Unidad-I.doc

Ejercicios Resueltos

Dados los siguient siguientes es vector vectores: es: 1. Dados ˆ ˆ c  = −  j  + 4 k  .

ˆ ; = − 2 i ˆ + 3  j ˆ + k 

a

b

ˆ 4 i 

=

ˆ − 3  j ˆ + 3 k 

y

Determinar: − a) b) a 3 b 2 c  c) ( a − 2 b ) • 3 c  d) ( 4 b 3 c  ) 2 b e) El ángulo qu que fo forma el el ve vector a con cad cada uno de los ejes coordenados.  + a f) Un vect vector or unita unitario rio en en la dire direcci ccin n y sent sentido ido de de c  + g) El ángu ángulo lo entre entre los vect vectores ores:: 3b  y − 2c  !) Un vector vector "er"endicula "er"endicularr al "lano que forman forman c   y a b a

b

−

+

−

−

×

+

#olucin: a)

a −b a

−

=

b

( −2 − 4) i ˆ

=

( −6 ) 2

[3

+

−

ˆ ( −3)]  j 

+ 6 + ( −2 ) 2

ˆ (1 − 3) k 

+

=

2

76

=

=

−

ˆ 6 i 

+

ˆ 6  j 

−

ˆ 2 k 

8$7

b) a

−

ˆ + k  ˆ) ( −2 i ˆ + 3  j 

3 b + 2 c  =

a − 3b

−3

ˆ + 3 k  ˆ ( 4 i ˆ − 3  j 

ˆ + 4 k  ˆ) = 2 ( −  j 

+

( −2 − 12 ) i ˆ + ( 3 + 9 −

2)

+ 2 c  = − 14 i ˆ + 10  j ˆ

c) ˆ + k  ˆ − 8 i ˆ + 6  j  ˆ − 6 k  ˆ) ( a − 2 b ) • 3 c  = ( −2 i ˆ + 3  j  = ( −10)( 0) + (9)( −3) + ( −5)(12) = − 87

d)

( 4b

− 3 c 

)

=

ˆ 8 i 

⇒

−

( 4 b − 3 c )

ˆ − 6  j ˆ + 6 k  i ˆ



ˆ + 12 k  ˆ) ( − 3  j 

=

ˆ − 5 k  ˆ) • ( ( −10 i ˆ + 9  j 

%

ˆ − 3  j  ˆ + 3 k  ˆ ) − 3( −  j  ˆ + 4 k  ˆ ) = 16 i ˆ − 9  j  ˆ 4( 4 i  2b

•

− ( 4 b − 3 c  ) × 



2b

= − 16 8

e) &ngul &ngulos os que que form forma a

a

'on el eje  :

cos α  =

'on el eje * :

cos β  =

'on el eje + :

cos γ   =

ˆ  j 

ˆ k 

9

0

−6

6

=

ˆ 54 i 

+

ˆ 96  j 

+

 con los ejes coordenados a x  a a y  a a z  a

=

−2

⇒

14

=

3

⇒

β 

⇒

γ   = 74$5)

14

=

1 14

α  = 122$3)

= 36$7 )

f) Un vect vector or unita unitario rio en en la dire direcci ccin n y sent sentido ido de

c  +  + a

ˆ 24 k 

= − 16

ˆ i ˆ + 9  j 

ˆ u

=

c 

+



a 

− =

ˆ + 2  j  ˆ + 5 k  ˆ 2 i 

c  + a

g) ,ngulo entre los vectores 3b

• ( −2 c ) =

3b

.

− 2 c 

=

33

3b

⇒

cos ϕ 

y 

− 90 =

−

ˆ + 0$35  j  ˆ + 0$87 k  ˆ 0$35 i 

− 2 c 

306

68

cos ϕ 

!) Un vector "er"endicular al "lano que forman 

c 

i ˆ

ˆ  j 

ˆ k 

0

−1

4

2

0

4



× (a + b ) = 

= − 4 i ˆ +

ˆ 8  j 

+

⇒

ϕ 

=

128$6 

c  y  a + b

2 k 

2. -allar las com"onentes rectangulares del vector a % u$ en la direccin /01

res"ecto al semieje "ositivo de las 2. #olucin: 3igamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo "royectamos en cada uno de los semieje

cos 30

0

sen 30 0

= =

a x  a ay  a

de donde de donde

a x  a y 

= a cos 30 = 5 cos 30 0

=

asen

0

⇒ a x  = 4.33

30° = 5.sen 30° ⇒

a y 

= 2$5

3. #umar los vectores a y b de la siguiente figura

#olucin: #e a"lica el teorema de 4itágoras S  =

2

3 +4

2

=

25 = 5 ⇒

S  = 25

4. 5res "ersonas tiran de un cuer"o al mismo tiem"o a"licando las siguientes

fuer6as: 78 % 9 al #ur. 7  % 809 /0 al #urEste y 7 / % rafica de la solucin

−1

0

?

2

??

2

= 12$7N 

5. Dos fuer6as de 8@ y  Ag"eso forman un ángulo de @0. Determine la

magnitud de la fuer6a resultante. #olucin 4ara graficar las fuer6as se a"lica el mBtodo del "aralelogramo

'omo se obtiene un triángulo oblicuo$ "ara !allar la fuer6a resultante se trabaja con la ley del coseno F R  = F 1

2

F R 

=

+ F  − 2.F .F  .Cosφ  ⇒ F R  = ( 25) + (16 ) − 2( 25)(16).Cos120° 2

2

2

1

2

2

625 + 256 − 800.( − 0$5) =

  1281 = 35$8 Kg  −  peso

⇒

F R 

= 35$8 Kg  −

peso

6. Dos "uestos de observacin a y b están se"arados 8@ Am en la costa$ vigilan

barcos que entran ilegalmente$ en un lCmite de =$ Am. El "uesto a re"orta un barco en el "uesto c en un ángulo bac de /