Unidad 5 Mecanica de Materiales

5.- FLEXION Y CARGA AXIAL Esfuerzos por flexión Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales); la figura 2.10 muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, como en el caso de la figura 2.10, ocurre flexión pura.

Plano donde actúan las cargas y donde ocurre la flexión M

M

Sección transversal

Elemento inicialmente recto

Figura 2.10 Elemento de sección rectangular sometido a flexión

El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan (puntos superiores de la viga de la figura 2.10), quedando sometidos a esfuerzos de tracción. Algunos se acortan (puntos inferiores), quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. La figura 2.11.a muestra una viga con una sección de corte; se muestra el ‘plano neutro’ que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección. Para el sentido mostrado de M, los puntos por encima del plano neutro están a tracción (alargamiento) y los puntos por debajo están a compresión (acortamiento). Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial (véase la figura 2.5). Sección de corte

Puntos a tracción T

M

Plano neutro Puntos a compresión C

(a) Plano neutro. Algunas veces se utiliza el término ‘eje neutro’ como se muestra en la parte (b)

Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de compresión, distribuidos linealmente, tal como se muestra en la figura 2.11.b. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por: St 

M ct I

, y

 M cc Sc − , I

(2.9)

donde St y Sc son los esfuerzos máximos de tracción y de compresión, respectivamente, ct y cc son las distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos a tracción y compresión respectivamente (figura 2.11.b), M es el momento flector en la sección a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la sección (véase el apéndice 2, donde se encuentra información sobre los momentos de inercia de secciones comunes). La ecuación 2.9 es válida si la sección es simétrica respecto al plano donde ocurre la flexión (plano de aplicación de las cargas transversales, si las hay); tal es el caso de todas las secciones de la figura 2.12. Si además la sección es simétrica respecto al eje neutro, es decir, la sección es doblemente simétrica (véanse las figuras 2.12.a, b y c), el esfuerzo se puede expresar como: (2.10) donde S es el esfuerzo en el punto extremo superior o inferior. El signo ‘+’ indica que el esfuerzo es de tracción y el signo ‘–’ indica que es de compresión, c es la distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el módulo de la sección.

E.N.

E.N.

E.N. E.N.

(a) Circular

(b) Rectangular

(c) “I”

(d) “T” (invertida)

E.N.

(e) “U” o canal

Figura 2.12 Algunas secciones transversales típicas de vigas. Las secciones (a), (b) y (c) son doblemente simétricas. Las secciones (d) y (e) son simétricas sólo respecto al plano vertical (donde ocurre la flexión)

Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen también esfuerzos cortantes, los cuales son más pequeños que los esfuerzos normales si la viga es ‘larga’ (esbelta). Una viga se considera ‘larga’ si su longitud es 10 ó más veces la mayor dimensión de la sección. Es importante tener claro que en los puntos de mayores esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cortante es igual a cero; por lo tanto, los puntos de análisis están sometidos sólo a esfuerzo normal; es decir, no se desprecia el esfuerzo cortante en la viga, simplemente se omite el análisis de puntos diferentes a los puntos de mayores esfuerzos normales. Si la viga es ‘corta’ o es de madera (la resistencia de la madera al esfuerzo cortante puede ser pequeña en la dirección de las fibras), es necesario revisar la viga a los esfuerzos cortantes. El tema de esfuerzos cortantes en vigas se estudiará en la sección 2.7. Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes condiciones: 1. La viga es recta en dirección longitudinal (cuando no está cargada). 2. El punto a analizar no está situado en la proximidad del punto de aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sección. 3. El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lisa. 4. La sección de la viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las cargas. 5. Las alas, si las hay (véanse las figuras 2.12.c, d y e), no están pandeadas. 6. La carga es estática. 7. El material es homogéneo. 8. La viga no está retorcida.

9. El material no tiene tensiones residuales. 10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexión (esto sólo es válido para vigas largas, por lo tanto, se deberá hacer la comprobación de la combinación de esfuerzos cortante y normal de flexión en algún punto interior de la viga para vigas cortas y de madera). 11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga. 12. El esfuerzo permanece proporcional a la deformación (Ley de Hooke), es decir, el esfuerzo no sobrepasa el valor del límite de proporcionalidad.

Esfuerzos en carga axial Cuando un elemento recto de sección constante, como el de la figura 2.4, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales (dadas más adelante), se dice que este elemento está sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por: (2.5) donde A es el área de la sección transversal (el apéndice 2 presenta las fórmulas para el cálculo de las áreas y otras propiedades seccionales de algunas secciones comunes). El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción (figura 2.4.a). Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar una carga de compresión como la de la figura 2.4.b.

