Unit 4 ( KAEDAH AGIHAN MOMEN (RASUK) )

4

KAEDAH AGIHAN MOMEN (RASUK)

Kaedah agihan momen ini kaedah penggantian yang mana ianya mudah diaplikasikan apabila sesetengah pekali elastik dapat ditetapkan. Keadah agihan momen atau dikenali juga sebagai “moment distribution “ telah dibangunkan oleh En. Hardy Cross, seorang profesor dalam kejuruteraan awam di Universiti Illinois pada tahun 1932. Kaedah ini telah menarik perhatian ramai dan di iktiraf diantara kaedah termaju di dalam analisis struktur abad ini. OBJEKTIF Objektif am : Mempelajari , memahami dan menggunakan kaedah agihan momen untuk menentukan nilai momen pada setiap rasuk selanjar iaitu struktur tak boleh tentu statik. Objektif khusus :  Menentukan nilai momen hujung terikat  Menentukan nilai agihan momen pada setiap hujung  Menyelesaikan masalah yang disebabkan oleh beban tumpu , beban teragih seragam dan beban gabungan .  Menentukan nilai momen lentur dan daya ricih  Melakarkan gambarajah momen lentur dan daya ricih

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.1

C4303/U4/2

Pengenalan Kaedah agihan momen ini kaedah penggantian yang mana ianya

mudah diaplikasikan apabila sesetengah pekali elastik dapat ditetapkan. Keadah agihan momen atau dikenali juga sebagai “moment distribution “ telah dibangunkan oleh En. Hardy Cross, seorang profesor dalam kejuruteraan awam di Universiti Illinois pada tahun 1932 dalam kertas kerjanya kepada American Society of Civil Engineers.

Dengan

menggunakan kaedah ini , momen di dalam anggota struktur di perolehi dengan membuat anggaran yang berturutan . perhitungan yang terlibat hanyalah aritmetik semata-mata. Kaedah ini telah menarik perhatian ramai dan di iktiraf diantara kaedah termaju di dalam analisis struktur abad ini. Kebaikan kaedah ini ; •

Tidak melibatkan penyelesaian persamaan

•

Prosesnya sangat mekanikal dan dapat disemak dengan cepat dan mudah .

•

Kejituan boleh diperolehi pada darjah yang dikhendaki bergantung kepada jumlah imbangan dan agihan yang dijalankan .

•

Keadah ini boleh memperlihatkan bentuk pesongan struktur. Sebelum modul ini menerangkan teknik-teknik bagaimana agihan

momen ini di lakukan , beberapa definasi dan konsep perlu di ketahui.

C4303/U4/3

AGIHAN MOMEN (RASUK)

INPUT 4.1.1 Isyarat Tanda Lazim ( Sign Convention ) Kita akan menentukan isyarat tanda lazim seperti mana yang digunakan seperti yang dinamakan untuk cerun pesongan seperti arah momen dalaman mengikut jam pada rangka yang bertindak di anggapkan positif

(-ve) dan nilai momen dalaman yang melawan jam dianggapkan

negatif ( -ve ). Arah jam = (+ve) Arah berlawanan jam = (-ve)

4.1.2 Momen Hujung Terikat, “MHT” ( Fixed-End Moments ) Momen pada “dinding’ atau sambungan yang tegar pada anggota yang dibebankan di panggil Momen Hujung Terikat , MHT. Momen boleh ditentukan dari jadual yang di berikan di belakang modul ini berdasarkan jenis beban yang dikenakan pada anggota .Seperti contoh , rasuk yang di bebankan seperti yang ditunjukkan dalam rajah 4.1(a) mempunyai MHT =

PL 8

=

( 800 ×10 ) 8

= 1kNm .Perhatikan, momen

pada rasuk akibat beban yang dikenakan dan gunakan isyarat tanda lazim dan lihat ianya menghasilkan MAB = -1kN.m dan MBA +1kN.m 800 N

MAB

MBA

A

B

5m

Rajah 4.1(a)

5m

C4303/U4/4

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.1.3 Faktor Kekukuhan ( Stiffness Factor) Pertimbangkan satu rasuk seperti yang di tunjukkan seperti dalam rajah 4.1 (b) yang mana satu hujung terikat tegar dan satu lagi di pin. Pengenaan momen , M akan menyebabkan hujung A berputar pada sudut θ

