Unidad I Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes (1).pdf

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE PROGRAMA WORKING ADULT ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ciclo 2016 – 5 14 setiembre – 28 octubre

PROGRAMA WORKING ADULT SEDE LIMA CENTRO

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón [email protected]

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE PROGRAMA WORKING ADULT ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ciclo 2016 – 5 14 setiembre – 28 octubre

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Contenido 

Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)   

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Unidad II: Programación Entera y Programación Dinámica Determinística. (2)  

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes. Tema 4: Introducción a la Programación Entera PE, tipos de variables, y restricciones. Tema 5: Introducción a la Programación Dinámica Determinística (PDD).

Unidad III: Programación Dinámica Probabilística y Procesos Estocásticos. (3)  

Tema 6: Aplicación de la Programación Dinámica Probabilística PDP en situaciones problemáticas empresariales. Tema 7: Introducción a los Procesos Estocásticos..

Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Contenido: •

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Primera sesión:  Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL).  Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Segunda sesión:  Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes.

Logro de Aprendizaje: Al término de la unidad, el estudiante recuerda la formulación y resolución de problemas de Programación Lineal y de problemas de transporte y algunas de sus variantes, utilizando el Excel Solver, sustentando técnicamente sus respuestas.

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción

¿La PL, permite resolver casos reales conocidos de Administración e Ingeniería?

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Un estudio de IO se basa en la labor de equipo, donde los analistas de IO y el cliente trabajan hombro con hombro. Los analistas, con sus conocimientos de modelado, deben complementarse con la experiencia y la cooperación del cliente para quien hacen el estudio. Como herramienta de toma de decisiones, la IO es una ciencia y un arte. Es una ciencia por las técnicas matemáticas que presenta, y es un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático depende mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de IO. Las fases principales de la implementación de la IO en la práctica comprenden: 1. La definición del problema. De las cinco fases, sólo la número tres de la solución del modelo es la 2. La construcción del modelo. que está mejor definida y es más fácil de implementar en un estudio de 3. La solución del modelo. IO, porque maneja principalmente modelos matemáticos precisos. La 4. La validación del modelo. implementación de las demás fases es más un arte que una teoría. 5. La implementación de la solución. La mayor parte del curso está dedicado a los métodos matemáticos de IO. Una manera de resumir las fases usuales de un estudio de IO es la siguiente: 1. Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes. 2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema. 3. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución para el problema a partir del modelo. 4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades. 5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración. 6. Implementación. MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Fase 1: Definición del problema Fase 2: Construcción del modelo Fase 3: Solución del modelo

Fase 4: Validación del modelo Fase 5: Implementación de la solución Problema de IO resuelto

La definición del problema implica definir el alcance del problema que se investiga. Es una función que se debe hacer entre todo el equipo de IO. Se identificará tres elementos principales del problema de decisión: 1) Descripción de las alternativas de decisión. 2) Determinación del objetivo del estudio. 3) Especificación de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Fase 1: Definición del problema Fase 2: Construcción del modelo Fase 3: Solución del modelo Fase 4: Validación del modelo Fase 5: Implementación de la solución Problema de IO resuelto

La construcción del modelo implica traducir la definición del problema a relaciones matemáticas. Si el modelo que resulte se ajusta a uno de los modelos matemáticos, como la programación lineal, se puede llegar a una solución empleando los algoritmos disponibles. En caso las relaciones matemáticas sean demasiado complejas, se opta por simplificar el modelo y usar un método heurístico, o se recurre al uso de una simulación, si es aproximada.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Fase 1: Definición del problema Fase 2: Construcción del modelo Fase 3: Solución del modelo Fase 4: Validación del modelo Fase 5: Implementación de la solución

Problema de IO resuelto

La solución del modelo, supone el uso de algoritmos bien definidos de optimización.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Fase 1: Definición del problema Fase 2: Construcción del modelo Fase 3: Solución del modelo

Fase 4: Validación del modelo Fase 5: Implementación de la solución Problema de IO resuelto

La validación del modelo comprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere que haga, esto es, ¿predice el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se estudia? Es decir:  ¿Tiene sentido la solución?  ¿Se pueden aceptar intuitivamente los resultados? Desde el lado formal, un método frecuente para comprobar la validez de un modelo es comparar su resultado con datos históricos.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones Fase 1: Definición del problema Fase 2: Construcción del modelo Fase 3: Solución del modelo Fase 4: Validación del modelo Fase 5: Implementación de la solución Problema de IO resuelto

