Unidad 5

UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS EQUIPO: -VIRGINIA GUADALUPE LOPEZ MIRANDA -VANESA AGUILAR CERVANTES

ESTADISTICA ADMINISTRATIVA ll Carrera: Contado público

Semestre: 3er semestre

Actividad: consulta y ejercicios de unidad 5

Fecha de entrega: 16 de Diciembre del 2012

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales DISEÑO EXPERIMENTAL CON BLOQUES AL AZAR Y DISEÑOS FACTORIALES 5.1 METODOLOGÍA DEL DISEÑO EXPERIMENTAL DE BLOQUES AL AZAR. En cualquier experimento, la variabilidad que surge, de un factor perturbador puede afectar los resultados. En general un factor perturbador puede definirse como un factor del diseño que probablemente tenga un efecto sobre la variable de respuesta, pero en el que no existe un interés específico. En este caso cuando se conoce el factor perturbador y este no es de interés, para remover el efecto de este, se procede a la formación de bloques en los cuales todos los tratamientos deben de estar representados y los mismos son distribuidos al azar en cada bloque. Ejemplo 1. Si se desea aplicar este diseño en un experimento agrícola, si se quiere “Evaluar el efecto de varios tipos de fertilizantes nitrogenados en la producción de maíz”. Si la topografía del suelo donde se va a realizar el experimento tiene una pendiente, la pendiente es un efecto perturbador, por lo cual se deben hacer bloques a diferentes niveles de la pendiente, para remover el efecto de la pendiente en la fertilidad del suelo y por ende en la variable de respuesta a evaluar. En experimentos agrícolas también se puede bloquear por efecto de la sombra, es probable que un área experimental este localizada en una zona donde haya una cortina rompevientos y la sombra en determinado momento del día sea un factor perturbador. Se puede bloquear además por: tipo de suelo y capacidad de drenaje del suelo. Es decir por todos aquellos factores conocidos que pueden afectar la variable de respuesta. Ejemplo 2. Si se desea probar el efecto de diferentes dietas sobre el consumo de alimento y ganancia de peso en cerdos y no se tienen sólo hembras ó solo machos para realizar el experimento, entonces se utilizan hembras y machos y se realizan bloques para eliminar el efecto del sexo. Igualmente, si no se tienen animales de la misma raza se pude bloquear por raza para eliminar el efecto raza. En el caso de ganado de leche se puede bloquear por etapa de lactancia o por el número de partos.

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales Sin embargo, cabe aclarar que estos bloques se hacen cuando el factor perturbador no es de interés, es decir, no es el objetivo de la investigación evaluar ese factor. En animales confinados, cerdos, aves y conejos, donde determinada área de las galeras tienen mejor ventilación, se debe bloquear para eliminar efectos de la ventilación. Es decir que se bloquea para eliminar el factor perturbador y que no es de interés en la investigación. En muchos problemas de diseño experimental es necesario diseñar el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseño aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una réplica completa del experimento en cada uno de ellos. En la tabla 4.1 aparecen los datos que se obtienen al aplicar un diseño aleatorizado por bloques completos para investigar un solo factor con a niveles y b bloques. En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque. Suponga que tiene interés en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efectúa en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadístico lineal Donde μ es la media global, iτ es el efecto del i-ésimo tratamiento, jβ es el efecto del jésimo bloque y jiε es el término de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribución normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global.

5.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS FACTORIALES. Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene todas las “ab” combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente: Factor B B1

B2

A1

20

30

A2

40

52

Factor A

Tabla 1 Un experimento factorial A

40  52 2



20  30 2

 21

En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es: B

30  52



20  40

2

 11

2

Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas. En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Factor B Tabla 2. B1

B2

A1

20

40

A2

50

12

Factor A

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales Tabla 2. Un experimento factorial con interacción En el primer nivel del factor B, el efecto de A es: A = 50 - 20 = 30 Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es: A = 12 - 40 = 28 Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B. Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.

60

B2

Respuesta

50

B1

40 30 20 10

B2 B1 A1

Factor A

A2

Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa. 60

Respuesta

50 40

B1 B2

30 20 10

B1 A1

B2 Factor A

A2

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales Figura 2 Un experimento factorial con interacciones Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es: A

50  12 2



20  40 2

1

El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales. Ventajas de los diseños factoriales Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un total de seis observaciones. Factor B B1

B2

A1

A1B1

A1B2

A2

A2B1

12

Factor A

Tabla 3 El método de un factor a la vez

Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales 

Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.



Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.



Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.

