Unidad Didactica Matematica
October 2, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD RSIDAD CENTRAL CENTRAL DEL ECUADOR UNIVE FACULTAD FACULTA D DE CIENCIAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA UNIDAD UNI DAD DIDACTI DIDACTICA CA MATEMÁTICA REDISEÑO
Eje de formación: BASICA Nivel: AP (1), CA (1) y AE (1) Autor: ING FLAVIO PARRA T
Peri Pe riod odo o académico : 20 2021 21 – 2021
Tabla de contenido
UNIDAD 1: Funciones y gráficas .................................................................................................... ................................................... ................................................. 4
1.1 Definición .............................................................................................................................................. 4 1.1.1 Dominio de una función. .................................................................................................................. 6 1.1.2 Rango de una función. ...................................................................................................................... 6 1.1.3 Tipo de funciones .............................................................................................................................. 6 1.2 Operaciones con funciones ............................................................................................................... 11 1.2.1 Gráficas en coordenadas rectangulares......................................................................................... 12 1.3 Función Lineal. La Recta ..................................................................................................................... 20 1.3.1 Pendiente de una recta ................................................................................................................... 21 1.3.2 Formas de ecuación de la recta. ..................................................................................................... 22 1.3.3 Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................................ 23 1.3.4 Funciones lineales ........................................................................................................................... 25 1.3.5 Aplicaciones de funciones lineales ................................................................................................. 25 1.3.6 Análisis de oferta y demanda ......................................................................................................... 26 1.3.7 Excedente de consumidores y productores ............... ....................... ............... ............... ............... ............... ............... .............. ............... ............... .......32 1.3.8 Producción P roducción y puntos de equilibrio (diagrama de e empate mpate o cobertura) ............. ..................... ............... ............... ........... ... 34 1.3.9 Aplicaciones-Interés Simple ............................................................................................................ 36 1.4 Funci Funciones ones cuadráticas ........................................................... ............................. ............................................................. ............................................................ ............................. 40 1.4.1 La parábola. ..................................................................................................................................... 41 1.4.2 Aplicaciones de funciones cuadráticas .......................................................................................... 42 1.5 Función exponencial .......................................................................................................................... 44 1.5.1 Aplicaciones-Interés compuesto .................................................................................................... 47 1.5.3 Población futura. ............................................................................................................................. 51 1.5.4 Descuento compuesto .................................................................................................................... 52 1.5.5 Función exponencial de base e (2, 71828) .................................................................................... 54 1.6 Función logarítmica ............................................................................................................................ 57 1.6.1 Aplicaciones de función logarítmica .............................................................................................. 61
UNIDAD II: Derivada y sus aplicaciones ...................................................................................... 63
2.1 Incrementos y tasas ........................................................................................................................... 63 2.1.1 Límites. Límite s. ............................................................. .............................. .............................................................. ............................................................ ................................................. .................... 66 2.1.2 Continuidad aplicada a las desigualdades ..................................................................................... 72 2.1.3 La derivada............. deriv ada............................................ ............................................................. ............................................................ ............................................................ .............................. 74 2.2 Reglas de derivación. ......................................................................................................................... 77 2.2.1 La derivada como una razón de cambio ........................................................................................ 82 2.2.2 Costo Marginal ................................................................................................................................ 85 2.3 Regla del producto y del cociente. .................................................................................................... 89 2.4 Regla de la cadena y la potencia........ poten cia...................................... ............................................................ ............................................................ ................................... ..... 92 2.4.1 Producto de ingreso marginal. ....................................................................................................... 96
2
2.4.2 Propensión marginal al consumo y al ahorro ................................................................................ 97
UNIDAD III: DERIVACIÓN Y TRAZADO DE CURVAS ................................................................... 100
3.1 Deriva Derivadas das de func funciones iones logarítmicas. logarítmica s. .............................. ............................................................. ............................................................. ................................ ..100 3.2 Deriva Derivadas das de func funciones iones exponenciales. exponenci ales. ............................... .............................................................. .......................................................... ........................... 104 3.3 Derivadas de orden superior. .......................................................................................................... 106 3.4 Diferenciación implícita. .................................................................................................................. 106 3.5 Diferenciación logarítmica. .............................................................................................................. 108 3.6 Elasticidad de la demanda ............................................................................................................... 110 3.7 Aplicación de máximos y mínimos. Trazado de curvas ............... ...................... ............... ............... ............... ............... ............... .............. ......113 3.7.2 Máximos y mínimos relativos ....................................................................................................... 114 3.7.3 Concavidad y puntos de inflexión. ............................................................................................... 115 3.8 Aplicación de máximos y mínimos. ................................................................................................. 117
IV: INTEGRACIÓN ............................................................................................................... ....................................................... ................................................................ ........ 127
4.2 Integral indefinida. ........................................................................................................................... 130 4.2.1 Reglas de integr integración ación ........................... ......................................................... ............................................................. .......................................................... ........................... 131 4.2.2 Integración Integr ación con condiciones condi ciones iniciales iniciale s .......................................................... ........................... ............................................................. ................................ ..133 4.2.3 Integración Integr ación por el métod método o de sustitución ...................................................... ........................ .......................................................... ............................ 134 4.2.4 Integración Integr ación con divis división ión previa ........................... .......................................................... ............................................................. .......................................... ............ 136 4.3 La integral defin definida ida y el problema proble ma del área .............................................................. ............................... ..................................................... ...................... 137 4.3.1 Teorema Teorem a fundamental fundam ental del cálculo cálcu lo integral integr al ......................................................... ........................... ..................................................... ....................... 138
4.3.2 Cálculo de áreas ............................................................................................................................ 140 4.4 Excedente de consumidores y de productores ............................................................................ 145 4.4 Integración por partes. .................................................................................................................. 147 ............................... ............................................... .................. 149 4.5 Integración por medio de fracciones parciales .............................................................. Bibliografía .............................................................................................................................................. 153 Netgrafía ................................................................................................................................................. 153
3
UNIDAD 1: Funciones y gráficas
En muchas ocasiones de nuestra vida diaria escuchamos este término está en función de; de; por ejemplo: ejemplo: Se dice que eell interés a ppagar agar ppor or un préstamo (C) está en en función función de dell tiempo (t), que una persona necesita el capital y a una tasa de interés definida (i). Suponga que una persona realiza un préstamo de $10.000 a una tasa de interés del 10% anual. Determinar el interés a pagar a 1, 2, 3, 4 años.
=. .
“Interés simple” Tasa de
Tiempo
Interés
(años)
10000
0,1
1
1.000,00
10000
0,1
2
2.000,00
10000
0,1
3
3.000,00
10000
0,1
4
4.000,00
Capital
Interés
Se puede apreciar que el valor del interés ganado está en relación (función) del tiempo.
=
1.1 Definición Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente entrada exactamente un número de salida. salida. Al conjunto de números de entrada (x ( x) para los cuales se aplica la regla se
4
llama el dominio de dominio de la función. El conjunto de todos los números de salida (y ( y) se llama rango. rango. La variable (x (x) que representa a los números de entrada se llama variable independiente independiente y la variable (y (y) que representa a los números de salida se denomina variable dependiente;; en otras palabras el valor de (y) depende del valor que tome la variable (x). dependiente
Valores funcionales. A los valores que toma la variable x se denominan valores funcionales “valores con los que funciona la función”
Ejemplo:: Para Ejemplo
= =
. Determine los valores funcionales:
(a) g(0) ; (b) g(2) ; (c) g(-3) ; (d) g(a) ; (e) g(2x-1) a) b) c) d) e)
g0 =0 20 3 = 3 ; 0,3 gg33a2 =a =2 =3 22a223=a 333=3=18 3 2a3; 3,2,31 8 22x1 g4x2x1 2x1 =2x1 2x1 3 4x14x23 = 4x 8x6
=
Tipo y dominio de funciones En la Administración y Economía existen cierto tipo de funciones que son utilizadas para la modelación de aplicaciones prácticas, donde para realizar su estudio previamente se debe conocer el dominio de las funciones.
