Unidad II Hidrostatica

HIDRÁULICA GENERAL

UNIDAD II HIDROSTATICA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA

UNIDAD II. HIDROSTÁTICA

Introducción. La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Se fundamenta en leyes y principios como el de Arquímedes, Pascal o la paradoja hidrostática de Stevin entre otros; mismos que contribuyen a cuantificar las presiones ejercidas por los fluidos, y al estudio de sus características generales. En la hidrostática es importante el estudio de las presiones que ejercen los fluidos sobre los recipientes que los contienen, aunque líquidos y gases se consideran fluidos y tienen algunas características en común, en este curso, nos enfocaremos al estudio de los líquidos y en particular al agua. El estudio de la hidrostática adquiere especial importancia para el diseño y construcción de barcos, presas, tanques de almacenamiento, transmisión de presiones y donde se requiera almacenar líquidos. PRESIÓN: La presión indica la relación entre una fuerza aplicada y el área sobre la cual actúa. En cualquier caso en que exista presión, una fuerza actuará en forma perpendicular sobre una superficie. Matemáticamente la presión se expresa de la siguiente manera: P=

F A

donde:

(2.1)

A mayor fuerza o menor área, mayor presión; en cambio, a menor fuerza o mayor área, menor presión.

P = presión en N/m2 = Pascal F = fuerza perpendicular a la superficie en Newtons (N) A = área o superficie sobre la que actúa la fuerza en metros cuadrados (m2). La ecuación anterior indica que a mayor fuerza aplicada, mayor presión, y a mayor área sobre la cual actúa la fuerza, menor presión.

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Un bloque rectangular metálico ejercerá menor presión si se le coloca sobre una de sus caras de mayor área, que si se le coloca sobre una de área menor. Al disminuir el área sobre la que actúa una fuerza, aumenta la presión.

Mayor área, menor presión Menor área, mayor presión

La presión que ejercen los líquidos es perpendicular a las paredes del recipiente que los contiene. Dicha presión actúa en todas direcciones y sólo es nula en la superficie libre del líquido. 2.1.- Presión hidrostática La presión hidrostática es aquella que origina todo líquido sobre el fondo y las paredes del recipiente que lo contiene. Esto se debe a la fuerza que el peso de las moléculas ejerce sobre un área determinada; la presión aumenta conforme es mayor la profundidad. Considérese idealmente un elemento de fluido en forma prismática que encierra al punto P, donde la densidad es ρ y la presión p (Figura 2.1). z

(p+

1 ∂p dz )dxdy 2 ∂z

(p −

1 ∂p dx ) dydz 2 ∂x

y dz

x

(p −

P(ρ,p)

1 ∂p dy )dxdz 2 ∂y 1 ∂p (p + dx ) dydz 2 ∂x

(p + dx

dy

(p −

1 ∂p dy ) dxdz 2 ∂y

1 ∂p dz )dxdy 2 ∂z

Figura 2.1.- Equilibrio de una partícula en un fluido en reposo

Si la fuerza de cuerpo por unidad de masa de la partícula es del tipo M=Xi+Yj+Zk el equilibrio de las fuerzas en la dirección x implica que: (p −

1 ∂p 1 ∂p dx )dydz − ( p + dx )dydz + ρXdxdydz = 0 2 ∂x 2 ∂x

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donde; p es la presión en el punto P x, y, z indica las coordenadas en esas direcciones ρ es la densidad en el punto P X es la fuerza por unidad de masa Simplificando la ecuación, ésta queda como sigue: pdydz −

1 ∂p 1 ∂p dxdydz + ρXdxdydz = 0 dxdydz − pdydz − 2 ∂x 2 ∂x

pdydz −

1 ∂p 1 ∂p dxdydz + ρXdxdydz = 0 dxdydz − pdydz − 2 ∂x 2 ∂x

−

∂p dxdydz + ρXdxdydz = 0 ∂x

∂p = ρX ∂x

(2.2)

Realizando el mismo razonamiento para las direcciones “y” y “z” se obtienen las ecuaciones siguientes: ∂p = ρY ∂y

(2.3)

∂p = ρZ ∂z

(2.4)

