Universidad Privada Domingo Savio Santa

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

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UNIVERSIDAD UNIVE RSIDAD PRIVAD PRIVADA A DOMING DOMINGO O SA SAVIO VIO SANTA CRUZ – BOL BOLIVI IVIA A PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACIÓN Carreras

:

Materia Carga Horaria

: :

Ingeniería de Sistemas Ingeniería Comercial Investigac ión de Operaciones 60 hrs

Nivel Pre requisit os

: :

Sexto Seme Semestr str e Estadístic Estadística a II

I. JUSTIFICACION  JUSTIFICACION  Toda organización empresarial día a día se enfrenta a la toma de decisiones (en lo que se refiere a la administración de sus recursos) para desarrollar cada una d de e las actividades que relacionan a la misma con el medio en el que se desenvuelve; es en este sentido que de la administración óptima de los recursos dependerá el éxito o el retraso de la organización, por lo que contar con herramientas científicas para plantear, desarrollar y resolver problemas de optimización permitirá a la organización una mejor toma de decisiones.  decisiones.  II. OBJ OBJETIVO ETIVO DE LA MATERIA MATERIA   Proporcionar al estudiante las herramientas básicas y técnicas necesarias, para el planteamiento, desarrollo y solución de modelos matemáticos que expresen la Optimización de los recursos (humanos, materiales y económicos) inherentes a toda organización empresarial; coadyuvando en la toma decisiones con fundamentos científicos y racionales.  racionales.  III. OBJ OBJETIVOS ETIVOS ESPECÍFI ESPECÍFICOS COS   El alumno al concluir el curso podrá:

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a)

Formular situacion situaciones es reales optimización y/o asignación empresariales.

b)

Establecer una buena comprensión y adquirir destreza en el desarrollo de problemas de optimización de recursos. Analizar y resolve resolverr problemas de optimización, a través de la aplicación de modelos matemáticos. Interpretar y diferenciar los distintos tipos de modelos y soluciones. soluciones.  

c) d)

IV.

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como modelos matemáticos de de recursos en organizaciones

UNIDADES PROGRAMÁT PROGRAMÁTICAS ICAS

UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Objetivos de la unidad:  unidad:   Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.). Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización. Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas de optimización. 1.1 Introducción 1.2 Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.) 1.3 Precursores y estudiosos de la I.O. 1.4 Noción, Concepto y alcance de la I.O. 1.5 Modelos matemáticos de decisión y su clasificación 1.5.1Concepto de model modelo o 1.5.2Clasificación de los modelos matemáticos de decisión a) Modelos Determinísticos b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos) c) Modelos Estáticos d) Modelos Dinámicos 1.6 Metodología de la Investigación de Operaciones 1.7 Aplicaciones de la I.O. 1.8 Beneficios con la aplicación de la I.O.

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UNIDAD 2 FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL Objetivos de la unidad:  unidad:   -

Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.) Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.)

2.1 Introducción 2.2 Concepto de Programación Lineal 2.3 Procedimiento para Formular un M.P.L. 2.3.1Definición de Variable Variabless 2.3.2 Función Objetivo 2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales 2.3.4 Restricciones de No negatividad 2.4 Formas de presentación de un M.P.L. 2.4.1Formulación Canóni Canónica ca 2.4.2 Formulación Estándar 2.5 Planteamiento de los recursos por unidad de actividad 2.6 Problemas de aplicación aplicación   UNIDAD 3 SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Objetivos de la unidad:  unidad:   Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L. -

Analizar la teoría del Método Simplex Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar la solución óptima. 3.1 Introducción 3.2 Método Gráfico 3.2.1Fundamentos y mecánica del método gráfico 3.2.2Región Factible (Solución Básica Factible) 3.2.3 Solución Óptima 3.2.4 Casos Especiales 3.3 Método Simplex

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3.3.1 Teoría del Método Simplex 3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L. 3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex 3.4 Solución Óptima del problema de P.L. 3.4.1 Método Simplex 3.4.2 Método de las M’s 3.4.3 Método de las Dos Fases 3.4.4 Casos Especiales  Especiales  UNIDAD 4 TEORIA TEOR IA DE LA DUALIDAD Objetivos de la unidad:  unidad:   Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad. Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual-Simplex 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Introducción Formulación matemática del problema Dual Comparación Primal - Dual Interpretación Económica del problema Dual Solución de problemas duales 4.5.1Método Dual - Simplex  Simplex 

UNIDAD 5 ANAL ISIS D DE E SENSIBILIDAD Objetivos de la unidad:  unidad:   -

Analizar y aplicar llos os cambios en los parámetros y determinar como afectan en los resultados finales. Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.

5.1 Introducción 5.2 Cambios Discretos 5.2.1Cambios en el vector b 5.2.2Cambios en el vector c 5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos 5.3 Cambios Continuos 5.4.1 Cambios continuos en el vector b

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5.4.2 Cambios continuos en el vector c  c 

UNIDAD 6 MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN Objetivos -

de la unidad:  unidad:   Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos. Analizar, formular y resolver problemas de transporte. Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos

6.1 Introducción 6.2 Problema de Transporte 6.2.1 El Modelo d de e Transporte 6.2.2 Algorit Algoritmo mo del Modelo de Transporte 6.2.3 Balance Balanceo o de probl problemas emas de transporte 6.3 Solución del Modelo de Transporte 6.3.1Método de d e la Esquina Noroeste 6.3.2 Método de Aproximación de Vogel 6.3.3 Método del Costo Mínimo 6.4 Problema de Asignación 6.4.1Formulación del modelo 6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)  Húngaro)  UNIDAD 7 TEORIA DE REDES Objetivos de la unidad:  unidad:   Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes. Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima. Analizar, formular y resolver problemas de planeamiento de actividades mediante CPM y PERT 7.1 Introducción 7.2 Definición de Red 7.3 Problema del Árbol de extensión mínima

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7.4 Problema de la Ruta mas corta 7.5 Problema del Flujo máximo 7.6 Redes de Planeamiento 7.6.1Proceso de Planifi Planificación cación por red 7.6.2 Representación de la red 7.7 CPM. y PERT 7.7.1Representación de la red 7.7.2 La Ruta Crítica 7.7.3 Diferencias entre CPM y PERT  

V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA  ENSEÑANZA   La metodología que se empleará es de objetivos por unidad, con exposiciones teórico prácticas; apoyados estos por material visual ( acetatos ) preparado para la interpretación gráfica de los diferentes conceptos desarrollados en clase. Además la realización de trabajos de investigación individual y por grupos (desarrollo de ejercicios prácticos), que permitan una mayor comprensión por parte del alumno.  alumno.  

VI.

SISTEMA DE EVALUA EVALUACIÓN CIÓN   Materia tipo C ( Sistema Modular ) Examen parcial  Actividad Académica Examen final TOTAL

VII.

40 puntos 20 p puntos untos 40 puntos 100 puntos puntos  

BIBLIOGRAFÍA BASICA:   BASICA: 1. 2. 3.

Taha, Hamdy A., Investigación de Operaciones una introducción (Sexta edición), Prentice Hall, 1998 Terrazas Pastor, Rafael, Modelos Lineales de Optimizac Optimización ión (tercera edición), Etreus Impresores , 2005 Lieberman Hiller, Frederik, Introducción a la Investigac Investigación ión de Operaciones.

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LAS ORIENTACIONES ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Introducción.  Introducción.  La asignatura de Investigación de Operaciones se constituye en una de las asignaturas importantes dentro del ciclo profesional en el ámbito de las ciencias c iencias administrativvas as y de ingeniería, esto por la relación de coherencia temática que presenta con otras asignaturas de la malla curricular como Administración, Costos, Producción, Proyectos y específica específicamente mente con asignaturas que sirvan de base para la toma de decisiones en los distintos niveles de las Organizaciones empresarialess privadas y/o estatales. empresariale La resolución de sistemas de inecuaciones y las operaciones con matrices, además de los conceptos básicos de administración, costos y producción son un requisito básico de conocimiento previo para la asignatura de Investigación Investigación de Operaciones. El nivel de profundidad y complejidad que abarca el desarrollo del módulo esta enfocado a desarrollar competencias competencias básicas y complementaria complementarias; s; en cuanto se refiere a la toma de decisiones, proporcionando proporciona ndo al estudiante los elementos científicos para el análisis, solución é interpretación de problemas de aplicación práctica.  práctica.  1.1. Objetivo s Generales  1.1. Generales   Desarrollar habilidades cognitivas desde un enfoque científico para la solución de problemas relacionados con los distintos ámbitos de las organizaciones empresariales, encaminados éstos a respaldar la toma de decisiones. Desarrollar las capacidades de abstracción y síntesis por medio de la aplicación del razonamiento matemático a través de los distintos métodos de solución de problemas, interpretación de resultados y toma de decisiones. Los objetivos planteados están orientados a profundizar las siguientes competencias: ·  Formular matemáticamente los problemas. ·  Resolver problemas planteados matemáticamente. ·  Analizar é interpretar los resultados obtenidos.

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2.- DESARROLLO. 2.1.- NÚCLEOS TEMÁTICOS. TEMÁT ICOS. PRIMER ENCUENTRO UNIDAD 1 INTRODUCCIÓ INTRODUCCIÓN N A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Objetivos de la unidad:  unidad:   -

Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigació Investigaciónn de operaciones (I.O.). Conceptualiza Conceptualizarr y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización. Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas de optimización. 1.6

Introducción

1.7 1.8 1.9 1.10

1.6

Origen de la Investigación Investigació n de Operaciones (I.O.) Precursores y estudiosos de la I.O. Noción, Concepto y alcance de la I.O. Modelos matemáticos de decisión y su clasificación clasificación 1.5.1 Concepto de modelo 1.5.2 Clasificación de los modelos matemáticos de decisión a) Modelos Determinísticos b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos) c) Modelos Estáticos d) Modelos Dinámicos Metodología de la Investigación de Operaciones

1.7 1.8

Aplicaciones de la I.O. Beneficios con la aplicación de la I.O.  I.O. 

UNIDAD 2:

FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL

Objetivos de la unidad: - 

Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.)

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- 

2.5 2.6 2.7

Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.)

2.5

Introducción Concepto de Programación Lineal Procedimiento para Formular un M.P.L. 2.3.1 Definición de Variables 2.3.2 Función Objetivo 2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales 2.3.4 Restricciones de No negatividad Formas de presentación de un M.P.L. 2.4.1 Formulación Canónica 2.4.2 Formulación Estándar Planteamiento de los recursos por unidad de actividad

2.6

Problemas de aplicación aplicación  

2.8

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SÍNTESIS  SÍNTESIS  En el desarrollo de las unidades 1 y 2 que corresponden c orresponden al primer encuentro se presentan: ·  Definiciones y conceptos teóricos rrelacionados elacionados con las bases de la Investigación ddee operaciones. ·  El análisis ddee las eta etapas pas de formulación formulación de un M Modelo odelo de Programación Lineal y sus diferentes formas de presentación. ·  Las aplicacio aplicaciones nes prácticas de la formulación de los distintos m modelos odelos de programación lineal, paso a paso.  paso.  SEGUNDO ENCUENTRO UNIDAD 3: SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Objetivos de la unidad:  unidad:   Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L. Analizar la teoría del Método Simplex Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar la solución óptima.

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3.5 3.6

3.7

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Introducción Método Gráfico 3.2.1 Fundamentos y mecánica del método gráfico 3.2.2 Región Factible (Solución Básica Factible) 3.2.3 Solución Óptima 3.2.4 Casos Especiales Método Simplex 3.3.1 Teoría del Método Simplex 3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L. 3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex  Simplex 

SINTESIS  SINTESIS  En el desarrollo de los temas que corresponde al segundo encuentro presentan: ·  Definiciones de las distinta distintass características que que presenta los métodos de solución de M.P.L. ·  Los alg algoritmos oritmos de resoluci resolución ón de los distintos métodos (gráfico y aanalíticos) nalíticos) ·  Aplicaciones de los métodos eenn fformulados ormulados en las unidades 1 y 2. 2.   TERCER ENCUENTRO  ENCUENTRO  3.8

Solución Óptima del problema de P.L. 3.4.1 Método Simplex 3.4.2 Método de la M 3.4.3 Método de las Dos Fases 3.4.4 Casos Especiales  Especiales 

UNIDAD UNID AD 4:

TEORIA TEORIA DE LA DUALIDAD

Objetivos de la unidad:  unidad:   Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad. Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual-Simplex 4.1 4.2

Introducción Formulación matemática del problema Dual

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4.3 4.4 4.5

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Comparación Primal - Dual Interpretación Económica del problema Dual Solución de problemas duales 4.5.1 Método Dual - Simplex  Simplex 

UNIDAD 5:

ANA ANALL ISIS DE SENSIBILIDAD

Objetivos de la unidad:  unidad:   - Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan en los resultados finales. - Establecer controles y rangos de validez para las soluciones. 5.1 5.2

Introducción Cambios Discretos

5.3

5.2.1 Cambios en el vector b 5.2.2 Cambios en el vector c 5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos Cambios Continuos 5.4.1 Cambios continuos en el vector b 5.4.2 Cambios continuos en el vector c  c 

SINTESIS  SINTESIS  En el desarrollo de los temas que corresponde al tercer encuentro se presenta: ·  La solución ddee un M. M.P.L. P.L. por medio de los métodos métodos de penalización penalización (método de la M y métodos de las dos fases) nálisis é interpr interpretación etación del modelo modelo dual y su interpretación económica. ·  La formulación, aanálisis ·  El análi análisis sis de sensibilidad, variando lo loss recursos para obtener una nueva solución a partir de la solución ya obtenida.  obtenida.  CUARTO ENCUENTRO UNIDAD 6:

MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

Objetivos de la unidad:

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-  -  - 

6.5 6.6

6.7

6.8

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Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos recursos.. Analizar, formular y resolver problemas de transporte. Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos Introducción Problema de Transporte 6.6.1 El Modelo de Transporte 6.6.2 Algoritmo del Modelo de Transporte Transpo rte 6.6.3 Balanceo de problemas de transporte Solución del Modelo de Transporte 6.3.1 Método de la Esquina Noroeste 6.3.2 Método de Aproximación de Vogel 6.3.3 Método del Costo M Mínimo ínimo Problema de Asignación 6.4.1 Formulación del modelo 6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)  Húngaro) 

SINTESIS  SINTESIS  En el desarrollo de los temas que corresponde al cuarto encuentro se presenta: ·  Definición y planteamiento del m modelo odelo de transporte y as asignación. ignación. ·  Aplicación de los los métodos (M.E.N., M.C.M. y M.A.V.) para obtener una solución básica factible inicial. ·  Optimización de la solución básica factible factible inicial, é int interpretación erpretación ddee la solución óptima. ·  Aplicaciones del modelo de asignación y transbordo.  transbordo.  METODOLOGIA DE EESTUDI METODOLOGIA STUDIO O PARA EL ESTUDIANTE ESTUDIANTE   La sugerencia metodológica de estudio que puede conducirle a una interesante experiencia de aprendizaje en la asignatura, considera importante los siguientes principios: 1º Lectura de las definiciones, conceptos y características de los algoritmos presentados en el texto guía. 2º Analizar los ejemplos resueltos en el texto guía, mediante la revisión y verificación de los resultados. 3º Resolver los ejercicios planteados, que se encuentran a continuación de los ejemplos resueltos.

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Lectura de conceptos, definiciones y características de los algoritmos Leer, para estudio comparativo TAHA

 No

Analizar, revisar y verificarlos ejemplos ¿Entendió los ejemplos

Si 

Resolver tarea

resueltos?

Asistir al encuentro del día sábado. El docente realizará las aclaraciones y profundizará el tema NUCLEO TEMATICO PARA ESTUDIO INDEP INDEPEDIENT EDIENTEE  A través de interacción por plataforma (foro, tareas y chat) y clases practicas a acordar, se proporcionará orientación orientación y paut pautas as el estudio ddee los temas que contempla eeste ste núcleo temático.   temático. UNIDAD 7:

TEORIA DE REDES

Objetivos de la unidad: -  Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes. -  Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.

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7.8 7.9

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Introducción Definición de Red

7.10 dellaÁrbol extensión 7.11 Problema Problema de Rutademas corta mínima 7.12 Problema del Flujo máximo  máximo  2.2.- BIBL IOGRAFÍA 2.2.IOGRAFÍA COMEN COMENTADA TADA 1. 1.   El Libro de texto de Investigación de Operaciones, cuyo autor es el Ing. John Walter Soria Martínez., es el resultado de siete años de interacción y experiencia continua en la enseñanza de las matemáticas y de la ingeniería, adecuándose a las características heterogéneas de conocimientos previos de estudiantes que buscan su profesionalización en aulas de nuestra Universidad. Presenta ejemplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas que van gradualmente incrementando su complejidad hasta alcanzar un nivel intermedio, que proporcionan al estudiante bases sólidas que le permitan alcanzar un mayor logro en la comprensión de los temas.   temas. 2. 2.   Terrazas Pastor, Rafael,  Rafael,  “ Modelos Lin Lineale ealess de Optimización tercera edición)” , Etreus Impresores , 2005 Este libro sustenta la base teórica fundamental de la asignatura, proporcionando de manera clara los esquemas de las características, algoritmos y ejemplos que presentan los distintos temas considerados en el desarrollo de la asignatura.  asignatura.   3. 3.   Taha, Hamdy A., “Investigación “ Investigación de Operaciones Operaciones una introd ucció ucciónn Sexta edición )” )”,, Prentice Hall, 1998 Este libro sustenta también la base teórica fundamental y nos proporciona parte de los ejemplos que se desarrollan en la asignatura, además de ofrecernos el software “TORA” que nos permite resolver los ejercicios haciendo uso de la computadora.  computadora.  2.3.-.- MATERIAL EXPLICATIVO 2.3 EXPLICATIVO

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El texto guía incluye ejercicios de aplicación práctica, con un nivel básico simple que gradualmente se incrementa su complejidad.  complejidad.  2.4.-EJEMPLIFICACIÓN ·  Una aplicación práctica y relevante de la Investigación de Operaciones, específicamente de la programación lineal es: Si suponemos que se producen tres productos (A, B y C) en una fábrica, los cuales proporcionan utilidades diferentes (UA, UB y UC); conocemos también que los recursos (Materia prima, Mano de obra, maquinaria, etc) disponibles son limitados. También se tiene información respecto a la demanda máxima o mínima de los tres productos. ¿Usted como responsable de la empresa debe decidir cuantas unidades de cada producto (A, B y C) deben producirse para que su utilidad total sea máxima?  máxima?   Análisis cualitativo del problema  problema  Si bien en este tipo de problemas se pueden tomar decisiones respaldadas por la experiencia, en muchos de los casos esas decisiones tienen un grado muy elevado de incertidumbre. Debido a que muchas de nuestras decisiones pueden ocasionar grandes pérdidas, entonces debemos recurrir a la aplicación de algunas herramientas científicas que nos permitan reducir la incertidumbre; es en este sentido que la I.O. nos proporciona métodos y técnicas para tomar decisiones que tengan un menor grado de incertidumbre.  incertidumbre.  2.5.- MÉTODOS 2.5.MÉTODOS A UTILIZAR Encuentro físico  físico   El docente realizará una evaluación diagnóstica cualitativa del núcleo temático correspondiente al encuentro, por medio de preguntas y respuestas orales. A través de exposición magistral consolidará los elementos más relevantes del núcleo temático; así mismo, profundizará las extensiones de los temas tratados. Planteará ejemplos representativos que contribuyan a la comprensión profunda del tema. La resolución de dichos ejemplos se realizará en forma grupal cooperativo o individual.   Encuentro Encue ntro virtual virtual   El estudiante y el docente dispondrán de dos sesiones semanales, cada sesión con tiempo de duración de dos horas para interactuar mediante la plataforma (foro, tarea y chat). El docente planteará ejemplos representativos para realizar seguimiento del estudio independiente del estudiante; así mismo, responderá a las consultas de los estudiantes

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atendiendo dudas referentes al texto guía, las ta tareas reas y/o prácticos planteados. planteados.  

