Unidad I Sistemas Numericos

Alejandro cardenas

MATEMÁTICAS DISCRETAS. Competencias específicas: Conocer y comprender los conceptos básicos de sistemas numéricos, lógica matemática, relaciones, algebra booleana, grafos y árboles para aplicarlos a modelos que resuelvan problemas de computación. UNIDAD I. SISTEMAS NUMÉRICOS. Competencia específica a desarrollar. Sistematizar la conversión entre sistemas numéricos posicionales, así como las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Sistemas numéricos. Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios.

Alejandro cardenas 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal).

Base de un sistema numérico. La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema. A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente usados que son: Sistemas numéricos posicionales en bases 2, 8,10 y 16.

SISTEMA DECIMAL.

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos, del 0 al 9 para representar una determinada cantidad. Los diez símbolos no se limitan a expresar solamente diez cantidades diferentes, ya que se utilizan varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la magnitud de la cantidad.

Base: 10

Símbolos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

Alejandro cardenas

SISTEMA BINARIO.

Es el sistema que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales, se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

SISTEMA OCTAL.

El sistema numérico octal utiliza ocho símbolos o dígitos para representar cantidades y cifras numéricas. Los dígitos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; la base de éste es ocho (8).

SISTEMA HEXADECIMAL.

El sistema numérico hexadecimal utiliza dieciséis dígitos y letras para representar cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es dieciséis (16).

Alejandro cardenas 1.2 Conversiones entre sistemas numéricos.

Decimal Binario

Octal

Hexadecimal

0

0000

0

0

1

0001

1

1

2

0010

2

2

3

0011

3

3

4

0100

4

4

5

0101

5

5

6

0110

6

6

7

0111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Alejandro cardenas Decimal a binario.

Alejandro cardenas Decimal a octal.

Se realiza del mismo modo que de decimal a binario, dividiendo la parte entera de forma sucesiva por la base B=8, y multiplicando la parte fraccionaria por la base.

Ejemplo: Expresar el número decimal 1036,3 510 en octal.

Alejandro cardenas

Alejandro cardenas Decimal a hexadecimal.

Procederemos del mismo modo que en la conversión decimal-binario, considerando B=16. Dividiremos la parte entera sucesivamente por la base, y la parte fraccionaria la multiplicaremos por la base.

Ejemplo:

Hállese el equivalente hexadecimal del número 4573,7910.

Alejandro cardenas

Alejandro cardenas Binario a decimal.

0.1010 = 1/21 + 0/22 + 1/23 + 0/24

Binario a octal.

Se realiza a la inversa, comenzando desde la coma decimal hacia la izquierda para la parte entera, rellenando con 0’s a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma decimal hacia la derecha para la parte fraccionaria, rellenando con 0’s a la derecha si fuera necesario.

Ejemplo: Convertir 11111101,1000102 a octal.

Alejandro cardenas Binario a hexadecimal.

Octal a decimal.

Otro metodo. Ejemplo: 32108 3 x 8 = 24 + 2 = 26 x 8 = 208 + 1 = 209 x 8 = 1672 10. 3 x 83 = 1536 2 x 82 = 128 1 x 81 = 8 0 x 80

1536 + 128 + 8 = 167210

Alejandro cardenas Octal a binario.

Para convertir un número expresado en base 8 a base 2, simplemente sustituimos cada una de las cifras que lo forman por sus tres cifras binarias equivalentes. Ejemplo: Convertir a Binario el número 375,4 28

Octal a hexadecimal.

No hay método directo pasar a otro sistema como binario y después hacer la conversión.

Alejandro cardenas Hexadecimal a decimal.

244E16 = 929410 2 x 16 = 32 + 4 = 36 x 16 = 576 + 4 = 580 x 16 = 9280 + D = 929410.

Hexadecimal a binario.

Basta con sustituir cada símbolo hexadecimal por su equivalente en binario, según se indica en la tabla siguiente:

Alejandro cardenas

Hexadecimal a octal.

No hay método directo pasar a otro sistema como binario y después hacer la conversión.

Alejandro cardenas 1.3 Operaciones básicas (Suma, Resta, Multiplicación, División).

OPERACIONES ARITMÉTICAS DE LOS DISTINTOS SISTEMAS.