La implementación de la solución de un modelo validado implica la traducción de los resultados a instrucciones de operación, emitidas en forma comprensible para las personas que administrarán al sistema recomendado. La carga de esta tarea la lleva principalmente el equipo de IO.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplo Prototipo Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. Solución El modelo de PL, como en cualquier modelo de IO, tiene tres componentes básicos. 1. Las variables de decisión que se trata de determinar. 2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar. 3. Las restricciones que se deben satisfacer.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplo Prototipo Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables Solución

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplo Prototipo Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables Solución Definir las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue: Uso de una materia prima para ambas pinturas ≤ Disponibilidad máxima de materia prima Según los datos del problema: Uso de la materia prima M1, por día: 6 x1 + 4 x2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día: 1 x1 + 2 x2 toneladas

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplo Prototipo Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) Modelo de Programación Lineal con Dos Variables Solución

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplo Prototipo Ejercicios: Ver Ejemplo 1 (La compañía Reddy Mikks) 1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina cada una de las siguientes restricciones y exprésela con una constante del lado derecho: a) La demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exteriores en al menos 1 tonelada. b) El uso diario de la materia prima M2 es 6 toneladas cuando mucho, y 3 toneladas cuando menos. c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores. d) La cantidad mínima que se debe producir de pinturas para interiores y para exteriores es de 3 toneladas. e) La proporción de pintura para interiores entre la producción total de pinturas para interiores y para exteriores no debe ser mayor que 0.5. 2. Determine la mejor solución factible entre las siguientes soluciones (factibles y no factibles) del modelo de Reddy Mikks: a) x1 = 1, x2 = 4. b) x1 = 2, x2 = 2. c) x1 = 3, x2 = 1.5. d) x1 = 2, x2 = 1. e) x1 = 2, x2 = - 1. 3. Para la solución factible x1 = 2, x2 = 2, del modelo de Reddy Mikks, determine a) La cantidad no usada de la materia prima M1. b) La cantidad no usada de la materia prima M2. 4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un mayorista, con un descuento por volumen. La utilidad por tonelada es $5000 si el mayorista no compra más de 2 toneladas diarias, y de $4500 en los demás casos. ¿Se puede traducir esta situación a un modelo de programación lineal? MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Introducción

Repasemos la resolución de los modelos matemáticos de PL, pero… ¿Cómo interpretar estas soluciones numéricas?

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Modelo de programación lineal con dos variables Un Problema de Programación Lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:  Se intenta maximizar (minimizar) una función lineal de las variables de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar se llama función objetivo.  Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación lineal o una desigualdad lineal.  Se relaciona una restricción de signo con cada variable. Para cualquier variable xi, la restricción de signo especifica que xi no debe ser negativa (𝑥𝑖 ≥ 0) o no tener restricciones de signo. La Región Factible para un PL, es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las limitaciones y las restricciones de signo de la PL. Para un problema de maximización, una Solución Óptima para un PL, es un punto con el valor de la función objetivo más grande en la región fatible. De igual modo, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto con el valor de la función objetivo más pequeño en la región factible.

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 1 La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Formule un modelo de programación lineal. Solución

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 2 La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B y los recursos Q, R y S que se requieren para producirlos. Todos los supuestos de programación lineal se cumplen. a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva el modelo. Solución

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 3 Resolver el siguiente modelo de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 500x1 + 300x2 Sujeto a 15x1 + 5x2 ≤ 300 10x1 + 6x2 ≤ 240 8x1 + 12x2 ≤ 450 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 4 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 15x1 + 20x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≥ 10 2x1 - 3x2 ≤ 6 x1 + x2 ≥ 6 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 5 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 3x1 + 2x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≤ 12 2x1 + 3x2 = 12 2x1 + x2 ≥ 8 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 1: Introducción a la Programación Lineal (PL) Ejemplos adicionales Ejemplo 6 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 40x1 + 50x2 Sujeto a 2x1 + 3x2 ≥ 30 x1 + x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≥ 20 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Modelo de programación lineal con dos variables

¿Cómo resolver los modelos matemáticos de PL?

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Introducción Excel, es una herramienta conocida para analizar y resolver problemas pequeños de programación lineal. Es sencillo introducir en una hoja de cálculo las características principales de un modelo de programación lineal, entre ellas, todos sus parámetros. Además, el Excel Solver puede aplicar el método símplex para encontrar una solución óptima para el modelo.

