Unidad 5 I. O. Ii PDF

 

 

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA

UNIDAD 5, Líneas de espera ERGONOMÍA I.I. CARPIO PINEDA JOSÉ FRANCISCO

ESQUIVEL MONTESINOS YOSHIRA MONTSERRAT

24 DE MAYO DE 2019

 

5.1 INTRODUCCIÓN, TERMINOLOGÍA, NOTACIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN

La teoría de colas es una formulación matemática para la optimización de sistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios, un proceso de “llegada de clientes”, y un proceso de “servicio “ser vicio a los clientes”, en los que existen fenómenos de “acumulación de espera del servicio”, y donde existen reglas definidas (prioridades) paradelaclientes “prestación de servicios”.  

La teoría de colas es una aproximación matemática potente para la optimización del problema y tiene aplicaciones (crecientes) en sistemas donde la llegada y el servicio admiten una representación matemática (probabilística), en problemas que no admiten esta representación existen otras técnicas. Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. En este capítulo el procedimiento consiste cons iste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría. Una gran cadena de supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar el número de estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y económico de sus almacenes a diversas horas del día. 5.2 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).

En esta sección doselprocesos el primer proceso, clientes llegan y consideraremos nunca parten y en segundo especiales. proceso losen clientes se retiran de los un abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura. MODELO DE NACIMIENTO PURO. Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos, estas actas de guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se pueden describir por medio de una distribución de Poisson. El proceso de nacimiento puro de tener

 

“n” arribos o llegadas (actas de nacimiento) durante el periodo de tiempo se puede

describir con la siguiente distribució distribución n de Poisson:  () =

  ()   !

  ,  = 0,1, 0,1,2, 2, … , ( (    ) ) 

Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de

llegadas durante t igual a t. MODELO DE MUERTE PURA. Considere la situación de almacenar N unidades de articulo al inicio de la semana. Si suponemos que la demanda se presenta con una tasa de n unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n  artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución de Poisson:  () =

  ()  (−)!

  ,  = 0,1, 0,1,2, 2, … , . 

EJEMPLO: Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 de minutos en promedio. Con el tiempo promedio entre arribos (nacimientos) es de 7 minutos, la tasa de nacimiento en el país se calcula como: =

24∗60   = 205.7 /   7

El número de nacimientos en el país por año está dado por: (2 (20 05.7 5.7 ∗ 1)  −.∗   = 0    = 0!

t = 205.7 * 365 = 75,080 nacimientos / año. La probabilidad de ningún nacimiento .∗))  .∗   = 0.11172. en cualquier día es:  (19) =  ( (.∗ ! suponga que no nos interesa la probabilidad probabi lidad de emitir 45 actas de nacimiento nacim iento al final de un periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35 actas en las primeras 2 horas. Observamos que debido a que los nacimientos ocurren según un proceso de Poisson, la probabilidad requerida se reduce a tener 45-35=10 nacimientos en una   hora (( = 3  2). Dado  =   = 8.57 nacimientos / hora. 2.3 POBLACIÓN POBL ACIÓN INFIN INFINITA ITA UN SERVIDOR, CO COLA LA INFINITA INFINITA

 

Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador. Llegadas: Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tiene horario, y es imprescindible en el momento en que llegaran. El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan uno a la vez. Cola: En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es “primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales.

También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas aleatoriamente. Salidas: No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio. Características de operación: Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar, primero en ser atendido. Tiempos de servicio exponenciales.

5.4 POBLACIÓN POBLA CIÓN FI FINITA NITA UN SERVIDO SERVIDOR, R, COLA FINITA El sistema que se analizó supone que el número de clientes que requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de población infinita y no con el real.

El modelo de población finita que se expone en esta sección se basa en las siguientes suposicione suposiciones: s: 1. Las llegadas para cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson, conde una tasa media llegada. 2. Los tiempos servicio siguendeuna distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio μ.   3. La población de unidades que pueden buscar servicio es finita. Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población finita. 2.5 POBLACIÓN POBL ACIÓN INFINI INFINITA TA SERVIDORES MÚ MÚLTIPLES, LTIPLES, COL COLA A INFINITA.

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea

 

y luego pasan al primer canal disponible para ser servidores. La operación de un solo canal de Burger Dame puede expandirse a un sistema dados canales al abrir un segundo canal de servicio. En esta sección presentamos fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de varios canales. Estas fórmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1. Las llegadas siguen una distribuc distribución ión de probabilidad de Poisson. Poiss on. 2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial. 3. La tasa media de servicio μ es la misma para cada canal.   4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio.

5.6 USO DE SOFTWARE Ejemplo: Los niños nacen en un estado poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12 minutos. El tiempo de nacimientos sigue una distribución exponencial. Determina lo siguiente La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas, cuando se emitieron 40 certificados 

Formula: matemática

 ( ))  ( ) =  ( !

  , =0,1,2, … 

 

 

Formula para resolución en Excel

Donde:  cantidad de clientes en el sistema (en cola y en servicio) N: N: cantidad  probabilidad de estado estable de que hay n clientes en el sistema Pn: probabilidad Pn:

M/M/c/GD/N/K Queueing Model Imput Data (to enter an infinite value, Tipe ¡ or infinity):



5

C=

0

Sys. Lim. N =

infinity

 =

Source limit,K =

0

infinity

Output Results(pure Dirth Model):  

Ls =

Lq =

Ws =

Wq =

n

Pn

CPn

1-CPn

0

0,006737947

0,00673795

0,993262053

1

0,033689735

0,04042768

0,959572318

2

0,084224337

0,12465202

0,875347981

3

0,140373896

0,26502592

0,734974085

4

0,17546737

0,44049329

0,559506715

5

0,17546737

0,61596065

0,384039345

6

0,146222808

0,76218346

0,237816537

7

0,104444863

0,86662833

0,133371674

 

8

0,065278039

0,93190637

0,068093635

9

0,036265577

0,96817194

0,031828057

10

0,018132789

0,98630473

0,013695269

11

0,008242177

0,99454691

0,005453092

12

0,00343424

0,99798115

0,002018852

13

0,001320862

0,99930201

0,00069799

14

0,000471736

0,99977375

0,000226254

15

0,000157245

0,99993099

6,90082E-05

16

4,91392E-05

0,99998013

1,9869E-05 1 ,9869E-05

17

1,44527E-05

0,99999458

5,41634E-06

18

4,01464E-06

0,9999986

1,4017E-06

CONCLUSIÓN Con respecto a este tema analizamos y pudimos comprender la forma de cómo se realiza un problema en la plantilla de Excel del tema nacimiento y muerte; modelos Poisson está relacionado relacionado con la distribución expon exponencial encial hace más fácil la solución del problema por ejemplo cuando en las empresas se amontona la clientela cliente la con esta problema se busca exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio y otros aspectos muy importantes para una mejor preparación académica. BIBLIOGRAFÍA Taha, hamdy a. investigación de operaciones.7ª.edicion, perason educación, México 2004, páginas: 587-588-589