5
1.1.1 Dominio de una función. Son todos los valores que puede tomar x para que exista la función
=
1.1.2 Rango de una función. Son los valores que toma la l a variable dependiente y. 1.1.3 Tipo de funciones Función polinomial.
Una función polinomial es la función donde la variable esta elevada a distintos exponentes siempre positivos. f unción: Ejemplo: Determinar el dominio de la función:
= =
En este tipo tenemos la función lineal, cuadráticas; las cuales tendrán un estudio minucioso en las unidades posteriores. Los valores que puede tomar x es cualquier número real, porque siempre va existir como resultado un número real.
=
Función racional.
6
Es una función que tiene una función polinomial en el numerador y en el denominador. Ejemplo: Determinar el dominio de la función
== −−−
Los valores que no puede tomar la variable independiente x son los valores para los cuales el denominador se hace cero. Recuerde que no existe división para cero.
34=0
4 1 = 0 4=0 =4 1=0 =1 = {4;1}
Función con radical de índice par.
Los valores que puede tomar la variable x son los que permiten que el radicando sea positivo 0 . Recuerde no existe el radical de índice par para números negativos.
7
Ejemplo: Determinar Ejemplo: Determinar el dominio de la función f unción
53≥0 3≥5
Df ,
≤ 53
== √ ==√
5 3
Función constante. En la función constante, para cualquier valor que tome la variable x será la misma constante. Ejemplo: Determinar Ejemplo: Determinar el dominio de la función f unción El dominio es: Df R
= =
Función definida por partes.
Una función por partes como el nombre lo indica está definida de acuerdo a intervalos. Y el dominio depende de las condiciones de los mismos. Ejemplo:
2x 1 y h (x ) 2 x 3 2x 1 y h (x ) 2 x 3
Si x 2 Si x 0
Si x 2 Si x 0
8
f (x) 2x 1
2
f (x) x 2 3
0
= ∞,22 ∪ 0,0,∞
Ejercicios resueltos. 1. Encuentre el dominio de la función a.
= = − D = R exce exceptpto {0} D==R =
b.
c.
5x≥2 25x≥0 = = √ x≤ 2 5 x ≤ 25 D = ∞, 25 = = √ −++ 2x7>0 x> 72 7 D = =2=, ∞∞√ 5x 19x4≥0 1 5x1x 4 ≥ 0 5x1=0 x= 5 x4=0 x=4
d.
e.
9
−∞
c.
( -)
(-)
( +)
+4
( -)
(+)
( +)
(+)
(-)
( +)
∞
= = 3 5 +− 5=17 53 = =44535=15 +−−−− − + +−− = + = 44ℎ545 ℎ 4ℎ (a)
b.
15
5 − 1
2. Para a.
−4
. Determine:
(b)
(c)
. Determine: =(a)ℎ 1 = (b)= 2= 4 (c) +− a. 1 = 21 51 2=9 b. 2 = 22 52 2=0 +−−+ +++]]−(−+ −+)) +− = [+ c. 52 ℎ = 2224ℎ2ℎ 2ℎℎ55ℎ22 55ℎ22 52 52 = 3. Para
ℎ 42ℎ5 = ℎ42ℎ5 ℎ =42ℎ5
4. Valor de un negocio. Un negocio. Un negocio cuyo capital original ori ginal es de $25 000, tiene ingresos y gastos semanales de $6 500 y $4 800, respectivamente. Si se conservan todas las utilidades, exprese el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de t. 10
ValVVatlor=deld2el5negoci neg000ocio=6 50500capica0pitaal4l ori800800ggiinaln.atl ingresosgastos. N° semanas = .
1.2 Operaciones con funciones Existen diversas formas de combinar funciones para obtener una nueva. Operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. a. b. c. d. e. f.
= = .. =. =
° = ( )
Las operaciones de los literales e y f, se conocen como composición de funciones. Función compuesta Operaciones no conocidas que es la composición de funciones, donde una función está en función de otra. Considere el ejemplo siguiente: Sean:
= ; = g(x)
f(g(x))
Dominio d e g
Ejemplo:: Sean Ejemplo 1.
2.
(f °g)(x) = 2(x 2 − 1) − 1) − 3 3
g(x) = x 2 − 1
x
Dominio d e f
= = √
. Determine:
f g66 = f 6 g6 f g66 = 66 36 1 [√ √ 62] 6 2 ] =51 f.g2g323= =f 2f 333.g2g3 33 1 [√ √3 32] 2 ] = 16
3.
11
f. g22 =22 32 1. [√√ 22] 2 2 ] = 0 x = x = √ +− −− f ° gg xx = f (gx) 3√ x21 ==x3 =x3√ fg ° (f√ 1xx2 2 x=23 )g=(f (1√ xx2) 2 ) x 21 √ 1x23 ) = g1 31 1 = g3 = √ 32 3 2 =1= 1
4.
5.
6.
1.2.1 Gráficas en coordenadas rectangulares Coordenadas Rectangulares Rectangulares Todo punto en el plano cartesiano está representado por el par ordenado x , y ; donde x es la abscisa y y es la ordenada. Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos:
, , , ,
Graficas de funciones Para graficar funciones sería suficiente realizar una tabla de valores, pero existe alguna dificultad en asignar los valores en la misma, para eliminar esa dificultad es conveniente determinar ciertos puntos característicos de las curvas, como son las intersecciones con los ejes y la simetría respecto a los ejes y al origen. Para graficar funciones tome en cuenta las siguientes recomendaciones: recomendaciones: 12
a) Determine el dominio de la función, es decir los valores que puede tomar la l a variable x. b) Encuentre las intersecciones con los ejes. Intersección con eje x: y = 0 Intersección con eje y: x = 0
c) Tabla de valores d) Grafique la curva e) En base a la curva determine el rango de la función, es decir los valores que toma la variable y Ejercicios resueltos.
= = =0 25=0 25=0 = 52 52 ,0 =0
a. Grafique:
a. Dominio de la función: Df = R b. Intersecciones con los ejes Intersección con eje x:
Intersección con eje y : y :
= 20 5=5
c. Tabla de valores:
0,55 13
Para graficar una recta, no se necesita realizar una tabla de valores, con los puntos obtenidos en las intersecciones se lo puede graficar.
d. Rango de la función: función : Rf =
= =0 23=0 3 1 = 0 3=0 =3 3,0
2. Grafique: Grafique:
a. Dominio de la función: Df = R b. Intersecciones con los ejes Intersección con eje x:
1=0 =1 = 0 1,0 = 20 3=3 0,3 Intersección con eje y : y :
c. Tabla de valores: x
-2
1
2
4
y
5
-4
-3
5
14
Rango de la función: función : Rf = Grafique: 3. Grafique:
4 , ∞
=
a) Dominio de la función: Df = R
b) Intersecciones con los ejes Intersección con eje x: y 0
x 4x = 0 xx 4 = 0 x =0 x=0 0 ,,00 x 4=0 x =4 x=±√ x=±√ 4=±2 4 =±2 2,0 2,0 Intersección con eje y y x 0
y=0 40 y=0 0,0
c) Tabla de valores x
-3
-1
1
3
y
45
-3
-3
45
15
4. Graficar
= = √
a. Dominio de la función.
23≥0 2≥3 ≥ 32 = 32 , ∞
b. Intersección con los ejes. Intersección con eje x: y = 0
√ 23=0 2 3=0 (√ (√ 23) 2 3) = 0 23=0 = 32 32 , 0 = 203 203 =√ = √ 33
Intersección con eje y: x = 0
“No existe intersección con eje x”
c. Tabla de valores.