3.CONCLUSIONES  CONCLUSIONES La segunda unidad del  texto Guía presenta un menú de ejercicios propuestos (práctico 1), las unidades 3, 4 y 5 son aplicadas en parte del grupo de ejercicios del práctico 1.Los ejercicios propuestos para la unidad 7, serán complementados por el docente durante el desarrollo del curso; los cuales deberán ser resueltos en los plazos y términos señalados en plataforma del sistema.

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UNIDAD 1

INTRODU INTRO DUCCI CCIÓN ÓN A LA INVESTIG INVESTIGACIÓN ACIÓN DE DE OPERACIO OPE RACIONES NES 1.1 Introducción   Introducción  El término de Investigación de operaciones muy a menudo es asociado con la aplicación de técnicas matemáticas que permiten representar y analizar por medio de un modelo,  problemas reales que implican la toma to ma de decisiones decisiones.. El campo de estudio de la I.O. (llamada también Ciencia de la Administración), aparentemente es tremendo, nuevo, pero éste dataactualmente desde la segunda guerra mundial; pero su impacto social es contándose con aplicaciones que van desde el aspecto laboral hasta el plano criminal, pasando por los sistemas de salud, transporte, sistemas financieros, sistemas de comercialización, pólución, todos los ámbitos de la Industriaa en general, además de otros. Industri En la actualidad la I.O. no solo se aplica en los ámbitos privados, si no tambien en el sector de los servicios públicos gubernamentales, tanto en los países desarrollados como los países en vías de desarrollo; alcanzando una presencia relevante debido al avance tecnológico en el desarrollo de los computadores, que permiten resolver algoritmos complejos.   complejos. 1. 1.22 Or ige igenn de la Investigaci Investigación ón de Oper acione acioness  En el siglo pasado, las organizaciones industriales de U.S.A. y el Reino Unido estaban constituidas por un número reducido de empleados los que ocupaban espacios muy  pequeños, los l os cu cuales ales eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama cambia en el periodo de la Primera revolución industrial, la cuál trajo consigo el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos. Al mecanizarse la producción ocurrió la segmentación funcional y geográfica de la administración; consecuentemente vino la división del trabajo y aparecieron las responsabilidades de

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 producción, finanzas, me mercado, rcado, personal, ingeniería in geniería é investig investigación ación y de desarrollo. sarrollo. Específicamente se puede señalar que la I.O. surge durante la Segunda Guerra mundial, con los intentos de asignar de manera como óptimaresultado los recursos contabanindustrial, los frenteshaa ido las operaciones militares. Posteriormente de laque revolución cobrando cada vez mayor importancia, dado el crecimiento y la complejidad de las nuevas organizaciones. Desde un principio los científicos y matemáticos se han interesado por desarrollar el concepto de optimización, intentado encontrar la mejor solución a un determinado  problema; entonces podemos decir que la idea de optimiza optimizarr proviene de la antigüedad, donde la riqueza de las naciones ha estado determinada por su capacidad de crear y utilizar bienes ú objetos que sean útiles al ser hhumano. umano. A partir del crecimiento industrial, la gestión y asignación óptima de los recursos a las actividades se torna mas compleja y difícil; ésta necesidad hace que se encamine la  búsqueda de un instrumento científico más eficiente que apoye el manejo organizacional y sobre todo que ayude a una eficiente y eficaz toma de decisiones. Es en este contexto que la investigación de operaciones y el concepto de optimización comienzan a jugar un rol muy importante en el mundo moderno. Georg e Dantzig Dantzig””  que el año 1947, resumiendo los trabajos de muchos Fue el doctor  “ George de sus antecesores, reconoce la estructura matemática de muchos problemas de logística militar y desarrolla el  el “métod o si simp mp lex lex”” , lo cuál dio inicio a la programa p rogramación ción lineal. Finalmente en los años 50, la optimización y la investigación de operaciones reciben otro impulso con el advenimiento de la era espacial, donde los problemas de trayectoria óptima de los proyectiles, son tratados a través de la programación dinámica y el  principio del máximo; extendiéndose rápidamente su utilización a la ingeniería y economía.   economía. 1. 1.33 Pr ecursor es y estud estud iosos iosos de la Investig Investigación ación de Oper aciones aciones   La investigación de operaciones ha ido evolucionando y desarrollándose a través del tiempo gracias al aporte realizado por muchos estudiosos y científicos que se han

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constituido en los precursores é impulsores de ésta fundamental herramienta. Entre los  precursores más im importantes portantes se pueden destaca destacarr a:  a:  PRE CURSORE CURSORES S Y ESTUDIOSO SD DE E LA INVES INVESTI TI GACIÓ GACIÓN ND DE E OPERACIONES PRECURSORES Lagrange Euler Gauss Taylor Gilbreth Erlang Brandeis Lanchesterr Lancheste Kantarovich Dantzig Shannon Bellman Dantzig – Fulkerson – Jonson Gomory – Land – Doig – Everreth Von Neumann Kuhn – Tucker Rafia Arrow – Karlin – Scarf - Whitin

FECH A APORTE APORTE   1736 – 1813 Teoría de los multiplicado multiplicadores res 1703 – 1783 Cálculo de variaciones Teoría de mínimos cuadrados y 1777 – 1855 La teoría del control 1881 Estudio de tiempos 1885 Estudio de movimientos 1908 Teoría de colas 1910 1915

Teoría de la administr administración ación científica Simulac Simulación ión Estudio sistemático sistemático del problema de 1930 – 1950 Asignación de recursos 1947 Programación lineal 1948 Teoría de la informació informaciónn 1955 Programación dinámica 1955 Redes de optimizac optimización ión Programación entera 1974 Teoría de juegos y dual dualidad idad Programación no lineal Análisis de decisiones Inventarios

Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)  P.)  

1. 1.44 Natur a leza y alcance de la Investig Investigación ación de Oper aciones  aciones  Para poder definir la Investigación de Operaciones, es necesario analizar cinco elementos importantes y esenciales que constituyen la esencia de la I.O., estos son: Sistemas, Modelos, Optimización, Decisión y Método Científico.

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ELEM EL EMENTOS ENTOS ESENCIALES DE DE LA I.O.  I.O. 

SISTEMA

MODELO

METODO CIENTIFICO DECISIÓN

OPTIMIZACIÓN

Si relacionamos estos cinco elementos desde un enfoque del Mundo Real y el Mundo Ideal, donde se hace una abstracción del Sistema, para luego de un proceso de análisis encontrar soluciones óptimas a los problemas del mundo real y apoyar con la toma de decisiones; decision es; se tiene el siguiente esquema: esquema:  

RELACION INTEGR INTEGRA AL ENTRE LO LOS S ELEMENTOS ESENCIALES ESENCI ALES DE LA I. I.O. O. MUNDO MUND O RE REAL AL M UNDO UNDO IDEAL SISTEMA  SISTEMA  (Problema)   (Problema)

Intuición Análisis

Por Abstr acción acción

MODELO  MODELO  (Matemático)

METODO CIENTIFICO

DECISIÓN  DECISIÓN  (Acci (A cción ón a tomar toma r ) 

OPTIMIZACIÓN  OPTIMIZACIÓN  (Resultados)   (Resultados) Por Interpr etación etación  

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Investigación de Operaciones

1. 1.55 Concepto de la Investigación Investigación de Oper aciones  aciones  La investigación de operaciones (ó Investigación Operativa), es un procedimiento ó enfoque que resolver problemas relacionados la optimización y la toma de decisiones decision es enpermite los diferentes campos de aplicación, talescon como: la industria, la economía, el comercio, la política, la educación, la salud, la defensa, etc. En conclusión la  la  Investigación de operaciones   es la aplicación por grupos interdisciplinarios del  del  método científico   en el análisis y solución de problemas relacionados con el control de las organizaciones del mundo real (Industria, economía, comercio, educación, defensa, etc); que deben ser concebidos como sistemas como  sistemas   y entidades complejas que manejas recursos (humanos, materiales, equipos, útiles,  mod eloss   información, etc). Estos sistemas son representados en el mundo ideal por  modelo matemáticos, cuyo análisis y solución busca la optimización la optimización   de resultados que deben  om a de decisi decisiones ones .  ser interpretados interpretados y ccomprometid omprometidos os para oofrecer frecer apoyo a la la om 1.6

Modelos ma temá temáticos ticos de Deci Decisión sión y su Clasif Cla sificación icación

1.6.1 Concept o de Mod 1.6.1 Modelo elo   Se entiende por modelo a la representación simplificada é idealizada, de manera cualitativa o cuantitativa de un sistema real; de acuerdo a los objetivos de estudio del sistema. En esencia un modelo es una imagen de un sistema, y en funció funciónn a las interrogantes que se plantean los sistemas s istemas pueden presentar diversos modelos. La I.O. se centra en manejar Modelos Matemáticos que permitan interaccionar variables (de entrada y salida) mediante relaciones funcionales y/o ecuaciones, de tal forma que la solución del modelo permita encontrar la combinación óptima de resultados en cuanto a las variables que intervienen.  intervienen.  1.6.2 Clasificación de los Mod 1.6.2 Modelos elos ma matemá temá ticos de decisión decisión   La I.O. al centrar su interés en los modelos matemáticos de decisión, considera la siguiente siguie nte cl clasifi asificación cación de los mismos:

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Investigación de Operaciones

a) Modelo Estát Estátic ico: o:   Es aquel que representa a un sistema, de manera que las variables y relaciones funcionales, no sufren alteraciones debido a cambios en el tiempo.  tiempo.  b) Modelo Dinám Dinámico: ico: Es  Es aquel que representa a un sistema, de manera que el tiempo juega un rol muy importante.  importante.  c) Modelos Determinísticos:  Determinísticos:   Son aquellos que no incluyen propiedades relacionadas con fenómenos aleatorios, como ser: La programación lineal, la  programación entera, el modelo de transporte, la teoría de localización o redes, etc.  etc.  d) Modelos Pr obabilísti obabilísticos cos::  Son aquellos que incluyen variables o relaciones funcionales que dependen de fenómenos aleatorios, como ser: Las cadenas de Markov, la teoría de juegos, las líneas de espera, los modelos de simulación, etc. Las soluciones de los diferentes modelos pueden ser de tipo analítico o numérico. numérico.  

CLASIFICACI ÓN D CLASIFICACIÓN DE E LO LOS S MODELOS MATEMÁTICOS MATEM ÁTICOS D DE E DES DESICI ICIÓN ÓN   Estáticos Dependencia con el Tiempo

MODELOS MATEMÁTICOS

 Naturaleza de d e las Variables

Dinámicos Determinísticos Probabilísticos

Tipo de Solución

Analíticos  Numéricos

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Investigación de Operaciones

Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)  P.)  

1. 1.77 Metodolo Metodología gía de la Investig Investigación ación de Oper aciones  aciones  La metodología que utiliza la I.O. como herramienta para resolver problemas sistémicos, se basa en la metodología científica (propuesta por Sir Francis Bacon en 1620), que consta de cuatro pasos, los cuales son: 1°  1°  Observación de un sistema físico 2°  2°  Formulación de una  una Hipótesis   (modelo matemátic matemático) o) 3°  3°  Predicción del comportamiento del sistema s istema (obtención de soluciones) 4° Experimenta Experimentación ción para probar la la   alidez  de las hipótesis

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Investigación de Operaciones

METODOLO ME TODOLO GÍA DE DE LA INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓ N DE OPERACIONES  Definición Definici ón y For mulación del Pr oble oblema ma   Definición de los objetivos, alternativa alternativass y escenarios   escenarios

Constr ucció ucciónn del M Model odeloo ( INPUT ))   ( Modelo matemátic matemáticoo ) Es la definición definición de una función económica

OBSERVACIÓN

FORMULACIÓN

y sus restricciones restricciones  

Deducción de la Solución Deducción Solución ( OUTPUT )  Hallar la Solución Óptima del modelo ( Por medios analític analíticos os y/o numéricos ))   PREDICCIÓN  

Valida Vali daci ción ón (Pr ueba ) del modelo modelo  Utilizar datos pasados Permitiendo operar al modelo

Contr ole oless sobre la Solución Solución   Interpretación de los resultados (Análisis de Sensibilidad o cambios en parámetros)  parámetros)  

Im plementación del Model Implementación Modeloo  Toma de decisiones para la operación o peración y control del Modelo - Retroalimentaci Retroalimentación ón   Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

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Investigación de Operaciones

Fuente: Modelos Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.) P.)  

1.8

Aplicaciones de algunos modelos de la I.O I.O..  ·  Pr ogramació ogramaciónn Lineal Lineal::  Tiene sus aplicaciones en problemas relacionados con la

optimización de mezclas, manufacturación de productos, recursos humanos, finanzas, mantenimiento de inventarios, marketing, etc.   ·  Modelos Modelos de Tr ansporte:   Se utiliza cuando un producto determinado se tiene que distribuir desde puntos de oferta (orígenes) hacia punto de demanda (destinos),, donde se pretende encontrar (destinos) encontrar un pplan lan de ddistribu istribución ción óptimo.  Asignación: gnación:   Se utiliza para diseñar planes de asignación de ·  Modelos de Asi recursos y trabajos óptimos.  Teor ía de Redes:   Es muy utilizado en la planificación y programación de ·  Teoría  proyectos, programación p rogramación ddee horario horarios, s, etc.   ·  Pr ogramació ogramaciónn Entera :   Es utilizado en el estudio para la localización de  proyectos.   ·  Pr ogramació ogramaciónn Di Dinámica: námica: Utilizado en la programaci p rogramación ón de etapas múltiples.  ·  Sistema Sistema de Inventa r ios ios::   Se utiliza en el manejo y almacenamiento de  productos.   ·  Modelos de Simula Simulación: ción:   Son utilizados cuando se tiene dificultad para

establecer relaciones analíticas aceptables desde el punto de vista computacional o cuando el problema es nnetament etamentee probabilístico. probabilístico.   1.9

Benefi Beneficios cios de la ap lic licación ación de un pr oyecto de I.O   ·  Incr ementa la la posibi posibilidad lidad de tomar toma r mejores decis decisiones iones::   Generalmente las

organizaciones que no aplican la I.O. en la toma de decisiones, éstas lo hacen de forma intuitiva, ignorando la mayor parte de las veces las interrelaciones que existen entre cada uno de los componente componentess del sistema.  Mejor a llaa ccoordina oordina ción ción entr e los múltipl mú ltiples es componentes de la organización:   ·  Mejora La I.O. genera un nivel mayor de ordenamiento; es decir que logra integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que los componentes del

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Investigación de Operaciones

sistema aisladamente aisladamente unos de otros.  ·  Mejora Mejor a el control del sis sistema: tema:   Al establecer procedimientos sistemáticos que supervisan las operaciones operaciones que se llevan acabo en la organizació organización. n.  ·  Per mite obtene obtenerr un si siste stema ma mejorado:   Al lograr que éste opere con costos

mas bajos, interaccionando de manera mas fluida; a demás de minimizar los cuellos de botella, logrando una mejor coordinación entre los elementos más importantes del sistema.

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UNIDAD 2

FORMULACIÓN DEL DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN P ROGRAMACIÓN LINEAL 2.1 Introducción   Introducción  Uno de los modelos más importantes y de mayor aplicación en la I.O. es la PROGRAMACIÓN LINEAL; siendo ésta técnica del modelado matemático diseñada  para optimizar el empleo de recursos limitados, presentando como caracte característica rística  principal el ma manejo nejo de ecuaciones y relaciones relac iones funcionales funcion ales de tipo lineal. La Programación lineal tiene su aplicación práctica en cualquier tipo de actividad comercial y/o de producción, desde la publicidad, planificación de la producción, finanzas y otros; buscando optimizar los ingresos, utilidades, costos, ventas, etc.  etc.   2. 2.22 Concepto de Pr ogram ación Lineal Lineal   La P.L. es un modelo de programación matemática que busca lograr la mejor asignación de los recur los recur sos llimitados imitados   (Restricciones Restricciones)) hacia activi hacia activida dades des   que se encuentran en decisión ón), ), de tal forma que se pueda lograr la  la  optimización   competencia (Var (Var iables de decisi (Ma ximización ximización o minimizaci minimización ón)) de una función una función económica económ ica   (Función objetivo) objetivo) y cuyo resultado servirá para apoyar una futura  futura toma de decisi decisión. ón. 2. 2.33 Pr ocedi ocedimiento miento par a Form ular un M.P.L. M.P.L.   Luego de leer el enunciado del problema las veces que sean necesarias hasta comprender completamente; se recomienda seguir en general los siguientes pasos para formular un Modelo de Programación Lineal.  Lineal.  2.3.1 Defi 2.3.1 Definición nición de Var iables  iables  Son la base fundamental del M.P.L., que por lo general son identificados una vez conocido el objetivo (o el fin) para el cual está diseñado el problema. Es muy importante tomar en cuenta las unidades correspondientes a cada variable identificada,

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representándose por   x  1 , x 2 , x 3 ,..., x n Nota:   En muchos casos, identificar y definir las variables de decisión es la etapa más Nota: difícil; pero una vez que se definen las mismas, el resto del proceso fluye de modo natural.   natural. 2.3.2 Defi 2.3.2 Definición nición de la Fu Función nción Ob jetivo jetivo   Se debe definir la ecuación económica que debe ser optimizada (maximizar o minimizar); siendo ésta ecuación la que cuantifica el valor máximo o mínimo, debiendo estar planteada en función a las variables de decisión identificadas en el sistema. Se denota como:  F  .O . :

Optimizar

Z =  c 1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

Donde:  c  n = Coeficiente de costo o ganancia  ganancia  2. 2.3.3 3.3.. Restr icc iccione ioness Estr uctur ales (o funcionales) funcionales)   Son ecuaciones o desigualdades (=, ≥ ó ≤), que se plantean en función a la disponibilidad de cada uno de los recursos limitados con los que cuenta una empresa;  por ejemplo ejemplo:: mano de obra, materia prima, capital de operaciones, sistem sistemas as de inventarios, etc. Las restricciones estructurales se representan de la siguiente manera: 

ìa11 x1 ± a12 x2 ± ... ± a1n xn £ = ³ b1 ¬ R1 ï Sujeto a ( s . a .) : ïía 21 x1 ± a 22 x2 ± ... ± a 2 n xn £ = ³ b2 ¬ R2 M M M M ï M  ïîa m1 x1 ± a m 2 x2 ± ... ± a mn xn £ = ³ bm ¬ Rm ue se consumen en cada actividad  Donde:  a  mn =  Cantidades qque b  m

=  Disponibili Disponibilidad dad o requerimiento requerimiento de los recursos (lados (lados derechos) 

R  m

=  Restricc Restricciones iones estructurales estruc turales o funcionales

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2.3.4 Restr icci 2.3.4 icciones ones de No Negatividad Negativida d   Todas las variables de decisión identificadas en un sistema, no deben asumir valores negativos en el resultado final; es decir: dec ir: No   negativos :

x1 , x 2 ,..., x n ³  0

Ejemplo: Proces Procesoo ddee formulación del Modelo de Programació Programaciónn Lineal El banco Ganadero dispone de 18 millones de dólares para ofrecer ofrecer préstamo préstamoss de riesgo alto y riesgo medio, cuyos rendimientos son del 14% y 7% respectivamente; por otro lado se conoce que se debe dedicar al menos 4 millones de dólares a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5. Formular un M.P.L. que permita determinar ¿cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio?  beneficio?  Var iab iables les de decis decisión ión   x  1  = 

Cantidadd de dinero dedicada a préstamos de riesgo alto [millones de $us ]  Cantida

x  2  = 

Cantidadd de dinero dedicada a préstamos de riesgo medio [millones de $us ]  Cantida

Función Objetivo  Objetivo 

F  .O   . : Max. z = 0.14 x1 + 0.07 x2 [millones de $us.]  Restr icc iccione ioness Estr uctur ales 

ì x1  +  x2 £ 18 [ millones   de $ us .] ï Sujeto   a (s.a .) : í x2 ³ 4 [ millones de $ us .] ï5 x - 4 x £ 0 [ millones de $ us .] 2 î 1 Restr icci icciones ones de N Noo Neg Negat atividad ividad   No negativos : x1 ; x2 ³ 0

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2. 2.44 Plantea Planteamiento miento de los recur sos por unida unidadd de actividad actividad   Suponiendo Suponie ndo que se tiene un número número  “ m”  de recursos limitados que se pueden asignar a actividades. des. La estructura que muestra el siguiente cuadro, un número  número “ n”  de activida  proporciona los ele elementos mentos nnecesarios ecesarios (d (datos) atos) ppara ara que un M.P.L. mane maneje je la aasignación signación de recursos por unidad de activida actividad: d:   Actividad 2 3…….. …n  

Recursos

1  2 M 

M 

M

m

a m1

a m 2 ...