F

F

F

F

(a) Tracción

(b) Compresión

Figura 2.4 Elementos sometidos a carga axial

Al hacer un corte en una sección cualquiera del elemento de la figura 2.4, se obtiene una distribución uniforme de esfuerzos en dicha sección, tal como se muestra en la figura 2.5.a, para tracción, y 2.5.b, para compresión. El estado de esfuerzo en cualquier punto de la sección es uniaxial (sólo hay esfuerzo en una dirección), como se muestra en la misma figura 2.5.

F

S

S

(a) Esfuerzos de tracción

S

F

S

S

S

(b) Esfuerzos de compresión

Figura 2.5 Carga axial. Distribución uniforme de esfuerzos. El estado de esfuerzo de cualquier punto es uniaxial

Como se dijo, la ecuación 2.5 se cumple bajo ciertas condiciones ideales, las cuales sólo se cumplen aproximadamente en la práctica: 1. El elemento es completamente recto. 2. Las secciones a lo largo del material son uniformes. 3. La superficie es completamente lisa. 4. La sección a analizar está alejada de sitios de aplicación de cargas puntuales. 5. La carga F está aplicada exactamente en el centroide de la sección del elemento y en dirección axial. 6. La carga es estática. 7. El material es completamente homogéneo. 8. El material no tiene tensiones residuales. 9. Si el elemento está en compresión, su longitud es tal que no existe posibilidad de pandeo5. Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 2.5 y 2.6, el esfuerzo calculado como S =  F/A es sólo el esfuerzo promedio, ya que el esfuerzo no se distribuye uniformemente. La figura 2.6 muestra las distribuciones de esfuerzo en una sección alejada del punto de aplicación de una carga puntual, y en una cercana a dicho punto.

F

S

F S (promedio)

(a) Sección ‘alejada’ de la carga (distribución uniforme)

(b) Sección ‘cercana’ a la carga (dist. no uniforme)

Figura 2.6 Distribuciones de esfuerzo normal bajo cargas axiales puntuales

En muchas aplicaciones prácticas la carga es distribuida. Algunas aplicaciones con cargas puntuales se manejan con la teoría de esfuerzos de contacto (capítulo 10).

Eje Neutro (E.N.)

St c t

cc

M Sc (b) Distribución de esfuerzos

Figura 2.11 Plano neutro y distribución de esfuerzos en una viga sometida a flexión

5.1 Carga excéntrica y Núcleo central

Carga excéntrica en una barra corta

La  flecha  debida a la flexión producida por la carga   excéntrica   será  despreciable  comparada con la excentricidad e.

W

1

2

b h 

1

 A h 6 6

 N A  M  N  e  6 N  e A h W 1  A h 6



Núcleo de una sección

N A 



 1

6e h 



Es la región alrededor del c.d.g.de la sección dentro de la cual si se aplica una carga de compresión P producirá compresión en toda la sección

A (m,n) es el punto de aplicación de la carga P Los momentos de P respecto a los ejes OY y OZ serán  Pn y Pm. Aplicando el principio de superposición , la tensión en cualquier punto de la  sección transversal definido por las coordenadas (x, y), será:

 P  P m y  P n z A Iz Iy

Igualando a cero el segundo miembro se obtiene la ecuación del lugar  geométrico de los puntos de tensión nula en la sección transversal: P  P m y  P n z  0 Iz

A

P A 







 1

Iy

myA I z



nz A   I   y

0

Introduciendo las notaciones para los radios de giro  rz  y  ry: rz 

Iz A

ry 

Iy A

1 m  y  n  z  0 RECTA 2 2 rz ry

Fibras longitudinales de la zona no rayada de la sección transversal   COMPRESION Fibras longitudinales de la zona rayada de la sección transve rsal  TRACCION Las intersecciones  u  y  v  de las rectas con los ejes se determinan como sigue:   Con OZ:

y = 0

Obtenemos v 1 n  z  0 ry

 v    Con OY:

z = 0

n  z 1

2

2

ry

r2z

y

n

Obtenemos u 1 m 2 y  0 r

m  y 1 2 r

z

 u 

Núcleo de una sección rectangular

z

2

r y

m

z

Núcleo de una sección circular

Núcleo de una sección en I

5.2 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión unixial