (4y - 3y) + (3 + 2)

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2y2 + y + 5

• Escribimos la respuesta: (7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2) = 2y2 + y + 5 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

7y2 + 4y + 3 - 5y2 - 3y + 2 2y 2 + y + 5

Matemática − Semana 19

21

Operemos

(5x2y + 9xy + 5x) - (4x2y + 3xy - 8)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis, teniendo cuidado de operar el signo menos delante del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= 5x2y + 9xy + 5x - 4x2y - 3xy + 8

= (5x2y - 4x2y) + (9xy - 3xy) + 5x + 8

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= x2y + 6xy + 5x + 8

• Escribimos la respuesta: (5x2y + 9xy + 5x) - (4x2y + 3xy - 8) = x2y + 6xy + 5x + 8 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

5x2 y + 9xy + 5x - 4x2 y - 3xy +8 2 x y + 6xy + 5x + 8

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

Ejercicio 3 A. Opere los polinomios en sentido horizontal. 1)

(10x + 6) + (3x - 4) •

Elimine los paréntesis.

•

Ordene y agrupe términos semejantes.

•

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

= 10x + 6 + 3x - 4 = (............... + ...............) + (.............. - ..............)

2)

22

= .................... +

..............

(3x2 + 5x - 1) - (2x2 - 4x + 6) •

Elimine los paréntesis.

•

Ordene y agrupe términos.

•

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

IGER − Utatlán

= ............... + ............... - ............... - ............... + ............... - ............... = (............... - ...............) + (............... + ...............) + (- ............... - ...............) = ............... + ............... - ...............

B. Opere los polinomios en sentido vertical. 1)

(5x2 + 3x - 6) + (9x2 + 2x + 4) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

2)

5x2 + .............. - .............. ...................

+ 2x + ..............

...................

+ ............. - ..............

(- 2x2 y - 3x + 6) + (5x2 y - 10) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

- ....................... - .............. + ..............

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

3x2 y - ............... - ...............

3)

+ .......................

-

..............

(8a2 b - 5a - 2) - (10a2 b + 8b - 4) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

...............................

-

- ............................... - 2a 2 b

-

- ..........

.............

.............

-

.............

+ ..........

-

.............

+ ..........

Resumen Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

4m + 11m = 15m Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos. Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal. Sentido horizontal

(8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 = (8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2

Sentido vertical

8m + 2n -3m - 5n + 2 5m - 3n + 2 Matemática − Semana 19

23

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Observe con atención los monomios de cada fila y rellene el círculo de los términos semejantes. Tiene un ejemplo. 0)

-2x2y

xy - 25 5x2y

4x3y2

1)

5xy2

5x2y2 -6x3y3

-15x2y2

2)

-25x4y4

-10x4y

-10x4y4

-10xy4

3)

-8x2y3

-6x2y3z4

-9x2y

-2x2y3z4

4)

-14w2x6

24w2x -19w3x3

-5w3x3

5)

4a4b3c

10a3b2c

-100a3b2c2

6)

-10ab2c3

-100a2b2c2 -100a3b2c

Actividad 2.

-100a4b3c

Practique lo aprendido

A. Opere los polinomios en sentido horizontal. Tiene un ejemplo. 1) -x2 + 8x2 0) (a 3 - 3a 2 + 6) - (5a 2 - 4a - 9)

= a 3 - 3a 2 + 6 - 5a 2 + 4a + 9 = a 3 - 3a 2 - 5a 2 + 4a + 6 + 9 = a 3 - 8a 2 + 4a + 15 2) 9x2y2 + 6x2y2 3) -2a3b2 + 9a3b2

4) 5x + (8x + 2y + 10) 5) 5x2 - (2x2 + x - 10)

24

IGER − Utatlán

-10a3b2c

6) (2y2 - 4y + 3) + (-6y2 + 5y + 9) 7) (5x3y2 - 3x2y + 1) - (9x3y2 - 2x2y + 7x)

8) (15y2 - 9y + 5) + (2y4 + 9y2 - 3y) 9) (6m2 + 4m + 15) - (2m2 + 2m - 4)

B. Realice los ejercicios de sumas y resta de polinomios en sentido vertical. Tiene un ejemplo. 1) -4x6y4 + 9x6y4 0) (x2 - 9x + 1) - (3x2 - 4x + 6)



x 2 - 9x + 1 2 - 3x + 4x - 6 - 2x 2 - 5x - 5

2) -5x4y2 - 6x4y2 3) 8b + (5a + 2b - 8c)

4) 4b3 - (2b5 - 6b3 + 9b) 5) (a3 + 2b - 8) - (4a3 + 3b + 8)

Matemática − Semana 19

25

C. Realice en su cuaderno las siguientes operaciones con polinomios. Puede resolverlo en sentido vertical y horizontal. 1) 25y + 10y

11) 15x - (8x3 - 3x2 + x)

2) 8x4y3 + 10x4y3 12) 9x2 - (14x3 + 2x2 - 4x + 2) 3) 14m5n2 + m5n2 13) (3x + 2y + 1) + (5x + 2y + 7) 4) 16x2y2 - 14x2y2 14) (x2 + 5x) + (3x2 + 9x + 16) 5) 12a3b4 - 4a3b4 15) (4xy + 5x -2y) + (3xy + 4x + 7y + 6) 6) 6abc - 8abc

16) (6a - 10b + 8c) - (5a + 7b - c)

7) 10a2b4 - 15a2b4 17) (2x3y2 + 8xy - y) - (6x3y2 + 2xy - 4x) 8) 8x2 + (2x3 + 4x2 + x)

18) (6a2b2 + 2ab - 2) - (2a2b2 + 9ab - a)

9) 2x3 + (9x3 - 5x2 - x)

19) (9x2 + 5y2 - 2x + 3y) - (14x2 + 7y)

10) 3m2 + (m3 - 8m2 + 4m - 10)

20) (5x3y2 - 4xy - 5) - (15x3y2 - 9xy - 8x)

Agilidad de cálculo mental A. Practique la ley de signos para sumar y restar. Tiene un ejemplo para cada caso. 0) 5 + 3 =

8 6) -8 - 9 = -17

12) -9 + 4 = -5

1) 9 + 6 =

7) -6 - 5 =



13) -6 + 8 =

2) 5 + 8 =

8) -4 - 8 =



14) -8 + 3 =

3) 2 + 3 =

9) -7 - 9 =



15) -7 + 8 =

4) 1 + 1 =

10) -2 - 1 =



16) -5 + 3 =

5) 9 + 0 =

11) -5 - 61 =



17) -6 + 1 =

B. Aplique la misma ley para sumar y restar monomios. Tiene un ejemplo. 0) -y2 -6y2 =

26

-7y2

6) -5a -25a =

1) 5x + 5x =

7) -24a + a =

2) 2a + 6a =

8) 3x3 -17x3 =

3) -8y -9y =

9) 24x -39x =

4) x3 + 5x3 =

10) 8a2 - 19a2 =

5) -5w -8w =

11) -9a3 + 19a3 =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico

ad

1u

nid

nid

1u

ad

En esta actividad le proponemos que, utilizando su habilidad visual, observe detenidamente las figuras y responda las preguntas que siguen. De esta manera estará desarrollando su capacidad de atención a los detalles.

1 unidad

1) ¿Cuántos triángulos pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos triángulos tienen una medida lateral de 2 unidades por lado? 3) ¿Cuántos triángulos con una medida lateral de 3 unidades contienen un número de círculos que es múltiplo de 3?

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1) ¿Cuántos cuadrados pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos cuadrados tienen una medida lateral de 3 unidades por lado? 3) ¿Cuántos cuadrados con una medida de 1 unidad contienen un número de círculos que es múltiplo de 2?

Matemática − Semana 19

27

Desarrolle nuevas habilidades El álgebra tiene como característica que utiliza patrones o fórmulas para operar números y letras. Observe los dibujos siguientes y escriba un polinomio que represente la serie de figuras que se le indican. Guíese por el ejemplo. 0)

+

+

+

1)

+

+

+

+

+ +

+

2)

+

+

+

+

3)

+

+

+

+

+

4)

+

+

+

+

+

5)

+

+

6)

+

+

+ +

+

+ +

+ +

+

+

+

+ +

=

+

+

+3

=

=

+

=

+

+

+ +

4

+ +

+ +

+

= +

=

=

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Recuerdo cómo se suman y restan números enteros. Identifico monomios semejantes. Sumo y resto monomios, monomio con polinomio y polinomios. Practico el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes. Resuelvo ejercicios de habilidad visual.

28

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

20 Multiplicación de polinomios I ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la ley de signos y del producto de potencias Multiplicación de dos o más monomios y de monomio por polinomio Producto de números enteros y producto de dos monomios Área algebraica de figuras geométricas y traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico

Esta semana logrará:  Recordar la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base.  Multiplicar dos o más monomios y un monomio por un polinomio.  Practicar el cálculo mental a través del producto de números enteros y de dos monomios.  Calcular el área algebraica de figuras geométricas.  Traducir problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico. 

Matemática − Semana 20

29

¡Para comenzar! Para empezar nuestro estudio esta semana conviene recordar cómo multiplicar números enteros y potencias de la misma base, porque nos servirá para multiplicar polinomios.

Ley de signos para el producto Recuerde: • El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo. • El producto de dos números enteros con signo diferente es un número entero negativo. Observe con atención los principios de la ley de signos y el ejemplo que lo acompaña. ley de signos (+)(+) = +

ejemplo ( 7 )( 3 ) = 21

( – )( – ) = +

(–7)(–3) = 21

(+)( – ) = –

( 7 )( – 3 ) = –21

( – )(+) = –

( – 7 )( 3 ) = –21

Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. (32)(35) = 32+5 = 37

(a4)(a3)(a) = a4+3+1 = a8

(63)(62) = 63+2 = 65

(x2)(x2)(x3) = x2+2+3 = x7

Ejemplos



(2)(23) = 21+3 = 24

(b)(b)(b2) = b1+1+2 = b4

¡A trabajar! Repase y practique. Tiene algunos ejemplos.

30

0) (-3)(6) = -18

4) (24)(23) =

1) (2)(-5) =

5) (52)(54) =

9) (a4)(a)(a2) =

2) (-8)(-4) =

6) (73)(75) =

10) (b5)(b4)(b3) =

3) (-6)(7) =

7) (36)(37) =

11) (x)(x6)(x8) =

IGER − Utatlán

24+3 = 27 8) (m6)(m3)(m) = m6+3+1 = m10

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios seguimos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros, como acabamos de repasar. Estudiaremos tres casos de multiplicación de polinomios: • producto de dos o más monomios • producto de un monomio por un polinomio • producto de un polinomio por un polinomio Esta semana veremos los dos primeros casos, comencemos.

1.1 Producto de dos o más monomios A diferencia de la suma y de la resta, que necesitan variables y exponentes iguales para reducirlos, podemos multiplicar dos o más monomios aunque tengan coeficientes, literales y exponentes diferentes. Por ejemplo.

(2a)(3b2) = 6ab2 Para comprender mejor el tema comencemos por resolver paso a paso un ejemplo sencillo. Ponga mucha atención. Multipliquemos el monomio -2x por el monomio 3x2. Escribimos entre paréntesis cada monomio para indicar la multiplicación.

(- 2x) (3x2)

• Agrupamos los coeficientes y las literales por separado (primero los números, después las letras).

= (- 2 : 3) (x : x2)

• Multiplicamos los valores agrupados. Acostúmbrese a multiplicar el signo en primer lugar (- : + = -) después los coeficientes y por último las variables.

=- 6 x1 + 2

• Escribimos la respuesta.

=- 6x3

¡Atención! Para indicar producto, además del signo “x” y paréntesis, también podemos utilizar el punto “•” en medio de los factores (x • y).

Expresamos el producto completo: (-2x)(3x2) = -6x3 Matemática − Semana 20

31

Otro ejemplo Multipliquemos los monomios. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

Ordenamos las letras iguales para facilitar la resolución.

• Multiplicamos los valores agrupados (observe la ley de potenciación para x). • Escribimos la respuesta.

(2x2 y) (4x) = (2 : 4) (x2 y : x) = 8 (x2 x) (y) = 8x2 + 1 y = 8x 3 y

Expresamos el producto completo: (2x2y)(4x) = 8x3y

Ahora veamos un ejemplo de producto de tres monomios Atención Para multiplicar tres cantidades con diferente signo podemos hacerlo de la forma siguiente. (-3 : 2)(-3) = (-6 : -3) = + 18

Seguimos los mismos pasos. Multipliquemos. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado. • Multiplicamos los valores agrupados.

(- 3a) (2a2) (- 3a2) = (- 3 : 2 : - 3) (a : a2 : a2) = 18a1 + 2+2

Atención al resultado de los signos.

• Escribimos la respuesta.

= 18a5

Expresamos el producto completo: (-3a)(2a2)(-3a2) = 18a5

Otro ejemplo Multipliquemos

(- 5x2 y3) (6xy2) (2x3)

• Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

= (- 5 : 6 : 2) (x2 y3 : xy2 : x3)

• Multiplicamos los valores agrupados. (Atención a los signos diferentes y las potencias iguales)

=- 60 (x2 : x : x 3)(y3 : y2)

• Escribimos la respuesta.

=- 60x2 + 1 + 3 y3 + 2 =- 60x6y 5

Expresamos el producto completo: (-5x2y3)(6xy2)(2x3) = -60x6y5

32

IGER − Utatlán

Ejercicio 1 A. Multiplique los monomios siguiendo los pasos indicados. 1)

(3b3) (2b) •

Agrupe factores numéricos y literales por separado.

•

Multiplique los valores agrupados.

= .........................................................

•

Escribimos la respuesta.

= .........................................................

= (3 : 2) (.............. : ..............)

Exprese el producto completo: 2)

(a) (- 2ab) (- 5b3 c) •

Agrupe los factores numéricos y literales por separado.

•

Multiplique los valores agrupados.

= (1 : - 2 : - 5) (.............. : .............. : ..............) = (..............) (a : a )(............................) (.....................) = ...............................................................................

•

Escribimos la respuesta.

= ...............................................................................

Exprese el producto completo: B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0)

(4x 2) (3x 3 z 2) 1) (y)(6y2) = = (4 : 3) (x 2 : x 3 z 2) = 12 (x 2 x 3) (z 2) = 12x 2 + 3 z 2 = 12x 5 z 2 (4x 2) (3x 3 z 2) = 12x 5 z 2

2) (-6cd)(-2c2) = 3) (2x)(-6x2y)(2y2) =

Matemática − Semana 20

33

1.2 Producto de un monomio por un polinomio El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es el siguiente: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta. Al igual que la suma y la resta, podemos resolver esta operación en sentido horizontal y vertical. Veamos un ejemplo. En sentido horizontal Multipliquemos.