Contr ibuci ibución ón a Z por

a  11

a 12

a 21

a 22

c  1

Cantidad de recur so soss disponibles

... a 1 n ... a 2 n

c2

...

b1  b2

M

M 

a mn

bn

cn

unidad de activi actividad dad   Donde: Recursos disponibles  : i   =  1, 2 ,..., m

; 

Actividades  :   j   =  1 , 2 ,..., n

Z     :  Función objetivo que debe maximizarse o minimizarse 

x   j :  Nivel de ac actividad tividad  j (Variable de decisión)  c   j : Coeficiente costo o ganancia para la actividad  actividad j-ésima  (parámetro)  a  ij : Cantidad del recurso  recurso i  que consume cada unidad de la actividad  actividad j   b  i :  Cantidad disponible del recurso  recurso i  para asignar a las actividades actividades  j

2. 2.55

For mas de pr ese esentación ntación de un M.P.L.

2.5.1 For mu 2.5.1 mulación lación canón canónica ica   La formulación canónica tiene las siguientes características:  ·  La función objetivo es  es M aximiza aximiza r   menorr o ig igual ual que” que” (  ( ≤   )  ·  Las restriccio restricciones nes estructurale estructuraless son del tipo “meno ·  Las variables de decisión son  son  a yores o iguales iguales a cero  (  ( ≥   ) Ejemplo:

F  .O   . : Max. z = 2 x1 + 3 x2

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Investigación de Operaciones

ì x1  +  x2 £ 3 S  . a . : í î5 x1 - 4 x2 £ 2 No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 2. 2.5. 5.22 F ormulació ormulaciónn Mixta Mixta   La formulación mixta tiene las siguientes características:   aximiza r o M inimizar   ·  La función objetivo es  es M aximiza ·  Las restriccio igual””  o   o “ mayor m ayor o igual”   ( ≤  o  o  ≥   restricciones nes estructurale estructuraless son “menor o igual )  ·  Las variables de decisión son  son  a yores o iguales iguales a cero  (  ( ≥   ) Ejemplo:

F  .O   .:

Min. z = x1 + 4 x2 + 2 x3

S  . a . :

ìí x1  + 5 x2 + 4 x3 £ 9 î3 x1 + 2 x2 + x3 ³ 1

No  negativos : x1  ; x2 ; x3 ³ 0 2. 2.5. 5.33 Formulaci Formulación ón Estandar   La formulación estandar tiene las siguie siguientes ntes características:  aximiza r o M inimizar   ·  La función objetivo es  es M aximiza ·  Las restriccio restricciones nes estructurale estructuraless son del tipo tipo  “ igual que”  (  ( =   )  iguales a cero  (  ( ≥   )  ·  Las variables de decisión son  son  a yores o iguales ·  Los el elementos ementos ddel el la lado do derecho derecho de cada ecuación son positivos Ejemplo:

F  .O   . : Max. z = 2 x1 + 3 x2 + 0h1 - 0 s2

=3 ì x1  +  x2 + h1 ï S  . a . : í5 x1 + 4 x2 - s2 = 2 ï2 x + x =4 2 î 1 No   negativos : x1  ; x2 ; h1 ; s 2 ³ 0 2. 2.66

EJ ERCIC IOS DE FORM ULA ULACIÓ CIÓ N

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Investigación de Operaciones

PROBLEMA DE UN TALLER DE CARPINTERI A  Supongamos que un taller de carpintería dispone de determinadas piezas para la 1)

elaboración de dos finales. taller dispone de 8 “piezas “piezas grandes”, queproductos son utilizadas paraElelaborar sillas (usando 2 piezaspequeñas” pequeñas yy 61  pieza grande) g rande) y mes mesas as (us (usando ando 2 piezas de d e cada tipo). tipo ). Nos interesa decidir cuántas c uántas sillas y mesas se debe fabricar de modo que se obtenga la máxima utilidad, dado que se tiene un beneficio neto de $us. 15 por cada silla y de d e $us. 20 por cada mesa fabrica fabricada. da.   FORMULACIÓN:   Primero identificamos cuales son los recursos ccon FORMULACIÓN:  on los que se dispone y cuales son las activida actividades des que deben realizar   RECURSOS Piezas pequeña pequeñass

ACTIVIDADES   ACTIVIDADES Fabricar sillas

Piezas grandes

Fabricar mesas

Recursos

Piezas por unidad de Disponobilidad de piezas Sillas Mesas

Piezas pequeñas pequeñas [ Pza. / u  ]  ] Piezas grandes [ Pza. / u  ]  ]

2 1

2 2

Utilidad [ $us. / u   ]

15

20 20  

1º

Var iab iables les de decisió decisiónn   x  1  =   Número de d e si sillas llas a fabricar [   u. ]  x  2  = 

2º

8 [ Pzas. ] 6 [ Pzas. ]

 Número de d e me mesas sas a fabricar [  u. ]   ] 

Función Obj etivo etivo   F  .O. :

Max. z = 15 x1  + 20 x2 [$us.]

é $us.  ù é $us. ù ê u * u ú + ê u * u ú = [$us.]  ë û ë û

3º

Restr icc iccione ioness Estr uctur ales

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Investigación de Operaciones

Pzas .  pequeña  pequeñass : 2 x1  + 2 x2 £ 8 Pzas. gra ndes : x1 + 2 x2 £ 6 éê Pzas. * u ùú + éê Pzas. * u ùú = [Pzas.]  ë u û ë u û 4º

Restr icci icciones ones de No Negatividad Negativida d   No   negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Resumen:   Resumen:

F  .O. : Max. z = 15 x1  + 20 x2 [$us.]

ì 2 x1  + 2 x2 £ 8 S  .a . : í î x1 + 2 x2 £ 6 No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 2) PROBLEMA DE MEZCLAS (EMPRESA MONOPOL) MONOPOL)   La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: p roblema: Toneladas de Materia Prima  por tonelada to nelada de Pintura ppara ara Exteriores

Interiores

Disponibilidad Máxima Diaria (Toneladas)

M1 M2

6 1

4 2

24 6

Utilidad por Tonelada (1000 $us.)

5

4

Materia Prima

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pint p intura ura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa MONOPOL quiere determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores

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Investigación de Operaciones

que maximice la utilidad total diaria.  diaria.  FORMULACIÓN:   En este caso no es necesario el cuadro de disp FORMULACIÓN: disponibilidad onibilidad de recursos recurs os y actividade actividades, s, ya que en el pplanteami lanteamiento ento del problema se tiene como datos. datos.   RECURSOS Materia prima M1 Materia prima M2 Restricciones de Demanda  Demanda  1º

Var iab iables les de decisió decisiónn   x  1  =  Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día   ]]  x  2  = 

2º

ACTIVIDADES   ACTIVIDADES Produci Producirr pintura para exterio exteriores res Produci Producirr pintura para inte interiores riores

Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día   ]  ] 

Función Obj etivo etivo   F  .O   .:

Max. z = 5 x1 + 4 x2

é Miles  $us. Tn ù é Miles $us. Tn ù é Miles $us.ù ê Tn.  * día ú + ê Tn. * día ú = ê día ú ë û ë û ë û

3º

Restr icc iccione ioness Estr uctur ales  ales  Materia prima  M1 :

6 x  1  +  4 x2 £ 24

é Tn.  M 1 Tn ù é Tn. M 1 Tn ù é Tn. M 1 ù ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú û û ë û ë ë

Materia prima  M2 :

x  1  +  2 x2 £ 6

é Tn.  M 2 Tn ù é Tn. M 2 Tn ù é Tn. M 2 ù ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú û ë û ë û ë

Relación de Demanda: Demanda de pintura p/ext.: 4º

x  2  £  x1 + 1

ù é Tn . día úû êë

x  2  £  2

ù é Tn .  êë día úû

Restr icci icciones ones de No Negatividad Negativida d   No  negativos : x1  ³  0 ; x2 ³ 0

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Resumen:  

Investigación de Operaciones

F  .O. :

Max. z = 5 x1  + 4 x2 [Miles $us. / día ] 

ì 6 x1  +  4 x 2 £ 24 ï x + 2x £ 6 ï 1 2 S  . a . : í ï - x1 +

ïî

No   negativos

x2 £ x2 £

1 2

: x1  ³  0 ; x2 ³ 0

3) PROBLEMA DE LA DIETA DIETA   Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos 1 Kg. de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos tipos de alimentos (A) y (B) que están constituídos exclusivamente por carbohidratos y proteínas. El alimento tipo (A) contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de proteínas, mientras que el alimento tipo (B) contiene 60% de carbohidratos y el resto de proteínas; se sabe que el alimento tipo (A) cuesta 20 $us. / Kg. y el alimento tipo (B) 40 $us $us.. / Kg. ¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de su dieta sea mínimo?  mínimo?  NUTRIENTES Carbohidratos Proteínas

ALIMENTOS   ALIMENTOS Tipo (A) Tipo (B)

Kg. de alimentos Tipo (A) Tipo (B) Carbohidratos [ Kg. carb. / Kg. ] 0.9 0.6 Proteínas Proteí nas [  Kg. Kg. prot. / Kg. Kg. ] 0.1 0.4 Costo [ $us. / Kg. ] 20 40  40   Nutrientes  Nutrien tes

1º

Var iab iables les de decisió decisiónn   x  1  =  Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]  x  2  = 

2º

Requerimiento Mínimo 1 [ Kg. carb. / sem. ] 0.5 [ Kg. prot. / sem. ]

Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]  ]  

Función Obj etivo etivo   F  .O. : Min. z = 20 x1  + 40 x2 [$us. / sem.]

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é $us.  Kg . ù é $us. Kg . ù é $us. ù * * ú=ê ú+ê ê ú ë Kg .  sem. û ë Kg . sem . û ë sem. û

3º Restr icc iccione ioness Estr uctur ales  ales  Carbohidratos : 0.9 x 1    + 0.6 x2 ³ 1 é Kg. carb.  Kg. ù é Kg.carb. Kg. ù é Kg.carb. ù * * ú= ê ú+ê sem. û ë Kg. sem. û êë sem. úû ë Kg.

Proteínas

:

0.1 x 1   + 0.4 x2 ³ 0.5

é Kg. pro   t.  Kg. ù é Kg. pro  prot  prott. Kg. ù é Kg. pro  prott. ù * * ú=ê ú+ê ê sem. û ë Kg. sem. û ë sem. úû ë Kg.

4º

Restr icci icciones ones de No Negatividad Negativida d  

No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Resumen:   Resumen:

F  .O. :

Min. z = 20 x1  + 40 x2 [ $us . / sem.]

ì 0 . 9 x1  + 0 .6 x2 ³ 1 S  .a . : í î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5 No   negativos : x1  ³  0 ; x2 ³ 0

4) PRO BLEMA DE INVERSIO NES FINANCIERAS (BA (BANCO NCO BISA) BISA)   El Banco BISA tiene un capital de 500000 $us. para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo siendo el interés anual del 10% y el tipo B es  bastante seguro con un interés anual del 7%. La polític políticaa de inversiones del banco considera invertir como máximo 300000 $us. en las acciones con bastante riesgo (tipo A) y como mínimo 100000 $us. en las acciones mas seguras (tipo B), además por regulaciones del mercado el banco debe invertir en las acciones tipo A por lo menos tanto como en las del tipo B. ¿Usted como gerente comercial de valores del banco deberá proponer al directorio cómo invertir los 500000 $us. para maximizar sus intereses interes es anuale anuales? s?

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CONDICIONES DE INV INVERSION ERSION Inversiónn de Capital Inversió Políticas de inversión inversión Condiciones de Inversión en $us. Inversión de Capital Inv. Acciones Tipo (A) Inv. Acciones Tipo (B) Interés anual [ %   ] 1º

Inversión en acciones Tipo (A) Tipo (B) 1 1 1 ― ― 1 10 7 

Límites de Inversiónn en $us. Inversió 500000 300000 100000

Var iab iables les de decisió decisiónn   x  1  =  Monto de dinero a invertir en acciones tipo (A) [  $us.]  x   =  2 

2º

INVERS INVERSION ION EN ACCIONES ACCIONES   Tipo (A) Tipo (B)

Monto de dinero a invertir en acciones tipo (B) [ $us.] 

Función Función Objetivo Objetivo  

F  .O. : Max. z = 0.1x1  + 0.07 x2 [ $us.] 3º

Restr icc iccione ioness Estr uctur ales  ales 

Inv. Acciones Tipo (B): 

[$us.]  x 1    £ 300000 [$us.]  x  2  ³ 100000 [$us.] 

Relacion de inversión : 

x 1    ³  x2

Inversiónn de capital Inversió

: 

x 1    +  x2 £ 500000

Inv. Acciones Tipo (A): 

4º

[$us.] 

Restr icci icciones ones de No Negatividad Negativida d   No   negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Resumen:   Resumen:

F  .O. :

Max. z = 0 .1x1  + 0.07 x2 [$us .]

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37 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

ì x1  +  x2 £ 500000 ï £ 300000 ï x1 S  .a . : í ³ ïï x - xx2 ³ 0100000 2 î 1 No   negativos : x1  ³  0 ; x2 ³ 0

2.7 2.7

EJ ER CICI OS PROP UESTOS (PRACTIC O Nº 1)

1. 1.   La empresa de confecciones “IM confecciones  “IM AGEN AGEN””   produce camisas y trajes de vestir para varones. Cada camisa requiere 2 hrs. Hombre y 1 hora de maquinado; cada traje requiere 10 hrs. Hombre y 4 horas de maquinado. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un traje 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 80 metros de tela para camisa y 90 metros de tela para trajes. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios y 4 maquinas de costura. Las utilidades son: 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / traje. Cual es el mejor plan de  producción para la empres empresa. a.   2. 2.   Un agropecuario tiene 20 hectáreas de tierra en el norte que piensa sembrar la  próxima temporada. No hhaa pod podido ido decidir de cidir que sembrar porque tiene limitaciones con el dinero y el personal. Para sembrar arroz los gastos son 4500 Bs./ha. y se requiere 80 hrs.– hombre/ha.; hombre/ha.; para sembrar maíz se requier requieree 3800 Bs./ha. y 85 hhrs. rs. – hombre / ha. el agropecuario cuenta con 85000 Bs. para cubrir los gastos de producción y 3  personas que trabajan durante 60 días hábiles, 10 hrs. diarias. Por cada hectárea de maíz se gana 5000 Bs. y por cada ha. de arroz se gana 5800 Bs. Formular un modelo  para decidir d ecidir eell uso ddee la tierra y los recursos.  recursos.   3. 3.   Un nutricioni nutricionista sta desea co controlar ntrolar la canti cantidad dad de grasa de llos os alimentos que cconsumen onsumen APONES”” . Todas las comidas deben tener 5 % o los enfermos en el  el “ HOSPITAL J APONES menos de grasa. El plato del día consiste en arroz y pollo. El pollo tiene 12 % de grasa y el arroz 1 %. Cada enfermo consume un total de 400 gramos de alimento en el almuerzo. El kilo de pollo preparado cuesta 11 Bs. y el arroz preparado con verduras cuesta 12 Bs. Determinar la cantidad optima de arroz y pollo que debe servirse a cada enfermo a un costo mínimo.

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38   38

 

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Investigación de Operaciones

4. 4.   Un agricultor posee 200 cerd cerdos os que consume consumenn 90 libras de comi comida da especial ttodo odo los días. El alimento se prepara con las sigui siguientes entes composiciones: composiciones:   ALIME NTO Maíz Harina de Soya (Lb.)

CALCI CALCIO O PRO TE TEINA INA 0.001 0.09 0.002 0.60

FIBRA 0.02 0.06

COSTO ( US. / LB.) LB.)   0.20 0.60

Determine la mezcla de alimento con el mínimo costo por día, si los requisitos diarios de alimento para los cerdos son: a) Cuando menos 0.1 % de calcio  b) Por lo menos 30 % de proteínas c) Máximo 5 % de fibra  fibra  5. 5.   La empresa de confecciones “ROM confecciones “ROM Y”   fabrica ropa industrial: camisas y overoles  para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–homb hrs.–hombre re y cada overol requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metr metros os de tela para overoles. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?. empresa?.   6. 6.   Muebles Muebles “HURTADO”  “HURTADO”   fabrica 3 clases de sillones cada una requiere una técnica diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 35 hrs. de mano de obra, 9 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 25 $us.; el sillón estándar requiere 30 hrs. de mano de obra, 7 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 20 $us.; el sillón económico requiere 25 hrs. de mano de obra, 5 horas de maquinado y produce una utilidad de 12 $us. Se dispone 1800 hrs. de mano de obra y 450 hrs. de maquinado cada mes. La demanda mensual llega máximo 20 und. para los modelos de lujo y 25  para los modelos estándar. Formule un modelo para determinar el mejor plan de  producción.    producción. 7. 7.   La empresa “K empresa “K -RROS” -RROS”   fabrica dos modelos de carritos a motor para niños, utilizando como materia prima el hierro y la madera, para lo cual se destina 28 hrs. en fabricar una und. del modelo estándar y 16 hrs. para el modelo sencillo.