5.3 DISEÑO FACTORIAL DE DOS NIVELES (2^K) El primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”. Ejemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue: Replica

Combinación de tratamientos

I

II III Total

A baja, B baja

28 25 27

80

A alta, B baja

36 32 32 100

A baja, B alta

18 19 23

60

A alta, B alta

31 30 29

90

En la figura 3 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de tratamiento para este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina minúscula. De este modo, “A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y “AB” se refiere a la interacción entre AB. En el diseño 22 los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Así – en el eje B representa el nivel bajo de catalizador mientras que + denota el nivel alto.

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Cantidad de catalizador B

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Alto (2 sacos) +

b = 60(18+19+23)

ab = 90(31+30+19)

(1) = 80(28+25+27)

a = 100(36+32+32)

Fig. 3

bajo (1 saco) -

bajo (15%)

+ alto (20%)

Concentracion de reactivo A Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall

Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos está representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta ultima representa el nivel inferior del factor. 

Así “a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel superior y B en el nivel inferior;



“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior, y



“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.

 

Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior. El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles del otro factor. Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan para representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos Página 8 de 20

UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:

A

1 2n

ab  b  a  (1)  1 ab  a  b  (1) 2n

El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n obteniéndose:

ab  a  b  (1) 

1

B

2n

1

ab  b - a  (1)

2n

El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así: AB 

1

ab  b  a  (1) 

2n

1

ab  (1)  a  (b)

2n

Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A. Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto que es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la mitad izquierda (o Y A). Esto es,

A  YA   YA 



ab  a 2n



1



b  (1) 2n

ab  a  b  (1)

2n Página 9 de 20

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Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte superior del cuadrado ( Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte inferior ( Y B-), o

B  YB   YB 



ab  b



2n

2n

ab  b  a  (1)

1



a  (1)

2n Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o

AB 

ab  (1) 2n



1



ab 2n

ab  (1)  a  b

2n Con los datos que aparecen en la figura 1, las estimaciones de los efectos promedio son: A 

1

90  100  60  80   8.33

2(3)

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90  60  100  80   5.00

1

B 

2(3)

AB 

1

90  80  100  60   1.67

2(3)

El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador agregada al proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de interacciones es pequeño comparado con los dos efectos principales. En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de varianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza. Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,

ContrasteA  ab  a  b  (1) Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación:





aciy i. 2 na ci2 SSc  1 a . Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total del contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del mismo. En consecuencia, se obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales 2  ab  a  b  (1) SSA  n*4 2  ab  b  a  (1) SSB  n*4 2  ab  (1)  a  b  SSAB  n*4 Con los datos de la figura 3, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando las ecuaciones anteriores, obteniéndose:

SSA 

50

2  208.33

4(3) SSB 

 30

2  75.00

4(3) SSAB 

10

2  8.33

4(3) La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:

2 Y ... 2 2 2 n SST  i1  j1 k 1 Y ijk  4n En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n-1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante. 2 2 2 3 Y 2 SS E     Yijk   9398.00  9075.00  323.00 i1j1k 1 4(3)

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales SS E  SS T  SS A  SS B  SS AB

 323.00 208.33 75.00 8.33  31.34 El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos principales son significativos al 1%. A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el orden (1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es posible apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son Efectos (1) a

b

Ab

A:

-1 +1 -1 +1

B:

-1 -1 +1 +1

AB:

+1 -1 -1 +1

Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 1 es la siguiente: Fuente de variación

SS

G.L.

MS

1 208.33 53.15a

A

208.33

B

75.00

1

AB

8.33

1

8.33

Error

31.34

8

3.92

Total

323.00

11

a

Fo

75.00 19.13a 2.13

significativo al 1%

Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22 Combinación Efecto Factorial

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales De

I A B AB

Tratamientos (1)

+ - - +

a

+ + - -

b

+ - + -

ab

+ + + +

Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción son iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos principales. Los coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede usar una tabla de signos positivos y negativos como la mostrada en la de signos algebraicos para determinar el signo apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado de las columnas de tabla y se encuentran los efectos principales (A y B), la interacción AB, e I, que representa el total el total o el promedio de todo el experimento. Se observa que la columna encabezada por I se compone de solo de signos positivos. Los renglones corresponden a las combinaciones de tratamientos. Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A es –(1) + a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación.

A 

1

ab  b  a  (1) 

2n

1

ab  a  b  (1)

2n

Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del experimento contiene todas las combinaciones de tratamiento ab. En general, hay n repeticiones.

