Unidad N5 Trabajo Potencia Energia

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza Programa de Educación a Distancia

TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD MODALIDAD A DISTANCIA POR INTERNET

Aula Virtual: Física -Cohorte 2014. Unidad Nº 5: TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

Prof. Dalmau, Juan Carlos Prof. Balen, María de Lourdes Año 2014

Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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Unidad Nº 5: TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA. Trabajo, potencia y energía son palabras que empleamos diariamente de una manera vaga o imprecisa, e incluso como si fueran sinónimos. Costó mucho a la ciencia distinguir claramente entre conceptos tan íntimamente vinculados entre sí, pero ahora cada uno de ellas tienen un significado perfectamente definido. Durante siglos y en todas partes del mundo muchos hombres trataron afanosamente de inventar la máquina de movimiento continuo. Nadie lo consiguió jamás; sin embargo, para la ciencia ese fracaso total no fue más que aparente, pues gracias a él Mayer y Joule descubrieron una de las leyes más importantes de la física, El Principio de Conservación de la Energía: la energía no se crea ni se destruye, se transforma. Cuando una máquina entrega energía, lo que hace en verdad es transformar una clase de energía en otra.

----------------------------------------------------------------------------------------------Contenidos: Definición de trabajo. Energía. Definiciones. Energía Cinética y Potencial gravitatoria y elástica. Teorema de las fuerzas vivas. Aplicaciones. Conservación de la energía mecánica. Potencia media e instantánea. Unidades.

----------------------------------------------------------------------------------------------Objetivos: Comprender y Diferenciar los conceptos de trabajo, potencia y los distintos tipos de energías. Reconocerlos con ejemplos cotidianos los conceptos de trabajo, potencia y energía. Plantear y resolver distintas situaciones problemáticas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Desarrollo.

Te recomiendo que visites la siguiente página web para reforzar la teoría: http://newton.cnice.mec.es/newton2/Newton_pre/4eso/trabajo/indice_trapoenedinewton.ht m El concepto de trabajo es muy antiguo. Está generalmente asociado al trabajo del hombre como un trabajo muscular: transportar un objeto, construir cosas, etc. En Física distinguiremos un trabajo muy especial: Trabajo mecánico Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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Este trabajo tiene un concepto muy preciso: Supongamos un cuerpo que se traslada sobre un plano horizontal debido a una fuerza como indica la figura:

Por acción de la fuerza, el cuerpo desplaza una distancia d. La fuerza mantiene durante este proceso su módulo y su dirección constantes. Entonces definimos trabajo mecánico como:

W = F .d . cos αˆ

Puedes observar que las unidades de trabajo deben ser: unidad de fuerza, Newton, multiplicada por unidad de longitud, metro; es decir: N.m; a esta combinación se la denomina joule, cuyo símbolo es J. O sea: J = N . m = m . N En la expresión del trabajo se debe destacar algunos aspectos fundamentales: El trabajo no depende sólo de la fuerza y el desplazamiento, sino también del ángulo que la fuerza forma con dicho desplazamiento. Destaquemos lo siguiente: Si 0 ≤ αˆ < 90° cos αˆ resulta positivo y el trabajo es potente. Si 90° < αˆ ≤ 180° cos αˆ resulta negativo y el trabajo es resistente Si αˆ = 90° cos αˆ resulta nulo y el trabajo es nulo.

Debes tener presente que el tiempo que se tarde en recorrer esa distancia entre dos posiciones no es relevante. Es decir, el trabajo entre dos posiciones es independiente el tiempo empleado.

Ejemplo 1: Con el objeto de levantar la pesa sobre su cabeza, este atleta debe aplicar una fuerza que la haga moverse. Haciendo eso está realizando trabajo. W = 2000 N . 2,5 m = 5000 J

El trabajo realizado es de 5000 joules.

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Ejemplo 2: Con el objeto de cortar el césped, esta señora debe empujar su cortadora. Mientras hace eso está realizando trabajo. W = 50 N . 40 m = 2000 J

El trabajo realizado es de 2000 joules. Ejemplo 3: Calcula el trabajo realizado por un jardinero (ver dibujo), suponiendo que F=100N, que αˆ = 30º , y que recorre una distancia de 25 m.

W = F .d . cos αˆ = 100 N .25m. cos 30º = 100 N . 25 m.0,866 = 2165 J Ejemplo 4: Un a persona levanta un libro cuya masa es m=0,4kg hasta una altura de 2 m. Calcula el trabajo realizado. La fuerza necesaria es el peso del libro: F = P = m.g = 0,4kg .9,8m / s 2 = 3,92 N y el trabajo es: W = P.h = 3,92 N .2m = 7,84 J

Otro concepto importante es el de ENERGÍA Es una expresión que seguramente habrás oído varias veces, en diversas situaciones.

Un sistema mecánico tiene ENERGÍA cuando es capaz de realizar un trabajo.