(3x) (2x + 4y)

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

= (3x : 2 x) + (3x : 4y)

• Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

= (3 : 2) (x : x) + (3 : 4)(x : y)

• Escribimos la respuesta.

= 6x1 + 1 + 12xy = 6x 2 + 12xy

• Expresamos el producto completo: (3x)(2x + 4y) = 6x2 + 12xy En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio. • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

2 x + 4y 3x 2 6x + 12xy

Otro ejemplo Multipliquemos

(- 2x) (x2 - 4x + 5)

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

= (- 2x : x2) + (- 2x : - 4 x) + (- 2x : 5)

• Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

= - (2 : 1) (x : x2) + (2 : 4) (x : x) - (2 : 5) (x)

• Escribimos la respuesta.

=- 2 x3 + 8x 2 - 10x

=- 2x1 + 2 + 8x1 + 1 - 10x

• Expresamos el producto completo: (-2x)(x2 - 4x + 5) = -2x3 + 8x2 - 10x

34

IGER − Utatlán

En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio.

x2 - 4x + 5 - 2x 3 2 - 2x + 8x - 10x

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

Recuerde: Multiplicamos el signo en primer lugar, después los coeficientes y por último las variables.

Ejercicio 2 A. Realice cada multiplicación en el sentido indicado. 1) Multiplique en sentido horizontal.

(3a) (3a3 + a2)

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio.

= (3a) (...................) + (3a) (...................)

•

Resuelva cada operación como producto de dos monomios.

= (3 : 3) (.....................) + (3 : 1) (.....................) = ....................................... + .......................................

•

Escriba la respuesta:

•

Exprese el producto completo:

= ............................. + .............................

(3a) (3a3 + a2)

2) Multiplique en sentido vertical. •

Escriba el monomio debajo del polinomio.

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

3a3 + a2 3a ..........................

3) Multiplique en forma horizontal.

+ .........................

(- 5y) (2x2 y2 - 4y + 1)

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio.

= (- 5y) (..............................) + (- 5y) (.................) + (-5y) (..........)

•

Resuelva cada operación como producto de dos monomios.

=- (5 : 2)(..............................) + (5 : 4) (.................) - (5 : 1) (..........) =- ............................................ + ....................................... - .............................

•

Escriba la respuesta:

•

Exprese el producto completo:

=- .................................. + .................................. - .............................

Matemática − Semana 20

35

B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0) (2ab) (4a 2 b - 3bc + 1) = 1) (3x)(x2 + 2x - 1) =

4a 2 b - 3bc + 1 2ab 3 2 2 8a b - 6ab c + 2ab

2) (2xy)(3x2 + 5y2 + 2) =

3) (c2 )(3c3 - 2d2 - 4) =

Resumen 1. Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. 1.1 Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean diferentes. El procedimiento es el siguiente: • Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado. • Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir la respuesta. 1.2 El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta.

36

IGER − Utatlán

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-1)(x)?

x -x -1

2) ¿Qué expresión indica lo mismo que (d 2)(-3)?

d2 - 3 -3 + d 2 -3d 2

3) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-x)(y)?

-x + y -xy xy

4) ¿Cuál es el resultado de operar (-b)(-b)?

b2 b -b 2

5) ¿Cuál es el resultado de operar (-a)(-a)(-a)?

-a3 a3 a2

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Siga los pasos para realizar las multiplicaciones.

(3b3)(-4b2c) 1) Multiplique • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escriba la respuesta:

= (............... : ...............) (............... : ...............) = ........................................................................... = ...............................................................

• Exprese el producto completo: 2) Multiplique (-2x2)(xy)(-4yz) • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. = (................ : ................ : ................) (................ : ................ : yz) • Multiplique los valores agrupados.

=

............................................................................

= ............................................................. • Escriba la respuesta:

= ...............................................

• Exprese el producto completo: Matemática − Semana 20

37

3) Multiplique en sentido vertical. a. (-x2)(x2 - 2x + 4) = •

Escriba el monomio debajo del polinomio.

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio de derecha a izquierda.

x 2 - 2x + 4 - x2 - x4 + ...................... - ......................

b. (2ab)(3a2 - 4b3 + 5) = •

Escriba el monomio debajo del polinomio

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio de izquierda a derecha.

3a2 - 4b2 + 5 2ab ...................................................................................................

B. Realice las multiplicaciones. Deje escrito el procedimiento que utilice para obtener el resultado. Hay un ejemplo. 0) (6a3 b2) (- 3a2 bc) =

1) (3a2)(-2ab) =

= (6 : - 3) (a 3 b 2 : a 2 bc) = -18(a3 : a2)(b2 : b)(c) =- 18a 3 + 2 b 2 + 1 c =- 18a 5 b 3 c (6a3 b2) (- 3a2 bc) = - 18a 5 b3 c

2) (2)(3c3)(2bc2) = 3) (3a2)(2ab)(-b3) =

38

IGER − Utatlán

4) 3(a2 - 4) = 5) a(2a3 + 3a2) =

6) 3x(2x3 - 3x2 + 4) = 7) 5y2(-3x3y2 + 2xy - y) =

8) 2ab(3a3 - 2b3 + 2ab) = 9) (-2xy2)(2x3y - 3xy + 4y) =

10) a3b2(-2a3 + 3b2 + 3) = 11) -xz3(-2x2 + 3yz2 - y2 + z) =

Matemática − Semana 20

39

Agilidad de cálculo mental Realice mentalmente las multiplicaciones de números enteros y de monomios. Escriba su respuesta sobre la línea. Tome en cuenta las leyes de los signos y de la potenciación. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

6) 3(-2) =

12) (-3)(-4) =

1) -5(2) =

7) 4(-8) =

13) (-5)(-2) =

2) -2(3) =

8) 5(-7) =

14) (-2)(-8) =

3) -4(8) =

9) 2(-5) =

15) (-4)(-3) =

4) -6(7) =

10) 6(-4) =

16) (-6)(-6) =

5) -3(6) =

11) 8(-7) =

17) (-8)(-3) =

0) 5b2(4b) = 20b3

6) 9d 3(-2d) =

12) -5c(3c2) =

1) 3b2(7b) =

7) 4d 3(-4d) =

13) -2c(6c2) =

2) 6b2(5b) =

8) 3d 3(-8d) =

14) -4c(5c2) =

3) 5b2(9b) =

9) 5d 3(-3d) =

15) -3c(3c2) =

4) 8b2(3b) =

10) 2d 3(-7d) =

16) -6c(2c2) =

11) 7d 3(-8d) =

17) -9c(4c2) =

0) 5a(2c) = 10ac

6) -2g(-8h4) =

12) b4(-3c3) =

1) x(6y3) =

7) -4s(-3t2) =

13) 2g(-8t) =

2) 2a(8b) =

8) -5b(-9c) =

14) 4w(-5x2) =

3) 5c2(5d) =

9) -3q2(-7r3) =

15) 3yz5(-7z3) =

4) 3h(9k3) =

10) -4w3(-4z4) =

16) 9d2e(-4d3) =

5) 6x3(2y) =

11) -2y3(-9z2) =

17) 8st(-6st) =

0) -2(4) =

-8

5) 4b2(7b) = C.

40

IGER − Utatlán



Razonamiento lógico A. Observe las medidas de cada figura y encuentre una expresión algebraica que represente su área. Fíjese en el ejemplo.

0) x+3 2x

A = b:h A = 2 x (x + 3 ) A = 2 x2 + 6 x



1) 3a 4a

3)

2)

3y

2a + 3b 3y

4

5)

4) 2c + d 5c

2x + 3y 2xy

B. Lea cada problema y realice lo que se pide. Recuerde que en la semana 13 aprendimos a traducir a símbolos lo que normalmente expresamos con palabras. Fíjese en el ejemplo. 0) Si la edad actual de Rosa es x años, escriba un polinomio que represente el doble de la edad que tendrá dentro de 5 años.

Edad de Rosa: x



Edad dentro de 5 años: x + 5



El doble de edad dentro de 5 años: 2(x + 5)

Expresión polinomial

2(x + 5) = 2x + 10

1) La base de un triángulo rectángulo mide 5x y la altura mide 2x + 1. Escriba un polinomio que represente el área del triángulo. 2) El martes, Rubén obtuvo el doble de ganancia que el lunes; el miércoles ganó el doble que el martes y el jueves el doble de lo que ganó el miércoles. Escriba un monomio que represente la ganancia que obtuvo el jueves. 3) Hoy Pilar recorrió 2 km más que ayer y mañana piensa recorrer el doble que hoy. Escriba un polinomio que represente la distancia que Pilar recorrerá mañana. Matemática − Semana 20

41

Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos el área en forma de polinomio! Para calcular el área de una figura cuyas medidas son valores desconocidos, como la figura de la izquierda, debemos descomponerla en figuras que ya conocemos, por ejemplo en dos rectángulos como la figura de la derecha. x

x

x

x+2

x+2

x

x

1

x 2

x

x

3x La base del rectángulo 2 mide 3x porque es la suma de los lados superiores (x + x + x). Ahora calculemos el área de cada uno a través de la fórmula de área de un rectángulo. rectángulo 1 rectángulo 2



A=b:h



A1 = x (x + 2) = x2 + 2x A2 = 3x (x) = 3x2

Sumamos el área de los dos rectángulos para obtener el área total. Atotal = A1 + A2

Atotal = (x2 + 2x) + (3x2) = x2 + 2x + 3x2 Atotal = 4x2 + 2x Ahora le toca a usted. Exprese como polinomio el área total de la figura siguiente: 2x + 3 x

x x

x x

x

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Recuerdo la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base. Multiplico dos o más monomios y un monomio por un polinomio. Practico el cálculo mental a través de los productos de números enteros y de dos monomios. Calculo el área algebraica de figuras geométricas. Traduzco problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico.

42

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

21 Multiplicación de polinomios II ¿Qué encontrará esta semana? La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta Multiplicación de polinomios Multiplicación de monomios Agudeza visual

Esta semana logrará:  Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación.  Multiplicar binomio por binomio.  Multiplicar polinomio por polinomio.  Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.  Desarrollar agudeza visual con el reflejo de figuras. 

Matemática − Semana 21

43

¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta Recordemos que para multiplicar un número por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o restan los resultados. Por ejemplo Respecto a la suma 1) 7(3 + 2) = (7 : 3) + (7 : 2) = 21 + 14 = 35 2) 5 (8 + 4) = (5 : 8) + (5 : 4) = 40 + 20 = 60 Respecto a la resta 1) 9 (6 - 3) = (9 : 6) - (9 : 3) = 54 - 27 = 27 2) 4 (8 - 3) = (4 : 8) - (4 : 3) = 32 - 12 = 20 ¡A trabajar! Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Tiene un ejemplo. 0) 6(10 -2 + 3) = 1) 2(3 + 2 + 1) = 2) 2(3 + 5) = 3) 4(1 + 2 + 6) = 4) 7(11 + 5 + 4) = 5) 5(7 - 2) = 6) 4(8 - 3 - 2) = 7) 9(3 + 2 - 4) = 8) 5(6 - 8 + 3) = 9) 3(-2 + 6 - 4) =

44

IGER − Utatlán

(6 : 10) - (6 : 2) + (6 : 3) = 60 - 12 + 18 = 66

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios Esta semana aprenderemos a multiplicar: • un binomio por otro binomio y • un polinomio por otro polinomio

1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio Cuatro jóvenes participan en un concurso de ajedrez. Ana y Nicté (A + N) forman un equipo, Pablo y Samuel (P + S) forman otro. Si las partidas son uno a uno, ¿cuántos juegos deben realizar? • En la primera ronda, Ana juega primero con Pablo (AP) y luego con Samuel (AS).

(A)(P + S) = AP + AS

• En la segunda ronda, Nicté juega con Pablo (NP) y luego con Samuel (NS).

(N)(P + S) = NP + NS

Si queremos averiguar el número total de partidas, multiplicamos las dos parejas, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y obtenemos cuatro juegos. (A + N)(P + S) = AP + AS + NP + NS En realidad, hemos representado las parejas del juego mediante binomios y para averiguar el número de partidas, hemos multiplicado ambos binomios. Ahora ya podemos deducir el procedimiento del producto de dos binomios. Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o en sentido vertical.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a+b c+d + ad + bd ac + bc ac + ad + bc + bd

Recuerde la forma de multiplicar números enteros, porque así se operan los polinomios.

Matemática − Semana 21

45

Lea los pasos que se describen a continuación y observe la operación al final de estos. Siga la secuencia guiándose por los números de color rojo. Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente procedimiento. • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resolvemos los productos planteados. • Reducimos términos semejantes.

(2x + 3)(x + 5) = 6(2x : x) + (2x : 5) @ + 6(3 : x) + (3 : 5) @ Ponga atención al aplicar la ley de signos.

= 2x2 + 10x + 3x + 15

= 2x2 +

13x + 15 = 2x2 + 10x + 3x + 15 • Escribimos el producto completo: (2x + 3) (x + 5) = 2x 2 + 13x + 15

Hagamos la misma operación en sentido vertical. • Eliminamos los paréntesis y escribimos un polinomio debajo del otro. • Multiplicamos cada término del binomio inferior por cada término del binomio superior. Los términos semejantes deben quedar alineados en la misma columna.

2x + 3 x+5 10x + 15 2 2x + 3x 2x 2 + 13 x + 15

• Sumamos y reducimos términos semejantes y escribimos la respuesta. Observe que operando en cualquiera de los dos sentidos llegamos al mismo resultado. Sigamos el mismo procedimiento para este otro ejemplo.



(a2 + a)(2a - 6) = 6(a2 : 2a) + (a2 : - 6) @ + 6(a : 2a) + (a : - 6)@

=

2a3 - 6a2 + 2a2 - 6a

= 2a3 - 4a2 - 6a • Escribimos el producto completo: (a2 + a)(2a - 6) = 2a3 - 4a2 - 6a Hagamos la misma operación en sentido vertical.

Escriba los términos del polinomio en orden alfabético y descendente.

46

IGER − Utatlán

a2 + a 2a - 6 - 6a 2 - 6a 2a 3 + 2a 2 2a3 - 4 a2 - 6a

Ejercicio 1 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. Siga el procedimiento que practicamos en los ejemplos. 1) (x + 4)(x + 6)

:

[(

:

)+(

+

=

:

)] + [(

=

+

:

)+(

)]

+

+

+

Escriba el producto completo: 2) (-2x2 + 2)(3x3 - 5)

[(-

:

: -

) + (–

:

)] + [(

+

+

)+(

: -

)]

–

Escriba el producto completo: B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (x + 8)(2x + 2)

+ + + +

Escriba el producto completo: 2) (a4b2 + 5)(a2b + 3b) .................................