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos Ejemplo 1 Se dispone de 210 000 euros para invertir en bolsa. Se recomienda dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Se decide invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, se tiene que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual? Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos Ejemplo 2 Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento 9 horas diarias, mientras que la de pintura solo 8 horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio. Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos Ejemplo 3 Un quiosco vende bolígrafos a S/. 0.20 y cuadernos a S/. 0.30. Si llevo S/. 1.20 y pretendo comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será el número máximo de bolígrafos y cuadernos que puedo comprar? Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos Ejemplo 4 Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos Ejemplo 5 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? Oferta A (x1) Oferta B (x2) Camisas 1 3 Pantalones 1 1

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200 100

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 1 La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Formule un modelo de programación lineal. Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 2 La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B y los recursos Q, R y S que se requieren para producirlos. Todos los supuestos de programación lineal se cumplen. a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva el modelo. Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 3 Resolver el siguiente modelo de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 500x1 + 300x2 Sujeto a 15x1 + 5x2 ≤ 300 10x1 + 6x2 ≤ 240 8x1 + 12x2 ≤ 450 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 4 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 15x1 + 20x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≥ 10 2x1 - 3x2 ≤ 6 x1 + x2 ≥ 6 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

Modelo PL (Modelo Matemático) Minimizar z = 15x1 + 20x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≥ 10 2x1 - 3x2 ≤ 6 x1 + x2 ≥ 6 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

Solución

Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 5 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 3x1 + 2x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≤ 12 2x1 + 3x2 = 12 2x1 + x2 ≥ 8 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Modelo PL (Modelo Matemático) Minimizar z = 3x1 + 2x2 Sujeto a x1 + 2x2 ≤ 12 2x1 + 3x2 = 12 2x1 + x2 ≥ 8 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 2: Solución de Modelos PL. Solución con SOLVER y otros. Ejemplos adicionales Ejemplo 6 Resolver los siguientes modelos de PL: Modelo PL (Modelo Matemático) Maximizar z = 40x1 + 50x2 Sujeto a 2x1 + 3x2 ≥ 30 x1 + x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≥ 20 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Modelo PL (Modelo Matemático) Minimizar z = 40x1 + 50x2 Sujeto a 2x1 + 3x2 ≥ 30 x1 + x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≥ 20 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

¿La PL, permite resolver problemas de transporte, asignación de recursos, logística, entre otros?

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte El modelo de transporte es una clase especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un artículo desde sus fuentes (es decir, fábricas) hasta sus destinos (es decir, bodegas). El objetivo es determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. En el modelo se supone que el costo de transporte es proporcional a la cantidad de unidades transportadas en determinada ruta. En general, se puede ampliar el modelo de transporte a otras áreas de operación, entre otras el control de inventarios, programación de empleos y asignación de personal.

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 1 Una empresa agroindustrial tiene tres plantas: en Trujillo, Chiclayo y Piura; y dos centros principales de distribución en Arequipa y Lima. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre serán 1000, 1500 y 1200 toneladas de ají páprika. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son 2300 y 1400 toneladas de ají páprika. El kilometraje entre las fábricas y los centros de distribución se ve en la tabla siguiente. Arequipa Trujillo 1000 Chiclayo 1250 Piura 1275

Lima 2690 1350 850

La empresa transportista cobra 8 centavos de dólar por kilometro y por tonelada de ají páprika. El costo de transporte por tonelada de ají páprika, en las distintas rutas y redondeado hasta el $ más próximo, se calcula como se ve en la siguiente tabla: Arequipa (1) Lima (2) Trujillo (1) 80 215 Chiclayo (2) 100 108 Piura (3) 102 68 MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 1

Solución El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

Planta

Ejemplo 2 Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres centrales eléctricas con capacidades de 25, 40 y 30 megawatts (MW). Las demandas máximas en las tres ciudades se estiman en 30, 35 y 25 MW. El precio por MW en las tres ciudades se muestra en la tabla siguiente: Durante el mes de agosto hay un Ciudad aumento de 20% en la demanda 1 2 3 de cada ciudad, que se puede 1 600 700 400 satisfacer comprando electricidad 2 320 300 350 a otra red, a una tasa elevada de 3 500 480 450 $1000 por MW y con capacidad de 13 MW. Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3. Se desea determinar el plan más económico para distribuir y comprar la energía adicional. a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el problema con SOLVER y determine un plan óptimo de distribución para la empresa eléctrica. c) Determine el costo de la electricidad adicional comprada por cada una de las tres ciudades.