Te recomiendo que visites las siguientes páginas web para reforzar la teoría: http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_renovable http://newton.cnice.mec.es/newton2/Newton_pre/3eso/energia/index.html http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Laboratorio/Energia/LabEnergi a.htm

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Consideremos los tres casos siguientes: • Fuerza en el mismo sentido que el desplazamiento: W = F .d. cos 00 = F . d ;

W = F. d

α= 00 El signo positivo indica que la fuerza da energía cinética al cuerpo. • Fuerza en sentido contrario al desplazamiento: W = F. d. cos 180 0 = - F . d ;

W= - F.d

α=180º

El signo negativo indica que la fuerza quita energía cinética al cuerpo. • Fuerza perpendicular al desplazamiento: W = F . d. cos 900 = 0 ; W = 0

α=90º La fuerza ni aporta ni quita energía.

Nos limitaremos, en este curso, solamente a la energía mecánica. ENERGÍA CINÉTICA Energía cinética es la energía que tiene un cuerpo (o un sistema de cuerpos) en virtud de la velocidad que posean. La energía cinética Ec de un cuerpo (también llamada fuerza viva) se expresa mediante la siguiente relación:

1 Ec = ⋅ m.v 2 2

Si analizas las unidades de esta expresión resultan: 2

[Ec ] = kg  m  = kg .2m ⋅ m = N . m = J s s La expresión entre corchetes de la ecuación anterior se lee: “unidad de”. Como cabe esperar, la energía se mide en las mismas unidades que el trabajo.

ENERGÍA POTENCIAL Energía potencial es la energía que tiene un cuerpo (o un sistema de cuerpos) en virtud de la posición que tengan, respecto de un sistema de coordenadas. La energía potencial (Ep) se define como el trabajo necesario para elevar un cuerpo de masa m hasta una altura h: Ep = m.g.h Esta energía también se mide en J.

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Ejemplo 5: Si una piedra de 2 kg está a 5 m sobre el suelo, y si g es 10 m/s2.Entonces la energía potencial de la piedra Ep = 100 J

Ejemplo 6: Un resorte puede lanzar verticalmente una bolita. Supón que la bolita pese P=0,5N y que llegue a una altura h=3m.

Cuando el resorte está comprimido tiene una energía potencial; aunque no se manifieste, está en “potencia”. Cuando se suelta, la energía se manifiesta realizando un trabajo necesario para elevar el cuerpo de peso P hasta una altura h: Ep = P.h = m.g .h = 0,5 N .3m = 1,5 J Puesto que ha realizado un trabajo de 1,5 J, la energía del resorte era de 1,5 J.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA A veces un objeto puede poseer energía potencial elástica o de deformación debido a la forma en la que está. La energía potencial elástica se puede calcular utilizando la ecuación: 1 Ep = k .x 2 (k: constante elástica) 2 (x: longitud deformada)

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Hay un importante teorema, con múltiples aplicaciones, que resulta de las siguientes consideraciones:

v 2 − vo2 1 1 F = m.a = m. ∴ F . d = m . v 2 − m . vo2 2d 2 2 El primer miembro de la segunda igualdad es el trabajo realizado sobre un cuerpo por una fuerza paralela al desplazamiento. El segundo miembro de la misma es la variación de energía cinética que experimenta el cuerpo.

Ejemplo 7: Determinar el tipo de energía del cuerpo de la figura (m = 400 g) en el estado inicial, en el final y su velocidad después de recorrer 5 m. La fuerza F tiene un valor de 6 N. v1 = 3 m/s

¿v2?

F =

F

d s Determinamos la energía del cuerpo en el estado inicial, la energía transferida por las fuerzas que actúan y, aplicando la Ley de Conservación de la Energía, calculamos la energía en el estado final. 2 Estado inicial. El cuerpo tiene energía cinética:Ecin (1) = 1 m v 2 = 1 0,4 kg 32 m2 = 1,8 J

2

2

s

Energía cinética transferida por la fuerza: WF = F . d = 6 N . 5 m = 30 J. (energía cinética dada) Aplicando la Ley de Conservación de la Energía (LCE): E fin= Eini + W ; Efin = 1,8 J + 30 J = 31,8 J En el punto final el cuerpo tendrá 31,8 J de energía será cinética. Por tanto:

Ecin (2) =

1 m v2; v = 2

2 Ec(2) m

=

2 .31,8 J m = 12,6 0,400 kg s

E. dada WF = 30, 0 J Inicial Ec(1) = 1, 8 J

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Como indica el resultado obtenido se ha producido un aumento de la energía cinética del cuerpo (y por tanto de su velocidad) gracias al aporte de energía realizado por la fuerza.

Final Ec(2) = 31, 8 J

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Ejemplo 8: Realiza un balance de energía para el cuerpo indicado en la figura (m = 1500 g). La fuerza indicada es la fuerza de rozamiento. Calcula la velocidad al final del recorrido: v1 = 4 m/s

¿v2?