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39 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

Actualmente se tiene disponible 7200 hrs. para la producción de estos modelos. Existe un pedido de 16 und. del model modeloo sencillo. En el siguiente cuadro se detalla los insumos e ingresos para cada modelo:  modelo:  COSTO PRECIO HIERRO MADERA REQUISITOS UNITARIO DE VENTA (Lb.) (m 2) DE MOTOR (Bs.) (Bs.)  (Bs.)  Sencillo 950 65 1 1010 1460 Estándar 4000 120 1 1205 2100 2100   Disponibilid Dispon ibilidaa d 645300 22790 450 450   MODELO

Elaborar un modelo de Programación Lineal para determinar el mejor plan de  producción.    producción. 8. 8.   La compañía de investigaciones  investigaciones “ EL PAHUICHI”  tiene un capital de 10 millones de $us. para invertir. El objetivo principal consiste en maximizar el retorno de la inversión para el próximo año. Existen 4 alternativas de inversión según el cuadro. Se ha establecido que por lo menos el 30 % deberá ser colocado en las alternativas 1 y 2, no más del 40 % en las alternativas 3 y 4. Se debe invertir todo los 10 millones disponibles. Formular un modelo de Programación Lineal que permita estimar la cantidad de dinero a invertir in vertir en cada alternativa. alternativa.   ALTERNATIVA ALTER NATIVA D DE E RETORNO INVERSIO N MAXIMA N° INVERSION ESPERADO (% (% ) (MILLONES US.) 6 7  1  Vivienda tipo Chalet 8 5  2  Vivienda Semi Lujo 3  Vivienda Sencilla 4  Lotes

9 12

4  2 

9. 9.   María requiere regular su alineación, actualmente dispone los siguiente siguientess alimentos  para consumo consumo:: to torta rta de d e chocolate, helado de chocolate, soda coca-cola, empan empanada ada ddee queso. Cada porción de torta cuesta 3 Bs., el vaso de helado cuesta 4 Bs., cada  botella de soda personal cuesta 3 Bs. y cada empanada cuesta 1 Bs. Cada día debe ingerir por lo menos 50 calorías, 6 onzas de chocolate, 12 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la siguiente tabla:

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Investigación de Operaciones

Torta

40

CHOCOLATE (ONZAS) 3

Helado Soda Empanada

20 15 50

2 0 0

ALIMENTO

CALORIAS

AZUCAR (ONZAS) 4

GRASA (ONZAS)   (ONZAS) 2

4 3 2

2 0 3

Formular un modelo lineal que permita responder a los requerimientos alimenticios alimentici os diarios a un costo mínimo. mínimo.   10.  El gerente de personal de la empresa de seguridad “LI 10.  seguridad “LI DER DER””   debe elaborar un  programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimien requerimientos tos que se muestran en el Cuadro Nº 1. Los guardias trabajan turnos de 8 hrs., todos los días hay 6 turnos. En él Cuadro Nº 2, se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El gerente de personal de dicha empresa quiere determinar cuantos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar él número total de guardias que satisfagaa los requerimie satisfag requerimientos ntos de personal.  personal.  CUADRO Nº 1

CUADRO CUADRO Nº 2

REQUERI MIENTO DE PERSONA PERSONAL L TURNOS

PRO GRAMACION

DE

N° TIEMPO

MINIMO DE GUARDIAS   GUARDIAS Media noche → 4 am. 5 4 am. → 8 am. 7 8 am. Medio día 15 Medio día → 4 pm. 7 4 pm. → 8 pm. 12 8 pm. Media noche 9

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41 

 

TURNO 1  2  3  4  5  6 

Ciencias Empresariales

UNIDAD 3

HORA ENTRADA – SA SALIDA LIDA Investigación Media noche de→Operaciones 8 am. am.   4 am. Medio día día   8 am. → 4 pm. pm.   Medio día → 8 pm. pm.   4 pm. Media noche noche   8 pm. → 4 am.

MÉTODOS MÉ TODOS DE SOLUCIÓN SOLUCIÓ N DE DE UN M.P.L.   M.P.L. El objetivo de esta unidad es estudiar los métodos de solución y las propiedade propiedadess que son  propias de la solución de un M.P.L.; que pueden determin determinarse arse de forma gráfica y/o analítica. Existen varios métodos que permiten llegar a la solución de un problema de  programación lineal, en entre tre los cuales tenemos a los métodos: m étodos: a)  b) c)

Método Gráfico Método Simplex Métodos de Penalización Penalización  

a) ALGORITM O DEL MÉT ODO GRÁFICO GRÁFICO   Es uno de los métodos más simples, que tiene 2 características especiales: especiales: i)

Solo sirve para resolver problemas en dos dimensiones (a lo sumo tres).

ii)

La aplicación y solución mediante este método, permite importantes interpretaciones de tipo geométrico y conceptual en relación a la teoría de la P.L.   P.L.

PROCEDIMIENTO: Paso 1:  1:   M.P.L.   M.P.L.

Graficar en un sistema de coordena coordenadas das ca cada da una de las restricciones restricciones del del

Paso 2:  2:   Reemplazar un punto por encima y por ddebajo ebajo de la recta, para determinar el sentido que indica la desigualdad.  desigualdad.  Paso Pa so 3:  3:   La int intersecció ersecciónn de todas las rrectas ectas y el domi dominio nio de las restric restricciones ciones con con el  primer cuadrante del sistema sistem a de coordenadas, daran lugar a la formación de  de 

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42 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

un conjunto o espacio solución denominado R E GIÓN FACTIBLE   Paso 4:  4:   Graficar la F UNCIÓN OBJE TIV TIVO O , reemplazando con un valor arbitrario la función objetivo  objetivo Z Paso 5:  5:   Para hallar la Soluci Solución ón Óptima, se desplazará paralelament paralelamentee la recta Z obtenida en el paso 4, hasta intersectar con un punto de intersección de las restricciones; restricci ones; eesto sto según:  Maximizar ar ,  se debe encontrar el pun to más a lejado del a) Si se trata de Maximiz origen.   Minimizaa r , se debe encontrar el pun to más ce cercano rcano a l  b) Si se trata de Minimiz origen .  Paso 6: Interpretar 6:  Interpretar los resultados obtenido obtenidoss  a.1)) a.1

INTERPRET ACION DE LA SOLUCIÓN GRÁFICA

Solución Óptima:  Óptima:   Son los valores de las variables y el valor de la función objetivo Restr icciones Activas: Activas: Son  Son aquellas que pasan por el punto óptimo y hacen uso total de los recursos  recursos  Restricciones Ina Restricciones Inactiv ctivas: as: Son  Son aquellas que no pasan por el punto óptimo, pero sí delimitan la región factible y hacen uso parcial de los recursos. recursos.   Restricciones Redunda ntes: Restricciones ntes: Son  Son aquellas que no delimitan la región facti factible, ble, por lo tanto no influy influyen en en la solución óptima. óptima.   EJEMPLOS: 1) 1)   Aplicar el algoritmo ddel el método método gráfico para resolver el problema del taller de carpintería, carpinter ía, cuyo modelo de progr p rogramación amación lineal formulado es:

F  .O. : Max. z = 15 x1  + 20 x2 [$us.]

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43 

 

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Investigación de Operaciones

ì 2 x1  + 2 x2 £ 8 î x1 + 2 x2 £ 6

S .a . : í

K R 1 

Pzas .  pequeña s

K R2

Pzas .  gr  graa ndes

No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Donde:  x  1  =   Número de d e si sillas llas a fabricar [  u. ]  x  2  =  Número de d e mesas

a fabricar fabric ar [  u. ]  ]  

SOLUCIÓN GRÁFICA  ·  Primeramente las restricciones (desigualdades (desigualdades)) las representamos como igualdades solo para poder encontrar los puntos que nos permitan trazar las rectas que representann a las restricciones en un sistema cartesiano. representa cartesiano.

R 1    : 2 x1 + 2 x2 = 8

R  2  : x1 +  2 x2 = 6

x  1  =  0 Þ x2 = 4 ® P1 ( 0 , 4 ) x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4 ,0 ) x 1    = 0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3) x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6 , 0 ) ·  Luego verificamos verificamos la solución de cada una una de las desigua desigualdades ldades pa para ra delimita delimitarr la

Regiónn Factible. Regió

R 1    : 2 x1 + 2 x2 £ 8

R2  : x1 + 2 x2 £ 6

( 0 ,0 ) Þ  0 + 0 £ 8 SI     ( 0 ,5 ) Þ 0 + 10 £ 8 NO ( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 6 SI     ( 0 , 4 ) Þ 0 + 8 £ 6 NO ·  Una vez ubicada la región factible, asignamos un valor aarbitrario rbitrario a “z” en la función

objetivo para luego trazar la recta que representa a dicha función, con la cual encontraremos encontrar emos el punto óptimo.

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Investigación de Operaciones

En   Max.  z = 15 x1 + 20 x2 Si   z = 30

Þ 15 x   + 20 x = 30 1

2

x 1    =  0 Þ x2 = 1 .5 ® P1 ( 0 ,1 .5 ) x2 = 0 Þ x1 = 2 ® P2 ( 2 ,0 )

Solución Sol ución óptima óptima::  

x 1    =  2 [u .] sillas x2 = 2 [u .] mesas

R  / en z = 15 x1  + 20 x2 z = 15( 2) + 20( 2) z = 70 [ $us.]

Tipos de r estricci estricciones: ones:  · 

R 1     y R2 Son  restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto

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Investigación de Operaciones

óptimo.  ·  No tiene restricciones inactivas  ni  n i  redundantes.  Interpretación:   Interpretación:  El taller de carpintería debe fabricar   2 sillas   y  2 mesas,  obteniendoo una uutilidad obteniend tilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos. recursos.   2) 2)  

Resuelva el pr problema oblema de Pi Pinturas nturas M Monopol onopol por el m método étodo ggráfico ráfico y analice sus resultados. Siendo:  x  1  =  Cantidad de pintura para exteriores a producir [  Tn. / día   ]]  x  2  =  Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día   ]] 

F  .O. :

Max. z = 5 x1  + 4 x2 [Miles $us. / día ] 

ì 6 x 1   +  4 x 2 ï 1 2 S  . a . : ï í x + 2x ï - x1 + x 2 ïî x2 No   negativos

£ 24

K  R 1 

M1

£ £

K R2 K R3

M 2 R . Demanda

K R4

Demanda

6 1 £ 2

Ext .

: x1  ³  0 ; x2 ³ 0

SOLUCIÓN GRÁFICA  GRÁFICA 

R 1    : 6 x1 + 4 x2 = 24 R  2  : x1 + 2 x2 = 6 x  1  =  0 Þ x2 = 6 ® P1 ( 0 ,6 ) x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4 ,0 ) x 1    =  0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3) x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6 , 0 )

R  3  : - x1 + x2 = 1

R  4  : x2 =  2

x 1  =  0 Þ x2 = 1 ® P1 ( 0 ,1) x2 = 0 Þ x1 = - 1 ® P2 ( - 1, 0 )

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Investigación de Operaciones

Verificando las soluciones individuales:

R 1    : 6 x1 + 4 x2 £ 24

R2  : x1 + 2 x2 £ 6

( 0 ,0 ) Þ  0 + 0 £ 24 SI     (5,0 ) Þ 30 + 0 £ 24 NO ( 0 ,0 ) Þ  0 + 0 £ 6 SI     ( 7 ,0 ) Þ 7 + 0 £ 6 NO R  3  : - x1 + x2 £ 1

( 0 ,0 ) Þ  - 0 + 0 £ 1 SI    ( 0 , 2 ) Þ - 0 + 2 £ 1 NO Función Objetivo:  Objetivo:  

R4  : x2 £  2

( 0 ,0 ) Þ  0 £ 2 SI    ( 0 , 4 ) Þ 4 £ 2 NO

En   Max.  z = 5 x1 + 4 x2

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Si   z =  20

Þ 5 x1  + 4 x2 = 20

x  1  =  0 Þ x2 = 5 ® P1 ( 0 ,5 ) x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4, 0 ) Solución Sol ución óptima óptima::  

x 1    = 3 [Tn. / día ] Pintura exterior x2 = 1.5 [Tn. / día ] Pintura interior R  / en z = 5 x1  + 4 x2 z = 5(3) + 4 (1.5) z = 21 [ Miles $us. / día ] Tipos de r estricci estricciones: ones:  ·  R 1     y R2 Son  restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto óptimo.  · 

R  3   y R4 Son  restricciones inactivas , ya que ambas delimitan la región

factible, pero no pasan por el punto óptimo.  ·  No tiene  restricciones redundantes.  Interpretación:   Interpretación:  La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones restriccion es de demanda. demanda.   3)

PROBLEMA DE LA DIETA  x  1  = 

Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ] 

x  2  = 

Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ] F  .O. :

Min. z = 20 x1  + 40 x2 [ $us. / sem.]

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ì 0 . 9 x1  + 0 .6 x2 ³ 1 î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5

S  .a . : í

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0

Solución Sol ución óptima óptima::  

x 1  = 0.33[Kg. / sem.] Alimento TipoA x2 =1.17[Kg. / sem.] Alimento TipoB R  / en z = 20 x1  + 40 x2 z = 20( 0.33) + 40 (1 .17 ) z » 53 .4 [$us. / sem.] Tipos de r estricci estricciones: ones:

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· 

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R 1     y R2 Son  restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto

óptimo.  ·  No tiene restricciones inactivas  ni  n i  restricciones redundantes.  Interpretación:   Interpretación:  La persona para cumplir con su dieta deberá consumir 0.33 Kg. / sem. del alimento Tipo (A) y 1.17 Kg. / sem. del alimento Tipo (B), con lo que alcanzará un costo mínimo de 53.4 $us. / sem. , logrando satisfacer sus necesidades necesidad es mínimas de ccarbohi arbohidratos dratos y proteínas. proteínas.   a.2)) a.2

TIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN MODELO D DE E P.L. P.L.   Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución gráfica que presenta, en:  FACTIBLES:   Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las · FACTIBLES: restricciones. restriccion es. Estas a su vez pueden sser: er:  

x2

x2

x2

Solución ún única ica F.O. acotada

x1

Solución mú ltiple F.O.

x1

Solución no

x1 F.O.

·  NO FACTIBLES:  Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen

las restricciones; es decir que qu e algunas restricciones son inconsistentes inconsistentes  

x2

b)

MÉTO DO SIMPLEX

x1 Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

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Es un método analítico (o algebraico) que utiliza las operaciones con filas (desarrolladas en matrices) para obtener la solución a los modelos de programación lineal. Previamente a desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos conocer algunas reglas básicas de transformaci transformación. ón.   b.1) REG LAS DE TRANSFORM ACIÓN D DE EU UN N M.P.L. M.P.L.   Antes de desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos considerar las siguientes reglas de transformación para las restricci restricciones ones que considera un M.P.L.: M.P.L.:   1°  1° 

Para convert convertir ir las inecuaciones (desigu (desigualdades) aldades) en igualdades, se deben añadir variables varia bles de compensaci compensación, ón, pudiendo ser éstas: éstas:   i) De Holgura ( h i ): Se utilizan u tilizan cuando las restricciones son del tipo  ( £ ) ii) Supér fluas o de exces excesoo ( S i ): ): Se  Se utilizan cuando las restricciones son del tipo  

( ³ ) Ejemplo: Si a  11  x1 +  a 12 x 2 £ b1 ,

entonces

se

transforma

como:

entonces

se

transforma

como:

a  11  x1 + a 12 x 2 +   = b1 h      

1

Si a  11  x1 +  a 12 x 2 ³ b1 , a  11  x1 + a 12 x 2 -   = b1 S       

1

2°  2° 

Si las restricciones son del tipo tipo ( = ), entonces ésta equivale a dos restricciones del tipo ( £ ) y  ( ³ ) Ejemplo: Si

a  11  x 1 +  a 12 x 2 = b 1 ,

entonces

se

transforma

como: 

ì a  11  x 1 +  a 12 x 2 £ b 1 í î a 11 x 1 + a 12 x 2 ³ b 1

O

también

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como:

51 

 

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ì a  11  x 1 +  a 12 x 2 £ b 1 í î - a 11 x1 - a 12 x 2 £ - b 1

3°  3° 

La Función Objetivo, se transforma según las siguientes equivalencias equivalencias::  Max   Z º  Min Max

Ejemplo:   Ejemplo:

(-

Z

) º

(-

Z

)

Min Z

Exprese en sus formas Canónica y Estandar Estanda r el M.P.L. siguien siguiente: te: F  .O   .:

Min. z = 6 x1 - 2 x2 + 3 x3

ì x1  +  x2 + x3 £ 15 ï S  .a . : í 2 x1 - x3 ³ 12 ï = 2 x2 î No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 ; x3 ³ 0 b.2) ALGORITM O DEL MÉT ODO SIMPLEX b.2) SIMPLEX   Es un algoritmo que aplica un procedimiento iterativo de solución, de forma sistemática considerando consideran do tres fases fundame fundamentales: ntales:   i)

FASE INICI AL Paso Pa so 1: Colocar el Modelo de Programación Programación Lineal en su forma estandar. estandar.   Paso 2: Plantear la tabla inicial o solución inicial (iteración 0) 0)  

ii)

FASE DE CONT CONTROL ROL Paso 3: Verificar si los coeficient coeficientes es de la F.O. son todos positivos. positivos.  ·  Si son positivos, entonces pare (es la solución)  ·  Si no, vaya al siguiente paso.  paso.  Paso Pa so 4:  4:   Realizar un cambio de base, aplicando la “regla de entrada y salida de la

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 base” (encontrar (en contrar el pivote) pivo te)  ·  Regl Reglaa de entrad a:  Se elige como variable que entra a la base, aquella   variable nó básica   que tenga el  valor mas negativo  en   en la fila de “Z” (se obtiene la columna pivote) p ivote)  Reglaa de salida salida :   Se elige la  variable básica   que tenga  menor radio   ·  Regl (  r  r   ), llamándose ésta, fila pivote.  ·  Para el cálculo de ( r   r   ), se tiene t iene la siguiente expresión:   r   = 

valores

Lados    _   Derechos  _ de  _ la  _ columna

 _  piv  pivote ote

Nota:  Se debe ignorar aquellos valores de la columna Nota: Se co lumna pivote que son “negativos o cero”   cero” iii) iii)

FASE ITE RATIVA Paso 5: Aplicar 5:  Aplicar operaciones elementales de fila y columna, para obtener ceros en la columna pivote (aplicar Gauss-Jorda Gauss-Jordan) n)   Paso 6: Volver a la fase de control  control 

Ejemplo:   Ejemplo:

Aplicando el algorit algoritmo mo simplex, determine la solución del M.P.L. siguiente: F  .O   .:

Max. z = 5 x1 + x2

ì x1  +  x2 £ 5 ï £ 3 S  .a . : í x1 ï x + 3 x £ 12 2 î 1

K  R1  K

R2

K

R3

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 SOLUCIÓN: PASO 1:  1:  

F  .O   . : Max. z = 5 x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + 0 h3

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= 5 ì x1  +  x2 + h1 ï S  .a . : í x1 + h2 = 3 ï î x1 + 3 x2 + h3 = 12 No  negativos : x1 ; x2 ; h1 ; h2 ; h3 ³ 0 PASO 2:  2:   Iteración 0:

F  .O. : Max. z - 5 x1  - x2 - 0h1 - 0h2 - 0 h3 = 0 C.P. x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

ρ

z

-5

-1

0

0

0

0

N.S.C.

h1

1

1

1

0

0

5

5/1=5

h2

1

0

0

1

0

3

3/1=3

h3

1

3

0

0

1

12

12/1=12 

F.P.

NOTA: Los pasos 3 y 4 son realizados en la misma tabla de iteració iteraciónn 0  0  PASO 5:  5:  

Iteración 1: x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

ρ

z

0

-1

0

5

0

15

N.S.C.

h1

0

1

1

-1

0

2

2/1=2  2/1=2 

x 1 

1

0

0

1

0

3

N.S.C.

h3

0

3

0

-1

1

9

9/3=3 

NOTA: El paso 6 se realiza en la misma tabla de iteración iteración 1 Iteración 2: x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

z

0

0

1

4

0

17 17  

x 2 

0

1

1

-1

0

2

x1

1

0

0

1

0

3

h3

0

0

-3

2

1

3 

ρ

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54   54

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.  solución.  SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA SOLUCIÓN SOLU CIÓN ÓPTI MA  x 1    = 3 [ u ]

SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSICA ICA h 1  = 0 ü

x2 = 2 [u ]

ý Escasos

h3 = 3 [u ] Abundante

h2 = 0 þ

z   = 17 [u .m.]