16
x y
2
3
4
5
1
1,73
2,24
2,65
e) Gráfico.
5. Graficar: Graficar:
= = √ 4≥0 ≥ 4 ≥ √ 4 || ≥2 ≤2 ≥2 == ∞ , 22 ∪ 2 ,,∞∞
a) Dominio de la función.
b) Intersección con los ejes. Intersección con eje x: y = 0
√ 4=0 (√ 4) = 0 2 , 0 2 , 0 =±2 = 0 4 = √ 44
4=0
Intersección con eje y: x = 0 Intersección 0
No existe intersección intersecció n con eje x”
c) Tabla de valores.
17
x
3,00
4,00
5,00
6,00
y
2,24
3,46
4,58
5,66
d) Gráfico.
6. Graficar:
= y = x 4 y=∓ x 4 x 4≥0 x ≥ 4 |x| ≥ 2 x≤2 o x≥2 D = ∞,22 ∪ 2,2,∞ = 0 = 4 = 4 2,02, 2,0 =±2 0 =4 =±√ =±√ 44
a. Dominio de la función:
b. Intersecciones con los ejes Intersección con eje x:
Intersección con eje y y x 0
No tiene intersección con eje y
Tabla de valores: x
3
4
5
6
18
y
2,83
3,87
4,90
5,92
Ejemplo 5: Graficar 5: Graficar función definida por partes
x 2 - 4 (x) GRAFICAR: y t (x) x 2
si x 3 si x 3
Defina para qué intervalo corresponde cada una de las funciones y elabore una tabla de valores y grafique. y x2 4
y x 2
3
Tabla de valores: x y
-3
-2
-1
0
1
-
-
-
2
3
4
5
6
5,00 0,00 3,00 4,00 3,00 0,00 5,00 6,00 7,00 8,00
19
Es importante que aprenda a reconocer la forma que tienen las curvas más utilizadas.
1.3 Función Lineal. La Recta Para trazar una recta necesita de dos puntos de coordenadas x , y . La característica principal de las rectas es su inclinación llamada pendiente; definida como la variación vertical
y
respecto a la variación horizontal x .
20
y y2
y1
x
x1
x2
1.3.1 Pendiente de una recta Definición.Definición .- Sean (x1, y1); (x2, y2) dos puntos conocidos conocidos sobre una línea línea recta no vertical, vertical, la pendiente de la recta es el número m dado por la relación entre el cambio vertical ∆y y el cambio horizontal ∆x, (ordenadas sobre abscisas).
Pendiente m = VaciVariaciaciónónhorivertzonticalal = ∆y∆x = Una recta vertical no vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben tener x1 = x2 que da un denominador cero en la ecuación.
= ∆
“No tiene pendiente o pendiente indefinida”
Para una recta horizontal cualesquiera dos puntos deben tener y1 = y2, esto significa que el numerador es cero en la ecuación, por lo tanto la pendiente es es cero. cero.
= ∆∆
= ∆ =
Ejemplo:: Hallar la pendiente de la rec Ejemplo recta ta que pa pasa sa por los puntos (-5, 6) (2 ,3)
= m = 3 6 = 3 25 7
21
1.3.2 Formas de ecuación de la recta. Existen varios tipos de presentación de la ecuación de la recta, así: conocida la pendiente y un punto, se puede aplicar la ecuación en la forma punto-pendiente; punto-pendiente; analice las distintas formas de ecuación de líneas rectas.
y
= mx b
Punto pendiente Pendiente intersección
Ax By C 0
General
x a
Recta vertical
y b
Recta Horizontal
Ejercicios resueltos. 1. Escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya pendiente es 3. Exprese su respuesta en la forma lineal general. general. Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta punto-pendiente y tenemos:
= y5=3 4 y5=3x12 Forma pendiente-intersección pendiente-intersección
y=3x7 37=0
Forma lineal general
2. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y su intersección con el eje y es 2; (la ordenada aall origen b es la interse intersección cción con el eje yy)) En este caso caso m = 3 y b = 2 Por lo tanto: Reemplazamos estos valores valores en la forma y = mx + b
=32
3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos Exprese su respuesta en la forma lineal general y grafique.
.
A3,44 y BB2,4 22
= m = 42 43 = 85 =8 4= 5 2 85 = 85 455 =0 óó =
Usualmente la forma lineal general se expresa con coeficientes numéricos enteros.
1.3.3 Rectas paralelas y perpendiculares Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si la pendiente de la recta 1 es igual a la pendiente de la recta 2. 2. Matemáticamente: m1 = m2 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º entre ellas y el producto de las pendientes es igual a -1. -1. Matemáticamente: m1 . m2= -1 Ejercicios resueltos. resueltos. 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
=
recta
. Grafique:
y es paralela a la
3,1 23
Dos rectas son paralelas cuando las pendientes son iguales.
= = =2 = 2 1=2 3 = 1=2
= . = = 12 2. =1 = 2 =1
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto p unto a la recta . Grafique.
2,11
y es perpendicular
Dos rectas son perpendiculares cuando entre ellas forman un ángulo de 90° y el producto de sus sus pendientes eess -1.
1= 2 2 =
24
1.3.4 Funciones lineales Varias aplicaciones administrativas y económicas, están relacionadas con modelaciones lineales. Una función lineal puede expresarse como
= = ≠ con
y está
representado por una recta. Donde a representa la pendiente y b la intersección con el eje y. Ejemplo: Suponga que f es una función lineal de pendiente -3 y Ejemplo: Suponga f(x).
m=3 y 2 ,,88 y y = mx x y8=3x 2 y=3x14
Tenemos como datos
f 2 = 8
. Determine
1.3.5 Aplicaciones de funciones lineales Aplicaciones administrativas, administrativas, económicas y otras de la vida cotidiana de los Contadores y Administradores pueden explicarse y resolverse utilizando modelaciones lineales. Para encontrar encontrar una función lineal tome eenn cuenta lo sigu siguiente: iente: Lea con detenimiento el ejercicio, defina la función lineal, frases como: el costo está
relacionado linealmente con el número de unidades c f (q ) q , c ; el peso (W) está relacionado con el tiempo (d)
W f (d ) ( d , W ) .
Encuentre dos puntos de coordenadas definidas en el punto anterior, calcule la
pendiente. En ocasiones hay ejercicios en los que le dan directamente la pendiente como por ejemplo: La propiedad se aprecia (p) $30000 cada año (t). Con la pendiente y cualquiera de los puntos, determine la ecuación de la función
lineal aplicando la forma punto-pendiente. punto-pendiente. Ejercicios resueltos oferta. Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 1. Ecuación de oferta. mil pares cuando el precio es $35 por par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados de manera lineal.
25
De la lectura del ejercicio se dice que el precio p se relaciona linealmente con la cantidad q, que nos indica que
=
, y tendrá puntos de coordenadas
,
, lea
detenidamente y encuentre esos puntos con las coordenadas correspondientes.