2N

2N 2m

Solución: Estado inicial. El cuerpo tiene energía cinética:

Ecin (1) =

1 1 m2 m v 2 = 1,5 kg 42 2 = 12,0 J 2 2 s

Energía cinética transferida por la fuerza: W = - F.d = - 2 N .2 m = - 4,0 J (le quita energía cinética) Aplicando la L.C.E.: E fin= Eini + W ; Efin = 12,0 J – 4,0 J = 8,0 J En el punto final tendrá 8,0 J de energía cinética. Por tanto: Ecin (2) =

1 m v2; v = 2

2 Ec(2) m

2 .8,0 J m = 3,3 1,5 kg s

=

Como indica el resultado obtenido se ha producido una disminución de la energía cinética del cuerpo (y por tanto de su velocidad) debido a que la fuerza resta energía cinética al cuerpo.

E. quitada (calor) WF = 4, 0 J Inicial Ec(1) = 12, 0 J

La fuerza de rozamiento trasfiere la energía cinética del cuerpo al ambiente en forma de calor.

Final Ec(2) = 8,0 J

Los 12,0 J de energía cinética iniciales están al final en forma de calor (4,0 J) y de energía cinética (8,0 J). La LCE se cumple. La energía no desaparece, sino que pasa de una forma a otra. Ejemplo 9: El cuerpo de la figura tiene una masa de 1 kg. Realizar un balance de energía comentando las variaciones de energía que experimenta. F = 5 N ; FR = 2 N v1 = 2 m/s

FR

¿v2?

FR

F

F

4m Solución: Estado inicial. El cuerpo tiene energía cinética:Ecin (1) =

1 1 m2 m v 2 = 1,0 kg 22 2 = 2,0 J 2 2 s

Como actúan dos fuerzas calculamos la energía transferida por cada una de las fuerzas: W F1= F . d = 5 N . 4 m = 20, 0 J. F da energía cinética al cuerpo. Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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WFR = - FR . d = - 2 N . 4 m = - 8, 0 J. FR quita energía cinética al cuerpo. Al final, la energía cinética transferida por las fuerzas actuantes es: W = (20,0 – 8,0) J = 12,0 J Aplicando la LCE : E fin= Eini + W ; Efin = 2,0 J + 12,0 J = 14,0 J En el punto final tendrá 14,0 J de energía cinética. Por tanto: Ecin (2) =

1 m v2; v = 2

2 Ec(2) m

=

2 .14,0 J m = 5,3 1,0 kg s

La velocidad al final es mayor que al principio, ya que el balance de energía total aportada por las fuerzas que actúan es positivo. Por tanto, la energía cinética del cuerpo aumentará.

E. dada W F = 20,0 J Inicial: Ec(1)= 2,0 J

Final: Ec(2)= 14,0 J E. quitada (calor) W FR = 8,0 J

Podría haberse resuelto el problema de otra forma: Reducimos las fuerzas actuantes a una única fuerza equivalente (resultante) que produzca el mismo efecto que F1 y F2 actuando a la vez. Una vez calculada esa fuerza se calcula el trabajo (energía transferida) por ella: Fres = F + FR = 5 N - 2 N = 3 N ; Wre = Fres . s = 3 N . 4 m = 12 J . Se dan 12 J de energía cinética al cuerpo Como se observa el resultado es idéntico al obtenido más arriba. Una demostración del enunciado que dice: El trabajo de la resultante de varias fuerzas es igual a la suma de los trabajos de dichas fuerzas. Ejemplo 10: Comparar la energía emitida por una bombilla de 100 W y una de 60 W. Solución: Una bombilla de 100 W “consume” energía (es decir, transforma energía eléctrica que toma de la red en luz) mucho más rápidamente que una de 40 W. Por ejemplo, al cabo de 1 hora de funcionamiento: Energía consumida por la bombilla de 100 W:E = P t = 100 J ⋅ 3600 s = 360.000 J = 3,6 105 J s

Energía consumida por la bombilla de 60 W: E = P t = 40

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J ⋅ 3600 s = 144.000 J = 1,4 105 J s

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Ejemplo 11: Un automóvil de masa 1000 kg es capaz de aumentar su velocidad de cero a 100 km/h en 8 s. Calcular su potencia en watios y en C.V. Solución: Inicialmente el automóvil tiene una energía nula (v=0). Al cabo de 8,0 s adquiere una velocidad de 100 km/h (27,8 m/s). Es decir, habrá adquirido una energía cinética de: Luego la rapidez con la cual se genera energía cinética (potencia) es: 2

Ec =

P=

1 1 2 m m v 2 = 1000 kg ( 27,8 )   = 3,85.105 J 2 2 s

E 3,85 .105 J J = = 4,81.104 = 4,81.10 4 W = 48,1kW t 8s s

4,81.104 W

1CV = 65, 4 CV 735 W

Si consideramos un coche más potente, por ejemplo de 100 CV, será capaz de aumentar su velocidad (o su energía cinética) más rápidamente. Por ejemplo, para adquirir una velocidad de 100 km/h (27,8 m/s) tardaría: Ec =

