Unidad 5 Materiales

ÍNDICE CONTENIDO

PÁG.

Introducción………………………………………………………...

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Carga excéntrica y núcleo central…………………………………

4

Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión uniaxial…..

5

Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión biaxial….

6

Problemas…………………………………………………………..

21

Conclusión……………………………………………………….…

21

Bibliografía……………………………………………………….…

21

INTRODUCCIÓN Se estudiarán ahora las deformaciones en elementos prismáticos sometidos a flexión. El elemento se flexionará bajo la acción de pares, pero permanecerá simétrico con respecto a un plano de simetría, de acuerdo a la siguiente figura,

De esta manera, la línea de intersección AB entre la cara superior del elemento y el plano de los pares tendrá una curvatura constante. Es decir, la línea AB, que era originalmente recta, se transformará en un círculo con centro C lo mismo ocurrirá con la línea de la cara inferior A’B’. Esto nos permitirá observar que la línea AB se acorta mientras que la línea A’B’ e alarga al ocurrir la flexión, tal como se muestra a continuación,

CARGA EXCENTRICA Y NUCLEO CENTRAL



CARGA EXCENTRICA:

En la figura 5-7 se muestra un ejemplo de carga excéntrica de sujetadores. Es una parte de una bancada de una máquina conteniendo una viga A sometida a la acción de una carga de flexión. En este caso, la viga se ha sujetado por sus extremos a los elementos verticales con pernos. El lector reconocerá en la representación esquemática de la figura 5-7 una viga hiperestática con ambos extremos empotrados y con el momento reacción M y el esfuerzo

cortante

reacción

V

en

sus

extremos.

Por convenirnos así, se ha dibujado los centros de los pernos de un extremo a una escala mayor en la figura 5-8. El punto O representa el centro de gravedad del grupo, habiéndose supuesto este ejemplo en que todos los pernos tienen el mismo diámetro. La carga total que corresponde a cada perno puede calcularse en tres etapas. En la primera, el esfuerzo cortante V se divide por igual entre los pernos, de modo que a cada uno de ellos le corresponde F’=V/n, en la que n es el número de pernos en cada grupo y la fuerza F’ se llama carga directa o esfuerzo cortante primario.

Debe observarse que la equidistribución de la carga directa supone que el elemento es totalmente rígido. La distribución de los pernos o la forma y tamaño de los elementos, a veces justifica el empleo de otra hipótesis para la división de la carga. Las cargas directas F’ se indican como vectores en el diagrama de carga (Fig. 5-8). La carga de momentos o esfuerzo cortante secundario es la carga adicional sobre cada perno, debida al momento M. Si rA, rB, rC, etcétera, son las distancias radiales desde el centro de gravedad al centro de cada perno, el momento y la carga

de

momentos

se

relacionan

entre

sí

como

sigue:

Donde F” es la carga de momentos. La fuerza correspondiente a cada perno depende de su radio; esto es, al perno más alejado del centro de gravedad le corresponde la carga mayor, mientras que al más cercano le corresponde la menor. Podemos, por tanto, escribir: … (b)

Resolviendo

simultáneamente

las

ecuaciones

(a)

y

(b),

obtendremos:

En la que el subíndice n se refiere al perno particular cuya carga se quiere encontrar. Estas cargas de momentos se indican también como vectores sobre el diagrama

de

carga.

En la tercera etapa se suman vectorialmente las cargas directas y de momentos, obteniéndose la carga resultante sobre cada perno. Puesto que todos los pernos y remaches son normalmente del mismo tamaño, solo se necesita considerar aquel que soporta la carga máxima. Una vez encontrada la carga máxima, la resistencia puede determinarse empleando los diversos métodos ya descritos. Flexión oblicua



NUCLEO CENTRAL:

Ya hemos visto que la flexión oblicua compuesta es resultado de la acción de una fuerza normal excéntrica. El punto de paso de esa fuerza se denomina “centro de presión”. Si el centro de presión coincide con el baricentro de la sección, el diagrama de tensiones normales es uniforme. En la medida que la carga se aleja del baricentro, el diagrama se va inclinando, hasta cambiar de signo dentro de la propia pieza. Se denomina “núcleo central” de una sección al lugar geométrico de los infinitos puntos que, tomados como centro de presión, originan en esta tensiones de un mismo signo. El conocimiento del núcleo central de una sección tiene mucha importancia para el estudio de la flexión compuesta en materiales que, como la mampostería o el Hormigón simple, no trabajan adecuadamente a la tracción. En estos, para obtener un óptimo funcionamiento es necesario que la carga normal se ubique dentro del núcleo central. Para la ubicación del núcleo central es necesario encontrar todos los centros de presiones que determinan su contorno, lo cual ocurre cuando estos coinciden con los “puntos nucleares”, es decir, son tales que originan ejes neutros que son tangentes a la sección y además no la cortan en ningún punto. En la figura 9.10 se muestran los ejes neutros que dan el contorno del núcleo central para la sección indicada. En los puntos A, B, C, D y E existen infinitos ejes neutros, los que pivotando sobre ellos giran desde una posición extrema hasta otra. Cuando esto ocurre es posible demostrar que los centros de presiones relacionados a cada eje neutro se emplazan sobre una recta. Esto último es sumamente importante ya que si se

conocen

los

centros

de

presiones

correspondientes a dos ejes neutros tales como en n1 y el n5, por ejemplo, el segmento que se obtiene al unir ambos puntos define una parte del contorno del núcleo central. Dado un eje neutro, si se desea saber la posición del centro de presiones

correspondiente,

sus

coordenadas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

Dónde: Ix, Iy e Ixy son momentos de inercia y producto de inercia de la sección, y  es el área. (xA, yA) e (xB, yB) son coordenadas de dos puntos, A y B pertenecientes al eje neutro.