Interpretación:   Interpretación:

Se deben producir 3 unidades de x 1    y 2 unidades de x  2  ,

obteniéndose obtenién dose un benef beneficio icio de 17 unidades monetarias.  monetarias.  c) MÉT ODOS DE PE NA NALIZACIÓ LIZACIÓ N  Para resolver problemas que incluyen otros tipos de restricciones como ( ≥ y/o = ), se emplean los llamados  Métodos de Penalización , que consideran las características siguientes:

c. c.1) 1)

i)

Para las restricciones restriccione s ( ≥ y/o = ) se añaden variables artificiales (que sirven como artificio matemático) que facilitan la solución de problemas de este tipo.

ii)

Generalmente si el problema tiene solución factible, éstas se convierten en variables varia bles no básicas con valor final igual a cero.

iii)

La iteración cero o paso inicial debe sser er corregida en función de las modificaciones modificaci ones que se hhagan agan en la función objetivo.  objetivo. 

Método de la “ M ”: Este método introduce variables artificiales que son  penalizadas  penalizad as en la función objetivo, objetivo , para obligarlas a un nivel cero durante el curso de las iteraciones simplex. El valor que se considera como “M” es un valor positivo suficientemente grande.  grande. 

Procedimiento: El Procedimiento:  El método de la “M” utiliza el siguiente siguiente procedimient procedimiento: o:

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55 

 

Ciencias Empresariales

Paso 1:  1:  

Investigación de Operaciones

Colocar el M.P.L. en su forma forma  e sstanda tanda r , añadiendo:  ·  Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤ 

artificiales iciales ( a i ) a las restriccio restricciones nes del tipo =   ·  Variables artif ·  Variables superf superfluas luas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricci restricciones ones del tipo ≥  ≥  Paso 2:  2:  

En la F.O. las variables de holgura ( h i ) y superfluas ( s i ) tienen coeficiente (cero (0). Las variables artificiales ( a i ) se las penaliza con un valor grande,  grande,  (M) en M)  en el caso de  de maximizar  y   y (+M)  en el caso de  de  inimizar inimizar .

Paso Pa so 33::  

Las variables básicas que correspond corresponden en a la tabla inicial ((Iteració Iteraciónn cer cero) o) ddeben eben incluir a las variables artificiales, pero sus coeficientes en la F.O. no son cero sino “M”, por lo que deberán volverse cero utilizando operaciones elementales de filas, considerando aquellas filas filas que incluye incluyenn a estas variables. variables.  

Paso Pa so 44::  

Obtenida la tabla con la F.O. F.O. corregida, se cont continúa inúa ccon on los pasos ddel el sim simplex plex hasta obtener el resultado óptimo.  óptimo. 

Ejemplo:   Ejemplo:

Aplicando el métod métodoo de la M, determine la solución del M.P.L. siguie siguiente: nte:

F  .O   . : Min. z = 5 x1 + x2

ì x1  +  x2 = 5 K  R1  ï S  .a . : í x1 £ 3 K R2 ï î x1 + 3 x2 ³ 12 K R3 No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 SOLUCIÓN: Paso 1:  1:  

F  .O   .:

Min. z = 5 x1 + x2 + Ma 1 + 0h2 - 0 S3 + Ma 3

= 5 ® R 1    ì x1  +  x2 + a 1 ï S  .a . : í x1 + h2 = 3 ® R2 ï x + 3x - S 3 + a 3 = 12 ® R3 2 î 1

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56 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

No   negativos : x1 ; x2 ; a1 ; h2 ; S3 ; a 3 ³  0

Paso 2:  2:   Corregimos la función objetivo despejando las variables artificiales de las restricciones que las contienen: R 1  :  a 1 = 5 - x1 - x2 R2 : a 3 = 12 - x1 - 3 x2 + S3 Reemplazamos a 1    y a 3 en la F.O.:

Min .  z = 5 x1  + x2 + M (5 - x1 - x2 ) + 0h2 - 0 S3 + M (12 - x1 - 3 x2 + S3 ) Min  . z = (5 - 2 M ) x1  + (1 - 4 M ) x2 + 0h2 + MS3 + 17 M Min  . z + ( 2 M - 5) x1  + ( 4 M - 1) x2 - 0h2 - MS3 = 17 M Iteración 0:

C.P.

x1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

2M-5

4M-1

0

0

-M

0

17M

N.S.C.

a1

1

1

1

0

0

0

5

h2

1

0

0

1

0

0

3

5/1=5 N.S.C.

a3

1

3

0

0

-1

1

12

12/3=4 

X1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

(2M-14)/3

0

0

0

(M-1)/3

(1-4M)/3

M+4

N.S.C.

a1

2/3

0

1

0

1/3

-1/3

1

1/(2/3)=1.5

h2

1

0

0

1

0

0

3

3/1=3 3/1=3  

x 2 

1/3

1

0

0

-1/3

1/3

4

4/(1/3)=12 

Iteración 1:

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57 

F.P.

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

Iteración 2:

x1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

0

0

7-M

0

2

-(M+20)/3

11

N.S.C.  N.S.C. 

x 1 

1

0

3/2

0

1/2

-1/2

3/2

1.5/0.5=3

h2

0

0

-3/2

1

-1/2

1/2

3/2

N.S.C. N.S.C.  

x 2 

0

1

-1/2

0

-1/2

1/2

7/2

N.S.C. 

X1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

-4

0

1-M

0

0

-(M+14)/3

5 

S 3 

2

0

3

0

1

-1

3

h2

1

0

0

1

0

0

3 

x 2 

1

1

1

0

0

0

5 

Iteración 3:

Como todos los valores de la fila z son negativos (caso minimizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.  solución.  SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA SOLUCIÓN SOLU CIÓN ÓPTI MA 

SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSICA ICA

x  2  = 5 [u ]

x 1    = 0 No  pr  producir oducir

h2 = 3 [u ] ü

a1 = 0 ü

S3 = 3 [u ]þ z   = 5 [u .m.]

a 2 = 0þ

ý V. artificial es

ý Abundantes

Se deben producir 5 unidades de x  2  y ninguna unidad de x 1   ,

Interpretación:   Interpretación:

obteniéndose un beneficio de 5 unidades monetarias. Además se tienen los recursos correspondientes

a

las

restricciones

R  2 y  R 3 como

abundantes,

ya

que

h  2 y  S 3 se encuentran en la base.  base.  c.2)

Métod Métodoo de las Dos Fa Fases: ses:   Este método trabaja también con variables artificiales, pero no considera la introducción de un valor grande “M”; ya que

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58 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

computacionalmente, la consideración de éste valor “M” puede hacer que la solución verdadera se distorsione; es por esto que el método de las dos fases resulta mas eficie e ficiente. nte.   Algoritmo:   El método de la Algoritmo: lass dos fases utiliza el siguiente procedimie procedimiento: nto:   FASE 1:  1:   Considera cinco pasos  pasos  Paso 1:  1:  

Se formula el M.P.L. en la forma estandar, añadiendo añadiendo::  ·  Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤  ·  Variables artif artificiales iciales ( a i ) a las restriccio restricciones nes del tipo =   ·  Variables superf superfluas luas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricci restricciones ones del tipo ≥  ≥ 

Paso 2:  2:  

En la F.O. las variables de hholgura olgura y superfluas superfluas tienen coeficie coeficiente nte cer ceroo ((0) 0) ,  pero las l as variab variables les arti artificiales ficiales ttienen ienen como coeficiente uno (1) (1)   Nota:   Si el problema tiene solución factible, las variables artificiales deben Nota: ser cero en la tabla final (variables no bbásicas). ásicas).  

Paso Pa so 33::  

Se construye una F.O. adicional adicional (  ( z variables artificiales.  artificiales. 

Paso Pa so 44::  

Las Las  v ar iables bási básicas cas  en la tabla inicial ( o iteración cero ) deben incluir a tifici iciales ales   ( ya que éstas forman la matriz identidad ), pero las  las v ar iables ar tif sus coeficientes en la F.O. no son cero sino uno; por lo que estos coeficientes

0

)  que solo tome en cuenta a las

deben transformarse a cero operando con filas que incluyen a éstas variables y que luego deben sumarse a la fila de ( de ( z 0 ).  Paso Pa so 55::  

Obtenida la tabla corregida en en la F.O., se procede a iterar siguiendo los pasos del simplex hasta llegar a que la F.O. sea cero, garantizando que las variables varia bles artificiales desaparezcan desaparezcan de la base (es decir que sean cero). cero).  

FASE 2:  2:   Considera dos pasos: pasos:   Paso Pa so 11::  

Se toma en cuenta la última tabla de la la fase  fase 1 , eliminando las columnas

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59 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

correspondientes a las var las var iables ar tif tificiale icialess ; y se introducen los valores originales de la F.O. Se presentará el problema de que las  las  v ar iables bási básicas cas finales no finales  no tienen coeficientes cero en la F.O., esto se corrige con operaciones elementales elemental es ddee filas. filas.   Paso Pa so 22::  

Se vverifica erifica la optimid optimidad ad viendo si todos lo loss ccoeficiente oeficientess de la F.O. son mayores o iguales a cero (caso Maximizar); si esto no ocurre, entonces se  procede a iterar co conn los pasos ddel el simplex. simp lex.  

Ejemplo:   Ejemplo:  Aplicando el método de las Dos Fases, determine la solución del M.P.L. siguiente:

F  .O   . : Min. z = 2 x1 + 6 x2

x1  =  2 K  R1  S  .a . : ì í î 2 x1 + 2 x2 ³ 5 K R2

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 SOLUCIÓN:  Si maximizamos en vez de minimizar, entonces debemos transformar la F.O. SOLUCIÓN: Si según las reglas de transformaci transformación ón vistas anteriorment anteriormente, e, obteniendo: F  .O   .:

Min. z = 2 x1 + 6 x2

F .O. :

Max. ( - z) = - 2 x1 - 6 x2

Ahora podemos podemos ap aplicar licar el algoritmo de las dos fases: fases:   FASE 1 Paso Pa so 1 y 2: 2:  

Expresamos el M.P.L. en su forma estandar

F  .O   .:

Max. ( - z) = -2 x1 - 6 x2 - 1a 1 - 0 S3 - 1a 2

+ a 1 = 2 ® R 1    î 2 x1 + 2 x2 - S 2 + a 2 = 5 ® R2 ì x1 

S  .a . : í

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60 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

No   negativos : x1 ; x2 ; a 1 ; S 2 ; a 2 ³ 0 Paso 3:  3:   Construimos la F.O. adicional ( adicional ( z artificiales F  .O. : F .O. : Paso 4:  4:  

0

)  que considera solo a las variables

Max. ( - z0 ) = -1a1 - 1a 2 Max. ( - z0 ) + 1a1 + 1a 2 = 0

Iteración 0

z0 

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

0

0

1

0

1

0

a1 1 0 1 0 0 2 a2 2 2 0 -1 1 5  operaciones nes elementales de fil filas as Corregimos la fila ( fila ( z 0 ), mediante operacio (-1) a1

:

-1

0

-1

0

0

-2

(-1) a2

:

-2

-2

0

1

-1

-5

z0

:

0

0

1

0

1

0

z0 Corregido :

-3

-2

0

1

0

-7 

Luego la tabla con los valores de la F.O. corregida corregida (fila (fila  z 0), será:

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

z0 

-3

-2

0

1

0

-7

N.S.C.

a1

1

0

1

0

0

2

2

a2

2

2

0

-1

1

5

5/2

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61 

 

Ciencias Empresariales

Paso 5:  5:  

Investigación de Operaciones

Iteración 1:

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

z0 

0

-2

3

1

0

-1

N.S.C.   N.S.C.

x 1 

1

0

1

0

0

2

N.S.C.

a2

0

2

-2

-1

1

1

1/2 

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

z0 

0

0

1

0

1

0   0

x 1 

1

0

1

0

0

2   2

x 2 

0

1

-1

-1/2

1/2

1/2 

Iteración 2:

NOTA:  La condición de parada es la misma que en el método simplex normal; NOTA: La la diferencia estriba en que pueden ocurrir dos situaciones cuando se produce la  parada:  ·  Si la F.O. toma un valor cero

( z  0  =  0 ) , significa que el problema original

tiene solución y se pasa a la fases 2.  ·  Si la F.O. toma un valor valor distinto de cero ( z  0  ¹  0 ) , entonces significa que

el modelo no tiene solución. Como todos los valores de la fila  fila z 0  son positivos y el valor de la F.O. es cero, entonces entonc es el modelo ttiene iene soluci solución ón y se pasa a la fase 2. 2 .  FASE 2  2  Paso 1: Introducimos los valores originales de la F.O. en la tabla final de la fase 1 (sin tomar en cuenta las columnas que corresponden a las variables artificiales) y corregimos mediantee ooperacion mediant peraciones es con filas dichos valores.

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62 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

F  .O. : Max. ( - z) + 2 x1  + 6 x2 + 0 S3 = 0 Iteración 3: x1

x2

S2

L.D.

-z

2

6

0

0   0

x 1  x 2 

1 0

0 1

0 -1/2

2   2 1/2

Corregimos la fila  fila ( - z ) , mediante operaciones elementales de filas (-2) x1 : -2 0 0 -4

(-6) x2

:

0

-6

3

-3

(-z)

:

2

6

0

0

(-z) Corregido

:

0

0

3

-7 

Iteración 4:

x1

x2

S2

L.D.

-z

0

0

3

-7   -7

x 1  x 2 

1 0

0 1

0 -1/2

2   2 1/2

Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.  solución.  SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA SOLUCIÓN SOLU CIÓN ÓPTI MA MA   x 1    =  2 [u ] x2 = 1 / 2 [u ]

SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSICA ICA

S  2  =  0 Escaso

z   = =  7 [u. m.] Interpretación:   Interpretación:

Se deben producir 2 unidades de x 1   y 0.5 unidades de x  2 

obteniéndose un beneficio de 7 unidades monetarias. Teniendo como escaso el recurso

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63 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

correspondiente a la restricción R  2  .  TIPOS DE SOLUCIONES QUE SE PRESENTAN EN LA SOLUCIÓN ANALÍT ANA LÍT IC ICA A DE UN UN M.P.L. M.P.L.   La interpretación interpretación de la solución analítica de un M.P.L. presenta los siguientes casos: casos:   i)

Solució Soluciónn No Factible: Fa ctible:   Se presenta cuando alguna de las variables artificiales añadidas, añadida s, nó desaparec desaparecen en de la base; conociénd conociéndose ose esto como solución no factible .

F  .O   . : Max .Z = 2 x1 + 6 x2

Ejemplo:

=  2 î 2 x1 + 2 x 2 ³ 5 ì x 1 

S  . a . : í

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 x  1 

x  2 

a  1 

S  2 

a  2 

L .D .

z

M+4

0

2M+6

M

0

12-M 

x 2 

1

1

1

0

0

2 

-1 0 -2 -1 1 1  Sol Solución ución Óp tima No Acotad Acotada: a: Se conoce también como solución solución infinita y se presenta cuando en un a 2 

ii)

F  .O   . : Max .Z = 2 x1 + 6 x2

Ejemplo:

=  2 ì x   S  . a . : í 2 x1 + 2 x ³ 5 2 î 1 No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 x  1 

x  2 

a  1 

S  2 

a  2 

L .D .

ρ

z

0

0

M-4

-3

M+3

7 

N.S.C. 

x 1 

1

0

1

0

0

2 

N.S.C. 

x  2 

0

1

-1

-1/2

1/2

1/2

N.S.C.

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64 

 

Ciencias Empresariales

ii)

Investigación de Operaciones

Sol Solución ución Óp tima Mú Múltipl ltiple: e:   Se reconoce reconoce ccuando uando una variable no básica tiene coeficiente coef iciente cero en la función objetivo.

F  .O   . : Max .Z = 5 x1 + 5 x2

Ejemplo:

ì x1  +  x 2 £ 5 £ 3 î x1

S  . a . : í

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0

iv)

x  1 

x  2 

h  1 

h  2 

L .D .

ρ

z

0

0

5

0

25 

N.S.C. 

x 2 

0

1

1

-1

2 

N.S.C. 

x 1 

1

0

0

1

3

3/1=3 

x  1 

x  2 

h  1 

h  2 

L .D .

z

0

0

5

0

25 

x 2 

1

1

1

0

5 

h 2 

1

0

0

1

3

Solucio Soluciones nes Cíclic Cíclicas as y De Degener gener ada s: s:   Estas soluciones se presentan cuando se tiene un empate para elegir la variable de entrada, empate que se rompe r   ) a veces elegir arbitrariamente; pero cuando se tiene empate en el radio (   r  arbitrariamente puede conducir a un   Ciclaje . Es decir que luego de varias iteraciones se repite la solución inicial, sin lograr log rar obtener la solución óptima. Este tipo de casos generalmente se presenta en problemas con soluciones factibles  básicas degeneradas; es decir en aquellas que tengan por lo menos un lado derecho igual a cero.

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65 

 

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Investigación de Operaciones

UNIDAD 4

TEOR TE ORIA IA DE LA DUALIDAD DUALIDAD 4.1 Introducción   Introducción  Los problemas de P.L. pueden ser propuestos de una manera diferente; un  planteamiento en base ya  no a la asignación de recursos ,  sino  a la utilización de los mismos.  Este tipo de razonamiento tiene relación con lo que se llama  Interpretación Dual.  4.2 Definición   Definición  La dualidad es una técnica matemática alternativa y complementaria a la programación lineal, ya que en algunos casos permite simplificar la resolución de un M.P.L.; siendo útil cuando:  ·  Se tienen tienen que resolver problemas lineales que tienen más restricciones que variables.   ·  Se quiere profundizar en la interpreta interpretación ción económica del  problema primal ,

analizando conceptos como el de: variable dual, precio sombra o valor marginal de los recursos consumidos, además propiedades como la de holgura complementaria complementaria y consumo c onsumo de recurs recursos os llimitados. imitados.   Nota   Nota  Todos los modelos matemáticos de programación lineal conocidos hasta ahora se conocen como programas primales. Una aplicación importante de la teoría de la dualidad es, que puede resolverse el  problema dual directa directamente mente con el  método simplex , con la finalidad de identificar una solución óptima para el problema primal. A demás la teoría de la dualidad juega un  papel importante im portante eenn el análisis de sensibilidad. sensib ilidad.   4. 4.33 For mulación del Dual  Dual   Las características de transformación del  del P rimal al al  D ual  son las siguientes:  siguientes:  i) i)  

Si la la F.O.  F.O.   del del model  modeloo pr imal   es es Maximizar  Maximizar , entonces la F.O. la F.O.   en el

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66 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

modeloo d ual será de  model de M inimizar  y viceversa.  viceversa.  ii)  ii) 

Cada restr icc Cada  icción ión del modelo prima l  genera una  una v ar iable en el model modeloo dual.

4. 4.44

iii)   iii)

Cada  var iable del modelo pr imal   genera una  Cada una r estricción estr icción en el mod modelo elo dual.

iv) iv)  

La La F.O.  F.O. del modelo modelo dua l , se genera a partir de las var las  var ia bles de ccada ada restricción   y tienen como restricción tienen como coeficiente coeficiente a los llad ad os der derechos echos   de las las   r estr estric iccio ciones nes del modelo prima l. 

v) v)  

Si alguna alguna restricción  restricción del modelo primal   estuviese definido con la  la  igualdad,, entonces ésta genera una  igualdad una v ar iable si sinn r estricció estricciónn de sig signo no   en el modelo dual.  dual. 