1 1 2 m v 2 = 1000 kg ( 27,8 ) 2 2

100 CV

P=

2

m 5  s  = 3,85.10 J  

735 W = 7,35.104 W 1C V

E E 3,85.105 J ;t= = = 5,2 s t P 4 J 7,35.10 s

O bien, en 8,0 s sería capaz de generar una energía cinética de: E = P.t = 7,35.104

J . 8,0 s = 5,88.105 J s

O, lo que es lo mismo, alcanzaría una velocidad de: 1 Ec = m v 2 ; v = 2

2. Ec = m

2. 5,88.105 kg .m2 .s−2

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10 kg

= 34,29

m km = 123, 4 s h

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Ejemplo 12: Cuál es el valor de Energía Cinética de un acróbata de masa 69,5 kg y cae sobre un balancín a una velocidad de 7,7 m/s. 1 1 2 Ec = .m.v 2 = ⋅ 69,5kg ⋅ (7,7 m / s ) = 2060 J 2 2

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: El trabajo de la resultante de un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo produce una variación en su energía cinética. Una aplicación interesante de este teorema la encontramos en el problema de calcular la distancia que un automóvil necesita para frenar totalmente, cuando avanza con una velocidad v0. Suponemos que los frenos se aplican correctamente (sin que las ruedas deslicen) y que todas las ruedas contribuyen para detener el vehículo. En estas condiciones, la fuerza de los frenos es directamente proporcional al peso del vehículo. Es decir: F = k.m.g. Siendo “d” esta distancia, tenemos:

1 1 1 − F . d = m . v 2 − m . vo2 = − m . vo2 2 2 2 2 resulta d = m . vo 2.F

Si

m . vO2 vO2 F = k .m. g ⇒ d = = 2.k . m . g 2.k . g

Es interesante observar que, teóricamente, la distancia de frenado no depende de la masa del automóvil. El coeficiente k depende de las condiciones de las cubiertas y del camino. Para automotores normales se puede estimar ente 0,75 y 0,80. Para un automóvil de carrera este coeficiente puede valer hasta 2,00. Esta es la distancia ideal de frenado. En la práctica es bastante mayor porque hay que agregar una distancia extra que depende del tiempo de reacción del conductor y de los frenos. Este tiempo puede estimarse entre 0,80 y 1,2 s. Te dejo la tarea de averiguar las distancias de frenado para velocidades de 40, 80 y 120 km/h. Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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Las fuerzas cuyo trabajo es nulo sobre una trayectoria cerrada reciben el nombre de “conservativas”. El peso de un cuerpo es por lo tanto una fuerza conservativa. Otros ejemplos de estas fuerzas son las de los resortes, las fuerzas magnéticas y algunas otras. Si la fuerza no es conservativa se llama “no conservativa” o “disipativa”. Un ejemplo de ellas es la fuerza de fricción entre dos superficies. Una importante conclusión surge del hecho que el trabajo sea nulo sobre una trayectoria cerrada: Se puede demostrar (cosa que no se exige) que si el trabajo de una fuerza sobre una trayectoria cerrada es nulo, el trabajo de esa fuerza entre dos puntos cualesquiera de esa trayectoria no depende de la trayectoria, sino solamente de las posiciones de esos puntos.

Todas estas consideraciones concluyen en el siguiente: Teorema de conservación de la energía mecánica: Si en un sistema de cuerpos trabajan exclusivamente fuerzas conservativas, la energía mecánica del sistema se mantiene constante.

Nota: Es un error decir que actúan exclusivamente fuerzas conservativas. Hay un ejemplo, rodadura, que no se estudia en este curso, en el que se conserva la energía mecánica aún cuando actúa una fuerza de fricción, pero ésta no trabaja.

En general son pocos los sistemas mecánicos que sean verdaderamente conservativos ya que es casi imposible eliminar los frotamientos, que son los de mayores factores de pérdidas. Hay un caso especialmente conservativo: El sistema solar. Como sabes, el Sol atrae a la Tierra mediante una fuerza gravitatoria. Se puede demostrar que el trabajo de esta fuerza cuando la Tierra cumple un ciclo completo (1 año) es nulo. Luego, la energía mecánica del sistema Sol − Tierra se conserva. Si la órbita terrestre fuera circular, demostrar que este Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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trabajo es nulo es muy sencillo: La fuerza gravitatoria será siempre perpendicular al desplazamiento de la Tierra. Por lo tanto el trabajo no es nulo solamente al cabo de un año, sino que es constantemente nulo.