bPara las figuras elementales el núcleo central puede definirse directamente considerando las distancias nucleares tal como las definimos en el ítem 9.11

ECUACION DE LOS ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y FLEXION UNIAXIAL 

CARGA AXIAL

Cuando un elemento recto de sección constante, como el de la figura 2.4, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales (dadas más adelante), se dice que este elemento está sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por:

Donde A es el área de la sección transversal (el apéndice 2 presenta las fórmulas para el cálculo de las áreas y otras propiedades seccionales de algunas secciones comunes). El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción (figura 2.4.a). Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar una carga de compresión como la de la figura 2.4.b.

Al hacer un corte en una sección cualquiera del elemento de la figura 2.4, se obtiene una distribución uniforme de esfuerzos en dicha sección, tal como se muestra en la figura 2.5.a, para tracción, y 2.5.b, para compresión. El estado de

esfuerzo en cualquier punto de la sección es uniaxial (sólo hay esfuerzo en una dirección), como se muestra en la misma figura 2.5.

Como se dijo, la ecuación 2.5 se cumple bajo ciertas condiciones ideales, las cuales sólo se cumplen aproximadamente en la práctica: 1. El elemento es completamente recto. 2. Las secciones a lo largo del material son uniformes. 3. La superficie es completamente lisa. 4. La sección a analizar está alejada de sitios de aplicación de cargas puntuales. 5. La carga F está aplicada exactamente en el centroide de la sección del elemento y en dirección axial. 6. La carga es estática. 7. El material es completamente homogéneo. 8. El material no tiene tensiones residuales. 9. Si el elemento está en compresión, su longitud es tal que no existe posibilidad de pandeo5. Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 2.5 y 2.6, el esfuerzo calculado como S = ± F/A es sólo el esfuerzo promedio, ya que el esfuerzo no se distribuye uniformemente. La figura 2.6 muestra las distribuciones de esfuerzo en una sección alejada del punto de aplicación de una carga puntual, y en una cercana a dicho punto.



ESFUERZO UNIAXIAL.

El esfuerzo es una relación entre la fuerza aplicada exteriormente al cuerpo entre el área transversal del mismo. Esto se expresa de la siguiente manera:

Por otro lado, se le llama deformación unitaria al cociente formado por la deformación total del elemento por unidad de longitud, expresada como sigue:

Es más conveniente considerar el alargamiento que se observa por unidad de longitud de la distancia de medición, es decir, la intensidad de la deformación. Partiendo que lo es la longitud de medición original y l es la longitud observada después de aplicar la carga, el alargamiento total será o Dl = l − l , por lo que el alargamiento por unidad de longitud, e, queda definido:

La relación lineal entre el esfuerzo y deformación para un material elástico se puede expresar por la siguiente ecuación:

Otro aspecto que se observa en las barras prismáticas al momento de ser cargadas axialmente, el alargamiento axial está acompañado por la contracción lateral, esto es, el ancho de la barra se hace menor a medida que su longitud aumenta. La razón de la deformación en la dirección lateral a la deformación en dirección axial o longitudinal, es constante dentro del intervalo elástico y se conoce como la relación de Poisson; así pues,

ECUACION DE LOS ESFUERZOS POR CARGA NORMAL AXIAL Y FLEXION BIAXIAL Hasta ahora hemos analizado el caso en el que se aplica una fuerza en sentido uniaxial, es decir, en una sola dirección. Tenemos las siguientes representaciones de deformaciones posibles que presenta un cuerpo en forma biaxial:

En la figura anterior, observamos que tanto los desplazamientos horizontal y vertical de las figuras a) y b) son positivos, no representan la deformación angular de una componente del tensor. En cambio, en la figura c) muestra que es el indicado para definir la componente de la deformación por corte como elemento de un tensor. En este caso estamos hablando de una deformación del cuerpo de tipo irrotacional, es decir, no es girado como un cuerpo rígido. Siguiendo este enfoque, otra definición de las deformaciones por cortante será:

A partir de estas ecuaciones, el tensor de deformación puede expresarse en forma matricial como sigue:

Utilizamos la notación de eij para representar un elemento del tensor de deformación.

PROBLEMAS

CONCLUSION

BIBLIOGRAFIA

http://materias.fi.uba.ar/6201/MosqVectoresacr.pdf http://www.ditutor.com/vectores/cosenos_directores.html http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#Magnitudes_vectoriales http://www.aulafacil.com/cursos/l10316/ciencia/fisica/fisica-general-ii/componentesrectangulares-de-un-vector