A

. Di dalam bab ini kita menghubungkan M dengan θ

A

menggunakan

kaedah Rasuk Jodoh “Conjugate –beam method” . Keputusannya akan menjadikan M =

( 4 EI ) ×θ A ( L)

 4 EI  FK =  θ A  L 

Persamaan ini akan ----- Persamaan 4 -1 digunakan untuk mengira faktor kekukuhan

Ia merujuk kepada kekukuhan anggota pada A dan boleh di anggap sebagai jumlah momen yang diperlukan untuk rasuk berputar pada hujung sambungan A

M A

B θ

A

Rajah 4.1(b)

M’

C4303/U4/5

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.1.4 Faktor Agihan ,FA ( Distribution Factor ) A D

B

4000

1000

5000

C

Rajah 4.1 (c) Pertimbangkan gambarajah rasuk seperti yang ditunjukkan di dalam rajah 4.1(c) . Jika momen , M di kenakan pada sambungan seperti pada rajah 4.1(c)i , anggota sambungan akan mengedarkan satu bahagian daripada momen yang terlebih untuk memenuhi keseimbangan momen pada sambungan . Pecahan pada jumlah momen yang di agihkan pada anggota di kenali sebagai faktor agihan , dan untuk anggota yang mengukuh pada kadar yang sama , anggota itu di bahagikan dengan jumlah pengukuhan pada sambungan . seperti yang diberikan di dalam persamaan 4.2 ;

FA =

Persamaan faktor agihan akan digunakan untuk mengiran nilai faktor agihan

K ΣK

A D

B

M=2000N.m

C

Rajah 4.1(c) i

C4303/U4/6

AGIHAN MOMEN (RASUK)

M=2000N.m 800N.m

200N.m

1000N.m

Rajah 4.1(d)ii

Dengan ini , faktor agihan untuk anggota AB,AC dan AD di dalam rajah 4.1(c) ialah FAAB = 0.4 , FAAC = 0.5 dan FAAD = 0.1 diperolehi. Jika M = 2000N.m bertindak pada sambungan A , rajah 4.1(d)ii, menggambarkan keseimbangan momen yang diperlukan oleh anggota pada sambungan ialah MAB= 0.4(2000) =800N.m, MAC=0.5(2000)=1000N.m dan MAD=0.1(2000) = 200N.m seperti yang di tunjukkan dalam rajah 4.1(d)ii

4.1.5 Faktor Bawa Sebelah (Carryover Factor) Pertimbangkan sekali lagi rasuk dalam rajah 4.1(b) dan di dapati momen , M pada engsel menghasilkan momen ,M’=½M pada dinding . Faktor pembawa sebelah menghasilkan pembahagi terhadap M yang mana ia adalah faktor pembawa dari engsel ke dinding . Di dalam kes rasuk yang mempunyai hujung terikat tegar , faktor pembawa ialah +½. Tanda positif diperlukan semasa kedua-dua momen bertindak pada arah yang sama . Keputusan yang diperolehi hasil daripada ini akan di gunakan untuk menerangkan kaedah agihan momen .

C4303/U4/7

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.2 Agihan Momen Pada Rasuk Agihan momen berdasarkan prisip membuka dan menutup sambungan pada struktur bertujuan untuk membenarkan momen pada sambungan untuk diagihkan dan diseimbangkan. Kaedah agihan akan ditunjukkan melalui contoh yang akan diberikan 120kN

50kN/m

A

C

B

4m

10 m

10 m

Rajah 4.2(a)

Pertimbangkan rasuk dalam rajah diatas yang mempunyai modulus elastik, E yang tetap . Sebelum kita bermula , kita mesti pada mula menentukan nilai momen hujung terikat pada rasuk berkenaan . 4.2.1

Mengira MF

( )

MFAB =

Persamaan ini diperolehi − 120 6 2 4 − Pe 2 f = = -172.8kNm daripada jadual MHT di l2 10 2 belakang modul ini

MFBA =

− 120 4 2 6 − Pe 2 f = = +115.2kNm l2 10 2

MFBC =

− 50 10 2 − ql 2 = 12 12

( )

MFCB = +416.7kNm

(

)

= - 416.7kNm

C4303/U4/8

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.2.2

Mengira faktor kekukuhan , FK

K

AB

BC

4 EI L

4EI 10

4EI 10

4.2.3

Mengira Faktor Agihan

•

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 0 (tiada putaran )