Veamos algunos ejemplos en los que la energía mecánica se conserva: Calcular la velocidad de un cuerpo que se desliza sin fricción sobre un plano inclinado, por la acción de su peso, al llegar a la base del plano:

1

H

αˆ

2

Ya vimos que el peso de un cuerpo es una fuerza conservativa. Luego el trabajo sobre el plano inclinado es igual que el trabajo realizado sobre la trayectoria vertical y luego sobre la horizontal. Este último es nulo (¿por qué?). Entonces sólo queda el trabajo sobre el cateto vertical, de longitud H. Aplicando el principio de conservación entre la parte superior del plano y la inferior, resulta:

Em1 = Em2

∴ m . g . H1 +

1 1 . m . v12 = m . g . H 2 + . m . v22 2 2

En el punto 1 la velocidad es nula. En el punto 2 la altura es nula. Simplificando la masa y despejando la velocidad en 2 resulta:

v2 = 2 . g . H Esta ecuación ya la conoces del capítulo de Cinemática. Puedes observar que el resultado no depende del ángulo del plano ni de la masa del cuerpo. En algún momento dijimos que el trabajo mecánico no dependía del tiempo empleado en ejecutarse. Sin embargo es lógico pensar que debemos realizar trabajos en el menor tiempo posible. Surge de esta idea el concepto de potencia mecánica: Llamamos potencia media al trabajo realizado entre dos posiciones por unidad de tiempo.

Pm =

W ∆t

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Le corresponde la siguiente unidad en el SI:

[P ] = N . m = J s

s

= watt = W

Ten cuidado de no confundir el símbolo de la unidad de potencia con el que usamos para designar al trabajo. Ejemplo 13: La Fuerza desarrollada por los motores de cohete = 1.109 N Tiempo para desplazarse 5 000 m = 200 s Trabajo realizado = 1.109 N . 5000m= 5.1012J P=

5.1012 J = 2,5.1010 W 200 s

La Potencia realizada por los motores es de 25 GW Ejemplo 14: El Montacargas realiza un Trabajo =400 N . 4m= 1600 J El tiempo para elevar la carga =8 s P=

1600 J = 200 W 8s

La Potencia realizada por el montacargas es de 200 W

Ejemplo 15: Calcula la potencia de dos chicos que compitieron para ver quién levantaba más rápido una pesa de 200 N hasta una altura de 5 m, valiéndose de una polea. El primero tardó 10 segundos y el otro tardó 15 segundos. La fuerza que aplicaron ambos es la misma (200N) y el trabajo realizado de cada uno es también el mismo: W = F .d = 200 N .5m = 1000 J En cambio la potencia desarrollada por ambos es de: W 1000 J P= = = 100 W Potencia del primero. t 10 s W 1000 J P= = = 67 W Potencia del segundo. t 15s Una unidad muy común es el HP (horse power=potencia de un caballo), que equivale a 745,5 W: 1HP=745,5W ≅ 750W Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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La potencia media de un caballo común es algo inferior a 1 HP. Un automóvil mediano tiene una potencia de 80 HP. Una locomotora, entre 500 y 1000 HP. Una máquina de vapor estable puede tener hasta 45000 HP. 1 La potencia de un hombre es de alrededor de HP. 7

El KILOWATT-HORA. En las facturas de las compañías de electricidad puede verse que miden el trabajo eléctrico gastado en la casa en una unidad que no se ha mencionado hasta ahora: kilowatt-hora. Pero…¿no era el kilowatt una unidad de potencia? Sí, y sigue siéndolo, porque no se ha dicho kilowatt, sino el kilowatt-hora (kWh) es el trabajo realizado en 1 hora por una máquina que tiene una potencia de 1 kW.

W = P.t = 1 kW .1 h = 1 kWh J s

de acuerdo a su definición 1 kWh = 1 kW.1h = 1000 .3600s = 3600000J Ejemplo 16: Un calefón eléctrico tiene una potencia P=1,5 kW. a)Calcula cuánto cuesta calentar agua durante 2 h 30 min, sabiendo que 1 kWh cuesta $ 0,14. b) Calcula la potencia del calefón en HP. a) W = P.t = 1,5 kW.2,5 h = 3,75 kWh Gasto: 3,75 kWh . 0,14 $/kWh ≅ $ 0,53 b) P = 1,5 kW = 1500W ; 745,5 W = 1HP ∴ P ≅

1500 HP ≅ 2 HP 750

Si desarrollamos un poco la ecuación de potencia, podemos obtener algunas conclusiones importantes:

Pm =

W F .d d = = F . = F . vm Es decir: potencia media es fuerza por velocidad media. t t t

Si la velocidad está considerada en un punto (velocidad instantánea), la potencia se llama instantánea. No es, en general, una magnitud muy relevante. En la mayoría de los casos se trabaja con potencia media. Ejemplo 17: Calculemos la potencia que puede suministrar un salto de agua. Parece muy complejo, pero en realidad es muy simple: basta conocer la altura del salto y la cantidad de agua que cae. Esta cantidad puede expresarse en kg/s, llamada caudal en masa.