+ ..................

.................................

+ ..................

.................................

+ ..................

.................................

+ .................................

.................................

+ ................................. + ................................. + ..................

Escriba el producto completo: Matemática − Semana 21

47

1.2 Multiplicación de polinomios Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejantes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o vertical.

(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be c+d+e a+b + bc + bd + be ac + ad + ae ac + ad + ae + bc + bd + be Veamos un ejemplo Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. Recuerde que el procedimiento es el mismo del caso anterior.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = 6(x : x2) + (x : 2x) + (x : 5) @ + 6(4 : x2) + (4 : 2x) + (4 : 5) @ =

x3 + 2x2 + 5x + 4x2 + 8x + 20 = x3 + 2x2 + 4x2 + 5x + 8x + 20

2 2 = x3 + 6x6 x ++ 13x 13x + 20 + 20 = x3 +

• Escribimos el producto completo.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20 Hagamos la misma operación en sentido vertical.

x 2 + 2x + 5 x+4 2 4x + 8x + 20 3 x + 2x2 + 5x x 3 + 6 x2 + 13x + 20 • Escribimos el producto completo.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20

48

IGER − Utatlán

¡Un ejemplo más! Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = [(2x : x) + (2x : -3y) + (2x : -2z)] + [(-y : x) + (-y : -3y) + (-y : -2z)] = 2x2 -

6xy

-

4xz

3y2

xy +

-

+

2yz

= 2x2 - 6xy - xy - 4xz + 3y2 + 2yz = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz • Escribimos el producto completo.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz Hagamos la misma operación en sentido vertical.

x - 3y - 2 z 2x - y 2 + 3y + 2yz

- xy 2x - 6xy - 4xz 2 x 2 - 7xy - 4xz + 3 y 2 + 2yz 2

• Escribimos el producto completo.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz

Ejercicio 2 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. 1) (3x + y)(2x - 5y + z)

= [(

:

)+(

:

:

)+(

:

)] + [(

:

:

)]

Matemática − Semana 21

49

)+(

=

-

+

+

-

+

=

-

+

+

-

+

=

-

+

-

)+ (

+

Escriba el producto completo:

2) (b - 3)(b2 + 3b + 9)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

) + (-

:

=

+

+

-

-

-

=

+

-

+

-

-

=

-

)+ (-

:

)]

) + (-

:

)]

) + (-

:

)]

Escriba el producto completo: 3) (3a - 4)(2b2 + b + 5)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

) + (-

:

=

+

+

-

-

-

=

+

+

-

-

-

Escriba el producto completo: 4) (x - 2)(x2 + 2xy + 5y2)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

+

+

-

-

-

=

-

+

+

-

-

B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (4x + 1)(4x2 + 2x + 2)

4x2 +

16x3 +

Escriba el producto completo: IGER − Utatlán

:

=

Escriba el producto completo:

50

) + (-

+ 4x + + + +

2) (x2y + 2x)(x2 - 4x - 6) ..................

- .................. - ..................

.................. 4

3

xy ..................

- .................. - .................. x2 y + 2x

2

- 4 x y - 6x y + .................. - .................. - .................. - .................. - ..................

Escriba el producto completo:

Resumen Multiplicación de polinomios Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio: • Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados. • Se reducen términos semejantes. • Se ordena el polinomio. • Se escribe el producto completo. Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = = [(b3 : 3b2) + (b3 : 5b) + (b3 : 1)] + [(8 : 3b2) + (8 : 5b) + (8 : 1)]

=

3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 3b2 + 5b + 1 b3 + 8 + 24b2 + 40b + 8 3b5 + 5b4 + b3 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 Matemática − Semana 21

51

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo donde está la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Qué propiedad se aplica en la multiplicación de polinomios?

conmutativa asociativa distributiva

2) ¿Qué expresión es equivalente a y(y+ 1)?

2y + y y2 + y y2 + 1

3) ¿Cuál es el primer término y segundo término que resulta al multiplicar (x + 1)(x + 2)?

2x + 2x x2 + x x2 + 2x

4) ¿Cuáles son los términos tercero y cuarto que resultan al multiplicar (2y - 5)(5y2 - y)?

-25y2 + 5y -2y2 + 5y 10y3 - 2y

5) ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar (a + b)(c + d)?

a2 + ac + d2 ac + bc + ad ac + ad + bc + bd

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Multiplique los polinomios de forma vertical. Tiene un ejemplo. 1) (a + 3)(a + 2) 0) (x2 - 1)(3x2 + 6)



x2 - 1 3x 2 + 6 6x 2 - 6 3x 4 - 3x 2 3x 4 + 3x 2 - 6

2) (2x - y)(5x + 3) 3) (3a + 1)(a + 7b)

52

IGER − Utatlán

4) (c + 5)(c2 + 3c + 1) 5) (4x + 2y)(2x + 3y + 1)

6) (2x- 1)(x2 - 4x + 3) 7) (r + 1) (r3+ 4r2 - r + 3)

8) (a2 - 1)(2a - 8) 9) (x2 + 4x)(x2 - 2x - 2)

B. Multiplique en su cuaderno. 1) (x + 2)(x - 5) 5) (x3 + x)(x + 6) 2) (y - 4)(y + 4) 6) (x2y + 2x)(y2 - 2y + 4) 3) (x2 + 1)(x - 6) 7) (5a2 - 4a)(a3 - 3a + 7) 4) (xy - 3)(xy - 5)

8) (b4 + 9)(-2b2 - 5b - 2) Matemática − Semana 21

53

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar la ley de signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

54

0) (x3)(x6) =

x9

11) (-a)(2b) = -2ab

1) (a2)(a3) =

12) (-a)(4c) =

2) (y7)(y2) =

13) (-3b)(d) =

3) (b4)(b9) =

14) (-4x)(y) =

4) (x4)(x3) =

15) (-3x)(3z) =

5) (y5)(y4) =

16) (-4c)(2d) =

6) (x2)(x9) =

17) (-2e)(5f ) =

7) (m6)(m2) =

18) (-4h)(6k) =

8) (b6)(b4) =

19) (-2s)(7t) =

9) (w3)(w8) =

20) (-4w)(5x) =

10) (b3)(b5) =

21) (-6y)(9z) =

2 0) (2c)(-2c) = -4c

11) (-6d2)(-d3) =

1) (3a)(-4a) =

12) (-8h)(-h3) =

2) (5b) (-2b) =

13) (-3b4)(-b) =

3) (4c)(-4c) =

14) (-x)(-5x2) =

4) (2d)(-3d) =

15) (-d2)(-3d2) =

5) (7h)(-2h) =

16) (-h3)(-4h2) =

6) (4s2)(-3s2) =

17) (-2t4)(-5t3) =

7) (5x2)(-2x2) =

18) (-4v3)(-3v3) =

8) (3y3)(-7y3) =

19) (-6w7)(-6w3) =

9) (9w3)(-2w3) =

20) (-2x4)(-8x2) =

10) (5z4)(-9z4) =

21) (-6y5)(-3y4) =

IGER − Utatlán

6d5

Razonamiento lógico La agudeza visual es la capacidad de ver los detalles de un objeto donde hay muchos más objetos que lo rodean. Estas figuras son reflejos la una de la otra, sus posiciones están al revés. Rodee con un círculo la cuadrícula que es un reflejo de la figura de la izquierda. Tiene un ejemplo. 0)

1)

a.

b.

c.

d.

2)

a.

b.

c.

d.

3)

a.

b.

c.

d.

4)

a.

b.

c.

d.

5)

a.

b.

c.

d.

Matemática − Semana 21

55

Desarrolle nuevas habilidades El Sudoku es un rompecabezas matemático como el que aparece a la izquierda de este párrafo. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 4 x 4 con las cifras del 1 al 4 partiendo de algunos números ya dispuestos. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila o columna. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. La práctica de este pasatiempo es ideal para ejercitar la atención. Observe con atención el ejemplo. 0)

1

2

3

4

3

4

2

1

4

3

1

2

2

1

4

3

2)

4

1)

2

3 1

2

3 4



2 3



2

3)

2 2

3 3

4 3

2

3

1

3

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación. Multiplico binomio por binomio. Multiplico polinomio por polinomio. Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios. Desarrollo agudeza visual con el reflejo de figuras.

56

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

22 Productos notables I ¿Qué encontrará esta semana? Joseph Louis Lagrange El cuadrado de la suma o la resta de un binomio Términos del cuadrado de un binomio Área algebraica de cuadrados

Esta semana logrará:  Conocer a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática.  Resolver el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección.  Practicar el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio.  Calcular en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado. 

Matemática − Semana 22

57

¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange nació en 1736 en Turín, Italia. De formación autodidacta, sus numerosos estudios en diversos campos de las matemáticas, en especial sobre análisis, le convirtieron en uno de los matemáticos más destacados y apreciados del siglo XVIII. Trabajó en Turín como profesor en la Real Escuela de Artillería. En 1757 colaboró junto con un grupo de estudiantes en la fundación de la Academia de Ciencias turinesa. En 1766 fue nombrado director de matemáticas de la Academia de Ciencias de Berlín, Alemania. Durante esta etapa de su vida, escribió su obra más importante: Tratado de mecánica analítica. Se trasladó a París, Francia, en 1787, y trabajó para la Academia de Ciencias de esta ciudad. Entre otras tareas, formó parte del comité de pesas y medidas que introdujo el sistema métrico decimal y publicó sus investigaciones sobre cálculo matemático. Murió en París en 1813. Biografía tomada y adaptada de www.mcnbiografias.com

¡A trabajar! Lea detenidamente la biografía de Lagrange y responda a las preguntas. 1) ¿Cuál es título de su obra más importante? 2) ¿Cuál fue su aporte más importante en el comité de pesas y medidas? 3) Busque en el diccionario el significado de la palabra autodidacta.

58

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Productos notables

A simple vista

Los productos notables son casos especiales de multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección, es decir, operar mentalmente sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Aprenderemos tres casos: • Cuadrado de un binomio: – cuadrado de la suma (a + b)2 – cuadrado de la resta (a - b)2 • Producto de la suma por la diferencia de un binomio

(a + b)(a - b)

• Producto de dos binomios con un término común

(a + b)(a + c)

Esta semana aprenderemos a resolver por simple inspección el cuadrado de la suma o la resta de un binomio.

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicarla por sí misma. Por ejemplo (3)2 = (3)(3) = 9 Lo mismo sucede con el cuadrado de la suma de un binomio, es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Por ejemplo (a + b)2 = (a + b) (a + b) Si hacemos la operación, obtenemos:

a+b a+b ab + b 2 a 2 + ab a 2 + 2ab + b2

Atención: El producto (a + b)2 no es lo mismo que a2 + b2, es decir, (a + b)2 ! a2 + b2.

Observe que el resultado del producto es (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cuadrado de la suma de un binomio. Veamos en la página siguiente el procedimiento para deducir la fórmula. Matemática − Semana 22

59

Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: • El cuadrado del primer término, (a2) • más el doble del primero por el segundo, 2(a : b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• más el cuadrado del segundo (b2) Memorice la fórmula general: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (x + 3)2.

(x + 3)2 = (x)2 + 2(x : 3) + (3)2 = x2 + 6x + 9 Otros ejemplos cuadrado de la suma

desarrollo

resultado

(x + 1)2 = (x + 5)2 = (x + 10)2 =

(x)2 + 2(x : 1) + (1)2 = (x)2 + 2(x : 5) + (5)2 = (x)2 + 2(x : 10) + (10)2 =

x2 + 2x + 1 x2 + 10x + 25 x2 + 20x + 100

Ejercicio 1 Desarrolle el cuadrado de la suma de un binomio. Vaya diciendo mentalmente la fórmula general: "cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo". Guíese por el ejemplo. cuadrado de la suma

60

desarrollo

resultado

0) (4x + 2)2 =

(4x)2 + 2(4x : 2) + (2)2 =

1) (x + 7)2 =

(x)2 +

2) (x + 5)2 =

(

)2 +

(

: 5) + (5)2 =

3) (2x + 3)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

4) (3x + 1)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

5) (2x + y)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

IGER − Utatlán

(x :

)+(

16x2 + 16x + 4 )2 =

1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a − b)2 Al igual que la suma, el cuadrado de la resta de un binomio es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Veamos.

(a - b)2 = (a - b) (a - b) Si efectuamos el procedimiento, obtenemos:

a-b a-b - ab + b 2 a 2 - ab a 2 - 2ab + b 2 El resultado a2 - 2ab + b2 es muy parecido al cuadrado de la suma. La diferencia está en el signo menos que separa al primer término del segundo. Por lo tanto: Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: • El cuadrado del primer término (a)2 • menos el doble del primero por el segundo -2(a : b)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• más el cuadrado del segundo (b)2 Memorice la fórmula general: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (5x - 4y)2

Atención: El producto (a - b)2 no es lo mismo que a2 - b2, es decir, (a - b)2 ! a2 - b2.

(5x - 4y)2 = (5x)2 - 2(5x : 4y) + (4y)2 = 25x2 - 40xy + 16y2 Otros ejemplos cuadrado de la resta 2

(x - 3) = (a - 1)2 = (y - 3)2 = (2b - 1)2 =

desarrollo

resultado

(x) - 2(x : 3) + (3) = (a)2 - 2(a : 1) + (1)2 = (y)2 - 2(y : 3) + (3)2 = (2b)2 - 2(2b : 1) + (1)2 = 2

2

2

x - 6x + 9 a2 - 2a + 1 y2 - 6y + 9 4b2 - 4b + 1 Matemática − Semana 22

61

Ejercicio 2 Obtenga el cuadrado de la resta de un binomio. Hay un ejemplo. cuadrado de la resta

desarrollo

resultado

0) (d - 2)2 =

(d)2 - 2(d : 2) + (2)2 =

1) (x - 9)2 =

(

)2 -

(

: 9) + (9)2 =

2) (y - 6)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

3) (y - 8)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

4) (2x - 1)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

5) (3a - 5b)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

d2 - 4d + 4

Resumen 1. Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección.

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2

Fórmula general para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2

Fórmula general para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2

62

IGER − Utatlán

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión es equivalente a (y + 3)2?

(y + 3)(y - 3) (y + 3)(y + 3) y2 + 9

2) ¿Qué expresión es equivalente a (x - 1)2?