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI     10  = = 0.5  4 EI 4 EI  +   10   10

FABC =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI     10  = = 0.5  4 EI 4 EI  +   10   10

•

Pada sambungan ‘C’ , FACB = 1.0 (putaran penuh )

C4303/U4/9

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4.2.4

PROSES AGIHAN MOMEN

(maklumat mengenai pengiraan bagi pembahagian momen ditunjukkan di bawah berikutnya) K

Tidak diagihkan

0.500

K

0.500

1.000

+115.2 -416.7 +150.7 +150.7

MHT (kN.m) -172.8

+416.7

Pada peringkat ini semua sambungan adalah terikat tegar dan keadaan pada tupang seperti tupang B dan tupang C tidak dalam keadaan memuaskan . Jika sambungan pada B di lepaskan , terdapat tiga momen yang tidak seimbang iaitu (115.2-416.7) = -301.5 . Dengan membina keseimbangan momen pada anggota BA dan BC mengikut persamaan M’Bi = -MBi x DBi dan ia di tunjukkan dalam pengagihan seperti di bawah

Tidak diagihkan MHT (kN.m) -172.8

K

0.500

0.500

+115.2 -416.7 +150.7 +150.7

K

1.000 +416.7

Semasa nilai momen yang tidak seimbang berkeadaan negatif(ve) , nilai momen yang akan menyeimbangkan sebelah lagi akan berkeadaan pasitif(+ve) . Satu garisan di buat di bawah nilai momen yang akan dibahagikan untuk menunjukkan momen pada sambungan itu seimbang dan jumlah momen di kedua-dua belah adaalah kosong.

C4303/U4/10

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Semasa penyeimbangan momen berlaku pada hujung anggota yang bersambung pada B, faktor pembahagi sebelah di gunakan pada anggota hujung pada A dan C dalam memenuhi persamaan 4-2. Faktor Pembahagi sebelah ini ditunjukkan dalam taburan pembahagi pada hujung anak panah.

Tidak diagihkan

K

0.500

0.500

K

1.000

+115.2 -416.7 +150.7 +150.7

MHT (kN.m) -172.8 +75.4

+416.7 +75.4

Keadaan keseimbangan pada sambungan B adalah memuaskan, tetapi pada sambungan C masih tidak stabil sepenihnya. Sambungan B sekarang adalah dalam keadaan tegar dan tidak akan berputar dan sambungan pada C dibebasakan. Jumlah kumulatif ketidakseimbangan momen pada sambungan C ialah (+416.7 + 75.4) = +492.1;dan ia di agihkan mengikut persamaan 4-2 dan faktor pembahagi sebelah digunakan pada hujung B di anggota BC seperti ditunjukkan di bawah

Tidak diagihkan MHT (kN.m) -172.8 +75.4

K

0.500

0.500

+115.2 -416.7 +150.7 +150.7 -246.1

K

1.000 +416.7 +75.4 -492.1

C4303/U4/11

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Satu garisan dilukis dibawah momen yang telah seimbang untuk menunjukkan sambungan pada C adalah di dalam keadaan seimbang. Walaubagaimana pun sambungan pada B kembali tidak seimbang dengan nilai –246.1 yang mana akan diagihkan ke anggota BA dan BC apabila sambungan pada B dilepaskan. Di dalam kes ini , faktor pembahagi pada sambungan B akan diperbetulkan dan sambungan C mesti di tegarkan semula sebelum sambungan pada B dilepaskan. Proses ini berterusan sehinggga apabila sambungan pada B dan C di lepaskan maka tiada lagi momen yang tidak seimbang pada mana-mana sambungan . pada peringkat ini , keadaan keseimbangan pada tupang adalah sangat memuaskan dan momen akhir pada hujung terikat di tentukan dengan menjumlahkan setap nilai yang di teragih seperti yang ditunjukkan seperti di bawah .

Tidak diagihkan MHT (kN.m) -172.8 +75.4

0.500

0.500

+115.2 -416.7 +150.7 +150.7

K

1.000 +416.7 +75.4 -492.1

+ 61.5

+123.1

-246.1 +123.1

+ 7.7

+ 15.4

- 30.8 + 15.4

+ 7.7

+ 1.9

- 3.8 + 1.9

- 7.7 + 1.0

- 0.5

- 1.0

+ 1.0

+ 0.1 Momen Akhir

K

- 27.1

+ 0.2 + 406.4

+61.5 - 61.5

+ 0.3 - 406.4

0

C4303/U4/12

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Agihan momen di hentikan bila nilai momen yang di agihkan mencapai 0.05 peratus daripada nilai momen asal Contoh : Daripada jadual agihan di atas,

0 .3 ×100 = 0.07 < 0.05(416) 416

Apabila proses agihan berakhir, anda perlu menunjukan semula nilai momen akhir pada rasuk julur yang di analisa.