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El salto tiene una altura H y en caudal en masa Q. Pm =

W m. g . H m = = . g . H = Q. g . H t t t

Completemos el ejemplo para un dique. Un río tiene un caudal medio, en volumen, de unos 50 m3/s, que equivalen a 50 000 kg/s. El salto de agua aprovechable tiene una altura de unos 150 m. Luego:

Pm = 50 000

kg m 1 MW . 9,80 2 .150 m = 7,35 .10 7 W . 6 = 73,5 MW s s 10 W

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Con referencia al tema "Trabajo y energía", establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. ( ) a. Toda fuerza que actúa sobre un cuerpo realiza trabajo. ( ) b. El trabajo del peso de una partícula es siempre potente. ( ) c. Para que un cuerpo modifique su energía mecánica es necesario y suficiente que experimente un desplazamiento. ( ) d. El signo del trabajo de una fuerza depende del ángulo que dicha fuerza forma con el desplazamiento. ( ) e. Cuando un sistema de fuerzas actúa sobre una partícula que se desplaza, el trabajo de cada fuerza es independiente del trabajo de las otras. ( ) f. Si la rapidez de un cuerpo es constante, la resultante de las fuerzas aplicadas no realiza trabajo. ( ) g. La energía cinética de un cuerpo en movimiento puede medirse a través del trabajo de fuerzas exteriores que consiguen detenerlo. ( ) h. Cuando levantamos la carga desde el suelo hasta nuestros hombros realizamos trabajo potente. ( ) i. Cuando una partícula cambia de nivel, el trabajo hecho por su peso es independiente de la trayectoria seguida. a) Falso. Para que haya trabajo debe haber desplazamiento o la fuerza no debe ser perpendicular al desplazamiento. b) Falso. Si el cuerpo sube, el trabajo del peso es resistente. c) Falso. Un cuerpo que se desplaza horizontalmente con velocidad constante, mantiene su energía constante. d) Verdadero. Ver definición de trabajo. e) Verdadero. Este es el concepto de independencia de las fuerzas entre sí. f) Verdadero. Es lo que afirma, por ejemplo, el teorema de las fuerzas vivas. g) Verdadero. Es una aplicación directa del teorema de las fuerzas vivas. h) Verdadero. Se pregunta por el trabajo para levantar al cuerpo, no el del peso. i) Verdadero. Es una propiedad de las fuerzas conservativas. 2) Calcular el trabajo necesario para levantar un cuerpo cuya masa es de 50 kg hasta una altura de 40 m. Este ejercicio es una aplicación directa de la definición de trabajo. En este caso el sentido de la fuerza es el mismo que el del desplazamiento. El ángulo entre estos vectores es cero. W = P. ∆y = m.g. ∆y = 50 kg. 9,80 m/s2. 40 m = 19 600 J = 19,6 kJ

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3) Una pelota de 0,50 kg cae frente a una ventana de longitud vertical 1,50 m. A) ¿En qué cantidad se incrementará su energía cinética cuando alcance el borde inferior de la ventana? B) Si la velocidad al pasar por el borde superior de la ventana es de 3,0 m/s, ¿con qué velocidad pasará por el borde inferior? Como la única fuerza que trabaja es el peso del cuerpo, se conserva la energía mecánica del mismo. Em = Ec + Ep; de esto se deduce que las variaciones de energía son: ∆Em = ∆Ec + ∆Ep = 0 (la energía mecánica es constante, no sufre variaciones). Entonces ∆Ec = – ∆Ep , es decir, lo que gana en energía cinética se pierde en energía potencial y recíprocamente. Como el cuerpo cae, pierde energía potencial. Haciendo cálculos: ∆Ec = – (–m.g. ∆h) = 0,50 kg . 9,80 m/s2 . 1,50 m = 7,35 J. Para el cálculo de las velocidades, la masa del cuerpo no es necesaria.

V 2 = V02 + 2 g h ∴ V =

(3,0 m / s )2 + 2 . 9,80

m / s 2 . 1,50 m = 6,2 m / s

4) Una locomotora de masa igual a 14,4 toneladas, que parte del reposo, alcanza una rapidez de 99,0 km/h en 12,0 min. Suponiendo aceleración constante, calcula la potencia media desarrollada por su motor. W F ∆x cos ϕ ∆x = ; ϕ = 0; P = F ; ∆t ∆t ∆t Acá tenemos dos alternativas: Si consideramos variaciones de tiempo y de desplazamiento muy pequeñas, obtenemos velocidad instantánea y potencia instantánea. Si en cambio las variaciones de desplazamiento y tiempo son constantes, obtenemos velocidad media y potencia media, que es lo que se solicita en el ejercicio. Por lo tanto debemos calcular la velocidad media. La fuerza F la calculamos a través de los conceptos de dinámica.