50,35 35,30 =1 = 55 = 3035 3550 3550 30= 35 = 13 35 = 3 3
2. Precios por reparación. reparación. Una compañía que repara copiadoras comerciales, cobra por un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una función lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas de servicio. Siguiendo el proceso anterior tenemos:
1,15050 3,28080 = ,, 280150 = = 3 1 =65 =6585 = 150=65 1
3. Depreciación. Depreciación. Un Un televisor nuevo se deprecia $120 por año, y tiene un valor de $340 después de 4 años. Determine una función que describa el valor de este televisor, si x es la edad, en años, de la televisión.
pm=120 = f x 4,34040 pp340=120 p = mx xx 4 p=120x820
1.3.6 Análisis de oferta y demanda
26
La ley de la Oferta y la Demanda es el principio básico sobre el que se basa una economía de mercado. Este principio refleja la relación que existe entre la demanda de un producto y la cantidad ofrecida de ese producto teniendo en cuenta el precio al que se vende el producto. Así, según el precio que haya en el mercado de un bien, los oferentes están dispuestos a fabricar un número determinado de ese bien. Al igual que los demandantes están dispuestos a comprar un número determinado de ese bien, dependiendo del precio. El punto donde existe un equilibrio porque los demandantes demandantes están dispuestos dispuestos a comprar las mismas unidades que los oferentes quieren fabricar, por el mismo precio, se llama equilibrio de mercado o punto de equilibrio. Según esta teoría, la ley de la demanda establece que, manteniéndose todo lo demás constante, la cantidad demandada de un bien disminuye cuando el precio de ese bien aumenta. Por el otro lado, la ley de la oferta indica que, manteniéndose todo lo demás constante, la cantidad ofrecida de un bien aumenta cuando lo hace su precio. Así, la curva de la oferta y la curva de la demanda muestran como varía la cantidad ofrecida o demandada, respectivamente, respectivamente, según varía el precio de ese bien. La curva de demanda La demanda lineal desciende de izquierda a derecha, esto significa que al incrementarse la cantidad demanda el precio disminuye y el valor de la pendiente es negativa. Demanda lineal
p
p2
p1
q q1
q2
La curva de oferta
27
La curva de oferta lineal asciende de izquierda a derecha y esto significa que al incrementarse la cantidad ofertada, el precio aumenta y el valor de la pendiente es positiva. p
Oferta lineal
p2
p1
q q1
q2
Punto de equilibrio del mercado El punto de equilibrio en la economía ocurre, cuando la oferta es igual a la demanda.
=
“Punto de Equilibrio”
Ejemplo: Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $ 58 por unidad y 200 unidades y la oferta por semana es de 100 unidades cuando el precio es de $50 y 200 unidades cuando el precio es $60 Determinar la ecuación de oferta y demanda suponiendo qque ue es lineal; además determine el punto de equilibrio. equilibrio.
28
Como la oferta y la demanda es lineal, el precio p está en función del número de
q , p 100,50 200,60
unidades demandadas, demandadas, debe encontrar dos puntos de coordenadas Para la demanda:
100,58 200,51 y
y la oferta
.
.
Calculamos la pendiente y su ecuación. Demanda:
5158 m = 1007 m = qp pq m = 200100 p p = mq q p58= 1007 q100 q100 p = 1007 q65
Oferta:
6050 m = 10010 = 101 m = qp pq m = 200100 p p = mq q p50= 101 q100 = 110 q50= 1007 q65 10017 q=15 = q = 8888..24 ununiidades ades p = 101 88.24 50 p=$58.82
29
p
( 88.24 , 58.82 )
q
Ejemplo: Negocios: Las Negocios: Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son:
32001800=0 31001800=0 Respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo. a) Encuentre algebraicamente algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. c) Encuentre el ingreso total antes y después del impuesto. Solución: a) Encuentre algebraicamente algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica.
p = 200200q9 "Oferta" 31003q9q18 "Demanda" = 3200 q9= 1003 q18 2009 q=9 q = 202000 ununiidades ades p = $12$12 220000 , 1212
30
b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. El impuesto de $0.27 afecta al precio de la oferta por lo que la ecuación de cambia.
3 3 pq=194 200200q90. q90. 2 7=p=$12. 7 18 p= 200200q9. 9 q=8.27 73 2003= q9. 1003 2q18 200q9.
c) Encuentre el ingreso total antes y después del impuesto. El ingreso que recibe el productor está dado por:
R = 3 q9. q R = 2002003 200 200 9.200=$2.400
sin impuesto
=.
31
R = 2003 q9.27 R = 2003 194194 9.27
con impuesto *194=$2.362,92
1.3.7 Excedente de consumidores y productores
Cuando tenemos el equilibrio de mercado existen consumidores que están dispuestos a pagar sobre el prec precio io de equilibrio cre creándose ándose un vvolumen olumen de re recursos cursos que se co conoce noce como el excedente de consumidores (EC); de la misma manera existen productores que colocaran productos en el mercado bajo el punto de equilibrio, conocido como el excedente de productores (EP).
= ∗ = == ∗ = 2 12 = 1003752
Ejemplo:: Dadas la ecuación de oferta y demanda. Determine: Ejemplo
32
a) El punto de equilibrio de mercado. b) Grafique el punto de equilibrio. c) Establecer el EC y EP
Solución: a) El punto de equilibrio de mercado.
= 3100 q2= 752 q12 17300 q = 10 q = 176. 176.4477 uniunidadadeses p = 1001003 176.477 2 p=$7.29 PunPuntto de equiequilibrio: . . ; .
b) Grafique el punto de equilibrio.
33
= ∗ = == ∗
ECEPEP=== 127. EC= ∗176.4477=$466. =$415.7569 7.29222992∗176.
1.3.8 Producción y puntos de equilibrio (diagrama de empate o cobertura)
En la industria al producir y vender un producto, el fabricante debe conocer su ecuación de costo y de ingreso; al fabricante le interesa conocer el nivel de producción para alcanzar el punto de equilibrio, es decir el nivel de producción donde la utilidad es cero.
= = ∗ = ∗
“Punto de equilibrio”
“Ingreso total”
“Costo total”
Ejemplo: Negocios. Ejemplo: Negocios. Un Un fabricante produce un producto cuyo costo por material es $4, mano de obra $2 y los costos fijos $4000. Si el producto se vende a $8. Determine:
R=pv∗q R=8q C=Cv∗qCf C=6q4000 R8==C6 4 000 == 280000200000= $16$16 000000 = 62 000 4 00000 = $16 00000 ::2 000000,, 16 000000
El punto de equilibrio.
34
Determine el nivel de producción para tener una utilidad de $3000
U Ingreso total - Costo total
;
U r - C
3.000=8 64.000 =3.500 2.000=8 00=8 64.00000 =1.000 =.
Determine el nivel de producción para tener una pérdida de $2000
Ejemplo:: Ejemplo
representa el ingreso total en dólares y
=
el
costo total en dólares para un fabricante. Si q representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas, encuentre el punto de equilibrio y grafique. Punto de equilibrio: equilibrio: Ingreso total = Costo total
0.1q 9q=3q400 0.1q 6q400=0 q 60q4000=0 q100 q100q40 q40 = 0 q=100 q=40 R=C=34040 400 R=C=3 R=C=$520 35
p
Equilibrio en la producc producción ión
( 40 , 520)
q
1.3.9 Aplicaciones-Interés Simple
Una aplicación lineal es el interés simple, que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. Si se solicita un préstamo (C) y se compromete a pagar en un tiempo determinado (t), a una tasa de interés simple (i) por el uso del dinero. Lógicamente la cantidad de dinero a pagar al finalizar el plazo fijado va a ser mayor que que el capital original, pues se adicionado al mismo una cantidad adicional llamada Interés (I).
=. .
Interés Simple
I: Interés simple C: Capital i : tasa de interés simple t : tiempo Suponga que se invierte un capital de $100 a las tasas de interés simple de 10%, 20% y 30% anual. Determine el interés de 1 a 8 años.