27.1

120kN

406.4

A

50kN/m C

B

4m

10 m

10 m

Contoh 4.1 Tentukan Momen –momen akhir pada setiap sambungan bagi soalan yang ditunjukkan seperti berikut , 70kN 7.5kN/m A

I

12m

24m B

Penyelesaian a) Tentukan nilai momen hujung terikat , MHT

MFAB =

− qL 2 − 7.5(12 ) = 12 12

2

=-90kNm

MFBA = +90kNm MFBC =

− 70 ( 24 ) − PL = = -210kNm 8 8

MFCB = +210kNm

12m I

C

C4303/U4/13

AGIHAN MOMEN (RASUK)

b) Tentukan nilai Faktor Kekukuhan K

AB

BC

4 EI L

4EI 12

4EI 24

c) Tentukan nilai faktor agihan •

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 0 (tiada putaran )

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    2  12  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

FABC =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    1  24  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

•

Pada sambungan ‘C’ , FACB = 0(tiada putaran )

Hasil pengiraan F.A menunjukkan 4E telah dihapuskan antara satu sama lain . Oleh itu kita boleh mempermudahkan pengiraan FK dengan menggunakan formula , FK =

I . Ini adalah kerana E ( modulus young ) L

untuk suatu rasuk selanjar adalah malar . d) Membuat jadual Agihan Momen 0

0.67

0.33

A

0 C

B

C4303/U4/14

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MHT AG BS AG Momen

-90 0 +40 0

Akhir

-50

50

+90 +80 0 0

-210 +40 0 0

+210 0 +20 0

+170 -170

+230 70kN

170

7.5kN/m

12m

A

24m

12m

Contoh 4.2

230 C

B

Tentukan Momen –momen akhir pada setiap sambungan bagi soalan yang ditunjukkan seperti berikut , 70kN 7.5kN/m A

I

12m

24m B

Penyelesaian a) Tentukan nilai momen hujung terikat , MHT MFAB =

− qL 2 − 7.5(12 ) = 12 12

2

=-90kNm

MFBA = +90kNm MFBC =

− 70 ( 24 ) − PL = = -210kNm 8 8

MFCB = +210kNm

12m I

C

C4303/U4/15

AGIHAN MOMEN (RASUK)

b) Tentukan nilai Faktor Kekukuhan K

AB

BC

4 EI L

4EI 12

4EI 24

c) Tentukan nilai faktor agihan •

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 0 (tiada putaran )

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    2  12  = = 4 EI 4 EI 3   +   24   12

FABC =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    1  24  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

•

Pada sambungan ‘C’ , FACB = 1.0

d) Membuat jadual Agihan Momen 0

0.67

0.33

1.0

A MHT AG BS AG BS AG BS AG

C -90 0 +40 0 +35 0 3.34 0

B +90 -210 +80 +40 -105 +70 +35 -10 +6.67 3.33 -8.75 +5.83 +2.92

+210 -210 +20 -20 +17.5 -17.5 +1.67 -1.67

C4303/U4/16

AGIHAN MOMEN (RASUK)

BS +2.92 0 BS +0.28 AG 0 Momen AG

Akhir

-8.46

-0.84 +0.56 +0.28 -0.73 < 1.05 berhenti +0.49 +0.24

+1.46 -1.46 +0.14 -0.14

+253.55 -253.33

8.46

0 70kN

253.33 7.5kN/m

A

I

24m

12m

12m I

C

B

Nota: Rasuk dimana hujungnya disokong dengan pin atau rola nilai momen akhirnya adalah sifar

Contoh 4.3

Tentukan momen –momen akhir pada setiap sambungan bagi soalan yang ditunjukkan seperti berikut , 70kN 7.5kN/m