Elaboramos las ecuaciones para este caso: P =

Siendo la aceleración constante, sabemos que la velocidad media es el promedio aritmético entre velocidad inicial y final: v = 99,0 km / h ⋅

1m / s 27,5 m / s + 0 = 27,5 m / s vm = = 13,8 m / s 3,6 km / h 2

Según Dinámica: F = m.a = m ⋅

27,5 m / s ∆v = 14 400 kg ⋅ = 550 N ∆t 720 s

Finalmente: Pm = 550 N ⋅13,8 m / s = 7590W = 7,59 kW 5) Acerca de un cuerpo que cae libremente en el vacío con rapidez inicial nula, puede afirmarse todo lo que sigue, excepto: ( ) a. La energía mecánica del cuerpo permanece constante durante toda su caída. ( ) b. Su energía cinética aumenta proporcionalmente con el cuadrado del tiempo transcurrido. ( ) c. La energía potencial varía linealmente con la altura. ( ) d. Supuesto el suelo como nivel de energía potencial nula, la energía potencial iguala a la cinética a la mitad de camino entre el nivel inicial y el suelo. ( ) e. La variación de energía potencial, desde el comienzo de la caída, es proporcional al tiempo transcurrido. marcar opción b. Física-Cohorte 2014-. Prof. Dalmau y Prof. Balen

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6) La energía eléctrica que una vivienda consume viene expresada en kW.h. Determina una energía de 450 kW.h en J. Elige un prefijo adecuado para que su medida no supere 1000.

E = 450 kWh .

1000W 1 J / s 3 600 s . . = 1,62 GJ kW W h

7) Calcula el trabajo necesario para levantar un cuerpo cuya masa es de 50 kg hasta una altura de 40 m. W = 50 kg . 9,80 m / s 2. 40 m = 1,96 . 10 4 J

8) Una losa de mármol uniforme rectangular de 3,4 m de largo y 2,0 m de ancho y de 180 kg descansa sobre una piso horizontal. Calcula el trabajo necesario para colocarla vertical. Debe destacarse que este trabajo es independiente de la posición de la fuerza aplicada y vale: W = m g h / 2 = 180 kg . 9,80 m / s 2 . 1,70 m ≅ 3 000 J Obs. El centro del cuerpo se encuentra a la mitad de la altura 9) Una bomba de agua sube líquido desde un lago hasta un gran tanque colocado a 20 m sobre el nivel del lago. ¿Qué trabajo debe efectuar la bomba para elevar 5,0 m3 de agua al tanque? Un metro cúbico de agua tiene una masa de 1 000 kg W = m g h = 5,0 m 3 .

1 000 kg . 9,80 m / s 2 . 20 m = 9,8 . 10 5 J 3 m

10) Un cuerpo de 150 kg se desplaza horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. Desciende por un plano inclinado ideal hasta una profundidad de 50 m. Luego trepa por otro plano hasta detenerse. Calcule la velocidad en el punto más bajo y la altura del punto más alto. Determine además la energía mecánica inicial y las energías potencial y cinética en el punto más bajo y en el más bajo. Ubicamos un plano de referencia en el punto más bajo; entonces la energía mecánica inicial vale: 1 1 E = m g h + m v 02 = m v 2 2 2 ∴ v = v 02 + 2 g h = ( 20 m / s ) 2 + 2 . 9,80 m / s 2. 50 m = 37,1 m / s v2 ( 20 m / s ) 2 v2 = 0 +h= + 50 m = 70,4 m 2g 2 g 2 . 9.80 m / s 2 1   E = 150 kg  9,80 m / s 2 . 50 m + . ( 20 m / s ) 2  = 1,04 . 10 5 J 2  

análogamente: H =

 E = 150 kg . 9,80 m / s 2 . 70,4 m = 1,03 . 10 5 J punto más alto:  p  E c = 0

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 E p = 0 punto más bajo:   E c = 1,04 . 10 5 J

11) Un automóvil que viaja a 15 m/s embiste un montículo de arena de modo que se detiene en 2,0 m. Calcule la fuerza media que el cinturón de seguridad ejerce sobre un pasajero de 90 kg. Podemos usar el teorema de las fuerzas vivas: 1 − . 90 kg . (15 m / s ) 2 ∆E W = ∆E c = − F d ∴ F = − c = − 2 = 5,06 . 10 3 N d 2,0 m 12) Un cuerpo de masa M comienza a deslizar sin fricción sobre un plano inclinado. Demuestre, usando conceptos energéticos, que la velocidad con la que llegará a la base del plano no depende de la masa del cuerpo ni del ángulo de inclinación del plano. Energía en el punto más alto: Mgh 1 Energía en el punto más bajo: M v 2 ; son iguales; despejando: v = 2 g h 2 13) Un cuerpo de 62,5 kg, en reposo sobre un plano horizontal sin frotamiento, se somete a la acción de una fuerza de 75,0 N inclinada 45° respecto de la horizontal, durante un intervalo de 10,0 s. a) Calcule el trabajo realizado por dicha fuerza. b) Calcule el trabajo realizado por el peso del cuerpo. c) Calcule el trabajo de todas las fuerzas. d) Demuestre que el trabajo calculado en c) es igual que la variación de la energía cinética del cuerpo. F 75,0 N.cos 45° = = 0,848 m / s 2 ; x = 0,5 . 0,848 m / s 2 . (10,0 s ) 2 = 42,4 m m 62,5 kg a ) W F = 75,0 N . cos 45° . 42,4 m ≅ 2 250 J ; b) W P = 0 ; c) W t= 2 250 J F = ma; a =