(x - 1)(x - 1) (x - 1)(x + 1) x2 - 9

3) ¿Qué expresión es equivalente a (x - y)(x - y)?

x2 - y2 (x + y)2 (x - y)2

4) ¿Qué expresión es equivalente a (w + z)(w + z)?

(w + z)2 (w - z)2 w2 + z2

5) De las siguientes, ¿cuál es un producto del cuadrado de la suma de un binomio?

(x + y)(x + z) (x + y)(x - y) (x + y)(x + y)

6) ¿Cuál es el primer término del resultado de (2b + 3)2?

2b2 4b2 4b

7) ¿Cuál es el tercer término del resultado de (2x + 3y)2?

6y2 3y2 9y2

8) ¿Cuál es el segundo término del resultado de (2c + 5d)2?

10cd 20cd 7cd

9) ¿Cuál es el segundo término del resultado de (3x + 4)2?

12x 12x2 24x Matemática − Semana 22

63

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Calcule el cuadrado de las siguientes sumas o restas de un binomio. Hay un ejemplo. cuadrado de un binomio

desarrollo

resultado

0) (3a + 2b)2 =

(3a)2+ 2(3a)(2b) + (2b)2 =

1) (x + 2)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

2) (2a + b)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

3) (3x + 2)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

4) (6m + n)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

5) (2x + 5)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

6) (x - 6)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

7) (5x - 3)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

8) (3x - 1)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

9) (4x - 9)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

10) (3x - 4)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

9a2 + 12ab + 4b2

B. Con la practica, usted podrá resolver el desarrollo mentalmente, sin necesidad de escribirlo. Intente hacerlo en este ejercicio. Escriba su respuesta sobre la línea. Guíese por el ejemplo. 0) (a + 8)2 =



11) (2x - y)2 =

1) (a + 1)2 =

12) (5x - y)2 =

2) (a + 4)2 =

13) (8x - y)2 =

3) (a + 2)2 =

14) (4x - y)2 =

4) (a + 3)2 =

15) (2c - 4d)2 =

5) (y + 5)2 =

16) (3c - 3d)2 =

6) (y + 7)2 =

17) (5c - 4d)2 =

7) (y + 9)2 =

18) (8c - 3d)2 =

8) (x + 6)2 =

19) (2c - 9d)2 =

9) (x + 10)2 =

20) (7c - 3d)2 =

10) (x + 12)2 =

64

a2 + 16a + 64

IGER − Utatlán



21) (4x - 6y)2 =

Agilidad de cálculo mental Calcule mentalmente el término que falta para que el resultado de cada producto notable sea correcto. Escriba la respuesta sobre la línea. Fíjese en los ejemplos. A. Complete el primer término

+ 8a + 4 6) (6a - 3)2 =

- 36a + 9

1) (x + 6)2 =

+ 12x + 36 7) (4y - 2z)2 =

- 16yz + 4z2

2) (t + 8)2 =

+ 16t + 64 8) (7h - k)2 =

- 14hk + k2

3) (3y + 5)2 =

+ 30y + 25 9) (5c - 4d)2 =

- 40cd + 16d2

4) (7y + 3)2 =

+ 42y + 9 10) (2w - 6z)2 =

- 24wz + 36z2

5) (6x + 2)2 =

+ 24x + 9 11) (8d - 3e)2 =

- 48de + 9e2

0) (2a + 2)2 =

4a2

B. Complete el tercer término 0) (2x + 5)2 = 4x2 + 20x +

25

6) (2x - 8y)2 = 4x2 - 32xy +

1) (3y + 4)2 = 9x2 + 24y +

7) (2a - 2b)2 = 4a2 - 8ab +

2) (a + 2b)2 = a2 + 4ab +

8) (3w - 4z)2 = 9w2 - 24wz +

3) (5c + 3d)2 = 25c2 + 30cd +

9) (2c - 7d)2 = 4c2 - 28cd +

4) (2c + 5d)2 = 4c2 + 10cd +

10) (5a - 9b)2 = 25a2 - 90ab +

5) (3d + 7e)2 = 9d2 + 42de +

11) (3h - 8k)2 = 9h2 - 48hk +

C. Complete el segundo término 0) (b - 3)2 = b2 -

+ 9 6) (2x + 1)2 = 4x2 +

+1

1) (x - 11)2 = x2 -

+ 121 7) (5t + 2)2 = 25t2 +

+4

2) (x - 10)2 = x2 -

+100 8) (4x + y)2 = 16x2 +

+ y2

3) (m - n)2 = m2 -

+ n2 9) (5a + 2b)2 = 25b2 +

+ 4b2

4) (4a - b)2 = 16a2 -

+ b2 10) (4w + 3z)2 = 16w2 +

+ 9z2

5) (6b - c)2 = 36b2 -

+ c2 11) (2x + 8y)2 = 4x2 +

6b

+ 64y2

Matemática − Semana 22

65

Razonamiento lógico Fíjese en la figura. ¿Cómo podemos expresar la medida de cada lado y el área del cuadro A?

x A

Es más fácil de lo que piensa. Veamos, como el lado de la figura total mide x y una parte mide 5; entonces el lado restante, que es el cuadro A, mide x - 5.

x 5

Ya tenemos el valor de un lado. Como es un cuadrado, entonces sus lados miden lo mismo.

5

,=x-5 Ahora calculamos el área: A = ,2



A = (x - 5)2 = (x)2 - 2 (x : 5) + (5)2 A = x 2 - 10 x + 25 El área del cuadro A mide x2 - 10x + 25. A. Calcule algebraicamente el área que ocupa el cuadro A de cada figura. Trabaje en su cuaderno.

a

1) a

b

2)

A

A

b 3

6

3

6

B. Calcule algebraicamente el área total de cada figura. Pista: la suma de los valores indicados en cada lado es la medida de la longitud total. Trabaje en su cuaderno.

2) 5

1) x

z

z

3

5 x

3

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Conozco a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática. Resuelvo el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección. Practico el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio. Calculo en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado.

66

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

23 Productos notables II ¿Qué encontrará esta semana? Emmy Noether Producto de la suma por la diferencia y producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Multiplicación y división de números enteros; multiplicación de potencias con igual base. El caso del pastor, la cabra, el lobo y la lechuga

Esta semana logrará:  Reconocer los valores de Emmy Noether.  Resolver productos notables por simple inspección: suma por diferencia y dos binomios con un término común y signos iguales.  Practicar la agilidad de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones de números enteros y multiplicaciones de potencias con igual base.  Aplicar el razonamiento lógico para resolver un caso práctico. 

Matemática − Semana 23

67

¡Para comenzar! Emmy Noether La matemática que soñaba con ser profesora

Tomada de: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

Emmy Noether, notable matemática, nació el 23 de marzo de 1882 en Alemania. Estudió idiomas y trabajó como maestra, sin embargo sintió que su vocación no era enseñar idiomas, sino matemáticas. Su padre daba clases de matemáticas en la universidad y ella asistía como oyente. En esa época las mujeres no podían matricularse como alumnas regulares, debían solicitar permiso a cada profesor para asistir a sus clases. Entre 1908 y 1915, Noether trabajó en el Instituto de Matemáticas de Erlangen, donde se doctoró con un célebre trabajo, pero sin remuneración, ni nombramiento oficial. Colaboró con científicos importantes como Otto Fischer y Albert Einstein, pero no le permitían impartir clases. En 1918, logró demostrar dos teoremas básicos. Uno de ellos es conocido como el “Teorema de Noether”. Los conceptos algebraicos que Emmy desarrolló conducían a un grupo de principios que unificaban álgebra, geometría, álgebra lineal, topología y lógica. Para cumplir su sueño de dar clases de matemática tuvo que salir de su país. Fue profesora en Rusia, Suiza y Estados Unidos. ¡A trabajar! Cuéntenos, ¿usted con qué sueña? ¿A qué se quiere dedicar?

68

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Productos Notables En la semana 22 aprendimos el cuadrado de la suma y la diferencia de un binomio, esta semana estudiaremos estos casos: • Producto de la suma por la diferencia de dos binomios:

(a + b)(a - b)

• Producto de dos binomios con un término común y signos iguales:

(a + b)(a + c) (a - b)(a - c)

1.1 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) Identificar este producto notable es muy sencillo porque representa el producto de dos binomios, cuyos términos son iguales pero están unidos por signos opuestos. Veamos, si multiplicamos (a + b)(a - b) tenemos:

a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 Observe que al sumar los resultados parciales de la multiplicación, los términos -ab + ab se anulan y el resultado es “0”, pero no se escribe. A la vista del resultado, podemos deducir que, en general, el producto de la suma de un binomio por su diferencia, es igual a la diferencia de sus cuadrados. • El cuadrado del primer término (a)2 • Menos el cuadrado del segundo término (b)2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Memorice: Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. Matemática − Semana 23

69

Recuerde que la característica fundamental de los productos notables es que se pueden resolver por simple inspección, “a golpe de vista”, sin necesidad de realizar operaciones. Por eso es importante, en primer lugar, saber reconocerlos, y en segundo lugar aplicar la fórmula. Veamos un ejemplo Desarrollemos el producto (3a + 2)(3a - 2). Repita mentalmente la fórmula general: "suma por diferencia, es igual a diferencia de cuadrados".

(3a + 2)(3a - 2) = (3a)2 - (2)2 = 9a2 - 4 Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

3a + 2 3a - 2 - 6a - 4 9a2 + 6a 9a2 - 4 Otros ejemplos producto

(x + y)(x - y) =

desarrollo

(x)2 - (y)2 =

resultado

x2 - y2

(2x + 1)(2x - 1) = (2x)2 - (1)2 = 4x2 - 1 (5a + 4)(5a - 4) = (5a)2 - (4)2 = 25a2 - 16

Ejercicio 1 Desarrolle el producto de la suma por la diferencia. Repita mentalmente la fórmula general: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". Guíese por el ejemplo. producto (suma por diferencia)

70

desarrollo

resultado

0) (3x + y)(3x - y) =

(3x)2 - (y)2 =

1) (x + 7)(x - 7) =

(

)2 - (

)2 =

2) (x + 9)(x - 9) =

(

)2 - (

)2 =

3) (a + 6)(a - 6) =

(

)2 - (

)2 =

4) (7b - 3)(7b + 3) =

(

)2 - (

)2 =

5) (2x - y)(2x + y) =

(

)2 - (

)2 =

6) (x + 4)(x - 4) =

(

)2 - (

)2 =

7) (3x + 2)(3x - 2) =

(

)2 - (

)2 =

8) (5x + 4)(5x - 4) =

(

)2 - (

)2 =

IGER − Utatlán

9x2 - y2

1.2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales a. (a + b) (a + c) Al igual que el producto de la suma por la diferencia, este también tiene una fórmula general para resolverlo por simple inspección. Memorice: El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. • El cuadrado del término común (a)2 • Más el término común por la suma de los no comunes a(b + c)

(a + b) (a + c) = a2 + a(b + c) + bc

• Más el producto de los términos no comunes bc Desarrollemos el producto (a + 7)(a + 6)

(a)2 + a(7 + 6) + (7 : 6) = a2 + 13a + 42 Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

a+7 a+6 6a + 42 a2 + 7a a2 + 13a + 42 Veamos otros ejemplos binomio

desarrollo

resultado 2

(a + 8)(a + 2) = a + 10a + 16 (a) + a(8 + 2) + (8 : 2) = 2 (b + 9)(b + 6) = b2 + 15b + 54 (b) + b(9 + 6) + (9 : 6) = (3y + 1)(3y + 5) = (3y)2 + 3y(1 + 5) + (1 : 5) = 9y2 + 18y + 5 2

Ejercicio 2 Desarrolle el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Repita mentalmente la fórmula general. Guíese por el ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (a + 9)(a + 1) =

(a)2 + a(9 + 1) + (9 : 1) =

1) (x + 3)(x + 6) =

(

)2 +

(

+

)+(

:

)=

2) (y + 4)(y + 5) =

(

)2 +

(

+

)+(

:

)=

a2 + 10a + 9

Matemática − Semana 23

71

b. (a - b) (a - c) La fórmula es la misma del apartado anterior, salvo que el segundo término de la respuesta será un número negativo porque la suma de números negativos es otro número negativo. En general, podemos escribir la fórmula así:

(a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc suma de dos

producto de dos números negativos números negativos

El tercer término de la respuesta será siempre un número positivo porque el producto de dos números negativos es un número positivo. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. ¡Atención! Recuerde que la ley de signos no es la misma para la suma que para el producto.

Desarrollemos el producto (w - 2)(w - 8)

(w - 2)(w - 8) = w2 + w(-2 - 8) + (-2 : -8) = w2 - 10w + 16 suma de dos

números negativos

producto de dos números negativos

Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

w-2 w-8 - 8w + 16 w2 - 2w w2 - 10w + 16 Veamos otros ejemplos. binomio

(x - 4)(x - 5) =

desarrollo

resultado

(x) + x(-4 - 5) + (-4 : -5) = 2

2

x - 9x + 20

(5y - 6)(5y - 4) = (5y)2 + 5y(-6 - 4) + (-6 : -4) = 25y2 - 50y + 24

Ejercicio 3 A. Desarrolle el producto de dos binomios con un término en común a simple vista y compruebe su respuesta multiplicando los binomios en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo. 0) (y - 3) (y - 4) = y2 - 7y + 12

1) (d - 1) (d - 3) =

y - 3 y-4 -4y + 12 y2 - 3y y2 - 7y + 12





72

d-1 d-3

IGER − Utatlán

+

B. Desarrolle el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Repita mentalmente la fórmula general. Guíese por el ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (b - 6)(b - 2) =

(b)2 + b(-6 - 2) + (-6 : - 2) =

1) (a - 5)(a - 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

2) (c - 8)(c - 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

3) (h - 4)(h - 7) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

4) (x - 3)(x - 5) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

5) (x - 1)(x - 4) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

6) (y - 1)(y - 9) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

7) (w - 8) (w - 4) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

b2 - 8b + 12

Resumen Esta semana estudiamos dos casos más de productos notables. 1. Producto de la suma por la diferencia Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Comprobamos multiplicando en sentido vertical.

a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 2. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales El producto de dos binomios con un término en común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los término no comunes, más el producto de los términos no comunes. a. (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc b. (a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc Matemática − Semana 23

73

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo de la opción correcta a cada pregunta. 1) El resultado del producto de la suma por la diferencia de dos binomios es...

diferencia de cuadrados trinomio cuadrado factor común

2) Un ejemplo del producto de la suma por la diferencia es...

(x + 5)(x + 7) (x + 3)(x - 3) (x - 2)(x - 5)

3) Un ejemplo del producto de dos binomios con un término común y signos iguales es...