A

I

12m Penyelesaian

24m

12m I

B

a) Tentukan nilai momen hujung terikat , MHT MFAB =

− qL 2 − 7.5(12 ) = 12 12

2

=-90kNm

MFBA = +90kNm MFBC =

− 70 ( 24 ) − PL = = -210kNm 8 8

MFCB = +210kNm b) Tentukan nilai Faktor Kekukuhan K

AB

BC

C

C4303/U4/17

AGIHAN MOMEN (RASUK)

4 EI L

4EI 12

4EI 24

c) Tentukan nilai faktor agihan •

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 1.0

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    2  12  = = 4 EI 4 EI 3   +   12 24  

FABC =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    1  24  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

•

Pada sambungan ‘C’ , FACB = 1.0

d) Membuat jadual Agihan Momen 1.0

0.67

0.33

1.0

A MHT AG BS AG BS AG BS AG BS AG

C -90 +90 +40 -40 +20 -20 +10 -10 +5 -5

+90 +80 +45 +40 -20 +20 -10 +10 -5 +5

B -210 +40 -105 +20 -10 +10 -5 +5 -2.5 +2.5

+210 -210 +20 -20 +10 -10 +5 -5 +2.5 -2.5

C4303/U4/18

AGIHAN MOMEN (RASUK)

BS +2.5 -2.5 BS +1.25 AG -1.25 BS +0.63 AG -0.63 Momen

-2.5 -1.25 +2.5 +1.25 -1.25 -0.63 +1.25 +0.63 -0.63 -0.32 +0.63 +0.32 < 1.05 berhenti

Akhir

+255 -255

AG

0

+1.25 -1.25 +0.63 -0.63 +0.32 -0.32 0 70kN

255 7.5kN/m

12m

A

24m

12m

C

B

AKTIVITI 4A Arahan : Untuk setiap rasuk di bawah , tentukan nilai momen akhir untuk setiap sambungan / penyokong melalui kaedah agihan momen. Soalan 1. 7kN 3kN/m A

I

6m EI adalah tetap

12m

12m I

C

10kN 5kN/m

I

C

B

Soalan 2

A

6m I

12m

EI adalah tetap

24m B

C4303/U4/19

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Soalan 3

15kN 10kN/m

A

I

5m

10m

5m I

C

B

EI adalah tetap Soalan 4 60kN 20kN/m A

3m

EI adalah tetap

MAKLUM BALAS 4A

MAB = -9.5kN.m MBA = +10 kN.m MBC = -10 kN.m MCB = +10.6 kN.m SOALAN 2 MAB = -43.67 kN.m MBA = +92.5 kN.m MBC = -92.5 kN.m MCB = 0 kN.m SOALAN 3 MAB =0 kN.m MBA = 32 kN.m

3m

4m B

SOALAN 1

1.5m C

D

C4303/U4/20

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MBC = -32 kN.m MCB = 0 kN.m SOALAN 4 MAB = +2.81 kN.m MBA = +2.08 kN.m MBC = -2.08 kN.m MCB = +13.71 kN.m MCD = -13.71 kN.m MDC = +26.17 kN.m

INPUT Kesan Enapan pada agihan momen. Kesan enapan biasanya meyebabkan jumlah momen hujung terikat berubah kepada penambahan jumlah momen atau pengurangan jumlah momen dan seterusnya menghasilkan momen awal yang baru. Pertimbangkan rasuk yang mengalami kesan enapan seperti di bawah , MSAB

B

A

MSBA

LAB

C

∆ B’

LBC

Berdasarkan persamaan cerun pesongan MNF

=

2 EI L AB

  ∆A + ∆B 2θ N + θ F + 3  L AB 

   + MHTNF 

C4303/U4/21

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MSAB =

=

 ∆A + ∆B 2 EI   2θ N + θ F + 3 L AB   L AB 2 EI L AB

 − 3∆ B   L AB

∴ MSAB = MSBA =

MSBC

∴M Contoh 4.4

 − 6 EI∆ B  = L2 AB 

− 6 EI∆ B L2 AB

=

 ∆ B + ∆C 2 EI   2θ B + θ C + 3 LBC   LBC

=

2 EI LBC

S BC

=M

 3∆ B   LBC

S CB

=

   + M F AB 

   + M F DA 

 6 EI∆B  = 2 LBC  Persamaan momen enapan dan nilainya akan digunakan semasa agihan dilakukan

+ 6 EI∆ B LBC

2

Tentukan Momen –momen akhir pada setiap sambungan bagi soalan yang ditunjukkan seperti berikut jika sokong B mengenap sebanyak 5mm, 70kN 7.5kN/m A