=. .
t
I = 10t
I = 20t
I = 30t
0
0
0
0
36
1
10
20
30
2
20
40
60
3
30
60
90
4
40
80
120
5
50
100
150
6 7
60
120
180
70
140
210
8
80
160
240
Interés Simple 300
I
250
200
I = 30t
150
I = 20t
100
I = 10t 50
t
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La modelación del interés de simple, es una línea recta, conforme la tasa de interés aumenta el valor de interés aumenta. Ejemplo 1: Determinar 1: Determinar el interés a pagar por un préstamo de $5.600 a ser cancelado en 3 meses con las siguientes alternativas de tasas de interés: a) 2% de interés simple mensual b) 6% de interés simple semestral c) 12% de interés simple aanual. nual.
I=C. i . t
“Interés Simple”
a) 2% de interés simple mensual
I=5. 600∗0. 00∗ 0.022∗∗ 3 =$336,00
b) 6% de interés simple semestral
37
I=5. 600∗ 0.606 ∗ 3 =$168,00 I=5.600∗0.06∗ 36 =$168,00
c) 12% de interés simple anual.
I=5. 600∗0. 00∗ 0.1212 ∗ 3 =$168,00
Nota: la tasa de interés y el tiempo deben estar en las mismas unidades, ej: si el tiempo está en meses, la tasa de interés también debe ser mensual.
Monto a interés simple Es la cantidad de dinero acumulado resultante del capital original y el interés generado por el uso del del dinero.
i C
M= C + I t
= = =
“Monto a interés simple”
“Factor de acumulación”
a i = 12 12% % anua an ual l b i = 12% 12 % tri tr i m es estr tral al c i = 12 12% % se seme mest st r ral a l d i = 12% 12% men mensusualal M=C1i. t 0.12 a M = 10000 1 12 ∗ 3=10.300 b M = 10000 1 0.312 ∗ 3=11.200
Ejemplo 2: Encontrar el Monto de un capital de $10.000 invertido durante 3 meses con una tasa de interés
dc M = 10000 1 0.1622∗∗ 3=10. =13.600 38
Ejemplo 3: 3: Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $6.500 que acuerda pagar haciendo un pago de inmediato por $2.500 y un pago final 6 meses después. Acepta pagar el 24%, de interés simple anual sobre el saldo. ¿Cuánto debe pagar dentro de 6 meses y el interés pagado?
M i=24% anual 6
6.500 -2.500
4-000
a M = C1i. t M=4. 0001 0.1224 . 6=4.480 b I = M C I = 4.480 4000 = 480
Ejemplo 4: 4: Un inversionista i nversionista deposita $150.000 en un fondo de inversiones bursátiles que garantiza un rendimiento del 2.8% mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. ¿Cuánto recibe?
M i=2.8% mensual 24 dìas 150.000
M = C1i. t M=150.0001 0.30028 .24=153.600
Valor actual o presente
El valor actual o presente, representa la cantidad de dinero necesaria para tener una determinada cantidad cantidad de dinero en un determinado tiempo y a una tasa de interés. i nterés.
39
i M
C
t
“Valor presente o Valor actual” + . − MC = MC1i. t C=
Ejemplo 5. 5. Determine la cantidad de dinero necesaria para disponer en 14 meses $35.000 con una tasa de interés simple del 8% cuatrimestral.
i=8% cuatrimestral M=$35.000
C
t=18 meses
− − 14 CC=35. = M1i. t 00010. 001 0.088∗∗ =$27.343,75
4
Ejemplo 6: María 6: María Luisa Delgadillo desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Supone que la cuota inicial en esa fecha será de $60.000. Si desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿Qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés simple mensual?
C
M=60.000 i=3% mensual 2 años
C = M1i. t− 883,72 C=60.00010. 0 3∗2∗12− = $ 34.883,
1.4 Funciones cuadráticas
40
Una función f que puede escribirse de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, c, donde a, b y c son constantes y a 0; es llamada función cuadrática porque la variable independiente x está elevada a la segunda potencia. 1.4.1 La parábola. El objetivo es estudiar la parábola que es la representación gráfica de la función cuadrática, muy utilizada en distintos análisis experimentales y económicos. Para graficar la parábola considere lo siguiente: a) Identifique las constantes numéricas a, b, c. c.
∪
b) Si a > 0, 0, la parábola es cóncava hacia arriba . Si a < 0, 0, la parábola es cóncava hacia
∩
abajo .
c) El punto (x, y) más alto o más bajo de la paráb parábola ola se denomina vértice. denomina vértice. Que tiene como coordenadas: simetría.
. Por el vértice de la parábola pasa un eje de ,
d) Intersecciones con los ejes.
= = a = 1 b = 4 c = 5 b a > 0 ∪ t = 2ab = 2441 = 2 S = 2 42 5=9 V2 ,99 S=0 t 4t5=0 t 5tt 1 = 0
Ejemplo1 Ejemplo1:: Para la función:
. Encontrar el vértice, las
intersecciones con los ejes, dominio y rango. Graficar la parábola. a) Coeficientes:
c) Vértice:
d) Intersección con los ejes. Intersección eje t:
41
t=5 t=1 5 ,,00 1 , 0 S = 0 40 5=5 0 , 5 9,9,∞
Intersección con eje S: t = 0
e) Dominio y rango de la función: Df: R; el rango determinamos con el grafico:
Rf= Rf =
f) Gráfica:
1.4.2 Aplicaciones de funciones cuadráticas Ejemplo 1: Si el precio (en dólares) de una videocinta es
, entonces se
venderán q cintas.
p=40
a) Encuentre una expresión para el ingreso total por la venta de q cintas. b) Encuentre el número de cintas que producirá el ingreso máximo. c) Encuentre el ingreso máximo.
R=p∙q R=40 10q . q
a) Ingreso:
q R=40q 10
a = 110 0 b=b = 40
a0.
43
1.5 Función exponencial Definición y propiedades
= = >;≠ >;≠ = = − = ; donde
La función f definida por
, y el exponente x es
cualquier número real, se llama función exponencial de base b. Ejemplos:
En muchas ocasiones para la solución de ecuaciones exponenciales necesitará recordar las reglas de los exponentes que se resumen:
b 2. b = b− 4. ab = ab
1. bb = b+ 3. b = b 5. ba = ba
6.8. bb−==b b1
7. b = 1
Estas reglas tendrán que utilizar por ejemplo para resolver la ecuación:
= 3 Graficas de función exponencial Para graficar la función exponencial tenga en cuenta sus conocimientos de gráficas en
> y 1, la curva asciende de izquierda a derecha. Si 0 0 Mínimo relativo 124
y´´ 35=110 35 2 = 6868 < 0 MáxMáximo relaattivo
Ejemplo: Encuentre Ejemplo: Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 20 y cuyo producto de 2 veces uno de los números por el cuadrado del otro sea un máximo.
xP=2xy y = 20 Product SuSumma deo númer úmerooss x=20y P=220yy P=40y2y dPdy =406y dPdy = 0 406y=0 y= dydP = 6< 620< 0 Máxi Máximom40o ababsosolluto x=20 3 x = 3 p=85 0.05q c=60035q U = R C Utilidad R = p ∗ q Ingreso UU=85q0. = 850.005q5q5q.60035q q 60035q 60035q U=50q0.05q 600 dUdq =500.10q dUdq = 0 500.10q=0 q=500 =0. 1 00 dxdx== 2 x 4x4x2 y = = 2 “Cantidad”
“Volumen”
“Punto crítico”
“Mínimo relativo”
Dimensiones:
126
IV: INTEGRACIÓN
= == ´′= ´ = ∆
4.1 Diferenciales Diferenciales Definición.- Sea
una función diferenciable en x y sea
∆
un cambio en x, donde
puede ser cualquier número real. Entonces, la diferencial de y, que se denota por dy o dy o
d(f(x)) está d(f(x)) está dado por:
=´y=.f∆∆ x = 2x 6x 3x2 x =
Ejemplo 1: 1: Encuentre el diferencial dy para dy para
1 y ∆x= ∆x = 0.003 dy=f´x.∆x dydy== 6x 12x3 12x3∆x dydy== 61 121 30.003 =0.0045 =; dy=dx → dx=f´x∆x → dx=1∆x → =∆
Si
cuando
y aplicamos diferenciales tenemos: y
127
De acuerdo a esta conclusión tenemos que:
=´
que es la expresión del
diferencial que utilizaremos de aquí en adelante.
y = f x =2√x dy=f´ x dx y=f x = 2x 4 4 − dydy== 3 x dx dy= 3x dx dydy== 3 4x dx Ejemplo 2: Si
. Encuentre el diferencial dy.