Compa ración ra ción del modelo PRI PRIMAL MAL con el DUAL PRIM AL EQ UIVA UIVALE LE DU DUAL AL Función Objetivo  Objetivo  Función Objetivo  Objetivo  Max Z Min Z 0 → Max Z 0  Min Z  Z  → Restricciones   Restricciones Variables   Variables Si R i ≤ b i Yi ≥ 0 → Si R i = b i Si R i ≥ b i  Variables   Variables Si X  j ≥ 0 Si X  j S.R.S. Si X  j ≤ 0 

→ → → → →

Y i S.R.S. Y i ≤ 0  Restricciones   Restricciones R  j ≥ c  j R  j = c  j R  j ≥ c  j

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67 

 

Ciencias Empresariales

4. 4.55

Tab Tabla la r esumen de tr an ansf sform orm ación Pr oble oblema Pr imal imal   (x i )  .O. Pr ima imall Max. Z Min. Z

4. 4.66

Investigación de Operaciones

Pr oble oblema ma Dual  (y i )  F.O. Dual Tipo de Restr Restric icció ciónn   Min. Z 0 ≥ Max. Z 0  ≤ 

Signo de la Variable S.R.S. S.R.S.

Inter pr etación eco económica nómica de las var iables duales dua les i)

Pr eci ecios os Somb Somb ra :   Son también conocidos como precios duales y se define como el valor por unidad de recurso adicional que se quiere utilizar.

Otras interpretaciones interpretaciones son:  ·  Exactament Exactamentee cuánto debe estar estar dispuesto a paga pagarr una compañía por hacer disponibles los recursos adicionales.  ·  ¿Es conveniente pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra  para incrementar in crementar la producc producción? ión?  ·  Analizar si vale la pena incrementa incrementarr mas tiempo de uso de má máquina quina a

un costo de “x ” o más $us. por unidad producida. producida.   ii)  ii) 

Mientras que la utilidad total de todas las actividades sea menor que el valor de los recursos, entonces la solución primal y dual correspondientes no pueden ser óptimas.  óptimas. 

iii)   iii)

Solo se llega a la utilidad máxima, cuando los recursos se han explotado completamente, lo cual sucede cuando el valor de los recursos (Z 0) excede a la utilidad (Z ).  ). 

EJEMPLOS:  En cada uno de los M.P.L. siguientes, realice la transformación del EJEMPLOS: En Modelo Primal al Modelo Dual.  Dual. 

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68 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

1) Modelo Pr imal: imal:  

F  .O   . : Max. z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

ì x1  + 2 x2 + x3 £ 10 S  .a . : í î 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8

K  R1  K

R2

No   negativos : x1  ; x2 ; x3 ³  0 Primal Estándar Estándar :   F  .O . :

Max . z =  5 x1  + 12 x2 + 4 x3 + 0 h1 - Ma 2

= 10 ¬  y  1  ì x1 + 2 x2 + x3 + h1 S .a . : í î 2 x1 - x 2 + 3 x3 + a 2 = 8 ¬  y 2 No negativos : x1 ; x2 ; x3 ; h1 ; a 2 ³ 0   R 1   







R2

R3

R4

Modelo Dual:

Min . z0  = 10 y1 + 8 y2 ì  y1 + 2 y2 ï S .a . : í 2 y1 -  y2 ïî  y1 + 3 y2  y1 + 0 y2  y1 ;  y2

Fina lmente el Dual: Dual:  

³ 5 K R1 ³ 12 K R2 ³ 4 K R3 ³ 0 K R4 S.R.S .

F  .O. : Min. z0  = 10 y1 + 8 y2 ì  y1 + 2 y2 ³ 5 K R1 ï S.a . : í2 y1 -  y2 ³ 12 K R2 ïî  y1 + 3 y2 ³ 4 K R3  y1 ³ 0 ;  y2 S.R.S.

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69 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

2) 2)   Convi Convierta erta al Modelo D Dual ual el Modelo Pr Primal imal siguiente:

F  .O   . : Min. z = 15 x1 + 12 x2

ì x1  +  2 x2 ³ 3 î 2 x1 + 4 x2 £ 5

S  .a . : í

K  R1  K

R2

No  negativos: x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 3) 3)   Realice la transformación transformación del M.P.L. (de pinturas Monopol) al Dual, encuentre la solución óptima del modelo Dual y realice un análisis comparativo de ésta solución soluci ón con la última tabla de la solución del primal. Siendo: 

x  1  =  Cantidad

de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día   ]] 

x  2  =  Cantidad

de pintura para interiores a producir [ Tn. / día   ]  ] 

Modelo Pr imal: 

ì 6 x1  +  4 x 2 ï x + 2x ï 1 2 S  .a . : í ï - x1 + x 2 ïî x2

F  .O. : Max. z = 5x1  + 4 x2 [Miles $us. / día]  £ £ £ £

24 6 1 2

K  R1 

M1

K R2

M 2

K R3

R . Demanda

K R4

Demanda

Ext .

No   negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Primal Estándar Estándar :   Max . z =  5 x1  + 4 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3 + 0 h 4 = 24 ì 6 x1 + 4 x2 + h1 ïï x1 + 2 x2 + h2 = 6 S .a . : í- x + x + h3 = 1 1 2 ï ïî x2 + h4 = 2 No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; h2 ; h3 ; h4 ³ 0

F  .O . :

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¬  y  1  ¬  y 2 ¬  y3 ¬  y 4

70 

 

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Investigación de Operaciones

  R 1   











R2

R3

R4

R5

R6

Modelo Dual:  Dual:  

F .O. :

Min. z0  =  24 y1 + 6 y2 +  y3 + 2 y4 ³ 5 K R1 ì 6 y1 +  y2 +  y3 S.a . : í 4 y + 2 y +  y +  y ³ 4 K R 1 2 3 4 2 î ³ 0 K R3  y1 ³ 0 K R4  y2 ³ 0 K R5  y3  y4 ³ 0 K R6  y1 ;  y2 ;  y3 ;  y4 S.R.S.

Finalmente el Dual:  Dual:  

F  .O   .:

Min . z 0 = 24 y1 + 6 y 2 +  y3 + 2 y4

³5 ì 6 y1  +   y2 +  y3 î 4 y1 + 2 y 2 +  y3 +  y4 ³ 4

S  .a . : í

No   negativos :  y1  ;  y 2 ;  y3 ;  y 4 ³  0 Aplicando el software TORA se obtienen los siguientes resultados:  resultados:   Solución del mod Solución modelo elo D Dua ua l  Tabla final: Aplicando Aplicando el Método de la M, se obtiene en 4 iteracione i teracioness Iteración 4:

y1

y2

y3

y4

S1

a1

S2

a2

L.D.

z0

0

0

-5/2

-1/2

-3

-97

-1/2

-98.5

21

h1

1

0

-0.38 -0.13 -0.25 0.25

0.13 -0.13

3/4

h2

0

1

1.25 0.75

-0.75 0.75

1/2

0.5

-0.5

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71 

 

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Investigación de Operaciones

SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA ÓPTIMA   ÓPTIMA

SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSIC ICA A

SOLUCI ÓN

 y  3  = 0 Escasa demanda  y4 = 0 Escasa demanda S1 = 0 Escasa M1 S2 = 0 Escasa M 2

 y 1    = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1]  y2 = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2] z  =  = 21 [Miles $us. / día] Interpretación:   Interpretación:

Los

valores

obtenidos

de

las

variables

duales

 y 1    = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1] ;    y  2  = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2] nos indican el precio unidad adicional de materia prima M1 y M2 que se deben pagar, obteniendo como en el caso del primal una utilidad de

21000[ $us . / día] . Solución del modelo Primal Solución Pr imal   Tabla final: Aplicando el Método de Simplex, se obtiene en 3 iteracione it eracioness

z

x1 0

x2 0

h1 3/4

h2 1/2

h3 0

h4 0

L.D. 21

x1

1

0

1/4

-1/2

0

0

3

x2

0

1

-1/8

3/4

0

0

3/2

h3

0

0

3/8

-5/4

1

0

5/2

h4

0

0

1/8

-3/4

0

1

1/2 

SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA ÓPTIMA   ÓPTIMA x 1    = 3 [Tn. / día ]  p / ext. x2 = 3 / 2 [Tn. / día ]  p / int . h3 = 5 / 2 Abundante Dem. h4 = 1 / 2 Abundante Dem.

SOLUCIÓN SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSIC ICA A

SOLUCIÓN SOLUCI ÓN

h 1  = 0 ü

ý Escasos h2 = 0 þ

z = 21[  Miles $us. / día]

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Investigación de Operaciones

Interpretación:  La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para Interpretación: La exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.

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73 

 

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UNIDAD 5

ANÁLI ANÁ LISIS SIS DE SE SENS NSIBIL IBILII DAD DAD 5.1 Introducción   Introducción  En aplicaciones prácticas, no solamente interesa la solución del problema propuesto, sino también se desea saber como cambia esta solución si las condiciones iniciales del  problema se modifican; es decir si cambian los coeficiente coeficientess de la función objetivo, los coeficientes coef icientes de los recursos y la can cantidad tidad de recursos disponibles. En este sentido el  análisis de sensibilidad , convierte a la solución estática de la  programación lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiant cambiantes es del problema. p roblema. Por lo tanto el  Análisis de Sensibilidad   adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo, ya que los negocios y las industrias están sometidos a cambios continuos que dan lugar a una subsiguiente re-evaluación del sistema actual, logrando de esta manera la prueba de Factibilidad  y  Optimalidad .  5. 5.22 Tipos de cambios en un M.P.L. M.P.L.   El análisis de sensibilidad considera dos tipos de cambios en un M.P.L. (Discretos y Continuos); los cambios que consideraremos en los ejemplos a analizar en la materia se tratann de cambios discret trata discretos, os, los cuales se pueden realizar en:  en:  i)

Cam bios en el vecto vectorr “ b ”:   Los cambios en los par parámetros ámetros de los recursos disponibles ( b i ), se realizan a partir de la tabla final del Simplex, desarrollando desarrollando los cálculos en base a las siguientes expresi expresiones: ones:  B - 1  * (b + D ) ³ 0

x B   = B - 1  * b

z   =  C B * x B

Donde: B  - 1 

= 

Matriz inversa, formada por las columnas de los precios

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74 

 

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Investigación de Operaciones

duales   b  

D 

=  = 

Matriz formada por la disponibilidad disponibilidad de los recursos  Incremento en la disponibilidad disponibilidad de un recurso 

x  B

=  Matriz (corregida) formada por la columna de las variables  básicas 

C  B

= 

Matriz (corregida) formada por la fila de los coeficientes

que corresponden a las variables básicas.  básicas.  ii)

Cam bios en el vecto vectorr “ C ”: ”:   Los cambios en los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, se realizan mediante las siguientes expresiones:   * 

Donde:  C   A  *  

 y

*

Z     - C =  y

= = =

  A C *( - )

* 

-1

A  = B

*A

Matriz formada por los coeficientes de la función objetivo  Matriz formada por los coeficient coeficientes es de las restriccio restricciones nes  Precios sombra (o precios duales) duales)  

EJEMPLOS: Realice EJEMPLOS:  Realice el análisis de sensibilidad para siguientes siguientes problemas.  problemas.  11.  La empresa de confecciones “ROM 11.  confecciones “ROM Y”   fabrica ropa industrial: camisas y overoles  para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–homb hrs.–hombre re y cada overol requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metr metros os de tela para overoles. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.  CONFE CCIONES “ ROMY ”   x 1  Camisas a producir producir [u / sem.]  1  = Cantidad de Camisas x 2  Overoles a pr producir oducir [u / sem.] 2  = Cantidad de Overoles

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75 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

F  .O   . : Max Z = 20x1 + 80 x2

[ Bs. / sem.]  

ìï2 x1  + 10 x2 £ 400 Mano de Obra S  .a. : í x1 £ 120 Tela para Camisas Tela para Overoles  ï x 3 300 £ 2 î No  negativos : x1  ³ 0 ; x2 ³ 0 Resolviendo Resolvie ndo el M M.P.L. .P.L. la solución óptima es:  x 1

x 2

h 1

h 2

h 3

L.D. 

z

0

0

8

4

0

3680 

x 2   x 11  

0 1

1 0

0.1 0

- 0.2 1

0 0

16  120 

h 33  

0

0

- 0.3

0.6

1

252  252 

SOLUCI ÓN BÁ BÁSICA SICA

SOLUCI ÓN NÓ BAS BASICA ICA  

x 1  1  = 120 [u / sem.] Camisas 

h-h / sem.] Escasa M.O.  h 11   = 0 [[h-h

x 2  2  = 16 [u / sem.] Overoles   p/Camisas  

h 22   = 0 [m / sem.] Escasa Tela

m / sem.] Abundante Tela p/Overoles p/Overoles   h 3  3  = 252 [[m SOLUCIÓN ÓPTIMA:  ÓPTIMA:   z = 3680 [ Bs. / sem.]   Utilidad máxima máxima   Cam bios en la disponibil disponibilidad idad de los r ecursos  ecursos  (vector “b” ): ): Primeramente debemos determinar los límites entre los cuales podemos variar el recurso que nos permita mejorar la solución obtenida anteriormente, para luego modificar el recurso y calcular los nuevos valores óptimos.  B - 1  *

(b + D )  ³ 0

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76 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

é 0. 1 ê 0 ê ëê- 0.3

- 0.2 0ù é400+ Dù 1 0úú * êê 120 úú ³ 0

0.6

1ûú ëê 300 ûú

ì 0.1( 400 + D ) - 0.2(120 ) + 0 (300 ) ³ 0 K (1) ï 0 ( 400 + D ) + 1 (120 ) + 0(300 ) ³ 0 K ( 2) í ï - 0 .3( 400 + D ) + 0 .6 (120 ) + 1 (300 ) ³ 0 K (3) î De   (1  ) :

D  ³ -160 De ( 3) : D ³ 840 Luego encontramos el conjunto solución del sistema de desigualdades por el método gráfico

D  ³ - 160  :

- 160

D  ³ 840  : 840

C  . solución : - 160

840

- 160  £ D £ 840 - 160 + 400 £ D + 400 £ 840 + 400 240 £ D + 400 £ 1240 Este último resultado nos indica que el recurso Mano de Obra se puede variar desde

240 horas-hom horas-hombre bre hasta 1240 horas-hombre, lo cual permitirá que la nueva solución sea factible y óptima. Una vez obtenidos los límites de variación, entonces podemos realizar los cambios que veamos conveniente para obtener una nueva solución, haciendo uso mas adecuado de los recursos que tenemos como abundantes.

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77 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

En este sentido si incrementamos el número de operarios de 10 a 15, entonces la nueva disponibilidad disponibil idad de M.O. se será rá de 600 [  h-h / sem.]. 

é días   ù é hr . ù éh - hù * * = 8 15 600 operarios [ ] ú ê ú ê sem . ú ë sem . û ë día û ë û

5 ê

Con esta nueva disponibilidad procedemos a calcular la nueva solución, mediante la expresión:  x B  

=

é x  2 ù é 0 .1 ê ú ê ê x1 ú = ê 0 ëê h3 ûú

ëê - 0 . 3

B - 1  *

- 0 .2

b

1

0 ù é 600 ù 0 úú * êê120 úú

0 .6

1 ûú ëê 300 ûú

Þ

é x2 ù é 36 ù ê ú ê ú ê x1 ú = ê120 ú ëê h3 ûú

ëê192 ûú

NUEVA SOLUCI SOLUCIÓN ÓN BÁSICA  x 1  1  = 120 [u / sem.] Camisas.  x 2  2  = 36 [u / sem.] Overoles  m / sem.] Abundante Tela p/Overoles p/Overoles h 3  3  = 192 [[m Con estos valores de la nueva solución básica, calculamos nueva utilidad, mediante:   z   =

CB

*

z   =  [20  80

xB

é1 20 ù 0 ]* êê 36 úú êë192 úû

Þ

z = 5280 [Bs . / sem .] 

Interpretación:  Como podemos ver la nueva solución básica tiene un incremento de la Interpretación: Como fabricación de overoles de 16 a 36 unidades y una reducción en la abundancia (de 252 metros a 192 metros) de la tela para los mismos; habiéndose incrementado también las utilidadess de 3680 a 5280 [  Bs./sem.].  utilidade ].  2. 2.   La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas ta tanto nto para interiores como

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78 

 

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Investigación de Operaciones

 para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla  proporciona los ddatos atos básicos bá sicos del problema:

Exteriores

Interiores

Disponibilidad Máxima Diaria (Toneladas)

M1

6

4

24

M2

1

2

6

Utilidad por Tonelada (1000 $us.)

5

4

Materia Prima

Toneladas de Materia Prima  por tonelada to nelada de Pintura ppara ara

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no  puede exceder a la pintura para exteriores exterio res por más de 1 tonelada. La empres empresaa MONOPOL quiere determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores que maximice la utilidad utilidad total diaria. EMPRESA MONOPOL Siendo: 

x  1  = 

Cantidad de pintura para exteriores a producir [  Tn. / día   ]] 

x  2  =  Cantidad

F  .O. :

de pintura para interiores a producir [ Tn. / día   ]]  Max. z = 5 x1  + 4 x2 [Miles $us. / día ] 

ì 6 x 1   +  4 x 2 ï x ï 1 + 2 x2 S  . a . : í ï - x1 + x 2 ïî x2 No   negativos

£ 24 £ 6 £ 1

K  R 1 

M1

K R2

M 2

K R3

R . Demanda

£

K R4

Demanda

2

Ext .

: x1  ³  0 ; x2 ³ 0

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79 

 

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Investigación de Operaciones

Resolviendo Resolvie ndo el M.P.L. la solución óptima es:

x1

x2

h1

h2

h3

h4

L.D.

z

0

0

3/4

1/2

0

0

21

x1

1

0

1/4

-1/2

0

0

3

x2

0

1

-1/8

3/4

0

0

3/2

h3

0

0

3/8

-5/4

1

0

5/2

h4

0

0

1/8

-3/4

0

1

1/2 

SOLUCI ÓN BÁ SOLUCIÓN BÁSICA SICA ÓPTIMA   ÓPTIMA

SOLUCIÓN SOLUCI ÓN NO BÁS BÁSIC ICA A

SOLUCIÓN SOLUCI ÓN

x 1    = 3 [Tn. / día ]  p / ext.

= 2 Tn. / día ]  p Dem / int .. hx3 = 53 // 22 [Abundante h4 = 1 / 2 Abundante Dem.

h 1  = 0 ý ü Escasos h2 = 0 þ

z  =  = 21 [Miles $us. / día] Interpretación:  La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para Interpretación: La exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.