Las ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) son conocidas como ecuaciones estáticas de Euler. Si se considera que la única fuerza de cuerpo es la debida al campo gravitacional terrestre, sus componentes son: X=Y=0, Z= -g, por lo tanto las ecuaciones anteriores quedan: ∂p =0 ∂x

(2.5)

∂p =0 ∂y

(2.6)

∂p = ρg = − Pe ∂z

(2.7)

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Es posible concluir que la presión dentro de un fluido en reposo varía solamente con la coordinada vertical z, y es constante en todos los puntos contenido en un mismo plano horizontal. De las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.7) se deduce finalmente que: ∂p = − ρgdz = − Pe dz

(2.8)

A la ecuación (2.8) se le conoce como la ecuación fundamental de la estática de los fluidos. Para integrar la ecuación (2.8) se considera que ρ=constante por lo que la ecuación queda como sigue: P + z = cons tan te Pe

(2.9)

A la ecuación (2.9) se le conoce como ecuación de la ley de Pascal y permite calcular la distribución de presiones hidrostáticas en el seno de un líquido en reposo. Esta ley o principio establece que toda presión que se ejerce sobre un líquido encerrado en un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del líquido y a las paredes del recipiente que lo contiene. Esa presión depende exclusivamente de la coordenada z, es decir, de la altura de cada punto respecto de un nivel de referencia cualquiera.

Ahora bien, considerando dos puntos A y B, donde A coincide con la superficie libre del agua, y B localizado a una elevación z (Figura 2.1), resulta entonces que;

Pa

Superficie del agua A zA -zB B

Presa zA

zB

P

Figura 2.2.- Representación gráfica de la deducción de la ecuación (2.11).

Pa P + zA = + zB Pe Pe

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(2.10)

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La presión absoluta en el punto considerado es; P = Pa + Pe ( z A − z B )

(2.11)

donde Pa es la presión atmosférica sobre la superficie libre del líquido y (zo-z) la profundidad del punto considerado, p es la presión absoluta del punto considerado y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La presión atmosférica local depende de la elevación sobre el nivel del mar del lugar donde se encuentre el líquido. Comúnmente para medir la presión hidrostática se considera a la presión atmosférica local con un valor de referencia igual a cero; a la presión así medida se le conoce como manométrica y la ecuación para calcularla se deduce de la ecuación (2.11), quedando como sigue: Ph = Pe z

o bien

Ph = ρgz

(2.12)

La presión hidrostática en cualquier punto puede calcularse multiplicando el peso específico del líquido por la altura que hay desde la superficie libre del líquido hasta el punto considerado.

z=2m

A 1

z=2

A 2

z=1m A 3

Calcular la presión hidrostática en el punto A de los recipientes 1, 2 y 3, considerando que el líquido contenido es agua, y utilizando la ecuación (2.12) Recipiente 1:

Ph = ρgz = 1000

kg m N x9.8 2 x 2m = 19600 2 3 m s m

Recipiente 2:

Ph = ρgz = 1000

kg m N x9.8 2 x 2m = 19600 2 3 m s m

Recipiente 3:

Ph = ρgz = 1000

kg m N x9.8 2 x1m = 9800 2 3 m s m

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La paradoja hidrostática de Stevin señala que la presión ejercida por un líquido en cualquier punto de un recipiente, no depende de la forma de éste ni de la cantidad de líquido contenido, sino únicamente del peso específico y de la altura que hay del punto considerado a la superficie libre del líquido.

La paradoja hidrostática de Stevin puede comprobarse en los recipientes 1 y 2 en donde la presión hidrostática en el punto A es la misma, porque la altura del punto A a la superficie libre del agua es la misma; mientras que la presión hidrostática en el punto A del recipiente 3 es menor debido a que la altura también lo es. Medición de la presión. El manómetro es un dispositivo que se utiliza para medir las presiones producidas por un líquido en reposo y con base en la ecuación (2.11). Manómetros simples. Los manómetros simples más importantes son el barómetro y el tubo piezométrico. Barómetro. El barómetro es un dispositivo para medir la presión atmosférica local, consiste en un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo cerrado y el otro abierto, sumergido dentro de un recipiente que contiene dicho elemento (Figura 2.3). Vacío Presión atmosférica Pa h

Mercurio (Hg) Figura 2.3.- Esquema gráfico de un barómetro.