(w + 1)(x + 1) (w + 1)(x - 1) (w - 1)(w - 2)

4) El primer término del resultado de (3x + 2)(3x - 2) es...

x2 3x2 9x2

5) El segundo término del resultado de (3b + 3)(3b - 3) es...

6 9 -9

6) El primer término del resultado de (2c + 1)(2c + 3) es...

2c 4c 4c2

7) El segundo término del resultado de (y + 4)(y + 7) es...

11 11y 28y

8) El segundo término del resultado de (x - 2)(x - 5) es...

7x -7x -10x

9) El tercer término del resultado de (c - 6)(c - 3) es...

18 -18 -9c

74

IGER − Utatlán

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Desarrolle el producto por simple inspección y compruebe su respuesta multiplicando en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo. Producto de la suma por la diferencia

(d + 5)(d - 5) = 0) (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 1)



x+3 x-3 -3x - 9 x2 + 3x x2 - 9

B. Efectúe la multiplicación de la suma por la diferencia de binomios. Tiene un ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (2x + 6)(2x - 6) =

(2x)2 - (6)2 =

1) (x + 9)(x - 9) =

(

)2 - (

)2 =

2) (a + 2)(a - 2) =

(

)2 - (

)2 =

3) (d + 4)(d - 4) =

(

)2 - (

)2 =

4) (x - 1)(x + 1) =

(

)2 - (

)2 =

5) (b + 2)(b - 2) =

(

)2 - (

)2 =

6) (2h - 5)(2h + 5) =

(

)2 - (

)2 =

7) (4k - 3)(4k + 3) =

(

)2 - (

)2 =

4x2 - 36

C. Opere el producto de la suma por la diferencia por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (5a + 4)(5a - 4) =

25a2 - 16

1) (3x + 3)(3x - 3) = 2) (5y + 9)(5y - 9) = 3) (8x + 7)(8x - 7) = 4) (z + 12)(z - 12) = 5) (2d - 3)(2d + 3) = 6) (5k - 1)(5k + 1) = 7) (10m + 3)(10m - 3) = Matemática − Semana 23

75

D. Efectúe el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Tiene un ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (x + 9)(x + 4) =

(x)2 + x(9 + 4) + (9 : 4) =

1) (y + 1)(y + 5) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

2) (w + 8)(w + 7) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

3) (z - 4)(z - 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

4) (x -5)(x - 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

5) (a + 6)(a + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

6) (b + 3)(b + 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

7) (x + 7)(x + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

8) (y - 4)(y - 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

9) (y - 7)(y - 8) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

10) (z + 5)(z + 9) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

11) (2h + 1)(2h + 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

12) (5b + 3)(5b + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

x2 + 13x + 36

E. Opere el producto de dos binomios con un término común y signos iguales por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (v + 1)(v + 18) =

v2 + 19v + 18

1) (x - 3)(x - 8) = 2) (b + 11)(b + 7) = 3) (x - 6)(x - 9) = 4) (m - 3)(m- 5) = 5) (k - 2)(k - 7) = 6) (y + 5)(y + 9) = 7) (x + 3)(x + 6) = 8) (h - 9)(h - 8) = 9) (d + 8)(d + 7) = = 10) (x - 7)(x - 10) = = 11) (2b - 4)(2b - 1) = = 12) (5k + 2)(5k + 3) =

76

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Escriba el término que completa la igualdad. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Resuelva las multiplicaciones de números enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 4 x 4 = 16

7) 3 x (–8) =

14) 8 x (–10) =

1) 5 x 5 =

8) 2 x (–6) =

15) 9 x (–10) =

2) 7 x 7 =

9) 4 x (–5) =

16) (–8) x 5 =

3) 3 x 7 =

10) 3 x (–2) =

17) (–8) x 7 =

4) 8 x 9 =

11) 6 x (–9) =

18) (–4) x 8 =

5) 5 x 6 =

12) 3 x (–1) =

19) (–9) x 9 =

6) 6 x (–3) =

13) 2 x (–7) =

20) (–9) x 7 =

B. Resuelva las divisiones de números enteros, tenga presente la ley de signos. Guíese por el ejemplo. 0) 24 ÷ 6 = 4



5) 27 ÷ (–3) =

10) (–40) ÷ (–8) =



1) 42 ÷ 7 =

6) 32 ÷ (–8) =

11) (–63) ÷ (–9) =



2) 81 ÷ 9 =

7) 18 ÷ (–9) =

12) (–42) ÷ (–6) =



3) 56 ÷ 8 =

8) 25 ÷ (–5) =

13) (–25) ÷ (–5) =



4) 45 ÷ 5 =

9) 64 ÷ (–8) =



14) (–36) ÷ (–4) =

C. Multiplique potencias con igual base, recuerde colocar la base y sumar las potencias. Hay un ejemplo. 0) 36 x 33 =

39

1) 45 x 46 =

5) 114 x 113 =

10) 17 x 19 =



6) 153 x 1511 =

11) 238 x 234 =

2) 72 x 74 =



7) 124 x 126 =

12) 462 x 469 =

3) 32 x 35 =



8) 148 x 146 =

13) 888 x 882 =

4) 62 x 64 =



9) 105 x 102 =

14) 331 x 3316 = Matemática − Semana 23

77

Razonamiento lógico Los problemas de razonamiento lógico significan un reto que pone a prueba todas nuestras habilidades y destrezas para encontrar la mejor solución. Lea el caso siguiente, realice los procedimientos que considere necesarios y proponga la mejor solución. El caso del pastor, la cabra, el lobo y la lechuga Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río. Dispone de una pequeña barca en la que solo caben él y la cabra, él y el lobo o él y la lechuga. El lobo se come a la cabra si se quedan solos, la cabra se come la lechuga si se quedan solos. ¿De qué manera debe realizar los viajes para llevar al otro lado del río a los tres?

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Reconozco los valores de Emmy Noether. Resuelvo productos notables por simple inspección: suma por diferencia y dos binomios con un término común y signos iguales. Multiplico y divido números enteros; multiplico potencias con igual base. Resuelvo un caso de razonamiento lógico.

78

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

24 División de polinomios ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la ley de signos y de la división de potencias División de un monomio entre otro monomio, de un polinomio entre un monomio y de un polinomio entre un binomio: regla de Ruffini Producto y división Secuencias lógicas

Esta semana logrará:  Repasar la ley de signos y de la división de potencias.  Dividir un monomio entre otro monomio y un polinomio entre un monomio.  Aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre un binomio.  Practicar el cálculo mental a través de productos y divisiones.  Completar secuencias lógicas. 

Matemática − Semana 24

79

¡Para comenzar! Esta semana conviene recordar la división de números enteros y de potencias de la misma base. Porque nos servirán para la división de polinomios.

Ley de signos de la división Recuerde: • El cociente de dos números enteros con el mismo signo es un número positivo. • El cociente de dos números enteros con signo diferente es un número negativo. Observe la ley de signos de la división y los ejemplos. ley de signos + ÷ + = +

ejemplo 6 ÷ 2 = 3

– ÷ – = +

–6 ÷ –2 = 3

+ ÷ – = –

6 ÷ –2 = –3

– ÷ + = –

–6 ÷ 2 = –3

División de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Ejemplos 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 c7 ÷ c5 = c7–5 = c2 27 ÷ 26 = 27–6 = 21 = 2 d4 ÷ d4 = d4–4 = d0 = 1 Recuerde: todo número elevado al exponente cero (a0) es igual a uno (1), a0 = 1.

¡A trabajar! Repase y practique. Fíjese en los ejemplos.

4) 38 ' 33 = 38 - 3 = 35 8) a9 ' a3 = a9-3 = a6

1) -8 ' 2 =



5) 79 ' 76 =

9) y4 ' y3 =

2) 24 ' -3 =



6) 47 ' 43 =

10) w3 ' w2 =

3) -27 ' -9 =



7) 23 ' 23 =

11) z5 ' z5 =

0) 12 ' - 6 =

80

IGER − Utatlán

-2

El mundo de la matemática 1. División de polinomios Para dividir polinomios aplicamos las mismas leyes de los signos y de la potenciación de números enteros que acabamos de repasar. Estudiaremos tres casos.

1.1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir dos monomios, primero aplicamos la ley de los signos, luego dividimos los coeficientes numéricos y después las literales. Veamos el procedimiento: • Escribir la división como una fracción algebraica. • Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. • Dividir el coeficiente numérico y las literales, aplicando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir el resultado. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Dividamos 6a4b5 ' 3a2b2 • Escribimos la división como una fracción algebraica.

4 5 = 6a2 b2 3a b

• Descomponemos la fracción como producto de varias fracciones.

4 5 = 6 : a2 : b2 3 a b

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales. (Copiamos la base y restamos los exponentes)

= 2a4 - 2 b5 - 2 = 2a2b3

• Expresamos la división completa:

6a4b5 ' 3a2b2 = 2a2b3



Otro ejemplo Dividamos 24x5y7 ' -6x2y6 • Escribimos la división como una fracción algebraica.

=

• Descomponemos la fracción como producto de varias fracciones.

5 y7 = 24 : x2 : 6 -6 x y

24x5 y 7 - 6x2 y6

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales. Recuerde dividir primero los signos (+ ' - = -)

= -4x5 - 2 y7 - 6 = -4x3y

• Expresamos la división completa:

24x5y7 ' -6x2y6 = -4x3y Matemática − Semana 24

81

¡Un ejemplo más! Dividamos Atención: Cuando en el numerador hay una letra que no existe en el denominador, suponemos que su denominador es uno. Por ejemplo y3 y3 = 1



- 8x6y3 ' - 4x5

• Escribimos la división como una fracción algebraica.

=

• Descomponemos la fracción como producto de varias fracciones.

6 y3 = - 8 : x5 : -4 x 1

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales.

= 2x6 - 5 y3 = 2xy3

• Expresamos la división completa:

- 8x6 y3 - 4x 5

-8x6y3 ' -4x5 = 2xy3

Ejercicio 1 A. Siga los pasos para dividir

-12x3y ' - 4x2

•

Escriba la división como una fracción algebraica.

•

Descomponga la fracción como producto de varias fracciones.

= - 12 : ............... : ............... -4

•

Divida el coeficiente numérico y las literales. Acuérdese de dividir primero los signos.

= ..............................................................................................

•

Exprese la división completa:

=

B. Divida los monomios. Hay un ejemplo.

15x5 ' 5x2 = 0) -6a4b3 ' 3a2b = 1)



4 3 = - 6a2 b 3a b 4 3 = - 6 : a2 : b 3 a b = - 2a 4 - 2 b 3 - 1 =- 2a 2 b 2

2) 12x2y ' -3x = 3) -20ab3 ' 4b =

82

IGER − Utatlán

- 12x3 y - 4x2

1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio y resolvemos las operaciones indicadas. Entenderemos el procedimiento con un ejemplo.

(4c3 + 6c2 + 2c) ' (2c) Dividamos • Escribimos la división como una fracción algebraica. (Observe que el monomio se convierte en denominador común)

3 2 = 4c + 6c + 2c 2c

Atención: Cualquier valor dividido entre sí mismo es igual a la unidad (1).

• Separamos cada término como fracción con denominador común.

3 2 2c = 4c + 6c + 2c 2c 2c

• Dividimos cada fracción como división de dos monomios.

= 2c3-1 + 3c2 - 1 + 1

2 =1 2

= 2c2 + 3c + 1

c = c1-1 = c0 = 1 c

• Expresamos la división completa: (4c + 6c + 2c) ' (2c) = 2c + 3c + 1 3

2

2

Otro ejemplo

(9x5 - 6x3 + 12x) ' (3x) Dividamos • Escribimos la división como una fracción algebraica.

5 3 = 9x - 6x + 12 x 3x

• Separamos cada término como fracción con denominador común.

5 3 12 x = 9x - 6x + 3x 3x 3x

• Dividimos cada fracción como división de dos monomios.

= 3 x 5- 1 - 2 x 3 - 1 + 4 = 3x4 - 2x2 + 4

• Expresamos la división completa: (9x5 - 6x3 + 12x) ' (3x) = 3x4 - 2x2 + 4

Ejercicio 2 Complete la división. (8k4 + 12k3 - 4k2) ' (4k2) • Escriba la división como una fracción algebraica. • Separe cada término como fracción con denominador común. • Divida cada fracción como división de dos monomios.

4 3 2 = 8k + 12k2 - 4k 4k

=

4k2

+

4k2

-

4k2

= ................................................................................................................................

• Exprese la división completa: Matemática − Semana 24

83

1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Al aplicarlo se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a, donde a es cualquier número entero. Entenderemos el procedimiento con un ejemplo. Ponga mucha atención. Dividamos (x3 - 7x + 6) ' (x + 3) = Atención: Observe que colocamos un cero (0) en el orden x2 que falta en el polinomio dividendo. El término independiente es un número que aparece sin la variable. En el binomio x + 3, el término independiente es 3.

84

IGER − Utatlán

1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (-3).

x3 + 0x2 - 7x + 6 +1 0 - 7 +6 -3

2. Bajamos el +1 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Siga la flecha.

+1 0 - 7 +6 -3 +1

3. Multiplicamos -3 : 1 = -3. Escribimos el resultado en la columna siguiente, siga las flechas.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 +1

4. Sumamos 0 - 3 = -3. Escribimos el resultado abajo.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 +1 -3

5. Repetimos los pasos 3 y 4. Multiplicamos -3 : -3 = +9. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 +1 -3

6) Sumamos - 7 + 9 = +2. Escribimos el resultado abajo.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 +1 -3 + 2

7. Repetimos los pasos 3 y 4. Multiplicamos -3 : 2 = -6. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 -6 1 -3 + 2

8. Sumamos 6 - 6 = 0. Escribimos el resultado abajo. Este último valor representa siempre el residuo (R) del resultado final.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 -6 1 -3 + 2 0

9. ¡Atención! Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observe.

Observe que la respuesta es un polinomio en orden descendente de un grado menor al polinomio original.

x2 - 3x + 2

(x3 - 7x + 2) ' (x + 3) = x2 - 3x + 2, R = 0 Otro ejemplo Dividamos (2x2 - 9x - 19) ' (x - 6) 1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (+6).

+2 -9 -19 +6

2. Bajamos el +2 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Siga la flecha.

+2 -9 -19 +6 +2

3. Multiplicamos 6 : 2 = +12. Escribimos el resultado en la columna siguiente. Siga las flechas.

+2 -9 -19 +6 +12 +2

4. Sumamos - 9 + 12 = +3. Escribimos el resultado abajo. Siga las flechas.

+2 -9 -19 +6 +12 +2 +3

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta completar la tabla.