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El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

Solución

Ejemplo 2 Durante el mes de agosto hay un aumento de 20% en la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red, a una tasa elevada de $1000 por MW y con capacidad de 13 MW. Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3.

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 2 Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

Refinería

Ejemplo 3 Hay tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, que abastecen a tres áreas de distribución cuyas demandas diarias son 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta por una red de oleoductos a las tres áreas de distribución. El costo de transporte es 10 centavos por 1000 galones por kilómetro de oleoducto. En la tabla de abajo se ven las distancias en kilómetros entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada con el área de distribución 3.

1 2 3

Áreas de distribución 1 2 3 120 180 300 100 80 200 250 120

a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el problema con SOLVER para determinar el programa óptimo de transporte en la red.

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El modelo de transporte tiene como objetivo determinar el programa de transporte que minimice el costo total del transporte y que al mismo tiempo satisfaga los límites de la oferta y la demanda. Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

6 mm gl

Ejemplo 3

Refinería 1

Solución El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

5 mm gl Refinería 2

8 mm gl Refinería 3

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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4 mm gl A. Distribución 1

8 mm gl A. Distribución 2

7 mm gl A. Distribución 3

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 3

Solución

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 4 (Control de producción e inventarios) Boralis fabrica mochilas para excursionistas exigentes. La demanda de su producto se presenta desde marzo hasta junio de cada año. Boralis estima que la demanda durante los cuatro meses es 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La empresa emplea mano de obra de tiempo parcial para fabricar las mochilas y, en consecuencia, su capacidad de producción varía cada mes. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Como no coinciden la capacidad de producción y la demanda en los distintos meses, la demanda de determinado mes se puede satisfacer de uno de tres modos: 1. La producción del mes en curso. 2. La producción sobrante en meses anteriores. 3. La producción sobrante en meses posteriores. En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses.

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La aplicación del modelo de transporte no se limita a transportar artículos entre fuentes y destinos geográficos. Se aplican también a las áreas de control de producción e inventarios, y mantenimiento de equipo. El caso se puede representar como modelo de transporte reconociendo los siguientes paralelismos entre los elementos del problema de producción e inventarios, y los del modelo de transporte. Transporte Fuente i Destino j

Producción Período de producción i Período de demanda j Capacidad de producción del Cantidad suministrada en la fuente i período i Demanda en el destino j Demanda en el período j Costo unitario (producción + Costo unitario de transporte desde retención + penalización) en el la fuente i hasta e destino j período i para el período j

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Solución

Modelo de Transporte Ejemplo 4 (Control de producción e inventarios) Boralis fabrica mochilas para excursionistas exigentes. La demanda de su producto se presenta desde marzo hasta junio de cada año. Boralis estima que la demanda durante los cuatro meses es 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La empresa emplea mano de obra de tiempo parcial para fabricar las mochilas y, en consecuencia, su capacidad de producción varía cada mes. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Como no coinciden la capacidad de producción y la demanda en los distintos meses, la demanda de determinado mes se puede satisfacer de uno de tres modos: 1. La producción del mes en curso. 2. La producción sobrante en meses anteriores. 3. La producción sobrante en meses posteriores. En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses.

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50

100 1 Marzo

1 Marzo

180

200 2 Abril

2 Abril

180

280 3 Mayo

3 Mayo

300

270 4 Junio

4 Junio

𝑥𝑖𝑗 𝑖 = 1,2,3,4; 𝑗 = 1,2,3,4 son el número de mochilas producidas desde el mes de producción i al mes de demanda j a un mínimo costo.

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes 50

Modelo de Transporte Ejemplo 4

100 1 Marzo

1 Marzo

Solución El costo de transporte por unidad, desde el periodo i hasta el periodo j se calcula como sigue: Costo de producción en 𝑖, 𝑖 = 𝑗 Costo de producción en 𝑖 + Costo de retención de 𝑖 a 𝑗, 𝑖 < 𝑗 𝑐𝑖𝑗 = Costo de producción en 𝑖 + Costo de penalización de 𝑖 a 𝑗, 𝑖 > 𝑗 En el primer caso, el costo de producción es $40.00 por mochila. En el segundo se incurre en un costo adicional de retención de $0.50 por mochila por día. En el tercer caso se incurre en una penalización adicional de $2.00 por mochila y por mes. Boralis desea determinar el programa óptimo de producción en los cuatro meses.