I

12m

24m B

E(modulud young) = 200 x 106 kN/m2

Gunakan

I = 400 x 10-6m4 Penyelesaian a) Tentukan nilai momen hujung terikat , MHT

M

F AB

− qL 2 − 7.5(12 ) = = 12 12

2

=-90kNm

MFBA = +90kNm MFBC =

− 70 ( 24 ) − PL = = -210kNm 8 8

12m I

C

C4303/U4/22

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MFCB = +210kNm b) Tentukan nilai Faktor Kekukuhan K

AB

BC

4 EI L

4EI 12

4EI 24

c) Tentukan nilai Momen Enapan MSAB = MSBA

= =

− 6 EI ∆ B L2 − 6( 200 × 10 6 kN

m 4 )( 400 × 10 −6 m 4 )( 5 × 10 −3 m ) 12 2

= -16.67kNm MSBC = MSCB

= =

+ 6 EI ∆ B L2 + 6( 200 × 10 6 kN

m 4 )( 400 × 10 −6 m 4 )( 5 × 10 −3 m ) 24 2

= +4.17kNm d) Tentukan nilai faktor agihan •

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 0 (tiada putaran )

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

 4 EI    2  12  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

FABC =

K AB ( K BA + K BC )

C4303/U4/23

AGIHAN MOMEN (RASUK)

 4 EI    1  24  = = 3  4 EI 4 EI  +   24   12

•

Pada sambungan ‘C’ , FACB = 1.0

e) Membuat jadual Agihan Momen

0

0.67

0.33

1.0

A

C B

MHT -90 Enapan -16.67 Momen

+90 -210 -16.67 +4.17

+210 +4.17

Awal AG BS AG BS AG Momen

-106.67 0 48.37 0 +39.09 0

+73.33 -205.83 +96.73 +35.78 -107.09 +78.18 +28.91 0 0 0

+214.17 -214.17

Akhir

-19.21

+248.24 -248.24

0

19.21

248.24

70kN

7.5kN/m A

I

12m

24m B

12m I

C

C4303/U4/24

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Contoh 4.5

Jika tupang pada sambungan C mengenap sebanyak 10mm, tentukan Momen –momen akhir pada setiap sambungan bagi soalan yang ditunjukkan seperti berikut , 60kN 20kN/m A

3m

2m

D

3m

4m C

B Penyelesaian

a) Tentukan nilai momen hujung terikat , MHT MFAB = MFAB = 0kNm M

F BC

− qL 2 − 20 ( 4 ) = = 12 12

2

= -26.67kNm

MFCB = +26.67kNm Pe 2 f − 60 ( 2 ) (1) = = = -26.67kNm 2 L 32 2

M

F CD

MFDC =

Pe 2 f 60 ( 2 ) (1) 2 = = -13.33kNm L2 32

b) Tentukan nilai Faktor Kekukuhan K

AB

BC

CD

I L

1 3

1 4

1 3

c) Tentukan nilai Momen Enapan MSBC = MSCB

= =

− 6 EI ∆ B L2

(

− 6 210 × 10 6 kN

= -141.75kNm

)(

)(

m 4 180 × 10 −6 m 4 0.01 m 42

)

C4303/U4/25

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MSCD = MSDC =

+ 6 EI ∆ B L2 =

(

+ 6 210 × 10 6 kN

)(

)

m 4 180 × 10 −6 m 4 ( 0.01m ) 32

= +252kNm d) Tentukan nilai faktor agihan •

Pada sambungan ‘A’ , FAAB = 0 (tiada putaran )

•

Pada sambungan ‘B’ , FABA =

K AB ( K BA + K BC )

1    4 3 = = = 0.57 1 1 7    +  3 4

FABC =1-0.57 =0.43 •

Pada sambungan ‘C’ FACB

=

K AB ( K BA + K BC )

1   3 4 = = = 0.43 7 1 1  +  4 3

FABC =1-0.43 =0.57 Pada sambungan ‘D’ , FADC = 0 (tiada putaran ) e) Membuat jadual Agihan Momen 0

0.57

0.43

0.43

0.57

D

A MHT 0 Enapan 0 Momen Awal

0

0

B 0 -26.67 0 -141.75

C +26.67 -26.67 -141.75 +252

0 -168.42

-115.08 +225.33

+13.33 +252 +265.33

C4303/U4/26

AGIHAN MOMEN (RASUK)

