Unidad I (Temas 1.3 y 1.4).pdf

Unidad I CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

1.3 Determinación del movimiento de la partícula. En el tema anterior se afirma que el movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de dicha partícula para todo valor v alor del tiempo t . En la práctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre  x  y t . Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. Por ejemplo, un cuerpo en caída libre tendrá una aceleración constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s 2  o 32.2ft/s 2  (valores de la aceleración de la gravedad); una masa unida a un resorte que se ha estirado tendrá una aceleración proporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la posición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de las variables x, v y t. para determinar la coordenada de la posición x en términos de t, será necesario efectuar dos integraciones sucesivas. Se considerarán tres clases comunes de movimiento: 1) a = f(t) . La aceleración es una función dada de t . Al resolver (2)  para  para dv  y  y sustituir f(t)  por  por a  se  se escribe dv = a dt  dv = f(t) dt   Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación  ∫ dv  ∫ dv = ∫ f(t) d t  t 

que define v   en términos de t . Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducirá como resultado de la integración. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleración dada a = f(t) . Para definir en forma única el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales   del movimiento, esto es, el valor de v o  o   de la velocidad y el valor x  valor  x o  la coordenada de la posición en t = 0 . o de  

 Al sustituir las integrales indefinidas por integrales definidas   con los limites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t = 0  y v = v o  y los limites superiores correspondientes a t = t y v = v , se escribe v

∫ v dv = ∫ t0 f(t) dt  o

V –  v o  = ∫ t0 f(t) dt  lo cual produce v  en términos de t . La ecuación (1)  puede resolverse ahora para dx , dx = v dt   Y la expresión que se acaba de obtener sea sustituida por v .  Ambos miembros se integran después, el movimiento izquierdo con respecto a  x   desde  x = x o   hasta  x = x , y el miembro derecho respecto a t   desde t = 0  hasta t = t . La coordenada de la posición x  se obtiene de ese modo en términos de t ; el movimiento esta completamente determinado. Dos casos particulares se estudiaran con gran detalle en secciones posteriores: el caso en el que la a = 0 , que corresponde a un movimiento uniforme , y en el que a = cte , que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado . 2) a = f(x) . La aceleración se da en función de x . Al reordenar la ecuación (4)  y sustituir f(x)  para a , se escribe v dv = a dx  v dv = f(x) dx  Puesto que cada miembro contiene sólo una variable, se puede integrar la ecuación. Denotando de nuevo mediante v o  y  x o , respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de la posición, se obtiene v

x

∫ v v dv = ∫x f(x) dx  o

o

x

∫ x f(x) dx  1/2v 2  –  1/2V o =   o

la cual produce v   en términos de  x . A continuación se resuelve (1)  para dt  dt = dx / v 

y se sustituye por v   la expresión que acaba de obtenerse. Ambos miembros pueden integrarse entonces para obtener la relación deseada entre  x  y t . Sin embargo, en muchos casos esta última integración no puede llevarse a cabo de manera analítica y debe recurrirse a un método de integración numérico. 3) a = f(v) . La aceleración es una función dada de v . Es posible sustituir f(v)   por a  en (2)  u (4)   para obtener cualquiera de las relaciones siguientes: f(v) = dv / dt 

f(v) = v (dv / dx) 

dt = dv / f(v) 

dx = v dv [f(v)] 

La integración de la primera ecuación producirá una relación entre v  y t ; la integración de la segunda ecuación originará una relación entre v  y  x . Cualquiera de estas relaciones puede utilizarse junto con la ecuación (1)   para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimiento de la partícula.

1.4 Vectores de posición, velocidad y aceleración. Partícula: Es un punto material. Cuando un cuerpo es considerado como una partícula, es porque se le desprecian sus dimensiones geométricas y no hay interés en su estructura interna. Se acostumbra clasificar los movimientos de acuerdo a la trayectoria seguida por la partícula: si la trayectoria es rectilínea se le denomina movimiento rectilíneo, si es circular, movimiento circular.

Posición: Dado un sistema de coordenadas, a cada posición de la partícula le corresponde una coordenada y solamente una. Así cuando la partícula está en la posición A le corresponde la coordenada (x1, y1) y cuando está en la posición B le corresponde la coordenada (x2, y2). Ver figura 2.

Figura 2 La posición de una partícula se puede representar como un vector cuyo punto inicial ("cola") está en el origen del sistema de coordenadas y cuyo punto final ("cabeza") está en el punto correspondiente a su posición. Este vector lo denotaremos con el → símbolo r , en la figura ilustramos esta definición. En la figura 3 se observa que a la posición A → le corresponde el vector posición  r  A  y a la posición → B le corresponde el vecto posición r B .

Figura 3

Desplazamiento:  Al cambio de la posición de la partícula se le →  ∆r) . Es decir, el denomina desplazamiento (  desplazamiento es la  resta vectorial  entre el vector posición final y el vector posición inicial: →

→

→

 ∆r = r B  –  r  A.

En la figura 4 se ilustra la operación. Es de anotar que como el desplazamiento es la resta de dos vectores, debe ser también un vector. De la misma figura 4 se puede observar que el desplazamiento es un vector trazado desde la posición inicial hasta la posición final.

Figura 4

→

→

Tanto el vector posición r   como el vector desplazamiento  ∆r   tienen como ecuación dimensional L. Es decir, esas dos magnitudes se miden en unidades de longitud. Específicamente en el MKS se miden en metros (m).