Al igual que en el sistema decimal, también en otros sistemas de numeración, se pueden realizar operaciones aritméticas, tales como: suma, resta, multiplicación y división tomando como referencia la base del sistema dado.

OPERACIONES ARITMÉTICAS EN SISTEMA BINARIO.

SUMA BINARIA.

La tabla de adición siguiente nos muestra las 4 reglas básicas para sumar dígitos binarios: 0+0=0

Suma = 0 Acarreo = 0

0+1=1

Suma = 1 Acarreo = 0

1+0=1

Suma = 1 Acarreo = 0

1 + 1 = 10

Suma = 0 Acarreo = 1

1 + 1 + 1 = 11 Suma = 1 Acarreo = 1

Alejandro cardenas

RESTA BINARIA.

0-0=0 1-1=0 1-0=1 0 - 1 = 1 con acarreo negativo (préstamo) de 1

01 0 1 00 1 0 _______ 0 01 1

MULTIPLICACIÓN BINARIA.

0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

Alejandro cardenas DIVISIÓN BINARIA.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

Alejandro cardenas Operaciones aritméticas en sistema octal.

Tabla de la suma en base 8:

1

1

174068 630548 -------------------1025608

1

1 1

4613.5248 261.37

8

--------------------------5075.114

8

Alejandro cardenas Tabla de la multiplicación en base 8:

14 25 427 8 * 56 8 ----------

3212 2563 ------------

31042

Alejandro cardenas

Alejandro cardenas Operaciones aritméticas en sistema hexadecimal.

Tabla de la suma en base 16:

F3BC + 9DD0 _________ 1918C

Alejandro cardenas Tabla de la multiplicación en base 16:

Alejandro cardenas Resta en hexadecimal.

Técnica complemento C15.

Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo.

A4FC9 - DE8 —————— ¿?¿?¿?¿?

Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?

Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF - 00DE8 ————————— FF217

La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.

Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en

Alejandro cardenas sistema hexadecimal, mencionada anteriormente.

A4FC9 + FF217 ————————— 1A41E0

Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.

A41E0 +1 ————————— A41E1 La respuesta es A41E1.

Alejandro cardenas REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO.

Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar números positivos y negativos. Un número binario

con signo queda determinado por su magnitud (valor) y su signo

(positivo/negativo). El símbolo ―-― del sistema decimal no se puede representar en binario.

Debido a esto, existen 3 formatos de representación de números con signo: • Signo y magnitud: • Complemento a uno • Complemento a dos En todos ellos, el signo del número viene representado por un bit adicional, el ―Bit de signo‖, que se coloca en el extremo izquierdo del número binario con signo. Se utiliza el siguiente convenio: ―0‖: signo positivo ―1‖: signo negativo.

Representación signo y magnitud.

En el sistema de signo y magnitud, un número se compone de una magnitud y un símbolo que indica si la magnitud es positiva o negativa. Normalmente el bit del extremo izquierdo (MSB) como bit de signo, y los restantes representan el valor numérico del número en formato binario (magnitud). Con n bits se podrán representar números que van desde –(2 n–1 –1) hasta + (2

n–1

-1) y existen dos representaciones posibles del cero.

Esta representación presenta ciertos inconvenientes:

Alejandro cardenas • Pues para cualquier operación aritmética debemos comprobar primero el signo, para después sumar o restar en función del mismo. • El diseño de circuitos lógicos que realicen operaciones aritméticas con números binarios en signo-magnitud no es fácil. • Tenemos dos representaciones para el número 0:

Complemento a uno.

Como se dijo anteriormente, en notación complemento a 1 los números positivos se representan igual

que en signo y magnitud. Los números negativos se obtienen

cambiando todos los 0’s por 1’s y viceversa.

El rango de valores representables para un número de n bits va desde: –(2

n–1

–1) hasta +(2

n–1

–1)

Ejemplo: •010101012 = 8510 •101010102 = – 8510

Complemento a dos.

Los números positivos se expresan igual que en signo y magnitud y en complemento a uno. Los números negativos se obtienen aplicando el complemento a 1 y sumándole 1.