AG

0 BS +48.12 AG 0 BS +16.75 AG 0 BS +2.21 AG 0 Momen Akhir

+57.08

+96.74 +72.18 0 -23.63 +13.50 +10.13 -7.73 +4.42 +3.31 -1.08 +0.62 +0.46

-47.25 +36.09 -15.47 +5.06 -2.17 +1.66 -0.71

-63 0 -20.62

+114.78 -114.78

-137.87

+137.87

57.08

114.78 20kN/m

A

3m

AKTIVITI 4B

Arahan :

0 -31.5 0 -10.31 0 -1.45 0

-2.89 -0.95

137.87

+222.07

60kN

222.07 2m

D

3m

4m C

B

Untuk setiap rasuk di bawah , tentukan nilai momen akhir untuk setiap sambungan / penyokong melalui kaedah agihan momen

Soalan 1 25kN 15kN/m A

20kN

30kN/m

2m

I

2m

I

D

C

B 4m

5m

2m

Tupang B mengenap sebanyak 8mm E = 200kN/mm2 , I = 107 mm4 15kN/m Soalan 2 A

45kN

25kN

4m

D C

B 5m

8m

Tupang B mengenap sebanyak 4mm E = 3000kN/m2 , malar disepanjang rasuk

1m

C4303/U4/27

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Soalan 3 40kN 30kN/m

60kN

2m

A

I

4m I

D

C

B 5m

I

4m

6m

Tupang B mengenap sebanyak 3mm E = 22000kN/m2 , malar disepanjang rasuk

Soalan 4 25kN 25kN/m A

3m

2m 3m

5m B

Tupang C mengenap sebanyak 8mm E = 18000kN/m2 , malar disepanjang rasuk

C

D

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MAKLUM BALAS 4B SOALAN 1 MAB = -25.52kNm MBA = +58.44kNm MBC = -58.44kNm MCB = +40kNm MCD = -40kNm SOALAN 2 MAB = 0 MBA = +66.46kNm MBC = -66.46kNm MCB = +25kNm MCD = -25kNm SOALAN 3 MAB = -71.86 kNm MBA = +59.27kNm MBC = -59.27kNm MCB = +72.83kNm MCD = -72.83kNm

C4303/U4/28

C4303/U4/29

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MDC = 0 SOALAN 4 MAB = +57.08 kNm MBA = +114.78kNm MBC = -114.78kNm MCB = -137.87kNm MCD = +137.87kNm MDC = +222.07kNm

INPUT Melakar Gambarajah Daya Ricih Dan Momen Lentur Pada Rasuk Tidak Boleh Tentu Statik (agihan momen) Di dalam tajuk ini , anda hanya akan di beri panduan yang mungkin berguna untuk lakaran GDR dan GML . Sila beri perhatian pada contoh yang akan diberikan seperti berikut. Tujuan sebenar kita membuat agihan momen adalah untuk mendapat momen akhir pada setiap sambungan. Kaedah melakar gambarajah daya ricih dan momen lentur adalah hampir sama dengan kaedah yang anda belajar sebelum ini iaitu di dalam modul Mekanik Struktur 1 (C2008). Walaubagaimana pun di dalam melakarkan GDR dan GML bagi kerangka portal ini kita perlu menggunakan kaedah tindihan dalam gambarajah yang diperolehi dari analisis agihan momen dan juga analisis menggunakan kaedah tupang mudah. Contoh 4.6

Merujuk kepada contoh 4.5 momen akhir yang diperolehi adalah seperti berikut; 57.08

114.78 20kN/m

A

3m

137.87

222.07 2m

3m

4m B

60kN

C

D

C4303/U4/30

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Langkah seterusnya ialah anda perlu mengirakan daya tindakbalas pada setiap rentang

Rentang AB 57.80 A

+

114.78 B1

3m

Σ MA = 0 57.08 + 114.78 = RB1 (3) RB1 = 57.29kN (

)

∴ RA = 57.29kN (

)

Rentang BC 114.78 B2

20kN/m 4m

137.87 C1

Σ MC1 = 0 RB2(4) – 114.78 – 20(4) – 137.87 = 0

C4303/U4/31

AGIHAN MOMEN (RASUK)

RB2 = 103.16kN ( +

)