5.4 DISEÑO DE CUADROS LATINOS. Un diseño cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un cuadrado que Página 14 de 20

UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada renglón y columna. El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemáticas; en otras palabras, permite analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. A continuación se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos. En donde: Kjiy= observación correspondiente al i-ésimo renglón, la k-ésima columna y el j-ésimo tratamiento Μ= la media general Iα= es el i-ésimo efecto de renglón Jτ= es el j-ésimo efecto de tratamiento Kβ= es el k-ésimo efecto de la columna Kjiε= es el error aleatorio El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interacción entre los renglones, las columnas y los tratamientos. Sólo dos de los subíndices i, j y k se requieren para especificar una observación en particular porque únicamente hay una observación en cada celda. El análisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de las observaciones en sus componentes de renglón, columna, tratamiento y error Cuyos grados de libertad. Bajo la suposición de que el error aleatorio se distribuye en forma normal e independiente, cada una de las sumas de cuadrados es al dividir entre, variables aleatorias independientes con distribución ji-cuadrada. El diseño de cuadrado latino se utiliza para eliminar dos fuentes de variación. El arreglo en el diseño de cuadrado cada tratamiento debe estar una sola vez en cada fila y columna. Las filas y las columnas deben formar un cuadrado y esto lo determina el número de tratamientos (Cuadro 1). Un ejemplo de esto en experimentos agrícolas pudiera ser cuando se tiene una pendiente en dos direcciones. (En una loma).

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales En el caso de experimentos en producción animal se utiliza el cuadrado Latino Cross Over. Ejemplo. Se desea evaluar el efecto de cuatro dietas en la digestibilidad aparente de la materia seca en bovinos. Si se tienen solo cuatro animales (Es común en estudios de fisiología digestiva), se puede distribuir los tratamientos en cada animal y se realizan varios períodos. Si son cuatro dietas sería cuatro períodos, en los cuales los tratamientos a probar son utilizados por cada animal en diferentes períodos. En este caso los animales pueden ser utilizados como filas (primera fuente de variación) y los períodos como columnas (segunda fuente de variación). Este tipo de diseño se denomina cuadrado latino 4 x 4, pues son cuatro tratamientos y cuatro períodos. El nombre lo reciben según el numero de tratamientos que deben siempre formar un cuadrado, si fuesen cinco tratamientos serían cinco períodos por lo tanto, será un cuadrado latino 5 x 5. Se pueden hacer experimentos utilizando doble cuadrado latino, que se conoce también como cuadrado latino repetido. Por ejemplo si se van a probar dos dietas (A y B) y se tienen solamente cuatro animales, para aumentar el numero de repeticiones se realizan dos cuadrados latinos simultáneos en los cuales a dos animales se les pone la dieta A y a dos animales la dieta B en el primer período, en el segundo periodo se invierten los tratamientos a los animales con dieta A se le pone la B y a los que estaban con B se les pone la dieta A. Este es un diseño en cuadrado latino 2 x 2. Dos tratamientos dos y dos períodos. En este caso tratamientos y períodos deben de formar un cuadrado Cuadro 1: Algunos ejemplos de cuadrados latinos. Cuadrado latino 4 x 4

Cuadrado latino 5 x 5

A

B

D

C

A

D

B

E

C

B

C

A

D

D

A

C

B

E

C

D

B

A

C

B

E

D

A

D

A

C

B

B

E

A

C

D

E

C

D

A

B

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales Una vez que se ha seleccionado el diseño, sea este DCA, BC o cuadrado latino. Dependiendo del objetivo de la investigación, a los tratamientos se les realizan arreglos en las unidades experimentales. Es lo que se conoce como arreglos factoriales. Por ejemplo: Se quiere probar las respuesta en producción de maíz NB-6 y NBS a dos tipos de fertilizantes nitrogenados urea y nitrato de amonio, utilizando cuatro niveles de utilización., 0 kg. 50 kg, 100 kg, y 150 kg. Si las unidades experimentales son homogéneas se utilizará un DCA con arreglo factorial 2 x 2 x 4. Es decir se evaluarán, 2 factores principales (variedades de maíz), dos factores secundarios o de efectos aleatorios (Tipo de fertilizante y sus niveles) que son cuatro niveles. En este caso si se quieren tener cinco repeticiones por tratamiento, el numero de unidades experimentales será igual a multiplicar: 2 x 2 x 4 x 5 = 80 unidades experimentales. Puede ser que para este mismo estudio en otras condiciones se requiera remover un efecto perturbador como puede ser el efecto de la pendiente ó efecto de sombra o cualquier otro efecto. En cualquiera de estos casos se realizará un BCA con arreglo factorial, 2 x 2 x 4. En este caso si se quieren tener cinco repeticiones por tratamiento, el numero de unidades experimentales será igual a multiplicar: 2 x 2 x 4 x 5 = 80 unidades experimentales. En estudios con animales también se aplican estos arreglos. Si se desea evaluar el efecto de la raza en la ganancia de peso en ovinos alimentados con dos diferentes fuentes de proteína (harina de soya y harina de maní) con diferentes niveles de inclusión (0, 10, 20, y 30 % en la dieta. Si se tienen tres razas de ovejas (Pelibuey, Katadin y Black Belly). En el caso de que las unidades sean homogéneas (misma edad, mismo peso, mismo sexo). Entonces se utilizará un DCA con arreglo factorial 3 x 2 x 4. Es decir tres factores principales (razas) y dos factores secundarios o de efectos aleatorios (las dos harinas con sus diferentes niveles de inclusión). El número de unidades experimentales necesarias si se quieren tener cinco repeticiones será: 3 x 2 x 4 x 5 = 120 unidades experimentales.