Por medio de diferenciales podemos estimar el valor de una función, para lo cual hagamos el siguiente análisis. y
y=f(x)
.
f(x+dx) ) x ( f ) x d + x ( f
Q y
y d
.
P
f(x)
x
x
Si por el punto
x+dx
PxQxdx, , fx fxdx
tendremos el punto
, entonces la variación en y está dado por:
f xdx xdx fx dx→0 ∆y dy ∆y=f xdx xdx f x ; si dx→0 ∆y≈dy dy≈f xdx ≈ f x′ ; f xdx ≈ f x dy .
Pero si
dx∆y∆y==
, pasa una línea tangente y damos un incremento a x,
, entonces
y
son prácticamente iguales, por lo que:
“Fórmula para estimar el valor de una función”
;
128
Ejemplo3: Un Ejemplo3: Un centro de salud del gobierno examinó las historias clínicas de un grupo de individuos que fueron hospitalizados por una enfermedad particular. Se encontró que la proporción total P que que fue dada de alta al final de t días eestá stá dada por: por:
= =+
t=300 t=305 dP=P´tdt t = 300 ∆t = dt = 5 0300t300 1 300 dP=3300t 0300t300 300t dt Use diferenciales para estimar el cambio de
a
dP=3 300t 300 dt 300 dP300=3 300300 300300 5 =0.0031 ∆p
Determine el cambio verdadero de P (
∆P=P ∆P=P 305 305 P 300 300 300 300 ∆P=1300305 1300300 =0.00307 Conclusión: ∆P≈dP √ 16. 16.3 Ejemplo 4: 4: Use diferenciales para estimar el valor de
Asumimos como
y = f x = √ x
129
f xdx xdx ≈ f x dy f xdx xdx ≈ f x f´xdx y=fx=x x=16 dx=0.3 f xdx xdx ≈ f x 14 x−dx f 160.3 ≈ √ 1616 14 1616−0.3 ≈2,009375 Ejemplo 5: La 5: La ecuación de demanda para un producto es estime el precio cuando se demandan 24 unidades.
p =
. Por medio de diferenciales
fp=10q qdq qdq−= f q qf¨=q2dq5 dq = 1 − f qdq qdq ≈ f q 5q dq f 251 251 ≈ √ 102255 52525−11 f 2424 ≈20.0425=2.0425 4.2 Integral indefinida. En los temas anteriores ha estudiado la derivación, ahora vamos a tratar el proceso inverso que se denomina integración; esto es, dada una derivada se debe encontrar la función original. Definición:: Una antiderivada de una función f es una función F tal que: Definición
= f x ; = = “Notación diferencial” = 3 …..ó…. = = 12
F´x = f x
130
Cuando conocemos conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la l a función original recibe el nombre de antidiferenciación. antidiferenciación. Por Por ejemplo, si la derivada de una función es d ( x 3 ) 3x , sabemos que la función podría ser f (x ) x porque 3x 2 . dx d ( x 3 10) 3 3x 2 . Pero, la función también podría ser f (x) x 10 porque 2
3
dx
Es evidente que cualquier función de la forma f (x) x 3 C , donde C es una constante arbitraria, tendrá f ´(x ) 3x 2 como su derivada, porque la derivada de cualquier constante es cero. Así tendrá un número infinito de antiderivadas. tendrá
3x,
= 3 =3 =3 = 3 3=
Por lo que, dos antiderivadas de una función solo difieren en una constante. constante. Por consiguiente, como escribir:
describe todas las antiderivadas de
3xdx=x C
3x
podemos
Para indicar la antiderivada general de la función f unción f(x)=3x2. La expresión se lee como: “la integral de 3x2 respecto a x”. En este caso 3x2 se llama integrando. El signo de integral,
, indica el proceso de integración y el dx indica que se toma la integral respecto a x.
La función resultante del proceso de integración se conoce como integral indefinida. indefinida. Podemos expresar expresar la integral indefinida de una función f(x); como:
f xdx=Fx C si y solo si ´ =
4.2.1 Reglas de integración
Como en el caso de derivación, en la integración es necesario que conozca y domine sus reglas.
1.
∫ = ∫ == 131
2. ∫ = ∫ = = + == || 3. ∫ = ∫ −
4.
5. 6.
∫ == ∫± = =∫= ± ∫=∫±± ∫
Ejemplos: Encontrar las integrales siguientes: 1. 2. 3.
4.
∫ 5=5 ∫ 7 =7. + = ∫438 =4 √ =43 =4 2 3 2 ∫ 9 √ 9100 8 =9 5 3− 9100 8 = 9 4 5 . 74 3 35 9 2 100 9 32 / / 9 =∫ 4++ 3535 5 2 100 4 41 4 = 3 = 3 43 31 = 43 43 13 − 4= 3 ∗ 2 43 13 || = 23 43 13 ||
5.
132
4.2.2 Integración con condiciones iniciales El objetivo es encontrar el valor de la constante C. Luego que se ha encontrado la integral, esta se puede determinar para valores en particular, que son las condiciones iniciales. Ejemplos: Ejemplos: 1. Encuentre y para las condiciones dadas: y´´ 2x 5 ; y´(1) 2 y(0) 3
´ … ´´ = ´ = ´ ´´=25 ´´= 25 ´= ´=25 25 ´=2 2 5 ´= 5 2=1 51 =4 3 5 2 4 54 ´== 54 54 = = 0 0 3 = 3 5 2 40 =3 = 13 52 43
2. Si
dc dq
0.000102q 2 0.034q 5 es una función de costo marginal y el costo fijo de
$10 000. Encuentre el costo total para q = 100.
= … … . . ó…… ó… … = =0.000102 3 0.034 2 5 == 0.000034 0. 0 17 5 5 ∗
dc (0.000102q 2 0.034q 5)dq
c 0.000034q 3 0.017q 2 5q 10000 3
“Costo Total”
2
c(100) 0.000034(100) 0.017(100) 5(100) 10000 10364
133
6.
= =, es una función de ingreso marginal. Encuentre la función de demanda. p = f(q) =5003 50032q2q 2 4 =50032 =50032 2 =5003 32 =0 =0 0=5000 30 32 0 =0 =5003 32 =5003 =∗ = Condición inicial: Cuando
“Demanda”
4.2.3 Integración por el método de sustitución
Cuando no es posible aplicar directamente las reglas de integración, i ntegración, como en todo proceso matemático, se realiza una sustitución. Ejemplos:
1.
∫
Como no puede aplicar directamente las reglas de integración; recurra a la sustitución.
= 3 5 =6 =6 == 6
2 2 6 = 6 ∗ 7 = 211 3 5
134
Proceso: De Proceso: Determine u 3x 2 5 , calcule el diferencial du 6xdx . Sustituya: es preferible que las constantes salgan de la integral 2 u 6 .xdx , le queda por sustituir xdx , que lo encuentra en el diferencial, despeja xdx
du 6
, tiene 2 u 6 (
du 6
) Con las
reglas conocidas ya puede integrar. 2.