Σ FY = 0 RB1 = 20(4) + RC1 RC1 = 103.16 – 80 = 23.16 kN (

)

Rentang CD 60kN 137.87 C2

222.07 D

2m 3m

Σ MD = 0 137.87 – 60(2) + 222.07 – RC2(3) = 0 RC2 = 79.98kN ( +

)

Σ FY = 0 RD = 60 + RC2 RC1 = 103.16 – 80 = 139.98kN (

57.08

)

114.78 20kN/m

A

3m

57.29 -57.29

103.16

B 103.1 57.29 6

137.87

60kN

222.07 2m

3m

4m C 23.16

23.16 79.89

-79.98

-139.98

139.9 8

D

C4303/U4/32

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Gambarajah Daya Ricih

138.06

58.08

57.08

-114.58 -221.88 Gambarajah Momen Lentur

C4303/U4/33

AGIHAN MOMEN (RASUK)

PENILAIAN KENDIRI Arahan:

Dengan menggunakan kaedah agihan momen , tentukan momen akhir bagi rajah yang ditunjukkan dan seterusnya lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur.

Soalan 1 25kN 15kN/m A

20kN

30kN/m

2m

I

2m

I

D

C

B 4m

5m

2m

Tupang B mengenap sebanyak 8mm E = 200kN/mm2 , I = 107 mm4

Soalan 2

45kN

15kN/m

25kN

4m

A

D C

B 5m

8m

Tupang B mengenap sebanyak 4mm E = 3000kN/m2 , malar disepanjang rasuk

1m

C4303/U4/34

AGIHAN MOMEN (RASUK)

Soalan 3

40kN 30kN/m A

60kN

2m I

4m I

I

5m

D

C

B 4m

6m

Tupang B mengenap sebanyak 3mm E = 22000kN/m2 , malar disepanjang rasuk Soalan 4 40kN 3m

10kN/m A

50kN

I

I

D

C

B 5m

I

6m

Tupang C mengenap sebanyak 10mm E = 200kN/m2 , I = 70 X 10-6 m4

4m

C4303/U4/35

AGIHAN MOMEN (RASUK)

MAKLUM BALAS

SOALAN 1 MAB = -25.52kNm, MBA = +58.44kNm, MBC = -58.44kNm MCB = +40kNm, MCD = -40kNm 25kN 15kN/m A

20kN

30kN/m

2m

I

2m

I C

B 4m

34.27

5m

34.27

2m

20

4.27 -20.73

44.64 -50.73

13.02 GAMBARAJAH DAYA RICIH

71.31

-25.52 -58.44 -40.22

D

C4303/U4/36

AGIHAN MOMEN (RASUK)

GAMBARAJAH MOMEN LENTUR SOALAN 2 MAB = 0, MBA = +66.46kNm, MBC = -66.46kNm, MCB = +25kNm MCD = -25kNm 45kN 15kN/m

25kN

4m

A

D C

B 5m 49.21

8m 27.68

1m 25

-17.32

48.47

-75.79

48.47 GAMBARAJAH DAYA RICIH

-24.91

-66.35

C4303/U4/37

AGIHAN MOMEN (RASUK)

GAMBARAJAH MOMEN LENTUR SOALAN 3 MAB = -71.86 kNm, MBA = +59.27kNm, MBC = -59.27kNm MCB = +72.83kNm, MCD = -72.83kNm, MDC = 0 40kN 30kN/m A

60kN

2m I

4m I

I

5m

D

C

B 4m

6m

77.52 32.14 16.61 -23.39 -55.72 55.44

-72.48 GAMBARAJAH DAYA RICIH 28.14

-26.34

-59.56 -71.86 -73.12

C4303/U4/38

AGIHAN MOMEN (RASUK)

GAMBARAJAH MOMEN LENTUR SOALAN 4 MAB = 0, MBA = +94.61kNm, MBC = -94.61kNm, MCB = -19.11kNm MCD = +19.11kNm, MDC = +117.14kNm 40kN 3m

10kN/m A

50kN

I

I

I

5m

68.95

6m

38.95

14.23

D

C

B

4m

23.44 13.44

-1.05 67.23 12.12

-49.77

GAMBARAJAH DAYA RICIH

-94.62 GAMBARAJAH MOMEN LENTUR

-31.05 19.08

-36.50 37.52

-66.56

-117.16

AGIHAN MOMEN (RASUK)

C4303/U4/39