+2 -9 -19 +6 +12 +18 +2 +3 -1

6. Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observe con atención.

2x + 3

Escribimos la respuesta: (2x2 - 9x - 19) ' (x - 6) = 2x + 3, R = -1 Matemática − Semana 24

85

Ejercicio 3 Ahora practique la división de dos polinomios. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0) (x3 - 27) ' (x - 3) =



= (x3 + 0x2 + 0x - 27) ' (x - 3)



1 0 0 -27 3 +3 +9 +27 1 +3 +9 0

1) (x2 + 5x + 6) ' (x + 3) =

-3

x2 + 3x + 9, R = 0

86

2) (x2 + x - 20) ' (x + 5) =

3) (2m2 - 9m - 18) ' (m + 3) =

4) (x3 - 3x2 - 3x + 6) ' (x - 1) =

5) (y2 - 9) ' (y + 3) =

IGER − Utatlán

6) (4y3 - y + 4) ' (y + 2) =

7) (z3 + 8) ' (z + 2) =

Resumen 1.1 División de un monomio entre otro monomio Para resolver la división de monomio entre monomio seguimos estos pasos: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. 3. Dividir el coeficiente numérico y las literales. 4. Escribir el resultado final. 1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, procedemos así: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Separar cada término como fracciones con denominador común. 3. Dividir cada fracción como división de dos monomios. 4. Escribir el resultado final. 1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a.

Matemática − Semana 24

87

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es el resultado de dividir a2 ' a2?

a4 a2 a 1

2) ¿Cuál es el resultado de dividir -b ' b?

-1 1 -b b

3) ¿Cuál es el resultado de dividir -x3 ' - x2?

x -x -x2 -x5

4) ¿Cuál es el resultado de dividir ab ' a?

a b ab 1

5) ¿Cuál es el resultado de dividir (a + b) ' a?

b 1+b 1 + b/a a + b/a

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Siga los pasos para resolver la división

(6x5 + 4x3 + 2x) ' (2x)

• Escriba la división como una fracción algebraica. El monomio se convierte en denominador común.

=

• Separe cada término como fracción con denominador común.

=

• Divida cada fracción como división de dos monomios.

= ..................................................................................

+

+ 2x

2x

+

2x

+

2x

= .................................................................................. • Exprese la división completa:

88

IGER − Utatlán

B. Realice las divisiones indicadas. Guíese del ejemplo. 0) (6x4) ' (2x) =



1) (8x5) ' (-2x) =

4 4 3 4-1 = 6x = 6 : x = 3x = 3x 2x 2 x

2) (2x4 + 6x2 + 4x) ' (2x) = 3) (3y5 - 6y3 + 9y) ' (3y) =

C. Aplique la regla de Ruffini para dividir. 1) (x2 + 20x + 10) ' (x + 2) = 2) (x2 - 16) ' (x + 4) =

D. Realice en su cuaderno las divisiones siguientes. 1) -10x2 ' (-2x) =

6) (x2 + 5x + 2) ' (x + 2) =

2) 63a4b ' 3a = 7) (x2 - 2x - 3) ' (x - 3) = 3) 33a5b7 ' (-3a2b4) = 8) (x2 + 2) ' (x - 2) = 4) (x3 + 2x2 + 70x) ' (x) = 9) (x3 - 2x2 - 3x + 6) ' (x - 1) = 5) (2x4 - 6x3 + 4x2) ' (2x2)= 10) (2x3 - 1) ' (x - 1) = Matemática − Semana 24

89

Agilidad de cálculo mental A. Encuentre el producto o el factor que falta. Tiene un ejemplo. 0) 9 x 8 = 72

8)

x 7 = 49

1) 5 x 7 =

9)

x 9 = 54

2) 6 x 4 =

10)

x 2 = 18

3) 2 x 3 =

11)

x 5 = 45

4) 8 x 3 =

12)

x 8 = 56

5) 4 x 9 =

13)

x 5 = 40

6) 8 x 1 =

14)

x 7 = 42

7) 7 x 9 =

15)

x 8 = 64

B. Escriba el divisor que completa correctamente las divisiones. Tiene un ejemplo. 0) 28 ÷

4

=7

8) 48 ÷

=6

1) 32 ÷

=8

9) 54 ÷

=9

2) 90 ÷

= 10

10) 48 ÷

=8

3) 50 ÷

=5

11) 36 ÷

=9

4) 49 ÷

=7

12) 81 ÷

=9

5) 40 ÷

=8

13) 24 ÷

= 8

6) 100 ÷

= 10

14) 30 ÷

= 10

7) 21 ÷

=3

15) 45 ÷

=9

C. Resuelva la división de monomios. Tiene un ejemplo. 0) (x3) ' (x) =

90

x2

6) (-6d8) ' (-d5) =

1) (y8) ' (y3) =

7) (-7e6) ' (-7e4) =

2) (a5) ' (a2) =

8) (-10a7) ' (-2a2) =

3) (c7) ' (c6) =

9) (-18s3) ' (-3s3) =

4) (h2) ' (h2) =

10) (-20c4) ' (-2c) =

5) (b6) ' (b5) =

11) (-25y9) ' (-5y3) =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico Este ejercicio consiste en hallar la figura, el valor numérico o letra que corresponde según la secuencia lógica. Fíjese en el ejemplo. 0)

3

8

6

4

...32

12

9



¿Qué figura le corresponde al número 32? Explique la respuesta.



La figura es un cuadrado porque los triángulos contienen múltiplos de 3 y los cuadrados múltiplos de 4. Y 32 es múltiplo de 4.

1)



5

6

10

12

15

...65

18

¿Qué figura le corresponde a 65? Explique su respuesta.

2)

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

6

11

a

b

Observe la secuencia. ¿Cuáles son los valores de a y b? Explique su respuesta.

3)



15

20

12

10

5

12

18

23

20

18

15

N

Observe la relación de los números en forma vertical y horizontal en los dos primeros recuadros. ¿Cuál es el valor de N? Explique su respuesta.

4)



2

3

4

4

6

8

6

9

12

8

...27

Observe la secuencia de números y figuras. ¿Qué figura le corresponde a 27? Explique su respuesta.

Matemática − Semana 24

91

Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuántos cubos hay? Con esta actividad pretendemos desarrollar su habilidad de conteo y de observación atenta. La idea es calcular el total de cubos que hay en la figura siguiente:

El resultado lo podemos obtener así: • En la fila de arriba hay 5 cubos • En la fila de en medio hay 7 cubos • En la fila de abajo hay 8 cubos Respuesta: En la figura hay 5 + 7 + 8 = 20 cubos. Ahora le toca a usted, calcule la cantidad de cubos que hay en cada figura. Escriba su respuesta sobre la línea. 2)

1)



R/

R/

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Repaso la ley de signos y la división de potencias. Divido un monomio entre otro monomio y un monomio entre un monomio. Aplico la ley de Ruffini para dividir un polinomio entre otro polinomio. Practico el cálculo mental a través de productos y divisiones. Completo secuencias lógicas.

92

IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

25 Repaso: semanas 18 a 24 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 18 a la 24.  Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.  Sumar y restar polinomios en forma horizontal y vertical.  Multiplicar polinomios en forma horizontal y vertical.  Dividir polinomios con la regla de Ruffini.  Efectuar productos notables por simple inspección.  Practicar el cálculo mental con expresiones algebraicas. 

Matemática − Semana 25

93

Querida y querido estudiante: Se aproxima la tercera evaluación y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 18 a la 24. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza y rapidez para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito en la prueba el procedimiento que utilice para llegar a la respuesta. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

94

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática Expresiones algebraicas 1. Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos. -3c3d4

1.1 Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. 1.2 Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios.

Binomio es un polinomio formado por dos monomios.

2a + b2



Trinomio es un polinomio formado por tres monomios.

3a3 + b2 + 1



Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más terminos recibe el nombre de polinomio.

a+b+c+1

1.2.1 El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable. 1.3 Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente). 2. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea qué clase de polinomio es y explique por qué. Tiene un ejemplo. 0) 5a3b

Es monomio porque está formado por un solo término algebraico.

1) xy + 2z



2) 6d2c



3) 20x + 3



4) 3x + 2y



5) 2abc



6) ab2

Matemática − Semana 25

95

Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba el grado relativo respecto a la variable indicada. Guíese por el ejemplo. polinomio 0) 2a3b + 2a2b + 8b2

clasificación

grado de a

grado de b

trinomio

3

2

1) a3 + 3b 2) 12a5b - 6a4b3c + c2 3) 6a4d2 + 4b3c5 4) 10a5y4 + 21a6b 5) 5a2 - 2b2

Ejercicio 3 Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas si a = 3, b = 2 y x = 4. Fíjese en el ejemplo.

4b2 - 3x + 2a = 0) 2x + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 1)

2) 4a3 + 5b2 - 3x3 = 3) 3a2 + 2x3 - 2x2 + 4 =

4)

96

2 2b2 + x = 5) 3x - 2a + 3b = a 2x

IGER − Utatlán

Suma y resta de polinomios Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

4m + 11m = 15m Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos.

Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal. Sentido horizontal

(8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 = (8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2

Sentido vertical



8m + 2n -3m - 5n + 2 5m - 3n + 2

Ejercicio 4 Opere los monomios en sentido horizontal. Hay un ejemplo. 0) 2x + 3x = 5x 1) 20abc + 12abc =

2) -23xyz -7xyz = 3) -6x2y3 + 12x2y3 =

4) 15x3y2z - 9x3y2z = 5) 4h2 - 16h2 =

Matemática − Semana 25

97

Ejercicio 5 Opere los monomios en sentido vertical. Guíese por el ejemplo. 0)

4x 1) + 10x 14x

12x2y + 16x2y

2)

25a2b3c 3) -33a2b3c

- 25x3y7z4 - 26x3y7z4

4)

15xyz 5) - 84abc - 15abc + 12xyz

Ejercicio 6 A. Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal. Tiene un ejemplo. 0) 3x + (4xy + 2y + 1) = 1) 25y2 + (2xy -36y2) =



3x + 4xy + 2y + 1

2) 4x - (2x + 24y -15c) = 3) -6a - (6a + 4b - 6c) =

4) -36x - (-12x - 6y + 4z) =

98

IGER − Utatlán

5) 3p + (2p + 4q - 6r) =

B. Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical. Hay un ejemplo. 0) 4z - (36x + 2y - 4z) = 1) 25x2y + (25x3y - 12x2y + 3) =



- 36x - 2y + 4z + 4z - 36x - 2y + 8z

2) 36a2 - (-12a3b2 + 15a2) =

3) 12mn + (-5m + 10mn - 4p) =

Ejercicio 7 A. Opere los polinomios en el sentido que desee. Guíese por el ejemplo. 0) (5x2y + 3x - 5y) + (6x2y - 5x + 8y) =



5x2y + 3x - 5y + 6x2y - 5x + 8y = (5x2y + 6x2y) + (3x - 5x) + (8y - 5y) = 11x2y - 2x + 3y

1) (3x + 8y - 6) + (8x - 9y + 14) =

2) (5a2b + 9bc + 8d) + (4a2b - 3bc + 6) =

B. Opere los polinomios siguientes en su cuaderno. 1) (5a - 3b + c) + (4a - 5b - c)

4) (3a + 7b - 4c) - (3a + 5b - 3c)

2) (8p4 - 3r2) + (6p4 - 12r2 + 15)

5) (5k + 2m + 10) + (2k + m - 4s + 24)

3) (-12x + 15y + 16z) - ( -13x + 20y) 6) (4x4y + 3x3 + 3y) + (5x4y - 5x2 + 4y) Matemática − Semana 25

99

Multiplicación de polinomios I 1. Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. 1.1 Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean diferentes. El procedimiento es el siguiente: • Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado. • Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir la respuesta. 1.2 El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta.

Ejercicio 8 Multiplique los monomios en sentido horizontal. Guíese por el ejemplo.

1) (a2b3)(a3b2c4) = (4:-3)(p4 : p6) = -12p4 + 6 = -12p10

0) (4p4)(-3p6) =





2) (-3x4y3)(-6xyz) = 3) (-4m4n3)(3m4n3p) =

4) (a2)(-b2)(4a3b3) = 5) (-4a3)(2a2b)(-6ab3c) =

6) (-ab2)(-bc3)(-cd4) = 7) (4x)(-5x2y)(2x3) =

100

IGER − Utatlán

Ejercicio 9 Multiplique un monomio por un polinomio en sentido horizontal. Exprese el polinomio resultante en orden descendente y reduzca términos semejantes. Tiene un ejemplo. 0) (6x2)(1 + 2x - 12y3 - 3) =



1) (4ab)(21ab + 14abc - 2) =

6x2 + 12x3 - 72x2y3 - 18x2 = 12x3 - 12x2 - 72x2y3

2) (4x)(1 + 20x - 5y) = 3) (2a)(10b - 12a) =

4) (b)(a - 36ab + 4bc) = 5) (2m4)(4m2n3 - 3mn - 12p) =

Ejercicio 10 Multiplique un monomio por un polinomio en sentido vertical. Hay un ejemplo. 0) (4x)(5x2 + 2xy - 4z) =



1) (5g)(3w + 11x - 9z) =

5x2 + 2xy - 4z 4x 3 2 20x + 8x y - 16xz

2) (7a2b)(-5a3 + 7a2b - 3ab2) =

3) (2c)(3c2 - 2cd + d) =

4) (3a3)(2a2b + a - 4) =

5) (4hk)(2h3 - 2k2 + 3hk) =

Matemática − Semana 25

101

Multiplicación de polinomios II Multiplicación de polinomios Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio: • Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados. • Se reducen términos semejantes. • Se ordena el polinomio. • Se escribe el producto completo. Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = = [(b3 : 3b2) + (b3 : 5b) + (b3 : 1)] + [(8 : 3b2) + (8 : 5b) + (8 : 1)]

=

3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 3b2 + 5b + 1 b3 + 8 + 24b2 + 40b + 8 3b5 + 5b4 + b3 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

Ejercicio 11 Multiplique los polinomios en sentido horizontal aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. 1) (2a + 2b)(3a + 3b)

:

= [(

:

)+( +

= =

:

)] + [( + +

)+(

:

)+(

: -

)]

+ +

2) (4x + 2y)(3x -3)

= [(

:

)+( =

102

IGER − Utatlán

: -

)] + [( +

: -

)]

Ejercicio 12 Multiplique los polinomios. Guíese por el ejemplo. 0) (x + 1)(2x + 3y + 4) = 1) (a + 1)(2a + b + 1) =



2x + 3y + 4 x+1 2x + 3y + 4 2 2x + 4x + 3xy 2x2 + 6x + 3xy + 3y + 4

2) (a2 + b)(2a + 4b + 8c) = 3) (mn + 1)(m3n3 + m2n2 - 4) =

4) (a + b)(2a2 + 2ab + b2) = 5) (c - d)(-a + 3b + 2c) =

Matemática − Semana 25

103

6) (x + 4)(3x2 + 4x - 2) =

7) (3x + 2)(4x2 - 3x + 7) =

8) (4a2 - 3)(2a2 - a + 6) =

9) (5c3 + 1)(-c2 + 2c + 1) =

10) (a + b)(a2 - ab + b2) = 11) (6p2 - 2p)(p2 + 4p + 5) =

104

IGER − Utatlán

Productos notables I y II Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección. 1. Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Producto de la suma por la diferencia Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

4. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los término no comunes, más el producto de los términos no comunes. a.