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales En caso de que no se tenga solo hembras o solo machos para hacer el ensayo y hay una combinación de hembras y machos, entonces el diseño será un BCA (bloquear por sexo) con arreglo factorial 3 x 2 x 4. Muchas veces el diseño de campo de un BCA en estudios con animales no es importante, pues la posición de la unidad experimental dentro de cada bloque no afecta los tratamientos, muchas veces se utiliza para efectos de análisis y mover el efecto del bloque.

En este ejemplo se puede explicar otra variante, en el caso que el objetivo de la investigación cambie y no interese el efecto de la raza sino, solamente evaluar el efecto de las dos harinas proteicas sobre la ganancia de peso en ovinos. Si se tienen el mismo tipo de animales al no interesar el efecto raza. Entonces el diseño a utilizar es un BCA y ya el arreglo factorial no es importante, pues interesa solo evaluar el efecto de las harinas, Se tendrá entonces dos tratamientos con los mismos cuatro niveles de inclusión (0 %, 10 %, 20 % y 30 %) y por lo tanto el número de unidades experimentales varía. Si se quieren tener las mismas cinco repeticiones, entonces la cantidad de unidades experimentales será: 2 x 4 x 5 = 40 unidades experimentales (dos harinas por cuatro niveles por cinco repeticiones). Obsérvese como cambia el número de unidades experimentales de 120 a 40, al cambiar el objetivo de la investigación, puesto que también cambia el arreglo de los tratamientos.

5.5 DISEÑO DE CUADROS GRECOLATINOS. Consideremos un cuadrado latino p × p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina. El diseño cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemáticamente tres fuentes extrañas de variabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un análisis por bloques en tres direcciones. El diseño permite analizar cuatro factores (renglón columna, letra griega y letra latina), cada uno con p niveles, usando solamente p2 ensayos. Los cuadrados grecolatinos existen para toda excepto para p = 6. En donde:

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UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales lkjiy la observación que corresponde al renglón i, la columna k, la letra latina j y la letra griega k. μ= La media general iθ= Es el efecto del i-ésimo renglón jτ= Es el j-ésimo efecto de tratamiento de las letras latinas kω= Es el k-ésimo efecto de tratamiento de las letras griegas lψ= Es el efecto de la columna l lkjiε= Es la componente del error aleatorio Sólo dos de los cuatro subíndices son necesarios para identificar completamente cualquier observación. El análisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hipótesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error. DISEÑO CUADRADO GRECOLATINO En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama Diseño Cuadrado Greco-Latino. Características: * Es un diseño con cuatro factores a k niveles * Se asume que no hay interacciones * Requiere k2 observaciones * El diseño factorial completo requiere k4 * Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores * Superposición de dos cuadrados latinos * Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra Página 19 de 20

UNIDAD 5 Diseño experimental con bloques al azar y diseños factoriales latina ¿EN QUÉ CONSISTE? El diseño cuadrado grecolatino se puede considerar una extensión del diseño de cuadrados latinos que permite estudiar un factor y 3 variables bloque con sólo I2 observaciones (siempre que el factor y las variables bloque tengan todos I niveles). Se considera un cuadrado latino de dimensión (I × I) y se superpone sobre él otro cuadrado con los tratamientos denotados por letras griegas. Se dice que son ortogonales cuando cada letra griega aparece combinada con una letra latina una y sólo una vez en cada fila y columna. A1, Por ejemplo: Se pueden construir cuadrados greco—latinos en diseños completamente cruzados para I > 3, salvo para I = 6, porque en este caso sólo existe un cuadrado latino. ¿DÓNDE SE USA? Se ha utilizado en áreas diferentes a la agricultura, la cual es su principal aplicación. Estas son la biología, estudio de mercados, procesos industriales, entre otros. DIFERENCIA ENTRE CUADRADO LATINO Y UN CUADRADO GRECOLATINO * La principal diferencia entre un diseño de cuadrados latinos y otro de cuadrado grecolatinos, y es que el segundo es distinto del primero por la inclusión de una cuarta fuente de variabilidad como es el bloque grecolatino. Un cuadrado latino de lado n contiene en cada fila una y una sola vez los números del 1 al n, de forma que en ningún caso se repite el mismo número en una columna Un cuadrado grecolatino es más exigente. Está formado por parejas de objetos o números de forma que la formación constituida por los primeros elementos de cada par formen un cuadrado latino, y también la formada por los segundos elementos.

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