Unidade 15 1.: 2. Uma interpretação do logaritmo decimal é a sua relação com a ordem de grandeza, isto é, com o número de

UNIDADE 15

Use as aproximações para: a) b) c) d) e) f)

,

1.

e

para obter valores aproximados

a) b) c) d) e)  f) 2. Uma interpretação do logaritmo decimal é a

sua relação com a ordem de grandeza, isto é, com o número de algarismos na representação decimal. As questões a seguir exploram esta relação. a) Considere o número . Qual é a parte inteira de ? b) Considere um número real cuja parte inteira tem algarismos. Mostre que a parte inteira de é igual a . c) Generalizando o item anterior, considere o sistema de numeração posicional de base . Mostre que, se a representação representação de um número real nesse sistema tem algarismos, então, a parte inteira de é igual a . a)  Note que x está entre 10.000 e 100.000, 100.000, logo  A parte inteira de

é

.

b) Seja a parte inteira de x,  A parte inteira de c) Seja

Considere

é

tais que

algarismos.

.

a parte inteira do número

 Então  A parte inteira de

3.

com

é

representado na base

com

algarismos,

.

, com

. Qual é a relação entre

e

?

4.

a) Mostre que uma função logarítmica transforma toda progressão geométrica em uma progressão aritmética. b) Interprete a propriedade acima com base no crescimento da função logarítmica. c) A propriedade demonstrada no item a) pode ser considerada uma caracterização para as funções logarítmicas, isto é, é verdade que uma função é logarítmica se, e somente se, transforma toda progressão geométrica em uma progressão aritmética?

a) Seja uma função logarítmica e Seja também

 Logo,

uma PG, logo

é uma PA.

b) Se tomarmos valores para x tal que uma PA. c)

constante.

é uma PG teremos

em

Teorema 8.8, página 195, Números e Funções Reais, Elon Lages Lima. uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que “Seja  para quaisquer . Então existe tal que para .” todo item b) teorema 8.8(Livro: Números e Funções Reais, E.L.L.)

5. (UNIRIO/1994)

Um explorador descobriu, na selva amazônica, uma espécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula , onde a altura média é medida em centímetros e o tempo t em anos. Sabendo-se que e , determine: a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos anos de vida; b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de . a)  A altura média será

.

b)

6.

(UERJ/2008) Admita que, em um determinado lago, a cada

de profundidade, a intensidade de luz é

reduzida em , de acordo com a equação , onde é a intensidade da luz em uma profundidade , em centímetros, e é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto , é de daquela observada na superfície. Determine um valor aproximado para a profundidade do ponto .  A intensidade da luz para o mergulhador é

O mergulhador está a aproximadamente

.

.

7. O acidente do

reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade do isótopo radioativo estrôncio-90, cuja meiavida é de vinte e oito anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de estrôncio-90 se reduzir, por desintegração, a

da quantidade inicialmente presente, em que ano o local poderá ser habitado novamente?

 Para

.

 Para

.

 Para

.

 Para O local poderá ser habitado novamente em 2098.

Os gráficos a seguir foram desenhados por um programa de computador, em eixos com escalas logarítmicas decimais. Isto é, se é o sistema de coordenadas cartesianas convencional, então e . A janela gráfica é e . a) O gráfico acima, à esquerda, representa a família de curvas , em que varia de a . Explique por que as curvas têm este aspecto. b) O gráfico acima, à direita, representa a família de curvas , em que varia de a . Explique por que as curvas têm este aspecto. c) Observe que os intervalos escolhidos para ambos os eixos nessa escala começam em . Como você  justificaria essa escolha? Faria sentido começar os eixos em ? d) Nesses eixos, cada unidade linear corresponde a uma multiplicação por . Explique esta afirmação. 8.

a)  Logo,

é o coeficiente linear, variando os valores de k temos retas paalelas.

b)  Logo, k é o coeficiente angular, variando os valores de k temos retas concorrentes que passam por . c) Como os eixos representam logaritmos, não faz sentido começá-los com zero pela própria condição de existência dos logaritmos. d)  Notemos que cada unidade em de fato:

(respectivamente

) temos uma variação de uma dezena em

,

9. Em

algumas situações, para expressar certas grandezas, é mais conveniente empregar as chamadas escalas logarítmicas do que as escalas lineares convencionais. Este é o caso, por exemplo, da escala Richter de terremotos. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto, expressa em graus, é definida da seguinte forma:

Em que representa a energia liberada pelo terremoto, medida em ,e . a) Qual é a energia liberada por um terremoto de graus na escala Richter? E por um terremoto de graus? b) Qual é a relação entre a energia liberada por um terremoto de grau e a energia liberada por um terremoto de grau na escala Richter? c) Por que você acha que o uso de uma escala logarítmica é conveniente, no caso da medição de intensidade de terremotos? d) Pesquise outros exemplos de situações em que o uso de escalas logarítmicas é mais conveniente. a)  Para um terremoto de 3 graus  Para um terremoto de 9 graus  A energia liberada em um terremoto de 3 graus na escala Richter é de aproximadamente e em um terremoto de 9 graus é de .

b)  Para temos  Fazendo

e para

temos

temos

 A energia liberada em um terremoto de grau um terremoto de grau .

é

vezes maior do que a energia de

c)  Porque a variação de energia em um terremoto e muito grande e uma escala logarítmica torna os valores mais simples, facilitando a compreensão do fato. d)  Medida da acidez de um líquido (PH), medida da intensidade sonora, desintegração de  substâncias radioativas.