Untersuchungen Uber Die Unendlich Oft Oscillirenden Und Unstetigen Functionen Hermann Hankel 1870

HANKEL, DR HERMANN.

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NAMMSKMMS~B A!tm? mit abnehmendema aber alle Grenzen wSohst. Hieher geMrt die Funotion ~(:e) = m 3, wie wir vojrausgesetzthabea; und es hum soant d~rch Verkieinerang von a die Differenz/1(w+e) -) im. mer beliebig klein gemaoht werden. Die Funetion /'a) ist daher in jedem irrationalen Punkte stetig, und noch mohr: Me h&t in jedem solchonPunicte emon vSUigbestimmten, endtiohen Di&rentMquotienten. Denn ea ist: /'(?+:)–(!?)_

~?>~ bowirkt werden kann, so sieht man, dan der Rest vemohwmdet, also der DiSerontialquotient f~ –= ? ~ ~-– .=,+~-)-+. mit t beliebig YerMeinMtwerden. == 1, von IV. Die Funotion habe von liegt, in dem also auoh die Schwankungen der Function < 2 2 a stattfinden; d. h. es gibt jedenfalls ein 80 dM3 /'( < nur zeratreat vorkommenund keinee 8 t r o okernUlon, wie klein auoh die, von Null verschiedene, Gtrësao vorkommen, &t jedea kleine, aber vonNull veracMedenec, beliebig klein gomaoht werden kann. Insofern diese punktirt unstetigen Fuuctionen sioh voa denjenigen stetigen Functionen, die eine endliche AnzaMvon Unterbrechungender Continuitat beMtzea,Mterscheiden sollen, mUssensie eine nnendUcheAnzahlsolcher enthat~em. Dies kann aber entweder so geschehen, dase die Anzahl der Punkte, in denen SprNnge~> c vorkommen,schon fUr ein endUcheae eine unendlicheist, oder erst mit unendlich abnehmendeme a vorkommen,gibt es nach dem Begriffe der punktirt unstetigen Functionen jedeNNIs ein Intervall, in dem die SprBnge< c sind. Aus diesem Intervall scheide man die Punkte aus, in denen Sprünge >~ vorkommen und &Me zwischenihnen ein Intervall in'a Auge, in domdie SprUngedaher (~) 0 eines in'a Auge fasst, in dem die Sprunge< (.) a sind. Maoht mandieae Opération MneadUch oft, ao wird das tibrig bleibendeIntervall entweder von endlioher Grossesein und dann ist dM Behtmptete erwiesen, oder das Intervall nimmt uoendiiohab. In diesem Mte a.uf einen Punkt « conoentnren, der allen jenen jedooh wird es sich aUm&Mioh IntervaUen gemeinachajMichist; um diesen iagëm sioh, aUmShUohsich erweitemd,dieIntervaUe,dMvonSp)'Uagen~>(~) T. > (J ~frei8ind,nnd es wird daher immer ein Intervtdl s angegebon werdeo konnen, eo dasa ftir alle tHunensch