(a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc

b.

(a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc



Recuerde que puede realizar todas estas operaciones paso a paso.



Si se siente más seguro, multiplique en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo de la suma por la diferencia.



a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 Matemática − Semana 25

105

Ejercicio 13 Calcule el cuadrado de las sumas y restas indicadas. Guíese por el ejemplo. cuadrado de la suma 0) (2a + 2b)2 =

desarrollo

(2a)2 + 2(2a : 2b) + (2b)2 =

resultado

4a2 + 8ab + 4b2

1) (4x + 2y)2 = 2) (2a + c)2 = 3) (3m + 2)2 = 4) (4m + 2n)2 = 5) (5h + 6k)2 = 6) (2x + 10y)2 = cuadrado de la resta 0) (2h - 3)2 =

desarrollo

(2h)2 - 2(2h : 3) + (3)2 =

resultado

4h2 - 12h + 9

1) (2a - 6)2 = 2) (5m - 3n)2 = 3) (4a - 9b)2 = 4) (3p - 4)2 = 5) (3k - 3x)2 = 6) (5x - 8y)2 =

Ejercicio 14 Opere el producto de la suma por la diferencia por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (h + k)(h - k) =

h2 - k2

1) (x + y)(x - y) = 2) (c + d)(c - d) = 3) (a + b)(a - b) = 4) (n + 1)(n - 1) = 5) (4 + 9t)(4 - 9t) = 6) (5c + 4)(5c - 4) = 7) (2x + 3)(2x - 3) = 8) (5 + 8w)(5 - 8w) =

106

IGER − Utatlán

Ejercicio 15 Opere el producto de dos binomios con un término común y signos positivos por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (a + 5)(a + 9) =

a2 + 14a + 45

1) (x + 5)(x + 4) = 2) (p + 2)(p + 3) = 3) (a + 7)(a + 1) = 4) (m + 1)(m + 2) = 5) (r + 3)(r + 4) = 6) (q + 6)(q + 3) = 7) (k + 1)(k + 8) = 8) (4g + 3)(4g + 5) = 9) (6b + 2)(6b + 6) = 10) (2d + 1)(2d + 7) =

Ejercicio 16 Opere el producto de dos binomios con un término común y signos negativos por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (3h - 9)(3h - 2) = 9h2 - 33h + 18 1) (t - 1)(t - 2) = 2) (r - 8)(r - 2) = 3) (z - 5)(z - 4) = 4) (n - 2)(n - 1) = 5) (k - 2)(k - 4) = 6) (4c - 4)(4c - 5) = 7) (2a - 2)(2a - 3) = 8) (3g - 3)(3g - 5) = 9) (5h - 4)(5h - 2) = 10) (2p - 1)(2p - 2) =

Matemática − Semana 25

107

División de polinomios 1.1 División de un monomio entre otro monomio Para resolver la división de monomio entre monomio seguimos estos pasos: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. 3. Dividir el coeficiente numérico y las literales. 4. Escribir el resultado final. 1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, procedemos así: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Separar cada término como fracciones con denominador común. 3. Dividir cada fracción como división de dos monomios. 4. Escribir el resultado final. 1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a.

Ejercicio 17 Realice las divisiones de monomio entre monomio. Tiene en ejemplo. 0) 10x5y3 ' 2x3 =

10x5y3 10 x5 y3 = : : = 5x2y3 2x3 2 x3 1

1) 26w4z6 ' 2wz =

2) 16x6y8 ' (-2x2y4) =

3) -32m3n4p2 ' 16mn =

108

IGER − Utatlán

Ejercicio 18 Realice las divisiones de polinomio entre monomio. Escriba la división como una fracción algebraica. Tiene un ejemplo.

(3x + 6) ' 3 = 0) (6z3 + 4z2 + 8z) ' (2z) = 1) 3 2 = 6z + 4z + 8z 2z 3 2 8z = 6z + 4z + 2z 2z 2z

= 3z 2 + 2z + 4

2) (4x3 - 8x) ' 2 = 3) (4x3y4 + 12x2y5z -18xy) ' 2xy =

Ejercicio 19 Realice las divisiones de un polinomio entre un binomio por medio de la regla de Ruffini. 0) (x3 - 8) ' (x -2) = 1) (2x2 + 12x + 16) ' (x + 4) =



= (x3 + 0x2 + 0x - 8) ' (x - 2)



1 0 0 -8 +2 +2 +4 +8 1 +2 +4 0

x2 + 2x + 4, R = 0 2) (x2 + x - 20) ' (x + 5) =



3) (2m2 - 9m - 18) ' (m + 3) =



Matemática − Semana 25

109

4) (2x3 + 6x - 4) ' (x + 4) =



5) (x3 + 27) ' (x + 3) =



(a2 + 2a - 3) ' (a + 3) = 6) (2p2 - 7p - 15) ' (p - 5) = 7)





8) (x4 - 9x2 + x + 3) ' (x + 3) = 9) (-m3 - 6m2 + 2m - 3) ' (m - 1) =





10) (h3 + 8) ' (h + 2) = 11) (2u3 - 3u2 - 3u + 6) ' (u - 1) =



110



IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo mental multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar las leyes de signos y potenciación. Guíese con los ejemplos. A.

0) (a)(a) = 1) (v4)(v) =

12) (-8r)(-r) =

2) (z)(z2) =

13) (-7i)(-3i) =

3) (y2)(y) =

14) (-4j)(-3j4) =

4) (f 3)(f 2) =

15) (-2k)(-3k) =

5) (b)(b3) =

16) (-p)(-9p) =

6) (d2)(d) =

17) (-5h)(-h3) =

7) (x5)(x2) =

18) (-s5)(-6s2) =

8) (e6)(e2) =

19) (-5q)(-2q) =

9) (c6)(c2) =

20) (-3g)(-8g3) =

10) (w)(w4) = B.

11) (-2u4)(-u) =

a2



2u5

21) (-6t2)(-4t3) =

4 0) (2m3)(-2m) = -4m

11) (-7u)(3u) = -21u

1) (5f)(-2f) =

12) (-a)(6a6) =

2) (3v3)(-2v2) =

13) (-3c)(2c) =

3) (2d)(-5d) =

14) (-4b)(2b) =

4) (4n)(-2n) =

15) (-9t5)(7t3) =

5) (5s3)(-2s) =

16) (-6r6)(3r4) =

6) (9p)(-3p5) =

17) (-4x)(3x2) =

7) (6h3)(-2h) =

18) (-2d)(8d) =

8) (3x)(-2x2) =

19) (-5g)(3g6) =

9) (4k)(-4k) =

20) (-6m)(2m) =

10) (9z3)(-6z4) =



2

21) (-3e6)(2e2) = Matemática − Semana 25

111

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Después de estudiar...

Repaso los contenidos de la semana 18 a la 24. Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Sumo y resto polinomios en forma horizontal y vertical. Multiplico polinomios en forma horizontal y vertical. Divido polinomios con la regla de Ruffini. Efectúo productos notables por simple inspección. Practico el cálculo mental con expresiones algebraicas.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su tercera prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.

Grupo: Utatlán Materia: Matemática Prueba: parcial A-2014

Círculo de estudio Nº:

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) ¿Cuál es el resultado de (x + 3)(x - 3)?

x2 + 9 x2 + 6 x2 - 9

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

112

IGER − Utatlán

26 Pares ordenados y producto cartesiano ¿Qué encontrará esta semana? Elija su menú Par ordenado y producto cartesiano Operaciones combinadas Trazar una figura en el plano a partir de la ubicación de pares ordenados.

Esta semana logrará:  Identificar combinaciones en actividades cotidianas.  Realizar pares ordenados.  Representar un producto cartesiano en forma enumerativa, tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas y producto de monomios.  Trazar una figura geométrica por medio de pares ordenados en el plano cartesiano. 

Matemática − Semana 26

113

¡Para comenzar! Elija su menú En el restaurante “Las Delicias” hay varias opciones de almuerzo a elegir. Veamos cuál es el menú del día.

Menú del día Hoy le ofrecemos:

carne asada pollo frito caldo de res





Puede acompañar su plato con arroz, ensalada o guacamol. ¡Buen provecho!

¿Cuántas opciones distintas de almuerzo hay? Con la ayuda de la tabla haremos todas las combinaciones posibles para preparar el “menú del día”. Llamamos conjunto A al conjunto plato principal y conjunto B al conjunto acompañamiento. Observe. B

arroz

ensalada

guacamol

carne asada

carne asada y arroz

carne asada y ensalada

carne asada y guacamol

pollo frito

pollo frito y arroz

pollo frito y ensalada

pollo frito y guacamol

caldo de res

caldo de res y arroz

caldo de res y ensalada caldo de res y guacamol

A

¡Se pueden escoger 9 menús distintos! Cada plato lo podríamos clasificar como un par ordenado. Esta semana aprenderá por qué. ¡A trabajar! Practique formando parejas ordenadas. Escriba en la tabla todas las combinaciones posibles de sabores de helado (conjunto A) con un acompañamiento (conjunto B). Escriba primero el sabor del helado y después el acompañamiento. Tiene un ejemplo. manías

B

A

fresa y manías

fresa vainilla chocolate

114

IGER − Utatlán

anisillos

granola

El mundo de la matemática 1. Pares ordenados Si pensamos en un día cualquiera de nuestra vida, descubriremos que está lleno de rutinas que realizamos en un orden determinado. Por ejemplo: primero comemos y después nos lavamos los dientes. Algo semejante sucede en matemáticas cuando hablamos de pares ordenados. Un par ordenado lo definimos como una colección de dos elementos unidos en un orden determinado. Un par ordenado se expresa mediante dos números o dos letras minúsculas, separados por una coma y entre paréntesis:

(a, b) se lee: par ordenado a, b La expresión (a, b) significa que a forma pareja con b en el orden que aparecen: primero el elemento a y después el elemento b. Los pares ordenados nos sirven principalmente para ubicar objetos o puntos sobre una gráfica. Veamos un ejemplo Sara dibuja un plano para indicarle a su amigo Gabriel cuántas cuadras debe caminar para llegar a su casa. Observe con atención.

5

¡Atención! El primer elemento del par ordenado representa siempre la posición horizontal, el segundo elemento la posición vertical.

4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

Gabriel debe caminar 4 cuadras hacia la derecha (horizontal) y 3 cuadras hacia arriba (vertical). Podemos representar el trayecto con el par ordenado (4, 3). Si Gabriel caminara 3 cuadras a la derecha y 4 cuadras hacia arriba, no llegaría a la casa de Sara. Observe la ilustración, el camino equivocado está trazado en gris. Por lo tanto, un par ordenado no cumple con la propiedad conmutativa, (4, 3) ! (3, 4). Matemática − Semana 26

115

2. Producto cartesiano En la sección ¡Para comenzar! formamos un producto cartesiano al combinar todos los elementos del conjunto “plato principal” con todos los elementos del conjunto “acompañamiento”. Al igual que un par ordenado, el producto cartesiano no cumple con la propiedad conmutativa, A x B ! B x A.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, combinando cada elemento del conjunto A, con cada elemento del conjunto B. Simbólicamente se representa así: A x B, se lee: “A por B” o “conjunto producto cartesiano de A por B”.

2.1 Formas de representar el producto cartesiano El producto cartesiano es un conjunto y como tal se puede representar en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano. Veamos.

a. Forma enumerativa Recuerde que enumerar es contar, hacer una lista. Por lo tanto, representar el producto cartesiano en forma enumerativa, consiste en realizar una lista de todos los pares ordenados posibles. Por ejemplo Dados los conjuntos A = { 1, 2 } y B = { A x B.

,

}, hallemos el producto cartesiano

• Combinamos el primer elemento del conjunto A, que es 1, con cada elemento del conjunto B para formar todos los pares posibles. 1

(1,

)

(1,

)

• Para completar el producto cartesiano, combinamos el segundo elemento del conjunto A, que es 2, con cada elemento de B. 2

(2,

)

(2,

)

• Ahora escribimos el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvimos. A x B = { (1,

116

IGER − Utatlán

), (1,

), (2,

), (2,

)}

Otro ejemplo Dados los conjuntos A = { 2, 5, 7 } y B = { x, y, z }, hallemos A x B. • Combinamos el primer elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B para formar todos los pares posibles. x (2, x) 2

y (2, y) z (2, z)

• Combinamos el segundo elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B. x (5, x) 5

y (5, y) z (5, z)

• Combinamos el tercer elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B. x (7, x) 7

y (7, y) z (7, z)

• Escribimos el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvimos. A x B = { (2, x), (2, y), (2, z), (5, x), (5, y), (5, z), (7, x), (7, y), (7, z) }



Para verificar el número de pares ordenados que debemos obtener del producto cartesiano, multiplicamos entre sí el número de elementos de cada conjunto. En el ejemplo AxB=3x3=9 Debemos obtener 9 pares ordenados.

Ejercicio 1 Dados los conjuntos C = { a, b } y D = {

,

,

}, halle C x D en forma enumerativa.

• Combine el primer elemento del conjunto C con cada elemento del conjunto D para formar todos los pares posibles. a

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Combine el segundo elemento del conjunto C, con cada elemento del conjunto D.

b

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvo.

CxD=

{ Matemática − Semana 26

117

b. Tabla de doble entrada Una tabla de doble entrada es un cuadro que combina dos valores. Está formada por filas y columnas. En la primera columna se escriben los elementos del primer conjunto, en la primera fila los elementos de segundo conjunto. Veamos un ejemplo Dados los conjuntos V = { a, e, i, o, u } y L = { 1, 3, 5, 7, 9 } Realicemos el producto cartesiano V x L en una tabla de doble entrada. Representamos el conjunto V en la primera columna y el conjunto L en la primera fila. En cada celda escribimos un par ordenado, primero el elemento del conjunto V y después el elemento del conjunto L.