− ∫ −+ = 2 25 2 = = 6 =23 1 3 1== 2
/2 = 12 = 12 || /2 = 12 |22 25|
3.
x 2 4x
x 6x 2 3
2
dx
Transforma el radical en exponente
= 6 2 12 = = 3 4 =3 12 4== 3
∫ −−+/ 1 −/ = ∗ = 32 36 32/12
135
4.
∫ 2− =7 5 =21 =21 = 21
∫ = ∫ == = 2211 −
2
5. Esperanza de vida. Si vida. Si la tasa de cambio de la esperanza de vida L al nacer, de las personas que nacen en Estados unidos puede puede modela modelarse rse mediante mediante
, donde t = +
es el número de años a partir de 1940 y la esperanza de vida era de 63 años en 1940, encuentre la esperanza de vida para personas que nacieron en 1998.
12 ===250 250 12 250 = 250 =2 =2 = = 2
12 |2 = 122 =6|| 12 =6|250 2 50|
=0 =63ñ 63=6| 63=6 =6| =6 | 2 250| | 2050| 2 50 050 | 39. | 5 3 =39. 5 3 58 =6|258 50| 39.39.53 = 70.70.20 ññ Condiciones iniciales:
4.2.4 Integración co conn división previa Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, utilice la división previa, que facilita el proceso de integración. Ejemplo. x 4 2x 3 4x 2 7 x 1
x 2 2x
dx
136
x 4 2x 3 4x 2 7 x 1 x 4 2x 3
x 2 2x x2 4
4x 2 8x
C
x 1
R D
( x 2 4) x 2x 21x
(x 2 4
x3 3
x 1 x 2 2x
4x
)dx
x 1 x 2 2x
u x 2 2x
dx
du (2x 2)dx
du 2( x 1)dx ( x 1)dx
x3 3
(du/2) u
1
ln u C 2
1
ln x 2 2x C 2
du 2 1
4x ln x 2 2x C 2
4.3 La integral definida y el problema del área
El cálculo del área bajo una curva es el segundo problema fundamental en el cálculo diferencial, que se denomina el área bajo la curva. Para contestar el interrogante hagamos las siguientes consideraciones consideraciones:: Suponga que
y = f x = 5 y 0 ≤ x ≤ 6
137
A=∆x.fx A = 6 055 = 30 u x=a yx=b El área está dado por:
Suponga que se quiere calcular el área limitada por la curva positiva el eje x, y las rectas
.
y=fx
; donde f(x) es
Al igual que se utilizó la pendiente de la recta secante (cantidades que se pueden calcular) como ayuda para definir la pendiente de la recta (derivada), se puede utilizar el área de un rectángulo (cantidad conocida) para determinar el área bajo la curva. 4.3.1 Teorema fundamental del cálculo integral
138
Teorema fundamental del cálculo integral. integral. Si f es continua en el intervalo a , b y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces: b
a f (x)dx F( b) F(a) Ejemplos:
1.
1
0 2x (x 2
1) 3 dx
3
du
u x -1
2 u (
du 3x 2 dx
(x 3 -1 ) 4
3
x 2 dx
3
3
)
2 u4 3 4
1
u4 6
1 6
du 3
1 1 1 (13 - 1) 4 (03 - 1) 4 6 6 6
2. Demografía. Demografía. Para Para cierta población, suponga que (s) es una función tal que s(x) es el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la integral x n
x
s( t )dt da el número esperado de gente en la población que tiene entre
100 x , determine el exactamente x y x + n años, inclusive. Si s(x) 10000
número de personas que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé su respuesta al entero más cercano, ya que una respuesta fraccionaria no tiene sentido. 64
3610000
100 x dx
/ = 10 000100 100
139
u 100 x
10000 u
du dx
1/2
20000 3
(-du) -10000
u 3/2 3/2
(100 x ) 3 / 2
dx du
20000 20000 (100 64) 3 / 2 (100 36) 3 / 2 3 3
1440000 3413333 ,33 1973333
2. Encontrar la integral definida
3/
∫− qq 3 dq
/
=2 =2 = 3 = 13/ 32/ = 12 ∗ 3/2 = 2 1 3/ 1 3/
=
=0
4.3.2 Cálculo de áreas Una de las aplicaciones del teorema fundamental del cálculo integral, es encontrar el área bajo una curva. Para determinar áreas es conveniente hacer un esbozo de la región implicada.
140 y=f(x)=0
Para encontrar el área en el intervalo a , b bajo la curva, se debe realizar la b
sumatoria de todas las áreas de los rectángulos o sea
x.f (x) ; si la sumatoria a
llevamos al límite entonces tenemos: baf (x)dx .
= [ ]
b
En general para el área bajo una curva tendríamos: a ( y sup y inf )dx . En palabras,
cuand cuandoo tra traba bajam jamos os con con ele elemen mentos tos vvert ertica icales les x , tenem tenemos os la ddife iferen rencia cia eentr ntree la cu curva rva superior y la curva inferior. Ejemplos. 1. Encontrar el área limitada por las curvas: y 9 x 2 y el eje x ( y = 0) b
Utilice la fórmula: A a ( y sup y inf )dx Encuentre los límites a límites a y y b, o sea la intersección intersección de las 2 curvas; curvas; que los obtiene obtiene igualando las ecuaciones.
y=9-x2
y=0
9 0 9 ±±√ √ 9 ±3 141
= −9 0
= 9 9 3 = 93 93 33 9 933 333 = 36 y
y 9 x 2
y0
x
2. Encuentre el área limitada por las curvas y x 2 1 y y x 3
=
142
= − 3 1
1=3 2=0 2 1 = 0 1=0 2=0 =1 =2 = 2 = 2 3 2 1 1 2 2 = 2 3 22 2 3 21 = 92
3. Encontrar el área limitada por las curvas:
= , =0 ,
=1 =1 , =2
= −0 0 0 = 4 2 − 4 2
24 0242 0204 0241 21 143
= 34 6 = 274 Cuando y no está definida como en el caso de la ecuación x y 2 5 ; para facilitar
el cálculo de áreas es conveniente utilizar elementos horizontales y , entonces: y2
A (xder xizq ) dy y1
Ejemplo: Encontrar el área limitada por las curvas y 2 2 x y y x 4 . Expresa las ecuaciones de x f ( y) ; x 2 - y 2 ;
6=0 4=2 3=0 3 2 ==3 0
x y-4
=2=0 −2 =2 4 144
= −6 = 6 6 2 3 − == 125662 2 236 633 332 333 6 4.4 Excedente de consumidores y de productores El cálculo de áreas tiene su aplicación en la economía. Sea p f (g) una curva de demanda y p g(q ) una curva de oferta. El punto q o , p o en las que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio. Donde p o es el precio por unidad al que los consumidores comprarán la misma cantidad q o de un producto que los productores desean vender a ese precio.
(qo,po)
= [ ] El y elrepresenta ganancia total de los área EC esqueelestán excedente de co consumidores nsumidores consumidores dispuestos a pagar más que precio de la equilibrio.
145
q o
EC
f ( q ) p o dq 0
El área EP es el exceden excedente te de productores y representa el beneficio de los l os productores ya que están dispuestos a suministrar el producto a precios menores que po. q o
EP
p o g(q )dq 0
Ejemplo: Para las ecuaciones de oferta y demanda indicadas. Determine el excedente de Ejemplo: Para consumidores y productores bajo el equilibrio de mercado.
