Unidad 5 Sistemas de Varios Grados

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE LA REGIÓN CARBONÍFERA

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 6 SEMESTRE MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS DOCENTE: M.C. VICTORIANO DE LUNA FLORES ALUMNOS: GUSTAVO ADOLFO RUIZ POMPA. 111M0262. EDGAR N. RODRIGUEZ LOPEZ. 101M0054

AGUJITA, COAHUILA.

1/06/2016

5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad. 

Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento

Se puede demostrar que las ecuaciones lineales del movimiento de un sistema discreto de N grados de libertad sometido a pequeños desplazamientos, con coordenadas generalizadas representadas por el vector q de dimensión N ×1, se pueden escribir como:

Donde M, C y K son matrices de tamaño N × N y se denominan matrices de inercia, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Las matriz M es simétrica y positivo definida. La matriz K también es simétrica pero puede ser positivo definida o positivo semidefinida. La matriz C no goza, en general, de ninguna de las propiedades anteriores. Ejemplo Obtener las ecuaciones del movimiento e identificar las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento para el sistema de dos grados de libertad de la Figura 10.1.

Para hallar las ecuaciones de este sistema, basta con aplicar las ecuaciones de equilibrio a cada una de las dos masas. La Figura 10.2 muestra los diagramas de

sólido libre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e igualando a cero se llega a:

Reordenando términos, estas dos ecuaciones se pueden poner de forma matricial Como:

Identificando con la ecuación (9.124), las matrices M, C y K resultan ser:



Vibraciones libres de sistemas no amortiguados

Particularizando la ecuación (9.124) para el caso de las vibraciones libres (f = 0) en sistemas no amortiguados (C=0), se tiene:

Sujeto a las condiciones iniciales q (0) = q0 y q􀀅 (0) = q􀀅 0 .De forma análoga a lo que se hizo en el caso de las vibraciones con un grado de libertad, asumimos una solución armónica de la forma:

Donde A es un vector de amplitudes. Sustituyendo la ecuación (9.126) en la (9.125), resulta:

Puesto que ni A ni este pueden ser nulos, ya que si no obtendríamos la solución trivial nula, se deduce que



Frecuencias naturales

Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuación (9.128), que representa un problema de valores y vectores propios generalizado. Como es sabido, esta ecuación tiene solución distinta de la trivial nula si y sólo si la matriz de coeficientes es singular o, lo que es lo mismo, si su determinante es nulo.

Se puede demostrar que si la matriz M es positivo definida y K es positivo definida o positivo semidefinida, todos los valores propios s2 son reales y negativos o nulos. Por ello, para manejar cantidades positivas es costumbre realizar el cambio de variables

Que equivale a

5.2 Acoplamiento de coordenadas. Coordenadas principales. Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas coordenadas principales. Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios. Consideremos dos modos cualquiera i y j. De ecuación (2-3)

- Para i ≠ j, si i j ω ≠ω; se obtiene las siguientes relaciones de ortogonalidad:

Es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [M]y [K]. Estas relaciones son importantes, como veremos a continuación, porque ellas permiten desacoplar las ecuaciones del movimiento. - Para i = j: se obtiene:

5.5 Vibración forzada y absorción de vibraciones Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo, principalmente periódicas, responden variando sus estados de equilibrio y, Como consecuencia, presentan cambios de configuración que perturban su normal funcionamiento. Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores Directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente Aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos Internos. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, En: 

Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del



sistema. Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional

Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo. La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es: ''

m x + kx=F=f 0 cos wt

Donde F0 es la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza excitadora. La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución general de la homogénea una solución particular de la completa (

x=x h+ x p ).

La ecuación característica es mr^2+k+=0, las raíces de esta ecuación son

imaginarias conjugadas:

r=±

√

k i m

y la solución general de la homogénea es

x h=asen (w n t +ϕ ) La solución particular de la complete es x p= Acos wt 1−¿ww Así, la solución general tiene por expresión:

2 2 n

F0 k x=acos ( wn t+ ϕ ) + ¿

cos ωt

En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos, uno de frecuencia natural ωn y otro de 6 frecuencia de la fuerza exterior ω. La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión denominada factor de resonancia: A X est 1 p= ¿ 2

1−¿ ww = 2 n

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico

F=F0 sen wt , es de la forma:

''

'

mx + c x + kx=F La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea 2

mr + cr +k =0 . Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte

es

una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa ( x=x h+ x p ), resultando −¿ c2 m t sen ( wn t+ ϕ ) + Asen(wt−Θ) x=ae¿ 

Absorcion de vibraciones

Una máquina o sistema mecánico puede experimentar unos niveles excesivos de vibración si opera bajo la acción de una frecuencia de excitación cercana a alguna de las frecuencias naturales del sistema. En estos casos, el nivel de vibración puede reducirse también haciendo uso de un absorbedor dinámico de vibraciones, que no es otra cosa sino otro sistema masa-resorte que se añade al sistema. En este sentido, el absorbedor dinámico de vibraciones se diseña de tal forma que las frecuencias naturales del sistema resultante se encuentren alejadas de la frecuencia de excitación. El análisis de este tipo de sistemas para el control de vibraciones se llevará a cabo idealizando la máquina o sistema mecánico mediante un sistema de un grado de libertad. Absorbedor dinámico de vibraciones sin amortiguamiento Sea un sistema (Fig. 37) de masa m1 sujeto a la acción de una fuerza excitadora de carácter armónico

F=F0 e iwt

en el caso más general (senoidal en el

ejemplo de la figura 38). Si añadimos una masa auxiliar m2, el resultado es un sistema de dos grados de libertad. Planteando las ecuaciones del movimiento, suponiendo una solución armónica:

x 1 ( t ) x 1∗e iwt , x 2 ( t )=x 2∗e iwt

El objetivo es reducir X1, amplitud de la vibración correspondiente al sistema inicial de masa m1, por lo que interesará que el numerador correspondiente sea nulo. Si, además, inicialmente el sistema estaba operando cerca de la resonancia, es decir

w 2=k 1/ m1=w1

, se deduce que el absorbedor deberá diseñarse de

forma que su masa y rigidez cumplan:

Así, la amplitud de vibración de la máquina o sistema original operando en su frecuencia de resonancia original será cero (anti resonancia). Es decir, no es que se haya reducido la amplitud de la vibración desde un valor infinito a un valor finito, como ocurriría si lo que hiciésemos fuera introducir amortiguamiento, sino que la hemos reducido a cero (Fig. 38).

Absorbedor dinámico de vibraciones con amortiguamiento El absorbedor dinámico de vibraciones descrito en el apartado anterior elimina el pico de resonancia original en la curva de respuesta del sistema, pero introduce dos nuevos picos de resonancia (Fig. 38) provocando amplitudes de vibración importantes durante los procesos de arranque y parada del sistema. No obstante, este problema puede reducirse considerando la introducción de un absorbedor dinámico de vibraciones que incluya, asimismo (Fig. 40), un determinado amortiguamiento (c2). En tal caso, hay que constatar:

Si el amortiguamiento introducido es nulo (c2=ξ2=0) estaríamos en la situación anterior con dos frecuencias de resonancia no amortiguadas Ω1 y Ω2. Si el amortiguamiento tiende a infinito (ξ2→∞), las dos masas m1 y m2 resultan rígidamente unidas y el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de 1 grado de libertad de masa (m1+m2) y rigidez k1 que presenta una resonancia en la que X1 → ∞ para un valor de

Por lo tanto, la amplitud de vibración del sistema X1 se puede hacer infinita (resonancia) tanto para ξ2=0 como para ξ2=∞; sin embargo, entre ambos límites existe un punto en el que X1 se hace mínimo (Fig. 41). En tal caso, se dice que el absorbedor de vibraciones está sintonizado de forma óptima.

Puede comprobarse que un absorbedor de vibraciones está óptimamente sintonizado cuando el diseño de su masa (m2) y rigidez (k2) es tal que cumple la condición:

A la vez que un valor óptimo para la relación de amortiguamiento utilizada en el diseño de este tipo de absorbedores es:

En este tipo de absorbedores cabe constatar dos aspectos a considerar en su diseño: La amplitud del movimiento vibratorio de la masa del absorbedor (X2)

siempre será mucho mayor que la de la masa principal del sistema (X1). Por lo tanto, el diseño deberá de tener esta cuestión en cuenta de cara a posibilitar la amplitud de vibración del absorbedor.