La fuerza atmosférica, ejercida sobre la superficie del mercurio en el recipiente, hace que el líquido se eleve dentro del tubo hasta alcanzar una altura que equilibra la presión atmosférica, la ecuación para expresar este comportamiento es: Pa = PeHg h = ρgh

(2.13)

donde PeHg es el peso específico del mercurio, ρ es la densidad del mercurio con valor de 13,600 kg/m3 y g es la gravedad (9.8 m/s2). A nivel del mar y a la

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temperatura de 15º C la presión atmosférica es de 101,293 N/m2, por lo que la correspondiente altura barométrica del mercurio es: h=

101,293 = 0.76m 133,280

Piezómetro El piezómetro o tubo piezométrico se utiliza para medir presiones estáticas moderadas de un líquido que fluye dentro de una tubería. Consiste de un tubo transparente de diámetro pequeño, conectado al interior de una tubería mediante un niple y con el otro extremo abierto a la atmósfera. La altura de la columna piezométrica multiplicada por el peso específico del líquido en la tubería, determina la presión de la misma en el punto de contacto con el tubo piezométrico (Figura 2.4). Pa Tubo Nipl

p h= Pe 90º

Figura 2.4.- Esquema gráfico de un piezómetro

Manómetros diferenciales Manómetro diferencial abierto Consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un líquido pesado (comúnmente mercurio). Uno de sus extremos se conecta de manera perpendicular a la pared que confina el flujo del recipiente que lo contiene; el otro extremo puede estar abierto a la atmósfera, o bien conectado a otro punto de la pared, en cuyo caso el manómetro mide la diferencia de presiones entre los dos puntos. La diferencia de niveles de la columna del líquido en el manómetro diferencial indica la diferencia de las cargas de presión ejercidas sobre los extremos de la columna (Figura 2.5).

Pe1 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO

PA

h2 A SEPTIEMBRE, 2007 h1

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pA es la presión manométrica en el recipiente que contiene al líquido; por otro lado, la presión en el punto de contacto B de los líquidos está dada por: p B = p A + Pe1 h1 Por otra parte, si pB =Pe2h2, al igualar ambas ecuaciones resulta: p A = Pe 2 h2 − Pe1 h1 Manómetro diferencial cerrado Son aparatos comerciales provistos de un sistema mecánico de aguja y carátula graduada donde se leen directamente las presiones.

atm

Figura 2.6.- Esquema gráfico de un manómetro diferencial cerrado.

2.2.- Empuje hidrostático El empuje hidrostático es la fuerza resultante debido a la presión hidrostática que actúa de manera perpendicular sobre una área determinada; dicha área puede ser plana o curva. Se identifican dos elementos claves, primero, el centro de gravedad del área y segundo, el centro de presiones del empuje hidrostático.

2.2.1.- Empuje hidrostático sobre superficies planas

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El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de presiones, y para superficies planas esta dado por: E = Pe Az G

(2.14)

donde; E = empuje hidrostático en kg Pe = peso específico del líquido en kg/m3 A = área sobre la que actúa el empuje hidrostático en m2 zG = elevación del centro de gravedad de la cuña de presiones en m El centro de presiones es el punto sobre el cual actúa la fuerza resultante o empuje hidrostático. Para determinar el centro de presiones se utiliza la siguiente expresión: Ix 2 yk = + yG yG

(2.15)

donde; yk es el centro de presiones del empuje hidrostático sobre la superficie plana. Ix es el radio de giro de A respecto al eje centroidal paralelo a x. yG es el centro de gravedad de A. CASOS COMUNES CASO 1.- Una pared vertical con líquido de un solo lado y parcialmente sumergida.

yk h 1

E

Peh1 Figura 2.6.- Distribución de presiones hidrostáticas sobre una pared vertical parcialmente sumergida.