=400 = = 2020 0 óó 10100 = = 20100=400 20300=0 3010 = 0 30=0 10 =0 =30 = 10 10, 300 = 400 300 =100 =100 3 10 0
= =10010 300 20100 20100 3 100 0 3 = 666. 666.6677 300 146
=20020 =20020 2 2200 == 2200101010 00101010 000 10100 = 1 000000 =20010
10 800 y la Ejemplo: La ecuación de demanda para un producto es: p 20q Ejemplo: ecuación de oferta es: q 2 p 30 0
a. Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando p 20 y q 10 p f (q )
800 q 10
20 “demanda”
800 q 30 20 q 10 2 q 2 80q 900 0 p
10 30 2
;
; ;
p g(q )
q 30 2
“oferta”
2800 - 20q 10 q 30q 10
q 90q 10 0
;
q 10 ,
q -90
p 20
b. Determine el excedente de los consumidores y productores bajo el equilibrio de mercado. 10
EC
10
20 20 dq 40 dq q 800 0 q 800 10 10 0
EC 800ln q 40q 10 ln((20) 40 ln((10) 154.52 (10) 800 ln 0 800 ln 10
1 q 2 q 30 EP 20 dq 20 q 30 q 2 2 2 0 0 10
10
q 2 10 2 EP 5q 25 5(10) 4 4 0
4.4 Integración por partes.
147
Muchas integrales no pueden encontrarse por los métodos analizados, sin embargo, hay maneras de cambiar ciertas integrales a formas más fáciles de integrar, como es el caso de la integración por partes. La fórmula de integración partes es:
udv uv vdu Cuando use la fórmula de integración i ntegración por par tes, tes, algunas veces la “mejor selección” de u y dv puede dv puede no ser obvia. En algunos casos una selección puede ser tan buena como la otra; en otros, sólo una selección puede ser adecuada. La habilidad para ser una buena selección si existe se adquiere con la práctica y, desde luego, con el procedimiento de de ensayo y error. error. Ejemplos. Como una ayuda para la integración considera las formulas siguientes:
dx
ln x C
x dx
bx a
1 b
x
dx e x C
e x a dx e x a C
x a ln x a dx
e
ln bx a
e bx a dx
1 b
e bx a C
Ejemplos: Encuentre las integrales siguientes: 1.
y
3
ln y.dy
u ln y du
dy y
y4
dv y 3 dy
3
v y dy
y4 4
y 4 dy 1 4 1 1 1 . ln y . y . ln y y 4 C y 4 (ln y ) C 4 4 y 4 16 4 4
2.
4xe
2x
dx
u 4x du 4dx
dv e 2x .dx
v
1
e 2x
2
148
1
1
4 1
2
2
2 2
4x. e 2 x e 2x .4dx 2x.e 2x . .e 2 x C
2x.e 2 x e 2x C e 2x (2x 1) C
4.5 Integración por medio de fracciones parciales Para utilizar el método de fracciones parciales, el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador. Caso contrario se debe proceder a una división previa. Para el el conocer el método utilicemos un ejemp ejemplo: lo: 4x 2 14x 6
x 3 2x 2 3x dx Expresa el denominador como factores.
4x 2 14x 6 x ( x 2 2x 3)
4x 2 14x 6 x ( x 3)(x 1)
El denominador consiste sólo en factores lineales distintos, que podemos expresarlo
como fracciones parciales. 4x 2 14x 6
x ( x 3)(x 1)
A x
B x 3
C x 1
El objetivo es encontrar los valores de las constantes A, B y C. Resolvemos la
igualdad. 4x 2 14x 6 x ( x 3)(x 1)
A( x 3)(x 1) Bx( x 1) Cx( x 3) x( x 3)(x 1)
Agrupamos los términos de acuerdo al grado de x.
4x 2 14x 6 Ax2 2Ax 3A Bx 2 Bx Cx 2 3Cx
149
4x 2 14x 6 x 2 (A B C) x(2A B 3C) (3A)
Establece un sistema de ecuaciones, para que la identidad sea verdadera.
A B C 4 - 2A B - 3C 14 3A 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones ecuaciones se obtiene A, B y C. Otro método para encontrar A, B y C; es igualar a cero los denominadores de las
fracciones parciales. Para x 0 4(0) 2 14(0) 6 (0) 2 (A B C) (0)(2A B 3C) (3A)
6 3A ;
A2
Para x 3 4(3) 2 14(3) 6 (3) 2 (A B C) (3)(2A B 3C) 3A
12 9A 9B 9C 6A 3B 9C 3A 12 12B
;
B -1
Para x 1 4(1) 2 14(1) 6 (1) 2 (A B C) (1)(2A B 3C) 3A 12 A B C 2A B 3C 3 A
; 12 4C
;
C3
1 2 3 ( ) dx x x 3 x 1
2ln 2ln x ln x - 3 3 ln x 1 C
Consideraciones del denominador y la asignación de constantes.
1. Factores lineales distintos. 150
A
B
C
x( x 1)(x 5) x x 1 x 5
2. Factores lineales repetidos x( x 1) 3
A
B
x
x 1
C
( x 1) 2
D ( x 1) 3
3. Factores cuadráticos e irreducibles
( x 5)(x 2 1)
A x 5
Bx C x2 1
4. Factores cuadráticos repetidos e irreducibles ir reducibles
( x 5)(x 2 1) 2
A x 5
Bx C ( x 2 1)
Dx E ( x 2 1) 2
x 3 8x 2 9x 2 Ejemplo: ( x 2 1)(x 3) 2 C x 3 8x 2 9x 2 Ax B 2 2 x 3 2 (x
1)(x 3) x 3 8x 2 9x 2 ( x 2 1)(x 3) 2
D
2
x 1 ( x 3) (Ax B)(x 3) 2 C( x 3)(x 2 1) D( x 2 1) ( x 2 1)(x 3) 2
x 3 8x 2 9x 2 x 3 (A C) x 2 (6A B 3C D) x(9A 6B C) (9B 3C D) (1) A C 1 6A B 3C D 8 (2) (3) 9A 6B C 9 9B 3C D 2 (4)
33 8 * 32 9 * 3 2 33 (A C) 32 (6A B 3C D) 3(9A 6B C) (9B 3C D)
20 27A 27C 54A 9B 27C 9D 27A 18A 3C 9B 3C D
151
20 10D ;
D2
- 3C 6 D en (2): - 6A B
(4)
(3) 9A - 6B C -9 (4)x(6) - 36A 6B - 18C 36 - 27A - 17C 27
De (1): C 1 A
(5)
(6)
(6) en (5): 27A 17(1 A) 27 En (6): C 1 - (-1) 0
;
En (3): 9(1) 6B 0 9
;
- 10A 10
C0
;
- 6B 0
;
B0
- x 2 dx 2 2 x 1 x 3
=
Utiliza el método de sustitución y comprueba la respuesta. lnx 2 1 2x 31 C
;
A -1
152
Bibliografía Bibliografía Principal HAEUSSLER, ERNEST F, JR, Matemáticas para la Administración y la Economía, Décimo segunda Edición. 2008. Pearson Educación de México S.A. Bibliografía Complementaria Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y
Economía en las Ciencias Sociales , Naturales y de Administración”, séptima edición, México 2000. Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000.
Tan, S. T, Matemáticas para la Administración y la Economía, Segunda Edición, 2001.El Caribe.-Editorial Thompson. González O Mancill, Álgebra Elemental Tomo I y Tomo II. Editorial Kapeluz. Buenos Aires Netgrafía HAEUSSLER, ERNEST F, JR, Matemáticas para la Administración y la Economía. http://elblogerperu.blogspot.com/2010/03/matem http://elblogerperu.blog spot.com/2010/03/matematicas-para-la-administracion-y aticas-para-la-administracion-y-la.html -la.html Matemática para Administración y Economía http://books.google.com.ec/books/about/Matem%C3%A1tica http://books.google.com.ec/book s/about/Matem%C3%A1ticas_para_Administrac s_para_Administraci%C3 i%C3 %B3n_Y_Econ.html?id=TABzj5AZ0JAC&redir_esc=y
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