d ) v = 0,848 m / s 2 . 10,0 s = 8,48 m / s ;Wt = 0,5 . 62,5 kg . (8,48 m / s ) 2 ≅ 2 250 J

14) Un bloque se mueve hacia arriba por un plano inclinado 30° bajo la acción de tres fuerzas: F1, horizontal de 40 N, F2, normal al plano de 20 N y F3 es paralela al plano de 30 N. Calcule el trabajo efectuado por cada una cuando el bloque asciende 80 cm sobre el plano. W1 = 40 N . 0,80 m . cos 30° = 28 N ; W2 = 0 ; W3 = 30 N . 0,80 m = 24 N 15) Un bloque de 0,50 kg se desplaza sobre una superficie horizontal con una velocidad de 20 cm/s. Por la acción de una fuerza de fricción se detiene en 70 cm. Calcule el valor de la fuerza de fricción. ∆E c − 0,50 kg (0,20 m / s ) 2 F= = = 0,014 N = 14 mN d 2 . 0,70 m

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17) Se dispara un proyectil hacia arriba desde la tierra con una velocidad de 20 m/s. Utilizando únicamente conceptos energéticos, determine a qué altura se encontrará cuando su velocidad sea de 8,0 m/s. Ignore resistencia del aire. v 2 − v 2 (20 m / s ) 2 − (8,0 m / s ) 2 1 1 E = m v02 = m g h + m v 2 ; ∴h = 0 = = 17 m 2 2 2g 2 . 9,80 m / s 2

18) Un cuerpo de 1,2 kg describe la trayectoria ideal indicada en la figura. Se desplaza inicialmente con una velocidad de 5,0 m/s. Determine la energía mecánica. Calcule la velocidad en el punto más bajo. Encuentre las energías cinética y potencial en el punto C. Halle la altura máxima a la que podrá llegar. Desprecie la fricción. HA = 25 m; HB = 2,5 m; HC = 20 m.

A

C

B

H=0

Si sólo trabaja el peso del cuerpo, la energía mecánica del mismo se conserva; es decir, es la misma en todos los puntos de la trayectoria. Se elige como origen de medición de la energía potencial en H = 0; EMA = EMB = EMC 1 1 1 m v A2 + m g H A = m v B2 + m g H B = m v C2 + m g H C 2 2 2 E MA =

1 . 1,2 kg (5,0 m / s ) 2 + 1,2 kg 9,80 m / s 2 . 25 m = 309 J 2

Velocidad en el punto más bajo: 2 . 280 J = 21,6 m / s 1,2 kg Las energías potencial y cinética en el punto C valen: E PC = 1,2 kg . 9,80 m / s 2 . 20 m = 235 J E CC = 309 J − 235 J = 74 J E CB = 309 J − 1,2 kg . 9,80 m / s 2 . 2,5 m = 280 J ∴v B =

En el punto más alto, la energía mecánica es enteramente potencial: E P = m g H = 309 J ∴ H =

309 J = 26,3 m 1,2 kg . 9,8 m / s 2

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19) Determine la potencia necesaria para que un camión que arrastra 50 ton pueda trepar una cuesta de 15º con una velocidad constante de 25 m/s. Expresar dicha potencia en kW. En este caso es: Pm = F v = 50000 kg 9,8 m / s 2 sen (15°) 25 m / s = 3170 kW 20) Un automóvil de 1200 kg viaja por una carretera horizontal a 108 km/h. Aplica los frenos y se detiene cuando ha recorrido 30 m. Determine la potencia media desarrollada por los frenos. Pm =

∆Ec m v 3 1 200 kg (30 m / s ) 3 d 2d ; t= = ∴ Pm = = = 270 kW t vm v 4d 4 . 30 m

----------------------------------------------------------------------------------------------------Concluimos con esta Unidad, cualquier inquietud que tengas nos encontramos en foro de dudas del aula virtual. Suerte y sigue adelante!!!

Bibliografía: Física Conceptual. (1999). Paul G. Hewitt. Editorial Addison Wesley Longman. 3ºEdición. Física. (2001) S. E. Calderón; G. Corner; G.A. Lemarchnd y otros. Editorial Puerto de Palos. Física. (1976). Carlos Miguel. Editorial Troquel. Física. (1999). Liliana Reinoso. Editorial Plus Ultra.4º Edición

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