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Para calcular el empuje hidrostático que actúa sobre la pared se utiliza la ecuación (2.14) h2 E = Pe Az G = Pe b 2 donde; A = bh zG = h/2 Cuando el área sobre la que actúa la presión hidrostática es rectangular y simétrica del tipo: h2 h 2 A = bh I = y = yG x G 12 2 h b

Para calcular el centro de presiones hidrostáticas se utiliza la ecuación (2.15) yk =

Ix 2 2h 2 h + yG = + yG 12h 2

CASO 2.- Una pared inclinada con líquido en ambos lados de la misma. θ E

yk

h1

h2

Figura 2.7.- Distribución de presiones en una pared inclinada con agua en ambos lados de la pared.

Como ya se mencionó el empuje hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de distribución de presiones de ancho b, indicada con el área sombreada, la cual se puede determinar calculando el área del triángulo de presiones de la izquierda menos el de la derecha. El empuje hidrostático total esta representado por la cuña sombreada, por lo tanto E = E1-E2 h1 h h − h2 − Pe bh2 12 2 = Pe b 1 senθ senθ 2 senθ 2

E = Pe bh1

1 2

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2

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(2.16)

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El centro de presiones se determina con la ecuación:

h 1 h1 − h2 yk = 1 − senθ 3senθ h1 2 − h2 2 3

3

(2.17)

CASO 3.- Una pared vertical con líquido en ambos lados de la misma.

yk h1

E h2

Figura 2.8.- Distribución de presiones en una pared vertical con agua en ambos lados de la pared.

El empuje hidrostático se calcula con la siguiente ecuación (2.16), haciendo el valor de θ= 90º, por lo que el sen 90º = 1 h1 − h2 2 senθ

2

h − h2 E = Pe b 1 2

2

2

E = Pe b

2

(2.18)

Mientras que para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (2.17) haciendo el valor de θ= 90º, por lo que el sen 90º = 1

h1 1 h1 − h2 − senθ 3senθ h1 2 − h2 2 3

yk =

1 h1 − h2 3 h1 2 − h2 2 3

y k = h1 −

3

3

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(2.19)

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CASO 4.- Un muro de contención combinado con una parte vertical y otra inclinada, donde el líquido se encuentra en un solo lado del muro.

yk1 E1

E2

a1

yk2

h a2

Figura 2.9.- Distribución de presiones sobre un muro de contención.

Para calcular el empuje hidrostático sobre a1 se utiliza la siguiente ecuación: E1 =

1 Pe ba1 2

(2.20)

Para el empuje hidrostático en la parte inclinada, es decir sobre a2, se utiliza la siguiente ecuación:

E 2 = Pe b

a1 + h a2 2

(2.21)

El centro de presiones sobre a1 coincide con el centro de gravedad, para calcularlo se utiliza la ecuación:

2 a1 3 (2.22)

y G1 = y k 1 =

De la misma manera para a2 se calcula el centro de gravedad mediante la siguiente ecuación:

yG 2 =

a 2 a1 + 2h 3 a1 + h

(2.23)

Una vez calculado el centro de gravedad se calcula el centro de presiones mediante la siguiente ecuación:

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⎛ h − a1 ⎞ ⎟⎟ y k 2 = a1 + y G 2 ⎜⎜ ⎝ a2 ⎠

(2.24)

2.2.2.- Empuje hidrostático sobre superficies curvas Para determinar el empuje hidrostático sobre una superficie curva, la fuerza resultante se descompone en sus dos componentes vectoriales Fx y Fz de la forma:

F = Fx + Fz 2

2

(2.25)

Fz F Fx

Ap

Fx = Pe y k A p

(2.26)

donde Fx es la fuerza o empuje en el sentido horizontal; yk es el centro de presiones; y Ap es el área proyectada en dirección x. La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie y se extiende hasta la superficie libre. Fz = PeV

(2.27)

donde Fz es la fuerza o empuje en el sentido vertical; Pe es el peso específico del líquido y V es el volumen que se ubica por encima de la superficie curva y que puede ser real o imaginario. Cuando el empuje es ascendente se considera que el volumen es imaginario y cuando es descendente se considera real.

Vi Fx

Fx Fz Fz

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