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Demanda

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Capacidad 40 40.5 41 41.5 50 42 40 40.5 41 180 44 42 40 40.5 280 46 44 42 40 270 100 200 180 300

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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180

200 2 Abril

2 Abril

180

280 3 Mayo

3 Mayo

300

270 4 Junio

4 Junio

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes 50

Modelo de Transporte Ejemplo 4

100 1 Marzo

1 Marzo

Solución 1 El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

180

200 2 Abril

2 Abril

180

280 3 Mayo

3 Mayo

300

270 4 Junio Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Demanda MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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4 Junio

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Capacidad 40 40.5 41 41.5 50 42 40 40.5 41 180 44 42 40 40.5 280 46 44 42 40 270 100 200 180 300

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 4

Solución 1

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes 50

Modelo de Transporte Ejemplo 4

100 1 Marzo

1 Marzo

Solución 2 El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

180

200 2 Abril

2 Abril

180

280 3 Mayo

3 Mayo

300

270 4 Junio Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Demanda MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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4 Junio

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Capacidad 40 40.5 41 41.5 50 42 40 40.5 41 180 44 42 40 40.5 280 46 44 42 40 270 100 200 180 300

Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 4

Solución 2

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes 50

Modelo de Transporte Ejemplo 4

100 1 Marzo

1 Marzo

Solución 3 El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

180

200 2 Abril

2 Abril

180

280 3 Mayo

3 Mayo

300

270 4 Junio Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Demanda MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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4 Junio

Marzo (1) Abril (2) Mayo (3) Junio (4) Capacidad 40 40.5 41 41.5 50 42 40 40.5 41 180 44 42 40 40.5 280 46 44 42 40 270 100 200 180 300

Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 4

Solución 3

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte

Solución

Ejemplo 5 Supongamos que una empresa productora de barras de pan tiene dos almacenes A1 y A2 desde los cuales debe enviar pan a tres panaderías P1, P2 y P3. Las ofertas, las demandas y los costes de envío se dan en el siguiente grafo:

El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

2000

8 6

A1

1500 P1

10 10 2500

2000 4

A2

P2

9 1000 P3

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 5 Solución

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Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 6 Una empresa produce un único artículo en tres plantas, A1, A2 y A3. La capacidad de producción mensual de la empresa está limitada a 1500 unidades mensuales en cada una de las plantas. La empresa tiene cuatro clientes mayoristas cuyas demandas mensuales son 1000, 1200, 1500 y 1000 unidades respectivamente. El beneficio unitario que le proporciona su producto, considerados los costos de producción y el precio de venta, es de 110 unidades. Los costos de envío a los 4 clientes mayoristas que la empresa tiene vienen dados por la siguiente tabla: 1 2 3 4 A1 30 10 25 20 A2 15 25 30 10 A3 20 30 15 20

El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de los meses para obtener el máximo beneficio. Los valores 𝑏𝑖𝑗 = 𝑝 − 𝑐𝑖𝑗 , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 de la siguiente tabla son los beneficios de producir una unidad en la planta 𝐴𝑖 y enviarlo al cliente j para su venta.

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1 2 3 4 A1 80 100 85 90 A2 95 85 80 100 A3 90 80 95 90 Demanda 1000 1200 1500 1000

Oferta 1500 1500 1500

Solución

𝑥𝑖𝑗 𝑖 = 1,2,3; 𝑗 = 1,2,3,4 son el número de artículos producidos en la planta de producción 𝐴𝑖 y enviado al cliente j a un mínimo costo.

Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 6 Solución El objetivo de la empresa es organizar la producción en cada uno de los meses para obtener el máximo beneficio.

1 2 3 4 A1 80 100 85 90 A2 95 85 80 100 A3 90 80 95 90 Demanda 1000 1200 1500 1000

Oferta 1500 1500 1500

El modelo de programación lineal para el problema es el siguiente:

4 MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 6 Solución

MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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Unidad I: Introducción a la Programación Lineal y Casos Especiales de Transporte y sus variantes. (2)

Tema 3: Modelo de Transporte y sus variantes Modelo de Transporte Ejemplo 6 Solución

4 MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón

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