01010101

Numero

10101010 + Complemento a 1 1 10101011 Complemento a 2

Alejandro cardenas El rango de valores posibles representables para un número de n bits va desde: – (2 n) hasta + (2 n –1). Ejemplo: •010101012 = 8510 •101010112 = – 8510 De los tres sistemas explicados para representar números con signo se prefiere el de complemento a 2 puesto que la circuitería relacionada a las operaciones aritméticas se hace más sencilla.

En la tabla siguiente se muestran las diferentes representaciones para un número de 4 bits.

Alejandro cardenas OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2.

-

Ambos números son positivos:

00000111

7

+ 00000100 + 4

La suma es positiva y, por tanto, es un número binario real (no complementado).

____________ 00001011 11

-

El número positivo es mayor que el número negativo en valor absoluto:

00001111

15

+ 11111010

-6

_______________ 1 00001001

El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La suma es positiva y, por tanto es un número binario real (no complementado).

9

El número negativo es mayor que el número positivo en valor absoluto:

00010000

16

+ 11101000 + - 24 ____________ 11111000

-8

La suma es negativa y, por tanto, está en complemento a 2.

Alejandro cardenas 1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario.

Algoritmo de Booth.

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos. Algoritmo de Booth.

Puntos a recordar. 

Cuando se utiliza el algoritmo de Booth: o Usted necesitará el doble de bits en su producto como el que tiene en su original de dos operandos. o El bit más a la izquierda de sus operandos (tanto multiplicando y multiplicador) es un bit de signo, y no puede ser utilizado como parte del valor.

Para empezar 

Decida qué operando será el multiplicador y cual será el multiplicando.



Convertir ambos operandos en complemento a dos la representación utilizando bits X. o

X debe ser al menos un poco más de lo necesario para la representación binaria del operando numéricamente más grande.



Comience con un producto que consiste en el multiplicador con una X adicional cero bits.

Ejemplo. 

Un ejemplo de multiplicación de -5 x 2.



El operando numéricamente mayor (5) se requieren 3 bits para representar en binario (101). Así que debemos utilizar al menos 4 bits para representar los operandos, para permitir el bit de signo.



Vamos a usar 5-bit complemento a 2:

Alejandro cardenas o

-5 es 11011 (multiplicador).

o

2 es 00010 (multiplicando).

A partir de productos. 

El multiplicador es:

11011 

Añadir 5 ceros a la izquierda para el multiplicador para obtener el producto de principio:

00000 11011

Paso 1 para cada paso. 

Utilice el LSB (bit menos significativo) y el LSB anterior para determinar la acción de la aritmética. o



Si es el primer paso, utilice 0 como el LSB anterior.

Aritmética de las acciones posibles: o

00 ninguna operación aritmética.

o

01añadir multiplicando a la mitad izquierda del producto.

o

10 restar multiplicando de la mitad izquierda del producto.

o

11 ninguna operación aritmética.

Paso 2 para cada paso. 

Realizar un cambio aritmético a la derecha (ASR) en todo el producto.



NOTA: Para operandos X-bit, algoritmo de Booth requiere X pasa.

Ejemplo. 

Vamos a continuar con nuestro ejemplo de la multiplicación de -5 x 2



Recuerde: o o



-5 es 11011 (multiplicador). 2 es 00010 (multiplicando).

Y hemos añadido 5 ceros a la izquierda para el multiplicador para obtener el producto de principio: 00000 11011

Ejemplo continuación. 

Producto inicial y de las anteriores LSB.

Alejandro cardenas 00000 110110 (Nota: Ya que este es el primer paso, se utiliza 0 para el LSB anterior). 

Paso 1, Paso 1: Examine los últimos 2 bits.

00000 110110 Los dos últimos son de 10 bits, por lo que necesitamos: restar el multiplicando de la mitad izquierda del producto.

Ejemplo: Paso 1 continuación. 

Paso 1, Paso 1: Aritmética de acción.

(1) 00000

(a la izquierda de la mitad de los productos).

+ 11110

(Multiplicando).

11 110 Numero -2 en complemento a 2. 

Lugar resultado en la mitad izquierda del producto.

1111011011 0

Ejemplo: Paso 1 continuación. 

Paso 1, Paso 2: ASR(desplazamiento a la derecha aritmética). o

Antes de ASR 11110 11011 0

o

Después de ASR

11111 01101 1 (a la izquierda-la mayoría fue de 1 bit, de modo que un 1 se desplazó en a la izquierda) 

Paso 1 está completo.