Recuerde: Debemos obtener 25 pares ordenados porque: V x L = 5 x 5 = 25

1 V L a (a, 1)

3

5

7

9

(a, 3)

(a, 5)

(a, 7)

(a, 9)

e

(e, 1)

(e, 3)

(e, 5)

(e, 7)

(e, 9)

i

(i, 1)

(i, 3)

(i, 5)

(i, 7)

(i, 9)

o

(o, 1)

(o, 3)

(o, 5)

(o, 7)

(o, 9)

u

(u, 1)

(u, 3)

(u, 5)

(u, 7)

(u, 9)

Ejercicio 2 Dados los conjuntos C = { 1, 3 }, D = { 2, 4, 6, 8 } y E = { 7, 9, 11, 13 } Halle el producto cartesiano indicado en cada numeral y conteste la pregunta. 1) C x D

C D 1

2

4

6

8

3

2) C x E

C E

3) ¿Cuántos pares se deben obtener del producto cartesiano C x E?

118

IGER − Utatlán

El plano cartesiano El plano cartesiano debe su nombre al matemático René Descartes. Cuentan que estando en su habitación observó una mosca volando. Quiso ubicarla y comenzó a cuadricular la habitación en su mente, trazó una línea vertical y otra horizontal, así fue haciendo cuadritos imaginarios. A través de este método podía situar a la mosca en un lugar determinado.

6 5

(5, 4)

4 3

(2, 2)

2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

El plano cartesiano se compone de estas partes: • Una línea horizontal llamada eje de abscisas o eje x. • Una línea vertical llamada eje de ordenadas o eje y. • Un punto de origen (0) donde se unen los ejes. Sobre el eje x escribimos los elementos del primer conjunto del producto cartesiano y sobre el eje y los elementos del segundo conjunto. Observe la gráfica. eje y 8 7 ¡Atención! Se recomienda utilizar una hoja cuadriculada para dibujar el plano cartesiano y usar siempre una regla para trazar cada línea.

ordenadas

6 5 4 3 2 1 origen

(a, 1)

0

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

eje x

abscisas

¿Cómo ubicamos un par ordenado en el plano cartesiano? Por ejemplo, si queremos ubicar el par ordenado (a, 1), buscamos el elemento a en el eje x, trazamos una línea punteada vertical. Buscamos el elemento 1 sobre el eje y, trazamos una línea punteada horizontal. En la intersección de las líneas está el par ordenado (a, 1).

Ejercicio 3 Dado el subconjunto del producto cartesiano V x L = { (a, 1), (e, 3), (i, 5), (a, 5), (e, 7) }, localice los pares ordenados en el plano cartesiano de arriba. Guíese por el ejemplo. Matemática − Semana 26

119

c. Representación del conjunto producto cartesiano en el plano cartesiano. Veamos un ejemplo de cómo representar un producto cartesiano en el plano cartesiano. Dados los conjuntos C = { a, b, c, } y P = { 2, 4, 6 } a. Hallemos el producto cartesiano C x P. Combinamos los elementos del conjunto C con cada elemento del conjunto P. C x P = { (a, 2), (a, 4), (a, 6), (b, 2), (b, 4), (b, 6), (c, 2), (c, 4), (c, 6) } b. Representemos el producto cartesiano C x P en un plano cartesiano. Dibujamos el plano cartesiano y ubicamos los pares ordenados del producto cartesiano. y 6 5

Recuerde que el primer elemento del par ordenado representa la posición en el eje x, el segundo elemento representa el eje y.

4 3 2 1 0

a

b

c

d

e

f

g

x

¡Otro ejemplo! Para los mismos conjuntos C = { a, b, c, } y P = { 2, 4, 6 } a. Hallemos el producto cartesiano P x C.

En forma enumerativa:



P x C = { (2, a), (2, b), (2, c), (4, a), (4, b), (4, c), (6, a), (6, b), (6, c) }

b. Representemos el producto cartesiano P x C en un plano cartesiano. y f



e d c b a 0

1

2

3

4

5

6

7

x

Observe que la posición de los pares ordenados ha cambiado. Por tanto, el producto cartesiano no es conmutativo y C x P ! P x C.

120

IGER − Utatlán

Ejercicio 4 Dados los conjuntos A = { 1, 3 } y B = { 2, 4, 6 }, observe que A x B ! B x A. 1) Halle cada producto cartesiano A x B y B x A.

A x B = { (1, 2), (1, 4),

}



B x A = { (2, 1), (2, 3),

} 3) Represente B x A en el plano cartesiano.

2) Represente A x B en el plano cartesiano. 6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

Resumen 1. Un par ordenado asocia dos elementos (a, b) de dos conjuntos cualesquiera. Los elementos tienen la característica de estar unidos en un orden determinado que establece cuál es primer elemento y cuál es el segundo. 2. El conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, tal que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo pertenece al conjunto B.

El producto cartesiano A x B no es igual que B x A,

A x B ! B x A.

2.1 El producto cartesiano se puede representar de forma: enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.

enumerativa tabla de doble entrada

A x B = { (a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2) }

1 A B a (a, 1)

(a, 2)

b

(b, 2)

(b, 1)

2

plano cartesiano

2 1 0

a

b

Matemática − Semana 26

121

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Rellene el círculo de la opción correcta a cada pregunta. 1) Dado el par ordenado (1, 7), ¿en qué eje localizamos el elemento 1?

en el eje x en el eje y en el eje vertical

2) Dado el par ordenado (1, b), ¿en qué eje localizamos el elemento b?

en el eje x en el eje y en el eje horizontal

3) Si representamos el producto A x B en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de A?

En el eje x En el eje y En las ordenadas

4) Si representamos el producto H x K en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de K?

En el eje x En el eje y En las abscisas

5) Si representamos el producto B x A en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de B?

En el eje x En el eje y En las ordenadas

6) Dados los conjuntos J = { 0 } y K = { a }, ¿cuál es el resultado correcto del producto J x K?

J x K = { 0, a } J x K = { a, 0 } K x J = { 0, a }

7) Dados los conjuntos A = { 1 } y B = { c, d }, ¿cuál es el resultado correcto del producto B x A?

B x A = { (1, c), (1, d) } B x A = { (c, 1), (1, d) } B x A = { (c, 1), (d, 1) }

122

IGER − Utatlán

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Realice las actividades 1) Dados los conjuntos A = (a, r, v) y B = (1, 3, 5), realice el producto A x B en forma enumerativa. •

Combine cada elemento del conjunto A, con cada elemento del conjunto B.

1 ( a , 1 ) a

(

,

)



(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano con todos los pares ordenados.

AxB={

}

2) Dados los conjuntos C = (1, 2, 3) y D = (a, b, c). Realice el producto cartesiano C x D en una tabla de doble entrada. Escriba los elementos de C en la primera columna y los elementos de D en la primera fila. Fíjese en el ejemplo. C D 1

a (1, a)

3) Dados los conjuntos A = { 2, 4 } y B = { 1, 3, 5 }. a. ¿Cuántos pares ordenados debe tener el producto cartesiano A x B? b. Halle el producto cartesiano A x B.

AxB=

c. Represente A x B en el plano cartesiano.

6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

Matemática − Semana 26

123

4) Dados los conjuntos D = { 2, 4, 6 } y G = { 1, 5, 7 }. a. Halle el producto cartesiano D x G.

DxG=

b. Represente el producto cartesiano D x G en una tabla de doble entrada. 1

D G 2

c. Escriba los elementos de cada conjunto en el eje correspondiente y represente el producto cartesiano D x G en el plano. y

1 0

x

1

d. Compruebe que D x G ! G x D.

•

Halle el producto cartesiano G x D.

G x D =

•

Represente el producto cartesiano G x D en un plano cartesiano. y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

x

e. Observe la posición de los puntos en cada plano cartesiano y explique por qué D x G ! G x D.

124

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Resuelva las operaciones lo más rápido que pueda. A. Recuerde la jerarquía de operaciones, primero se realiza el producto y luego las sumas. Fíjese en los ejemplos. 0) 3 # 5 + 5 =

20

12) 3 + 5 # 5 =

1) 2 # 9 + 2 =

13) 6 + 8 # 2 =

2) 6 # 1 + 4 =

14) 5 + 1 # 1 =

3) 9 # 4 + 2 =

15) 6 + 2 # 3 =

4) 5 # 5 + 5 =

16) 9 + 3 # 6 =

5) 7 # 7 + 3 =

17) 1 + 2 # 5 =

6) 8 # 5 + 4 =

18) 4 + 9 # 0 =

7) 3 # 2 + 8 =

19) 3 + 3 # 3 =

8) 8 # 7 + 9 =

20) 8 + 5 # 6 =

9) 6 # 5 + 4 =

21) 4 + 3 # 1 =

10) 7 # 4 + 0 =

22) 10 + 3 # 1 =

11) 9 # 9 + 10 =

23) 0 + 5 # 5 =

28

B. Repase el producto de monomios. Recuerde aplicar las leyes de los signos y de la potenciación. 0) (3c)(d) =

3cd

4 11) (-3s)(s3) = -3s

1) (p)(2q) =

12) (-5b)(b2) =

2) (5s)(t) =

13) (-9t3)(t) =

3) (2y)(4z) =

14) (-h)(3h5) =

4) (6r)(4s) =

15) (-y3)(8y2) =

5) (5y)(4z) =

16) (-x5)(2x3) =

6) (3w)(6z) =

17) (-3d3)(4d3) =

7) (7f)(4g) =

18) (-5e2)(6e3) =

8) (5c)(4d) =

19) (-7k4)(3k2) =

9) (8b)(6c) =

20) (-6p2)(4p7) =

10) (4b)(4d) =

21) (-8c3)(3c4) = Matemática − Semana 26

125

Razonamiento lógico Descubra la figura geométrica que se oculta en el plano cartesiano. Siga estos pasos: 1) Lea los pares ordenados siguientes (cada uno está identificado con una letra mayúscula). Después localice los puntos en el plano cartesiano. Debe escribir el nombre de cada punto. Fíjese en los ejemplos.

A = (2, 2)

9



B = (2, 7)

8



C = (7, 7)

7



D = (7, 2)



E = (4, 4)



F = (4, 9)

3



G = (9, 9)

2



H = (9, 4)

B

6 5 4

A

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2) Ahora en el mismo diagrama debe unir con una línea recta y de dos en dos, los puntos siguientes. Fíjese en el ejemplo. A y B

B y C

CyD

AyD

E y F

F y G



E y H

A y E

B y F

CyG

DyH

GyH



¿Qué figura descubrió?



También puede formar otras figuras (triángulos, cuadrados, pirámides), solo debe ubicar puntos en el plano y unirlos. Le invitamos a inventar otra figura y a compartir su trabajo con sus compañeros.

Revise su aprendizaje

Después de estudiar...

Marque con un cheque

126

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Identifico combinaciones en actividades cotidianas. Realizo pares ordenados. Represento un producto cartesiano en forma enumerativa, tabla de doble entrada y en un plano cartesiano. Practico el cálculo mental a través de la resolución de operaciones combinadas y producto de monomios. Trazo una figura en el plano a partir de la ubicación de pares ordenados. IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

27 Relaciones y funciones ¿Qué encontrará esta semana? ¡Osadía hasta la cumbre! Relaciones y funciones Valuar funciones Diagrama sagital de una relación y una función

Esta semana logrará:  Aplicar relaciones y funciones a aspectos de la vida real.  Identificar los conjuntos dominio y codominio de una relación.  Relacionar el procedimiento para calcular el conjunto imagen de una función con su representación gráfica.  Practicar la agilidad de cálculo mental valuando funciones.  Deducir una relación o una función a partir de su diagrama sagital. 

Matemática − Semana 27

127

¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! Un grupo de escaladores se ha propuesto llegar a la cima de estos cuatro volcanes: De Agua, Acatenango, Tacaná y Tajumulco. Subirán dos volcanes en junio y los otros dos en diciembre. Cada vez que escalen subirán primero el volcán de menor altura. La altura de cada volcán se muestra en la gráfica siguiente.

De Agua 3766 m

Acatenango 3976 m

Tacaná 4092 m

Tajumulco 4220 m

¿Qué opciones pueden combinar para escalar? Para contestar la pregunta, podemos establecer la relación “El volcán a es más bajo que el volcán b”, y realizar las combinaciones que resulten verdaderas. Una opción es: primero Acatenango y después Tacaná, porque la altura del volcán Acatenango es menor que el de Tacaná.

¡A trabajar! Realice dos combinaciones de escalada posibles, por medio de pares ordenados. Explique su respuesta. Fíjese en el ejemplo. 0)

(Tacaná, Tajumulco) porque el volcán Tacaná es más bajo que el volcán Tajumulco.

1) 2)

128

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Relaciones En nuestra vida diaria establecemos continuamente relaciones entre personas, objetos, números, etc. Por ejemplo: a cada guatemalteco o guatemalteca mayor de edad nos corresponde un número de cédula o DPI. En matemática una relación se representa con la letra R y se define así: Una relación es la correspondencia entre dos conjuntos A y B, tal que cada elemento del conjunto A se relaciona con uno o más elementos del conjunto B, a través de una condición. Los elementos que cumplen esa condición forman dos conjuntos. • Dominio o conjunto origen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial o conjunto A que tienen imagen en B. • Codominio o conjunto imagen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto final o conjunto B que son imagen de A.

1.1 Representación gráfica de una relación Una forma sencilla de representar una relación es a través de un diagrama sagital. Consiste en dibujar dos óvalos en los cuales escribiremos los elementos de cada conjunto A y B, e indicaremos la relación entre ellos por medio de flechas. Veamos un ejemplo. Dados los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {5, 6, 9} y la relación R: “a es divisor de b”. La representación gráfica de la relación R en un diagrama sagital es la siguiente. R A

dominio (D)

s divisor de b ae

B

2

5

3

6

4

9

¡Atención! Los números que no cumplen con la condición, no forman parte ni del dominio ni del codominio.

codominio (C)

Observe, el conjunto dominio está formado por los elementos 2 y 3 porque solo ellos tienen imagen en el codominio, de acuerdo a la relación R. D = {2, 3} El conjunto codominio está formado por los elementos 6 y 9 porque solo ellos son imagen de los elementos del dominio. C = {6, 9} Matemática − Semana 27

129

¡Otro ejemplo! Dados los conjuntos A = { 2, 3, 5 } y B = { 1, 2, 4, 5 }, representemos en un diagrama sagital la relación R: “a es menor que b” (a