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80 

 

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UNIDAD 6

MO DELO DE TRANSPO TRANSPORTE RTE Y ASIG ASIGNA NACIÓ CIÓN N 6.1 Introducción   Introducción  En el ámbito de la I.O. existen problemas de P.L. que por su naturaleza presentan características especiales, ya que manejan muchas variables, donde a veces éstas se  presentan como c omo variab variables les dobles dobles.. Si bien este tipo de problemas pueden ser resueltos por los algoritmos clásicos, estos métodos pueden resultar ineficientes y largos por la misma naturaleza del problema; de manera que se han desarrollado algoritmos especiales que pueden llevarnos al resultado óptimo de manera más rápida y más ordenada, lo cuál permite una mejor interpretación de los resultados detribución, los modelos se emplea ycon mucha frecuencia  principalmen  principalmente te enobtenidos. pproblemas roblemas Uno de dis distribución, eess el que ddee Transporte Asignación  .  6. 6.2. 2. Modelo de tr an ansport sportee  Es un modelo de la I.O. que se interesa por la distribución de un determinado producto desde pun desde  pun tos de Of Oferta erta   (llamados también  Orígenes ) hacia puntos hacia puntos de Demanda   (llamados también  Destinos ); ); cuyo objetivo principal es de encontrar el mejor plan de distribución (embarque óptimo), que minimice el costo total de transportar los  productos, satisfaciendo s atisfaciendo los requerimientos de Oferta y Demanda Demanda..  6. 6.2.1 2.1 For mulación ma temát ic icaa del modelo de tr anspor te te   El modelo de transporte matemáticamente se puede formular de la siguiente manera:  

F  .O. :

Min Z = C11 x11 + C12 x12 + L + C mn xmn

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81 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

ì x 11 +  x 12 + L  + ï ï x 21 + x 22 + L +

S . a . :

ï M ï x m1 + ï í ïx + ï 11 ï x 12 + ï ï M ïî x 1 n +

No   negativos

:

x1 n = a 1 x2 n = a 2

M

M

Restricciones de Oferta

M

x m 2 + L + x mn = a

m

x 21 + L +

x m 1 = b1 x 22 + L + x m 2 = b 2 M

M

M

Restricciones de Demanda 

x 2 n + L + x mn = b n X i  j ³  0 ; " i  j

Donde:  Z    

=

X     i  j =

Función costo de transporte transporte total, a ser minimizada  Nº de unidades del producto producto a transp transportar ortar del origen “  i   ” la

destino “  j  ”  ” ( i   =  1 , 2 , K  , m )

;

(   j   =  1 , 2 , K  , n ) 

C   i  j

=

Costo unitario de transportar transportar el producto del origen “  i  ”  ” la destino

a  i

=

Oferta y/o capacidad del i-ésimo origen. 

b   j

=

Oferta y/o Requerimie Requerimiento nto j-ésimo desatino.  

m  

= =

Número de orígenes y/o Ofertas  Número de destin destinos os y/o Demandas Demandas  

“  j  ”  ” 

n  

6. 6.2.2 2.2 Ma Matr tr iz de Costos del modelo de tr a nspor nsporte te   La formulación anterior puede ser expresada como una  matriz de costos de transporte , de la siguiente manera: 

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82   82

 

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Investigación de Operaciones

DESTINOS Oferta 1 O R I G E  N E S

1

2 C11

X11

…

C22 X22

. . . Xm1

n C1n X1n

C21 X21

Demanda

C12 X12

2 . . . m

… …

C2n X2n

. . . Cm1

b 1

Xm2

Cm2

b 2

a 1 a 2

. . .

. . .

…

Cmn Xmn 

a m

…   …

b n  n 

SOLUCIÓN DEL MODELO DE TRANS TRANSPORTE PORTE   Para determinar la solución óptima al modelo de transporte, se deben considerar las siguientes etapas:  etapas:  ETAPA ET APA 11:: Balancear el modelo (es decir que la oferta debe ser igual a la demanda) 

å

å

a  i = 

b  j

Si se presenta el desbalanc desbalance, e, se debe considerar: a) Si la  Oferta Oferta > Dem Demanda  anda  →  → Añadir una Demanda artificial donde: Demanda artificial =  å a  i -  å b  j Demanda > Oferta  Oferta  →   → Añadir una Oferta artificial  b) Si la  Demanda

donde: Oferta artificial =  å b   j -  å a i  Nota: En E n ambos casos los costos deben ser igual a cero

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83 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

ETAPA ET APA 22:: Establecer una solución básica factible inicial, utilizando alguno de los métodos siguientes: a)  b) c)

Método de la Esquina Nor-oeste (M.E.N. (M.E.N.)) Método ddel el Costo Menor (M.C.M (M.C.M.) .) Método de Aproximaci Aproximación ón de Vogel (M.A.V.) (M.A.V.)  

ETAPA ET APA 33:: Hallar la solución óptima utilizando el algoritmo de transporte, empezando con la solución de inicio dada; esta etapa incluye la verificación de la optimalidadd del problema. optimalida p roblema. Para determinar la solución óptima, se utiliza el   Algoritmo Húngaro , cuyo  procedimiento es: PASO 1: Balancear el problema; es decir que:  que:  N° de Or ígenes = N° de Des Destinos tinos   ,Destinos nos   → i) Si  N° de Or ígenes < N° de ,Desti cero Destinos inos   ii) Si  N° de Orígenes >N° de Dest igual a cero

→

iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino   M

Añadir filas ficticias con costo igual a

Añadir columnas ficticias con costo

→

Se utiliza como costo asociado

PASO 2: Construir una nu eva eva m a triz de cost costos os , donde aparezca por lo menos un Cero alores menor es de cada fila y/ y/oo columna en cada fila y columna (restar los vvalores con los demás valo valores res corresp correspondientes ondientes de cada fi fila la yy/o /o ccolumn olumn a ). PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta es posible entonces el problema concluye, concluye, de lo contrario ir al paso 4.

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84 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

optimalidad dad : Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a PASO 4: P r ueba de optimali todos los ceros de la matriz.  matriz. 

a) MET ODO DE LA ESQUI ESQUINA NA NOR-OESTE (M. (M.E.N.) E.N.)   PASO 1: En llaa Posición a  11  de la matriz de costos se asigna el valor de x  11  , donde  x  11  =  Mínimo

(a 1  y

b 1 ) 

PASO 2: Determinar los nuevos valores corregidos Demanda (a  1   y b1 ) ; analizando posteriormente: a)

Si a ˆ 1 corregido

 b)

donde  x  21 =  Mínimo a 2  y bˆ1  . Si b ˆ   corregido es cero, entonces

es

cero,

de

la

entonces ppasar asar a

pasar

a

Oferta

y llaa

la pos posición ición a  21  , la

posición a   , 12 

1

donde  x  12 =  Mínimo (aˆ 1  y b 2 ) .

PASO 3: Se continua con el procedimiento, procedimien to, desde la posición asignada hasta llegar a la posición  (m   ;  n )  b) METO DO DEL COSTO MENOR (M.C. M.C.M.) M.)   Este método encuentra una solución inicial mejor que la anterior, ya que toma en cuenta las rutas más económicas del modelo. PASO 1: Se asigna tanto como se pueda a la posición que tenga el costo mas bajo por unidad (los empates se rompen arbitrariamente) PASO 2: Se tacha las filas o columnas satisf satisfechas; echas; se ajusta la cantidad de de la Oferta y la Demanda conforme a ello. Si tanto una fila como una columna se satisfacen simultáneamente, simultáneame nte, solo se tacha uno de ellos. PASO 3:Se busca siempre la posición no tachada con el costo mas bajo por unidad y repetimos el proceso hasta que quede exactamente una fila y una columna no tachadas.

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85 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

c) MET ODO DE APROXIM ACIÓN DE VOGEL (M.A (M.A.V. .V.))  Este método es una versión mejorada del método de costo menor; éste generalmente  produce mejores m ejores so soluciones luciones in iniciales. iciales. El E l procedi procedimiento miento es el ssiguiente: iguiente: PASO 1: En la matriz de costos, calcular las diferencias de costo mínimas, tanto para filas como para columnas (esto se consigue restando los dos valores menores de costo). PASO 2: Seleccio Seleccionar nar la fila y/o columna con mayor diferencia y ubicar el costo mínimo correspondiente a esta fila y/o columna. La posición  (i   ,,  j )  donde se encuentree este costo será la variable  x  ij a tomar en cuenta. encuentr PASO 3: En la po posición sición  (i  , ,  j )  calcular   x  ij =  Mínimo

a i  y b  j ; luego actualizar: 

ˆ i =  a i - x ij a 

←

Oferta 

ˆ  =  b - x b   j  j ij

←

Demanda

PASO PA SO 4: Si a ˆ i =  0 (oferta corregida), entonces eliminar esta fila del aná análisis. lisis. Si b ˆ   j =  0 (demanda corregida), entonces eliminar esta columna del análisis. PASO 5: Repetir los pasos anteriore anterioress hasta que no sea posible calcular las difer diferencias. encias.   EJEMPLO:   Se quiere distribuir un pr EJEMPLO:  producto oducto des desde de 3 almace almacenes nes (A1, A2, A3 ) a dos tiendas (T1, T2 ). Se sabe que llevar el producto del almacén A2 , a la tienda T2  no es  posible por problemas de ruta. Se desea establecer el plan ddee embarque que pproporcione roporcione el mínimo costo de transporte; los costos unitarios, las ofertas y demandas de cada almacén y tienda, se muestran en la tabla de costos siguiente: TIENDA Oferta  T1 T2   A 

A1  

2

5

30

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86 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

L M A

A2  

5 

M*   M*

40 

A3  

4

3

20

Demanda

50

30

C E  N 

ETAPA ET APA 11::  

M*  = Penalización M*  Penalización con un costo “M”   BALANCEARmuy grande, por problemas EL de ruta

MODELO

S a i   = 90  (Oferta ) ; S b j = 80 ( Demanda ) Como la oferta es mayor a la demanda, entonces debemos aumentar una demanda artificial, que en nuestro caso será una tienda artificial TA =  S a i   - S b j

Þ

TA = 10 . Luego la tabla de costos balanceada será: será:  

TIENDA T1 T2 TA A L M A

ETAPA ET APA 22::  

Oferta

A1

2

5

0

30

A2

5 

M*   M*

0

40

C E 0 A3 4 3  N 10   Demanda 50 30 10 SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL

20

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87 

 

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a)

Investigación de Operaciones

MET ODO DE LA ESQUI ESQUINA NA NOR-OESTE (M. (M.E.N.) E.N.)   TIENDA T1 A L M A C E  N

A1 A2

Oferta

TA

2

5

0

5 

M*   M*

0

30

30 20

40

20 4

A3

Demanda

T2

50

3

10

10

0

20

10

30

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11     =  30 x21 = 20 x22 = 20 x32 = 10 x33 = 10

x 12     =  0 x13 = 0 x23 = 0 x31 = 0

 =

+

COSTO DE TRANSPORTE:  z   190   20 M [u . m.] b)

 

METO DO DEL COSTO MENOR (M.C. M.C.M.) M.)   TIENDA T1 A L

A1

T2 2

20

Oferta

TA 5

0 10

30  30 

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88 

 

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M A C

A2

Investigación de Operaciones

5  30

M*   M*

0 40

10

E 4 20 3 0 A3 20  N Demanda 50 30 10 SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11     =  20

x 12     =  0

x13 = 10

x23 = 0

x21 = 30

x31 = 0

x22 = 10

x33 = 0

x32 = 20

z   =  250  + 10 M [u . m.] 

COSTO DE TRANSPORTE:  c)

MET ODO DE APROXIM ACIÓN DE VOGEL (M.A (M.A.V. .V.)) 

A L M A C E  N

A1

TIENDA Oferta T1 T2 TA 0 2 5 30 10 20 5 

A2 30 A3

Demanda

M*   M*

4

3

0 40 10

20 50

30

0

20

10

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas  Básicas 

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89 

 

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Investigación de Operaciones

x 11     =  20 x12 = 10 x21 = 30

x 13     =  0 x22 = 0

x23 = 10 x32 = 20

31 x = 00 x33 =

COSTO DE TRANSPORTE: 

z   = 300   [u . m.] 

ETAPA ET APA 33::   Hallar la solución óptima, aplicando el algoritmo de verificación y  búsqueda del óptimo. Éste procedim procedimiento iento es iterativo y trabaja bajo los  principios del método simplex. PASO 1:

Calcular el valor de las variables duales  u  i (para las ofertas) y  v   j (para las demandas). Este cálculo se reali realiza za formando formando un sistema de ecuaciones con las variables duales y los costos para todas las variables básicas, utilizando la siguiente relación: 

u  i + v j = c ij

Nota:  Como se tiene m + n – 1   variables básicas y m + n   incógnitas, Nota:  entonces se tiene un grado de libertad, por lo que se asigna un valor arbitrario generalmente a la variable dual con mayor número de asignaciones asignaci ones y se obtiene las otras resolviendo el sistema de ecuaciones. ecuaciones. PASO 2:

Calcular el parámetro   z  ij - c ij = c ij - u i + v j  para todas las variables no básicas, analizand analizando: o:

PASO 3: 

i)

Si  z  ij - c ij ³ 0 ; " ij Þ La solución hallada es óptima.

ii)

Si z  ij - c ij £ 0 ; Para algún  ( i ,  j ) Þ  seguir con el paso 3

 ij que RE GLA DE ENTRADA ENTRADA::  Introducir como variable básica aquella  X  

tenga el valor de  z  ij - c ij mas negativo. PASO 4: 

ME CANISMO DE COMP ENSACIÓN:   Al elegir la variable de entrada

ésta tomará un valor   + l   que descompensará la oferta y/o demanda, por lo

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90 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

que se construye un circuito cerrado de compensación, sumando y restando   PASO 5: 

l   a las variables básicas. bá sicas. RE GLA DE SALIDA: SALIDA:  Se elige aquella variable básica que tenga el menor

PASO 6:

valor rotulado con  - l   en el e l mecanismo de compensaci co mpensación. ón. Repetir el procedimiento desde desde el PASO 1, hasta hallar la solución óptim óptimaa  z  ij - c ij ³ 0 

EJEMPLO:   Determine la sol EJEMPLO:  solución ución óptima para el probl problema ema de los 3 almac almacenes enes y 2 tiendas, tomando como S.B.F.I. S.B.F.I. la oobtenidos btenidos por el métodos del costo menor (M.C.M.) SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x     =  20 11

x 12     =  0 x23 = 0

x13 = 10 x21 = 30

x31 = 0

x22 = 10

x33 = 0

x32 = 20

z   =  250  + 10 M [u . m.] 

COSTO DE TRANSPORTE:  ITERACIÓN ITERACI ÓN 1: TIENDA T1

T2 2

A L M A C E  N

TA 5

A2

M*   +λ

20 - λ 4

3

0 10

v j

30 

u 1   = 0

40 

u 2  2  = 3

0 20 

A3

Demanda

u  i

0

A1 5 

Oferta 

50 30 + λ v 11   = 2  

20 30 10 - λ v 22   =  M- 3 

u 3    3  = 6- M  

10  v 3   = 0  0 

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Investigación de Operaciones

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES NO BÁSICAS 

u  i + v j = c ij

z  ij - c ij = c ij - u i + v j

Si   u1  = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v3 = 0 ® v3 = 0 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 2 + v2 = M ® v2 = M - 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = 6 - M z  12  - c12 z23 - c 23 z31 - c 31 z33 - c 33

= 5 - (0 + M - 3 ) = 8 - M ¬ V . entra = 0 - (3 + 0 ) = - 3 = 4 - (6 - M + 2 ) = M - 4 = 0 - (6 - M + 0 ) = M - 6

Variable que entra

   : x 12

Variable que sale

: x  22   porque 10 - l   = 0 Þ l = 10

Con el valor de l   = 10  procedemos a corregir los valores de las variables básicas relacionadas relaciona das con el circuito y se obtiene: ITERACIÓN ITERACI ÓN 2: TIENDA T1 A L

2

A1

M A C E  N

A2

T2

10 + λ

5 

TA 5

M * 

10

4

0

10 - λ

3

0

v j

50 40 - λ v 11   = 2  

30 v 2   = 5  

VARIABLES BÁSICAS

u  i

30 

u 1  1  = 0

40 

u 2  2  = 3

20 

u 3  3  = - 2

0

A3

Demanda

Oferta 

+λ

10 

v 3   = 0  0 

VARIABLES NO BÁSICAS 20

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92 

 

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Investigación de Operaciones

u  i + v j = c ij

z  ij - c ij = c ij - u i + v j

Si   u1  = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v2 = 5 ® v2 = 5 u1 + v3 = 0 ® v3 = 0 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2 z  22  - c 22 = M - (3 + 5 ) = M - 8 z23 - c 23 = 0 - (3 + 0 ) = - 3 ¬ V . entra z31 - c 31 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4 z33 - c 33 = 0 - (- 2 + 0 ) = 2

Variable que entra

: x  23 

10 - l   = 0 Þ l = 10

x   13 

 porque Variable que sale : Con el valor de l   = 10  procedemos a corregir los valores de las variables básic básicas as relacionadas relaciona das con el circuito y se obtiene: ITERACIÓN ITERACI ÓN 3: TIENDA T1 A L M

A1 A2 20

A C E  N

T2

TA

2

5

0

5 

M * 

0

3

0

4

10

A3

Demanda

v j

50 30 v 11   = 2  

30 v 2   = 5  

VARIABLES BÁSICAS u  i + v j = c ij

10

Oferta 

u  i

30 

u 1  1  = 0

40 

u 2  2  = 3

20 

u 3  3  = - 2

10 

v 3   = - 3  3 

VARIABLES NO BÁSICAS  20

z  ij - c ij = c ij - u i + v j

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93 

 

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Investigación de Operaciones

Si   u1  = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v2 = 5 ® v2 = 5 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 2 + v3 = 0 ® v3 = - 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2

z  13  - c13 = 0 - (0 - 3) = 3 z - c = M - (3 + 5 ) = M - 8 22 - c 22 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4 z31 31 z33 - c 33 = 0 - (- 2 - 3) = 5

Como todos los valores de  z  ij - c ij son positivos, entonces se tiene la solución óptima del modelo. SOLUCIÓN ÓPTIMA Variables Básicas Variables No Básica Básicass x 11     =  20 x12 = 10 x21 = 30

x 13     =  0 x22 = 0 x =0 x31 33 = 0

x23 = 10 x32 = 20

z   = 300   [u . m.] 

COSTO DE TRANSPORTE:  INTERPRET ACIÓN GRÁFICA: ALMACEN 20

A1 A2 A3

TIENDA 10

30 20 10

T1 T2 TA  TA 

EJERCICIO:La empresa “BOLSEMILLAS S.A.” envia camiones cargados de grano EJERCICIO:La desde 3 silos de almacenamiento (S1, S2, S3 ) a 4 molinos (M1, M2, M3, M4 ). ). La oferta y demanda en camiones cargados, junto con los costos de transporte (en cientos de $us  por camión) camión ) en las diferen diferentes tes rutas se mu muestra estra en cuadro ddee costos siguiente:

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MOLINOS Oferta M1 M2 M3 M4 S S1 I S2 L O S3 S Demanda

10

2

2200

11

15

12

7

9

20

25

4

14

16

18

10

5

15

15

15  15 

6. 6.33 MODE MODELO LO DE AS ASIG IGNACIÓN NACIÓN   El problema de asignación es un caso particular del modelo de transporte, el cual  presenta dos do s carac características terísticas a se serr tomadas en cuenta: cuen ta: i)

 ij solo toman valores de 1 o 0, transformándose Las variables de decisión  X   en variables binarias de aceptación o no aceptación.

ii)

Las ofertas y demandas son todas iguales a 1, por lo que a  i = b j = 1 

El modelo de asignación consiste en asignar “ m ” centros de oferta a “ n ” centros de demanda, debiendo realizarse la asignación uno a uno, con el objetivo de minimizar el costo total asocia asociado. do.   6. 6.3.1 3.1 For mulación ma temát ic icaa del modelo de asignaci asignación ón   DESTINOS O R I G E  N E S

1 2 . . . m

Demanda

1 C11

2 C12

C21 . . .

C22 . . .

Cm1

Cm2

1

1

… … …

… …

Oferta

n C1n

1

C2n . . .