Ejemplo: Paso 2. 

De productos actuales y anteriores LSB.

11111 011011 

Paso 2, Paso 1: Examine los últimos 2 bits. 11111 011011

Los dos últimos son de 11 bits, por lo que NO es necesario realizar una acción aritmética. simplemente vaya al paso 2.

Alejandro cardenas Ejemplo: Paso 2 continuación. 

Paso 2, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmética). o

Antes de ASR 11111 01101 1

o

Después de ASR 11111 10110 1

(a la izquierda-la mayoría fue de 1 bit, de modo que un 1 se desplazó en a la izquierda) 

Paso 2 está completo.

Ejemplo: Paso 3. 

De productos actuales y anteriores LSB 11111 101101



Paso 3, Paso 1: Examine los últimos 2 bits 11111 101101

Los dos últimos bits son 01 por lo que necesitamos: Añadir el multiplicando a la mitad izquierda del producto.

Ejemplo: Paso 3 continuación. 

Paso 3, Paso 1: Aritmética de acción.

(1) 11111

(a la izquierda de la mitad de los productos).

+ 00 010

(multiplicando).

00 001 (Resultado de la suma). 

Lugar resultado en la mitad izquierda del producto.

0000110110 1

Ejemplo: Paso 3 continuación. 

Paso 3, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmética). o

Antes de ASR

00001 10110 1 o

Después de ASR

00000 11011 0 (a la izquierda-la mayoría poco fue de 0, por lo que se desplazó a 0 en el de la izquierda).

Alejandro cardenas 

Paso 3 está completa.

Ejemplo: Paso 4 

De productos actuales y anteriores LSB.

00000 110110 

Paso 4, Paso 1: Examine los últimos 2 bits. 00000 110110

Los dos últimos son de10 bits, por lo que necesitamos: restar el multiplicando de la mitad izquierda del producto

Ejemplo: Paso 4 continuación. 

Paso 4, Paso 1: Aritmética de acción

(1) 00000

(a la izquierda de la mitad de los productos).

+ 11110

(Multiplicando).

11 110 (Numero -2 en complemento a 2). 

Lugar resultado en la mitad izquierda del producto.

1111011011 0

Ejemplo: Paso 4 continuación. 

Paso 4, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmética). o

Antes de ASR

11110 11011 0 o

Después de ASR

11111 01101 1 (a la izquierda-la mayoría fue de 1 bit, de modo que un 1 se desplazó en a la izquierda) 

Paso 4 es completo.

Ejemplo: Pase 5. 

De productos actuales y anteriores LSB. 11111 011011



Pase 5, Paso 1: Examine los últimos 2 bits. 11111 011011

Alejandro cardenas Los dos últimos son de 11 bits, por lo que NO es necesario realizar una acción aritmética simplemente vaya al paso 2. Ejemplo: Pase 5 continuó. 

Pase 5, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmética). o

Antes de ASR

11111 01101 1 o

Después de ASR

11111 10110 1 (a la izquierda-la mayoría fue de 1 bit, de modo que un 1 se desplazó en a la izquierda). 

Paso 5 es completo.

Producto Final.  

Hemos completado 5 pases de la 5- operandos, así que hemos terminado. La eliminación de la LSB anterior, el producto final resultante es:

11111 10110

Verificación. 

Para confirmar que tenemos la respuesta correcta, convertir el complemento a 2 producto final de nuevo a decimal.



Producto final: 11111 10110



Decimal Valor:-10

que es el producto correcto de: -5 X 2

Alejandro cardenas 1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación.

El sistema binario se utiliza a nivel de hardware, en ese nivel todo se reduce a pulsos eléctricos en los cuales solo se entiende "encendido" o "apagado" es decir unos y ceros a estos impulsos se les llama bits.

El octal se usa al momento de "empaquetar" los bits en grupos de 8 mejor conocidos como octetos o bytes y son útiles para saber el ancho de banda de algún bus o periférico, es decir cuanta información puede mandarse a través de tal dispositivo en un solo ciclo de reloj.

El hexadecimal se utiliza para "indexar" las direcciones de memoria ya que al tener mas dígitos es un sistema de numeración que permite representar números mas grandes con menos información.

El decimal solo se usa al momento de comunicarse con el usuario.