Longitud recorrida (∆s) : La longitud recorrida   es denominada en algunos textos con el término "espacio". Aquí evitaremos esta denominación ya que ese término se usa en la física para representar un concepto más global y abstracto. La longitud recorrida   es la medida de la longitud de la trayectoria seguida por la partícula. Es una magnitud escalar y su ecuación dimensional también es L. En la figura 6 se ilustra cómo la partícula al desplazarse desde la posición A hasta la posición B., recorre una longitud equivalente a  ∆s   (en este caso es la longitud del camino de color violeta, AB). En la misma figura se puede observar que, →

Figura 6

 ∆r ≠ ∆s

→

 Velocidad media (v m )     : →

Se define la velocidad media como el desplazamiento  ∆r   de la partícula dividido por el valor del intervalo de tiempo  ∆t . Es decir: →

→

v m  = ∆r / ∆t  su ecuación dimensional es LT -1 , es decir en el sistema M.K.S se mide en m/s. La velocidad media tiene la desplazamiento.

misma dirección y sentido que el →

 Velocidad instantánea (v)  : Cuando se hace tender el intervalo de tiempo,  ∆t , a cero, se observa que el vector desplazamiento se acerca a la tangente de la trayectoria (ver figura 7A).

Figura 7A De lo anterior se deduce que la velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria (ver figura 7B).

Figura 7B Rapidez media (V) : Se define la rapidez media como la división entre la longitud recorrida por la partícula dividida por el valor del intervalo de tiempo  ∆t . La rapidez es un escalar. Ejemplo: Supongamos que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre 2.0 Km en dirección Este en 0.40 h (de A a B) y luego 1.0 Km en dirección Norte en 0.10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la figura 8.

El desplazamiento del estudiante sería el vector que va desde A hasta C. La magnitud de este es:  AC = √ (2.0Km)2 + (1.0Km)2 = 2.2Km y su dirección es: α

= tan-1(1/2) = 26o

Figura 8 Por tanto, su velocidad media sería un vector cuya magnitud es: v = [2.2Km / (0.40 + 0.10)h] = 4.4Km/h con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de 26o con la horizontal (eje X). El valor de la rapidez será igual a la división entre la longitud recorrida y el tiempo empleado. Es decir, v = (2.0 + 1.0)Km / (0.40 + 0.10)h = 6.0Km/h Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una dirección.

Ejemplo: Supongamos que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El desplazamiento neto sería nulo (regresa al punto de partida), pero la longitud recorrida es igual a 6 Km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad media es nula y su rapidez media continúa siendo igual a 6.0 Km/h (longitud recorrida dividida por el tiempo total).

 Aceleración media (a m )     : →

Se define la aceleración media como el cambio en la velocidad instantánea, →  ∆v , dividido por el intervalo de tiempo, ∆t  : →

→

a m  = ∆v / ∆t  Su ecuación dimensional es LT-2, es decir, en el sistema M.K.S se mide en -2 m●s . La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio → de velocidad,  ∆v . Veamos algunos ejemplos que nos ilustren esta idea fundamental:

Ejemplo: Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante t   con → velocidad, v o , y en el instante t + ∆t , ocupa → la posición B con velocidad v f , tal como se ilustra en la figura 9. El cambio de la → velocidad,  ∆v , se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: →

→

→

→

→

v f + (-v  )   ∆v = v f  –  v o =     f  Esta operación está ilustrada en la misma → figura. En ella se observa que como,  ∆v , apunta hacia la derecha, la aceleración → media, a m , también se dirige así.

Figura 9 Ejemplo: Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante t   con → velocidad, v o , y en el instante t + ∆t , ocupa → la posición B con velocidad v f , tal como se ilustra en la figura 10. El cambio de la → velocidad,  ∆v , se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: →

→

→

→

→

 ∆v = v f  –  v o = v f + (-v  )      f 

Esta operación está ilustrada en la misma → figura. En ella se observa que como,  ∆v , apunta hacia la izquierda, la aceleración → media, a m , también se dirige así.

Figura 10 Ejemplo: Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la figura 11. En el instante t   ocupa la posición A → con velocidad, v o , y en el instante t + ∆t , ocupa → la posición B con velocidad v f . Por tanto, el → cambio de la velocidad,  ∆v , se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: →

→

→

→

→

v f + (-v  )   ∆v = v f  –  v o =     f 

Esta operación está ilustrada en la misma figura. → En ella se observa que como,  ∆v , apunta hacia → la derecha, la aceleración media, a m , también se dirige así.

Figura 11

Ejemplo: Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el instante t   se encuentra en la → posición A con velocidad, v o , y en el instante t + ∆t , ocupa la posición B → con velocidad, v f , tal como se ilustra en la figura 12. Por lo tanto, el cambio → de la velocidad,  ∆v , se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: →

→

→

→

→

 ∆v = v f  –  v o = v f + (-v  )      f  El resultado de esta operación está ilustrado en la figura 12. La aceleración apunta hacia donde → apunta el vector, ∆v .

Figura 12

Clases de aceleración: De la definición de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero siempre que hallan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede cambiar en magnitud , en dirección , o en ambas. Si la velocidad cambia en magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración → tangencial (a  )  t  ; si cambia en dirección, se dice que el cuerpo tiene aceleración centrípeta → normal (a c )  En el caso que cambie  . simultáneamente en magnitud y en dirección, la → aceleración resultante (a )  será la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta, por lo que la magnitud   de la aceleración resultante será igual a:

Figura 13

a = √ (ac)2 + (at)2