1

Cmn

1

. . .

1

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95 

 

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Investigación de Operaciones

Para determinar la solución óptima, se utiliza el   Algoritmo Húngaro , cuyo  procedimiento es: PASO 1: Balancear el problema; es decir que:  que:  N° de Or ígenes = N° de Des Destinos tinos   Destinos nos   → i) Si  N° de Orígenes < N° de Desti cero Destinos inos   ii) Si  N° de Orígenes >N° de Dest igual a cero

→

iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino   M

Añadir filas ficticias con costo igual a

Añadir columnas ficticias con costo

→

Se utiliza como costo asociado

PASO 2: Construir una nu eva eva m a triz de cost costos os , donde aparezca por lo menos un Cero alores menor es de cada fila y/ y/oo columna en cada fila y columna (restar los vvalores con los demás valo valores res correspondiente correspondientess de cada fila yy/o /o ccolumn olumn a ). PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta es posible entonces el problema concluye, concluye, de lo contrario ir al paso 4. PASO 4: Pr ueba de oopti ptima ma lidad lidad : Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a todos los ceros de la matriz.  vaa lor m ás pequeño qu e no este ccru ru zado por las líneas ; éste PASO 5: Seleccionar el v valor restar de todo elemento no tachado tachado y sumar s umar a to todo do elemento intersectad intersectadoo  por una línea hhorizontal orizontal y vertical vertical..

PASO 6: Volver al paso 3 hasta encontrar la asignación asignación óptima. óptima.   EJEMPLO:   El gerente ddee una empresa de servicios EJEMPLO:  servicios integral integrales, es, debe tomar la ddecisión ecisión de asignar a 3 de sus empleados (Fabiola, Wilson y Javier) la realización de 3 tareas

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96 

 

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Investigación de Operaciones

(Podar el césped, pintar la cochera y lavar automóviles) en el domicilio de un cliente. Los costos de realizar cada una de las actividades por parte de los tres empleados se muestra ne la tabla de costos siguiente: PODAR

PINTAR

LAVAR

FABIOLA

15

10

9

WILSON

9

15

10

JAVIER

10

12

8

Todos los valores de costo están dados en dólares. Tomando como base esta información ¿Cuál deberá ser la asignación óptima que debe realizar el gerente para que el costo sea el mínimo? PODAR PINTAR LAVAR Mínimo FABIOLA

15

10

9

9

WILSON

9

15

10

9

JAVIER

10

12

8

8

ITERACIÓN 1: PODAR PINTAR LAVAR F

6

1

0

W

0

6

1

J

2

4

0

Mínimo

0

1

0

ITERACIÓN 2: PODAR PINTAR LAVAR F

6

0

0

W

0

5

1

J

2

3

0

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97 

 

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Como es posible asignar a cada uno de los empleados una sola tarea, entonces es la solución soluci ón con costo mínimo. mínimo.   EMPLE AD ADO O TAREA FABIOLA PINTAR WILSON PODAR JAVIER LAVAR COSTO TOTAL DE AS ASIGNACIÓN: IGNACIÓN: v 

COSTO [  u s. ]  10 9 8  27 [  u s. ]

Si suponemos que no se obtuvo la solución en el paso 3 (anterior solución), entonces  procedemos a optim optimizar izar realiz realizando ando los pasos 4, 4 , 5 y 6. ITERACIÓN ITERACIÓN 3:  3: 

ITERACIÓN ITERACI ÓN 2:

F

PODAR PINTAR LAVAR 6 0 0

F

PODAR PINTAR LAVAR 9 0 3

W

0

5

1

W

0

2

1

J

2 

3 

0

J

2

0

0

NOTA:  El valor elegido (3) se suma a los valores interse NOTA: El intersectados ctados por una línea horizontal y una línea vertical (6 y 0); los valores que no están afectados por una intersección se mantienen, mientras que los valores que no están atravesados por ninguna línea son restados con el valor elegido (3) como se muestra en el cuadro correspondiente a la Iteración 3. Posteriormente se procede a la asignación. v 

Como podemos observar, verificamos verificamo s que la ssolución olución obtenida anteriormente es la solución soluci ón óptima. óptima.  

EJERCICIO:  El jefe de producción de la empresa “MUEBLES FÁTIMA” debe EJERCICIO:  asignar la utilización de cuatro máquinas a cuatro operarios que requieren el uso de las mismas. Los tiempos en minutos registrados del uso de cada máquina para realizar cada uno de los trabajos, se muestran en el siguie s iguiente nte cuadro: OP1

OP2

OP3

OP4

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98 

 

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M1

10

5

9

18

M2

13

19

6

12

M3 M4

18 11

9 6

12 14

17 19

Usted como profesional entendido en el tema. ¿Cuál deberá ser la asignación que minimice el tiempo total de uso de las máquinas?  máquinas?  6. 6.44 EL MODEL O DE TRANSBORDO TRANSBORDO   Este modelo reconoce que en la vida real, tal vez resulte más económico enviar a través de nodos intermedios o transitorios, antes de llegar al punto de destino final. Este concepto es más general que el propuesto por el modelo de transporte regular, donde los envíos directos solo están permitidos entre puntos de origen y destino. des tino. Para convertir un  modelo de transbordo  en   en un  modelo de transporte regular , se utiliza el concepto de  Amortigüador , considerando que las cantidades de oferta y la demanda en los diferentes nodos se calculan de la siguiente manera:  ·  Oferta Oferta en un nodo puro de oferta oferta

=

Oferta Oferta original  

·  Of Ofer erta ta en un nodo puro de tra nsbordo

=

Amort ortigüador  igüador  

·  Of Ofer erta ta de un nodo de tra transbordo nsbordo y demanda demanda

=

Amortiguador  ort iguador  

·  Demanda Demanda de un nodo puro de dema dema nda

=

Demanda original  origina l  

·  Demanda Demanda de un nodo de transbordo y demanda demanda = Amortigüador  

Demanda Demanda

Demanda de un nodo puro de tra nsbordo ·  Demanda

Amortigüador  ort igüador  

=

original

+

i)

Nodo pur o de Oferta: Ofert a:   Es aquel nodo del ccual ual salen las canti cantidades dades (  nodo origen )  1 ii)

Nodo pur o de demand a: a:   Es aquel nodo al cual llegan las cantidades (  nodo destino ) 2 Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

99 

 

Ciencias Empresariales

iii) iii)

Investigación de Operaciones

Nodo de tr ansbor do: do:   Es aquel nodo al cual llegan y salen las las cantidades ( nodo intermedio )  3

NOTA:   El valor del amortigüador debe sser NOTA:  er suficientemente grande para permitir que todas las ofertas pasen por cualquiera de los nodos de transbordo, hasta llegar a la demanda final. Generalmente se considera que sea igual a la sumatoria de la oferta; es decir: 

B  = SOferta EJEMPLO:  Una compañía de distribución tiene dos plantas (P-1, P-2 ), EJEMPLO: Una ), dos almacenes mayoristas (A1, A2 ) y dos tiendas de venta al menudeo (T1, T2 ). ). En la red adjunta se  presentan las capacidades de las plantas, las demandas de las tiendas y los costos de transporte transp orte por unidad [$us./u.]. 1 100

6

A1

P-1

150

T1

4 1

3

5

1

3 200

2 P-2

A2

8

Primeramente Primera mente identificamos los tipos de nodos que se presenta presentann en la red  ·  Nodos puros de oferta ·  Nodos puros de demanda ·  Nodos puros de transbordo

:  :  : 

P-1 , P-2   T2   A1 , A2  

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T2 T2  

150

100 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

·  Nodos de transbordo y demanda

:  T1   Ahora construimos la tabla de costos de transporte, identificando los orígenes, destinos y el valor del amortigüador   ·  Orígenes

:

P  - 1 , P - 2 , A1 , A 2 , T 1

·  Destinos

:

A 1 , A 2 , T 1 , T 2

·  Valor del amortigüador

B   =  300 

:

DESTINOS A1 O R I G E  N E S

A2

T1

Oferta

T2

P-1

1

4 

M

M 

100

P-2

3

2 

M

M 

200

A1

0 3

1 0

6  5

M  8

300

M

M 

0

1

A2 T1 T1  

Demanda

300

300

450

300 300

150

Mediante el M.E.N. se tiene la l a solución básica factible inicial (S.B.F.I.) (S.B.F.I.) DESTINOS A1 O R I G E  N E S

P-1 P-2 A1 A2 T1 T1  

100 200 0

A2

T1

Oferta

T2

1

4 

M

M 

100

3

2 

M

M 

200

0

1

6 

M 

300

5

8

300

0

1

300  300 

3 M

300 0

0 M 

300 150

150

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101   101

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

300

Demanda

300

450

150

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas x 11     = 100 x21 = 200 x31 = 0 x32 = 300 x 12     =  0 x13 = 0 x14 = 0 x22 = 0

x23 x24 x33 x34

Variables No Básicas x42 = 0 x43 = 300 x53 = 150 x54 = 150

= 0 x41 = 0 = 0 x44 = 0 = 0 x51 = 0 = 0 x52 = 0 z   =  2650  [$us. ] 

COSTO DE TRANSPORTE: 

Luego aplicamos la etapa de optimalidad para obtener la solución óptima. DESTINOS A1 O R I G E  N E S

P-1 P-2 A1

A2

T1

1

100 200 - λ

3

+λ

0

M

T1

T2 M

M

100 

u 1  1  = 1

2

M

M

200 

u 2  2  = 3

1

6

M

300 

u 3  3  = 0

5

8 300 

u 3   = - 1

300 

u 3  3  = - 6

M

300 150

0

150

1

Demanda

300

300

450

150 

v j

v 11   = 0  

v 22   = 1  

v 3   = 6  

v 3   = 7

VARIABLES BÁSICAS u  i + v j = c ij

u  i

4

+ λ 300 - λ 3 0

A2

Oferta 

VARIABLES NO BÁSICAS  z  ij - c ij = c ij - u i + v j

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102 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

z  12  - c12 = 2 z13 - c13 = M - 7 z14 - c14 = M - 8 z22 - c 22 = - 2 ¬ V . entra z23 - c 23 = M - 9 z24 - c 24 = M - 10 z33 - c 33 = 0 z34 - c 34 = M - 7 z41 - c 41 = 4 z44 - c 44 = 2 z51 - c 51 = M + 6 z52 - c 52 = M + 5

Si   v1  =  0 u1 + v1 = 1 ® u1 = 1 u 2 + v1 = 3 ® u 2 = 3 u 3 + v1 = 0 ® u 3 = 0 u 3 + v2 = 1 ® v2 = 1 u 4 + v2 = 0 ® u 4 = - 1 u 4 + v3 = 5 ® v3 = 6 u 5 + v3 = 0 ® u 5 = - 6 u 5 + v4 = 1 ® v4 = 7

Variable que entra

: x  22 

Variable que sale

: x  21   porque 200   - l   = 0 Þ l = 200

Con el valor de l   =  200  procedemos a corregir los valores de las variables básicas relacionadas relaciona das con el circuito y se obtiene: DESTINOS Oferta A1 O R I G E  N E S

P-1

A2

T1

T2

1

4

M

M

100

P-2

3

2

M

M

200

A1

0

1

6

M

300

5

8

300

0

1

A2 T1

Demanda

100

200

00 3 100 0 M 300

M 300

300 150 450

150

300

150

Siendo esta última tabla la solución óptima que nos da un costo de transporte mínimo igual a  z   =  2250  [$us. ]  , representamos gráficamente ésta solución:  solución: 

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103 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

100 100

P-1

A1

T1

1 100

200

150

200

P-2

300

1

150   1 150

5

A2

150

T2

2

EJERCICIO:   Dos fábricas de automóviles  F1   y  F2   están conectadas a tres EJERCICIO:   D1, D2   y  D3  ,   T1   y  T2  de acuerdo a distribuidores   , pordemedio tránsito la red adjunta. Las cantidades ofertadeendos lascentros fábricasde  F1    y  F2   son de 1000 y 1200 automóviles, las cantidades de demanda en las distribuidoras  D1, D2   y  D3  son   son de 800, 900 y 500 automóviles respectivamente. El costo de envió por automóvil (en cientos de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red.   red.

8 1000

3

F1

4

T1

2 1200

6 4

5

800

5 D2

900

3

T2

F2

D1   D1

9

D3

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500

104 

 

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

ÍNDICE PROGRAMA PROGRAM A ANAL ITICO ..................... ................................... ........................... ........................ ........................ ........................... ............................ ........................ ..............1 ....1   ..................................... ......................................... ............................................ ......................................... .......................................... ........................... .... I.II. OBJETIVO JUSTIFICACION ..................................... .................. .......................................... ......................................... ......................................... ........................... .... 11 DE LA.................. MATERIA ..................................... ......................................... ......................................... ...................................... ....................... .... 1 III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................. ......................................... ...................................... ......................................... .................................. ............ 2 IV. UNIDADES PROGRAMÁTICAS ...................... V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA ................ ................................... ...................................... ......................................... .................................. ............ 6 .................................. ......................................... ............................................. ......................................... .......................................... ........................... .... 6 VII. BIBLIOGRAFÍA................ .......................................... ......................................... ..................................... .......................................... ......................................... ......................................... ........................... .... 6  BASICA: ................... LAS ORIENTACIONES ORIENTACIONES METODOLÓGICAS .................................................................................................7   1. Introducción................. ...................................... ......................................... ...................................... ......................................... ......................................... ...................................... ....................... .... 7  1.1. Objetivos Generales ................. ................................... ......................................... .............................................. ......................................... ......................................... ........................... .... 7  2.-  DESARROLLO. .................. 2.- DESARROLLO. ......................................... .............................................. ......................................... ..................................... .......................................... ...................................... ............... 8  2.1.-  TEMÁTICOS. ................ ................................... ...................................... ......................................... ......................................... ...................................... ....................... .... 8  2.1.- NÚCLEOS TEMÁTICOS. ......................................... .............................................. ......................................... ......................................... ........................... 14  2.2.- BIBLIOGRAFÍA COMENTADA .................. 2.3.- MATERIAL EXPLICATIVO ................. ....................................... ......................................... ...................................... ......................................... .................................... .............. 14  2.4.-EJEMPLIFICACIÓN.................. ..................................... ......................................... ............................................ ......................................... .......................................... ........................... 15  2.5.- MÉTODOS A UTILIZAR UT ILIZAR ..................... ........................................... ......................................... ...................................... ......................................... .................................... .............. 15  3.- CONCLUSIONES .................. ..................................... ......................................... ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 16 UNIDAD 1 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............17 ..17 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN INVESTIG ACIÓN DE OPERACIONES OPERAC IONES ........................ ...................................... ........................ ............17 ..17  1.1 Introducción ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 17 1.2 Origen de la Investigación de Operaciones................... Operaciones ......................................... ......................................... ...................................... ....................... 17 1.3 Precursores y estudiosos de la Investigación de Operaciones ......................................... ................................................... .......... 18 1.4 Naturaleza y alcance de la Investigación Investigació n de Operaciones.................. Operaciones. .................................... ...................................... ....................... 19 1.5 Concepto de la Investigación Investigació n de Operaciones ........................................ .............................................................. .................................... .............. 21 1.6 Modelos matemáticos de Decisión y su Clasificación Clasifica ción .................................. ......................................................... ............................. ...... 21 1.6.1 Concepto de Modelo................................................. Modelo....................................................................... ............................................ .................................... .............. 21 1.6.2 Clasificación de los Modelos matemáti matemáticos cos de decisión ........................................ .................................................. .......... 21 1.7 Metodología de la Investigación de Operaciones ................................... ......................................................... .................................... .............. 23 1.8 Aplicaciones de algunos modelos de la I.O. ....................................... .......................................................... ...................................... ....................... 25 1.9 Beneficios de la aplicación aplicació n de un pro proyecto yecto de I.O ..................................... ........................................................... ................................ .......... 25 UNIDAD 2 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............27 ..27 FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL ...............................................27  2.1 Introducción ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 27 2.2 Concepto de Programación Programac ión Lineal............................................ Lineal......................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 27 2.3 Procedimiento para Formular un M.P.L.................................................. M.P.L........................... ............................................. .................................... .............. 2.3.1 Definición de Variables.................................... Variab les.......................................................... ......................................... .......................................... ........................... 27 2.3.2 Definición de la Función Objetivo ......................................... ........................................................... ......................................... ........................... 28 2.3.3. Restricciones Estructurales Estructura les (o funcionales) ...................................... ............................................................ ................................ .......... 28 2.3.4 Restricciones de No Negatividad................................ Negatividad................................................... .......................................... .................................... ............. 29 2.4 Planteamiento de los recursos por unidad de actividad. actividad.................. .................................... .......................................... ........................... 30 2.5 Formas de presentación presentac ión de un M.P.L. .............................................. ................................................................ ......................................... ........................... 30 2.5.1 Formulación canónica ................... ...................................... .......................................... ......................................... ......................................... ........................... 30 2.5.2 Formulación Mixta ................. ....................................... ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 31 2.5.3 Formulación Estandar...................................................... Estandar......................................................................... ......................................... ................................ .......... 31 2.6 EJERCICIOS DE FORMULACIÓN ................................... ...................................................... .......................................... .................................... ............. 31 2.7 EJERCICIOS PROPUESTOS (PRACTICO Nº 1) .................................... .......................................................... ................................ .......... 38 UNIDAD 3 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............42 ..42 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN M.P.L......... M.P.L. ..................... ........................... ........................ ........................ ........................... ........................ .............42 ..42 UNIDAD 4 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............66 ..66

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Investigación de Operaciones

TEORIA DE L A DUAL IDAD................................ IDAD............................................. ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............66 ..66  4.1 Introducción ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 66 4.2 Definición................... Definición ...................................... .......................................... ......................................... ..................................... .......................................... .................................... ............. 66 4.4 Comparación del modelo PRIMAL con el DUAL ..................................... ........................................................... ................................ .......... 67 4.5 Tabla resumen de transformac transformación.............................. ión..................................................... ......................................... ......................................... ......................... .. 68 4.6 Interpretació n económica de las variables duales................ duales ................................... ......................................... .................................... .............. 68 UNIDAD 5 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............74 ..74 ANÁL ANÁ L ISIS DE SENSIB ILIDAD ILID AD ....................... ..................................... ........................ ........................ ............................ ........................ ....................... ...................74 ......74  5.1 Introducción ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 74 5.2 Tipos de cambios en un M.P.L. ..................................... ........................................................... ......................................... ...................................... ....................... 74 UNIDAD 6 ....................... ..................................... ........................ ........................ ........................... ........................... ........................ ........................ ............................ ........................ ............81 ..81 MODELO MODEL O DE TRANSPORTE TRAN SPORTE Y ASIGNACIÓN ASIGNAC IÓN ........................... ..................................... ........................ ............................ ........................ ............81 ..81  6.1 Introducción ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ......................................... ................................ .......... 81 6.2. Modelo de transpor transporte te................ ................................... ...................................... ......................................... ......................................... ...................................... ....................... 81 6.2.1 Formulación matemática del modelo de transporte.................. transporte. .................................... ...................................... ....................... 81 6.2.2 Matriz de Costos del modelo de transporte ................................... ......................................................... .................................... .............. 82 6.3 MODELO DE ASIGNACIÓN ...................................... ............................................................ ......................................... ...................................... ....................... 95 6.3.1 Formulación matemática del modelo de asignación............................................... asignación......................................................... .......... 95 6.4 EL MODELO DE TRANSBORDO........................................................ TRANSBORDO.............................................................................. .................................... .............. 99

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